圆锥曲线经典中点弦问题
(完整版)圆锥曲线经典中点弦问题
中点弦问题专题练习•选择题（共8小题）1已知椭圆盏+专二1，以及椭圆内一点 P （4, 2）,则以P 为中点的弦所在直线的斜率为（ A • _12A 为中点的椭圆的弦所在的直线方程为（）C • 2x+y+4=0D . 2x+y - 4=0x 轴不垂直的弦，0是椭圆的中心，e 为椭圆的离心率,2 25•若椭圆 盏亡二L 的弦中点（4, 2），则此弦所在直线的斜率是（二•填空题（共9小题）2 ?9•过椭圆专+才二1内一点M （2, 0）引椭圆的动弦 AB ，则弦AB 的中点N 的轨迹方程是 __2 210 •已知点（1, 1）是椭圆.某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为：—_ _2 211.椭圆4x +9y =144内有一点P （3, 2）过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的斜率为_一直线方程为 ___________________ •2 •已知A (1, 2)为椭圆 A • x+2y+4=03 • AB 是椭圆2 2a b2 2孚+$二1内一点，则以4 LbB • x+2y - 4=0（a > b > 0）的任意一条与 AB 的中点，贝U K AB ?K OM 的值为（ ） A • e -1 B • 1-e 4•椭圆4x 2+9y 2=144内有一点P （3, 2）过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的方程为（ A • 3x+2y - 12=0 B • 2x+3y - 12=0C • e 2- 1D • 1 - e 24x+9y - 144=0)D • 9x+4y - 144=02B •.:C •.:;D •：■22 25A • 6. 2 2已知椭圆七+勺二1的一条弦所在直线方程是a bx - y+3=0，弦的中点坐标是（-2, 1）,则椭圆的离心率是（7 •直线y=x+1被椭圆 A • x 2+2y 2=4所截得的弦的中点坐标是（B •(―丄))丄)(-8. M （1, 1）为中点的弦所在的直线方程为（4x - 3y - 3=0B • x - 4y+3=0C • 4x+y - 5=0 x+4y - 5=0以椭圆12 .椭圆4x 2+9y 2=144内有一点P (3,2)过点P 的弦恰好以P 为中点, =1内一定点(1, 0)作弦，则弦中点的轨迹方程为k AB ?k OM 为定值.),直线l 经过点P 并与椭圆C 交于A 、B 两点，求当I 的倾斜角变化时, 弦中点的轨迹方程.26.已知椭圆 卡+¥製二1 .(1) 求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；(2) 过A (2, 1)的直线I 与椭圆相交，求I 被截得的弦的中点轨迹方程; (3) 过点P ()且被P 点平分的弦所在的直线方程.2 2那么这弦所在直线的方程为13.过椭圆 14•设AB 是椭圆 —.的不垂直于对称轴的弦,M 为AB 的中点, O 为坐标原点，贝U k AB ?k OM =P (- 2, 1 )为中点的弦所在的直线方程为18. 19. 20. 21 . 直线y=x+2解答题(共被椭圆x 2+2y 2=4截得的线段的中点坐标是13小题)求以坐标轴为对称轴，一焦点为(0, 5迈)且截直线y=3x - 2所得弦的中点的横坐标为 -的椭圆方程.2 2已知M (4, 2)是直线I 被椭圆x +4y =36所截的弦AB 的中点，其直线I 的方程. 2 2已知一直线与椭圆 4x +9y =36相交于A 、B 两点，弦AB 的中点坐标为 M(1, 1),求直线AB 的方程.已知椭圆 2⑹厂1,求以点P ( 2，-门为中点的弦AB 所在的直线方程.已知椭圆与双曲线 2x 2 - 2y 2=1共焦点，且过(.：•') 22.(1) 求椭圆的标准方程.(2) 求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程.2 223.直线I : x - 2y - 4=0与椭圆x +my =16相交于A 、B 两点，弦AB 的中点为 设椭圆的中心为 0,求厶AOB 的面积.P (2, - 1). (1 )求 m 的值；(2)24. AB 是椭圆2 2--''中不平行于对称轴的一条弦,b 2M 是AB 的中点，O 是椭圆的中心，求证:M (1, 1)为中点的弦所在直线方程为17. 25.已知椭圆C :2 229. (2010?永春县一模)过椭圆 *」-内一点M ( 1, 1)的弦AB .16 4(1) 若点M 恰为弦AB 的中点，求直线 AB 的方程； (2) 求过点M 的弦的中点的轨迹方程.30. 已知椭圆C 方程为 -丁 ―直线一-二与椭圆C 交于A 、B 两点， 点 P I--(1) 求弦AB 中点M 的轨迹方程；(2) 设直线PA 、PB 斜率分别为k 1、k 2,求证：k 1+k 2为定值.27.已知椭圆. (1)求过点P ［丄，丄)且被点P 平分的弦所在直线的方程；2 2 求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；过点A (2，1)引直线与椭圆交于 B 、C 两点，求截得的弦 (2)(3) BC 中点的轨迹方程. 28.已知某椭圆的焦点是 F 1( - 4,0)、F 2(4,0),过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为 椭圆上不同的两点 A (x i , y i )、C ( x 2, y )满足条件：|F 2A|、|F 2B|、|F 2C|成等差数列. (I )求该椭圆的方程；(n )求弦AC 中点的横坐标. B,且|F 1B|+|F 2B|=10 ,参考答案与试题解析•选择题(共8小题)A • _12考点： 椭圆的简单性质•专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程• 分析： 利用中点坐标公式、斜率计算公式、点差法”即可得出•解答： 解：设以点P 为中点的弦所在直线与椭圆相交于点 A (X 1, y 1) , B (x 2, y 2),斜率为k .代入得 寻碍二Q ，解得k = - * 故选A •考点：直线的一般式方程. 专题：计算题•分析：首先根据题意设出直线的方程，再联立直线与椭圆的方程，然后结合题意与跟与系数的关系得到答案• 解答：解：设直线的方程为 y - 2=k (x - 1),联立直线与椭圆的方程代入可得： (4+k 2) x 2+2k ( 2 - k ) x+k 2- 4k - 12=0因为A 为椭圆的弦的中点，2k (k- 2)所以.•二解得k= - 2,4十所以直线的方程为 2x+y - 4=0 • 故选D •点评：解决此类问题的关键是熟练掌握直线与椭圆的位置关系的判定，以及掌握弦中点与中点弦问题•2014 年 1 月 pa 叩an71104的高中数学组卷-七) (牛+辽)ty j36g2 2二；「两式相减得2 21•已知椭圆「以及椭圆内一点 P (4, 2),则以P 为中点的弦所在直线的斜率为(点评:熟练掌握中点坐标公式、斜率计算公式、 点差法堤解题的关键.2•已知A (1, 2)为椭圆2 2^~-1内一点，则以4 16A 为中点的椭圆的弦所在的直线方程为(A • x+2y+4=0B • x+2y - 4=0C • 2x+y+4=0D • 2x+y - 4=0又 X 1+x 2=8, y 1+y 2=4,，二1 (a > b >0)的任意一条与x 轴不垂直的弦，0是椭圆的中心，e 为椭圆的离心率， M 为所以：X 1+X 2=-3. AB 是椭圆AB 的中点，贝U K AB ?K OM 的值为( A . e -C . e 2- 1D . 1 - e 2考点： 专题： 分析： 解答:椭圆的简单性质. 综合题.设出弦AB 所在的直线方程，与椭圆方程联立消去 y ,根据韦达定理求得 X 1+X 2，的表达式，根据直线方程求得y 1+y 2的表达式，进而根据点 M 为AB 的中点，表示出 M 的横坐标和纵坐标，求得直线 0M 的斜率,进而代入k AB ?k OM 中求得结果.解：设直线为：y=kx+c联立椭圆和直线b 2x 2+a 2 (kx+c )i22斗j l 国b2- a 2b 2=0，即 (b 2+k 2a 2)消去y 得x 2+2a 2kcx+a 2 (c 2 - b 2) =0点评:所以，M 点的横坐标为:M r (x1+x2)=所以:b. 2b 2)=一 2a本题主要考查了椭圆的应用•涉及弦长问题，禾U 用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题, 利用差分法较为简便.2 24.椭圆4x +9y =144内有一点P (3, 2)过点P 的弦恰好以 A . 3x+2y - 12=0B . 2x+3y - 12=0C . P 为中点，那么这弦所在直线的方程为()4x+9y - 144=0D . 9x+4y - 144=0 考点： 专题： 分析： 直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程. 圆锥曲线的定义、性质与方程.利用平方差法：设弦的端点为A (X 1, y 1)，B ( X 2,y 2),代入椭圆方程，两式作差，利用中点坐标公式及又：y 仁kx i +c所以：Kom=A 2k AB ?k OM =k x (-=e 2- 1斜率公式可求得直线斜率，再用点斜式即可求得直线方程. 解答： 解：设弦的端点为 A (X 1 , y i ) , B ( X 2, y 2), 则 X 1+x 2=6， y 1+y 2=4，把A 、B 坐标代入椭圆方程得，仆］乂+9比2二⑷，旳％¥『二⑷， 2-y 2 ) =0，即 4 (X 1+X 2) (X i - x 2) +9 ( y l +y 2) (y i - y 2) =0 ,所以这弦所在直线方程为： y - 2= -2( x - 3),即2x+3y - 12=0.3故选B .点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、直线方程的求解，涉及弦中点问题常运用平方差法，应熟练掌握.2 ?字+三厂二1的弦中点(4, 2)，则此弦所在直线的斜率是(36 9考点： 直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率. 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析： 设此弦所在直线与椭圆相交于点 A (x i , y i ), B ( x 2 , y 2).利用中点坐标公式和点差法”即可得出.解答： 解：设此弦所在直线与椭圆相交于点A (x i , y i ) ,B (x 2, y 2).2 26.已知椭圆 &七二1的一条弦所在直线方程是 x -y+3=0，弦的中点坐标是(-2, 1),则椭圆的离心率是()a b1B..:C ..:;D.：■22 2 5考点：椭圆的简单性质. 专题：计算题.分析：设出以M 为中点的弦的两个端点的坐标，代入椭圆的方程相减，把中点公式代入，可得弦的斜率与a , b的关系式，从而求得椭圆的离心率.解答：解：显然M (- 2, 1 )在椭圆内，设直线与椭圆的交点A (x i , y i ) ,B (x 2, y 2),两式相减得，4+9r=，即 kAB =-=5.若椭圆 A . 2B . - 2C .3D . _丄2点评:代入上式可得 9 4 k hie ；备甘e 解得故选D .本题考查了椭圆的标准方程及其性质、L(厂+巾)*36 1 ' gk AB =中点坐标公式和点差法”等基础知识与基本技能方法，属于中档题.则 ，两式相减得，：厂=0.b 2 (xi + K 7 )整理得：k= ---- ------------------------ =1,s 2(yC又弦的中点坐标是(-2, 1),故选B .点评：本题考查椭圆的标准方程和简单性质，中点公式及斜率公式的应用，以及直线方程，属于基础题.本题解 题中直接利用点差法巧妙用上了中点坐标公式与弦的斜率，方法极为巧妙，此方法即为通常所说的点差法, 研究弦中点问题时经常采用此方法7.直线y=x+1被椭圆x 2+2y 2=4所截得的弦的中点坐标是( )A .弓哼B .(-訂C 飞弋考点：直线与圆锥曲线的关系.专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析： 将直线y=x+1代入椭圆x 2+2y 2=4中，利用韦达定理及中点坐标公式，即可求得结论. 解答：解：将直线y=x+1代入椭圆x 2+2y 2=4中，得x 2+2 (x+1 ) 2=42/• 3x +4x - 2=0弦的中点横坐标是x=gx ( -纟)=-*、,£R-T 1代入直线方程中，得 丫=丄3、2 1•弦的中点是(-1,二 故选B .点评： 本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于基础题.8以椭圆'咅"点M (1,1)为中点的弦所在的直线方程为(16A . 4x - 3y - 3=0B . x - 4y+3=0C . 4x+y - 5=0D . x+4y - 5=0考点： 专题： 分析：直线与圆锥曲线的关系. 计算题. 设直线方程为 y -仁k ( x - 1),代入椭圆匚+亠二1化简，根据16 4x i +x 2=- g 冷 - /) 4k 2+l=2，求出斜则椭圆的离心率是=1 ,率k 的值，即得所求的直线方程.解答：解：由题意可得直线的斜率存在，设直线方程为y -仁k ( x - 1),代入椭圆 疋牛£二1化简可得£斗(kx-k+1)匕，16 4 116 4丄2 2 2 2 (4k +1) x+8 ( k - k ) x+4k - 8k - 12.亠亦亠r/白_S (k — k?)•••由题意可得 X 1+X 2=■=2, ••• k=-二，4k 2+l ，4，故 直线方程为 y -仁-2 ( x - 1),即x+4y - 5=0,4故选D .点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，中点公式的应用，求出直线的斜率， 是解题的关键.二.填空题(共9小题)2 29.过椭圆 —亠内一点M( 2,0)引椭圆的动弦 AB ，则弦AB 的中点N 的轨迹方程是.'+—打=：考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程.专题：综合题.分析：设出N , A , B 的坐标，将A , B 的坐标代入椭圆方程，结合弦AB 过点M (2, 0),弦AB 的中点N ,求出AB 的斜率，从而可得方程，化简即可. 解答： 解：设 N (x , y ) , A (X 1, y 1) , B (x 2, y 2),贝①-②，可得:故答案为:N 为AB 的中点，求出 AB 的斜率，再利用动5一4KK1 ■动弦 AB 过点M 当M 、N 不重合时，有ky9y当M 、N 重合时，即M 是A 、B 中点，M (2, 0)适合方程(只一 1)①，(2, 0),弦AB 的中点2=',（m 唱）（「I ） 22二 1 ,则N 的轨迹方程为 (£一1〕女23点评：本题考查直线与椭圆的综合，考查点差法的运用，这是解决弦中点问题，常用的一种方法.考点：直线与圆锥曲线的关系. 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：设以A (1,1)为中点椭圆的弦与椭圆交于E (x i , y i ) ,F (X 2, y 2), A (1, 1)为EF 中点，x i +x 2=2, y i +y 2=2, 利用点差法能够求出以 A (1, 1)为中点椭圆的弦所在的直线方程.解答：解：设以A ( 1, 1 )为中点椭圆的弦与椭圆交于E ( X 1, y 1 ),F (x 2, y 2),••• A (1, 1 )为 EF 中点， ••• x 1+x 2=2 , y 1+y 2=2 ,2 2把E (x1 , y 1), F (x 2 , y 2)分别代入椭圆■二1 ,4 2两式相减,可得(X 1+x 2) (x 1 - x 2) +2 (y 1+y 2) (y 1 - y 2) =0 , • 2 (x 1-x 2) +4 (y 1 - y 2) =0 ,•••以A (1, 1)为中点椭圆的弦所在的直线方程为： y - 1=-丄(x - 1),乙整理，得 x+2y - 3=0. 故答案为：x+2y - 3=0.点评：本题考查以A (1,1)为中点椭圆的弦所在的直线方程的求法，考查点差法的运用，考查学生分析解决问 题的能力，属于中档题.2 2311.椭圆4x +9y =144内有一点P (3 , 2)过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的斜率为_,直线方程为 2x+3y -12=0.考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程. 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：平方差法：设弦端点为 A (X 1 , y 1) , B (x 2 , y 2),代入椭圆方程后作差，利用斜率公式及中点坐标公式可 得斜率；根据点斜式可得直线方程.解答： 解：设弦端点为 A ( X 1 , y 1) , B ( x 2 , y 2),贝X 1+x 2=6, y 1+y 2=4,4巧 2+gyJ 二L 嗣①，分2 2-^9y 22=144②，①—②得，疋］'-只 2’ ) +9(旳‘-咒‘)=0 ,即 4 (x 1+x 2) (x 1 - x 2) +9 (y 1+y 2) (y 1 - y 2) =0 ,「1、二4〔巧 + Mg ) 4X6 __ 2Z1 "_ 9(旳+匕)-9心.3)所以,即10.已知点(1，1)是椭圆「某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为:x+2y — 3=0所以弦所在直线方程为：y - 2= -2 (x - 3),即2x+3y - 12=0.3故答案为：-二；2x+3y - 12=0 .3点评：本题考查直线与抛物线的位置关系、直线方程的求解，弦中点问题常利用平方差法解决，应熟练掌握.12 .椭圆4x 2+9y 2=144内有一点P( 3,2)过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的方程为2x+3y 二12=0考点： 直线与圆锥曲线的关系.专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析： 设以P( 3, 2)为中点椭圆的弦与椭圆交于E( X 1,y 1), F (x 2, y 2) , p ( 3, 2)为EF 中点，x 1+x 2=6, y 1+y 2=4,利用点差法能够求出这弦所在直线的方程.