12
3
)4(-<-
x *（5）)0(≠>m n mx 意图：①理解并掌握不等式的性质；②通过渗透分类讨论思想，进一步强化不等式的性质； ③将含参数的不等式分散到各节，从而分散知识点，降低难度. 3.已知x <3,请根据不等式的基本性质，判断下列代数式的取值范围. （1）x 2 （2）13-x （3）12--x （4）x 38- 意图：进一步熟悉不等式的性质.
4.作差法比较大小（课本121页的阅读与思考） 意图：进一步体会不等式性质的作用.
9.2 一元一次不等式
【教学目标】
（1）了解一元一次不等式的概念；
（2）掌握一元一次不等式的解法，体会其中蕴含的化归思想；
（3）能够根据实际问题设未知数，列出一元一次不等式，并用它解决实际问题. 【重点】一元一次不等式的解法.
【难点】用一元一次不等式的知识解决实际问题.
类比一元一次方程的解法探讨出一元一次不等式的解法，由简单到复杂，合理利用数轴确定不等式的解集.
1.掌握不等式的基本解法： 解不等式
125
164x x +--≥
解：去分母，得 ()()2132512x x +--≥（不等式性质2） 去括号，得 2261512x x +-+≥ （分配律）
移项，得 2612215x x -≥-- （不等式性质1） 合并同类项，得 45x -≥- （分配律）
系数化1，得
4
5
44--≤
--x （不等式性质3） 54
x ≤
解集在数轴上表示为：
意图：①与解一元一次方程做比较，注意去分母和系数化1所乘数是否为负数，乘一个负数要改变不等号的方向；②强调解题步骤和依据，关注过程，进一步落实不等式的性质. 2.不等式的特殊解 例 求不等式
34
372
x +-<的最大整数解. 分析：先求出不等式的解集，再在解集中，找出符合附加条件的解，要求学生勾画出题目中的特殊条件，养成良好的审题习惯.
解： 去分母得 34614x +-<
移项得 31446x <-+ 合并同类项得 316x < 系数化1得 153
x < 所以最大整数解为：5x =
意图：培养良好的审题习惯，标注关键词
3. 含参数的一元一次不等式问题探究 （1）整数解问题
1 2 3 ____x a a <已知不等式的正整数解是，，，则的取值范围.
变式1： 3 ____x a a <已知不等式的最大整数解是，则的取值范围.
变式2： 1 2 3 ____x a a ≤已知不等式的正整数解是，，，则
的取值范围. 变式3： -3 ____x a a >已知不等式的最小整数解是，则的取值范围. （2）求解下列关于x 的不等式：
①已知m ＜1，解m x m ->-1)1(；
②已知a ，b 为有理数，不等式043)2(<-+-b a x b a 的解集是9
4
>x ， 求不等式032)4(>-+-b a x b a 的解集. ③已知方程组21321x y m
x y m
+=+??
+=-?的解满足0x y ->，求m 的取值范围.
4.实际应用问题
（1）学会抓住关键语句：不等关系
例：去年某市空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数（365）之比达到0055，如果到明年这样的比值要超过0070，那么明年空气质量良好的天数要比去年增加多少？
这一类问题比较接近于学生熟悉的利用一元一次方程（组）解决的实际问题，只是问题中的等量关系变成了不等关系，并且往往用“比”、“超过”等词加以体现。需要认真阅读理解分析题目，“审”题目中的“事”和“理”，以此抓住数量关系“设”、“列”、“解”、“答”. （2）方案优选问题，合理分类讨论，恰当运用作差法比较大小
例、甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲店累计购买100元商品后，再购买的商品按原价90%收费；在乙店累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的95%收费，顾客怎么样选择商品购物花费最少？
引导学生从实际问题中抽象出数学问题，找出数量关系中的不等关系，用来解决实际问题.让学生体会建立不等式模型的过程，培养学生有条理的思考和表达的习惯；分析结束后，可以让学生再结合结论给出一个合理的消费方案，回归到解决实际问题的方法上.
