历年高考数学圆锥曲线的中点弦问题的复习
高考圆锥曲线中点弦问题 讲义--高三数学一轮复习
圆锥曲线中点弦问题题型识别：弦中点，斜率积用点差若),(11y x A ，),(22y x B 是椭圆）（012222>>=+b a by a x 上不重合的两点，点）（00,y x M 为AB 的中点，OM AB k k .的值为定值么？ 答题模版第一步：若),(11y x A ，),(22y x B 是椭圆）（012222>>=+b a by a x 上不重合的两点，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+11222222221221b y a x by a x ， 第二步：两式相减得0))(((2212122121=-++-+by y y y a x x x x ））（， 第三步：2121x x y y --是直线AB 的斜率k ，）（2,22121y y x x ++是线段AB 的中点）（00,y x ，化简可得2221212121a b x x y y x x y y -=--⋅++2200ab k x y -=⋅⇒类型1 求中点弦直线斜率或方程典例1：已知椭圆E ：22142x y +=，O 为坐标原点，作斜率为k 的直线交椭圆E 于A ，B两点，线段AB 的中点为M ，直线OM 与AB 的夹角为θ，且tan 22θ=则k =（ ） A ．22±B ．2±C ．22D 2 【答案】A【解析】由题意知0k ≠，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，则0122x x x =+，0122y y y =+，将A ，B 两点坐标代入椭圆方程22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得22012121222121212012y y y y y y y k x x x x x x x -+-=-=-⨯=--+-，则0012OM y k x k ==-，设直线OM 的倾斜角为α，则1tan α2k=-，设直线AB 的倾斜角为β，则tan k β=，则()()()1tan αtan π2tan tan απ221tan αtan π12k k k kβθββ--+-=+-===---22k =±.对点训练1.已知(2,1)-是直线l 被椭圆221369x y +=所截得线段的中点，则直线l 的方程是( )A ．20x y -=B ．240x y -+=C ．230x y ++=D ．2310x y --=2.已知双曲线2212x y -=与不过原点O 且不平行于坐标轴的直线l 相交于,M N 两点，线段MN 的中点为P ，设直线l 的斜率为1k ，直线OP 的斜率为2k ，则12k k =（ ）A ．12 B ．12- C ．2 D ．2-3.已知双曲线2213y x -=上存在两点M,N 关于直线y x m =+对称，且MN 的中点在抛物线29y x =上，则实数m 的值为（ ）A ．4B ．-4C ．0或4D ．0或-4类型2 求曲线的标准方程典例2：已知椭圆2221(02)4x y b b+=<<的左右焦点分别为12,F F ，过左焦点1F 作斜率为2的直线与椭圆交于,A B 两点，AB 的中点是P ，O 为坐标原点，若直线OP 的斜率为14-，则b 的值是（ ）A ．2B 3C ．32D 2 【答案】D【解析】设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则2211214x y b +=，222224x y b+=1，两式相减可得14（x 1﹣x 2）（x 1+x 2）21b +（y 1﹣y 2）（y 1+y 2）＝0，∵P 为线段AB 的中点，∴2x p ＝x 1+x 2，2y p ＝y 1+y 2，∴1212y y x x --•212124y y b x x +=-+，又1212y y x x -=-k AB ＝2，121214y y x x +=-+∴2124b -=-，即22b =，∴2b =对点训练1.椭圆221ax by +=与直线12y x =-交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜2，则ab的值为（ ） A 2 B 3 C ．22 D ．32.若双曲线的中心为原点，(0,2)F -是双曲线的焦点，过F 的直线l 与双曲线相交于M ，N两点，且MN 的中点为(3,1)P 则双曲线的方程为（ ）A ．2213x y -=B ．2213x y -=C ．2213y x -=D ．2213y x -=3.已知抛物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P(2，2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为( )B ．y 2=4x B ．y 2=−4xC ．x 2=4yD ．y 2=8x类型三 点差法求离心率典例3：已知A ，B 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点，M 是E 上不同于A ，B 的任意一点，若直线AM ，BM 的斜率之积为49-，则E 的离心率为（ ）A ．23 B ．33 C ．23 D ．53【答案】D【解析】由题意方程可知，(,0),(,0)A a B a -，设00(,)M x y ,0000,,AM BM y y k k x a x a∴==+-则000049y y x a x a ⋅=-+- ,，整理得：2022049y x a =--，①又2200221x y a b +=，得2222002()b y a x a =-，即2202220y b x a a =--，②联立①②，得2249b a -=-，即22249a c a -=，解得5e =．对点训练1.设椭圆()222210x y a b a b+=>>的两焦点为12,F F ，若椭圆上存在点P ，使012120F PF ∠=，则椭圆的离心率e 的取值范围为( ). A ．3] B ．3(0,]4 C ．3D ．3[,1)42.经过双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右焦点，倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．[2，+∞）B ．（1，2）C ．（1，2]D ．（2，+∞）3.已知双曲线2222:1x y C a b-=的两条渐近线分别为1l 与2l ，A 与B 为1l 上关于原点对称的两点，M 为2l 上一点且AM BM k k e ⋅=，则双曲线离心率e 的值为（ ） A 5 B 51+ C ．2 D 2 综合训练1.已知 m,n,s,t ∈R ∗，m +n =3，m s+nt=1，其中m ，n 是常数且m <n ，若s +t 的最小值是3+2√2，满足条件的点(m,n )是椭圆 x 24+y 216=1一弦的中点，则此弦所在的直线方程为（ ）A. x −2y +3=0B. 4x −2y −3=0C. x +y −3=0D. 2x +y −4=02.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，离心率22，过点F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 中点为(1,1)，则直线l 的斜率为（ ）A ．2B ．2-C ．12- D ．123.已知双曲线22184x y -=上有不共线的三点、、A B C ，且AB BC AC 、、的中点分别为D E F 、、，若OD OE OF 、、的斜率之和为-2，则111AB BC ACk k k ++= （ ） A ．-4 B ．23- C ．4 D ．64.若双曲线的中心为原点，()2,0F -是双曲线的焦点，过F 直线l 与双曲线交于M ，N 两点，且MN 的中点为()1,3P ，则双曲线的方程为( )A ．2213x y -=B ．2213x y -=C ．2213y x -=D ．2213y x -=5.椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜2，则m n 的值是( )A ．22B 23C 92D 236.中心为原点，一个焦点为F （2）的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆方程为（ ）A ．222217525x y +=B ．2217525x y +=C ．2212575x y +=D ．222212575x y +=7.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点M 为椭圆C 上异于A ，B 的一点，直线AM 和直线BM 的斜率之积为14-，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．14 B ．12 C ．3 D ．1548.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，的一条弦所在的直线方程是30x y -+=，弦的中点坐标是(2,1)M -，则椭圆的离心率是（ ） A 5B 3C 2D ．12圆锥曲线中点弦问题解析题型识别：弦中点，斜率积用点差若),(11y x A ，),(22y x B 是椭圆）（012222>>=+b a by a x 上不重合的两点，点）（00,y x M 为AB 的中点，OM AB k k .的值为定值么？ 答题模版第一步：若),(11y x A ，),(22y x B 是椭圆）（012222>>=+b a by a x 上不重合的两点，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+11222222221221b y a x by a x ， 第二步：两式相减得0))(((2212122121=-++-+by y y y a x x x x ））（， 第三步：2121x x y y --是直线AB 的斜率k ，）（2,22121y y x x ++是线段AB 的中点）（00,y x ，化简可得2221212121a b x x y y x x y y -=--⋅++2200ab k x y -=⋅⇒类型1 求中点弦直线斜率或方程典例1：已知椭圆E ：22142x y +=，O 为坐标原点，作斜率为k 的直线交椭圆E 于A ，B两点，线段AB 的中点为M ，直线OM 与AB 的夹角为θ，且tan 22θ=则k =（ ） A ．22±B ．2±C ．22D 2 【答案】A【解析】由题意知0k ≠，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，则0122x x x =+，0122y y y =+，将A ，B 两点坐标代入椭圆方程22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得22012121222121212012y y y y y y y k x x x x x x x -+-=-=-⨯=--+-，则0012OM y k x k ==-，设直线OM 的倾斜角为α，则1tan α2k=-，设直线AB 的倾斜角为β，则tan k β=，则()()()1tan αtan π2tan tan απ221tan αtan π12k k k kβθββ--+-=+-===---22k =±.对点训练1.已知(2,1)-是直线l 被椭圆221369x y +=所截得线段的中点，则直线l 的方程是( )A ．20x y -=B ．240x y -+=C ．230x y ++=D ．2310x y --= 【答案】B【解析】设直线和圆锥曲线交点为1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，其中点坐标为(2,1)-，当斜率不存在时，显然不成立，设y kx m =+，分别代入圆锥曲线的解析式22111369x y +=，22221369x y +=并作差，利用平方差公式对结果进行因式分解，得12121212936y y y y x x x x -+=--+，得19236k =--，12k =，所以1(2)12y x =++，即：240x y -+=．2.已知双曲线2212x y -=与不过原点O 且不平行于坐标轴的直线l 相交于,M N 两点，线段MN 的中点为P ，设直线l 的斜率为1k ，直线OP 的斜率为2k ，则12k k =（ ）A ．12 B ．12- C ．2 D ．2- 【答案】A 【解析】设直线l 的方程为1y k x b =+，代入双曲线方程2212x y -=，得到2221112102k x bk x b ⎛⎫----= ⎪⎝⎭，得到11221212k bx x k +=-，设()()111212,,,M x k x b N x k x b ++，则()11212,22k x x x x N b ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，则21121212b k k x x k =+=+，故1212k k ⋅=，故选A ．3.已知双曲线2213y x -=上存在两点M,N 关于直线y x m =+对称，且MN 的中点在抛物线29y x =上，则实数m 的值为（ ）A ．4B ．-4C ．0或4D ．0或-4 【答案】D【解析】∵MN 关于y=x+m 对称∴MN 垂直直线y=x+m ，MN 的斜率﹣1，MN 中点P （x 0，x 0+m ）在y=x+m 上，且在MN 上设直线MN ：y=﹣x+b ，∵P 在MN 上，∴x 0+m=﹣x 0+b ，∴b=2x 0+m由2213y x b y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩﹣消元可得：2x 2+2bx ﹣b 2﹣3=0△=4b 2﹣4×2（﹣b 2﹣3）=12b 2+12＞0恒成立，∴M x +N x =﹣b ，∴x 0=﹣2b ，∴b=2m∴MN 中点P （﹣4m ，34m ）∵MN 的中点在抛物线y 2=9x 上， ∴299164mm =-∴m=0或m=﹣4类型2 求曲线的标准方程典例2：已知椭圆2221(02)4x y b b+=<<的左右焦点分别为12,F F ，过左焦点1F 作斜率为2的直线与椭圆交于,A B 两点，AB 的中点是P ，O 为坐标原点，若直线OP 的斜率为14-，则b 的值是（ ）A ．2B 3C ．32D 2 【答案】D【解析】设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则2211214x y b +=，222224x y b+=1，两式相减可得14（x 1﹣x 2）（x 1+x 2）21b +（y 1﹣y 2）（y 1+y 2）＝0，∵P 为线段AB 的中点，∴2x p ＝x 1+x 2，2y p ＝y 1+y 2，∴1212y y x x --•212124y y b x x +=-+，又1212y y x x -=-k AB ＝2，121214y y x x +=-+∴2124b -=-，即22b =，∴2b =对点训练1.椭圆221ax by +=与直线12y x =-交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜2，则ab的值为（ ） A ．24 B ．36C ．22D ．3【答案】C【解析】设点()11,A x y ，()22,B x y ，联立22112ax by y x⎧+=⎨=-⎩，得：()24410a b x bx b +-+-=，()()()244414164b a b b a b ab ∆=--+-=+- ．12124414b x x a b b x x a b ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩⇒12224x x b a b +=+，∴()121212*********x x y y x x -++-+-==＝()1241144b a x x a b a b -+=-=++．设M 是线段AB 的中点，∴M （2,44b a a b a b++）．∴直线OM 的斜率为42224aa ab b b a b+==+则22ab=代入①满足△＞0（a ＞0，b ＞0）．2.若双曲线的中心为原点，(0,2)F -是双曲线的焦点，过F 的直线l 与双曲线相交于M ，N两点，且MN 的中点为(3,1)P 则双曲线的方程为（ ）A ．2213x y -=B ．2213x y -=C ．2213y x -=D ．2213y x -=【答案】B【解析】由题意设该双曲线的标准方程为22221(0,0)y x a b a b-=>>，1122(,),(,)M x y N x y ，则2211221y x a b -=且2222221y x a b-=，则1212121222()()()()y y y y x x x x a b +-+-=，即1212222()6()y y x x a b --=，则21221261(2)1230y y a x x b ---===--，即223b a =，则2244c a ==，所以221,3a b ==，即该双曲线的方程为2213x y -=.3.已知抛物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P(2，2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为( )B ．y 2=4x B ．y 2=−4xC ．x 2=4yD ．y 2=8x 【答案】A【解析】设抛物线方程为y 2=2px ，直线与抛物线方程联立求得x 2−2px =0，∴x A +x B =2p ，∵x A +x B =2×2=4，∴p=2，∴抛物线C 的方程为y 2=4x .类型三 点差法求离心率典例3：已知A ，B 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点，M 是E 上不同于A ，B 的任意一点，若直线AM ，BM 的斜率之积为49-，则E 的离心率为（ ）A 2B 3C ．23D 5【答案】D【解析】由题意方程可知，(,0),(,0)A a B a -，设00(,)M x y ,0000,,AM BM y y k k x a x a∴==+-则000049y y x a x a ⋅=-+- ,，整理得：2022049y x a =--，①又2200221x y a b +=，得2222002()b y a x a =-，即2202220y b x a a =--，②联立①②，得2249b a -=-，即22249a c a -=，解得5e =．对点训练1.设椭圆()222210x y a b a b+=>>的两焦点为12,F F ，若椭圆上存在点P ，使012120F PF ∠=，则椭圆的离心率e 的取值范围为( ). A ．3(0,]2 B ．3(0,]4 C ．32D ．3[,1)4【答案】C【解析】当P 是椭圆的上下顶点时,12F PF ∠最大，121120180,6090,F PF F PO ∴︒≤∠<︒∴︒≤∠<︒12sin 60sin sin 90,F PF ∴︒≤∠<︒113,,1c F P a F O c a ==≤<则椭圆的离心率e 的取值范围为32⎫⎪⎪⎣⎭.2.经过双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右焦点，倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．[2，+∞）B ．（1，2）C ．（1，2]D ．（2，+∞） 【答案】A【解析】已知双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率b a ，∴3b a ≥e 2222224c a b a a+==≥，∴e ≥2，故选：A3.已知双曲线2222:1x y C a b-=的两条渐近线分别为1l 与2l ，A 与B 为1l 上关于原点对称的两点，M 为2l 上一点且AM BM k k e ⋅=，则双曲线离心率e 的值为（ ） A 5 B 51+ C ．2 D 2 【答案】B【解析】设直线1l 的方程为b y x a =，则直线2l 的方程为b y x a =-，设点11,b A x x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭、22,b M x x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则点11,b B x x a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，()1212AM bx x ak x x +=-，()12121212MBb b b x x x x a a a k x x x x -+-==--+，22AM BM b k k e a ∴⋅==，即21e e -=，即210e e --=，1e >，解得512e =，故选：B.综合训练1.已知 m,n,s,t ∈R ∗，m +n =3，ms +nt =1，其中m ，n 是常数且m <n ，若s +t 的最小值是3+2√2，满足条件的点(m,n )是椭圆 x 24+y 216=1一弦的中点，则此弦所在的直线方程为（ ）A. x −2y +3=0B. 4x −2y −3=0C. x +y −3=0D. 2x +y −4=0 【答案】D【解析】因为 m ，n ，s ，t 为正数，m +n =3，ms +nt =1，s +t 的最小值是 3+2√2，所以 (s +t )(ms +nt ) 的最小值是 3+2√2，所以 (s +t )(ms +nt )=m +n +mt s+ns t≥m +n +2√mn ，满足mt s =ns t时取最小值，此时最小值为 m +n +2√mn =3+2√2，得：mn =2，又：m +n =3，所以，m =1，n =2．设以 (1,2) 为中点的弦交椭圆 x 24+y 216=1 于A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，由中点坐标公式知 x 1+x 2=2，y 1+y 2=4，把 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)分别代入 4x 2+y 2=16，得 {4x 12+y 12=16,4x 22+y 22=16,两式相减得 2(x 1−x 2)+(y 1−y 2)=0，所以 k =y 2−y 1x 2−x 2=−2．所以此弦所在的直线方程为 y −2=−2(x −1)，即 2x +y −4=0．2.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，离心率22，过点F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 中点为(1,1)，则直线l 的斜率为（ ）A ．2B ．2-C ．12- D ．12【答案】C 【解析】由题得2222222242,4()2,2c c a a b a a b a =∴=∴-=∴=.设1122(,),(,)A x y B x y ，由题得1212+=2+=2x x y y ，，所以2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩，两式相减得2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +-++-=，所以2212122()2a ()0b x x y y -+-=，所以221212()240()y y b bx x -+=-，所以1120,2k k +=∴=-.3.已知双曲线22184x y -=上有不共线的三点、、A B C ，且AB BC AC 、、的中点分别为D E F 、、，若OD OE OF 、、的斜率之和为-2，则111AB BC ACk k k ++= （ ） A ．-4 B ．23- C ．4 D ．6 【答案】A【解析】设112200(,),(,),(,)A x y B x y D x y ，则1201202,2x x x y y y +=+=，2211184x y -=，2222184x y -=，两式相减，得12121212()()()()84x x x x y y y y +-+-=，即0121202y y y x x x -=-，即12OD AB k k =，同理，得112,2OE OF BC AC k k k k ==，所以1112()4OD OE OF AMBC ACk k k k k k ++=++=-. 4.若双曲线的中心为原点，()2,0F -是双曲线的焦点，过F 直线l 与双曲线交于M ，N 两点，且MN 的中点为()1,3P ，则双曲线的方程为( )A ．2213x y -=B ．2213x y -=C ．2213y x -=D ．2213y x -=【答案】D【解析】根据题意，()2,0F -是双曲线的焦点，则双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线的方程为22221x y a b-=，且()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 过焦点F ，则()30112MNK -==--，则有12121y y x x -=-，变形可得1212y y x x -=-，2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩①②，-①②，2222121222x x y y a b--=，又由1212y y x x -=-，且122x x +=，126y y +=，变形可得：223b a =，又由2c =，则224a b +=，解可得：21a =，23b =，则要求双曲线的方程为：2213y x -=.5.椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22，则m n 的值是( )A ．22B 23C ．922D 23【答案】A【解析】设()()1122,,,M x y N x y ，设MN 中点为1212,22x x y y A ++⎛⎫⎪⎝⎭，直线MN 的斜率为1-，直线OA 的斜率为12121212222y y x x x x y y ++==++.由于,M N 在椭圆上，故2211222211mx ny mx ny ⎧+=⎨+=⎩，两式相减得()()222212120m x x n y y -+-=，化简为12121212x x y y m n y y x x +--⋅=+-，即221,2m m n n -=-=. 6.中心为原点，一个焦点为F （2）的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆方程为（ ）A ．222217525x y +=B ．2217525x y +=C ．2212575x y +=D ．222212575x y +=【答案】C【解析】由已知得c ＝2，设椭圆的方程为2222150x ya a +=-，联立得222215032x y a a y x ⎧+=⎪-⎨⎪=-⎩，消去y 得（10a 2－450）x 2－12（a 2－50）x ＋4（a 2－50）－a 2（a 2－50）＝0，设直线y ＝3x －2与椭圆的交点坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），由根与系数关系得x 1＋x 2＝()22125010450a a --，由题意知x 1＋x 2＝1，即()22125010450a a --＝1，解得a 2＝75，所以该椭圆方程为2212575x y +=.7.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点M 为椭圆C 上异于A ，B 的一点，直线AM 和直线BM 的斜率之积为14-，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．14 B ．12 C ．3 D 15 【答案】C【解析】由已知得(,0),(,0)A a B a -，设()00,x y ，由题设可得，2200221x y a b+=，所以()222202b y a x a=-.因为()222220200022222000014A MM B b a x y y y b a k k x a x a x a x a a -⋅=⋅===-=-+---，所以2214b a =，则22222222314c a b b e a a a -===-=，所以3e =8.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，的一条弦所在的直线方程是30x y -+=，弦的中点坐标是(2,1)M -，则椭圆的离心率是（ ） A 5B 3C ．22D ．12 【答案】C【解析】显然(2,1)M - 在椭圆内，设直线30x y -+=与椭圆的交点为112212(,),(,)()A x y B x y x x ≠，由M 是,A B 的中点有：12124,2x x y y +=-+=,将,A B 两点的坐标代入椭圆方程得:2211221x y a b +=, 2222221x y a b+=。
【高考数学复习 解析几何专题】第3讲 中心弦与中点弦-原卷及答案