解答： 解：设以P ( 3, 2)为中点椭圆的弦与椭圆交于E (X 1, y 1) ,F (x 2 , y 2),••• P (3 , 2)为 EF 中点，X 1 +x 2=6, y 1+y 2=4,2 2把 E (X 1, y 1), F (x 2, y 2)分别代入椭圆 4x +9y =144 ,2+9yi Z =L44良2，4x 2J +9y 2 =1444 (x 1+x 2) ( x 1 - x 2) +9 (y 1+y 2) (y 1 - y 2) =0, ••• 24 (x 1 - x 2) +36 (y 1- y 2) =0,•••以P (3, 2 )为中点椭圆的弦所在的直线方程为： y - 2=-弓(x -3),整理，得 2x+3y - 12=0 . 故答案为：2x+3y - 12=0 .点评：本题考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意椭圆的简单性质、点差法、直线方程等知识点的合理 运用.2 213.过椭圆勺亍1内一定点(1, 0)作弦，则弦中点的轨迹方程为考点： 椭圆的应用；轨迹方程. 专题： 计算题.分析：设弦两端点坐标为(X 1 ,y 1), (x 2. y 2),诸弦中点坐标为(x ,y ).弦所在直线斜率为k ,把两端点坐标代入椭圆方程相减，把斜率看的表达式代入后整理即可得到弦中点的轨迹方程.解答：解：设弦两端点坐标为(X 1 ,y 1)(x 2. y 2),诸弦中点坐标为(X ,y ).弦所在直线斜率为k2 2 竺+31 g 4丄两式相减得； —(X 1+x 2) (x 1 - X 2) + 云(y 1+y 2) ( y 1 - y 2) =02 :,2 24x +9y - 4x=0=0,即仝一一本题考查椭圆的性质和应用，解题时要注意点差法的合理运用.2 2—r I — 亠内的点 M (i , i )为中点的弦所在直线方程为 _x+4y — 5=0lb 4考点： 直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程.专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程.分析： 设点M ( i , i )为中点的弦所在直线与椭圆相交于点A (x i , y i ),B (x 2, y 2).利用 点差法”即可得出直线的斜率，再利用点斜式即可得出.解答： 解：设点M (i , i )为中点的弦所在直线与椭圆相交于点A ( x i , y i ),B (x 2, y 2).2 2(纠 + yJ G i 一叩1(2+y 2)( x 2 -164相减得22x/9+2y A 2/4 (x — i ) =0 7 一 '2 24x +9y — 4x=0整理得诸弦中点的轨迹方程： 故答案为4x 2+9y 2 — 4x=0点评： 本题主要考查了椭圆的应用及求轨迹方程的问题•考查了学生对圆锥曲线知识综合的把握.二1的不垂直于对称轴的弦，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，则k AB ?k OM = -丄_ 2~考点： 专题： 分析：椭圆的应用. 计算题. 设 M (a ,b ), A (x i , y i ), B (x 2, y 2),易知 k OM=—，再由点差法可知k AB =a」，由此可求出 k AB ?k OM =2b解答:—JJ解：设 M (a , b ), A (x i , y i ), B (x 2, y 2), •/ M 为 AB 的中点，• x i +x 2=2a , y i +y 2=2b .把A 、B 代入椭圆①—②得(X 1+X 2)( X 1 - X 2)x 12+2y 12=2 ①x 32+2y 23=2 ② +2 (y i +y 2) (y i — y 2) =0,••• 2a (x i — x 2) +4b (y i — y i )=0, S ■?.答案:_b1 2• k AB ?k OM =-—:点评:15.以椭圆,代入上式得又•/14.设AB 是椭圆-- ------ =二，由此能求出以点 P (- 2, 1 )为中点的弦所在的直线方程.2解答:整理，得 故答案为： 本题主要考查椭圆标准方程， 简单几何性质，直线与椭圆的位置关系. 考查运算求解能力，推理论证能力.解 题时要认真审题，注意点差法的合理运用.2，2—^=0故所求的直线方程为 ，解得 k AB =-「-—：,化为 x+4y - 5=0 •故答案为x+4y - 5=0 •点评：本题考查了直线与椭圆相交的中点弦问题和 点差法”等基础知识与基本方法，属于中档题.P (- 2, 1 )为中点的弦所在的直线方程为 x - 2y+4=0考点： 专题： 分析：直线与圆锥曲线的综合问题. 计算题. 设以点P (- 2, 1)为中点的弦所在的直线与椭圆(X2, y 2),由点 P (- 2,1)是线段AB 的中点，知，把 A (x 1, y 1), B (x 2, y 2)代入椭圆2 2x +4y =16，由点差法得到k= 解：设以点P (- 2, 1 )为中点的弦所在的直线与椭圆+ - 16 4=1 交于 A (X 1, y 1), B (x 2, y 2),•••点P (- 2, 1)是线段AB 的中点,山5二22 2把 A (X 1, y 1) , B (x 2, y 2)代入椭圆 x +4y =16,巧2十4卩/二16 ① 七铃4卩2‘=1&②①—② 得(x 1+x 2) (x 1 - x 2) +4 (y 1+y 2) (y 1 - y 2) • - 4 (x 1 - x 2) +8 (y 1 - y 2) =0,=0,k=•••以点P (-2, 1)为中点的弦所在的直线方程为 点评:x - 2y+4=0 • x - 2y+4=0 •16 •在椭圆 =1 交于 A (X I ，y 1)，B17•直线y=x+2被椭圆x 2+2y 2=4截得的线段的中点坐标是（-皀，2）.—3 3 —考点：直线和圆的方程的应用；直线与圆的位置关系. 专题：计算题.分析：直线方程与椭圆方程联立，可得交点横坐标，从而可得线段的中点坐标. 解答： 解：将直线y=x+2代入椭圆x 2+2y 2=4，消元可得3X 2+8X +4=0/• x= - 2 或 x=-—3 -2 --•••中点横坐标是 ---------- =-一，代入直线方程可得中点纵坐标为-+2=,2 3 33•直线y=x+2被椭圆x 2+2y 2=4截得的线段的中点坐标是 （-彳，—）33故答案为：:二二3 3点评：本题考查中点坐标的求解，解题的关键是直线与椭圆方程联立，求得交点横坐标.三.解答题（共13小题）18.求以坐标轴为对称轴，一焦点为 5逅）且截直线y=3x - 2所得弦的中点的横坐标为g 的椭圆方程.本题给出焦点在 y 轴上的一个椭圆，在已知椭圆被直线截得弦的中点横坐标的情况下，求椭圆的方程，着 重考查了椭圆的标准方程、简单几何性质和直线与椭圆位置关系等知识，属于中档题.2 219. 已知M （4, 2）是直线I 被椭圆x +4y =36所截的弦AB 的中点，其直线I 的方程.考点： 专题： 分析：椭圆的标准方程.计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题. 由题意，设椭圆方程为2 2厘一+」二1，与直线y=3x - 2消去y 得关于x 的 a 2 b £元二次方程.利用根与系数的关解答:系结合中点坐标公式， 得X 1+x 2=12泌a 21-9b 2=1,再由椭圆的c=H :,得a 2- b 2=50,两式联解得a 2=75, b 2=25 ,从而得到所求椭圆的方程.解：T 椭圆一个焦点为•椭圆是焦点在y 轴的椭圆，设方程为将椭圆方程与直线 y=3x - 2消去y ,得 设直线y=3x - 2与椭圆交点为 A （X 1,2 2, I (a >b > 0)a b(a 2+9b 2) x 2- 12b 2x+4b 2- a 2b 2=0 y 1), B (x 2, y 2)• X 1+X 2=12以a 2'r ：•打)2=50…②一 2 — . 2=1…①又■/ a 2 - b 2=( •①②联解，得a 2=75 , b 2=25因此，所求椭圆的方程为:2 275+25 = 1点评:1.16 Q考点： 直线与圆相交的性质. 专题： 计算题. 分析：设直线l 的方程为y -2=k (x - 4)，代入椭圆的方程化简，由X 1+X 2=E" 一止*=8解得k 值，即得直线1l+4k 2的方程.解答： 解：由题意得，斜率存在，设为k ,则直线l 的方程为y - 2=k (x - 4),即kx - y+2 - 4k=0, 代入椭圆的方程化简得：(1+4k 2) x 2+ (16k - 32k 2) x+64k 2 - 64k - 20=0,32k 2-L6kR 曰1--x1+x2==8，解得：k=l+4k 22则直线l 的方程为x+2y - 8=0 .点评： 本题考查了直线与圆相交的性质，一兀二次方程根与系数的关系，线段的中点公式，得到(1+4k 2) x 2+ (16k-32k 2) x+64k 2- 64k - 20=0，是解题的关键.20. 已知一直线与椭圆 4x 2+9y 2=36相交于A 、B 两点，弦AB 的中点坐标为 M (1, 1),求直线AB 的方程.考点：直线与圆锥曲线的综合问题. 专题：综合题.分析：设出直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦AB 的中点坐标为 M (1 , 1),求出斜率，即可求得直线AB 的方程.解答：解：设通过点 M (1,1)的直线方程为y=k (x - 1) +1，代入椭圆方程，整理得(9k 2+4) x 2+18k (1 - k ) x+9 (1 - k ) 2 - 36=0 设A 、B 的横坐标分别为X 1、x 2，则I'，22 (9以+4) 解之得k=q故AB 方程为：二二:■:| -,即所求的方程为 4x+9y - 13=0.点评：本题考查直线与椭圆的综合，考查弦中点问题，解题的关键是直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理求解.，求以点P (2,- 1)为中点的弦AB 所在的直线方程.考点： 直线的一般式方程；中点坐标公式；直线与圆锥曲线的关系. 专题： 计算题.分析： 先设出弦所在的直线方程，然后与椭圆方程联立；设两端点的坐标，根据韦达求出X 1+X 2，进而求得弦所在的直线的斜率，进而利用点斜式求得该直线的方程.解答：解：设弦AB 所在的直线方程为 y - (- 1) =k (x - 2),即y=kx - 2k - 1.、 2,消去 y 得 x +4 ( kx - 2k - 1)整理得(1+4k 2) x 2- 8k (2k+1) x+4 (2k+1) 2 - 16=0 (1)21.已知椭圆 22- 16=0 ,443因为P (2,- 1为弦AB 中点,代入方程(1)，验证△> 0，合题意.所以弦AB 所在直线的方程为吒K-么即x-2y-4=0.点评：本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的关系.在解决弦长的中点问题，联立直线方程和椭圆方程, 利用韦达定理，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化，达到解决问题的目的.22. 已知椭圆与双曲线 2x 2- 2y 2=l 共焦点，且过( 「・')(1) 求椭圆的标准方程.(2) 求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程.椭圆的标准方程；轨迹方程. 计算题.(1) 求出双曲线的焦点，由此设出椭圆方程，把点( .：，0)代入椭圆方程，求出待定系数即得所求的椭圆方程. (2)设斜率为2的弦所在直线的方程为 y=2x+b ，弦的中点坐标为(x , y ),把y=2x+b 代入椭圆的方程， y= - — x ，求出直线y=2x+b 和椭圆相切时的b 值，即4得轨迹方程中自变量 x 的范围.I-- --------------- 2••• W —F — I"艮卩汇=2, •••椭圆方程为-^"4- y'=1 . / / 一 1 乙的弦所在直线的方程为 y=2x+b ，弦的中点坐标为(x , y ),则1x .4令厶=0, 64b 2- 36 (2b 2- 2) =0,即b=出，所以斜率为2且与椭圆相切的直线方程为 y=2x 出所以平行弦得中点轨迹方程为：y= -- x (-倉本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，以及简单性质的应用；求点的轨迹方程的方法，求轨迹方程中 自变量x 的范围，是解题的易错点.8b2bd •2 29x +8xb+2b - 2=0 , • x i +x 2= 2)，所以有g+辺业倔+1)l+4k 2所以屮贰即强⑵+；) 1£ 1+41〃汕解得哙考点： 专题： 分析：利用一元二次方程根与系数的关系，求出轨迹方程为 解答:解：(1 )依题意得，将双曲线方程标准化为•/椭圆与双曲线共焦点，•设椭圆方程为/ 2y=2x+b 且=1 得， 即x= -两式消掉9 9即当 x= ±时斜率为2的直线与椭圆相切. (2)依题意，设斜率为 2点评:所以：x i +x 2=-2 223. 直线I : x - 2y - 4=0与椭圆x +my =16相交于A 、B 两点，弦AB 的中点为P (2, - 1). (1 )求m 的值；(2) 设椭圆的中心为 0,求厶AOB 的面积.椭圆的应用；中点坐标公式；点到直线的距离公式. 计算题；压轴题. (1)先把直线方程与椭圆方程联立消去 y ,根据韦达定理求得 x i +x 2的表达式，进而根据其中点的坐标求 得m . (2)把(1)中求得椭圆方程与直线方程联立消去 y ,进而根据韦达定理求得X 1x 2的值，进而求得出|AB| 的距离和坐标原点到直线的距离，进而根据三角形面积公式求得答案.2mx 1+x 2= =4，贝y m=4• I X 1X 2=0坐标原点0到直线x - 2y - 4=0的距离为•三角形ABC 的面积为-^|AB| X d=4本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系，点到直线的距离公式等，考查了学生综合分析问题和推 理的能力.k AB ?k OM 为定值.考点： 专题： 分析：解答:解：(1):-x - 2y - 4=0工^16消去 y ,整理得(卫+1) x 2- 2mx+4m - 16=04(2)由(1)知.K - 2y~ 4=0x，消去点评:24. AB 是椭圆2 2■ - ''中不平行于对称轴的一条弦,,I/M 是AB 的中点，0是椭圆的中心,求证:考点： 专题： 分析： 解答:椭圆的应用. 证明题.设出直线方程，与椭圆方程联立消去y ，根据韦达定理求得 X 1+X 2，的表达式，根据直线方程求得表达式，进而根据点M 为AB 的中点，表示出M 的横坐标和纵坐标，求得直线OM 的斜率，进而代入 中求得结果为定值，原式得证.证明：设直线为：y=kx+c2 2 x 丄F n 飞百1 la b2- a 2b 2=0，即(b 2+k 2a 2) x 2+2a 2kcx+a 2 (c 2 - b 2) =0联立椭圆和直线2 2 2b x +a (kx+c )消去y 得 y i +y 2 的k AB ?k OM ••• |AB■： I I ■=2'=0 .2盖(疋 —乂)(y 2 - y i ) (X - 1) = (X 2- X 1) (y - 2).再由点差法知 ---------------- T 一—1U2 29x +16y - 9x - 32y=0 .解答： 解：设弦中点为 M (x , y ),父点为A(X 1, y 1), B (x 2, y 2).当M 与P 不重合时，A 、B 、M 、P 四点共线.16所以，M 点的横坐标为：M x =— ( X 1+X 2)=-又：y i = kx i +cy 2=kx 2+c点评：本题主要考查了椭圆的应用•涉及弦长问题，禾U 用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题, 利用差分法较为简便.),直线I 经过点P 并与椭圆C 交于A 、B 两点，求当I 的倾斜角变化时,弦中点的轨迹方程.b 2 b.. ?\ = a 2kk AB ?k OM =k >所以 y i +y 2=k (X 1+X 2)+2c=(y"y2)=所以:25.已知椭圆C :，由此可得:(y 2-y 1) (X - 1) = (X 2-X 1) (y -2),①又 X 1+X 2=2X , y 1+y 2=2y ,由①② 可得：9x 2+16y 2- 9x - 32y=0,③考点：轨迹方程.专题：综合题.分析：设弦中点为M ( x, y),父点为A (X1, y1) , B ( x2, y2).当M与P不重合时，A、B、M、P四点共线.故=0 .2 当点M 与点P 重合时，点M 坐标为(1, 2)适合方程③， •••弦中点的轨迹方程为：9x 2+16y 2- 9x - 32y=0 .点评：本题考查轨迹方程的求法，解题时要注意点差法的合理运用.26•已知椭圆专心.(1)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;(2)过A (2, 1)的直线I 与椭圆相交，求I 被截得的弦的中点轨迹方程;⑶过点且被P 点平分的弦所在的直线方程•(门设弦的两端点分别为M(X 1, y i ), N (X 2, y 2),中点为R (x , y )，则K /十J 二2，K,十『二2，9- 代入式①，得所求的轨迹方程为 x+4y=0 (椭圆内部分).(2)可设直线方程为 y -仁k (x - 2) (k 用，否则与椭圆相切)， 设两交点分别为(X 3, y 3), (x 4, y 4),考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题. 专题： 综合题. 解答:2的平行弦的中点轨迹方程.(2)设直线方程为y -( x - 2),设两交点分别为(X 3, y 3), (X 4, y 4),则一 /】交于 E (X 5 , y 5) , F (X 6 , y 6),由 P■w知 X 5+X 6=1 , y 5+y 6=1 ,把 E (X 5, y 5) , F ( X 6 , y 6)代入与:| -丄.二)且被P 点平分的弦所在的直线方程.解：(1 )设弦的两端点分别为 M (X 1 , y 1 ) , N (X 2 , y 2)的中点为R(X, y ),a®一)是EF 的中点,-,由此能求出过分析:者由此能求出斜率为两式相减得=0,由此能求出I 被截(3)设过点P (寺寺的直线与两式相减并整理可得2将显然X 3孜4 （两点不重合），（%+%）5 - ％；1 二口£ I |* 3令中点坐标为（x ，y ），•过点P （£, g ）且被P 点平分的弦所在的直线方程： y 一 £二—£ （蓋_ +）,即 2x+4y - 3=0 .点评：本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，是中档题•解题时要认真审题，注意点差法的合理运用.27. 