9.3 一元一次不等式组
【教学目标】
（1）了解不等式组及其相关概念；
（2）会解一元一次不等式组，并用数轴确定解集；
（3）能够列出不等式组表示问题中的不等关系. 【重点】确定几个一元一次不等式解集的公共部分. 【难点】列不等式组表示实际问题中的不等关系. 1.类比方程组的概念得出一元一次不等式组的概念 2.结合数轴探究一元一次不等式组的解集 例 解下列不等式组,并把解集在数轴上表示出来. (1)3150728x x x ->??
-
315
x x +
(3)21113112x x x -+>-???+-≥??(4)?????->+≥--13
214)2(3x x x x
意图：通过联系解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式组的基本步骤：
(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集； (2)利用数轴确定它们的公共部分； (3)表示出这个不等式组的解集．
3.总结不等式组解集确定的方法： （a b >）
不等式组 图象 解集 （1）x a
x b
x b <
（2）x a
x b >??
>?
x a >
（3）x a x b ?
b x a <<
（4）x a
x b
>??
4.根据不等式组的解集确定字母的取值问题 （1） 若不等式组2
x m
x
变式： ①若不等式组??
?<<+2
1
x m x 的解集是2②若不等式组??
?><+2
1
x m x 无解，则ｍ的取值范围是_______.
（2）若不等式组????
?-+≥++<+13112
91x x a x 有解，则实数a 的取值范围是________. （3）不等式组24
25x a x b +>??-
的解集是02x <<，那么a b +的值等于________.
5.整数解问题
（1）若满足不等式20<5－2(2＋2x )<50的最大整数解为a ，最小整数解为b ，则a +b 的值为__. （2）若不等式组??
?><2
x m
x 的解集中只有三个整数，则m 的取值范围是_______.
（3）已知关于x 的不等式组??
?+->+>+5
)2(32)
(324x x a x x 仅有三个整数解，则a 的取值范围是_______.
（4）已知不等式组：??
?
??-->+++<-4138)1(3282)12(3x x x x 的最大整数解满足a x ax 26-=+，则a ＝______.
（5）不等式组?
??<<+<<-532
1x a x a 的解集是3 6 .不等式组的实际应用问题
某学校组织“三好学生”进行夏令营活动，乘车时，小明发现，如果每辆汽车坐4人，则有20人没有车坐，如果每辆车坐8人，则有一辆汽车不空也不满；求参加夏令营活动的“三好学生”人数及汽车的辆数.
初一下数学讲义 -不等式及其性质(提高)知识讲解
不等式及其性质（提高）知识讲解 【学习目标】 1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都可以用来刻画现实世界中的数量关系. 2. 知道不等式解集的概念并会在数轴上表示解集. 3. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用. 【要点梳理】 知识点一、不等式的概念 一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 要点诠释： (1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． (2) (3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 知识点二、不等式的解及解集 1.不等式的解： 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 2.不等式的解集： 对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 要点诠释： 3.不等式的解集的表示方法 （1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8． (2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：
要点诠释： 借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；二是确定方向，对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画． 注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点． 【高清课堂：一元一次不等式370042不等式的基本性质】 知识点三、不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a b c c >)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a b c c <)． 要点诠释：不等式的基本性质的掌握应注意以下几点： (1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．【典型例题】 类型一、不等式的概念 1．有数颗等重的糖果和数个大、小砝码，其中大砝码皆为5克、小砝码皆为1克，且下图是将糖果与砝码放在等臂天平上的两种情形．判断下列正确的情形是() 【思路点拨】根据图示可知1个糖果的质量＞5克，3个糖果的质量＜16克，依此求出1个糖果的质量取值范围，再在4个选项中找出情形正确的．