第3讲 中心弦与中点弦知识与方法圆锥曲线的中心弦、中点弦是圆锥曲线的重要内容,因其性质丰富,处理方式独特、灵活,是高考命题的重要素材.中点弦问题,常运用点差法、韦达定理来构建中点坐标与斜率之间的代数关系,在等腰三角形、平行四边形、对称问题、两个向量的加法中都隐含了中点弦问题. 1.中心弦(1)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任一条经过原点的弦的两个端点与椭圆上任一点(除这两个顶点)连线的斜率之积是定值22b a -.(2)双曲线22221(,0)x y a b a b-=>上任一条经过原点的弦的两个端点与双曲线上任一点(除这两个端点)连线的斜率之积是定值22b a.2.中点弦(1)中点弦设直线l 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于,A B 两点,弦AB 的中点为M ,则22AB OM b k k a ⋅=-.(2)中点弦设直线l 与双曲线22221(0)x y a b a b-=>>交于,A B 两点,弦AB 的中点为M ,则22AB OM b k k a⋅=.(3)设抛物线22(0)y px p =>的弦AB ,记点()()1122,,,A x y B x y ,弦AB 的中点(0C x ,)0y ,则0AB p k y =, 3.圆、椭圆、双曲线的切线性质如图,已知直线l 是各曲线在点M 处的切线,若将圆看作离心率0e =的特殊的椭圆,则有21l OM k k e ⋅=-.下面仅给出椭圆的中心弦、中点弦的性质推导.命题1试证椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任一条经过原点的弦的两个端点与椭圆上任一点(除这两个顶点)连线的斜率之积为定值.证明设点()00,M x y .点()()1111,,,A x y B x y --. 所以直线AB 的斜率()()010*********,AM BM y y y yk x x k x x x x x x -+=≠=≠--+, 所以22222201002222222201,1,1AM BMy y x y x y k k x x a a a a-⋅=+=+=-,所以()()2222220122122,b x a b x a y ya a --=-=-,所以,()22222210201222220101AM BMb x x y y b a k k x x x x a--⋅===---. 命题2已知直线l 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于,A B 两点,弦AB 的中点为M .试证明22AB OM b k k a⋅=-.证明设点()()1122,,,A x y B x y ,线段AB 的中点()00,M x y ,则2222222222221122,b x a y a b b x a y a b +=+=,所以()()2222222212121212121200y y y y b x x a y y b a x x x x -+-+-=⇒+⋅=-+, 2121221212y y y y b x x x x a-+⋅=--+.则22AB OM b k k a ⋅=-.典型例题【例1】 已知 ,A B 是椭圆 22221(0)x y a b a b+=>> 长轴的两个端点, ,M N 是椭圆上关于 x 轴对称的两点,直线,AM BN 的斜率分别为()1212,0k k k k ≠.若椭圆则12k k +的最小值为（ ） A.1B.C.2【例2】 若 D 是椭圆 22142x y += 的右顶点, 直线 ,AD PD 分别与直线 3x = 相交于 ,E F , 则EF 的最小值为（ ）【例3】已知椭圆221,4x y P +=是椭圆的上顶点,过点P 作斜率为()0k k ≠的直线l交椭圆于另一点A ,设点A 关于原点的对称点为B .设线段PB 的中垂线与y 轴交于点N ,若点N 在椭圆内部,则斜率k 的取值范围为（ ）【例4】已知椭圆2222:1(0)x y T a b a b+=>>内有一定点()1,1P ,过点P 的两条直线12,l l 分别与椭圆T 交于点,A C 和点,B D ,且满足,AP PC BP PD λλ==.若λ变化时,直线CD 的斜率总为14-,则椭圆T 的离心率为（ ）B.12C.2 【例5】 已知 ,A B 是椭圆 22:1164x y C += 的左、右顶点, P 是椭圆 C 上异于点 ,A B 的一点,M 是平面上一动点.当点,A B 在以MP 为直径的圆上时,则AM 的最大值是（ ）【例6】已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左焦点为F,过点F作直线l与椭圆C交于A,B两点,P是椭圆C上一点.若存在l和点P使四边形OAPB为平行四边形,则椭圆C的离心率的取值范围为（）【例7】如图,已知椭圆2222:1(0),x yC a b Oa b+=>>为坐标原点,()2,0C为椭圆的右顶点,点,A B在椭圆上,且四边形OACB是正方形.(1)求椭圆的方程;(2)斜率为k的直线l与椭圆相交于,P Q两点,且线段PQ的中点M恰在线段AB上,求k的取值范围.【例8】已知点()()2,0,2,0A B-, 动点(),M x y满足直线AM与BM的斜率之积为12-.记点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)过坐标原点的直线交曲线C于,P Q两点,点P在第一象限,PE x⊥轴,垂足为E,连结QE并延长交曲线C于点G.求PQG面积的最大值.【例9】 已知 221:(3)27F x y ++= 与 222:(3)3F x y -+=, 以 12,F F 分别为左、右焦点的椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过两圆的交点.(1)求椭圆C 的方程;(2),A B 分别为椭圆C 的左、右顶点,,,M N P 是椭圆C 上非顶点的三点,若//,//OM AP ON BP ,试问OMN 的面积是否为定值?若是,求出这个定值,若不是,请说明理由.【例10】已知椭圆221:12x C y +=,抛物线22:2(0),C y px p A =>是椭圆1C 与抛物线2C 的交点,过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ,交抛物线2C 于点M (点,B M 不同于点A ). (1)若116p =,求抛物线2C 的焦点坐标; (2)若存在不过原点的直线l 使得M 为AB 的中点,求p 的最大值.第3讲 中心弦与中点弦知识与方法圆锥曲线的中心弦、中点弦是圆锥曲线的重要内容,因其性质丰富,处理方式独特、灵活,是高考命题的重要素材.中点弦问题,常运用点差法、韦达定理来构建中点坐标与斜率之间的代数关系,在等腰三角形、平行四边形、对称问题、两个向量的加法中都隐含了中点弦问题. 1.中心弦(1)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任一条经过原点的弦的两个端点与椭圆上任一点(除这两个顶点)连线的斜率之积是定值22b a -.(2)双曲线22221(,0)x y a b a b-=>上任一条经过原点的弦的两个端点与双曲线上任一点(除这两个端点)连线的斜率之积是定值22b a.2.中点弦(1)中点弦设直线l 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于,A B 两点,弦AB 的中点为M ,则22AB OM b k k a ⋅=-.(2)中点弦设直线l 与双曲线22221(0)x y a b a b-=>>交于,A B 两点,弦AB 的中点为M ,则22AB OM b k k a⋅=.(3)设抛物线22(0)y px p =>的弦AB ,记点()()1122,,,A x y B x y ,弦AB 的中点(0C x ,)0y ,则0AB p k y =, 3.圆、椭圆、双曲线的切线性质如图,已知直线l 是各曲线在点M 处的切线,若将圆看作离心率0e =的特殊的椭圆,则有21l OM k k e ⋅=-.下面仅给出椭圆的中心弦、中点弦的性质推导.命题1试证椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任一条经过原点的弦的两个端点与椭圆上任一点(除这两个顶点)连线的斜率之积为定值.证明设点()00,M x y .点()()1111,,,A x y B x y --. 所以直线AB 的斜率()()010101010101,AM BM y y y y k x x k x x x x x x -+=≠=≠--+,所以22222201002222222201,1,1AM BMy y x y x y k k x x a a a a-⋅=+=+=-,所以()()2222220122122,b x a b x a y ya a --=-=-,所以,()22222210201222220101AM BMb x x y y b a k k x x x x a--⋅===---. 命题2已知直线l 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于,A B 两点,弦AB 的中点为M .试证明22AB OM b k k a⋅=-.证明设点()()1122,,,A x y B x y ,线段AB 的中点()00,M x y ,则2222222222221122,b x a y a b b x a y a b +=+=,所以()()2222222212121212121200y y y y b x x a y y b a x x x x -+-+-=⇒+⋅=-+, 2121221212y y y y b x x x x a-+⋅=--+.则22AB OM b k k a ⋅=-.典型例题【例1】 已知 ,A B 是椭圆 22221(0)x y a b a b+=>> 长轴的两个端点, ,M N 是椭圆上关于 x 轴对称的两点,直线,AM BN 的斜率分别为()1212,0k k k k ≠.若椭圆则12k k +的最小值为（ ） A.1B.C.2【分析】由中心弦的性质知,222114MA MB b k k e a ⋅=-=-=-,而BN BM k k =,结合基本不等式可求得12k k +的最小值.【解析】解法1:由点M 与点N 关于x 轴对称,可知2BN BM k k k ==-.又22221114MA MBb k k e a ⋅=-=-=-=-⎝⎭,即1214k k ⋅=, 所以121221k k k k +⋅=,当且仅当12k k =时取得等号,即12k k +的最小值为1.故选A.解法2：设点()()1111,,,()M x y N x y a x a --<<,则111211,y y k k x a x a-==+-.因为椭圆的离心率为2,所以12b a ==,所以211112211221y y y b k k x aa x a x a+=+===+--.故选A. 【点睛】本题主要考查椭圆的中心弦性质,即21MA MB k k e ⋅=-.【例2】 若 D 是椭圆 22142x y += 的右顶点, 直线 ,AD PD 分别与直线 3x = 相交于 ,E F , 则EF 的最小值为（ ）【分析】 通过观察发现,AP 是椭圆的中心弦,于是思考如何用斜率k 表示点,E F 的纵坐标.【解析】 设点()00,P x y ,则点()()00,,2,0A x y D --. 由中心弦性质得2212DA DPb k k a ⋅=-=-,于是设直线DP 的斜率为k ,则直线DA 的斜率为12k-. 所以直线DP 的方程为()2y k x =-,直线DA 的方程为()122y x k=--. 令3x =,得点()13,,3,2E F k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭,所以11222EF k k k k=+=+,当且仅当2k =±时取得等号,所以EF .【点睛】 由于AP 是椭圆的中心弦,引入直线DP 的斜率为k ,将EF 表示为k 的函数,是求解问题的自然的想法.【例3】已知椭圆221,4x y P +=是椭圆的上顶点,过点P 作斜率为()0k k ≠的直线l交椭圆于另一点A ,设点A 关于原点的对称点为B .设线段PB 的中垂线与y 轴交于点N ,若点N 在椭圆内部,则斜率k 的取值范围为（ ）【分析】 先考虑求出线段PB 的中垂线,然后得到点N 的纵坐标;通过“设直联曲”求出点A 的坐标,继而得到PB 的中点M 的坐标;也可运用中心弦的性质,求出PB 的方程,与直线OM 联立,得到中点M 的坐标,从而得到线段PB 的中垂线方程. 【解析】解法1:椭圆中心弦性质 依题意得2214PA PBb k k a ⋅=-=-.又()0PA k k k =≠,所以14PB k k =-,得1:14PB l y x k=-+. 设PB 中点为()00,M x y ,则OM PA k k k ==,得:OM l y kx =.由,114y kx y x k =⎧⎪⎨=-+⎪⎩得022024,414.41k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩线段PB 的中垂线方程为()00:4MN l y y k x x -=-.令0x =,得221241N k y k -=+.因为点N 在椭圆内部,所以1N y <,于是2212141k k <+且0k ≠,解得,044k k -<<≠. 解法2由题意可设直线l 的方程1y kx =+, 代人椭圆方程,整理得()221480k x kx ++=,所以2814A kx k-=+,得221414A k y k -=+. 可得点222814,1414k k A k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭,则点222841,1414k k B k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭,于是2224111148414PBk k k k k k--+==-+,且PB 的中点坐标22244,1414k k k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭, 所以线段PB 的中垂线方程为2224441414k k y k x k k ⎛⎫-=- ⎪++⎝⎭.令0x =,得221214k y k=-+.由题意得1y <,所以2212114k k <+,解得k <<且0k ≠,所以斜率k 的取值范围为0,44⎛⎫⎛-⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭.【点睛】从知识的层面,本题主要背景是中心弦的性质;从方法的层面,其关键是求出中点M 的坐标,进而表示出PB 的中垂线方程,通过联立直线,PB OM 的方程,求解点M 的坐标更显巧妙.【例4】已知椭圆2222:1(0)x y T a b a b+=>>内有一定点()1,1P ,过点P 的两条直线12,l l 分别与椭圆T 交于点,A C 和点,B D ,且满足,AP PC BP PD λλ==.若λ变化时,直线CD 的斜率总为14-,则椭圆T 的离心率为（ ）B.12C.2 【分析】由,AP PC BP PD λλ==,可得弦//AB CD ,于是可依据平行弦的中点轨迹是过中心的一条线段,由中点弦性质列出方程.【解析】解法1由,AP PC BP PD λλ==,则//AB CD . 取,AB DC 的中点,E F ,根据椭圆的垂径定理 所以2222,OE ABOF CD b b k k k k a a⋅=-⋅=-.因为AB CD k k =,所以OE OF k k =,所以,,O E F 三点共线,即,,,F O P E 四点共线.于是21CD OP k k e ⋅=-,所以e =【解析】解法2取临界状态,当,AB CD 为椭圆的切线时,则椭圆在,C A 点处的切线斜率为14k =-,故2114OP k k e ⋅=-=-,所以2e =. 【点睛】椭圆中的平行弦的中点的轨迹是过原点的一条线段,故当//AB CD 时,,,E O F ≡点共线.【例5】 已知 ,A B 是椭圆 22:1164x y C += 的左、右顶点, P 是椭圆 C 上异于点 ,A B 的一点,M 是平面上一动点.当点,A B 在以MP 为直径的圆上时,则AM 的最大值是（ ）【分析】 首先研究点M 的轨迹,注意到41164PA PB k k ⋅=-=-.1,1AP MA BP MB k k k k ⋅=-⋅=-,可得4MA MBk k ⋅=-,于是得点M 的轨迹是椭圆.【解析】 由中心弦性质知41164PA PB k k ⋅=-=-. 因为1,1AP AM BP BM k k k k ⋅=-⋅=-,所以1111444PA PB MA MB AM BM k k k k k k ⋅=-⇒⋅=-⇒⋅=-. 设点()()(),,4,0,4,0M x y A B -,代人上式得444y yx x ⋅=--+.所以22644y x =-,即221616y x +=为动点M 的轨迹方程.又点()4,0A -,所以222222||(4)(4)6443880AM x y x x x x =++=++-=-++. 当44x -时，易得max ||AM ==【点睛】 对于"一动两定”的模型,要探寻定点与两动点的连线段的和差关系或斜率关系,确定动点的轨迹.【例6】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ,过点F 作直线l 与椭圆C交于A ,B 两点,P 是椭圆C 上一点.若存在l 和点P 使四边形OAPB 为平行四边形,则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ）【分析】根据平行四边形OAPB ,说明是粗圆的中点弦问题.通过韦达定理或中点弦性质,构建点P 坐标所满足的方程.【解析】解法1设点()00,P x y ,则OP 的中点00,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭.由中心弦性质得22AB OMMF OM b k k k k a⋅=-=⋅,即()22222220000200202y b a y b x b cx x c x a=-⇒++=+. 所以222020a b b cx +=,所以[]20,2a x a a c =-∈-,解得12e .所以1,12e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.解法2由于OAPB 为平行四边形,则OP OA OB =+.设点()()()112200,,,,,A x y B x y P x y ,则012012,.x x x y y y =+⎧⎨=+⎩设直线:l x my c =-.由()222222222224,20,b x a y a b b m a y b mcy b x myc ⎧+=⇒+--=⎨=-⎩.所以220120022222222,b mc a cy y y x my c b m a b m a =+==-=-++.由2200221x y a b+=,所以222240b m a c +-=,所以222240a c b m -=-. 即2240c a -解得12e.所以1,12e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 解法3设点()cos ,sin P a b θθ,则中点cos sin ,22a b M θθ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 由中点弦性质得22AB OMMF OM b k k k k a⋅=-=⋅,即22sin 0sin 22cos 0cos cos 2b b b a c a a a c θθθθθ-⋅=-⇒+=+,所以1cos 122a ecθ=--⇒.所以1,12e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 【点睛】 对于平行四边形、等腰三角形、菱形等平面图形,通常转化为中点问题.对于中点的处理方法之一是应用中点弦的性质,其二是设而不求,结合韦达定理求出中点坐标,然后利用中点“算两次”得到相应的等量关系,进而求出离心率.【例7】如图,已知椭圆2222:1(0),x y C a b O a b+=>>为坐标原点,()2,0C 为椭圆的右顶点,点,A B 在椭圆上,且四边形OACB 是正方形.(1)求椭圆的方程;(2)斜率为k 的直线l 与椭圆相交于,P Q 两点,且线段PQ 的中点M 恰在线段AB 上,求k 的取值范围.【分析】从问题目例标出发分析.由线段PQ 的中点M 在椭圆内部可以得到k 的不等关系,于是求出中点M 的坐标即可构建目标不等式,可采用韦达定理或点差法求出.【解析】 (1)因为()2,0C 为椭圆的右顶点,故2a =. 因为四边形OACB 是正方形,所以点()1,1在椭圆上,得21114b +=,即243b =.所以椭圆的方程为221443x y +=. (2)方法1设点()()()112200,,,,,P x y Q x y M x y .()222222111212222234,3034,x y x x y y x y ⎧+=⇒-+-=⎨+=⎩,即003x k y =-. 因为点M 在1x =上,所以()001,1,1x y =∈-, 所以013k y =-,即013y k =-,即1113k -<-<,解得11,,33k ∞∞⎛⎫⎛⎫∈--⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 方法2设点()()()112200,,,,,P x y Q x y M x y ,直线l 的方程为y kx m =+.()2222234,136340,x y k x kmx m y kx m ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩, ()()2222Δ36431340k m k m =-+->,即2212340k m -+>.12000223,23131x x km mx y kx m k k +==-=+=++. 因为PQ 的中点恰在线段AB 上,所以23131kmk -=+, 即202311,3313k m m y k k k+=-==-+. 由()01,1y ∈-得1113k -<-<,解得11,,33k ∞∞⎛⎫⎛⎫∈--⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】 利用弦中点在椭圆内部的条件,是构建变量k 的不等关系的常用且高效的方法.【例8】 已知点 ()()2,0,2,0A B -, 动点 (),M x y 满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为 12-.记点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程;(2)过坐标原点的直线交曲线C 于,P Q 两点,点P 在第一象限,PE x ⊥轴,垂足为E ,连结QE 并延长交曲线C 于点G .求PQG 面积的最大值.【分析】 注意到PE x ⊥轴,所以线段PE 分割PQG ,则12PQGG Q S PE x x =⋅-;由中心弦的性质,探寻直线,,PQ GP GQ 的斜率关系,确定三角形的形状,从而求解面积.【解析】(1)因为1222y y x x ⋅=-+-,所以曲线()22:1242x y C x +=≠±. (2)方法1设:PQ y kx =.2222,4(0),121,42P Q y kx x k x x x y k =⎧⎪⇒=>==⎨++=⎪⎩, 记点()()()00000,,,,,0P x y Q x y E x --,所以0022QE y k k x ==. 又由椭圆的中心弦性质知,12GQ GP k k ⋅=-,所以1GP k k=-.所以PQ PG ⊥.故21||tan 2PQGSPQ PQG ∠=⋅. 由两条直线的夹角公式得2tan 2kPQG k ∠=+,()()()()2022812212k k PQ x k k +==++.所以()()()222221881112225PQGk k kk Sk k k k ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==⎛⎫++++ ⎪⎝⎭. 令12t k k=+,所以()28816192252PQGt S t t t==-++. 方法2设点()()()()00000000,,,,,0,:2y P x y Q x y E xQE y x x x --=-. 设2222,4:,121,42P Q y kx PQ y kx x x x x y k =⎧⎪=⋅⇒===⎨++=⎪⎩()()020*******,122,341,42G y y x x x x x x x x y ⎧=-⎪+⎪⇒=⎨+⎪+=⎪⎩()22000020244161211242343412PQGx x k Sy x x k ⋅+++=⋅+=+⋅++ ()()()()22228181169122k k k kk k++=++当且仅当1k =±时取得最大值. 方法3设点()()()()00000000,,,,,0,:2y P x y Q x y E x QE y x x x --=-. ()0020000222200,2221,42G y y x x x x y x x x y x y ⎧=-⎪⎪⇒=+⎨+⎪+=⎪⎩.所以3200002200442G x x y x x x y ++=+, 所以()()()330000002222000018222PQGG x y x y Sy x x x y x y +=+=++.令00y k x =,则同除以40x ,所以()()()300300222200088212212PQGy y k k x x S k k y y x x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==⎡⎤⎡⎤++⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦. 所以()()()222221881112225PQGk k kk Sk k k k ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==⎛⎫++++ ⎪⎝⎭,所以12t k k =+,所以()28816192252PQGt St t t==-++. 【点睛】问题的核心是根据中心弦的性质,发现直线,,PQ PG QG 的斜率关系. 注若两条直线12,l l 的斜率分别为12,k k ,两条直线的夹角为θ,则()121212tan 11k k k k k k θ-=≠-+.【例9】 已知 221:(3)27F x y ++= 与 222:(3)3F x y -+=, 以 12,F F 分别为左、右焦点的椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过两圆的交点.(1)求椭圆C 的方程;(2),A B 分别为椭圆C 的左、右顶点,,,M N P 是椭圆C 上非顶点的三点,若//,//OM AP ON BP ,试问OMN 的面积是否为定值?若是,求出这个定值,若不是,请说明理由.【分析】 由已知条件分析可得21OM ON AP BP k k k k e ⋅=⋅=-,故考虑引入参量()OM k k k =表示点,M N 的坐标,得到OMN 面积关系式.【解析】(1)设两圆交点为Q ,则12QF QF +==,所以2a a ==又因为222a b c -=,所以23b =.故椭圆方程为221123x y +=. (2)方法1由(1)可得点()(),A B -. 设点()()()112233,,,,,M x y P x y N x y .因为//,//OM AP ON BP ,所以14PA PB OM ON k k k k ⋅=⋅=-,即()13131313140.*4y y x x y y x x =-⇒+=设直线MN 的方程为y kx t =+. ()2222214841201,123y kx t k x ktx t x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩, 则()()2222Δ644144120k t k t =-+->,即22312t k <+.且21313228412,1414kt t x x x x k k --+==++,()222222222221313132222412841214141414t k t t k t t k y y k x x kt x x t k k k k k -+-=+++=⋅-+=++++,代人()*得222224121241414t t k k k--=-⋅++,可得()22222312,2314t k t k =+=+.于是有13MN x x =-=,点O 到直线MN 的距离d =,即22323t tS t ⋅===为定值.所以OMN 的面积为定值3.方法2依题意知,14PA PB OM ON k k k k ⋅=⋅=-.设直线:OM y kx =,则直线1:4ON y x k=-.设点()()1122,,,M x y N x y . 由22,312y kx x y =⎧⎨+=⎩得221214x k =+,即2121214x k =+. 同理可得222221248411144k x k k ==+⎛⎫+- ⎪⎝⎭. 所以212211221121111114132242424OMNk S x y x y x x x kx k x x k k k +⎛⎫=-=⋅--⋅=+⋅== ⎪⎝⎭故OMN 的面积为定值3.【点睛】 从知识层面,本题直接运用中心弦的性质得到,OM ON 的斜率关系;从面积关系的构建上,本题运用122112OMN S x y x y =-表示面积,这也是常用方法,可以避开传统的底、高的认定与弦长求解.【例10】已知椭圆221:12x C y +=,抛物线22:2(0),C y px p A =>是椭圆1C 与抛物线2C 的交点,过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ,交抛物线2C 于点M (点,B M 不同于点A ). (1)若116p =,求抛物线2C 的焦点坐标; (2)若存在不过原点的直线l 使得M 为AB 的中点,求p 的最大值.【分析】M 既是椭圆弦AB 的中点,也是抛物线上的点,所以设点()()222,2,2,2A pa pa M pm pm ,运用椭圆的中心弦性质得到,m a 之间的关系,由点A 在椭圆上得到,p a 之间的关系,从而得到p 的最大值.【解析】(1)当116p =时,拋物线2C 的焦点坐标为1,032⎛⎫ ⎪⎝⎭. (2)方法1设点()()222,2,2,2A pa pa M pm pm , 所以()2222221222AM OM pa pm pm k k pa pm pm m m a -⋅=⋅=-+.又由中点弦性质知,12AM OM k k ⋅=-,所以220m am ++=,所以22808a a -⇒.思路一因为点()22,2A pa pa 在椭圆1C 上,所以()2222(2)12pa pa +=,所以2421124160p a a =+,当且仅当28a =时,max 40p =.思路二由222222,4202,A A A A A A x y x px y px ⎧+=⇒+-=⎨=⎩,所以2A x p =.又因为2216A xpa p =,216p p , 所以21160p,所以max p =方法2由题意可设直线():0,0l x my t m t =+≠≠,点()00,A x y .将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=,得()2222220m y mty t +++-=.所以22M mty m =-+. 将直线l 的方程代人抛物线22:2C y px =,得2220y pmy pt --=,所以()()222000222222,,M p m p m y y pt y xmm++=-==.故由点()00,A x y 在椭圆1C 上即220012x y +=, 所以24212242160m m p m m ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当m =,且max 40p =. 【点睛】 本题主要考查中点弦问题,可从设线视角,运用韦达定理沟通变量之间的关系;也可从设点视角,结合点差法,沟通变量之间的关系,体现数学运算中“算两次”的思想.相对而言,比硬解交点容易.。
高考数学二级结论快速解题：专题15 圆锥曲线的中点弦问题(原卷版)
专题15圆锥曲线的中点弦问题一、结论1.在椭圆C :22221(0)x y a b a b中:(特别提醒此题结论适用x 型椭圆)(1)如图①所示,若直线(0)y kx k 与椭圆C 交于A ,B 两点,过A ,B 两点作椭圆的切线l ,l ,有l l ,设其斜率为0k ,则202bk k a.(2)如图②所示,若直线(0)y kx k 与椭圆C 交于A ,B 两点,P 为椭圆上异于A ,B 的点,若直线PA ,PB 的斜率存在,且分别为1k ,2k ,则2122b k k a.(3)如图③所示,若直线(0,0)y kx b k m 与椭圆C 交于A ,B 两点,P 为弦AB 的中点,设直线PO 的斜率为0k ,则202b k k a.2.在双曲线C :22221(0,0)x y a b a b中,类比上述结论有:(特别提醒此题结论适用x 型双曲线)(1)202b k k a .(2)2122b k k a .(3)202b k k a.3.在抛物线C ：22(0)y px p 中类比1（3）的结论有00(0)pk y y.特别提醒：圆锥曲线的中点弦问题常用点差法，但是注意使用点差法后要检验答案是否符合题意；另外也可以通过联立+韦达定理求解.二、典型例题1．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学高三期末（文））设椭圆的方程为22124x y ，斜率为k的直线不经过原点O ，而且与椭圆相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，下列结论正确的是（）A ．直线AB 与OM 垂直；B ．若直线方程为22y x ，则ABC ．若直线方程为1y x ，则点M 坐标为1433，D ．若点M 坐标为 1,1，则直线方程为230x y ；【答案】D 【详解】不妨设,A B 坐标为 1122,,,x y x y ，则2211124x y ,2222124x y ，两式作差可得：121212122y y y y x x x x ，设 00,M x y ，则002y k x .对A ：02AB OM y k k k x，故直线,AB OM 不垂直，则A 错误；对B ：若直线方程为22y x ，联立椭圆方程2224x y ，可得：2680x x ，解得1240,3x x ，故1222,3y y ，则AB，故B 错误；对C ：若直线方程为y =x +1，故可得12y x ，即002y x ，又001y x ，解得0012,33x y ，即12,33M，故C 错误；此题对C 另解，直接利用二级结论，由于本题椭圆方程为22124x y ，是y 型椭圆，所以：202422a k k b ，故可得0012y x ，即002y x ，又001y x ，解得0012,33x y ，即12,33M，故C 错误；对D ：若点M 坐标为 1,1,则121k ，则2AB k ，又AB 过点 1,1，则直线AB 的方程为 121y x ，即230x y ，故D 正确.故选：D .【反思】本题考察椭圆中弦长的求解，以及中点弦问题的处理方法；解决问题的关键是利用点差法，再使用二级结论时，注意先判断椭圆是x 型还是y 型，再利用结论求解.2．（2021·安徽·淮北师范大学附属实验中学高二期中）已知椭圆 2222:10x y E a b a b的右焦点F 与抛物线212y x 的焦点重合，过点F 的直线交E 于A 、B 两点，若AB 的中点坐标为 1,1 ，则E 的方程为（）A ．2214536x yB ．2213627x yC ．2212718x yD ．221189x y【答案】D 【详解】解：设 11,A x y 、 22,B x y ，若AB x 轴，则A 、B 关于x 轴对称，不合乎题意，将A 、B 的坐标代入椭圆方程得22112222222211x y a b x y a b ，两式相减得22221212220x x y y a b ，可得12121222120x x y y y y a x x b，因为线段AB 的中点坐标为 1,1 ，所以，122x x ，122y y ，因为抛物线212y x 的焦点为 3,0，所以 3,0F ，又直线AB 过点 3,0F ，因此1212101132AB y y k x x，所以，2221202a b，整理得222a b，又3c 218a ，29b ，因此，椭圆E 的方程为221189x y ，故选：D.另解：设 11,A x y 、 22,B x y ，若AB x 轴，则A 、B 关于x 轴对称，不合乎题意，因为抛物线212y x 的焦点为 3,0，所以 3,0F ，所以3c ，设线段AB 的中点坐标为 1,1M ，利用二级结论2222220(1)131OM ABOM FM b b b k k k k a a a 2212b a ，又因为229a b ，解得218a ，29b ，因此，椭圆E 的方程为221189x y，故选：D.【反思】在圆锥曲线中，涉及到中点弦问题，小题中，常用点差法，也可以直接使用二级结论，但是在解答题中，不建议直接使用二级结论，即使使用点差法，也需检验答案是否符合题意，否则，最后还是需要联立直线与圆锥曲线，再求解.3．（2021·湖北·高二阶段练习）已知斜率为1的直线与双曲线 2222:10,0x y C a b a b相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，AB 的中点为P ，若直线OP 的斜率为2，则双曲线C 的离心率为（）AB ．2CD ．3【答案】A 【详解】设 11,A x y 、 22,B x y 、 00,P x y ，则22112222222211x y a b x y a b ，两式相减得2222121222x x y y a b ，所以2121221212y y x x b x x a y y ．因为1202x x x ，1202y y y ，所以21202120y y b x x x a y ．因为12121ABy y k x x ，002 OP y k x ，所以2212b a ，故222b a ，故ce a．故选：A.另解：直接利用双曲线中的二级结论，2222222202221223b b k k b a c a a e e a a.【反思】注意使用二级结论的公式，一定要先判断，第一判断曲线是椭圆，还是双曲线，还是抛物线，第二判断圆锥曲线是x 型，还是y 型，第三，根据判断选择合适的二级结论，代入计算.4．（四川省蓉城名校联盟2021-2022学年高二上学期期末联考理科数学试题）已知抛物线 220x py p ，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为（）A ．3y B ．32yC ．3x D ．32x【答案】B【详解】解：根据题意，设 1122,,,A x y B x y ，所以2112x py ①，2222x py ②，所以，① ②得： 1212122x x x x p y y ，即1212122AB y y x x k x x p，因为直线AB 的斜率为1，线段AB 的中点的横坐标为3，所以121212312AB y y x x k x x p p，即3p ，所以抛物线26x y ，准线方程为32y .故选：B【反思】在抛物线C ：22(0)y px p 中类比1（3）的结论有00(0)pk y y，注意到本题的抛物线方程是 220x py p ，此时中点弦二级结论有0x k p，直接代入313p p，小题都可以用二级结论直接求解，但是注意先判断适用条件.5．（2021·江西·南昌市新建区第一中学高二期末（理））已知斜率为(0)k k 的直线l 与抛物线2:4C y x 交于,A B 两点，O 为坐标原点，M 是线段AB 的中点，F 是C 的焦点，OFM 的面积等于3，则k （）A ．14B ．13C ．12D．3【答案】B 【详解】由抛物线2:4C y x 知：焦点 1,0F 设 112200,,,,,,A x yB x y M x y 因为M 是线段AB 的中点，所以01201222x x x y y y将2114y x 和2224y x 两式相减可得： 2212124y y x x ，即121202y y k x x y∵000k y ∴00113,62OFM S y y ,022163k y.故选：B另解：因为抛物线方程2:4C y x ，设AB 的中点00(,)M x y ，由中点弦二级结论，可知：00(0)p k y y代入：02k y ，另焦点 1,0F ，因为面积3OFM S ，可知00113,62OFM S y y ，再代入0213k k y.【反思】中点弦，最典型的方法就是点差法，在判断条件满足二级结论时，可直接使用二级结论.6．（2022·湖北·武汉市第十五中学高二期末）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为4，且点)2在椭圆上．(1)经过点M （1，12）作一直线1l 交椭圆于AB 两点，若点M 为线段AB 的中点，求直线1l 的斜率；【答案】(1)12；.(1)解：由题设椭圆的方程为222+1,4x y b因为椭圆经过点(1,2，所以213+1,1,44b b 所以椭圆的方程为22+14x y .设1122(,),(,)A x y B x y ，所以22112222+44+44x y x y ，所以12121212()()4()()=0x x x x y y y y ，由题得12x x ，所以12121212()4()=0y y x x y y x x ，所以1212241=0y y x x，所以1241=0,=2AB AB k k ，所以直线1l 的斜率为12 ,经检验1l 的斜率等于12复合题意.【反思】在圆锥曲线中，涉及中点弦常用点差法，注意使用点差法，最后需检验，特别是多个答案时，更应该检验，最后保留下符合题意的答案。