已知椭圆-y+y 2=l .（1）求过点Pg ）且被点P 平分的弦所在直线的方程；（2） 求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3） 过点A （2, 1 ）弓|直线与椭圆交于 B 、C 两点，求截得的弦 BC 中点的轨迹方程.考点：圆锥曲线的轨迹问题；直线与圆锥曲线的综合问题.则2，两式相减得=0, 故 x+2y?k=x+2y 」_=0,即所求轨迹方程为 x 2+2y 2- 2x - 2y=0 （夹在椭圆内的部分）（3）设过点p （g 2 ••• P （&•丄）是EF 的中点,2- 二）的直线与—— .：■].交于 E （X 5，y 5），F （X 6, y 6），• •• x 5+x 6=1 , y 5+y 6=1 ,把 E (X 5, y 5) , F (x 6, y 6)代入与72x5 +2y 5 =2 o 2'z6 +肘呂=2(x 5+x 6) (x 5- x 6) +2 (y 5+y 6) (y 5 - y 6) =0 ,(X5 - x 6) +2 (y 5 - y 6) =0,则 x+2y?4又（x , y ）在直线上，所以显然综合题. (1) 设出两个交点坐标，禾U 用两点在椭圆上，代入椭圆方程，禾U 用点差法，求斜率，再代入直线的点斜式 方程即可.(2) 同(1)类似，设出这一系列的弦与椭圆的交点坐标，代入椭圆方程，禾U 用点差法，求斜率，再让斜 率等于2，化简，即可得斜率为 2的平行弦的中点轨迹方程.点的轨迹方程.解：(1 )设过点P (丄・丄)且被点P 平分的弦与椭圆交与 A (x i , y 1), B (x 2, y 2)点,2 2,y 2_yl-x2 _ x 12亿+卩］)(2)设斜率为2的平行弦的中点坐标为(x , y ),1)引的直线斜率不存在时，方程为 x=2，与椭圆无交点2 2x - 2x+2y - 2y=0 .则根据中点弦的斜率公式，有-亠2(3)当过点A (2, 1)弓I 的直线斜率存在时，设方程为 y -仁k (x - 2),得(2+k 2) /+2 (1 -代入椭圆方程，消22k ) kx+4k - 4k=0Zk (2k- 1)-2H1,y 1+y 2=■.y ,设弦BC 中点坐标为(x ,专题： 分析：(3)设出直线BC 方程，用参数k 表示K ] 4]辺y 】+珂2 ，2，再利用中点坐标公式，消去k ，即可得弦BC 中解答:2-4 Cy 2)J ②即，弦AB 的斜率为「1•方程为y -二=「( x -V - 1. s ：__2 (y-1)J x-2-①，整理得 x 2- 2x+2y 2- 2y=0又•/ k= 当过点A (2,•••所求弦BC 中点的轨迹方程为点评：本题主要考查了点差法求中点弦的斜率，属于圆锥曲线的常规题.28.已知某椭圆的焦点是 □( - 4,0)、F 2(4,0),过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B,且|F 1B|+|F 2B|=1O ,椭圆上不同的两点 A (X 1, y i )、c ( x 2, y 2)满足条件：|F 2A|、|F 2B|、|F 2C|成等差数列. (I )求该椭圆的方程； (n )求弦AC 中点的横坐标.考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系. 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析：(1)根据椭圆定义结合已知条件，得 |F i B|+|F 2B|=10=2a 可得a=5.由c=4算出b=3，即可得出该椭圆的方 程；(2)由点B (4, y B )在椭圆上，禾U 用椭圆方程算出 y B —.再根据圆锥曲线统一定义，算出|F 2A|、|F 2C|15|关于它们的横坐标 X I 、X 2的式子，由|F 2A|、|F 2B|、|F 2C|成等差数列建立关系式算出X 1+X 2=8，最后利用中点坐标公式，即可算出弦AC 中点的横坐标. 解答： 解：(1)由椭圆定义及条件，可得 2a=|F i B|+|F 2B|=10，得 a=5.又••• c=4, • b=|,-=3.因此可得该椭圆方程为2 2fe +V =1。
圆锥曲线中点弦直角弦焦点弦三大弦案
圆锥曲线中点弦直角弦焦点弦三大弦案一、用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题我们可以使用“点差法”来解决圆锥曲线的中点弦问题，即将弦的端点坐标代入圆锥曲线方程并作差，得到一个关于弦的中点和斜率的式子，从而减少运算量。
例1：对于椭圆x^2/4+y^2/2=1，如果AB是不平行于对称轴的弦，M是其中点，那么我们可以使用点差法证明K_AB=-2b^2/2a^2.例2：对于双曲线x^2/4-y^2/9=1，如果AB是不平行于对称轴的弦，M是其中点，那么我们可以使用点差法证明K_AB=2b^2/2a^2.二、直角弦对于椭圆x^2/8+y^2/4=1上的点P(2,2)，我们可以通过作两条互相垂直的XXX和PB来求直线AB的方程。
例2：对于双曲线-x^2/4+y^2/1=1的顶点M(2,0)，如果过M作两条互相垂直的直线与椭圆x^2/8+y^2/4=1相交于A、B 两点，我们需要判断直线AB是否过定点。
例3：对于抛物线y^2=2x上的点M(2,2)，我们可以通过作两条互相垂直的弦MP和MQ来求直线AB过的定点。
例4：对于椭圆x^2/84+y^2/36=1，如果OA垂直OB，且直线AB的斜率为1，我们需要求直线AB的方程。
三、焦点弦1、对于抛物线y=x^2上的点P，如果线段PF1垂直于F1F2且PF1=8，我们需要求过P且倾斜角为θ的直线与抛物线的交点。
2、对于椭圆x^2/9+y^2/4=1，如果点P(3,0)在其上，且线段F1P和F2P的长度之和为10，我们需要求离心率。
3、对于双曲线x^2/16-y^2/9=1，如果其右焦点为(5,0)，且过点P(1,2)且斜率为k的直线与双曲线交于两点，我们需要求离心率。
4、对于椭圆x^2/16+y^2/9=1，如果其左、右焦点分别为(-3,0)和(3,0)，过点P(0,2)的直线与椭圆交于A、B两点，且A、B关于点M(0,-2)对称，我们需要求四边形面积的最小值。
练：1、对于椭圆x^2/4+y^2/2=1，如果点P在其上，且PF1垂直于F1F2且PF1=4，PF2=3，我们需要求椭圆的标准方程和直线l的方程。
圆锥曲线_经典例题
（1）中点弦问题：（上题麻烦了。
是圆不用中点法）（2）轨迹以及弦长最大问题。
（3）利用通径最断解题（4）利用第二定义求离心率?我在楼上说的方法不很好，有焦点弦和准线了，当然要想第二定义过P做PD垂直准线于D,那么可得,PF/PD=e,PD/PM=1/2所以PF/e=1/2PM,又PF/PM=sin60/sin45=根3/根2,所以最终可得离心率为根6 ?????????和楼上算的怎么不一样?（5）抛物线的一证明，过抛物线焦点F 的直线交抛物线于A,B 两点,通过点A 和抛物线的顶点的直线与抛物线的准线交于点D,求证:直线DB 平行于抛物线的对称轴.我没搞懂为什么必须用平几？为什么学解析几何，就是想把我们从烦琐的平几中解放出来，前人开创这个来干吗的呀？建系我就不说了，看图加解答。
令22y px=，1122(,),(,)A x y B x y ，:()2p A B y k x =-连立两方程消x 可得212y y p =-，其实这是一个结论又令0(,)2p D y -，则01101122y y y p y p x x =⇒=--，又2112y x p=，则有2021p y y y -==。
完（6）抛物线（7）很好的一题，圆锥曲线都实用这题的问题不在思路上，而是在计算上。
看我的。
这题做了你们可以自己再去做下05江西文21题。
练练。
第一问我不想说了就是重新高考的思路，算出椭圆方程为22340x y +-=（为哈要弄成这样？因为一般式对于一会直线联立不容易出错，我的习惯）开动了。
分析下意思，就是直线CP 与直线CQ 要关于C 点对称才行。
所以这题思路，令出两直线方程，都过C 点，斜率相反数，解出两点坐标，算出斜率为定。
解：若斜率不存在，CP ，CQ 重合，故两直线都有斜率，令:(1)11C P y k x kx k =-+=-+。
:(1)11C Q y k x kx k =--+=-++由222221(13)6(1)3610340y kx k k x k k x k k x y =-+⎧⇒+--+--=⎨+-=⎩，从这里就要解出P x 来。
圆锥曲线中点弦典型例题及解析
01
总结词
这类问题主要考察了圆锥曲线与切线相关的性质和定理，需要利用切线
性质和圆锥曲线的定义来解决。
02
详细描述
在解决与切线相关的问题时，我们需要利用圆锥曲线的切线性质和定义，
结合题目给出的条件，推导出与中点弦相关的方程或不等式，进而求解。
03
示例
已知抛物线C的方程为y^2 = 2px (p > 0)，过其焦点F作直线与C交于A、
数形结合
将代数问题与几何图形相结合 ，利用几何意义求解。
THANKS
感谢观看
特殊情况
当点$P$为圆锥曲线的焦点时， 中点弦称为焦点弦。
中点弦的性质
垂直性质
角度性质
中点弦所在的直线与过点$P$的切线 垂直。
中点弦与切线之间的夹角等于该弦所 对的圆周角。
长度性质
中点弦的长度与过点$P$的切线长度 成反比。
中点弦的几何意义
中点弦是连接圆锥曲 线上的两个对称点的 线段。
中点弦的长度等于圆 锥曲线上的两个对称 点到点$P$的距离之 和的一半。
详细描述
在解决椭圆的中点弦问题时，需要注意中点 弦的特殊性质。例如，当直线过椭圆中心时， 中点弦即为椭圆本身；当直线的斜率为0或 无穷大时，中点弦的长度为椭圆的长轴或短 轴的长度。这些特殊性质可以帮助我们快速 判断中点弦的性质和范围。
双曲线的中点弦问题
总结词
双曲线的性质和方程
详细描述
双曲线的中点弦问题主要考察了双曲线的性质和方程。解决这类问题需要利用双曲线的 性质，如对称性、开口方向等，以及双曲线的方程，如标准方程、参数方程等。通过联 立直线和双曲线的方程，消元化简，可以得到关于中点弦的方程，进一步求解得到中点
圆锥曲线的中点弦问题
1.在椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)中:(1)如图①所示,若直线y=kx(k≠0)与椭圆E交于A,B两点,过A,B两点作椭圆的切线l,l',有l∥l',设其斜率为k0,则k·k=-b2a2.(2)如图②所示,若直线y=kx与椭圆E交于A,B两点,P为椭圆上异于A,B的点,若直线PA,PB的斜率存在,且分别为k1,k2,则k1·k2=-b2a2.(3)如图③所示,若直线y=kx+m(k≠0且m≠0)与椭圆E交于A,B两点,P为弦AB的中点,设直线PO的斜率为k0,则k·k=-b2a2.2.在双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)中,类比上述结论有:(1)k0·k=b2a2. (2)k1·k2=b2a2. (3)k·k=b2a2.参考答案中点坐标为()1,1-，则椭圆E 的方程为（ ）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y +=5．设椭圆的方程为2222x y a b+=1，直线AB 不经过原点，而且与椭圆相交于A ，B 两点，M 为AB 的中点．若直线AB 的斜率为1，则直线OM 的斜率不可能是（ ） A ．43-B ．916-C ．14-D ．﹣16．已知直线l 与圆222x y r +=交于A 、B 两点，P 线段AB 的中点，则1AB OP k k ⋅=-.试用类比思想，对椭圆写出结论：______.8．已知AB 为抛物线24x y =的一条长度为8的弦，当弦AB 的中点离x 轴最近时，直线AB 的斜率为___________.9．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，虚轴的上端点为B ，点P ，Q 为C 上两点，点()2,1M -为弦PQ 的中点，且//PQ BF ，记双曲线的离心率为e ，则2e =______．交于A、点代入椭圆22221x y a b +=中，22112222222211x y a bx y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，上下两式相减得22221212220x x y y a b --+=，即1212121222()()()()y y y y x x x x b a-+-+=-，所以22201212222121201···AB OP x y y x x b b b k x x a y y a y a k -+==-=-=--+ 即22AB OPb k k a=-8．已知AB 为抛物线24x y =的一条长度为8的弦，当弦AB 的中点离x 轴最近时，直线AB 的斜率为___________. 【答案】±1【详解】由题意得抛物线的准线方程为l ：1y =-，过A 作1AA l ⊥于1A ，过B 作1BB l ⊥于1B ，设弦AB 的中点为M ，过M 作1MM l ⊥于1M ，则1112MM AA BB =+，设抛物线的焦点为F ，则AF BF AB +≥，即118AA BB AF BF +=+≥(当且仅当A ，B ，F 三点共线时等号成立)，所以11128AA BB MM +=≥，解得14MM ≥，即弦AB 的中点到x 轴的最短距离为：413-=，所以点M 的纵坐标为()0,3x ，()11,A x y ，()22,B x y ，()0,1F ，2114x y =，2224x y =，∴所以直线AB 的斜率0121212031420x y y x x k x x x -+-====--，∴02x =±，此时1k =±，当弦AB 的中点离x 轴最近时，直线AB 的斜率为±1，9．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，虚轴的上端点为B ，点P ，Q 为C 上两点，点()2,1M -为弦PQ 的中点，且//PQ BF ，记双曲线的离心率为e ，则2e =______．【答案】212+ 【详解】解法一 由题意知(),0F c ，()0,B b ，则PQBF b k k c==-．设()11,P x y ，()22,Q x y ，则22112222222211x y a bx y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，，两式相减，得()()2121221212b x x y y x x a y y +-=-+．因为PQ 的中点为()2,1M -，所以124x x +=-，122y y +=，又1212PQy y b k x x c -==--，所以2242b b c a--=，整理得22a bc =，所以()42222244a b c c c a ==-，得424410e e --=，得2212e +=． 解法二 由题意知(),0F c ，()0,B b ，则BF bk c=-．设直线PQ 的方程为()12y k x -=+，即21y kx k =++，代入双曲线方程，得()()()222222222221210b a k x a k k x a k a b --+-+-=．设()11,P x y ，()22,Q x y ，结合()2,1M -为PQ 的中点，得()2122222214a k k x x b a k++==--．又BF bk k c ==-，所以222222144b b b a b a c c c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-⋅-+=-+⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，整理得22a bc =，所以()42222244a b c c c a ==-，得424410e e --=，得2212e +=．。
用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题
用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题一、求以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程。
解：设直线与椭圆的交点为、为的中点又、两点在椭圆上，则，两式相减得于是即，故所求直线的方程为，即。
例2、已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于、，且点是线段的中点。
若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由。
解：设存在被点平分的弦，且、则，，两式相减，得故直线由消去，得这说明直线与双曲线不相交，故被点平分的弦不存在，即不存在这样的直线。
策略：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。
由此题可看到中点弦问题中判断点的位置非常重要。
（1）若中点在圆锥曲线内，则被点平分的弦一般存在；（2）若中点在圆锥曲线外，则被点平分的弦可能不存在。
二、求弦的中点坐标和中点轨迹方程例3、已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点，求点的坐标。
解：设弦端点、，弦的中点，则，又，两式相减得即，即点的坐标为。
例4、已知椭圆,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。
解：设弦端点、，弦的中点，则，又，两式相减得即，即，即由，得点在椭圆内它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为三、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例5、已知中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程。
解：设椭圆的方程为，则┅┅①设弦端点、，弦的中点，则，，又，两式相减得即┅┅②联立①②解得，所求椭圆的方程是四、求圆锥曲线上两点关于某直线对称的问题例6、已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。
解：设，为椭圆上关于直线的对称两点，为弦的中点，则，两式相减得，即，，这就是弦中点轨迹方程。
它与直线的交点必须在椭圆内联立，得则必须满足，即，解得例7、已知抛物线C: 和直线为使抛物线上存在关于对称的两点，求的取值范围。
解：设抛物线C上存在不同的两点关于直线对称，线段的中点为，则，①，②① －②可得：＝，即由于，所以，故，即，即。
用点差法解圆锥曲线的中点弦问题
用点差法解圆锥曲线的中点弦问题与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。