高中数学-不等式的基本性质(一)练习
高中数学-不等式的基本性质（一）练习 课后导练 基础达标 1若-1<α<β<1,则下列各式中成立的是( ) A.-2<α-β<0 B.-2<α-β<-1 C.-1<α-β<0 D.-1<α-β<1 解析:∵-1<α<β<1,∴-1<α<1,-1<β<1. ∴-1<-β<1.∴-2<α-β<2.又α-β<0, ∴-2<α-β<0. 答案:A 2“a+b>2c ”成立的一个充分条件是( ) A.a>c,或b>c B.a>c 且bc 且b>c D.a>c,或bc 且b>c ,∴a+b>c+c,即a+b>2c. 答案:C 3若x>1>y,下列不等式中不成立的是( ) A.x-1>1-y B.x-1>y-1 C.x-y>1-y D.1-x>y-x 解析:∵x>1>y, ∴x+(-1)>y+(-1),即B 正确; x+(-y)>1+(-y),即C 正确; 1+(-x)>y+(-x),即D 正确. 故选A. 答案:A 4若m<0,n>0,且m+n<0,则下列不等式中成立的是( ) A.-n0,m+n<0, ∴m<-n<0,-m>n,即n<-m. ∴m<-n0,m,n 互为倒数,易得m<10,∴4ac<0.∴b 2-4ac>0. 答案:b 2-4ac>0 7下列命题中真命题的个数为( )
(完整版)高中数学不等式归纳讲解
第三章不等式 定义：用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。 3-1 不等式的最基本性质 ①对称性：如果x＞y，那么y＜x；如果y＜x，那么x＞y； ②传递性：如果x＞y，y＞z；那么x＞z； ③加法性质；如果x＞y，而z为任意实数，那么x＋z＞y ＋z； ④乘法性质：如果x＞y，z＞0，那么xz＞yz；如果x＞y，z＜0，那么xz＜yz;（符号法则） 3-2 不等式的同解原理 ①不等式F（x）＜G（x）与不等式G（x）＞F（x）同解。
②如果不等式F （x ） ＜ G （x ）的定义域被解析式H （ x ）的定义域所包含，那么不等式 F （x ）＜G （x ）与不等式F （x ）＋H （x ）＜G （x ）＋H （x ）同解。 ③如果不等式F （x ）＜G （x ） 的定义域被解析式H （x ）的定义域所包含，并且H （x ）＞0，那么不等式F(x)＜G （x ）与不等式H （x ）F （x ）＜H （ x ）G （x ） 同解；如果H （x ）＜0，那么不等式F （x ）＜G （x ）与不等式H (x)F （x ）＞H （x ）G （x ）同解。 ④不等式F （x ）G （x ）＞0与不等式 0)x (G 0)x (F >>或0)x (G 0)x (F <<同解 不等式解集表示方式 F(x)>0的解集为x 大于大的或x 小于小的 F(x)<0的解集为x 大于小的或x 小于大的 3-3 重要不等式
3-3-1 均值不等式 1、调和平均数： )a 1...a 1a 1(n H n 21n +++= 2、几何平均数： n 1 n 21n )a ...a a (G = 3、算术平均数： n )a a a (A n 21n +++= 4、平方平均数： n )a ...a a (Q 2n 2221n +++= 这四种平均数满足Hn ≤Gn ≤An ≤Qn a1、a2、… 、an ∈R +，当且仅当a1=a2= … =an 时取“=”号 3-3-1-1均值不等式的变形 (1)对正实数a,b ，有2ab b a 22≥+ (当且仅当a=b 时 取“=”号)
初一数学下册不等式复习
一、不等式 (一)、不等式的基本概念 1、用“>”或“<”号表示大小关系的式子,叫不等式。 2、不等式的解:能使不等式成立的未知数的值,叫不等式的解。 例1.下面哪些数值是关于x的不等式1-5x＜16的解？ -4.5 ， -4 ，-3 ，4 ，2.5 ，0 ，-1 答：当x=-4.5,-4,-3时，不等式不成立。当x= 4，2.5，0，-1时，不等式成立。 例2.下列各数中,哪些是不等式x+1<3的解?哪些不是? -3 , -1 , 0 , 1, 1.5 , 2.5 ,3 , 3.5 例3．用不等式表示下列数量关系 (1)x的3倍大于x的2倍与5的差； (2)y的3/4与x的1/2的差小于2； (3)y的一半与4的和是负数； (4)5与a的4倍的差不是正数。 (5)a与1的和是正数; (6)y的2倍与1的和大于3; (7)x的一半与x的2倍的和是非正数; (8)c与4的和的30%不大于-2;
(9)x 除以2的商加上2,至多为5; (10)a 与b 两数的和的平方不可能大于3。 3、不等式的解集 (1)、一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合。 (2)、含有一个未知数,未知数的次数是1的不等式叫作一元一次不等式。 (3)、求不等式解集的过程叫做解不等式。 求下列不等式的解集 ○12(x-2)≤6-3x ○22x-3>1 ○33x+1<-2 ○43x+4≤6+2(x-2) ○5421+≤x x ○65 351x x ->+