圆锥曲线之中点问题及应用+讲义——2024届高三数学一轮复习
第2讲圆锥曲线论之中点问题及应用一、知识点1.中点弦所在直线方程2.有心圆锥垂径定理3.有心圆锥曲线第三定义4.对称问题二、典型例题【题型1 中点弦所在的直线的方程】例1.（1）已知直线l与圆x2+y2=9交于A,B两点，且AB的中点为P(1,1),求直线l的方程（2）已知直线l与椭圆x 24+y23=1交于A,B两点，且AB的中点为P(1,1),求直线l的方程（3）已知直线l与双曲线x2−y22=1交于A,B两点，且AB的中点为P(2,1),求直线l的方程（4）已知直线l与抛物线y2=4x交于A,B两点，且AB的中点为P(1,1),求直线l的方程【题型2有心圆锥曲线垂径定理】例2、（1）已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，点(2,√2)在C上，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A,B，线段AB中点为M，直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值。
（2）已知椭圆C：9x2+y2=m2(m>0), 直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A,B，线段AB中点为M，证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值。
（3）已知A,B,C是椭圆W:x 24+y2=1上的三个点，O是坐标原点，当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由。
（4）已知椭圆E:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32,且过点(√72,34),点P在第一象限，A为左顶点，B为下顶点，PA交y轴于点C，PB交x轴于点D，若CD∥AB,求点P的坐标。
(5)双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，直线y=kx+m交双曲线C于A,B两点，交双曲线C的渐近线于C,D，求证：|AC|=|BD|(6)已知斜率为k的直线l与椭圆C：x 24+y23=1交于A,B两点，且AB的中点为M(1,m)(m>0)，证明：k<−12（7）已知双曲线x2−y22=1,过点P(1,1)能否作直线l，使l与所给双曲线交于Q1,Q2两点，且点P是弦Q1Q2的中点？直线l如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。
圆锥曲线中点弦专题篇
圆锥曲线专题04 中点弦问题一、用点差法求斜率及常用公式在圆锥曲线中涉及弦中点问题，如果涉及斜率，则常用点差法求斜率，关于点差法求斜率的方法，证明过程如下：直线y km b =+与椭圆2222:1x y C a b+=交于A,B 两点，00(x ,y )M 是弦AB 的中点，求直线AB 的斜率。
【解析】设1122A(x ,y ),B(x ,y )，点A,B 在椭圆上，所以221122x y 1a b +=…………………………………….①222222x y 1a b+=…………………………………….②①-②得：2222121222x x y y 0a b --+= 2121221212(x x )(x x )(y y )(y y )a b -+=--+220220y ..x AB AB OM b b k k k a a=-⇒=-这是一个标准的点差法求斜率的例题，不过需要注意最后的结论，因为方法过程简单但是繁琐，在小题里面可以直接利用结论来求出相关的斜率，常用结论如下：1、斜率为k 的直线l 交椭圆22221x y a b +=于1122A(x ,y ),B(x ,y )两点且AB 的中点为00(x ,y )M ，则22.OMb k k a =-，焦点在y 轴上时有22.OM a k k b=-2、斜率为k 的直线l 交双曲线22221x y a b -=于1122A(x ,y ),B(x ,y )两点且AB 中点为00(x ,y )M ，则22.OMb k k a =，焦点在y 轴上时有22.OM a k k b= 3、斜率为k 的直线l 交抛物线22y px =于1122A(x ,y ),B(x ,y )两点且AB 中点为00(x ,y )M ，则0.OM p k k x =例1：已知双曲线2213x y -=的右焦点是抛物线22(p 0)y px =>的焦点，直线y km b =+与抛物线相交于A,B 两个不同的点，点(2,2)M 是AB 的中点，则AOB ∆的面积是（ ）A B C D例2：如图，椭圆22214x y a +=的焦点为12,F F ，过1F 的直线交椭圆于点M,N ，交y 轴于点H ，若1F ，H 是线段的三等分点，则2F MN ∆的周长为_______.【解析】2F MN ∆的周长等于4a ，直线MN 斜率必定存在，设其为k ，则:y k(x c)MN =+可得H(0,ck)，1F H 中点坐标为(,)22c ckP -所以2K 2op ckk c ==--根据中点弦结论可知22K .K MN op b a=-则,(0,)b bc k H a a =，因为H 是1F N 的中点，可得2N(c,)bc a将N 点代入椭圆方程中整理可得225a c =，结合b=2解得25a = 故2F MN ∆的周长为二、利用导数法求解中点弦问题探究：在点差法中我们设了两个点，每个点中又有两个量，能不能减少未知量的个数，利用中点坐标公式我们可以将四个未知量变成两个，如下：例：过点(2,1)A 作一条直线l 交椭圆221169x y +=于点12,P P ，若点A 恰好是弦12P P 的中点，求直线l 的方程。
圆锥曲线中点弦典型例题及解析
01
总结词
这类问题主要考察了圆锥曲线与切线相关的性质和定理，需要利用切线
性质和圆锥曲线的定义来解决。
02
详细描述
在解决与切线相关的问题时，我们需要利用圆锥曲线的切线性质和定义，
结合题目给出的条件，推导出与中点弦相关的方程或不等式，进而求解。
03
示例
已知抛物线C的方程为y^2 = 2px (p > 0)，过其焦点F作直线与C交于A、
数形结合
将代数问题与几何图形相结合 ，利用几何意义求解。
THANKS
感谢观看
特殊情况
当点$P$为圆锥曲线的焦点时， 中点弦称为焦点弦。
中点弦的性质
垂直性质
角度性质
中点弦所在的直线与过点$P$的切线 垂直。
中点弦与切线之间的夹角等于该弦所 对的圆周角。
长度性质
中点弦的长度与过点$P$的切线长度 成反比。
中点弦的几何意义
中点弦是连接圆锥曲 线上的两个对称点的 线段。
中点弦的长度等于圆 锥曲线上的两个对称 点到点$P$的距离之 和的一半。
详细描述
在解决椭圆的中点弦问题时，需要注意中点 弦的特殊性质。例如，当直线过椭圆中心时， 中点弦即为椭圆本身；当直线的斜率为0或 无穷大时，中点弦的长度为椭圆的长轴或短 轴的长度。这些特殊性质可以帮助我们快速 判断中点弦的性质和范围。
双曲线的中点弦问题
总结词
双曲线的性质和方程
详细描述
双曲线的中点弦问题主要考察了双曲线的性质和方程。解决这类问题需要利用双曲线的 性质，如对称性、开口方向等，以及双曲线的方程，如标准方程、参数方程等。通过联 立直线和双曲线的方程，消元化简，可以得到关于中点弦的方程，进一步求解得到中点
圆锥曲线中的中点弦问题
圆锥曲线中的中点弦问题（泌阳第二高级中学河南泌阳463700）直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是高考的一个热点问题，也是解析几何的主要内容之一。
在近几年的高考试题中时有出现。
以下三个结论在解决相关问题时能有效简化解题过程，节省做题时间。
我们通过练习体会一下。
1. 三个结论结论1：在椭圆x2m+y2n=1（m>0，n>0，m≠n）中，弦AB以点M（x0，y0 ）为中点，则弦AB所在直线的斜率与直线OM的斜率之积kAB ·kOM=-nm结论2：在双曲线x2m-y2n=1 （m>0，n>0）中，弦AB以点M（x0，y0）为中点，则弦AB所在直线的斜率与直线OM的斜率之积kAB ·kOM=nm结论3：在抛物线y2=2px（p >0）中，弦AB以点M（x0，y0）为中点，则弦AB所在直线的斜率是kAB =py02. 说明（1）上述结论均只考虑直线斜率存在的情形，做解答题时仍需分类讨论，关注斜率不存在的情形.（2）上述结论均可利用点差法进行证明，（3）.利用结论2求弦所在的直线方程时，应注意验证。
3. 结论的应用类型1：求与中点有关的圆锥曲线的标准方程问题例1（2013年高考数学全国新课标卷I理科第10题）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦点F（3，0），过F的直线交椭圆于A、B两点，若AB的中点坐标是M（1，-1），则椭圆方程是（）A.x245+y236=1B.x227+y218=1C.x236+y227=1D.x218+y29=1析：由结论1可知：kAB·kOM=kMF·kOM=12·-11=-12=-b2a2∴a2=2b2，又a2-b2=9，解得b2=9，a2=18故选D练习.1.（2010年高考数学课标全国卷理科第12题）已知双曲线E的中心为原点，F（3，0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A、B两点，且AB的中点为N（-12，-15），则E的方程是（）A.x23-y26=1B.x24-y25=1C.x26-y23=1D.x25-y24=1析：由结论2知：kAB·kON=b2a2=3-（-12）0-（-15）·-15-12=54，4b2=5a2又a2+b2=9，解得a2=4，b2=5，故选B2.（2012郑州三模，16）已知双曲线x2-y23=1上存在两点M、N关于直线y=x+m 对称，且线段MN 中点P在抛物线y2=18x上，则实数m的值为_________析：由结论2可知：kOP ·kMN=kOP ·（-1）=b2a2=3，∴kOP=-3，设P（x0，y0），则y0x0=-3推出y0=-3x0，代入y2=18x 得9x02=18x0，解得x0=2y0=-6，x0=0y0=0，再代入方程y=x+m ，得m=-8或m=0类型2：求以某点为中点的弦所在直线方程问题例2.（北师大版选修1——1第48页A组第8题）已知椭圆x216+y24=1 ，求以点P（2，-1）为中点的弦所在的直线方程。
圆锥曲线中点弦问题 -2023届高三数学二轮专题复习
专题圆锥曲线综合中点弦问题一、单选题1．（2022·云南·景东彝族自治县第一中学高三阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左焦点为F ，离心率为25．过点F 作直线与椭圆E 交于A ，B 两点，与直线2y x =-交于点P ，若P 恰好是AB 的中点，则直线l 的斜率为（ ）A ．52B ．2150C D ．25-2．（2022·全国·高三专题练习）点1F ，2F 是曲线C ：2213x y -=的左右焦点，过1F 作互相垂直的两条直线分别与曲线交于A ，B 和C ，D ；线段AB ，CD 的中点分别为M ，N ，直线2GF 与x 轴垂直且点G 在C 上.若以G 为圆心的圆与直线MN 恒有公共点，则圆面积的最小值为（ ） A ．1153πB ．763πC ．493πD ．283π3．（2022·安徽淮北·一模（文））已知抛物线()220y px p =>的焦点()2,0F ，过焦点F 的直线交抛物线于,A B两点，若(),2M m 是线段AB 的中点，则下列结论不正确的是（ ） A ．4p = B ．准线方程为2x =- C ．10AB =D ．点M 到准线的距离为64．（2022·湖南长沙·高三阶段练习）已知m ，n ，s ，t 为正数，4m n +=，9m ns t+=，其中m ，n 是常数，且s ＋t 的最小值是89，点M (m ,n )是曲线22182x y -=的一条弦AB 的中点，则弦AB 所在直线方程为（ ）A ．x －4y ＋6=0B ．4x －y －6=0C ．4x ＋y －10=0D ．4100x y +-=5．（2022·全国·高三专题练习）下列结论正确的个数为（ ）①直线(2)y k x =+与曲线y =[0,]6π；②若动点(,)P x y 2，则点P 的轨迹为双曲线；③点1F ，2F 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，且椭圆上存在点P 使得12||3||PF PF =，则椭圆的离心率的取值范围为1[,1)2；④点2F 为椭圆2212516x y +=的右焦点，点P 为椭圆上任意一点，点(1,3)M ，则2||||PF PM +的最小值为5；⑤斜率为2的直线与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于A ，B 两点，点M 为AB 的中点，直线OM 的斜率为1(4O-为坐标原点） A ．1B ．2C ．3D ．46．（2022·内蒙古赤峰·高三期末（文））若椭圆221169x y +=的弦被点()2,1平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） A ．20x y -= B ．370x y +-= C ．240x y +-=D ．98260x y +-=7．（2022·江苏苏州·高三期末）若斜率为(0)k k >的直线与抛物线24y x =和圆22:(5)9M x y -+=分别交于,A B 和,C D 两点，且AC BD =，则当MCD △面积最大时k 的值为（ ）A ．B C ．2D ．8．（2022·浙江·高三专题练习）椭圆22:1C mx ny +=与直线1y =交于M 、N 两点，过原点与线段MN 中点的直线的斜率为23，则mn的值为（ ）A ．2 BC D 9．（2023·全国·高三专题练习）已知斜率为的直线与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>相交于A 、B 两点，O为坐标原点，AB 的中点为P ，若直线OP 的斜率为2，则双曲线C 的离心率为（ ）AB ．2C D ．10．（2021·宁夏·石嘴山市第三中学高三阶段练习（文））已知椭圆22:184x y C +=，直线不过原点O 且不平行于坐标轴，与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M ，则OM 的斜率与直线的斜率的乘积（ ） A ．1-B ．1C ．12D ．12-11．（2021·新疆昌吉·高三阶段练习（文））过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>右焦点F 的直线:0l x y -=交C 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，O 为坐标原点，且OP 的斜率为14-，则椭圆C 的标准方程为（ ）A ．22163x y +=B ．22152x y +=C ．2214x y +=D ．22174x y +=12．（2022·全国·高三专题练习）过点(1,1)A 作直线l 与双曲线2212yx -=交于P ，Q 两点，且使得A 是PQ 的中点，直线l 方程为（ ） A ．210x y --=B ．2x +y -3=0C ．x =1D ．不存在13．（2021·全国·高三专题练习）若椭圆的中心为原点，过椭圆的焦点(2,0)F -的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，已知AB 的中点为11,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则椭圆的长轴长为（ ）A．B ．4 CD二、多选题14．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，过点()2,0M 的直线l 与抛物线C ：()220y px p =>交于A ，B 两点，点()()000,0N x y y ≠为线段AB 的中点，且BN ON =，则下列结论正确的为（ ） A ．N 为AOB 的外心 B ．M 可以为C 的焦点 C ．l 的斜率为1y D ．0x 可以小于215．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆22:1C mx ny +=与直线1y x =+交于A 、B两点，且AB =，21,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭为AB 的中点，若P 是直线AB 上的点，则（ ） A ．椭圆CB ．椭圆CC ．3OA OB ⋅=-D ．P 到C的两焦点距离之差的最大值为16．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，斜率为的直线交抛物线于A 、B 两点，则（ ）A ．抛物线C 的准线方程为1x =B ．线段AB 的中点在直线2y =上C ．若8AB =，则OAB的面积为D ．以线段AF 为直径的圆一定与y 轴相切17．（2021·河北衡水中学高三阶段练习）黄金分割是一种数学上的比例，是自然的数美．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．应用时一般取0. 618．将离心率为黄金比倒数，即0e=的双曲线称为黄金双曲线，若a ，b ，分别是实半轴、虚半轴、半焦距的长，则对黄金双曲线，下列说法正确的有（ ）A ．当焦点在x轴时，其标准方程为2221x a = B ．若双曲线的弦EF 的中点为M ，则0EF OM k k e ⋅=- C ．,,a b c 成等比数列D ．双曲线的右顶点(,0)A a ，上顶点(0,)B b 和左焦点(),0F c -构成的ABF △是直角三角形18．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C ：()222210x y a b b a +=>>的上下焦点分别为1F ，2F ，且焦距为2c ，离心率为e .直线l ：()y kx c k =+∈R 与椭圆交于A ，B 两点，则下列说法中正确的有（ ） A ．若AB 的最小值为3c ，则12e =B ．2ABF △的周长为4aC ．若2213AF AF c →→⋅=，则e的取值范围为12⎤⎥⎣⎦ D ．若AB 的中点为M ，则22OM bk k a ⋅=- 19．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:1(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，ABC 的三个顶点都在椭圆上，O 为坐标原点，设它的三条边AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，F ，且三条边所在直线的斜率分别1k ，2k ，3k ，且1k ，2k ，3k 均不为，则（ ） A ．22:2:1a b =B ．直线AB 与直线OD 的斜率之积为2-C ．直线BC 与直线OE 的斜率之积为12-D ．若直线OD ，OE ，OF 的斜率之和为，则123111k k k ++的值为2- 三、填空题20．（2023·全国·高三专题练习）以(2,1)A 为中点的双曲线22:22C x y -=的弦所在直线的方程为________. 21．（2022·北京二中高三阶段练习）已知A ，B 是抛物线2:4C y x =上的两点，线段AB 的中点为(2,2)M ，则直线AB 的方程为__________．22．（2023·全国·高三专题练习）双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>被斜率为4的直线截得的弦AB 的中点为()21，，则双曲线E 的离心率为 ______.23．（2022·全国·高三专题练习）椭圆2214x y +=，则该椭圆所有斜率为12的弦的中点的轨迹方程为_________________．24．（2022·全国·高三专题练习）若双曲线2213y x -=上存在两个点关于直线:4(0)l y kx k =+>对称，则实数k 的取值范围为______.四、解答题25．（2022·全国·高三专题练习）已知O 为坐标原点，点⎛ ⎝⎭在椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>上，直线l ：=+y x m 与C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M ，直线OM 的斜率为12-．(1)求C 的方程；(2)若=1m ，试问C 上是否存在P ，Q 两点关于l 对称，若存在，求出P ，Q 的坐标，若不存在，请说明理由．26．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．(1)若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标； (2)若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．27．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线C ：22(0)y px p =>与直线2y x =+相切． (1)求C 的方程；(2)过C 的焦点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，AB 的中垂线与C 的准线交于点P ，若PA =，求l 的方程．28．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C ：2214x y -=，过点()2,1P 的直线l 与双曲线C 相交于A ，B两点，O 为坐标原点.(1)判断点P 能否为线段AB 的中点，说明理由(2)若直线OA ，OB 的斜率分别记为OA k ，OB k ，且25OA OB k k +=，求直线l 的方程29．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线Γ上一动点P 到两定点()10,2F -，()20,2F 的距离之和为点()1,0Q - 的直线L 与曲线Γ相交于点()11,A x y ，()22,B x y ． (1)求曲线Γ的方程；(2)动弦AB 满足：AM MB = ，求点M 的轨迹方程；30．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线C 的方程为24(0)y x x =>，曲线E 是以1(1,0)F -、2(1,0)F 为焦点的椭圆，点P 为曲线C 与曲线E 在第一象限的交点，且253PF =． (1)求曲线E 的标准方程；(2)直线与椭圆E 相交于A 、B 两点，若AB 的中点M 在曲线C 上，求直线的斜率k 的取值范围．31．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆22:143x y C +=的一个焦点为()1,0F ，过点()4,0P 且与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于,A B 两点.(1)若线段AB 中点的横坐标为47，求直线的方程；(2)设直线AB 与直线=1x 交于点Q ，点M 满足MP x ⊥轴，MB x ∥轴，试求直线MA 的斜率与直线MQ 的斜率的比值.32．（2022·全国·高三专题练习）设12,F F 分别是椭圆:E 22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线与E 相交于,A B 两点，且22||,||,||AF AB BF 成等差数列． (1)求a 与b 的等量关系；(2)设点()01P -，满足PA PB =，求E 的方程． 33．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，且AB 的中点的纵坐标为2．求C 的方程.34．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，过右焦点()23,0F 的直线交椭圆于A 、B ，且()1,1M -是线段AB 的中点，1F 是椭圆左焦点，求1F AB 的面积．。
高考数学(简单版)-6圆锥曲线中点弦、垂直平分线-简单难度-讲义