解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的 根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点) 坐标为A(x 1, y 1)、B(x 2,y 2)，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法” 。
一、以定点为中点的弦所在直线的方程解：设直线与椭圆的交点为 A(x 1, y 1)、B(x 2, y 2)是线段AB 的中点。
若存在这样的直线 I ，求出它的方程，若不存在，说明理由。
策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。
本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。
解：设存在被点M 平分的弦AB ，且A(x 1, y 1)、B(x 2,y 2)故直线 AB: y 12(x 1)y 1 2(x 1) 由 2 y 2消去y ，得2x 2 4x 3 0x12 2(4)4 2 3 8 0评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。
由此题可看到中点弦问题 中判断点的M 位置非常重要。
(1)若中点M 在圆锥曲线内，则被点 M 平分的弦一般存在；(2)若 中点M 在圆锥曲线外，则被点 M 平分的弦可能不存在。
二、 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹2 2例3、已知椭圆 ——1的一条弦的斜率为 3，它与直线x75 25点M 的坐标。
x 2例1、过椭圆乞162y1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被 4 M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
M (2, 1)为AB 的中点X 1 X 2 4 y 1 y 2 2 又A 、 B 两点在椭圆上，则2 X14y2 .2 2 16，X24y 2两式相减得(才 X 22) 4( y.2 y 2) 0于是(x 1X 2)(X 1 X 2)4(y 1y 2)( y 1 y 2) 0 y 1y 2 X 1 X 241x-i x 24( y 1 y 2)4 22即k AB1，故所求直线的方程为y 11-(x 2)，即2216x 2y 4 0。
圆锥曲线中点弦问题
x2 y 2 例2：已知（4, 2）是直线l被椭圆 =1所截得 36 9 的线段的中点，则直线l的方程是____________
点评：有关弦中点轨迹、中点弦所在直线的方程，中点坐 标的问题，有时采用“平方差”法，可优化解题方法，简化运 算．
2 y 已知双曲线x2 - =1上存在两点M,N关于直线 3 2 y=x+m对称,且MN的中点在抛物线y =18x上，
2
（2012·福建高考文科·Ｔ21）如图，等边三角
y
OAB 的边长为 8 3 ，且其三个顶点均在抛物线 E：x源自2 2 py ( p 0) 上．
A
B
（Ⅰ）求抛物线 E 的方程； 点 Q．证明以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上某定点．
O
（Ⅱ） 设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P，与直线 y 1 相交于
（海南）已知抛物线 C 的顶点坐标为原点，焦点在 x 轴上， 直线 y=x 与抛物线 C 交于 A，B 两点，若 P（2,2）为 AB 的中点，则抛物线 C 的方程为 。
考向二 抛物线中点弦问题 例4 [2014· 孝感统考] 若点(3， 1)是抛物线 y2＝2px(p>0) 的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为 2，则 p 的值为 ( ) A．4 B．3 C．2 D．1
考向一 例3
求中点弦所在的直线方程 x2 y2 已知(1，2)是直线 l 被椭圆 4 ＋12＝1 所截得的线段
的中点，则 l 的方程是________．
（ 2013 · 新 课 标 Ⅰ 高 考 理 科 · Ｔ 10 ） 已 知 椭 圆 E ：
x2 y2 2 1(a b 0) 的右焦点 F（3,0） 2 ，过点 F 的直线交 E 于 A,B a b
有关圆锥曲线的中点弦问题
有关圆锥曲线的中点弦问题与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。
中点弦问题是高中解析几何模块中的一类重要题型，也是高考的一个热点问题之一。
身为高中数学教师，研究好其解法及常见类型很有必要。
1.中点弦问题的主要解法解法一：解方程组法例1过点A(2,1)的直线与椭圆x216+y29=1相交于P,Q两点，若点A恰好是线段PQ的中点，求直线PQ的方程。
解：设P（x1,y1 ）, Q( x2,y2),设直线PQ的斜率为k,则直线PQ的方程为：y-1 = k(x-2) ,解方程组y=k(x－2)+1x216+y29=1 ，将直线方程代入椭圆方程，消去y并整理得（16k2+9）x2+(-64 k2+32k)x+(64k2-64k-128)=0因为直线与椭圆有两个交点，所以△＞0，由根与系数的关系，有x1+x2=64k2－32k16k2+9，∵点A恰好是线段PQ的中点，由中点坐标公式，有x1+x22=2∴64k2－32k16k2+9=4解之得，k=-98,将k=-98代入直线方程y-1 = k(x-2)得所求直线方程为9x+ 8y-26=0解法二：点差法例2过点A(2,1)的直线与椭圆x216+y29=1相交于P,Q两点，若点A恰好是线段PQ的中点，求直线PQ的方程。
解：设P（x1, y1）, Q(x2,y2),因为直线PQ与椭圆x216+y29=1相交于P,Q两点，所以P,Q两点在椭圆上，所以有x21 16 + y21 9=1x22 16 + y22 9=1两式相减得：(x1－x2)(x1+x2)16+(y1－y2)(y1+y2)9=0∴(x1－x2)(x1+x2)16=-(y1－y2)(y1+y2)9∴y2－y1x2－x1=－9(x1+x2)16(y1+y2)又∵k =y2－y1x2－x1, x1+x22=2,y1+y22=1∴k=-98由点斜式，得直线PQ的方程为：y-1=-98(x-2)即9x+8y-26=0解法三：中点转移法例3过点A(2,1)的直线与椭圆x216+y29=1相交于P,Q两点，若点A恰好是线段PQ的中点，求直线PQ的方程。
专题46圆锥曲线中与中点相关的问题
1专题46圆锥曲线中与中点相关的问题知识必备直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，一般有以下三中类型： （1）求中点弦所在直线方程问题； （2）求弦中点的轨迹方程问题； （3）求弦中点的坐标问题. 常见结论如下： （1）椭圆x 2a 2y 2b 2=1，直线y =kx m 相交于A ，B 两点，M 为线段AB 中点，O 为直角坐标系原点，则有k OM ⋅k AB =b 2a 2（注意此处a ，b 只和位置相关，与大小无关）.（2）双曲线x 2a 2y 2b 2=1，直线y =kx m 相交于A ，B 两点，M 为线段AB 中点，O 为直角坐标系原点，则有k OM ⋅k AB =b 2a 2（注意此处a ，b 只和位置相关，与前后无关）.（3）抛物线y 2=2px ，直线y =kx m 相交于A ，B 两点，M 为线段AB 中点，O 为直角坐标系原点，则有y M ⋅k AB =p.典型例题考点一弦中点的应用【例题1】直线y =x 1被椭圆x 24y 22=1所截得弦的中点坐标为（ ）A (23，53) B (43，73) C (23，13) D (43，13)【例题2】若椭圆x 236y 29=1的弦被点(4，2)平分，则此弦所在直线的斜率为________【例题3】椭圆4x 29y 2=144内有一点P (3，2)过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的方程为________ 【例题4】已知椭圆x 2a 2y 2b 2=1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x y 5=0，弦的中点坐标是M (4，1)，则椭圆的离心率是________【例题5】椭圆ax 2by 2=1(a >0，b >0，a ≠b )与直线y =12x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为√32，则ab 的值为________【例题6】若直线y =kx 2与抛物线y 2=8x 交于A 、B 两点，若线段AB 的中点的横坐标是2，则|AB |=__________【例题7】已知椭圆E：x 2a2y2b 2=1(a>b >0)的右焦点为F(4，0)，过点F的直线交椭圆于A ，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为（）A x248y216=1B x236y212=1C x224y28=1D x212y24=1【例题8】双曲线x2y 23=1上两点A，B关于直线y=x1对称，则直线AB方程为（）A y=x B y=x1C y=x1D y=x12【例题9】已知椭圆x 22y2=1上上在在相两两点关于直线y=x t上对称，则实数t上的值值围是是________【例题10】如图，已知椭圆x 22y2=1的左焦点为F，O坐标原点，设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B上两点，线段AB上的垂直平分线与x上轴交于点G上，则点G上横坐标的值值围是为________【例题11】已知双曲线C：x 2a2y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且斜率为13上的直线交双曲线于A，B上两点，线段AB上的垂直平分线恰过点F2上，则该双曲线的离心率为（）A√6B√5C√62D√52【例题12】已知椭圆G：x 2a2y2b2=1(a>b>0)的离心率为√63，右焦点为(2√2，0)，斜率为1的直线l与椭圆G交与A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(3，2).（1）求椭圆G的方程；（2）求△PAB的面积.【例题13】已知椭圆E：x 2a2y2b2=1(a>b>0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c，0)，(0，b)的直线的距离为12c（1）求椭圆E的离心率；（2）如图，AB是圆M：(x2)2(y1)2=52的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程.23【例题14】已知抛物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点F 在x 铀上，过点(2，0)的直线交C 于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ ，线段PQ 的中点为M ，则直线MF 的斜率的最大值为（ ） A√66 B12C√22D 14。
圆锥曲线中的典型问题与方法：圆锥曲线解题技巧和方法综合
圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。
如：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有0220=+k b y a x 。
（2）)0,0(12222>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有0220=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.典型例题 给定双曲线x y 2221-=。
过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。
（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。
典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b 22221+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。
（1）求证离心率βαβαsin sin )sin(++=e ；（2）求|||PF PF 1323+的最值。
（3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。
典型例题抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。
y p x p x y t x 210=+>+=()()（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点（2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。
圆锥曲线专题：中点弦及点差法的7种常见考法高二数学上学期同步讲与练(选择性必修第一册)(解析版)
圆锥曲线专题：中点弦及点差法的7种常见考法一、椭圆与双曲线的中点弦与点差法1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线l (不平行于y 轴)过椭圆12222=+by a x (0>>b a )上两点A 、B ，其中AB 中点为)(00y x P ，，则有22ab k k OPAB -=⋅。
证明：设)(11y x A ，、)(22y x B ，，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+11222222221221b y a x by a x ，上式减下式得02222122221=-+-b y y a x x ，∴2222212221a b x x y y -=--，∴220021210021212121212122a b x y x x y y x y x x y y x x y y x x y y -=⋅--=⋅--=++⋅--，∴22a b k k OP AB -=⋅。
焦点在y 轴：直线l (存在斜率)过椭圆12222=+bx a y (0>>b a )上两点A 、B ，线段AB 中点为)(00y x P ，，则有22ba k k OPAB -=⋅。
3、双曲线的用点差法同理，可得220220()AB AB OP x b b k k k a y a=⋅⋅=二、抛物线的中点弦与点差法设直线与曲线的两个交点)(11y x A ，、)(22y x B ，，中点坐标为)(00y x P ，代入抛物线方程，2112=y px ，2222=y px ，将两式相减，可得()()()1212122-+=-y y y y p x x ，整理可得：12121202-===-+AB y y p pk x x y y y三、点差法在圆锥曲线中的结论AB AB M AB AB M AB AB AB AB b e x a y k k k x ab e b e x a y k k k x a y b e pk y pk y x k px k p222002222220222011-y 1111⎧-=-⇔⎪⎪==⎨⎪=⇔⎪-⎩⎧=-⇔⎪⎪==⎨⎪=⇔⎪-⎩⎧=⇔⎪⎪⎪⎪=-⇔⎪⎨⎪=⇔⎪⎪⎪=-⇔⎪⎩gg gg 焦点在轴椭圆：焦点在轴焦点在轴双曲线：焦点在轴开口向右开口向左抛物线：开口向上开口向下题型一中点弦所在直线的斜率与方程【例1】已知椭圆22195x y +=的弦被点()1,1平分，则这条弦所在的直线方程为______.【答案】59140x y +-=【解析】已知椭圆22195x y +=的弦被点()1,1平分，设这条弦的两个端点分别为()11,A x y 、()22,B x y ，则12121212x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，得121222x x y y +=⎧⎨+=⎩，由于点A 、B 均在椭圆22195x y +=上，则22112222195195x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得22221212095x x y y --+=，可得2212221259y y x x -=--，即()()()()1212121259y y y y x x x x -+=--+，所以直线AB 的斜率为121259AB y y k x x -==--，因此，这条弦所在直线的方程为()5119y x -=--，即59140x y +-=.故答案为：59140x y +-=.【变式1-1】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，直线12y x =-与直线l 的交点恰好为线段AB 的中点，则直线l 的斜率为（）A．12B．14C．1D．4【答案】C【解析】由题意可得2c e a ==，整理可得a =．设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211221x y a b +=，2222221x y a b+=两式相减可得()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-++=．因为直线12y x =-与直线l 的交点恰好为线段AB 的中点，所以121212y y x x +=-+，则直线l 的斜率21212212121(2)12y y x x b k x x a y y -+==-⋅=-⨯-=-+．故选：C 【变式1-2】已知双曲线22142x y -=被直线截得的弦AB ，弦的中点为M （4，2），则直线AB 的斜率为（）A．1D．2【答案】A【解析】设交点坐标分别为1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则128x x +=，124y y +=，2211142x y -=，2222142x y -=两式相减可得22221212042x x y y ---=，即()()()()1212121242x x x x y y y y +-+-=，所以()()121212122248144AB x x y y k x x y y +-⨯====-+⨯，即直线AB 的斜率为1；故选：A．【变式1-3】过点(2,1)M 的直线交抛物线24y x =于,A B 两点，当点M 恰好为AB 的中点时，直线AB 的方程为（）A．250x y +-=B．