4、不等式解集的数轴表示 例将方程x＋6＝5的解在数轴上表示出来，如下图所示 而不等式x＋6＞5则有无数多个解，即x>－1的任何一个数都是不等式的解， 在数轴上表示出来是一个区间，如图 注意上图中的“空心点” 课堂练习 在数轴上表示出下列各式： （1）x≥2 （2）x＜－2 （3）x＞1 （4）x≤－1 (二)、不等式的性质 性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变； 如果a>b，那么a+c>b+c (或a-c>b-c) 性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变； 如果a>b，且c>0，那么ac>bc (或a/c >b/c) 性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 如果a>b，且c<0，那么ac高中数学不等式知识点总结
弹性学制数学讲义 不等式（4课时） ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①（对称性）a b b a >?> ②（传递性）,a b b c a c >>?> ③（可加性）a b a c b c >?+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >>< ⑥（平方法则） 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧（倒数法则） b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22 .2a b ab +≤ ②（基本不等式） 2a b ab +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、
三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）. ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈， （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或 22. x a x a a x a
七年级数学不等式练习题及答案
.选择题（共20小题） 1?实数a, b在数轴上的对应点如图所示，则下列不等式中错误的是（ a b 0 A ab> 0 B a+b v 0 C a v 1 D a - b v 0 ?恫 2.据丽水气象台天气预报”报道，今天的最低气温是17C,最高气温是25C,则今天气温t （C）的范围是（ At V 17 B t > 25 C t=21 D 17W <25 3?若x>y,则下列式子错误的是（） A x - 3>y - 3 B 3 - x> 3 - y C x+3 > y+2 4 .如果a v b v 0，下列不等式中错误的是( ) A ab> 0 B a+b v 0 C |a v 1 D a - b v 0 ?恫LI 的解集是x> 1 .其中正确的个数是（） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 A x v 4 B x v 2C2v x v 4 不等式J> 1的解集是（） A 1 x >-—. 2 B x>- 2 C x v- 2 D .不等式2x > 3 - x的解集是（） A x > 3 B x v 3 C x > 1D x > 2 x v 1 9. x v A a> b>- b> B a>- a> b> C b>a>- b> D-a>b>-b . -a.-b. -a> a x > 2;④ \>1 x>2 12 5.如果a v 0, b>0, a+b v0,那么下列关系式中正确的是（ 6.下列说法：①x=0是2x - 1v 0的一个解; ②. 不是3x- 1> 0的解；③-2x+1v 0的解集是 3 7.一个不等式的解集为-1v x电，那么在数轴上表示正确的是（ &如图，在数轴上表示某不等式组中的两个不等式的解集，则该不等式组的解集为（ O 10
不等式选讲-2019年高考理科数学解读考纲
16 不等式选讲 选考内容 （二）不等式选讲 1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： （1）. （2）. （3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： . 2．了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明. （1）柯西不等式的向量形式： （2）. （3）. （此不等式通常称为平面三角不等式.） 3．会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形： 4．会用向量递归方法讨论排序不等式. 5．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题. 6．会用数学归纳法证明伯努利不等式： 了解当n为大于1的实数时伯努利不等式也成立. 7．会用上述不等式证明一些简单问题.能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值. 8．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.