圆锥曲线中点弦 垂直平分线知识讲解一、弦的垂直平分线问题1.垂直问题：一般是利用斜率公式及韦达定理求解，设()11,A x y 、()22,B x y 是直线与曲线的两个交点，O 为坐标原点，1）则OA OB ⊥⇔12120x x y y +=，2） 若()00,P x y ,则AP BP ⊥⇔()()()()010201020x x x x y y y y -⋅-+-⋅-=2.弦中点问题：除利用韦达定理外，也可以运用“代点作差法”，但必须以直线与圆锥曲线相交为前提，否则不宜用此法.1）设椭圆或双曲线方程：221x y m n+= 上两点()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点为()00,P x y ，则0022AB y nk x m∙=-3）掌握抛物线2(0)x my m =≠上两点1122(,),(,)A x y B x y 连线的斜率公式12AB x x k m+=3.设而不求法：解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”．设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点()()1122,,,A x y B x y ,弦AB 中点为()00,M x y ，将点A B 、坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法 具体有：1）22221(0)x y a b a b +=>>与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x0,y0)，则有00220x y k a b +=．2）22221(0,0)x y a b a b -=>>与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x0,y0)则有00220x y k a b -=3）y2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.二、中点弦常考题型1.||||PB PA =设1122(,),(,)A x y B x y ,注意一般只有弦与椭圆相交的两点才设为12,x x 的,其它点不要随便设为1122(,),(,)A x y B x y .Q 为弦AB 的中点.设直线方程为y kx m =+,不要设为y kx b =+,因为b 在椭圆标准方程中会出现. 联立直线与椭圆方程22221y kx m x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ,得2222()1x kx m a b ++=,即222222212()10k km m x x a b b b +++-= 设1122(,),(,)A x y B x y ,则22222222222222122222212222211()4()(1)4()02111km k m m k b a b b a b a b km b x x k a b m b x x k a b ⎧⎪⎪⎪∆=-+-=--->⎪⎪⎪⎪⎪⎪+=-⎨⎪+⎪⎪⎪⎪⎪-⎪=⎪+⎪⎩∆中的高次项是可消去的.21222221Q km x x b x k a b+==-+22222222222222222111Q Q k m k m m k m mb b a b a y kx m m k k k a b a b a b-++=+=-+==+++ (由Q x 求Q y 分子是可消去的)故中点Q 的坐标为22222222(,)11km mb a k k a b a b -++定点P 设为(,)s t ，则222222222222222211()1()1Q PQQ m a tk m k t y t a b a a b k km x s km k s b b a b s k a b -+-+-===---+--+ 故222222221()11()m k t a a b k km k s b a b-+=---+，2222222211()()km k km k kt s a a b b a b-+=++，22222111())()k km a b -=2.以,OA OB 为邻边的平行四边形的顶点P 在椭圆上1212,22Q Q x x y y x y ++== 易知P 点坐标212222221P Q km b x x x x k a b==+=-+ 2212121222222()221P Q k mb y y y y kx m kx m k x x m m k a b ==+=+++=++=-++222222222222222211k m m k m mb a b a k k a b a b -++==++ 注意:①不能把P x 代入y kx m =+方程中求P y ,因为点P 不在直线上. ②由P x 求P y 分子是可消去的. 故2222222222(,)11km m b a P k k a b a b -++在椭圆上.则22222222222222()()111km m b a k k a b a b a b-+++= 两边同时乘以22221()k a b+得22222222222441()k m m k a b a b a b +=+ 2222222241(1)()m k k a b a b+=+3.弦AB中点Q 的坐标为22222222(,)11km m b a k k a b a b-++ 垂直平分线方程为222222221()11m kma b y x k k k a b a b -=-+++ 令0x =,得到M 点坐标为2222211()(0,)1m a b k a b-+ 令0y =,得到N 点坐标为2222211()(,0)1km a b k a b -+经典例题一．选择题（共9小题）1．（2016秋•山西校级月考）过椭圆+y2=1的左焦点F作斜率为k（k≠0）的直线交椭圆于A，B两点，使得AB的中点M在直线x+2y=0上，则k的值为（）A．1 B．2C．﹣1 D．﹣2【解答】解：由椭圆方程，a=，b=1，c=1，则点F为（﹣1，0）．直线AB方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，得（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则x0==﹣，y0=k（x0+1）=，由点M在直线x+2y=0上，知﹣2k2+2k=0，∵k≠0，∴k=1．故选：A．2．（2012秋•海曙区校级期末）已知椭圆x2+2y2=4，则以（1，1）为中点的弦的长度是（）A．B．C．D．【解答】解：设弦的两端的端点为（a，b）和（2﹣a，2﹣b）列方程组解得a=1+，b=1﹣或a=1﹣，b=1+两端点的坐标为（1﹣，1+）和（1+，1﹣）弦长为=．故选：C．3．（2013秋•鹿城区校级期中）直线l与双曲线的同一支相交于A，B两点，线段AB的中点在直线y=2x上，则直线AB的斜率为（）A．4 B．2C．D．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），∵线段AB的中点在直线y=2x上，∴，即y1+y2=2（x1+x2），把A（x1，y1），B（x2，y2）分别代入双曲线，得，∴（x1+x2）（x1﹣x2）﹣2（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∴k===．故选：D．4．（2017秋•东湖区校级期末）已知（4，2）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，则l的方程是（）A．x+2y+8=0 B．x+2y﹣8=0C．x﹣2y﹣8=0 D．x﹣2y+8=0【解答】解：设直线l与椭圆交于P1（x1，y1）、P2（x2，y2），（4，2）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，将P1、P2两点坐标代入椭圆方程+=1，+=1相减得直线l斜率：k==﹣=﹣=﹣=﹣．由点斜式可得l的方程为x+2y﹣8=0．故选：B．5．（2018春•屯溪区校级期中）椭圆的一条弦被A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程（）A．x﹣2y=0 B．2x+y﹣10=0C．x+2y﹣8=0 D．2x﹣y﹣2=0【解答】解：设弦的端点坐标为（x1，y1），（x2，y2），则x1+x2=8，y1+y2=4，代入椭圆方程可得，1①，，①﹣②得，，整理可得=﹣，即，由点斜式可得直线方程为：y﹣2=﹣（x﹣4），即x+2y﹣8=0，经检验符合题意，故选：C．6．（2016秋•福建期末）若椭圆的弦中点（4，2），则此弦所在直线的斜率是（）A．2 B．﹣2C．D．【解答】解：设此弦所在直线与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．则，，两式相减得=0．∵，，．代入上式可得，解得k AB=．故选：D．7．（2016秋•西陵区校级期末）已知直线l与双曲线x2﹣y2=1交于A、B两点，若线段AB的中点为C（2，1），则直线l的斜率为（）A．﹣2 B．1C．2 D．3【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），∵A，B在双曲线上，∴，，两式作差可得：，即（x1﹣x2）（x1+x2）=（y1﹣y2）（y1+y2），∴，∵线段AB的中点为C（2，1），∴x1+x2=4，y1+y2=2，∴．即直线l的斜率为2．故选：C．8．（2016秋•潮州期末）若直线l过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线交于A、B两点，且线段AB中点的横坐标为2，则弦AB的长为（）A．2 B．4C．6 D．8【解答】解：因为抛物线为y2=4x，所以p=2设A、B两点横坐标分别为x1，x2，因为线段AB中点的横坐标为2，则，即x1+x2=4，故|AB|=x1+x2+p=4+2=6．故选：C．9．（2016秋•南关区校级期末）若椭圆+=1的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的斜率为（）A．B．C．2 D．﹣2【解答】解：设弦的端点为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=8，y1+y2=4，将A、B坐标代入椭圆方程，得①，②，①﹣②得，，即=﹣，所以此弦所在直线的斜率为﹣．故选：A．二．填空题（共3小题）10．（2014秋•砀山县校级月考）在椭圆+=1内以点P（﹣2，1）为中点的弦所在的直线方程为x﹣2y+4=0．【解答】解：设以点P（﹣2，1）为中点的弦所在的直线与椭圆+=1交于A （x1，y1），B（x2，y2），∵点P（﹣2，1）是线段AB的中点，∴，把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆x2+4y2=16，得，①﹣②得（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∴﹣4（x1﹣x2）+8（y1﹣y2）=0，k==，∴以点P（﹣2，1）为中点的弦所在的直线方程为，整理，得x﹣2y+4=0．故答案为：x﹣2y+4=0．11．（2011•天山区校级模拟）设抛物线y2=4x的一条弦AB以，为中点，则该弦所在直线的斜率为2．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）则，两式相减可得，即（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2）由P为AB的中点可得y1+y2=2∴==2故答案为：212．（2017秋•历城区校级期中）若椭圆+=1的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的斜率为．【解答】解：设弦的两个端点为A（x1，y1），B（x2，y2），则+=1，①，+=1，②．①﹣②得：=﹣．∵点（1，2）是弦的中点∴x1+x2=8，y1+y2=4，∴k==﹣．故答案是﹣．三．解答题（共3小题）13．（2014秋•黄石港区校级期中）求以点（1，﹣1）为中点的抛物线y2=8x的弦所在的直线方程．【解答】解：此弦不垂直于X轴，故设点（1，﹣1）为中点的抛物线y2=8x的弦的两端点为A（x1，y1）B（x2，y2）得到y i2=8x1，y22=8x2两式相减得到（y1+y2）（y1﹣y2）=8（x1﹣x2）∴k==﹣4∴直线方程为y+1=﹣4（x﹣1），即4x+y﹣3=0．14．（2016秋•麦积区校级期末）已知椭圆+=1和点P（4，2），直线l经过点P且与椭圆交于A，B两点．（1）当直线l的斜率为时，求线段AB的长度；（2）当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程．【解答】解：（1）直线l的方程为y﹣2=（x﹣4），即为y=x，代入椭圆方程x2+4y2=36，可得x=±3，y=±．即有|AB|==3；（2）由P的坐标，可得+＜1，可得P在椭圆内，设A（x1，y1），B（x2，y2），则+=1，①+=1，②由中点坐标公式可得x1+x2=8，y1+y2=4，③由①﹣②可得，+=0，④将③代入④，可得k AB==﹣，则所求直线的方程为y﹣2=﹣（x﹣4），即为x+2y﹣8=0．15．（2016•太原三模）已知点P是圆F1：（x+1）2+y2=16上任意一点（F1是圆心），点F2与点F1关于原点对称．线段PF2的中垂线m分别与PF1、PF2交于M、N两点．（I）求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）直线l经过F2，与抛物线y2=4x交于A1，A2两点，与C交于B1，B2两点．当以B1B2为直径的圆经过F1时，求|A1A2|．【解答】解：（I）由题意得，F1（﹣1，0），F2（1，0），圆F1的半径为4，且|MF2|=|MP|，从而|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=|PF1|=4＞|F1F2|，…（2分）∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，…（4分）其中长轴2a=4，得到a=2，焦距2c=2，则短半轴b=，椭圆方程为：…（5分）（Ⅱ）当直线l 与x轴垂直时，B1（1，），B2（1，﹣），又F1（﹣1，0），此时，所以以B1B2为直径的圆不经过F1．不满足条件．…（6分）当直线l 不与x轴垂直时，设L：y=k（x﹣1）由即（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，因为焦点在椭圆内部，所以恒有两个交点．设B1（x1，y1），B2（x2，y2），则：x1+x2=，x1x2=，因为以B1B2为直径的圆经过F1，所以，又F1（﹣1，0）所以（﹣1﹣x1）（﹣1﹣x2）+y1y2=0，即（1+k2）x1x2+（1﹣k2）（x1+x2）+1+k2=0所以解得k2=，…（8分）由得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0因为直线l 与抛物线有两个交点，所以k≠0，设A1（x3，y3），A2（x4，y4），则：x3+x4==2+，x3x4=1所以|A1A2|=x3+x4+p=2++2=．…（12分）。
专题46圆锥曲线中与中点相关的问题
1专题46圆锥曲线中与中点相关的问题知识必备直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，一般有以下三中类型： （1）求中点弦所在直线方程问题； （2）求弦中点的轨迹方程问题； （3）求弦中点的坐标问题. 常见结论如下： （1）椭圆x 2a 2y 2b 2=1，直线y =kx m 相交于A ，B 两点，M 为线段AB 中点，O 为直角坐标系原点，则有k OM ⋅k AB =b 2a 2（注意此处a ，b 只和位置相关，与大小无关）.（2）双曲线x 2a 2y 2b 2=1，直线y =kx m 相交于A ，B 两点，M 为线段AB 中点，O 为直角坐标系原点，则有k OM ⋅k AB =b 2a 2（注意此处a ，b 只和位置相关，与前后无关）.（3）抛物线y 2=2px ，直线y =kx m 相交于A ，B 两点，M 为线段AB 中点，O 为直角坐标系原点，则有y M ⋅k AB =p.典型例题考点一弦中点的应用【例题1】直线y =x 1被椭圆x 24y 22=1所截得弦的中点坐标为（ ）A (23，53) B (43，73) C (23，13) D (43，13)【例题2】若椭圆x 236y 29=1的弦被点(4，2)平分，则此弦所在直线的斜率为________【例题3】椭圆4x 29y 2=144内有一点P (3，2)过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的方程为________ 【例题4】已知椭圆x 2a 2y 2b 2=1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x y 5=0，弦的中点坐标是M (4，1)，则椭圆的离心率是________【例题5】椭圆ax 2by 2=1(a >0，b >0，a ≠b )与直线y =12x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为√32，则ab 的值为________【例题6】若直线y =kx 2与抛物线y 2=8x 交于A 、B 两点，若线段AB 的中点的横坐标是2，则|AB |=__________【例题7】已知椭圆E：x 2a2y2b 2=1(a>b >0)的右焦点为F(4，0)，过点F的直线交椭圆于A ，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为（）A x248y216=1B x236y212=1C x224y28=1D x212y24=1【例题8】双曲线x2y 23=1上两点A，B关于直线y=x1对称，则直线AB方程为（）A y=x B y=x1C y=x1D y=x12【例题9】已知椭圆x 22y2=1上上在在相两两点关于直线y=x t上对称，则实数t上的值值围是是________【例题10】如图，已知椭圆x 22y2=1的左焦点为F，O坐标原点，设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B上两点，线段AB上的垂直平分线与x上轴交于点G上，则点G上横坐标的值值围是为________【例题11】已知双曲线C：x 2a2y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且斜率为13上的直线交双曲线于A，B上两点，线段AB上的垂直平分线恰过点F2上，则该双曲线的离心率为（）A√6B√5C√62D√52【例题12】已知椭圆G：x 2a2y2b2=1(a>b>0)的离心率为√63，右焦点为(2√2，0)，斜率为1的直线l与椭圆G交与A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(3，2).（1）求椭圆G的方程；（2）求△PAB的面积.【例题13】已知椭圆E：x 2a2y2b2=1(a>b>0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c，0)，(0，b)的直线的距离为12c（1）求椭圆E的离心率；（2）如图，AB是圆M：(x2)2(y1)2=52的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程.23【例题14】已知抛物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点F 在x 铀上，过点(2，0)的直线交C 于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ ，线段PQ 的中点为M ，则直线MF 的斜率的最大值为（ ） A√66 B12C√22D 14。
专题03 圆锥曲线中的中点弦问题(解析版)
专题03 圆锥曲线中的中点弦问题一、单选题1．已知椭圆22134x y +=的弦被点(1,1)平分，那么这条弦所在的直线方程为（ ）A ．4370x y +-=B ．4370x y --=C ．3410x y +-=D ．3410x y --=【答案】A 【分析】设出这条弦与椭圆的交点，将点代入椭圆方程，两式作差求出直线的斜率，再利用点斜式即可求解. 【详解】设这条弦与椭圆22134x y +=交于()11,P x y ，()22,Q x y ，由(1,1)在椭圆内，由中点坐标公式知122x x +=，122y y +=，把()11,P x y ，()22,Q x y 代入22134x y +=，可得221122221,341,34x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② ， ①-①可得()()1212860x x y y -+-=，121243y y k x x -∴==--，∴这条弦所在的直线方程为()4113y x -=--， 即为4370x y +-=.则所求直线方程为4370x y +-=. 故选：A2．已知椭圆22:143x y C +=，过点()11P ，的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，若点P 恰为弦AB 中点，则直线l 斜率是（ ） A ．3- B ．13-C ．34-D ．43-【答案】C 【分析】设出,A B 的坐标代入椭圆方程后，作差变形，根据斜率公式和中点坐标公式可得解. 【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，则12122,2x x y y +=+=，则2211143x y +=，2222143x y +=， 两式相减得2222121243x x y y =---， 所以1212121233234424y y x x x x y y -+=-⨯=-⨯=--+，即直线l 斜率是34-. 故选：C 【点睛】方法点睛：一般涉及到弦的中点和弦所在直线的斜率时，使用点差法解决.3．直线1y kx =+与椭圆2214x y +=相交于,A B 两点，若AB 中点的横坐标为1，则k =（ ）A ．2-B ．1-C ．12-D ．1【答案】C 【分析】代入消元得关于x 一元二次方程，再用韦达定理即可. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y把1y kx =+代入2214x y +=得()221480k x kx ++=，122814kx x k +=-+，因为AB 中点的横坐标为1， 所以24114k k -=+，解得12k =-. 故选:C 【点睛】用韦达定理解决直线与圆锥曲线交点问题是常用的方法，需要注意直线与圆锥曲线是否有交点，可用∆判断.4．已知抛物线2:4C y x =，以()1,1为中点作C 的弦，则这条弦所在直线的方程为（ ） A ．210x y --= B ．210x y -+= C ．230x y +-= D ．230x y ++=【答案】A 【分析】设过点()1,1的直线交抛物线C 于()11,A x y 、()22,B x y 两点，可得出121222x x y y +=⎧⎨+=⎩，利用点差法可求得直线AB 的斜率，利用点斜式可得出直线AB 的方程. 【详解】设过点()1,1的直线交抛物线C 于()11,A x y 、()22,B x y 两点. 若直线AB 垂直于x 轴，则线段AB 的中点在x 轴上，不合乎题意. 所以，直线AB 的斜率存在，由于点()1,1为线段AB 的中点，则121222x x y y +=⎧⎨+=⎩，由于点()11,A x y 、()22,B x y 在抛物线C 上，可得21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式作差得()()()22121212124y y y y y y x x -=+⋅-=-，所以，直线AB 的斜率为12121242AB y y k x x y y -===-+，因此，直线AB 的方程为()121y x -=-，即210x y --=.【点睛】本题考查抛物线的中点弦问题，考查点差法的应用，同时也可以利用直线与抛物线方程联立，结合韦达定理求解，考查计算能力，属于中等题.5．已知椭圆G ：22221x y a b+=(0a b >>)的右焦点为()3,0F ，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点.若AB的中点坐标为()1,1-，则G 的方程为（ ）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y +=【答案】D 【分析】先设()11,A x y ，()22,B x y ，代入椭圆方程，两式作差整理，得到2121221212y y y y b a x x x x +--=⋅+-，根据弦中点坐标，将式子化简整理，得到222a b =，根据222a b c =+且3c =，即可求出结果. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，则22112222222211x y a bx y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减并化简得2121221212y y y y b a x x x x +--=⋅+-，又过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点，AB 的中点坐标为()1,1-，所以121222x x y y +=⎧⎨+=-⎩，()12120131AB y y k x x ---==--，即()22222201111213122b b a b a a ----=⨯=-⇒=⇒=-，由于222a b c =+且3c =，由此可解得218a =，29b =，故椭圆E 的方程为221189x y +=.【点睛】本题主要考查求椭圆的方程，考查中点弦问题，属于常考题型.6．在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线26y x =的焦点，A 、B 是抛物线上两个不同的点．若AF BF +5=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ）A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】B 【分析】本题先设11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，并判断线段AB 的中点到y 轴的距离为122x x +，再求12x x +，最后求解. 【详解】解：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则线段AB 的中点到y 轴的距离为：122x x +， 根据抛物线的定义：12AF BF x x p +=++， 整理得：12532x x AF BF p +=+-=-=， 故线段AB 的中点到y 轴的距离为：1212x x +=， 故选：B. 【点睛】本题考查抛物线的定义，是基础题.7．过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点(2,0)F 的直线与C 交于A ，B 两点，若线段AB 的中点M的坐标为95,77⎛⎫-⎪⎝⎭，则C 的方程为（ ） A ．22195x y +=B ．2215x y +=C ．22162x y +=D ．221106x y +=【答案】A 【分析】设,A B 以及AB 中点M 坐标，利用“点差法”得到,AB MO k k 之间的关系，从而得到22,a b 之间的关系，结合()2,0F 即可求解出椭圆的方程.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则12x x ≠AB 的中点95,77M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以5071927AB MFk k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭===-， 又2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩，所以()()2222221212b x x a y y -=--， 即2121221212y y y y b x x x x a-+⋅=--+， 而12121AB y y k x x -==-，121252579927y y x x ⎛⎫⨯- ⎪+⎝⎭==-+⨯， 所以2255199b a =⨯=，又2c =，所以22222254499c a b a a a =-=-==，所以2295a b ==， 椭圆方程为：22195x y +=.故选：A. 【点睛】本题考查了已知焦点、弦中点求椭圆方程，应用了韦达定理、中点坐标公式，属于基础题.8．已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A ,B 两点.若AB 的中点坐标为（1，-1），则G 的方程为（ ）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y +=【答案】D【分析】设出,A B 两点的坐标，利用点差法求得,a b 的关系式，结合222a b c =+求得22,a b ，进而求得椭圆E 的方程. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则22112222222211x y a b x y ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减并化简得2121221212y y y y b a x x x x +--=⋅+-， 即()22222201111213122b b a b a a ----=⨯=-⇒=⇒=-,由于222a b c =+且3c =，由此可解得2218,9a b ==，故椭圆E 的方程为221189x y +=.故选：D. 【点睛】本小题主要考查点差法解决椭圆中的中点弦问题，属于基础题.9．直线l 过点(1,1)P 与抛物线24y x =交于,A B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，则直线l 的斜率为（ ）A ．2B ．2-C ．12D ．12-【答案】A 【分析】利用点差法，21122244y x y x ⎧=⎨=⎩两式相减，利用中点坐标求直线的斜率.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减得()2212124y y x x -=-，即()()()1212124y y y y x x +-=-， 当12x x ≠时，()1212124y y y y x x -+=-，因为点()1,1P 是AB 的中点，所以122y y +=，24k =， 解得：2k = 故选：A 【点睛】本题考查中点弦问题，重点考查点差法，属于基础题型.10．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为FF 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 中点为(1,1)，则直线l 的斜率为（ ）A ．2B ．2-C ．12-D ．12【答案】C 【分析】先根据已知得到222a b =，再利用点差法求出直线的斜率. 【详解】由题得222222242,4()2,2c c a a b a a b a =∴=∴-=∴=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，由题得1212+=2+=2x x y y ，，所以2222221122222222b x a y a b b x a y a b⎧+=⎨+=⎩， 两式相减得2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +-++-=， 所以2212122()2a ()0b x x y y -+-=，所以221212()240()y y b bx x -+=-，所以1120,2k k +=∴=-.故选：C 【点睛】本题主要考查椭圆离心率的计算，考查直线和椭圆的位置关系和点差法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.11．已知椭圆2222:1x y M a b+=(0)a b >>，过M 的右焦点(3,0)F 作直线交椭圆于A ，B 两点，若AB 中点坐标为(2,1)，则椭圆M 的方程为（ ）A ．22196x y +=B ．2214x y +=C ．221123x y +=D ．221189x y +=【答案】D 【分析】设,A B 以及AB 中点P 坐标，利用“点差法”得到,AB PO k k 之间的关系，从而得到22,a b 之间的关系，结合()3,0F 即可求解出椭圆的方程.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，AB 的中点()2,1P，所以01132ABPF kk -===--， 又2222221122222222b x a y a b b x a y a b⎧+=⎨+=⎩，所以()()2222221212b x x a y y -=--，即2121221212y y y y b x x x x a -+⋅=--+， 而12121AB y y k x x -==--，1212211222y y x x +⨯==+⨯，所以2212b a =，又3c =， ①22189a b ⎧=⎨=⎩，即椭圆方程为：221189x y +=.故选：D. 【点睛】本题考查了已知焦点、弦中点求椭圆方程，应用了韦达定理、中点坐标公式，属于基础题.12．已知椭圆2217525+=y x 的一条弦的斜率为3，它与直线12x =的交点恰为这条弦的中点M ，则M 的坐标为（ ）A ．11,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,22⎛⎫⎪⎝⎭C ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭D ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭ 【答案】C 【分析】由题意知：斜率为3的弦中点01(,)2M y ，设弦所在直线方程3y x b =+，结合椭圆方程可得122b x x +=-即可求b ，进而求M 的坐标. 【详解】由题意，设椭圆与弦的交点为1122(,),(,)A x y B x y ，:3AB y x b =+， 则将3y x b =+代入椭圆方程，整理得：22126750x bx b ++-=，①22123648(75)02b b b x x ⎧∆=-->⎪⎨+=-⎪⎩，而121x x =+，故2b =-， ①:32AB y x =-，又01(,)2M y 在AB 上，则012y =-， 故选：C 【点睛】本题考查了求椭圆的弦中点坐标，应用了韦达定理、中点坐标公式，属于基础题.13．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>，过点()4,0的直线交椭圆E 于A ，B 两点.若AB 中点坐标为()2,1-，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．12BC ．13D【答案】B 【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程，利用点差法得到22221212220x x y y a b--+=，然后根据AB 中点坐标为()2,1-，求出斜率代入上式，得到a ，b 的关系求解. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得：22221212220x x y y a b--+=， 因为AB 中点坐标为()2,1-，所以12124,2x x y y +=+=-， 所以()()2212122212122x x b y y b x x y y a a +-=-=-+， 又1212011422AB y y k x x -+===--， 所以22212b a =， 即2a b =，所以c e a ===， 故选：B【点睛】本题主要考查椭圆的方程，点差法的应用以及离心率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且线段AB 的中点为()2,1M -，则直线l 的斜率为（ ）A ．13B ．32C ．12D ．1【答案】C【分析】由椭圆的离心率可得a ，b 的关系，得到椭圆方程为22244x y b +=，设出A ，B 的坐标并代入椭圆方程，利用点差法求得直线l 的斜率．【详解】解：由c e a ==2222234c a b a a -==， 224a b ∴=，则椭圆方程为22244x y b +=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则124x x +=-，122y y +=，把A ，B 的坐标代入椭圆方程得：22211222224444x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩①②， ①-①得：12121212()()4()()x x x x y y y y -+=--+， ∴12121212414()422y y x x x x y y -+-=-=-=-+⨯． ∴直线l 的斜率为12． 