210x y --=C．250x y +-=D．230x y --=【答案】D【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，所以2211224,4y x y x ==，两式相减得，()()()1212124y y y y x x +-=-，因为点(2,1)M 为AB 的中点，所以122y y +=，所以12122y y x x --=，故直线AB 的斜率为2，所以直线AB 的方程为()122y x -=-，即230x y --=，联立22304x y y x--=⎧⎨=⎩，所以241690x x -+=，()2164490∆=--⨯⨯>，故斜率为2符合题意，因此直线AB 的方程为230x y --=，故选：D.【变式1-4】已知斜率为1k ()10k ≠的直线l 与椭圆2214yx +=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为C ，直线OC （O 为坐标原点）的斜率为2k ，则12k k ⋅=（）A．14-B．4-C．12-D．2-【答案】B【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点()00,C x y ，则1202x x x +=，1202y y y +=.因为A ，B 两点在椭圆上，所以221114y x +=，222214y x +=.两式相减得：()22222112104x y x y -+=-，()()()()11112222104x x y y x x y y +-+-+=，()()0122011202x y x y y x --+=，()()2102011202y y y x x x --+=，即121202k k +⋅=，解得124k k ⋅=-.故选：B【变式1-5】椭圆()222210x y a b a b +=>>离心率为3，直线20x y b -+=与椭圆交于P ，Q 两点，且PQ 中点为E ，O 为原点，则直线OE 的斜率是_______．【答案】43-【解析】因为椭圆()222210x y a b a b +=>>所以3c e a ==，所以2223b a =设()11,P x y ，()22,Q x y ，所以121212PQ y y k x x -==-，1212,22x x y y E ++⎛⎫⎪⎝⎭，因为P ，Q 在椭圆上，所以22112222222211x y a b x y ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得22221212220x x y y a b --+=，即2221222212y y b x x a -=--，即()()()()1212121223y y y y x x x x -+-=-+，即23PQ OE k k ⋅=-，所以43OE k =-，故答案为：43-【变式1-6】已知离心率为12的椭圆()222210y x a b a b+=>>内有个内接三角形ABC ，O 为坐标原点，边AB BC AC 、、的中点分别为D E F 、、，直线AB BC AC 、、的斜率分别为123k k k ，，，且均不为0，若直线OD OE OF 、、斜率之和为1，则123111k k k ++=（）A．43-B．43C．34-D．34【答案】C【解析】由题意可得12c a =，所以2243,b a =不妨设为22143y x +=.设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，222211221,14343y x y x +=+=，两式作差得21212121()()()()34x x x x y y y y -+-+=-，则21212121()3()()4()x x y y y y x x +-=-+-，134OD AB k k =-，同理可得1313,44OF OE AC BC k k k =-=-，所以12311133()44OD OE OF k k k k k k ++=-++=-，故选：C ．题型二求圆锥曲线的方程问题【例2】过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点(2,0)F 的直线与C 交于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的坐标为95,77⎛⎫- ⎪⎝⎭，则C 的方程为（）A．22195x y +=B．2215x y +=C．22162x y +=D．221106x y +=【答案】A【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，则12x x ≠AB 的中点95,77M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以5071927AB MFk k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭===-，又2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩，所以()()2222221212b x x a y y -=--，即2121221212y y y y b x x x x a-+⋅=--+，而12121ABy y k x x -==-，121252579927y y x x ⎛⎫⨯- ⎪+⎝⎭==-+⨯，所以2255199b a =⨯=，又2c =，所以22222254499c a b a a a =-=-==，所以2295a b ==，椭圆方程为：22195x y +=.故选：A.【变式2-1】已知双曲线E 的中心为原点，(30)F ，是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且AB 的中点为(1215)N --，，求双曲线E 的方程.【答案】22145x y -=【解析】设双曲线的方程为22221x y a b-=(0a >，0b >)，由题意知3c =，229a b +=，设11()A x y ，、22()B x y ，则有：2211221x y a b -=，2222221x y a b -=，两式作差得：22121222121245y y x x b b x x a y y a-+=⋅=-+，又AB 的斜率是1501123--=--，∴2254b a =，代入229a b +=得，24a =，25b =，∴双曲线标准方程是22145x y -=.【变式2-2】已知双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率等于32，点()5-在双曲线C 上，椭圆E 的焦点与双曲线C 的焦点相同，斜率为12的直线与椭圆E 交于A 、B 两点．若线段AB 的中点坐标为()1,1-，则椭圆E 的方程为（）A．2214536x y +=B．2213627x y +=C．2212718x y +=D．221189x y +=【答案】D【解析】设双曲线方程为22221(0,0)x y m n m n-=>>，则223224251m mn =⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得2245m n ⎧=⎨=⎩，故双曲线方程为22145x y -=，焦点为()3,0±；设椭圆方程为22221x y a b+=，则椭圆焦点为焦点为()3,0±，故22a b 9-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则2222112222221,1x y x y a b a b+=+=，两式相减得22221212220x x y y a b --+=，整理得2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+，即221121b a =-⋅-，解得222a b =，故2218,9a b ==，椭圆方程为221189x y +=.故选：D.【变式2-3】斜率为1的直线交抛物线()2:20C y px p =>于A ，B 两点，且弦AB 中点的纵坐标为2.求抛物线C 的标准方程；【答案】24y x=【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，12122,42y y y y +=+=，21122222y px y px ⎧=⎨=⎩，两式相减并化简得1212122y y p x x y y -=-+，21,24pp ==，所以抛物线方程为24y x =.【变式2-4】设()11,A x y 、()22,B x y 是抛物线()2:20C x py p =>上不同的两点，线段AB 的垂直平分线为y x b =+，若1212x x +=-，则p =______.【答案】14【解析】由题知，2112x py =，2222x py =，两式相减得()()()1212122x x x x p y y -+=-，所以1212122AB y y x x k x x p-+==-，由题知1AB k =-，所以12122x x p +=-=-，所以14p =.故答案为：14.题型三求圆锥曲线的离心率问题【例3】过点()1,1M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)相交于A ､B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于（）A．22B．3C．12D．13【答案】A【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则12122,2x x y y +=+=，121212AB y y k x x -==--，所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，作差得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b -+-++=，所以1212222()2()0x x y y a b --+=，即21221212y y b a x x -=-=-，所以该椭圆的离心率2c e a ==【变式3-1】已知直线3y x m =-与椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>相交于P ，Q 两点，若PQ 中点的横坐标恰好为2m ，则椭圆C 的离心率为______.【答案】2【解析】设()11,P x y ，()22,Q x y ，代入椭圆方程得2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，两式作差得22221212220x x y y a b --+=，整理得122122121222y y y y b x x x x a +-⋅=-+-，因为1222x x m +=，所以12123322y y x m x mm +-+-==-，又因为12121PQ y y k x x -==-，所以2212m b m a -⨯=-，所以2212b a =，所以ce a======2212c a=.故答案为：2.【变式3-2】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点M 为椭圆C上异于A ，B 的一点，直线AM 和直线BM 的斜率之积为14-，则椭圆C 的离心率为（）A．14B．12C．2D．4【答案】C【解析】由已知得(,0),(,0)A a B a -，设()00,x y ，由题设可得，2200221x y a b+=，所以()222202b y a x a=-.因为()222220200022222000014A MM B b a x y y y b a k k x a x a x a x a a -⋅=⋅===-=-+---，所以2214b a =，则22222222314c a b b e a a a -===-=，所以2e =.【变式3-3】已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>相交于B ，D 两点，且BD 的中点为()1,3M ，则C 的离心率是______．【答案】2【解析】设1122(,),(,)B x y D x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式作差可得：2222121222x x y a b y =--，即1212121222()()()()x x x x y y y y a b -+-+=，因为()1,3M 为BD 中点，所以12122,6x x y y +=+=，又直线BD 斜率为1，所以12121y y x x -=-，代入可得，223b a=，所以C的离心率2e ==.故答案为：2【变式3-4】已知直线l :30x y -+=与双曲线C :22221x y a b-=(0a >,0b >)交于A ,B两点,点()1,4P 是弦AB 的中点,则双曲线C 的离心率为()A．43B．2C．2【答案】D【解析】设()()1122,,,A x y B x y 点()1,4P 是弦AB 的中点根据中点坐标公式可得:12122,8x x y y +=⎧⎨+=⎩A ,B 两点在直线l :30x y -+=根据两点斜率公式可得:12121y y x x -=-,A B 两点在双曲线C 上∴22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩∴222212122210x x y y a b ---=,即()()()()2221212122221212128142y y y y y y b a x x x x x x +--===⨯=-+-解得:2b a =∴c e a ===题型四弦中点的坐标问题【例4】已知直线:1l y x =+，椭圆22:13xC y +=．若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的坐标为（）A．13,44⎛⎫- ⎪⎝⎭B．31,44⎛⎫- ⎪⎝⎭C．13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D．31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意知，22113y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得2230x x +=，则9810∆=-=>，32A B x x +=-，所以A 、B 两点中点的横坐标为：13()24A B x x +=-，所以中点的纵坐标为：31144-=，即线段AB 的中点的坐标为31()44-，.故选：B【变式4-1】求直线1-=x y 被抛物线x y 42=截得线段的中点坐标。
(完整版)圆锥曲线的中点弦问题
关于圆锥曲线的中点弦问题直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。
这类问题一 般有以下三种类型：(1) 求中点弦所在直线方程问题； (2) 求弦中点的轨迹方程问题；(3) 求弦中点的坐标问题。
其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。
一、求中点弦所在直线方程问题2 2例1、过椭圆 L 厶 1内一点M(2, 1)弓I 一条弦，使弦被点 M 平分，求这条弦所在的直线方程。
16 4解法一：设所求直线方程为 y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得：2 2 2 2(4k1)x8(2k k)x 4(2k 1) 16 0又设直线与椭圆的交点为 A( x-i , y 1) , B ( x 2, y 2),则x 1, x 2是方程的两个根，于是 8(2k 2 k)2 , 4k 1两式相减得x 2y 4 由于过A 、B 的直线只有 故所求直线方程为 x2y 40。
二、求弦中点的轨迹方程问题2 2例2、过椭圆 — L 1上一点P (-8 , 0)作直线交椭圆于64 36解法一：设弦 PQ 中点 M( x, y )，弦端点 P ( x 1, y 1), Q( x 2, y 2),2 2 则有9笃励打576 , 9x 216y 2 576X 1 x 2又M 为AB 的中点，所以x 1 x 2 2 24(2k k)4k 2 1故所求直线方程为 x 2y 4 0。
解法二：设直线与椭圆的交点为A*, yj , B ( X 2,y 2), M(2,所以x 1x 2 4 ,y 1y 2又A 、B 两点在椭圆上， 则X 124y 1216 , 2 2X 2 4y 216,两式相减得(x 「2 X2)4(y 12 )0 ,所以也一y2X 1X 2-，即2 k AB1 4( y 1 y 2)2，x 2y 4A(x ,y)，由于中点为M(2, 1),则另一个交点为 B(4- X ,2 y )， 因为A B 两点在椭圆上, 所以有 (42Xx)2 4y 2 4(2 16 y)2 16 0，Q 点，求PQ 中点的轨迹方程。
圆锥曲线中点弦典型例题及解析
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第二章
圆锥曲线与方程
y－1＝2(x－1)， 由 2 y2 消去 y 得，2x2－4x＋3＝0， x － 2 ＝1， Δ＝－8<0. 这说明直线 MN 与双曲线不相交，故被点 B 平分的弦不 存在．
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x 2 例2.设 双 曲 线 : 2 y 1a 0与 C a 直 线l : x y 1相 交 于 两 个 不 同 的 点 B A,
2
（1） 求 双 曲 线 的 离 心 率 的 取 值 范 围 ； C e
5 （2） 若 直 线与y轴 的 交 点 为 ， 且PA l P PB y 12 求a的 值 P
A
O
x B
x 2 例2.设双曲线C : 2 y 1a 0与 a 直线l : x y 1相交于两个不同的点 , B A （）求双曲线C的离心率e的取值范围； 1
y P A
O
2
(1 a ) x 2a x 2a 0
2 2 2 2
x B
1 a 2 0 4a 4 8a 2 (1 a 2 ) 0 0 a 2且a 1 e 1
2பைடு நூலகம்
1
6
且e 2
5 （ ）若直线l与y轴的交点为P，且PA PB 2 12 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), P (0,1) 求a的值 5 PA PB y 12 5 P ( x1 , y1 1) ( x2 , y2 1) 12 5
符合题意的弦存在，那么弦的两个端点应分别在双曲线的 左右两支上，其所在直线的倾角也不可能是90°.