1．从考查题型来看，涉及本知识点的题目主要以选考的方式，在解答题中出现，考查解绝对值不等式、证明不等式等. 2．从考查内容来看，主要考查绝对值不等式的解法、不等式的证明，求最值问题等. 3．从考查热点来看，重点在于考查学生解不等式及利用不等式求解最值问题等，绝对值不等式与函数问题的综合是高考的趋势，值得关注. 考向一 绝对值不等式的求解 样题1 （2018新课标全国Ⅱ理科）设函数 ． （1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤，求a 的取值范围． 样题2 （2018新课标全国Ⅲ理科）设函数 ． （1）画出()y f x =的图象；
（2）当[)0x +∞∈，，，求a b +的最小值． 【解析】（1）()y f x =的图象如图所示．
人教版初一数学下册一元一次不等式的定义及解法
9．2 一元一次不等式 第1课时 一元一次不等式的解法 1．理解一元一次不等式的概念；(重点) 2．掌握一元一次不等式的解法．(重点、难点) 一、情境导入 1．什么叫一元一次方程？ 2．解一元一次方程的一般步骤是什么？要注意什么？ 3．如果把一元一次方程中的等号改为不等号，怎样求解？ 二、合作探究 一元一次不等式的概念 下列不等式中，是一元一次不等式的是( ) A ．5x －2＞0 B ．－3＜2＋1x C ．6x －3y ≤－2 D ．y 2＋1＞2 解析：选项A 是一元一次不等式，选项B 中含未知数的项不是整式，选项C 中含有两个未知数，选项D 中未知数的次数是2，故选项B ，C ，D 都不是一元一次不等式．故选A. 方法总结：如果一个不等式是一元一次不等式，必须满足三个条件：①含有一个未知数；②未知数的最高次数为1；③不等式的两边都是关于未知数的 根据一元一次不等式的概念确定字母的取值范围 已知－1 3 x 2a －1＋5＞0是关于x 的一元一次不等式，则a 的值是________． 解析：由－13 x 2a －1＋5＞0是关于x 的一元一次不等式得2a －1＝1，则a ＝1.故答案为1. 解一元一次不等式 解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集 解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：
(1)2x －3＜x ＋13； (2)2x －13－9x ＋26 ≤1. 解析：先去分母，再去括号、移项、合并同类项，系数化为1，求出不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可． 解：(1)去分母，得3(2x －3)＜x ＋1， 去括号，得6x －9＜x ＋1， 移项，合并同类项，得5x ＜10， 系数化为1，得x ＜2. 不等式的解集在数轴上表示如下： (2)去分母，得2(2x －1)－(9x ＋2)≤6， 去括号，得4x －2－9x －2≤6， 移项，得4x －9x ≤6＋2＋2， 合并同类项，得－5x ≤10， 系数化为1，得x ≥－2. 不等式的解集在数轴上表示如下： 方法总结：在数轴上表示不等式的解集时，一要把点找准确，二要找准方向，三要区别实心圆点与空心圆圈根据不等式的解集求待定系数 已知不等式x ＋8＞4x ＋m (m 是常数)的解集是x ＜3，求m 的值． 解析：先解不等式x ＋8＞4x ＋m ，再列方程求解． 解：因为x ＋8＞4x ＋m ，所以x －4x ＞m －8，所以－3x ＞m －8，所以x ＜－13 (m －8)． 因为其解集为x ＜3， 所以－13 (m －8)＝3，解得m ＝－1. 方法总结：已知解集求字母系数的值，通常是先解含有字母的不等式，再利用解集的唯一性列方程求字母的值．解题过程体现了方程思想． 求不等式的特殊解 y 为何值时，代数式5y ＋4 6的值不大于代数式78－1－y 3 的值？并求出满足条件的最大整数．
最新七年级数学不等式应用题专项练习
一元一次不等式应用题专项练习 1．某校为了奖励在数学竞赛中获奖的学生，买了若干本课外读物准备送给他们，如果每人送3本，则还余8本；如果前面每人送5本，则最后一人得到的课外读物不足3本，设该校买了m本课外读物，有x名学生获奖，请解答下列问题：（1）用含x的代数式表示m； （2）求出该校的获奖人数及所买课外读物的本数． 2某果品公司要请汽车运输公司或火车货运站将60t水果从A地运到B地．已知汽车和火车从A地到B地的运输路程都是Skm，两家运输单位除都要收取运输途中每吨每小时5元的冷藏费用外，其他收取的费用和有关运输资料由表列出： 运输工具行驶速度（km/h）运输单价（元/t．km）装卸费用 汽车50 2 3000 火车80 1.7 4620 （1）分别写出这两家运输单位运送这批水果所要收取的总费用y1元和y2元（用含S的式子表示）； （2）为减少费用，当s=100km时，你认为果品公司应该选择哪一家运输单位更为合算？ 3．用甲、乙两种原料配制成某种果汁，已知这两种原料的维生素C的含量及购买这两种原料的价格如表： 甲种原料乙种原料 维生素C含量（单位/千克） 800 200 原料价格（元/kg）18 14 （1）现制作这种果汁200kg，要求至少含有52 000单位的维生素C，试写出所需甲种原料的质量x（kg）应满足的不等式； （2）如果还要求购买甲、乙两种原料的费用不超过1 800元，那么请你写出所需甲种原料的质量x（kg）应满足的另一个不等式． 4，为了抓住世博会商机，某商店决定购进A，B两种世博会纪念品，若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品4件，B种纪念品3件，需要550元，