故选：C ．【点睛】 本题考查椭圆的简单性质，训练了利用“点差法”求中点弦的斜率，属于中档题．二、多选题15．已知椭圆C ：22148x y +=内一点M (1，2)，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且M 为线段AB 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．椭圆的焦点坐标为(2，0)、(-2，0）B ．椭圆C的长轴长为C ．直线l 的方程为30x y +-=D．3AB = 【答案】CD【分析】 由椭圆方程22148x y +=可得焦点在y轴上，且2,2a b c ===，即可判断AB ；利用点差法可求出直线斜率，即可得出方程，判断C ；联立直线与椭圆方程，利用弦长公式求出弦长即可判断D.【详解】由椭圆方程22148x y +=可得焦点在y轴上，且2,2a b c ===， ∴椭圆的焦点坐标为()()0,2,0,2--，故A 错误；椭圆C的长轴长为2a =，故B 错误；可知直线l 的斜率存在，设斜率为k ，()()1122,,,A x y B x y ， 则22112222148148x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得()()()()12121212048x x x x y y y y -+-++=， ()()121224048x x y y --∴+=，解得12121y y k x x -==--， 则直线l 的方程为()21y x -=--，即30x y +-=，故C 正确； 联立直线与椭圆2230148x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得23610x x -+=， 121212,3x x x x ∴+==，3AB ∴==,故D 正确. 故选：CD.【点睛】易错点睛：已知椭圆方程，在求解当中，一定要注意焦点的位置，本题的焦点在y 轴上，在做题时容易忽略焦点位置，判断错误.三、填空题16．ABC 的三个顶点都在抛物线E ：y 2＝2x 上，其中A (2，2)，ABC 的重心G 是抛物线E 的焦点，则BC 边所在直线的方程为________．【答案】4x ＋4y ＋5＝0【分析】设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，边BC 的中点为M (x 0，y 0)，先求出点M 的坐标，再求出直线BC 的斜率，即得解.【详解】设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，边BC 的中点为M (x 0，y 0)，易知1(,0)2G ， 则12122132203x x y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩从而12012012412x x x y y y +⎧==-⎪⎪⎨+⎪==-⎪⎩，即1(,1)4M --， 又2211222,2y x y x ==，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2(x 1－x 2)，则直线BC 的斜率1212120022112BC y y k x x y y y y -=====--+ 故直线BC 的方程为y －(－1)＝1()4x -+，即4x ＋4y ＋5＝0.故答案为：4x ＋4y ＋5＝0【点睛】方法点睛：圆锥曲线里与弦有关的问题常用点差法：先设出弦的端点坐标，再代入圆锥曲线的方程，再作差化简即得弦的中点坐标和弦的斜率的关系. 17．设A ､B 是椭圆22336x y +=上的两点，点(1,3)N 是线段AB 的中点，直线AB 的的方程为__________.【答案】40x y +-=【分析】设出A ，B 点坐标，根据两点在椭圆上，代入椭圆方程，作差，利用中点坐标公式，即可化简，求出直线AB 的斜率，再根据斜率和直线上的定点坐标，写出点斜式方程．【详解】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则22111212121222223363()()()()0336x y x x x x y y y y x y ⎧+=⎪∴-++-+=⎨+=⎪⎩，依题意，1212123(),AB x x x x k y y +≠∴=-+． (1,3)N 是AB 的中点， 122x x ∴+=，126y y +=，从而1AB k =-.所以直线AB 的方程为3(1)y x -=--，即40x y +-=．故答案为：40x y +-=【点睛】方法点睛：圆锥曲线里与中心弦有关的问题，常用点差法：首先设弦的端点坐标1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，再把点的坐标代入圆锥曲线的方程，再作差化简即得弦的中点和直线的斜率的关系式.18．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，过点（4，0）的直线交椭圆E 于,A B 两点.若AB 中点坐标为（2，﹣1），则椭圆E 的离心率为_______【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程，两式作差，利用离心率公式即可求解.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ， 则2211221x y a b+=，① 2222221x y a b+=，① ①-①可得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=， 因为AB 中点坐标为（2，﹣1），则124x x +=，122y y +=-，所以()2122120121422y y b x x a ---===--， 所以224a b =，因为222b a c =-，所以2234a c =，所以2c e a ==.19．已知双曲线方程是2212y x -=，过定点(2,1)P 作直线交双曲线于12,P P 两点，并使P 为12PP 的中点，则此直线方程是__________________．【答案】47y x =-【分析】设111222(,),(,),P x y P x y 得221122222222x y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，两式相减化简得直线的斜率，即得直线的方程. 【详解】由题得2222x y -=，设111222(,),(,),P x y P x y所以221122222222x y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩， 两式相减得121212122()()()()0x x x x y y y y +--+-=，由题得12124,2x x y y +=+=，所以12128()2()0x x y y ---=，因为12x x ≠，所以12124y y k x x -==-， 所以直线的方程为14(2),y x -=-即47y x =-.故答案为：47y x =-【点睛】方法点睛：点差法：圆锥曲线里遇到与弦的中点有关的问题，常用点差法.先设弦的端点111222(,),(,),P x y P x y 再代点的坐标到圆锥曲线的方程，再两式相减得到直线的斜率和弦的中点的关系式. 再化简解题.20．已知椭圆E ：221189x y +=过椭圆内部点()1,1C -的直线交椭圆于M ，N 两点，且MC CN =则直线MN 的方程为_____________.【答案】230x y --=【分析】由已知条件得到C 为MN 的中点，利用中点坐标公式得到122x x +=，设出直线的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理得到21224412k k x x k++=+即可得出结果. 【详解】由MC CN =，可知C 为MN 的中点，又()1,1C -,不妨设直线MN 的方程为：()11y k x +=-，设点()()1122,,,M x y N x y ，则122x x +=，①将直线MN 的方程代入椭圆的方程消y 得：()22211180x k x +---=⎡⎤⎣⎦， 化简整理得：()()2222124424160k x k k x k k +-+++-=， 由韦达定理得：21224412k k x x k++=+，① 由①①得：12k =， 所以直线MN 的方程为：()1112y x +=-， 即直线MN 的方程为：230x y --=. 故答案为：230x y --=.【点睛】关键点睛：确定C 为MN 的中点以及直线与椭圆的方程联立利用韦达定理求解是解决本题的关键.21．已知双曲线2214x y -=和点()3,1P -，直线l 经过点P 且与双曲线相交于A 、B 两点，当P 恰好为线段AB 的中点时，l 的方程为______．【答案】3450x y +-=【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，利用点差法可求得直线l 的方程，进而可得出直线l 的方程.【详解】设点()11,A x y 、()22,B x y ，若直线l x ⊥轴，则A 、B 两点关于x 轴对称，则点P 在x 轴上，不合乎题意.由于()3,1P -为线段AB 的中点，则12123212x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，可得121262x x y y +=⎧⎨+=-⎩， 将点A 、B 的坐标代入双曲线的方程可得221122221414x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 上述两式相减得222212124x x y y -=-，可得2212221214y y x x -=-，即1212121214y y y y x x x x -+⋅=-+， 所以，12121134y y x x -⎛⎫⋅-= ⎪-⎝⎭，所以，直线l 的斜率为121234y y x x -=--， 因此，直线l 的方程为()3134y x +=--，即3450x y +-=. 故答案为：3450x y +-=.【点睛】 利用弦的中点求直线的方程，一般利用以下两种方法求解：（1）点差法：设弦的两个端点坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，代点作差求得直线的斜率，进而利用点斜式可求得直线的方程；（2）设直线的点斜式方程，将直线方程与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理求得直线的斜率，进而可求得直线的方程.22．已知抛物线2:4,C x y =AB 为过焦点F 的弦，过,A B 分别作抛物线的切线，两切线交于点P ，设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，则下列结论正确的有________．①若直线AB 的斜率为-1，则弦8AB =；①若直线AB 的斜率为-1，则02x =；①点P 恒在平行于x 轴的直线1y =-上；①若点(,)M M M x y 是弦AB 的中点，则0M x x =．【答案】①①①【分析】设P A ①方程()1124x x y k x -=-与抛物线方程24x y =联立，利用判别式求出12x k =，可得P A ①方程，同理可得PB ①方程,联立PA 与PB 的方程求出点P 的坐标，可知①正确；①直线AB 的方程为1y tx =+，与抛物线方程24x y =联立，当1t =-时，利用韦达定理求出0x 与0y 可知①错误，①正确；当1t =-时，利用抛物线的定义和韦达定理可得弦长||8AB =，可知①正确．【详解】 设P A 方程()1124x x y k x -=-与抛物线方程24x y =联立得2211440x kx kx x -+-=① 由2211Δ161640k kx x =-+=得12x k =， PA ∴方程为2111()42x x y x x -=-，同理得PB 方程2222()42x x y x x -=-， 联立21112222()42()42x x y x x x x y x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得121224x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以交点P 1212,24x x x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭，即1202M x x x x +==，所以①正确； 根据题意直线AB 的斜率必存在①①直线AB 的方程为1y tx =+，联立21040y tx x y --=⎧⎨-=⎩，消去y 并整理得2440x tx --=，由韦达定理得121244x x t x x +=⎧⎨⋅=-⎩①12014x x y ∴==-，所以①正确； 当t =-1时，12022x x x +==-，所以①错误， 当t =-1时，根据抛物线的定义可得1212||(2()2)p AB y y y y p p =+---=-++ ()12121124448x x x x =-+-++=-++=+=，所以①正确．故答案为：①①①【点睛】关键点点睛：设出切线方程，利用判别式等于0，求出切线方程，联立切线方程求出交点P 的坐标是解题关键.23．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的半焦距为c，且=c ，若椭圆E 经过,A B 两点，且AB 是圆222:(2)(1)M x y r ++-=的一条直径，则直线AB 的方程为_________.【答案】240x y -+=【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，代入椭圆方程做差，根据直线的斜率公式及AB 的中点M ，求出直线斜率，即可得到直线方程.【详解】设1122(,),(,)A x y B x y , 代入椭圆方程可得：2211221x y a b +=①，2222221x y a b+=①， ①-①得：2212122121()()y y b x x x x a y y -+=--+，由=c 可得22223a b c b -==，即2214b a =， 又AB 的中点M (2,1)-，所以2212122121()11(2)()42ABy y b x x k x x a y y -+==-=-⨯-=-+ 所以直线AB 的方程为11(2)2y x -=+， 即240x y -+=. 故答案为：240x y -+= 【点睛】方法点睛：点差法是解决涉及弦的中点与斜率问题的方法，首先设弦端点的坐标，代入曲线方程后做差，可得出关于弦斜率与弦中点的方程，代入已知斜率，可研究中点问题，代入已知中点可求斜率.24．椭圆221164x y +=的弦AB 中点为(1,1)M ，则直线AB 的方程___________【答案】450x y +-= 【分析】设出,A B 的坐标，利用点差法求解出直线AB 的斜率，然后根据直线的点斜式方程求解出直线AB 的方程，最后转化为一般式方程. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，所以22112222416416x y x y ⎧+=⎨+=⎩，所以1212121214x x y y y y x x +--⋅=+-， 又因为1212122122x x y y +=⨯=⎧⎨+=⨯=⎩，所以12121242AB y y k x x --⋅==-，所以1=4AB k -， 所以()1:114AB l y x -=--，即450x y +-=， 故答案为：450x y +-=. 【点睛】思路点睛：已知椭圆中一条弦的中点坐标，求解该弦所在直线方程的思路：（1）可以通过先设出弦所在直线与椭圆的交点坐标，将坐标代入椭圆方程中并将两个方程作差； （2）得到中点和坐标原点连线的斜率与直线斜率的关系，从而根据直线的点斜式方程可求解出直线方程.25．已知点P (1，2)是直线l 被椭圆22148x y +=所截得的线段的中点，则直线l 的方程是_____.【答案】30x y +-=【分析】设出直线与椭圆的交点，采用点差法进行分析，由此可求得直线的斜率，再根据直线的点斜式方程则直线l 的方程可求. 【详解】设直线l 与椭圆交于,A B 两点，()()1122,,,A x y B x y ，所以22112222148148x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以222212124488x x y y ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 所以121212122x x y y y y x x +--⋅=+-，且121222,24P P x x x y y y +==+==，所以12122214l y y k x x -==-⋅=--，所以():21l y x -=--即30x y +-=，故答案为：30x y +-=. 【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆中点弦所在直线方程的求法，难度一般.已知椭圆中一条弦的中点坐标，求解该弦所在直线方程时，可以通过先设出弦所在直线与椭圆的交点坐标，将坐标代入椭圆方程中并将两个方程作差，由此可得中点和坐标原点连线的斜率与直线斜率的关系，从而根据直线的点斜式方程可求解出直线方程.四、解答题26．已知椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为A 、B ，直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点．（1）点P 的坐标为1(1,)3，若MP PN =，求直线l 的方程；（2）若直线l 过椭圆C 的右焦点F ，且点M 在第一象限，求23(MA NB MA k k k -、NB k 分别为直线MA 、NB 的斜率）的取值范围． 【答案】（1）931412y x =-+；（2）[3,0).4-【分析】（1）利用点差法，求直线的斜率，再求直线方程；（2）直线的斜率不存在时，求点,M N 的坐标，得到NBMAk k 的值，以及当斜率存在时，直线与曲线方程联立，利用根与系数的关系求NBMAk k 的值，并将23MA NB k k -表示为MA k 的二次函数，并求取值范围. 【详解】解：（1）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ， 由题意可得P 为线段MN 的中点，由22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减可得 12121212()()()()043x x x x y y y y -+-++=，而1(1,)3P ，即有122x x +=，1223y y +=， 则12122()2()049x x y y --+=，可得121294y y x x -=--， 故直线l 的方程为19(1)34y x -=--， 即931412y x =-+； （2）由题意可得(2,0)A -，(2,0)B ，(1,0)F ，当直线l 的斜率不存在时，3(1,)2M ，3(1,)2N -，12MA k =，332M NB A k k ==．当直线l 的斜率存在时，则l 的斜率不为0，设直线l 的方程为(1)y k x =-，0k ≠，与椭圆方程223412x y +=联立， 可得2222(34)84120k x k x k +-+-=，则2122834kx x k +=+，212241234k x x k-=+，所以2121121212112121212(1)(2)2()23·2(1)(2)()2NB MA k y x k x x x x x x x k x y k x x x x x x x +-+++--===----++- 22211222222112224128121822333434343412846()2343434k k k x x k k k k k k x x k k k---+⋅---+++===----+--+++， 所以3NB MA k k =，因为M在第一象限，所以MA k ∈， 所以2221333333()[244MA NB MA MA MA k k k k k -=-=--∈-，0)． 【点睛】思路点睛：1.一般涉及中点弦问题时，采用点差法求解；2.直线与圆锥曲线相交问题时，有时需要考查斜率不存在和存在两种情况，斜率存在的情况经常和曲线方程联立，利用根与系数的关系解决几何问题. 27．已知动圆M 过点(2,0)F ，且与直线2x =-相切． （①）求圆心M 的轨迹E 的方程；（①）斜率为1的直线l 经过点F ，且直线l 与轨迹E 交于点,A B ，求线段AB 的垂直平分线方程．【答案】（①）28y x =；（①）100x y +-=.【分析】（①）由题意得圆心M 到点(2,0)F 等于圆心到直线2x =-的距离，利用两点间距离公式，列出方程，即可求得答案.（①）求得直线l 的方程，与椭圆联立，利用韦达定理，可得1212,x x x x +的值，即可求得AB 中点00(,)P x y 的坐标，根据直线l 与直线AB 垂直平分线垂直，可求得直线AB 垂直平分线的斜率，利用点斜式即可求得方程. 【详解】（①）设动点(,)M x y|2|x =+， 化简得轨迹E 的方程：28y x =；（①）由题意得：直线l 的方程为：2y x =-，由28y x⎨=⎩，得21240x x -+=，2124140∆=-⨯⨯>， 设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点00(,)P x y 则121212,4x x x x +==， 所以12062x x x +==，0024y x =-=， 又AB 垂直平分线的斜率为-1，所以AB 垂直平分线方程为100x y +-=. 【点睛】本题考查抛物线方程的求法，抛物线的几何性质，解题的关键是直线与曲线联立，利用韦达定理得到1212,x x x x +的表达式或值，再根据题意进行化简和整理，考查计算求值的能力，属基础题.28．已知椭圆222:1(1)x E y a a +=>的离心率为2.（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线:0l x y m -+=与椭圆交于E F 、两点，且线段EF 的中点在圆22+1x y =，求m 的值.【答案】（1）2212x y +=；（2）5±. 【分析】（1）根据条件解关于,a c 的方程组即可得结果；（2）设()11,E x y ，()22,F x y ，联立直线方程与椭圆方程，根据韦达定理，可求得中点坐标，代入圆方程解得m 的值. 【详解】（1）由题意，得2221c a a c ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，解得1a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故椭圆的标准方程为2212x y +=．（2）设()11,E x y ，()22,F x y ，线段EF 的中点为()00,M x y ．联立2212x y ⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得，2234220x mx m ++-= 120223x x m x +==-，003m y x m =+=，即2,33m m M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()()22443220m m m ∆=-⨯⨯->⇒<又因为点M 在圆221x y +=上，所以222133m m ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得5m =±，满足题意． 【点睛】关键点睛：本题考查弦中点问题以及椭圆标准方程，解题的关键是熟悉中点坐标公式，本题中直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理求出12x x +，求出中点坐标，再将其代入圆中求解，考查了学生的基本分析转化求解能力，属中档题.30．已知直线l 与抛物线2:5C y x =交于,A B 两点． （1）若l 的方程为21y x =-，求AB ； （2）若弦AB 的中点为()6,1-，求l 的方程．【答案】（1；（2）52280x y +-=. 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，写出韦达定理，利用弦长公式即可求解； （2）利用点差法求出直线斜率，即可求出直线方程. 【详解】设,A B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ．（1）联立25,21,y x y x ⎧=⎨=-⎩得24910,0x x -+=∆>，因此121291,44x x x x +==，故||4AB ===． （2）因为,A B 两点在C 上，所以2112225,5,y x y x ⎧=⎨=⎩两式相减，得()2221215y y x x -=-，因为12122y y +=-⨯=-，所以212112552AB y y k x x y y -===--+，因此l 的方程为5(1)(6)2y x --=--，即52280x y +-=． 【点睛】方法点睛：解决中点弦问题常用点差法求解，即将两交点设点代入曲线方程，两式相减利用平方差公式化简，将中点坐标代入即可得出弦所在直线斜率.31．坐标平面内的动圆M 与圆1C 22:(4)1x y ++=外切，与圆222:(4)81C x y -+=内切，设动圆M 的圆心M 的轨迹是曲线E ，直线0l :45400x y -+=. （1）求曲线E 的方程；（2）当点M 在曲线E 上运动时，它到直线0l 的距离最小？最小值距离是多少？（3）一组平行于直线0l 的直线，当它们与曲线E 相交时，试判断这些直线被椭圆所截得的线段的中点是否在同一条直线上，若在同一条直线上，求出该直线的方程；若不在同一条直线上，请说明理由？【答案】（1）221259x y +=；（2）点9(4,)5M -到直线0l的距离最小，；（3）在同一直线，直线为：9200x y +=. 【分析】（1）利用两个圆外切与内切的性质可得12||||10MC MC +=，再利用椭圆的定义即可求得曲线的方程；（2）设与0l 平行的直线l 的方程为450x y m -+=，代入221259x y +=，整理可得222582250x mx m ++-=，当222500360m ∆=-=，直线l 与曲线E 相切，此时点9(4,)5M -到直线0l 的距离最小，利用点到线距离公式求得最小值.（3）设两个交点为1122(,),(,)A x y B x y ，利用点差法化简得12121212925y y x x x x y y -+=-⋅-+，即49525xy=-⋅，整理得9200x y +=. 【详解】解：（1）设动圆M 的半径为r ，由题意可知12||1,||9MC r MC r =+=-，则1212||||10||8MC MC C C +=>=，根据椭圆的定义可知曲线E 是以12,C C 为焦点，长轴长为10的椭圆，其中210,28a c ==，即5,4,3a c b ====所以曲线E 的方程为：221259x y +=.（2）设与0l 平行的直线l 的方程为450x y m -+=，即455m y x =+，代入221259x y +=，可得224925()22555m x x ++=，整理得222582250x mx m ++-=， 22264100(225)2250036m m m ∆=--=-，当0∆=时，此时25m =±直线l 与曲线E 相切，根据图形可知当25m =时，点9(4,)5M -到直线0l的距离最小，min9|4(4)540|41d⨯--⨯+==. （3）这些直线被椭圆所截得的线段的中点在同一条直线上设与0l 平行的直线与曲线E 的两交点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，中点(,)N x y ，2211222212591259x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式作差得222212120259x x y y --+=，整理可得：12121212925y y x x x x y y -+=-⋅-+，即49525x y =-⋅，整理得9200x y +=，即所有弦的中点均在直线9200x y +=上.【点睛】思路点睛：本题考查求椭圆的标准方程，椭圆上点到直线的最近距离，点差法的应用，解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．32．已知椭圆22122:1(0x y C a b a b +=>>）的长轴长为8，一条准线方程为x =与椭圆1C 共焦点的双曲线2,C 其离心率是椭圆1C 的离心率的2倍. （1）分别求椭圆1C 和双曲线2C 的标准方程；（2）过点M (4，1)的直线l 与双曲线2,C 交于P ，Q 两点，且M 为线段PQ 的中点，求直线l 的方程.【答案】（1）221169x y +=；22143x y -=；（2）3110x y --= 【分析】（1）根据椭圆的长轴长以及准线方程求出4a =，c =进而求出3b ==，即求椭圆的方程，求出椭圆的离心率，可得双曲线的离心率，结合与椭圆共焦点即可求出双曲线的标准方程. （2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，利用点差法求出直线的斜率即可求解. 【详解】（1）椭圆22122:1(0x y C a b a b+=>>）的长轴长为28a =，则4a =，一条准线方程为x =，则27a c =，解得c =所以3b ==，所以椭圆1C 的标准方程为221169x y +=，离心率14c e a ==设双曲线的标准方程为()2211221110,0x y a b a b -=>>，则222117c a b ==+，1=，解得12a =，所以1b ===所以双曲线2C 的标准方程为22143x y -=. （2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，22112222143143x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ，两式作差可得()()()()1212121211043x x x x y y y y +--+-=， ()()12121182043x x y y ⨯⨯--⨯⨯-=， 即12123y y x x -=-， 所以直线l 的斜率为3，所以直线l 的方程为()134y x -=-， 即3110x y --=. 【点睛】关键点点睛：根据中点弦求直线方程，关键是利用“点差法”求出直线的斜率，考查了计算求解能力.33．椭圆C：(222212x y m m m+=>，直线l 过点()1,1P ，交椭圆于A ､B 两点，且P 为AB 的中点. （1）求直线l 的方程；（2）若AB OP =，求m 的值. 【答案】（1）230x y +-=；（2）m 【分析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，利用点差法求直线的斜率；（2）根据（1）的结果，联立方程，利用弦长公式AB =m 的值.【详解】（1）222113122m m m +=<，(m >，∴点P 在椭圆里面， 设()11,A x y ，()22,B x y ， 则2211222222221212x y m m x y m m ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减可得222212122202x x y y m m --+=， 变形为()()()()121212122202x x x x y y y y m m +-+-+=，① 点()1,1P 是线段AB 的中点，12122,2x x y y ∴+=+=，并且有椭圆对称性可知120x x -≠，由①式两边同时除以12x x -，可得，1222122202y y m m x x -+⋅=-， 设直线AB 的斜率为k ，120k ∴+=， 解得：12k =-， 所以直线l 的方程()1112302y x x y -=--⇒+-=； （2）OP ==222212230x y m m x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，22612920y y m -+-=， 可得122y y +=，212926m y y -=，AB ===，且m >解得：m【点睛】方法点睛：点差法是解决涉及弦的中点与斜率问题的方法，首先设弦端点的坐标，可得出关于弦斜率与弦中点的方程，代入已知斜率，可研究中点问题，代入已知中点可求斜率.34．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C的焦点为(0,、，实轴长为（1）求双曲线C 的标准方程；（2）过点()1,1Q 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，且恰好为线段MN 的中点，求线段MN 长度.【答案】（1）2212y x -=；（2【分析】（1）根据双曲线的定义c =，a =（2）先根据点差法求直线l 的方程，再根据弦长公式即可求出.【详解】（1）双曲线C的焦点为(0,、，实轴长为则a =c =而222321b c a =-=-=， ∴双曲线C 的标准方程2212y x -=； （2）设点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，点()1,1Q 恰好为线段MN 的中点，即有122x x +=，122y y +=， 又221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减可得121212121()()()()2y y y y x x x x -+=-+， ∴12122y y x x --=， ∴直线l 的斜率为2k =，其方程为12(1)y x -=-，即21y x =-，由222122y x y x =-⎧⎨-=⎩，即22410x x --=，可得1212x x =-，则MN ===【点睛】本题考查了双曲线的方程，直线与双曲线的位置关系，考查了运算求解能力，属于中档题.35．已知双曲线2212y x -=. （1）倾斜角45°且过双曲线右焦点的直线与此双曲线交于M ，N 两点，求MN .（2）过点(2,1)A 的直线l 与此双曲线交于1P ，2P 两点，求线段12PP 中点P 的轨迹方程；（3）过点(1,1)B 能否作直线m ，使m 与此双曲线交于1Q ，2Q 两点，且点B 是线段12Q Q 的中点?这样的直线m 如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.【答案】（1）8（2）22240x y x y --+=（3）不存在，理由见解析【分析】（1）直线斜率为1，写出直线方程与双曲线联立，由韦达定理即弦长公式求解；（2）设11(P x ，1)y ，22(P x ，2)y ，(,)P x y ，则221122x y -=，222222x y -=，两式相减，利用P 是中点及斜率相等可求P 得轨迹方程，从而得到其轨迹；（3）假设直线l 存在．由已知条件利用点差法求出直线l 的方程为210x y --=，联立方程组2222210x y x y ⎧-=⎨--=⎩，得22430x x -+=，由80∆=-<，推导出直线m 不存在． 【详解】（1）由双曲线2212y x -=知，右焦点为，由直线倾斜角45°可知直线斜率为1，所以直线方程为：y x =联立2212y x y x ⎧=⎪⎨-=⎪⎩可得250x +-=， 设1122(,),(,)M x y N x y ，则0∆>且12x x +=-125x x ⋅=-，所以12||||8MN x x =-==（2）设11(P x ，1)y ，22(Px ，2)y ，(,)P x y ， 则122x x x +=，122y y y +=，221122x y -=，222222x y -=， 12124()2()0x x x y y y ∴---=，∴直线12PP 的斜率12122y y x k x x y-==-， 12AP y k x -=-，A ，P ，1P ，2P 共线， ∴122y x x y -=-， 22240x y x y ∴--+=，即线段12PP 的中点P 的轨迹方程是22240x y x y --+=． （3）假设直线m 存在．设(1,1)B 是弦12Q Q 的中点，且11(Q x ，1)y ，22(Q x ，2)y ，则122x x +=，122y y +=．1Q ，2Q 在双曲线上，∴221122222222x y x y ⎧-=⎨-=⎩， 121212122()()()()0x x x x y y y y ∴+---+=，12124()2()x x y y ∴-=-，12122y x y k x -∴==-， ∴直线m 的方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，联立方程组2222210x y x y ⎧-=⎨--=⎩，得22430x x -+= ①1643280∆=-⨯⨯=-<，∴直线m 与双曲线无交点，直线m不存在．【点睛】关键点点睛：在直线与双曲线相交问题中，涉及弦及弦中点的问题，可以采用“点差法”，可以简化运算，降低运算难度.。