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第二章
中点弦问题
圆锥曲线的中点弦问题一：圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.①在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率；②在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；③在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率。
注意：因为Δ＞0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验Δ＞0！1、以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
例2、已知双曲线1222=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。
若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。
策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。
本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。
2、 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹例3、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线21=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。
例4、已知椭圆1257522=+x y ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。
3、 求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例5、已知中心在原点，一焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点的横坐标为21，求椭圆的方程。
∴所求椭圆的方程是1257522=+x y 4、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题例6、已知椭圆13422=+y x ，试确定的m 取值范围，使得对于直线m x y +=4，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。
五、注意的问题（1）双曲线的中点弦存在性问题；（2）弦中点的轨迹应在曲线内。
利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题，方法简捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利于培养学生的解题能力和解题兴趣。
【圆锥曲线】06双曲线的弦长和中点弦问题(含经典题型+答案)
双曲线的弦长公式与中点弦问题1.两条渐近线为02=+y x 和02=-y x 且被直线03=--y x 截得弦长为338的双曲线方程是 . 2.斜率为2的直线被双曲线22132x y -=截得的弦长为4，求直线的方程． 3.已知倾斜角为4π的直线l 被双曲线60422=-y x 截得的弦长28=AB ，求直线l 的方程．秒杀秘籍：双曲线的弦长公式与面积（不过焦点的弦）双曲线()222210,0x y a b a b-=>>与直线l ：y kx m =+相交于AB 两点，求AB 的弦长。
设：()()1122,,,A x y B x y 则()22121214AB kx x x x =++- 将y kx m =+代入22221x ya b-=得：()22222222220b k a x a kmx a m a b ----=()221222222212222a km x xb k a a m b x x b k a ⎧⎪+=⎪⎪-⎨⎪--⎪⋅=⎪-⎩∴()222222212122222141ab b k a m AB k x x x x k b k a -+∴=++-=+-例1：已知直线1+=x y 与双曲线14:22=-y x C 交于A 、B 两点，求AB 的弦长 解：设：()()1122,,,A x y B x y 则()()()22222121121214AB x x y y k x x x x =-+-=++-将1y x =+代入2214yx -=得：23250x x --=21235123x x x x +=⋅=-⎧∴⎨⎩22218213AB kx x ∴=+-=双曲线与直线交点的判别式：()2222224a b b k a m ∆=-+用来判断是否有两个交点问题。
面积问题：双曲线与直线m kx y l +=:相交与两点，()00,y x C 为AB 外任意一点，求ABC S ∆。
关于圆锥曲线中点弦问题的一些探讨
关于圆锥曲线中点弦问题的一些探讨一、问题的提出在学习圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）时，有学生提出：圆锥曲线的中点弦问题，求出直线方程后，是否要检验？我偶尔听到一个数学老师不加思索地对学生回答说：“对于双曲线需要检验，对于圆和椭圆则无需检验。
”情况果真如此吗？先看下面的一些例子。
以上求圆锥曲线的中点弦所在的直线方程的方法，称为“点差法”，一般数学老师上课时都会跟学生讲的。
【说明】模仿例1的解法得本题（1）的答案为直线AB：32x+25y-178=0.（2）的答案为直线AB：8x+5y-40=0.试问：以上的方法对吗？其实，（1）是对的。
（2）是错的。
问题就出在：第（1）图中，点M在椭圆内。
第（2）图中，点M 在椭圆外，所以，（2）中的直线AB是不存在的！由此可见，弦中点问题，是需要检验的！否则，就可能发生错误！二、圆锥曲线中的中点弦问题其实，已经有同学注意到了：双曲线与抛物线中存在完全类似的问题。
现在，我们给出一般的圆锥曲线的中点弦问题。
如果直线MN的斜率不存在，那是非常容易的情形，此处不必再作分析了（读者可以自己考虑一下）。
以上的圆锥曲线，可以是圆、椭圆、双曲线和抛物线。
特殊情形：1.当曲线C为椭圆时，本定理就是上面的例1.2.当曲线C为双曲线时，结论为：3.当曲线C为抛物线时，结论为：三、两个双曲线的实例四、关于圆锥曲线中点弦存在性问题的检验问题由上面的例2与例5知：关于圆锥曲线中点弦问题，如果我们不检验，那么就有可能发生错误。
那么，怎样来检验呢？1.判别式法肯定是其中的一种好方法，两方程联立即可用。
2.利用文【1】中的结论也是一种好办法。
（注：文【1】快速判断直线与圆锥曲线位置关系的公式法）3.直观图判断方法：（1）对于圆和椭圆，只要中点P在其内部，即满足：则此时圆或椭圆的中点弦MN存在；否则，不存在。
（如下图所示）（2）对于双曲线，只要中点P在下图中的阴影部分(图5与图6均不包含边界)，即满足：（3）对于抛物线，只要中点P在下图中的阴影部分——此时称点P在抛物线的内部(图7，不包含抛物线的边界)，即满足：则抛物线的中点弦MN存在；否则，不存在。
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中点弦问题专题练习一．选择题（共8小题）．已知椭圆，以及椭圆内一点P（4，2），则以P为中点的弦所在直线的斜率为（1）2 C．D．B．A．﹣22．已知A（1，2）为椭圆内一点，则以A为中点的椭圆的弦所在的直线方程为（）2x+y+4=0 x+2y+4=0 C．D．2x+y﹣4=0B．x+2yA．﹣4=0（a＞b＞0）的任意一条与x轴不垂直的弦，O3．AB是椭圆是椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则K?K的值为（）OMAB22D．﹣1eC．A．e﹣1 B．﹣ee﹣1 122）P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为（+9y=144内有一点P（3，2）过点4．椭圆4x 144=0 ﹣．9x+4yD12=0 C．4x+9y﹣144=0 12=0 A．3x+2y﹣B．2x+3y﹣）），则此弦所在直线的斜率是（5．若椭圆的弦中点（4，22．．A．D．B ﹣2C6．已知椭圆的一条弦所在直线方程是x﹣y+3=0，弦的中点坐标是（﹣2，1），则椭圆的离心率是（）B．CA．．D．227．直线y=x+1被椭圆x+2y=4所截得的弦的中点坐标是（）A．B．C．D．（﹣，））（）（﹣，）（，﹣8．以椭圆内一点M（1，1）为中点的弦所在的直线方程为（）A．4x﹣3y﹣3=0x C．4x+y﹣5=0D．+4y﹣5=04y+3=0B．x﹣二．填空题（共9小题）9．过椭圆内一点M（2，0）引椭圆的动弦AB，则弦AB的中点N的轨迹方程是_________．10．已知点（1，1）是椭圆某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为：_________．22，_________那么这弦所在直线的斜率为PP），（内有一点+9y椭圆11．4x=144P32过点的弦恰好以为中点，．_________直线方程为22 _________．的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为（4x+9y=144内有一点P3，2）过点P12．椭圆________．1，0）作弦，则弦中点的轨迹方程为1．过椭圆=1内一定点（是椭圆的不垂直于对称轴的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，则ABk?k=_________．14．设OMAB．以椭圆内的点M（1，1）为中点的弦所在直线方程为15_________．+=1内以点P（﹣2，161．在椭圆）为中点的弦所在的直线方程为_________．2217．直线y=x+2被椭圆x+2y=4截得的线段的中点坐标是_________．三．解答题（共13小题）所得弦的中点的横坐标为的椭圆方程．2 且截直线y=3x18﹣．求以坐标轴为对称轴，一焦点为22的方程．的中点，其直线ll19．已知M（4，2）是直线被椭圆x+4y=36所截的弦AB22 B两点，弦AB的中点坐标为M（1，1），求直线AB的方程．+9y20．已知一直线与椭圆4x=36相交于A、，求以点P（2，﹣1．已知椭圆）为中点的弦AB所在的直线方程．2122）共焦点，且过（22．已知椭圆与双曲线2x﹣2y=1 （1）求椭圆的标准方程．（2的一组平行弦的中点轨迹方程．）求斜率为22223．直线l：x﹣2y﹣4=0与椭圆x+my=16相交于A、B两点，弦AB的中点为P（2，﹣1）．（1）求m的值；（2）设椭圆的中心为O，求△AOB的面积．是椭圆中不平行于对称轴的一条弦，M是AB24．AB的中点，O是椭圆的中心，求证：?k为定值．k OMAB的倾斜角变化时，两点，求当l交于A、BCl，25．已知椭圆C：和点+=1P（12），直线经过点P 并与椭圆弦中点的轨迹方程．．已知椭圆．26（1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（2）过A（2，1）的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；（）且被P点平分的弦所在的直线方程．）过点（3P．已知椭圆．27且被点P平分的弦所在直线的方程；（1）求过点（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过点A（2，1）引直线与椭圆交于B、C两点，求截得的弦BC中点的轨迹方程．28．已知某椭圆的焦点是F（﹣4，0）、F（0），过点F并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|FB|+|FB|=10，4，22211椭圆上不同的两点A（x，y）、C（x，y）满足条件：|FA|、|FB|、|FC|成等差数列．2221212（Ⅰ）求该椭圆的方程；（Ⅱ）求弦AC中点的横坐标．永春县一模）过椭圆内一点M（1，1）的弦AB．29．（2010?（1）若点M恰为弦AB的中点，求直线AB的方程；（2）求过点M的弦的中点的轨迹方程．两点，点，B C，直线与椭圆交于A30．已知椭圆C方程为、（1）求弦AB中点M的轨迹方程；（2）设直线PA、PB斜率分别为k、k，求证：k+k为定值．21212014年1月panpan781104的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）．已知椭圆，以及椭圆内一点P（4，2），则以P为中点的弦所在直线的斜率为（）12 C．D．．B．﹣2A考椭圆的简单性质专圆锥曲线的定义、性质与方程分析利用中点坐标公式、斜率计算公式点差即可得出解答：解：设以点P为中点的弦所在直线与椭圆相交于点A（x，y），B（x，y），斜率为k．2121则，，两式相减得，又x+x=8，y+y=4，，2112k=．代入得，解得故选A．点评：熟练掌握中点坐标公式、斜率计算公式、“点差法”是解题的关键．2．已知A（1，2）为椭圆内一点，则以A为中点的椭圆的弦所在的直线方程为（）x+2y+4=0 2x+y+4=0 A．B．x+2y﹣4=0 C．D．2x+y﹣4=0考点：直线的一般式方程．专题：计算题．分析：首先根据题意设出直线的方程，再联立直线与椭圆的方程，然后结合题意与跟与系数的关系得到答案．解答：解：设直线的方程为y﹣2=k（x﹣1），22212=0﹣k）x+k﹣4k﹣x联立直线与椭圆的方程代入可得：（4+k）+2k（2 因为A为椭圆的弦的中点，﹣2，所以，解得k=所以直线的方程为2x+y﹣4=0．故选D．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握直线与椭圆的位置关系的判定，以及掌握弦中点与中点弦问题．是椭圆（a＞b＞0）的任意一条与x轴不垂直的弦，AB3．O是椭圆的中心，e为椭圆的离心率，MA的中点，的值为OAB22A．e﹣1 B．1﹣e C．D．