人教版七年级数学下册一元一次不等式的解法(基础)典型例题(考点)讲解+练习(含答案).doc
【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。】 一元一次不等式的解法（基础）知识讲解 责编：常春芳 【学习目标】 1．理解一元一次不等式的概念； 2.会解一元一次不等式． 【要点梳理】 【：一元一次不等式 370042 一元一次不等式 】 要点一、一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如， 2 503 x >是一个一元一次不等式． 要点诠释： (1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为1. (2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系： 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向． 要点二、一元一次不等式的解法 1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式． 2.一元一次不等式的解法： 与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：a x <（或a x >）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为ax b >（或ax b <）的形式（其中0a ≠）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集. 要点诠释： （1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用． （2）解不等式应注意： ①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项； ②移项时不要忘记变号； ③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号； ④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变． 3.不等式的解集在数轴上表示： 在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助． 要点诠释： 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： （1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈； （2）方向：大向右，小向左． 【典型例题】
人教版初一数学下册不等式习题
《基本不等式》同步测试 一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若 a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ） A ．21a a +> B ．2111 a <+ C ．296a a +> D ．2 lg(1)lg |2|a a +> 2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ） Ａ．1 2 Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a 3. 设x >0,则1 33y x x =-- 的最大值为 （ ） Ａ．3 Ｂ．332- Ｃ．3-23 Ｄ．－1 4. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( ) A. 10 B. 63 C. 46 D. 183 5. 若x , y 是正数，且 14 1x y +=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值 116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值116 6. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ） A ．2222a b c ++≥ B ．2 ()3a b c ++≥ C ． 11123a b c + + ≥ D ．3a b c ++≤ 7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ） A ．114x y ≤+ B ．11 1x y +≥ C ．2xy ≥ D ．