专题训练 圆锥曲线中点弦问题 - 2023届二轮复习 答案
专题 圆锥曲线综合中点弦问题一、单选题 1．【答案】B【分析】设椭圆焦距为2c ，再设出()()()112200,,,,,A x y B x y P x y 三点，由002y x =-，通过计算可得到2122122y y b x x a -=-，进而得到222125b a =，即可解得斜率． 【详解】设椭圆焦距为2c ，所以25c a =． 设()()()112200,,,,,A x y B x y P x y ，则002y x =-，且221122222222+=1+=1x y a b x y a b ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，由两式相减可得22221212220x x y y a b --+=， 即()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=，根据条件可得：1201202,2x x x y y y +=+=， 故()()01201222220x x x y y y a b --+=，由002y x =-，可得2122122y y b x x a -=-． 因为22425c a =，所以222125b a =， 即直线的斜率为2221250b k a ==．故选：B ． 2．【答案】B【分析】讨论,AB CD 斜率，斜率存在时设:2AB x ky =-、:2yCD x k=--联立曲线C ，应用韦达定理求线段AB ，CD 的中点坐标，进而确定MN 的方程，可得MN 过定点(3,0)P -，若以G 为圆心的圆半径为，只需保证22||r GP ≥可满足圆与直线恒有公共点，即得面积最小值.【详解】当直线,AB CD 斜率均存在时，令:2AB x ky =-且30,3k ⎧⎪≠±⎨⎪⎩，则:2y CD x k =--， 联立AB 与曲线C 并整理得：22(3)410k x ky --+=， 且222164(3)12(1)0k k k ∆=--=+>，则243A B ky y k +=-，所以222412433A B k x x k k +=-=--，故2262(,)33k M k k --， 联立CD 与曲线C 并整理得：222134()10k y y k k-++=，同理，2431C D k y y k +=-，221213C D k x x k +=-，可得22262(,)1331k kN k k --， 直线2:23(1)60MN kx k y k +-+=，故MN 过定点(3,0)P -，当直线,AB CD 中一条的斜率不存在时，令:2AB x =-，则:0CD y =， 所以(2,0)M -，(0,0)N ，故:0MN y =过(3,0)P -，而3(2,)3G ±，要使以G 为圆心的圆与直线MN 恒有公共点，且圆面积最小， 若圆的半径为，只需2276||3r GP ≥=恒成立，故圆最小面积为763π. 故选：B【点睛】关键点点睛：讨论直线,AB CD 斜率，设直线方程联立曲线方程，结合韦达定理求线段中点坐标，进而确定MN 的方程，得到MN 过定点(3,0)P -，根据恒有公共点有圆半径为，只需保证22||r GP ≥恒成立即可. 3．【答案】D【分析】由焦点坐标可求出p 的值和准线方程，从而可判断AB ，利用点差法可求出直线的斜率，从而可求出直线的方程，可求出AB 和M 到准线的距离，可判断CD【详解】因为抛物线()220y px p =>的焦点()2,0F ，所以22p=，得4p =，准线方程为2x =-，抛物线方程为28y x =，所以AB 正确， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则2118y x =，2228y x =，两式相减得2221218()y y x x -=-，所以()()2121218()y y y y x x +-=-，所以2121218824y y x x y y -===-+， 所以直线的斜率为2，所以直线的方程为2(2)y x =-， 代入抛物线方程整理得 2640x x -+=，所以126x x +=，所以1210AB x x p =++=，所以C 正确，由126x x +=，得1232x x +=，所以()3,2M ，所以点M 到准线的距离为5，所以D 错误， 故选：D 4．【答案】A 【分析】由已知9m ns t+=求出s t +取得最小值时,m n 满足的条件，再结合4m n +=求出,m n ，再用点差法求出直线的斜率，从而得直线方程．【详解】∵1118()()()(2)9999m n ns mt s t s t m n m n mn s t t s +=++=+++≥++=， 当且仅当ns mt t s=ns mt =取等号， ∴28m n mn ++=，又4m n +=，又,m n 为正数，∴可解得22m n =⎧⎨=⎩．设弦两端点分别为1122(,),(,)x y x y ，则22112222182182x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 两式相减得12121212()()()()082x x x x y y y y +-+--=，∵12124,4x x y y +=+=， ∴121212122()18()4y y x x k x x y y -+===-+． ∴直线方程为12(2)4y x -=-，即460x y -+=．故选：A ． 5．【答案】D【分析】对于①利用数形结合先求出曲线21y x -(2)y k x =+有公共点时斜率的范围，再由斜率与倾斜角的关系判断；对于②由双曲线的定义可判断；对于③，由椭圆的定义结合条件可得22aPF =，根据范围可判断；对于④，设椭圆的左焦点为1F ，由椭圆的定义可得21||||10(||||)PM PF PF PM +=--，结合两点距离直线最短原理可判断；对于⑤由点差法结合中点坐标公式可得出22b a -的值，从而得出离心率，进而可判断.【详解】解：对于①，直线(2)y k x =+恒过定点(2,0)-，曲线21y x =-1的上半圆，如图1，由直线经过圆心，可得0k =； 由直线和圆相切，可得211d k==+，解得3k =k 的范围是[03，则直线的倾斜角的取值范围为[0,]6π，故①正确；对于②，若动点(,)P x y 满足2222(2)(2)2x y x y ++--+=， 即P 与两点(2,0)A -，(2,0)B 的距离的差为2，因为2||AB <， 所以P 的轨迹为以A ，B 为焦点的双曲线的右支，故②错误；对于③，由椭圆的定义可得12||||2PF PF a +=，又12||3||PF PF =，解得2||2aPF =， 设椭圆的半焦距为，可得2aa ca c -+，即有2a c ，所以1[2c e a =∈，1)，故③正确； 对于④，设椭圆的左焦点为1F ，如图2，由椭圆的定义可得12||||210PF PF a +==， 由M 在椭圆内，22211||||10(||||)10||10(13)(30)1055PM PF PF PM F M +=---=-++-=-=， 当且仅当P ，1F ，M 共线时，2||||PF PM +取得最小值5，故④正确；对于⑤，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，可得2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，两式相减可得1212121222()()()()x x x x y y y y a b-+-+=-，由题意可得12122y y x x --=，且12(2x x M +，12)2y y +，121214y y x x +=-+， 所以22112()42b a -=⨯-=-，则22121122c b e a a ==-=-=，故⑤正确．故选：D ．6．【答案】D【分析】设出弦的两个端点坐标，代入椭圆方程，作差可得斜率，再由直线方程的点斜式得答案． 【详解】设弦的两个端点分别为()()1122,,,A x y B x y ．则222211221,1169169x y x y +=+=， 两式作差可得：()()()()12121212169x x x x y y y y -+-+=-，∴()()121212129499161628AB x x y y k x x y y +-=-==-⨯⨯-=-+．即弦所在直线的斜率为98-，直线方程为()9128y x -=--，整理得：98260x y +-=． 故选:D ． 7．【答案】D【分析】由条件可得AB 的中点与CD 的中点重合，设此点为P ，则249MCD S MP MP =-△当MCD △面积最大时MP 的长，结合此时MP AB ⊥列出不等式，解出12y y +，得出答案. 【详解】AC BD =，则AB 的中点与CD 的中点重合，设此点为P ，2241129922MCD S CD MP MP MP MP MP =⋅⋅=⋅-=-△当292MP =时，MCD S △取最大值，322MP =， 令1122(,),(,)A x y B x y ，1212,22x x y y P ++⎛⎫⎪⎝⎭，MP AB ⊥，121222121212444AB y y y y k y y x x y y --===-+-由121212122152MP ABy y y y k k x x x x +-⋅=⋅=-+--,得12522x x +-=-由222121212()()32542442x x y y y y MP +++⎛⎫-+=+=⎪⎝⎭,得122y y +12122212121242244AB y y y y k y y x x y y --∴====-+- 故选：D ． 8．【答案】D【分析】设点()11,M x y 、()22,N x y ，利用点差法可求得mn的值. 【详解】设点()11,M x y 、()22,N x y ，由已知可得12121212022302y y y y x x x x +-+==++-，12123MN y y k x x -==- 上述两个等式相乘得2212221223y y x x -=- 由已知可得2211222211mx ny mx ny ⎧+=⎨+=⎩，两式作差得()()222212120m x x n y y -+-=，所以，2212221223y y m n x x -=-=-故选：D. 9．【答案】A【分析】利用点差法可求得22b a 的值，结合221b e a+C 的离心率的值.【详解】设()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 两式相减得2222121222x x y y a b --=，所以2121221212y y x x b x x a y y -+=⋅-+． 因为1202x x x +=，1202y y y +=，所以21202120-=⋅-y y b x x x a y ． 因为12121AB y y k x x -==-，002==OP yk x ，所以2212b a =，故222b a =，故222222213c c a b b e a a a a +==+故选：A. 10．【答案】D【分析】根据题意设直线方程为y kx b =+，()()1122,,,A x y B x y ，进而联立方程求解中点M 的坐标，计算斜率乘积即可.【详解】解：根据题意设直线方程为y kx b =+，()()1122,,,A x y B x y由22184y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222124280k x kbx b +++-=，1222421212Mkb kbx x x k k -∴+=-∴=++ 22221212M M k b by kx b b k k -∴=+=+=++， 1··22OM l b k k k kb ∴==--故选：D 11．【答案】C【分析】直线l 的方程与椭圆的方程联立，设()()1122,,,A x y B x y ，则有2212121223233b a y y x x y y +=+=++=AB 的中点1212,22x x y y P ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，得出21221214OPy y b k x x a +==-=-+，再由2222 ,3a b c c =+=，可求得a ，b ，c ，从而求得椭圆的标准方程. 【详解】解：直线l ：30x y --=中，令y =0，得3x =(3,0)F ， 设()()1122,,,A x y B x y ，则AB 的中点1212,22x x y y P ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，联立2222301x y x y a b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，整理得()22222222330a b y b y b a b +++-=，2212121223233b a y y x x y y +=+=++=因为21221214OPy y b k x x a +==-=-+，所以224a b =，又2222 ,3a b c c =+=， 所以a 2=4，b 2=1，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=.故选：C ． 12．【答案】D【分析】设出点P ，Q 的坐标，利用“点差法”求出直线l 的斜率并求出其方程，再将直线l 与双曲线方程联立验证即可得解.【详解】设点1122(,),(,)P x y Q x y ，因点(1,1)A 是PQ 的中点，则121222x x y y +=⎧⎨+=⎩，从而有221122222222x y x y ⎧-=⎨-=⎩，两式相减得：121212122()()()()0x x x x y y y y +--+-=， 即12122()()0x x y y ---=，于是得直线l 的斜率为12122y y x x --=， 直线l 的方程为：12(1)y x -=-，即21y x =-，由222122y x x y =-⎧⎨-=⎩消去y 并整理得：22430x x -+=，此时2(4)42380∆=--⨯⨯=-<，即方程组222122y x x y =-⎧⎨-=⎩无解， 所以直线l 不存在. 故选：D 13．【答案】D【分析】由题意知，再根据A 、B 、M 、F 的关系可以求出a 、b 的关系，以及椭圆的性质可以求出a ，继而求出长轴长.【详解】由焦点(2,0)F -在x 轴上，设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>> ，()11,A x y ，()22,B x y . ∵()11,A x y ，()22,B x y 在椭圆上，∴22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩作差得22221212220x x y y a b --+=.(*) ∵直线l 过11,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭和(2,0)F -，且AB 的中点为M ，∴122x x +=-，121y y +=.121210122(1)2l y y k x x --===----，代入(*)式，得22121222*********y y y y b b a x x x x a +-+⋅=+⨯=+--，即2214b a =. 又∵2c =，222c b a +=，解得433a =，所以椭圆的长轴长为833. 故选：D.二、多选题 14．【答案】AC【分析】由BN ON =可得AOB 90∠=，即可判断A 选项；设出直线，联立抛物线，由0OA OB ⋅=求出1p =，即可判断B 选项；由点差法即可求出l 的斜率判断C 选项；求出12x x +即可判断D 选项.【详解】由BN ON AN ==可得AOB 90∠=，则N 为AOB 的外心，A 正确；易得直线斜率不为0，设:2l x my =+，1122(,),(,)A x y B x y ，联立()220y px p =>可得2240y pmy p --=，224160p m p ∆=+>，则12122,4y y pm y y p +==-，则221212422y y x x p p=⋅=，由AOB 90∠=可得0OA OB ⋅=，即1212440x x y y p +=-+=，则1p =，则焦点为1,02⎛⎫⎪⎝⎭，B 错误；由2211222,2y x y x ==作差得()()()1212122y y y y x x -+=-，即121212002212y y x x y y y y -===-+，C 正确； ()21212424x x m y y m +=++=+，则2120222x x x m +==+≥，D 错误. 故选：AC. 15．【答案】ACD【分析】利用点差法可求得m n 的值，可得出22b a的值，结合离心率公式可判断A 选项；将直线AB 的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式求出b 的值，可判断B 选项的正误；利用平面向量数量积的坐标运算，结合韦达定理，可判断C 选项；利用对称思想结合三点共线可判断D 选项的.【详解】令()11,A x y 、()22,B x y ，则2211222211mx ny mx ny ⎧+=⎨+=⎩， 则()()222212120m x x n y y -+-=，则221222120y y m n x x -+=-， 则121212120y y y y m n x x x x -++⋅=-+，则0AB OM m k k n +=，所以，1102m n ⎛⎫+⨯-= ⎪⎝⎭， 所以，12m n =，则m n <，11m n>，椭圆的标准方程为22111x y m n +=， 所以，椭圆C 的焦点在x 轴上，即221112b m n an m===，22222222112c a b b e a a a -∴===-=，即2e =A 对； 椭圆C 的方程为22222x y b +=，联立222221x y b y x ⎧+=⎨=+⎩，消y 可得2234220++-=x x b ，()221612222480b b ∆=--=->，可得213b >， 则1221243223x x b x x ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，()22121216888224293b AB x x x x -∴=+--所以，23b =，则3b =，所以，椭圆C 的短轴长为223b =，B 错；()()()121212121212411213133OA OB x x y y x x x x x x x x ⋅=+=+++=+++=-⨯+=-，C 对；椭圆C 的方程为2226x y +=，其标准方程为22163x y +=，633c =-=，椭圆C 的左焦点为()13,0F -，右焦点为()23,0F ，如下图所示：设点1F 关于直线AB 的对称点为点(),E m n ，则31213n m m ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪+⎩，解得113m n =-⎧⎪⎨=⎪⎩，即点(1,13E -，易知1PF PE =，则()()222122311322PF PF PF PE EF -=-≤=++-当且仅当点P 、E 、2F 三点共线时，等号成立，D 对. 故选：ACD ． 16．【答案】BCD【分析】根据抛物线的标准方程与准线方程的关系可判断A 选项的正误；利用点差法可判断B 选项的正误；利用弦长公式以及三角形的面积公式可判断C 选项的正误；利用抛物线的焦半径公式可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，抛物线C 的准线方程为=1x -，A 错；对于B 选项，设点()11,A x y 、()22,B x y ，设线段AB 的中点为()00,M x y ，则21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式作差得()()()1212124y y y y x x -+=-，可得12121241y y y y x x -==+-， 所以，124y y +=，故12022y y y +==，B 对； 对于C 选项，设直线AB 的方程为y x b =+，联立24y x b y x=+⎧⎨=⎩，可得()22240x b x b +-+=，()224240b b ∆=-->，解得1b <，由韦达定理可得1242x x b +=-，212x x b =，()2121224218AB x x x x b =+--，解得1b，点O 到直线的距离为222b d ==11282222AOB S AB d =⋅=⨯=△C 对； 对于D 选项，设线段AF 的中点为()33,N x y ，则1312x x +=， 由抛物线的定义可得111122x AF x +=+=⨯，即AF 等于点N 到y 轴距离的两倍， 所以，以线段AF 为直径的圆一定与y 轴相切，D 对. 故选：BCD. 17．【答案】ACD【分析】由双曲线离心率及222+=a b c 可判断A ；利用点差法可判断B ；由2251b +=及20ac a e=可判断C ；由斜率之积为1-可判断AB BF ⊥进而判断D.【详解】对于A ，若双曲线为黄金双曲线，则离心率为051e +=，又2222202221c a b b e a a a +===+， 所以()2222220515111b a e a ⎡⎤++⎢⎥=-=-=⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以黄金双曲线的方程为2222151x a a =+，故A 正确；对于B ，由A 可知，黄金双曲线的方程为222201x y a e a -=，设()11,E x y ，()22,F x y ，线段EF 的中点()00,M x y ，则22112201x y a e a -=，22222201x y a e a -=，两式相减得222212122200x x y y a e a ---=，所以()1212212x x x x a +⋅⋅-()121220102y y y y e a +-⋅⋅-=， 即120022012110y y x y a e a x x -⋅-⋅⋅=-，即012220012110y y y a x e a x x --⋅⋅=-，所以220110OMEF k k a e a -⋅⋅=，所以0OM EF k k e ⋅=，故B 错误；对于C ，因为2251b +=，200ac a ae a e =⋅=251+=，所以2b ac =，所以a ，b ，成等比数列，故C 正确； 对于D ，AB b k a =-，BF b k c =，所以21AB BF b b b k k a c ac⋅=-⋅=-=-，即AB BF ⊥，故D 正确.故选：ACD18．【答案】ABC【分析】易知AB 的最小值为通径22b a ，则有223b c a=，求出12c e a ==，A 正确；24ABF la =，B 正确；设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则有22223b c c b -≤，可得51[]2ce a =∈，C 正确； 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，1212(,)22x x y y M ++，有2221222212OM y y a k k x x b -==--⋅，D 错误. 【详解】解：易知AB 的最小值为通径22b a ，则有223b c a=，即222320a ac c --=，解得2a c =，所以12c e a ==，A 正确；21122||||||||4ABF lAF BF AF BF a =+++=，B 正确；设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，222222222121112[,]c AF AF x y c x b b c b b→→⋅=+-=-+∈-， 则有22223b c c b -≤，可得51]2c e a=∈，C 正确； 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，1212(,)22x x y y M ++， 有1212OM y y k x x +=+，1212y y k x x -=-，由22112222222211x y b a x y b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，作差得：22221212220x x y y b a --+=，所以2221222212y y a x x b -=--， 则有2221222212OM y y a k k x x b -==--，D 错误. 故选：ABC 19．【答案】ACD 【分析】由离心率ce a=以及222b a c =-即可判断A ；设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,D x y ，则1202x x x +=，1202y y y +=，利用点差法可判断B ；同理利用点差法可判断C ；由 1OD OE OF k k k ++=，2231212OD OE OFk k k b k k k a ⋅=⋅=⋅=-=-即可判断D ，进而可得正确选项.【详解】对于A ：因为椭圆的离心率2222212c e a ===⎝⎭，所以2212c a =，因为222212b a c a =-=， 所以22:2:1a b =，故选项A 正确；对于B ：设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,D x y ，则1202x x x +=，1202y y y +=，所以2211221x y a b +=，2222221x y a b +=，两式相减可得：22221212220x x y y a b --+=，即()()01201222220x x x y y y a b --+=，所以()()01201222x x x y y y a b=---，12112202012ODy b k y y k x x x a -⋅=⋅=-=--，故选项B 不正确； 对于C:由选项B 同理可得22212OEb k k a ⋅=-=-，故选项C 正确；对于D ：由选项B 同理可知2231212OD OE OF k k k b k k k a ⋅=⋅=⋅=-=-，可得112OD k k =-，212OE k k =-，312OF k k =-由已知可得1OD OE OF k k k ++=，即123111112k k k ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，所以1231112k k k ++=-，故选项D 正确；故选：ACD.三、填空题20．【答案】470x y --=【分析】利用点差法先求得弦所在直线的斜率，再利用点斜式即可求得直线的方程，再验算一下与双曲线是否有两个交点可保万无一失.【详解】设(2,1)A 是双曲线22:22C x y -=的弦12PP 的中点，且111222(,),(,)P x y P x y ， 则121242x x y y +=+=，，因为12,P P 在双曲线上，所以221122222222x y x y ⎧-=⎨-=⎩， 两式相减，得121212122()()()()0x x x x y y y y +--+-=，故1212()(242)x x y y ⨯-=-， 所以12124y y k x x -==-，故以(2,1)A 中点的双曲线的弦所在的直线方程为14(2)y x -=-，即470x y --=， 联立2222470x y x y ⎧-=⎨--=⎩，消去y ，得21456510x x -+=，因为25641451280()0∆=--⨯⨯=>，所以以(2,1)A 为中点的双曲线的弦所在的直线方程为470x y --=. 故答案为：470x y --=.21．【答案】=y x【分析】先由题意判断得12x x ≠，再由点差法求得1212124y y x x y y -=-+，由此得到=1AB k ，从而利用点斜式即可求得直线AB 的方程.【详解】依题意，设1122,,,A x y B x y ，若12x x =，则直线:2AB x =，由抛物线的对称性可知，线段AB 的中点为()2,0，显然不符合题意，故12x x ≠，因为A ，B 是抛物线2:4C y x =上的两点，所以211222=4=4y x y x ⎧⎨⎩，两式相减得，22121244y y x x -=-，整理得1212124y y x x y y -=-+， 因为线段AB 的中点为(2,2)M ， 所以1222y y +=，即124y y +=， 又1212AB y y k x x -=-，所以414AB k ==，所以直线AB 的方程为22y x -=-，即=y x . 故答案为：=y x . 223【分析】设()()1122A x y B x y ，，，，由条件可得12124,2x x y y +=+=，12124AB y y k x x -==-，由点差法可求出22b a的值，从而得出离心率.