e﹣1 1﹣e考椭圆的简单性质专综合题分析设出A所在的直线方程，与椭圆方程联立消，根据韦达定理求+，的表达式，根据直线方求+的表达式，进而根据A的中点，表示的横坐标和纵坐标，求得直O的斜率进而代中求得结果OA解答解：设直线为y=kx+c联立椭圆和直线消去y得22222222222222bx+a（kx+c）﹣ab=0，即（b+ka）x+2akcx+a（c﹣b）=0所以：x+x=﹣21所以，M点的横坐标为：M=（x+x）=﹣2x1 +c y=kx又：11 +c y=kx22 +2c=+x）y+y=k（x所以2211所以，点M的纵坐标M=（y+y）= 2y1所以：Kom===﹣所以：21=e﹣）=﹣k?k=k×（﹣OMAB点评：本题主要考查了椭圆的应用．涉及弦长问题，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题，利用差分法较为简便．22）P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为（P4．椭圆4x+9y=144内有一点（3，2）过点144=0 x+4y﹣9x+9y﹣144=0 D．﹣．x+2y A．3﹣12=0 B 2x+3y12=0 C．4直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程．考点：圆锥曲线的定义、性质与方程．专题：分析：，代入椭圆方程，两式作差，利用中点坐标公式及）y，（，），xA利用平方差法：设弦的端点为（yBx2112斜率公式可求得直线斜率，再用点斜式即可求得直线方程．解答：，，y）y），B（x解：设弦的端点为A（x，211+=+=1，，把A、B坐标代入椭圆方程得，2=0，）+9（y+y（y（）+9﹣y））﹣y）=0，即4（x+x （x﹣x）两式相减得，4（﹣212121212，，即k=﹣=所以=﹣=﹣﹣AB．﹣12=0﹣所以这弦所在直线方程为：y﹣2=﹣（x3），即2x+3y ．故选B 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、直线方程的求解，涉及弦中点问题常运用平方差法，应熟练掌握．点评：）45．若椭圆的弦中点（，2），则此弦所在直线的斜率是（2﹣B． 2CA．．D．考点直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率．：圆锥曲线的定义、性质与方程．专题：分析：”即可得出．点差法，y）．利用中点坐标公式和“x，设此弦所在直线与椭圆相交于点A（xy），B（2112解答：x，y）．，（解：设此弦所在直线与椭圆相交于点Ax，y）B（2112，，两式相减得．=0则．，，∵=．代入上式可得，解得k AB．D故选”点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式和“点差法等基础知识与基本技能方法，属于中档题．）2，1），则椭圆的离心率是（，弦的中点坐标是（﹣的一条弦所在直线方程是x6．已知椭圆﹣y+3=0．C D．BA ．．：椭圆的简单性质．考点计算题．：专题b分析：设出以Ma，为中点的弦的两个端点的坐标，代入椭圆的方程相减，把中点公式代入，可得弦的斜率与的关系式，从而求得椭圆的离心率．解答：）y，（）在椭圆内，设直线与椭圆的交点，（﹣解：显然M21Ax，）y，x（B，2112=0，则+=1，+=1，相减得：，整理得：k=﹣=1 又弦的中点坐标是（﹣2，1），，∴∴，=．e=则椭圆的离心率是= B．故选本题考查椭圆的标准方程和简单性质，中点公式及斜率公式的应用，以及直线方程，属于基础题．本题解点评：题中直接利用点差法巧妙用上了中点坐标公式与弦的斜率，方法极为巧妙，此方法即为通常所说的点差法，研究弦中点问题时经常采用此方法22）=4所截得的弦的中点坐标是（y=x+17．直线被椭圆x+2y．．D A．B．C ，﹣））（﹣，（﹣（），）（：直线与圆锥曲线的关系．考点：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．专题22分析：代入椭圆+2yx中，利用韦达定理及中点坐标公式，即可求得结论．=4将直线y=x+12222解答：（x+1=4 ）x解：将直线y=x+1代入椭圆+2y=4中，得x+222=0﹣3x+4x∴，=∴弦的中点横坐标是x=﹣y=代入直线方程中，得）∴弦的中点是（﹣，．故选B 点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于基础题．）1M．以椭圆内一点（1，）为中点的弦所在的直线方程为（8 4y+3=03=0 5=0x5=04x+y﹣D．+4y﹣xA ．4﹣3y﹣B．x﹣C．直线与圆锥曲线的关系．：考点：计算题．专题分析：，求出斜1x（﹣设直线方程为y1=k ﹣）=+x=2 化简，根据，代入椭圆x21k的值，即得所求的直线方程．率），x﹣1解答：解：由题意可得直线的斜率存在，设直线方程为y﹣1=k （代入椭化简可得2222 8k﹣12．k﹣k ）x+4k﹣）（4k+1x+8（﹣，x+x==2，∴k=∴由题意可得21），即x+4y ﹣5=0，故直线方程为y﹣1=﹣（x﹣1 故选D．本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，中点公式的应用，求出直线的斜率，点评：是解题的关键．9小题）二．填空题（共．的轨迹方程是引椭圆的动弦（2，0）AB，则弦AB的中点N内一点9．过椭圆M直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程考综合题专的斜率，再利用AA的坐标，的坐标代入椭圆方程，结的中点，求分析设，A的中，求A的斜率，从而可得方程，化简即可A过解答，解：1①，②﹣②，可得：①∴的中点2，0），弦ABN，M∵动弦AB过点（当M、N不重合时，有∴∴2）∴m，（≠）适合方程2，0（中点，、是重合时，即、，当MNMABMN则的轨迹方程为，故答案为：本题考查直线与椭圆的综合，考查点差法的运用，这是解决弦中点问题，常用的一种方法．点评：3=1，1）是椭圆某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为x+2y10．已知点（直线与圆锥曲线的关系考圆锥曲线的定义、性质与方程专分析=+E中点+=设为中点椭圆的弦与椭圆交）为中点椭圆的弦所在的直线方程利用点差法能够求出解答）为中点椭圆的弦与椭圆交解：设中点）E+=+=2，y）分别代入椭圆F（x，把E（x，y），2211，可得=0，y﹣y）x）+2（y+y）（两式相减，可得（x+x）（x﹣22112211 =0，﹣y）x﹣x）+4（y∴2（2121=﹣∴，﹣1）y﹣1=﹣（x1∴以A（，1）为中点椭圆的弦所在的直线方程为：．x+2y﹣3=0整理，得．x+2y﹣3=0故答案为：）为中点椭圆的弦所在的直线方程的求法，考查点差法的运用，考查学生分析解决问1（1，点评：本题考查以A 题的能力，属于中档题．22，直的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的斜率为3+9y=144内有一点P（，2）过点P11．椭圆4x．﹣线方程为2x+3y12=0直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程．考点：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．专题：分析：，代入椭圆方程后作差，利用斜率公式及中点坐标公式可），（xy（x，y），B平方差法：设弦端点为A2112得斜率；根据点斜式可得直线方程．解答：，y），B（x，）解：设弦端点为A（x，y2121 =4，=6，y+y+x则x2112，=144①，②，=0﹣）y（+y（yy）+9）﹣x）+xx得，﹣①②+94=0，即（（x21122121，，即=所以=．2x+3y﹣12=0﹣（x﹣3），即所以弦所在直线方程为：y﹣2=12=故答案为：2x+3y 点评：本题考查直线与抛物线的位置关系、直线方程的求解，弦中点问题常利用平方差法解决，应熟练掌握．222x+3y﹣12=0．3内有一点P（，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为12．椭圆4x+9y=144考直线与圆锥曲线的关系专计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析=+E中点+=设为中点椭圆的弦与椭圆交利用点差法能够求出这弦所在直线的方程解答解：设）为中点椭圆的弦与椭圆交中点）E+=+=+9=14）分别代入椭41得，=0，）（y﹣y）+yx∴4（+x）（x﹣x）+9（y22211211 =0，（y﹣y）x∴24（﹣x）+362121，∴k==﹣，x﹣3）2=（3，2）为中点椭圆的弦所在的直线方程为：y﹣﹣（P∴以．整理，得2x+3y﹣12=0 2x+3y故答案为：﹣12=0．本题考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意椭圆的简单性质、点差法、直线方程等知识点的合理点评：运用．22．）作弦，则弦中点的轨迹方程为4x+9y﹣4x=0113．过椭圆=1内一定点（，0椭圆的应用；轨迹方程．：考点计算题．专题：分析：，把两端点坐标代k，y）．弦所在直线斜率为））设弦两端点坐标为（x，y，（x．y，诸弦中点坐标为（x2121入椭圆方程相减，把斜率看的表达式代入后整理即可得到弦中点的轨迹方程．解答：k．弦所在直线斜率为yy），诸弦中点坐标为（x，）．），解：设弦两端点坐标为（xy，（x2112=0）﹣y）+yy+）﹣x）+xx两式相减得；（（x（（y22121211即又k，代入上式得（x﹣1）=02x/9+2y^2/4224x=0整理得诸弦中点的轨迹方程：4x+9y﹣224x=0﹣故答案为4x+9y 本题主要考查了椭圆的应用及求轨迹方程的问题．考查了学生对圆锥曲线知识综合的把握．点评：k=．是椭圆的不垂直于对称轴的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，则k?AB14．设OMAB考椭圆的应用专计算题．分析：=kk?，易知k=，再由点差法可知k=﹣，由此可求出，，（ab），A（x，y），B（xy）设M OM1AB1OM2AB2．﹣解答：，yx+x=2a，+y=2by，y），B（x，），∵M为AB的中点，∴）解：设M（a，b，A（x21121212，把A、B代入椭圆得﹣y）=0，）x﹣x+2（y+y）（y）①﹣②得（x+x（21112122．=0，∴yx﹣x）+4b（y﹣）∴2a（1112．∵，∴k?k=OMAB答案：﹣．本题考查椭圆的性质和应用，解题时要注意点差法的合理运用．点评：x+4y﹣5=0．）为中点的弦所在直线方程为，15．以椭圆（内的点M11考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程．圆锥曲线的定义、性质与方程．专题：分析：即可得出直，A1设点M（，1）为中点的弦所在直线与椭圆相交于点（xy）“）y．利用点差法”，（，Bx2112线的斜率，再利用点斜式即可得出．解答：B）y，（）为中点的弦所在直线与椭圆相交于点，（解：设点M11Ax，（）．，xy2121，，则相减得=0，．∵，，．=﹣．∴，解得k AB故所求的直线方程为．，化为x+4y﹣5=0 5=0．故答案为x+4y﹣”等基础知识与基本方法，属于中档题．点评：本题考查了直线与椭圆相交的中点弦问题和“点差法．2，1）为中点的弦所在的直线方程为x﹣2y+4=016．在椭圆+=1内以点P（﹣考直线与圆锥曲线的综合问题专计算题分析：，（﹣2y），由点P，1）为中点的弦所在的直线与椭圆+=1交于A（x，y）B（x，（﹣设以点P2，221122，由点差法得+4y=16，A（x，y），B（xy）代入椭圆xAB1）是线段的中点，知，把2121，1）为中点的弦所在的直线方程．P到k==，由此能求出以点（﹣2 解答：）y），B（x，y，A+=1P 解：设以点（﹣2，1）为中点的弦所在的直线与椭圆交于（x，2121（﹣∵点P2，1的中点，）是线段AB∴，22 =16，y）代入椭圆x+4y，，把A（xy），B（x2121得，，y+yx）+4（y）（y﹣）=0﹣）得（①﹣②x+x（x22122111 =0，y﹣y）（x（∴﹣4x﹣）+82211，k==，）为中点的弦所在的直线方程为（﹣∴以点P2，1 x整理，得﹣2y+4=0．．2y+4=0故答案为：x﹣解考查运算求解能力，简单几何性质，点评：本题主要考查椭圆标准方程，直线与椭圆的位置关系．推理论证能力．题时要认真审题，注意点差法的合理运用．22=4截得的线段的中点坐标是．17．直线y=x+2被椭圆x+2y考直线和圆的方程的应用；直线与圆的位置关系专计算题分析直线方程与椭圆方程联立，可得交点横坐标，从而可得线段的中点坐标解答解：将直y=x+代入椭+2=，消元可3+8x+4=0∴x=﹣2或x=﹣∴中点横坐标是=﹣，代入直线方程可得中点纵坐标为﹣+2=，22∴直线y=x+2被椭圆x+2y=4截得的线段的中点坐标是故答案为：点评：本题考查中点坐标的求解，解题的关键是直线与椭圆方程联立，求得交点横坐标．三．解答题（共13小题）18．求以坐标轴为对称轴，一焦点为且截直线y=3x﹣2所得弦的中点的横坐标为的椭圆方程．考椭圆的标准方程专计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题分析由题意，设椭圆方程为，与直线y=3x﹣2消去y得关于x的一元二次方程．利用根与系数的关2222，=75，b=25，得a﹣b=50，两式联解得ac==1得系结合中点坐标公式，x+x=，再由椭圆的21从而得到所求椭圆的方程．解答：解：∵椭圆一个焦点为，∴椭圆是焦点在y轴的椭圆，设方程为（a＞b＞0）2222222将椭圆方程与直线y=3x﹣2消去y，得（a+9b）x﹣12bx+4b﹣ab=0设直线y=3x﹣2与椭圆交点为A（x，y），B（x，y）2112∴x+x==1 (21222)∵a﹣b=（）=50…②22∴①②联解，得a=75，b=25因此，所求椭圆的方程为：点评：本题给出焦点在y轴上的一个椭圆，在已知椭圆被直线截得弦的中点横坐标的情况下，求椭圆的方程，着重考查了椭圆的标准方程、简单几何性质和直线与椭圆位置关系等知识，属于中档题．22的方程．的中点，其直线所截的弦+4y被椭圆）是直线，（．已知19M42lx=36ABl直线与圆相交的性质．考点：计算题专分析：l解得k值，即得直线，代入椭圆的方程化简，由x+x==8设直线l的方程为y﹣2=k（x﹣4）21的方程．