11xy ≥ 8. a ,b 是正数，则 2,, 2 a b ab ab a b ++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ．22a b ab ab a b +≤≤+ Ｂ．22a b ab ab a b +≤≤ + Ｃ． 22ab a b ab a b +≤≤+ Ｄ．22 ab a b ab a b +≤≤ + 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ） Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2 p q x +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ） Ａ．4y x x =+ Ｂ．4sin sin y x x =+ (0)x π<<
人教A版新课标高中数学必修一教案-《等式性质与不等式性质》
《 等式性质与不等式性质》 1、知识与技能 （1）能用不等式 (组)表示实际问题的不等关系； （2）初步学会作差法比较两实数的大小； （3）掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题. 2、过程与方法 使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系；以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有关基本性质研究不等关系. 3、情感态度与价值观 通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量. 【教学重点】 能用不等式(组)表示实际问题的不等关系， 会作差法比较两实数的大小 ，通过类比法，掌握不等式的基本性质. 【教学难点】 运用不等式性质解决有关问题. （一）新课导入 用不等式(组)表示不等关系
中国"神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的成功.我们知道,它的飞行速度(v )不小于第一宇宙速度(记作2v ),且小于第二宇宙速度(记 1v ). 12v v v ≤< （二）新课讲授 问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗 （1）某路段限速40km /h ； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于%，蛋白质的含量p 应不少于%； （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 对于（1），设在该路段行驶的汽车的速度为vkm /h ，“限速40km /h ”就是v 的大小不能超过40，于是0＜v ≤40. 对于(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于%，蛋白质的含量p 应不少于%. 2.5%2.3% f p ≥??≥? 对于（3），设△ABC 的三条边为a ，b ，c ，则a +b ＞c ，a -b ＜c . 对于（4），如图，设C 是线段AB 外的任意一点，CD 垂直于AB ，垂足 为D ，E 是线段AB 上不同于D 的任意一点，则CD ＜CE . 以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式图接着， 就可以用不等式研究相应的问题了 问题2:某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高元，销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元 解：提价后销售的总收入为错误!x 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式
七年级数学不等式练习题及答案99314
一．选择题（共20小题） 1．实数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下列不等式中错误的是（） A．a b＞0 B．a+b＜0 C． ＜1 D．a﹣b＜0 2．据丽水气象台“天气预报”报道，今天的最低气温是17℃，最高气温是25℃，则今天气温t（℃）的范围是（） A．t＜17 B．t＞25 C．t=21 D．17≤t≤25 3．若x＞y，则下列式子错误的是（） A．x﹣3＞y﹣3 B．3﹣x＞3﹣y C．x+3＞y+2 D． 4．如果a＜b＜0，下列不等式中错误的是（） A．a b＞0 B．a+b＜0 C． ＜1 D．a﹣b＜0 5．如果a＜0，b＞0，a+b＜0，那么下列关系式中正确的是（） 6．下列说法：①x=0是2x﹣1＜0的一个解；②不是3x﹣1＞0的解；③﹣2x+1＜0的解集是x＞2； ④的解集是x＞1．其中正确的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 7．一个不等式的解集为﹣1＜x≤2，那么在数轴上表示正确的是（） 8．如图，在数轴上表示某不等式组中的两个不等式的解集，则该不等式组的解集为（） A．x＜4 B．x＜2 C．2＜x＜4 D．x＞2 9．不等式＞1的解集是（） A． x＞﹣B．x＞﹣2 C．x＜﹣2 D． x＜﹣ A．x＞3 B．x＜3 C．x＞1 D．x＜1 A．1个B．2个C．3个D．4个