【详解】设()()1122A x y B x y ，，，，则12124,2x x y y +=+=，12124AB y y k x x -==- 将,A B 两点坐标代入双曲线方程得：2211221x y a b -=；2222221x y a b-=将上述两式相减可得： ()()()()1112121222x x x x y y y y a b-+-+=即()()11122242x x y y a b --=，也即()()()()21212212122y y y y b a x x x x -+==-+ 所以2222222213c a b b e a a a+===+=，即3e =323．【答案】2xy =-(22<<x 【分析】设斜率为12的直线方程为12y x b =+，与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y ，利用点差法可得答案.【详解】设斜率为12的直线方程为12y x b =+，与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y ，设中点坐标为(),x y ，则211221121,,222y yx x y y x y x x -++=-==-， 所以221122221414⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ，两式相减可得()()()()12221214+=-+-x x x x y y y y ，()()22121124-+-=+x x y y y y x x ，即2xy =-， 由于在椭圆内部，由221412⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩x y y x b得22102++-=x bx b ，所以()22210∆=--=b b 时，即2b =此时由22102+=x x 解得2x 2x =-所以22x << 所求得轨迹方程为2xy =-(22-x ． 故答案为：2xy =-(22-<<x ． 24．【答案】130,,23⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】设双曲线上两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，直线AB 的方程是x ky n =-+，代入双曲线方程化简得222(1)230k y kny n --+-=，AB 的中点是0(D x ，0)y ，利用判别式大于0，韦达定理结合AB 的中点D 在直线:4(0)l y kx k =+>上，转化求解k 的范围即可． 【详解】解：依题意，双曲线上两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 若点A 、B 关于直线:4(0)l y kx k =+>对称，则设直线AB 的方程是x ky n =-+，代入双曲线方程2213yx -=化简得：222(31)6330k y kny n --+-=，则2222364(31)(33)0k n k n ∆=--->，且2310k -≠，解得22310k n -+>，且2310k -≠ 又122631kny y k +=-，设AB 的中点是0(D x ，0)y ， 所以12023231y y kny k +==-，00231n x ky n k =-+=--． 因为AB 的中点D 在直线:4(0)l y kx k =+>上，所以22343131kn nk k k -=⋅+--，所以231nk k =-，又2310k -≠ 所以0nk ≠，即0,0k n ≠≠，所以231k n k-=所以22231310k k k ⎛⎫--+> ⎪⎝⎭，整理得22(31)(41)0k k -->，所以102k <<或3k >实数k 的取值范围为：130,,23⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：130,,23⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.四、解答题25．【答案】(1)22142x y +=(2)不存在，理由见详解【分析】（1）根据题意利用点差法运算求解；（2）根据对称结合（1）中的结论求直线ON ，再联立方程求N 的坐标，结合椭圆方程判断点N 是否在椭圆内部，分析理解. 【详解】（1）设1122,,,A x y B x y ，则12121212*********2,,1,2222AB OMy y x x y y y y y y M k k x x x x x x +++-+⎛⎫=====- ⎪+-+⎝⎭ ∵1122,,,A x y B x y 在椭圆上，则221122222222+=1+=1x y a b x y a b ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 两式相减得22221212220x x y y a b -+=-，整理得222121212222121212y y y y y y b x x x x x x a +---=⨯=-+- ∴22AB OMb k k a ⋅=-，即2212b a-=-，则222a b =又∵点6⎛ ⎝⎭在椭圆C ：22221x y a b +=上，则221312a b +=联立解得224,2a b ==∴椭圆C 的方程为22142x y +=（2）不存在，理由如下：假定存在P ，Q 两点关于l ：=+1y x 对称，设直线PQ 与直线l 的交点为N ，则N 为线段PQ 的中点，连接ON∵PQ l ⊥，则1AB PQ k k ⋅=-，即1PQ k =-由（1）可得12ON PQ k k ⋅=-，则12ON k =，即直线1:2ON y x =联立方程1=2=+1y xy x ⎧⎪⎨⎪⎩，解得=2=1x y --⎧⎨⎩ 即()2,1N --∵()()222131422--+=>，则()2,1N --在椭圆C 外 ∴假定不成立，不存在P ，Q 两点关于l 对称【点睛】本题重点考查点差法：点代入方程221122222222+=1+=1x y a b x y a b ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，做差整理得2121221212y y y y b x x x x a +-⨯=-+-，结合相关斜率理解可得22AB OM b k k a ⋅=-，这是处理相交弦和弦的中点问题的常用方法.26．【答案】(1)1(,0)32(2)max 10p【分析】（1）根据抛物线的焦点坐标公式求解即可；（2）设直线:l x y m λ=+，与椭圆联立，结合韦达定理得到中点M 的坐标，代入抛物线，再将直线与抛物线联立，结合韦达定理用参数表示点A 坐标，再将椭圆与抛物线联立得到点A 坐标，结合均值不等式，分析即得解.【详解】（1）当116=p 时，2C 的方程为218y x =，故抛物线2C 的焦点坐标为1(,0)32；（2）由题意，直线l 的斜率不为0，设()()()112200,,,,,,:A x y B x y M x y l x y m λ=+，由()22222222220x y y my m x y mλλλ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩， 1200022222,,222m m my y y x y m λλλλλλ--∴+===+=+++， 由M 在抛物线上，所以()222222244222m pm mp λλλλλ=⇒=+++， 又22222()220y pxy p y m y p y pm x y mλλλ⎧=⇒=+⇒--=⎨=+⎩， 012y y p λ∴+=，2101022x x y m y m p m λλλ∴+=+++=+，2122222mx p m λλ∴=+-+. 由2222142,22x y x px y px ⎧+=⎪⇒+=⎨⎪=⎩即2420x px +-= 2214168242p p x p p -++⇒==-+222222182422228162pp p p m p p p λλλλλ+⇒-+=+⋅=++≥+， 24218p p +，21160p ≤，10p ≤所以，p 102105(A . 27．【答案】(1)28y x = (2)20x y +-=或20x y --=【分析】（1）联立方程利用Δ0=运算求解；（2）分析可得MN MA =，设l 的方程为2x my =+，联立方程结合韦达定理运算求解.【详解】（1）联立方程222y x y px=+⎧⎨=⎩，消去x 得2240y py p -+=，∵抛物线C 与直线2y x =+相切，则()22440p p ∆=--⨯=，解得4p =或0p =（舍去） 故抛物线的方程C ：28y x =.（2）设l 的方程为()()11222,,,,x my A x y B x y =+，则线段AB 的中点1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，过M 作抛物线的准线2x =-的垂线，垂足为N ，则12124,22x xAB x x MN +=++=+，即22AB MN MA ==，∵32PA AB =，则2PM MA =，即2PM MN =， ∴PN MN =，联立方程228x my y x =+⎧⎨=⎩，消去x 得28160y my --=，21264640,8m y y m ∆=+>+=，则()()242,4,2,4M m m N m +-，AB 的中垂线的方程为3460mx y m m +--=，∴()32,48P m m -+，则3244,44PN m m MN m =+=+，即324444m m m +=+，解得1m =±，故l 的方程为20x y +-=或20x y --=.28．【答案】(1)不能，理由见解析； (2)420x y -+=【分析】（1）设过点()2,1P 的直线为2x my m =-+，联立双曲线方程得()()22242240my m m y m m ---+-=，由韦达定理及两点中点公式列式求解即可判断；（2）A BOA OB A By y k k x x +=+，由（1）代入直线方程及韦达定理求解即可 【详解】（1）证明： 设过点()2,1P 的直线为2x my m =-+，i. 0m =时，直线与双曲线右支相切，不成立；ii. 0m ≠时，联立双曲线方程得()()22242240m y m m y m m ---+-=，直线l 与双曲线C 相交于A ，B 两点，故2m ≠±，且()222242A B m m m y y m m -+==-+，2244A B m my y m -=-，()2224242A B A B m x x m y y m m m +=+-+=-++，若P 为线段AB 的中点，则22222122A B AB x x m m m y y m m ⎧+=-+=⎪⎪+⎨+⎪==⎪+⎩，方程组无解，故点P 不能为线段AB 的中点；（2）由（1）得，()()()()()22222522A B A B A B B A A B OA OB A B A B A B A B my y m y y y y x y x y k k x x x x m y y m m y y m --+++=+===--++- 整理得()()()()()225522220A B A B m m y y m m y y m -+--++-=，即()()()()()()()2254222410m m m m m m m m --+-----=，即()()()()()()()22421054412022m m m m m m m m m m ⎧⎧--=------=⎪⇒⎨⎨≠±≠±⎪⎩⎩，得4m =或12m =（舍，此时不满足直线与曲线有两个交点） 故直线l 为420x y -+=29．【答案】(1)22184y x +=(2)()222+1+2=1x y ；【分析】(1)根据椭圆的定义，可以直接写出动点P 的轨迹方程Γ ；(2)由条件可知M 是线段AB 的中点，按照圆锥曲线中点弦的思路，运用点差法即可求解. 【详解】（1）因为动点P 到两定点()10,2F -，()20,2F 的距离之和为42>4， 所以曲线Γ是以()10,2F -，()20,2F 为焦点的椭圆，=2c ，2=42a所以22a =222==4b a c -，所以曲线Γ的方程为22184y x +=；（2）因为AM MB =，所以M 为AB 中点，设(),M x y ，当AB 的斜率存在且不为0时，将()11,A x y ，()22,B x y 代入椭圆方程中得：22221122+=1+=18484y x y x ，，两式相减得22221212+=084y y x x --，即12121212+×=2+y y y y x x x x ---，所以8==24AB OM k k ⋅--， 即=2QM OM k k ⋅-，=2+1y y x x⋅-，整理得()222+1+2=1x y ； 当AB 的斜率不存在或为0时，有()1,0M -或()0,0M ，也满足()222+1+2=1x y ； 所以点M 的轨迹方程是()222+1+2=1x y ；综上，曲线Γ 的方程为22184y x +=，点M 的轨迹方程是()222+1+2=1x y .30．【答案】(1)22143x y +=(2)66k <且0k ≠【分析】（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由题意得，由25||3PF =及抛物线定义可得P 点横坐标，代入抛物线方程得纵坐标，由椭圆定义可得a ，由222b a c =-可得b ；．（2）设直线与椭圆E 交点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，A ，B 的中点2F 的坐标为0(x ，0)y ，设直线方程为(0,0)y kx m k m =+≠≠与22143x y +=联立，由韦达定理得AB 的中点，代入曲线C 的方程，再与①联立能求出直线的斜率k 的取值范围． （1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，依题意，=1c ，25||3PF =，利用抛物线的定义可得5(1)3P x --=，解得23P x =，P ∴点的坐标为226(3，所以17||3PF =，由椭圆定义，得12752||||4,233a PF PF a =+=+==．2223b a c ∴=-=，所以曲线E 的标准方程为22143x y +=；（2）设直线与椭圆E 的交点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，A ，B 的中点M 的坐标为0(x ，0)y ， 设直线的方程为(0,0)y kx m k m =+≠≠，(当=0k 时,弦中点为原点,但原点并不在()240y x x =>上,同样0m =弦中点为原点，不适合题意)与22143x y +=联立，得222(34)84120k x kmx m +++-=， 由0∆>得22430k m -+>①，由韦达定理得，122834km x x k -+=+，212241234m x x k -=+，则02434km x k -=+，002334my kx m k =+=+， 将中点24(34km k -+，23)34m k+代入曲线C 的方程为24(0)y x x =>， 整理，得2916(34)m k k =-+，② 将②代入①得22216(34)81k k +<，令24(0)t k t =>，则264192810t t +-<，解得308t <<，66k < 所以直线的斜率k 的取值范围为66k <0k ≠． 31．【答案】(1)直线l 的方程为244yx 或244yx ；(2)直线MA 的斜率与直线MQ 的斜率的比值为2.【分析】（1）利用点差法求出线段AB 中点的纵坐标，再由点斜式求其直线方程； （2）根据设而不求法结合条件求出直线MA 的斜率与直线MQ 的斜率的比值即可. 【详解】（1）若直线AB 的斜率不存在时，线段AB 中点的横坐标为4，与已知矛盾； 设()11,A x y ，()22,B x y ，则12x x ≠，2211143x y +=，2222143x y +=， 所以()()()()12121212043x x x x y y y y +-+-+=， 记线段AB 中点为E ，设E 的纵坐标为0y ，由已知可得点E 的坐标为04,7y ， 所以1287x x +=，1202y y y +=， 所以()()0121230447y y y x x -+=-，因为直线AB 过点()4,0P ，04,7E y ，所以01212447y y y x x ，所以0077304244y y ⎛⎫+⨯-= ⎪⎝⎭，所以0627y ， 当0627y 时，212162274447y y x x ，所以直线AB 的斜率为24- 所以直线AB 的方程为244y x ，因为直线AB ： 244yx 与y 的交点坐标为(2，点(2在椭圆22143x y +=内，故直线AB 与椭圆相交，满足条件，当0627y 时，212162274447y y x x ，所以直线AB 2 所以直线AB 的方程为244y x ，因为直线AB ： 244yx 与y 的交点坐标为(0,2-，点(0,2在椭圆22143x y +=内，故直线AB 与椭圆相交，满足条件，所以直线的方程为244yx 或244yx ；（2）设直线AB 的方程为4x ty =+，联立221434x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，化简可得2234412ty y ，所以()223424360t y ty +++=，方程()223424360ty ty +++=的判别式222241443414440t t t ，所以2t >或2t <-，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1222434t y y t +=-+，1223634y y t =+， 联立14x x ty =⎧⎨=+⎩，化简可得13x y t =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以点Q 的坐标为31t ，，因为MP x ⊥轴，MB x ∥轴，所以点M 的坐标为()24,y ， 所以直线MA 的斜率21211114y y y y k x ty ，直线MQ 的斜率22233413y ty t k t ， 所以211212121213333y y k y y tk ty ty ty y y ，又121222363243342342t t ty y y y t t ，所以2121122112133233322y y y y k k y y y y y ，【点睛】点差法是解决弦的中点问题的常用方法，设而不求法是解决直线与椭圆相交时交点坐标相关问题的常用方法. 32．【答案】(1)222a b =(2)221189x y +=【分析】(1)根据椭圆的定义和等差数列的定义可求得43AB a =，联立方程组利用设而不求法求AB 的表达式，列关系式确定a 与b 的等量关系；(2)设AB 的中点为N ，由PA PB =可得PN AB ⊥，列方程可求,,a b c ，由此可得椭圆方程. （1）由椭圆定义知212AF AF a +=，212BF BF a ，又11AF BF AB +=，所以224AF BF AB a ++=，因为22||,||,||AF AB BF 成等差数列，所以222AB AF BF =+，所以43AB a =， 由已知点1F 的坐标为(),0c -，其中22c a b =-y x c =+，联立22221y x c x y a b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得：2222222()2()0a b x a cx a c b +++-=，方程2222222()2()0a b x a cx a c b +++-=的判别式42222222222242444480a c a a b c b a a b b c b a b ，设()()1122,,,A x y B x y ，由已知12,x x 是方程2222222()2()0a b x a cx a c b +++-=的两个根，所以()2222121222222a c b a c x x x x a b a b ，--+==++，因为直线AB 斜率为1，22212121212224122()4ab AB k x x x x x x a b ⎡⎤=+-=-=+-=⎣⎦+，所以222443ab a a b =+，故222a b=． （2）设AB 的中点为()00,N x y ，由(1)知212000222233x x a c c x c y x c a b ，+-===-=+=+． 由PA PB =可得PN AB ⊥,所以1A N B P k k =-，所以0011y x +=-，所以13123cc +=-- 所以3c =，又222a b c =+，从而32a =，3b =，故椭圆E 的方程为221189x y +=．33．【答案】24y x =.【分析】中点弦问题利用点差法进行处理. 【详解】解：设点()()1122,,A x y B x y ，，则12+22y y =，所以12+4y y =， 又因为直线AB 的斜率为1，所以21211y y x x -=-， 将A 、B 两点代入抛物线方程中得：21122222y px y px ⎧=⎨=⎩，将上述两式相减得，()2212122y y p x x -=-，即()()()121212+2y y y y p x x -=-， 所以12121221+y y py y x x -==-，即214p =，所以2p =， 因此，抛物线的方程为24y x =. 34．【答案】310【分析】首先求出AB k ，即可得到直线AB 的方程，设()11,A x y ，()22,B x y ，利用点差法得到22AB OM k k b a=-⋅，再根据3c =及222c a b =-求出椭圆方程，再联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，求出12y y -，最后根据112121||||2F AB S F F y y =⋅-计算可得.【详解】解：因为直线AB 过点()23,0F 、()1,1M -， 所以11132AB k -==-，所以直线13:22AB y x =-， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则122x x +=，122y y +=-，所以2211221x y a b +=、2222221x y a b+=，所以2222121222220x x y y a a b b -+-=，即()()()()12121212220x x x x y y y y a b-+-++=，所以()()()()2121221212y y y y b x x x x a -+=--+，即22AB OMk k b a=-⋅，又1OM k =-，所以2212b a =，又3c =，222c a b =-，所以22189a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆方程为221189x y +=，联立直线AB 与椭圆方程为22118923x y x y ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 整理得261290y y +-=，所以122y y +=-，1232y y =-⋅，所以()()221212123424102y y y y y y ⎛⎫-=-⋅+--⨯- ⎪⎝⎭故1121211||||61031022F ABSF F y y =⋅-=⨯。
圆锥曲线专题：中点弦及点差法的7种常见考法高二数学上学期同步讲与练(选择性必修第一册)(解析版)
圆锥曲线专题：中点弦及点差法的7种常见考法一、椭圆与双曲线的中点弦与点差法1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线l (不平行于y 轴)过椭圆12222=+by a x (0>>b a )上两点A 、B ，其中AB 中点为)(00y x P ，，则有22ab k k OPAB -=⋅。
证明：设)(11y x A ，、)(22y x B ，，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+11222222221221b y a x by a x ，上式减下式得02222122221=-+-b y y a x x ，∴2222212221a b x x y y -=--，∴220021210021212121212122a b x y x x y y x y x x y y x x y y x x y y -=⋅--=⋅--=++⋅--，∴22a b k k OP AB -=⋅。
焦点在y 轴：直线l (存在斜率)过椭圆12222=+bx a y (0>>b a )上两点A 、B ，线段AB 中点为)(00y x P ，，则有22ba k k OPAB -=⋅。
3、双曲线的用点差法同理，可得220220()AB AB OP x b b k k k a y a=⋅⋅=二、抛物线的中点弦与点差法设直线与曲线的两个交点)(11y x A ，、)(22y x B ，，中点坐标为)(00y x P ，代入抛物线方程，2112=y px ，2222=y px ，将两式相减，可得()()()1212122-+=-y y y y p x x ，整理可得：12121202-===-+AB y y p pk x x y y y三、点差法在圆锥曲线中的结论AB AB M AB AB M AB AB AB AB b e x a y k k k x ab e b e x a y k k k x a y b e pk y pk y x k px k p222002222220222011-y 1111⎧-=-⇔⎪⎪==⎨⎪=⇔⎪-⎩⎧=-⇔⎪⎪==⎨⎪=⇔⎪-⎩⎧=⇔⎪⎪⎪⎪=-⇔⎪⎨⎪=⇔⎪⎪⎪=-⇔⎪⎩gg gg 焦点在轴椭圆：焦点在轴焦点在轴双曲线：焦点在轴开口向右开口向左抛物线：开口向上开口向下题型一中点弦所在直线的斜率与方程【例1】已知椭圆22195x y +=的弦被点()1,1平分，则这条弦所在的直线方程为______.【答案】59140x y +-=【解析】已知椭圆22195x y +=的弦被点()1,1平分，设这条弦的两个端点分别为()11,A x y 、()22,B x y ，则12121212x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，得121222x x y y +=⎧⎨+=⎩，由于点A 、B 均在椭圆22195x y +=上，则22112222195195x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得22221212095x x y y --+=，可得2212221259y y x x -=--，即()()()()1212121259y y y y x x x x -+=--+，所以直线AB 的斜率为121259AB y y k x x -==--，因此，这条弦所在直线的方程为()5119y x -=--，即59140x y +-=.故答案为：59140x y +-=.【变式1-1】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，直线12y x =-与直线l 的交点恰好为线段AB 的中点，则直线l 的斜率为（）A．12B．14C．1D．4【答案】C【解析】由题意可得2c e a ==，整理可得a =．设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211221x y a b +=，2222221x y a b+=两式相减可得()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-++=．因为直线12y x =-与直线l 的交点恰好为线段AB 的中点，所以121212y y x x +=-+，则直线l 的斜率21212212121(2)12y y x x b k x x a y y -+==-⋅=-⨯-=-+．故选：C 【变式1-2】已知双曲线22142x y -=被直线截得的弦AB ，弦的中点为M （4，2），则直线AB 的斜率为（）A．1D．2【答案】A【解析】设交点坐标分别为1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则128x x +=，124y y +=，2211142x y -=，2222142x y -=两式相减可得22221212042x x y y ---=，即()()()()1212121242x x x x y y y y +-+-=，所以()()121212122248144AB x x y y k x x y y +-⨯====-+⨯，即直线AB 的斜率为1；故选：A．【变式1-3】过点(2,1)M 的直线交抛物线24y x =于,A B 两点，当点M 恰好为AB 的中点时，直线AB 的方程为（）A．250x y +-=B．210x y --=C．250x y +-=D．230x y --=【答案】D【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，所以2211224,4y x y x ==，两式相减得，()()()1212124y y y y x x +-=-，因为点(2,1)M 为AB 的中点，所以122y y +=，所以12122y y x x --=，故直线AB 的斜率为2，所以直线AB 的方程为()122y x -=-，即230x y --=，联立22304x y y x--=⎧⎨=⎩，所以241690x x -+=，()2164490∆=--⨯⨯>，故斜率为2符合题意，因此直线AB 的方程为230x y --=，故选：D.【变式1-4】已知斜率为1k ()10k ≠的直线l 与椭圆2214yx +=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为C ，直线OC （O 为坐标原点）的斜率为2k ，则12k k ⋅=（）A．14-B．4-C．12-D．2-【答案】B【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点()00,C x y ，则1202x x x +=，1202y y y +=.因为A ，B 两点在椭圆上，所以221114y x +=，222214y x +=.两式相减得：()22222112104x y x y -+=-，()()()()11112222104x x y y x x y y +-+-+=，()()0122011202x y x y y x --+=，()()2102011202y y y x x x --+=，即121202k k +⋅=，解得124k k ⋅=-.故选：B【变式1-5】椭圆()222210x y a b a b +=>>离心率为3，直线20x y b -+=与椭圆交于P ，Q 两点，且PQ 中点为E ，O 为原点，则直线OE 的斜率是_______．【答案】43-【解析】因为椭圆()222210x y a b a b +=>>所以3c e a ==，所以2223b a =设()11,P x y ，()22,Q x y ，所以121212PQ y y k x x -==-，1212,22x x y y E ++⎛⎫⎪⎝⎭，因为P ，Q 在椭圆上，所以22112222222211x y a b x y ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得22221212220x x y y a b --+=，即2221222212y y b x x a -=--，即()()()()1212121223y y y y x x x x -+-=-+，即23PQ OE k k ⋅=-，所以43OE k =-，故答案为：43-【变式1-6】已知离心率为12的椭圆()222210y x a b a b+=>>内有个内接三角形ABC ，O 为坐标原点，边AB BC AC 、、的中点分别为D E F 、、，直线AB BC AC 、、的斜率分别为123k k k ，，，且均不为0，若直线OD OE OF 、、斜率之和为1，则123111k k k ++=（）A．43-B．43C．34-D．34【答案】C【解析】由题意可得12c a =，所以2243,b a =不妨设为22143y x +=.设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，222211221,14343y x y x +=+=，两式作差得21212121()()()()34x x x x y y y y -+-+=-，则21212121()3()()4()x x y y y y x x +-=-+-，134OD AB k k =-，同理可得1313,44OF OE AC BC k k k =-=-，所以12311133()44OD OE OF k k k k k k ++=-++=-，故选：C ．题型二求圆锥曲线的方程问题【例2】过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点(2,0)F 的直线与C 交于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的坐标为95,77⎛⎫- ⎪⎝⎭，则C 的方程为（）A．22195x y +=B．2215x y +=C．22162x y +=D．