4k=0，，即kx﹣y+2﹣l的方程为y﹣2=k（x﹣4）k解答：解：由题意得，斜率存在，设为，则直线2222 20=0，﹣+（16k﹣32k）x+64k64k﹣代入椭圆的方程化简得：（1+4k）x∴x+x==8，解得：k=﹣，21 x+2y﹣8=0．则直线l的方程为22点评：16k（一元二次方程根与系数的关系，线段的中点公式，得到（1+4k+）x本题考查了直线与圆相交的性质，22，是解题的关键．﹣20=0﹣32k）x+64k﹣64k22 1，1），求直线AB的方程．20．已知一直线与椭圆4x+9y=36相交于A、B两点，弦AB的中点坐标为M（考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题．，求出斜率，即可求得直线1）（1，分析：设出直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦AB的中点坐标为M AB的方程．+11），代入椭圆方程，解：设通过点M（1，1）的直线方程为y=k（x﹣解答：22236=0 ﹣x+91﹣k）（1﹣k））整理得（9k+4x+18k（x设A、B的横坐标分别为x、，则21解之得方程为，故AB 13=0．4x+9y 即所求的方程为﹣本题考查直线与椭圆的综合，考查弦中点问题，解题的关键是直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理求解．点评：所在的直线方程．2P（，﹣1）为中点的弦AB21．已知椭圆，求以点直线的一般式方程；中点坐标公式；直线与圆锥曲线的关系．考点：计算题．专题：分析：，进而求得弦所在先设出弦所在的直线方程，然后与椭圆方程联立；设两端点的坐标，根据韦达求出x+x21的直线的斜率，进而利用点斜式求得该直线的方程．．12），即y=kx﹣2k﹣﹣）所在的直线方程为解答：解：设弦ABy﹣（﹣1=k（x22，16=0﹣（y，消去得x+4kx﹣2k1）﹣222）16=0）（）（﹣）整理得（1+4kx8k2k+1x+42k+1﹣（1中点，）为A因2．＞0，合题意．，验证代入方程（1）△．本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的关系．在解决弦长的中点问题，联立直线方程和椭圆方程，点评：利用韦达定理，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化，达到解决问题的目的．22 2x﹣2y=1共焦点，且过（）．已知椭圆与双曲线22 （1）求椭圆的标准方程．（2）求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程．椭圆的标准方程；轨迹方程考计算题专分析：）代入椭圆方程，求出待定系数即得所求的椭）求出双曲线的焦点，由此设出椭圆方程，把点（1，0（圆方程．代入椭圆的方程，，把y=2x+b ）（2）设斜率为2的弦所在直线的方程为y=2x+b，弦的中点坐标为（x，y值，即，求出直线y=2x+b 和椭圆相切时的b利用一元二次方程根与系数的关系，求出轨迹方程为y=﹣xx 得轨迹方程中自变量的范围．解答：．，则c=1解：（1）依题意得，将双曲线方程标准化为=1），，∵椭圆过（∵椭圆与双曲线共焦点，∴设椭圆方程为=1，0=1．∴=2，∴椭圆方程为，则y=2x+b，弦的中点坐标为（x，y）的弦所在直线的方程为（2）依题意，设斜率为222﹣．+x=1y=2x+b 且得，9x+8xb+2b﹣2=0，∴x=21两式消掉b得．﹣﹣x y=即x=223 2且与椭圆相切的直线方程为y=2x±，所以斜率为，即﹣﹣△令=0，64b36（2b2）=0b=±32的直线与椭圆相切．±即当x=时斜率为x所以平行弦得中点轨迹方程为：y=﹣（﹣）．本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，以及简单性质的应用；求点的轨迹方程的方法，求轨迹方程中点评：的范围，是解题的易错点．自变量x22）（21）求m的值；的中点为P（2，﹣1）．（x23．直线l：x﹣2y﹣4=0与椭圆+my=16相交于A、B两点，弦AB AOB的面积．设椭圆的中心为O，求△椭圆的应用；中点坐标公式；点到直线的距离公式考计算题；压轴题专分析的表达式，进而根据其中点的坐标+）先把直线方程与椭圆方程联立消，根据韦达定理求|AB 的值，进而求得，进而根据韦达定理求）把）中求得椭圆方程与直线方程联立消的距离和坐标原点到直线的距离，进而根据三角形面积公式求得答案解答：216=0﹣2mx+4m﹣+1：消去y，整理得（）x解：（1）∴x+x==4，则m=421（2）由（1）知，消去y，=0 x∴x21=2|AB|=∴= 坐标原点O到直线x﹣2y﹣4=0的距离为d=∴三角形ABC的面积为×|AB|×d=4点评：本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系，点到直线的距离公式等，考查了学生综合分析问题和推理的能力．24．AB是椭圆中不平行于对称轴的一条弦，M是AB的中点，O是椭圆的中心，求证：k?k为定值．OMAB考点：椭圆的应用．专题：证明题．分析：设出直线方程，与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理求得x+x，的表达式，根据直线方程求得y+y的2112表达式，进而根据点M为AB的中点，表示出M的横坐标和纵坐标，求得直线OM的斜率，进而代入k?k OMAB中求得结果为定值，原式得证．解答：证明：设直线为：y=kx+c联立椭圆和直线消去y得22222222222222bx+a（kx+c）﹣ab=0，即（b+ka）x+2akcx+a（c﹣b）=0所以：x+x=﹣21=﹣=（x+x）所以，M点的横坐标为：M21x +c 又：y=kx11 y=kx+c 22+2c=x+x）所以y+y=k（2211）=+y所以，点M的纵坐标M=（y2y1﹣==所以：Kom= 所以：=k?k=k×OMAB本题主要考查了椭圆的应用．涉及弦长问题，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题，点评：利用差分法较为简便．的倾斜角变化时，lB两点，求当P=1和点P（1，2），直线l经过点并与椭圆C交于A、C25．已知椭圆：+ 弦中点的轨迹方程．轨迹方程．考点：综合题．专题：分析：四点共线．故M与P不重合时，P、M、A、By））设弦中点为M（x，y，交点为A（x，y，B（x，）．当2121由此可得：，）2．再由点差法知=﹣﹣x（y﹣y）（﹣1）=（xx）（y﹣121222．﹣9x﹣32y=09x+16y 解答：四点共不重合时，y）．当M与PA、B、M、P，By（yM解：设弦中点为（x，），交点为Ax，），（x2112线．2）①，yx（﹣）y∴（﹣y（x1）=x﹣）（﹣1122两式相减得+=1=1由，．+=0 =2y，=2x+x又xy+y，2112=，﹣∴②22①②由可得：，﹣9x ﹣9x+16y32y=0③，2）适合方程③重合时，点M坐标为（1，当点M与点P22．9x﹣32y=0∴弦中点的轨迹方程为：9x+16y本题考查轨迹方程的求法，解题时要注意点差法的合理运用点评．26．已知椭圆的平行弦的中点轨迹方程；）求斜率为2（1 被截得的弦的中点轨迹方程；与椭圆相交，求l2，1）的直线l（2）过A（P点平分的弦所在的直线方程．）且被（3）过点P（直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题考综合题专分析：，，），则（x，y））设弦的两端点分别为（1M（x，y），N（x，y，中点为R22112的平行弦的中点轨迹方程．=﹣，由此能求出斜率为两式相减得，，），则），（x，yyy﹣1=k（x﹣2），设两交点分别为（x，）（2设直线方程为4334两式相减得，故被截l=0，由此能求出，则，y）x+2y?+，令中点坐标为（x 得的弦的中点轨迹方程．的中点，EF（）是y），由PP（3）设过点（）的直线与，（x，y）F（x，E交于6556，由此能求出过﹣=，y）代入与，y），F（x，得k=xy知x+x=1，+y=1，把E（66555665点平分的弦所在的直线方程．P点（）且被P 解答：），（x，y N），（x，y）的中点为Ry（（解：1）设弦的两端点分别为Mx，2211，，则，①两式相减并整理可得．，得所求的轨迹方程为x+4y=0（椭圆内部分）将代入式①，0k≠，否则与椭圆相切））（）可设直线方程为（2y﹣1=kx﹣2（，）y，（）y，设两交点分别为（x，x4334，两式相减得则，，，x（两点不重合）≠显然x43，故+ ，令中点坐标为（x，y）则x+2y?=0，）在直线上，所以，又（x，y，显然22（夹在椭圆内的部分）．=0故x+2y?k=x+2y，即所求轨迹方程为x+2y﹣2x﹣2y=0，，y（3）设过点P（）（，y），Fxx）的直线与交于E（6655∵P（EF的中点，）是，=1x+x=1，y+y∴6565y）代入与，，，把E（xy），F（x6565得，x﹣x）+2，﹣yy）=0（y+y）（（+x∴（x）65566655，y（）+2y﹣）=0x∴（x﹣6655=k=﹣，∴∴过点P（）且被，P点平分的弦所在的直线方程：3=0．即2x+4y﹣本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，是中档题．解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．点评：．已知椭圆．27（1且被点P）求过点平分的弦所在直线的方程；22（）求斜率为的平行弦的中点轨迹方程；A3（）过点（C、BC两点，求截得的弦中点的轨迹方程．B）引直线与椭圆交于12，圆锥曲线的轨迹问题；直线与圆锥曲线的综合问题．考点：综合题．专题：）设出两个交点坐标，利用两点在椭圆上，代入椭圆方程，利用点差法，求斜率，再代入直线的点斜式（1分析：方程即可）类似，设出这一系列的弦与椭圆的交点坐标，代入椭圆方程，利用点差法，求斜率，再让）同的平行弦的中点轨迹方程率等，化简，即可得斜率为中，即可得弦BC，方程，用参数3）设出直线BCk表示，再利用中点坐标公式，消去k（点的轨迹方程．解答：y）点，x且被点P平分的弦与椭圆交与A（，y），B（x，（解：1）设过点2112=，=则①∵A，B在椭圆上，∴②得，②﹣①=﹣的斜率为﹣即，弦AB﹣）y∴方程为﹣=﹣（x即（2）设斜率为2的平行弦的中点坐标为（，y）x，=2则根据中点弦的斜率公式，有﹣）（）引的直线斜率存在时，设方程为1y﹣1=kx﹣2，（（3）当过点A2，2224k=0 ﹣﹣xy代入椭圆方程，消，得（+k）+2（12k）kx+4k=+y，+x∴x=y，2211x=），设弦BC中点坐标为（xy，则=，y=，=2k =∴﹣222y=0又∵﹣，整理得，∴k=x2x+2y﹣，（当过点A21，与椭圆无交点x=2）引的直线斜率不存在时，方程为22∴所求弦BC﹣2x+2y﹣x中点的轨迹方程为．2y=0本题主要考查了点差法求中点弦的斜率，属于圆锥曲线的常规题．点评：，4B|=10，B，且|FB|+|FF（0），过点F并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为028．已知某椭圆的焦点是F（﹣4，）、21212成等差数列．|FC|、|FB|、、C（x，y）满足条件：|FA|，椭圆上不同的两点A（xy）2212122（Ⅰ）求该椭圆的方程；中点的横坐标．（Ⅱ）求弦AC椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系考计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程专分析，即可得出该椭圆的算b=a=．c=）根据椭圆定义结合已知条件，|B|+|B|=10=2可程；C||F|FA|、=4，y）在椭圆上，利用椭圆方程算出y．再根据圆锥曲线统一定义，算出（2）由点B（2B2B，最后利用中=8成等差数列建立关系式算出x+x|FB|、|FC|的式子，由关于它们的横坐标x、x|FA|、2222211中点的横坐标．点坐标公式，即可算出弦AC ）由椭圆定义及条件，可得（1解答：解：．，得a=52a=|FB|+|FB|=1021．b==3又∵c=4，∴．因此可得该椭圆方程为y）在椭圆上，B（4，（2）∵点B|=．，可得|FB|=|y=∴将x=4，代入椭圆方程求得y B2B ．=x=，离心率e=∵椭圆右准线方程为x=，即根据圆锥曲线统一定义，得．x）C|=），|F（﹣（|FA|=﹣x2221C| B|=|FA|+|F|FC|成等差数列，得2|F、由|FA|、|FB|222222．+x=8=2x）×，由此解得x﹣）即（﹣x+（2211，，xy）的中点为设弦ACP（00=4．）+xx=x可得中点横坐标为则（210的中点横坐标，着重考查了椭圆的定义与标准方程、本题给出椭圆满足的条件，求椭圆的方程并依此求AC点评：圆锥曲线的统一定义和等差数列的性质等知识，属于中档题AB．，1）的弦2010?永春县一模）过椭圆内一点M（129．（的方程；AB的中点，求直线ABM （1）若点恰为弦的弦的中点的轨迹方程．2）求过点M（直线的一般式方程；轨迹方程考转化思想专，故我们A过分析本题考查的知识点是直线的一般式方程及动点轨迹方程的求法）由于的点斜式方程，联立直线与圆的方程后，根据韦达定理（根与系数的关系，我们结合设出直AA值后代入整理即可得到直的方程为A的中点可得到一个关于斜的方程解方程求由此可构造一个关四点共线易得他们确定直线的斜率相等则A弦的中点的弦的中点的轨迹方程的关系式，整理后即可得到过的方程可设1=解答解）设直A的斜率，AB22=16）+4（kx+1﹣k得x22216=0k）﹣（1﹣k）x+8k（1﹣）x+4得（1+4k，．．．∴，（xy）的中点为（2）设弦ABP P四点共线，，∵A，BM，=k∴k MPAB．∴在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，点评：直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况两点，点，交于A、B方程为30．已知椭圆C，直线与椭圆C M的轨迹方程；1）求弦AB中点（+k为定值．、k，求证：k2）设直线PA、PB斜率分别为k（2121直线与圆锥曲线的综合问题考计算题；证明题专分析：22．再由＜2＞0，知﹣2＜m1）将代入消去y并整理得4x+4mx+4m﹣12=0，由△（2的轨迹方程是MAB 中点x=m﹣3在椭圆内部部分．，知弦﹣x+x=m，x2211，根据斜率公式），y）B（x2（）先设A（x，y2211即可。