221106x y +=【答案】A【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，则12x x ≠AB 的中点95,77M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以5071927AB MFk k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭===-，又2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩，所以()()2222221212b x x a y y -=--，即2121221212y y y y b x x x x a-+⋅=--+，而12121ABy y k x x -==-，121252579927y y x x ⎛⎫⨯- ⎪+⎝⎭==-+⨯，所以2255199b a =⨯=，又2c =，所以22222254499c a b a a a =-=-==，所以2295a b ==，椭圆方程为：22195x y +=.故选：A.【变式2-1】已知双曲线E 的中心为原点，(30)F ，是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且AB 的中点为(1215)N --，，求双曲线E 的方程.【答案】22145x y -=【解析】设双曲线的方程为22221x y a b-=(0a >，0b >)，由题意知3c =，229a b +=，设11()A x y ，、22()B x y ，则有：2211221x y a b -=，2222221x y a b -=，两式作差得：22121222121245y y x x b b x x a y y a-+=⋅=-+，又AB 的斜率是1501123--=--，∴2254b a =，代入229a b +=得，24a =，25b =，∴双曲线标准方程是22145x y -=.【变式2-2】已知双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率等于32，点()5-在双曲线C 上，椭圆E 的焦点与双曲线C 的焦点相同，斜率为12的直线与椭圆E 交于A 、B 两点．若线段AB 的中点坐标为()1,1-，则椭圆E 的方程为（）A．2214536x y +=B．2213627x y +=C．2212718x y +=D．221189x y +=【答案】D【解析】设双曲线方程为22221(0,0)x y m n m n-=>>，则223224251m mn =⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得2245m n ⎧=⎨=⎩，故双曲线方程为22145x y -=，焦点为()3,0±；设椭圆方程为22221x y a b+=，则椭圆焦点为焦点为()3,0±，故22a b 9-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则2222112222221,1x y x y a b a b+=+=，两式相减得22221212220x x y y a b --+=，整理得2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+，即221121b a =-⋅-，解得222a b =，故2218,9a b ==，椭圆方程为221189x y +=.故选：D.【变式2-3】斜率为1的直线交抛物线()2:20C y px p =>于A ，B 两点，且弦AB 中点的纵坐标为2.求抛物线C 的标准方程；【答案】24y x=【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，12122,42y y y y +=+=，21122222y px y px ⎧=⎨=⎩，两式相减并化简得1212122y y p x x y y -=-+，21,24pp ==，所以抛物线方程为24y x =.【变式2-4】设()11,A x y 、()22,B x y 是抛物线()2:20C x py p =>上不同的两点，线段AB 的垂直平分线为y x b =+，若1212x x +=-，则p =______.【答案】14【解析】由题知，2112x py =，2222x py =，两式相减得()()()1212122x x x x p y y -+=-，所以1212122AB y y x x k x x p-+==-，由题知1AB k =-，所以12122x x p +=-=-，所以14p =.故答案为：14.题型三求圆锥曲线的离心率问题【例3】过点()1,1M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)相交于A ､B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于（）A．22B．3C．12D．13【答案】A【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则12122,2x x y y +=+=，121212AB y y k x x -==--，所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，作差得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b -+-++=，所以1212222()2()0x x y y a b --+=，即21221212y y b a x x -=-=-，所以该椭圆的离心率2c e a ==【变式3-1】已知直线3y x m =-与椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>相交于P ，Q 两点，若PQ 中点的横坐标恰好为2m ，则椭圆C 的离心率为______.【答案】2【解析】设()11,P x y ，()22,Q x y ，代入椭圆方程得2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，两式作差得22221212220x x y y a b --+=，整理得122122121222y y y y b x x x x a +-⋅=-+-，因为1222x x m +=，所以12123322y y x m x mm +-+-==-，又因为12121PQ y y k x x -==-，所以2212m b m a -⨯=-，所以2212b a =，所以ce a======2212c a=.故答案为：2.【变式3-2】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点M 为椭圆C上异于A ，B 的一点，直线AM 和直线BM 的斜率之积为14-，则椭圆C 的离心率为（）A．14B．12C．2D．4【答案】C【解析】由已知得(,0),(,0)A a B a -，设()00,x y ，由题设可得，2200221x y a b+=，所以()222202b y a x a=-.因为()222220200022222000014A MM B b a x y y y b a k k x a x a x a x a a -⋅=⋅===-=-+---，所以2214b a =，则22222222314c a b b e a a a -===-=，所以2e =.【变式3-3】已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>相交于B ，D 两点，且BD 的中点为()1,3M ，则C 的离心率是______．【答案】2【解析】设1122(,),(,)B x y D x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式作差可得：2222121222x x y a b y =--，即1212121222()()()()x x x x y y y y a b -+-+=，因为()1,3M 为BD 中点，所以12122,6x x y y +=+=，又直线BD 斜率为1，所以12121y y x x -=-，代入可得，223b a=，所以C的离心率2e ==.故答案为：2【变式3-4】已知直线l :30x y -+=与双曲线C :22221x y a b-=(0a >,0b >)交于A ,B两点,点()1,4P 是弦AB 的中点,则双曲线C 的离心率为()A．43B．2C．2【答案】D【解析】设()()1122,,,A x y B x y 点()1,4P 是弦AB 的中点根据中点坐标公式可得:12122,8x x y y +=⎧⎨+=⎩A ,B 两点在直线l :30x y -+=根据两点斜率公式可得:12121y y x x -=-,A B 两点在双曲线C 上∴22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩∴222212122210x x y y a b ---=,即()()()()2221212122221212128142y y y y y y b a x x x x x x +--===⨯=-+-解得:2b a =∴c e a ===题型四弦中点的坐标问题【例4】已知直线:1l y x =+，椭圆22:13xC y +=．若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的坐标为（）A．13,44⎛⎫- ⎪⎝⎭B．31,44⎛⎫- ⎪⎝⎭C．13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D．31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意知，22113y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得2230x x +=，则9810∆=-=>，32A B x x +=-，所以A 、B 两点中点的横坐标为：13()24A B x x +=-，所以中点的纵坐标为：31144-=，即线段AB 的中点的坐标为31()44-，.故选：B【变式4-1】求直线1-=x y 被抛物线x y 42=截得线段的中点坐标。
利用点差法处理圆锥曲线的“中点弦问题”
专题复习：利用点差法处理圆锥曲线的“中点弦问题”【知识要点】已知直线与圆锥曲线交于,A B 两点，点00(,)P x y 为弦AB 的中点，由点差法可得出以下公式：1. 椭圆：(1)焦点x 在轴上：22221x y a b += 2020AB x b k a y =-⋅(2)焦点y 在轴上：22221y x a b += 2020AB x a k b y =-⋅2. 双曲线：(1)焦点x 在轴上：22221x y a b -= 2020AB x b k a y =⋅(2)焦点y 在轴上：22221y x a b -= 2020AB x a k b y =⋅3. 抛物线: (1)焦点x 在轴上：2y mx = 02AB mk y =(2)焦点y 在轴上：2x my = 02AB m k x =【例题分析】类型1：已知曲线及弦的中点,求直线【例1】 已知直线l 与椭圆22164x y +=交于过点,A B 两点，若线段AB 的中点恰好为点(21)P ，， 则直线l 的方程为 .【实战演练】(2009新课标全国卷)已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为(1,0)F ，直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点，若AB 的中点为(2,2)，则直线l 的方程为 .类型2：已知直线及弦的中点，求曲线【例2】已知双曲线中心在原点且一个焦点为F 0），直线1y x =-与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为23-，则此双曲线的方程为 .【实战演练1】(2014江西高考)过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>交于,A B 两点，若M 是的中点，则椭圆的离心率为 .【实战演练2】（2013新课标全国I 卷）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交E 于,A B 两点，若AB 的中点为(1,1)-，则E 的方程为 . 类型3：已知曲线及直线,求弦的中点【例3】已知直线3y x =-+与抛物线22y x =交于,A B 两点，则AB 中点坐标为 . 【实战演练】（2013浙江高考）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过点(1,0)P -的直线l 交抛物线于,A B 两点，点Q 为AB 的中点，若2FQ =，则直线l 的斜率为 .【题型强化训练】1.（1）若椭圆2212x y +=的弦被点)21,21(-平分，则这条弦所在直线方程为 . (2)若直线1y x =+与椭圆22142x y +=相交于,A B 两点，则AB 中点坐标为 . 2. 已知中心在原点，一焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点横坐标为21，则该椭圆的方程为 .3.已知直线3y x =-+与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于,A B 两点，若AB 中点为(2,1)，则该椭圆的离心率为 .4. 直线():50l ax y a --+=（a 是参数）与抛物线()2:1f y x =+的相交弦是AB ，则弦AB 的中点轨迹方程是 .5．已知抛物线2:4C y x =，直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，若线段AB 的中点坐标为(2,2)，则直线l 的方程为 ．6. 已知直线l 与抛物线28y x =交于,A B 两点，点(2,2)M 为AB 中点，则AOB S ∆= .7.过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，且倾斜角为4π的直线与抛物线交于,A B 两点，若弦AB 的垂直平分线过点(0,2)，则AOB ∆的面积AOB S ∆= .8. 已知椭圆13422=+y x 上总有不同的两点关于直线m x y +=4对称,则实数m 的取值范围为 .9.已知椭圆C: 22221x y a b+= (0a b >>)的右焦点为F(2,0),且过点). 直线l 过点F 且交椭圆C 于A 、B 两点.若线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点为M(1,02),则直线l 的方程为 . 11.已知双曲线2222:1(0,0)x y T a b a b-=>>的右焦点为(2,0)F，且经过点(3R ，ABC ∆的三顶点都在双曲线T 上，O 为坐标原点，设ABC ∆三条边,,AB BC AC 的中点分别为,,M N P ，且三条边所在直线的斜率分别为123,,k k k ，若1OM ON OP k k k++=-，则123111k k k ++= . 12. 已知ABC ∆的三个顶点都在抛物线232y x =上，其中()2,8A ，且ABC ∆的重心G 是抛物线的焦点，求直线BC 的方程.13．过点()0,2的直线l 与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为2的椭圆C 相交于A 、B 两点，直线12y x =过线段AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称． （1）求直线l 的方程； （2）求椭圆C 的方程．14.已知椭圆221259x y +=上三点()()11229,,4,,,5A x y B C x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭与焦点()4,0F 的距离成等差数列.（1）求证：128x x +=；（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴交于点T ，求直线BT 的斜率k .15. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F，离心率为2，短轴长为2。
高考数学复习考点题型专题讲解 题型32 圆锥曲线中的中点弦(解析版)
高考数学复习考点题型专题讲解 题型:圆锥曲线中的中点弦【高考题型一】：圆、椭圆、双曲线的中点弦问题。
『解题策略』：注：方程：221mx ny +=，①当0,>n m 且n m ≠时，表示椭圆；②当0,>n m 且n m =时，表示圆；③当n m ,异号时，表示双曲线。
点差法：答题规范模板：步骤1：设直线与曲线 ：设直线:l y kx t =+与曲线：221mx ny +=交于两点A 、B ，AB 中点为),(中中y x P ，则有,A B 既在直线上又在曲线上，设),(11y x A ,),(22y x B ；步骤2：代入点坐标：即1122y kx t y kx t =+⎧⎨=+⎩;22112222 1 (1)1 (2)mx ny mx ny ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩；步骤3：作差得出结论：（1）-（2）得：..AB AB OP y mk k k x n =-=中中。
(作为公式记住，在小题中直接用。
)【题型1】：求值，利用结论求k 或斜率乘积定值。
1.(2013年新课标全国卷I10)已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的右焦点为()0,3F ，过点F 的直线交椭圆于B A ,两点，若AB 的中点坐标为()11-，，则E 的方程为 ( ) A.1364522=+y x B.1273622=+y x C.1182722=+y x D.191822=+y x【解析】：由结论可得：222111ab -=⨯-，得222b a =，3=c ，选D 。
2.(2010年新课标全国卷12)已知双曲线E 的中心为原点，()3,0F 是E 的焦点，过F的直线l 与E 相交于,A B 两点，且AB 的中点为()12,15N --，则E 的方程为 ( )A.22136x y -=B.22145x y -=C.22163x y -=D.22154x y -=【解析】：由结论可得：()()221231501215ab =----⨯--，得2245b a =，3=c ，选B 。
中学数学利用点差法处理圆锥曲线的“中点弦问题”
专题复习：利用点差法处理圆锥曲线的“中点弦问题”【知识要点】已知直线与圆锥曲线交于,A B 两点，点00(,)P x y 为弦AB 的中点，由点差法可得出以下公式：1. 椭圆：(1)焦点x 在轴上：22221x y a b += 2020AB x b k a y =-⋅(2)焦点y 在轴上：22221y x a b += 2020AB x a k b y =-⋅2. 双曲线：(1)焦点x 在轴上：22221x y a b -= 2020AB x b k a y =⋅(2)焦点y 在轴上：22221y x a b -= 2020AB x a k b y =⋅3. 抛物线: (1)焦点x 在轴上：2y mx = 02AB mk y =(2)焦点y 在轴上：2x my = 02AB m k x =【例题分析】类型1：已知曲线及弦的中点,求直线【例1】 已知直线l 与椭圆22164x y +=交于过点,A B 两点，若线段AB 的中点恰好为点(21)P ，， 则直线l 的方程为 .【实战演练】(2009新课标全国卷)已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为(1,0)F ，直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点，若AB 的中点为(2,2)，则直线l 的方程为 .类型2：已知直线及弦的中点，求曲线【例2】已知双曲线中心在原点且一个焦点为F 0），直线1y x =-与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为23-，则此双曲线的方程为 .【实战演练1】(2014江西高考)过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>交于,A B 两点，若M 是的中点，则椭圆的离心率为 .【实战演练2】（2013新课标全国I 卷）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交E 于,A B 两点，若AB 的中点为(1,1)-，则E 的方程为 . 类型3：已知曲线及直线,求弦的中点【例3】已知直线3y x =-+与抛物线22y x =交于,A B 两点，则AB 中点坐标为 . 【实战演练】（2013浙江高考）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过点(1,0)P -的直线l 交抛物线于,A B 两点，点Q 为AB 的中点，若2FQ =，则直线l 的斜率为 .【题型强化训练】1.（1）若椭圆2212x y +=的弦被点)21,21(-平分，则这条弦所在直线方程为 . (2)若直线1y x =+与椭圆22142x y +=相交于,A B 两点，则AB 中点坐标为 . 2. 已知中心在原点，一焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点横坐标为21，则该椭圆的方程为 .3.已知直线3y x =-+与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于,A B 两点，若AB 中点为(2,1)，则该椭圆的离心率为 .4. 直线():50l ax y a --+=（a 是参数）与抛物线()2:1f y x =+的相交弦是AB ，则弦AB 的中点轨迹方程是 .5．已知抛物线2:4C y x =，直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，若线段AB 的中点坐标为(2,2)，则直线l 的方程为 ．6. 已知直线l 与抛物线28y x =交于,A B 两点，点(2,2)M 为AB 中点，则AOB S ∆= .7.过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，且倾斜角为4π的直线与抛物线交于,A B 两点，若弦AB 的垂直平分线过点(0,2)，则AOB ∆的面积AOB S ∆= .8. 已知椭圆13422=+y x 上总有不同的两点关于直线m x y +=4对称,则实数m 的取值范围为 .9.已知椭圆C: 22221x y a b+= (0a b >>)的右焦点为F(2,0),且过点). 直线l 过点F 且交椭圆C 于A 、B 两点.若线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点为M(1,02),则直线l 的方程为 . 11.已知双曲线2222:1(0,0)x y T a b a b-=>>的右焦点为(2,0)F，且经过点(3R ，ABC ∆的三顶点都在双曲线T 上，O 为坐标原点，设ABC ∆三条边,,AB BC AC 的中点分别为,,M N P ，且三条边所在直线的斜率分别为123,,k k k ，若1OM ON OP k k k++=-，则123111k k k ++= . 12. 已知ABC ∆的三个顶点都在抛物线232y x =上，其中()2,8A ，且ABC ∆的重心G 是抛物线的焦点，求直线BC 的方程.13．过点()0,2的直线l 与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为2的椭圆C 相交于A 、B 两点，直线12y x =过线段AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称． （1）求直线l 的方程； （2）求椭圆C 的方程．14.已知椭圆221259x y +=上三点()()11229,,4,,,5A x y B C x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭与焦点()4,0F 的距离成等差数列.（1）求证：128x x +=；（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴交于点T ，求直线BT 的斜率k .15. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F，离心率为2，短轴长为2。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
关于圆锥曲线的中点弦问题直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。
这类问题一般有以下三种类型：（1）求中点弦所在直线方程问题； （2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）求弦中点的坐标问题。
其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。
一、求中点弦所在直线方程问题例1、过椭圆141622=+y x 内一点M （2，1）引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程。
解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得：16)12(4)2(8)14(2222=--+--+k x k k x k又设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ），则21,x x 是方程的两个根，于是14)2(82221+-=+k k k x x ，又M 为AB的中点，所以214)2(422221=+-=+k k k x x ，解得21-=k ，故所求直线方程为042=-+y x 。
解法二：设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ），M （2，1）为AB 的中点，所以421=+x x ，221=+y y ，又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642222=+y x ，两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x ， 所以21)(421212121-=++-=--y y x x x x y y ，即21-=AB k ， 故所求直线方程为042=-+y x 。
解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(y x ,)，由于中点为M （2，1），则另一个交点为B(4-y x -2,)，因为A 、B 两点在椭圆上，所以有⎩⎨⎧=-+-=+16)2(4)4(1642222y x y x ， 两式相减得042=-+y x ，由于过A 、B 的直线只有一条， 故所求直线方程为042=-+y x 。
二、求弦中点的轨迹方程问题例2、过椭圆1366422=+y x 上一点P （-8，0）作直线交椭圆于Q 点，求PQ 中点的轨迹方程。
解法一：设弦PQ 中点M （y x ,），弦端点P （11,y x ），Q （22,y x ），则有⎩⎨⎧=+=+57616957616922222121y x y x ， 两式相减得0)(16)(922212221=-+-y y x x ，又因为x x x 221=+，y y y 221=+，所以0)(216)(292121=-⋅+-⋅y y y x x x ， 所以yxx x y y 1692121=--，而)8(0---=x y k PQ ，故8169+=x y y x 。
化简可得01672922=++y x x （8-≠x ）。
解法二：设弦中点M （y x ,），Q （11,y x ）， 由281-=x x ，21yy =可得821+=x x ，y y 21=， 又因为Q 在椭圆上，所以136642121=+yx ，即136464)4(422=++y x ， 所以PQ 中点M 的轨迹方程为1916)4(22=++y x （8-≠x ）。
三、弦中点的坐标问题例3、求直线1-=x y 被抛物线x y 42=截得线段的中点坐标。
解：解法一：设直线1-=x y 与抛物线x y 42=交于),(11y x A ， ),(22y x B ，其中点),(00y x P ，由题意得⎩⎨⎧=-=x y x y 412， 消去y 得x x 4)1(2=-，即0162=+-x x ，所以32210=+=x x x ，2100=-=x y ，即中点坐标为)2,3(。
解法二：设直线1-=x y 与抛物线x y 42=交于),(11y x A ， ),(22y x B ，其中点),(00y x P ，由题意得⎩⎨⎧==22212144x y x y ，两式相减得)(4122122x x y y -=-， 所以4))((121212=-+-x x y y y y ，所以421=+y y ，即20=y ，3100=+=y x ，即中点坐标为)2,3(。
上面我们给出了解决直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题的一些基本解法。
下面我们看一个结论引理 设A 、B 是二次曲线C ：022=++++F Ey Dx Cy Ax 上的两点，P ),(00y x 为弦AB 的中点，则 )02(22000≠+++-=E Cy E Cy DAx k AB 。
设A ),(11y x 、B ),(22y x 则0112121=++++F Ey Dx Cy Ax (1)0222222=++++F Ey Dx Cy Ax (2))2()1(-得0)()())(())((212121212121=-+-+-++-+y y E x x D y y y y C x x x x A ∴0)()()(2)(22121210210=-+-+-+-y y E x x D y y Cy x x Ax ∴0))(2())(2(210210=-++-+y y E Cy x x D Ax∵020≠+E Cy ∴21x x ≠ ∴E Cy D Ax x x y y ++-=--00212122即E Cy D Ax k AB ++-=0022。
（说明：当B A −→−时，上面的结论就是过二次曲线C 上的点P ),(00y x 的切线斜率公式，即E Cy D Ax k ++-=0022） 推论1 设圆022=++++F Ey Dx y x 的弦AB 的中点为P),(00y x （)00≠y ，则E y D x k AB ++-=0022。
（假设点P 在圆上时，则过点P 的切线斜率为）推论2 设椭圆12222=+b y a x 的弦AB 的中点为P ),(00y x （)00≠y ，则0022y x a b k AB •-=。
（注：对a ≤b也成立。
假设点P 在椭圆上，则过点P 的切线斜率为0022y x a b k •-=） 推论3 设双曲线12222=-b y a x 的弦AB 的中点为P ),(00y x （)00≠y 则0022y x a b k AB •=。
（假设点P 在双曲线上，则过P 点的切线斜率为0022y x a b k •=） 推论4 设抛物线px y 22=的弦AB 的中点为P ),(00y x （)00≠y 则0y pk AB =。
（假设点P 在抛物线上，则过点P 的切线斜率为)0y p k =我们可以直接应用上面这些结论解决有关问题，下面举例说明。
例1、求椭圆1162522=+y x 斜率为3的弦的中点轨迹方程。
解：设P （x ，y ）是所求轨迹上的任一点，则有y x•-=25163，故所示的轨迹方程为16x+75y=0)2417524175(<<-x例2、已知椭圆),0(12222>>=+b a b y a x A 、B 是椭圆上两点，线段AB 的垂直平分线l 与x 轴相交于P )0,(0x ，求证：a b a x a b a 22022-<<--。
证明：设AB 的中点为T ),(11y x ，由题设可知AB 与x 轴不垂直，∴01≠y ，∴1122y x a b k AB •-= ∵l ⊥AB ∴1122x y b a k l •= E y Dx k ++-=0022∴l 的方程为：)(111221x x x y b a y y -•=- 令y=0 得)(01011221x x x y b a y -•=-∴02221x b a a x •-= ∵a x <||1 ∴ax b a a <•-||0222∴a b a x a b a 22022-<<-- 例3、已知抛物线C ：x y =2，直线,1)1(:+-=x k y l 要使抛物线C 上存在关于l 对称的两点，k 的取值范围是什么解：设C 上两点A 、B 两点关于l 对称，AB 的 中点为P),(00y x （)00≠y∴k y y p k AB 12100-=== ∴k y 210-=∵P ∈l ∴,1)1(00+-=x k y ∴,1)1(210+-=-x k k ∴k x 1210-= ∴)21,121(k k P -- ∵P 在抛物线内 ，∴k k 121412-< ∴,04423<+-k k k∴,04)22)(2(2<+-+k k k k ∴.02<<-k。