A．0个B．1个C．2个D．3个 13．“x的2倍与3的差不大于8”列出的不等式是（） A．2x﹣3≤8 B．2x﹣3≥8 C．2x﹣3＜8 D．2x﹣3＞8 14．用abc表示三种不同的物体，现放在天平上比较两次，情况如图所示，那么abc这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为（） A．a=b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a 15．根据下面两图所示，对a、b、c三种物体的重量判断不正确的是（） A．a＜c B．a＜b C．a＞c D．b＜c 16．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（） A．B．C．D． 17．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（） A．B．C．D． 18．不等式组的整数解共有（） A．3个B．4个C．5个D．6个 19．不等式组的正整数解的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 20．若使代数式的值在﹣1和2之间，x可以取的整数有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 二．填空题（共2小题） 1．关于x的不等式组的解集是x＞﹣1，则m=． 22．若不等式组的解集是﹣1＜x＜1，则（a+b）2009=_________．
人教版初一数学下册不等式一
胡营中学“361自主课堂”教师导案设计 年级：七年级学科：数学主备人：时间：课题：不等式的性质课时：课型： 导学目标 知识技能 经历探索不等式的基本性质的过程，理解不等式的基本性质. 过程方法 在不等式基本性质的探索过程中，渗透类比思想方法,培养合情推理能力. 情感态度 与价值观 在应用不等式的基本性质证明简单问题的过程中,培养思维的逻辑性和严谨性, 进而培养学生的逻辑能力 学习重点探索不等式的基本性质. 学习难点基本性质的研究内容(运算中的不变性)和方法(类比等式的基本性质)的概括. 导学过程备注 1.复习引入 师：生活中的数量关系不外乎两种：相等关系与不等关系，不等关系在我们现实生活中普遍存在着．通过上一节课的学习，我们知道在数学中通常用不等式来表示不等关系．那么讨论不等关系、求解或证明不等式需要什么依据？这就是今天我们所要研究的内容——不等式的基本性质 【设计意图】：向学生指出研究不等式基本性质的重要性与必要性，点明本节课要研究的内容． 师：初中里我们借助于数轴，学习过实数大小的比较，在数轴上实数大小是如何规定的？ 生：如果在数轴上两个不同的点A与B分别对应不同的实数那么右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大． 师：也就是说我们是从数轴上直观感知的，借助于数轴去比较数的大小,是一种对数大小关系比较的感性认识． 师：从实数运算角度来讲，我们依据实数运算的结果，两实数大小的关系有以下定义： 如果是正数，那么；如果等于零，那么；如果 是负数，那么，反过来也对． 师：同学们，你能否用数学符号语言来表示这一定义？ 生： 师：这一定义有什么作用？ 生：从定义可知，要比较两实数的大小，可以考察这两个实数的差． 师：很好，通过差值的符号去判断两实数的大小，这是一种区别于从数轴上直观感知，严密的判断两数大小的方法． 师：在几何中当我们给出一个公理或定义后，往往要研究“性质与判定”，同样有了这个定义后，我们有必要去研究不等式的基本性质，以使我们更好的去求解或证明不等式． 提问：（1） （2）若 生：成立 师：为什么？ 生：用作差的方法去证明（学生讲解，教师板书） 师：板书不等式基本性质1与2 性质1：；（对称性） 性质2：，；，．（传递性）【设计意图】：向学生强调：这一定义是一种证明、求解不等
七年级下册数学不等式与不等式组试卷
一、选择题（每小题5分，共30分） 1． 若m ＞n ，则下列不等式中成立的是（ ） A ．m + a ＜n + b B ．ma ＜nb C ．ma 2＞na 2 D ．a -m ＜a -n 2．不等式4（x -2）＞2（3x + 5）的非负整数解的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 3．若不等式组的解集为-1≤x ≤3，则图中表示正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 4．若方程()()31135m x m x x ++=--的解是负数，则m 的取值范围是 （ ） A ．54m >- B ．54m <- C ．54m > D ．54 m < 5．不等式()123 x m m ->-的解集为2x >，则m 的值为（ ） A ．4 B ．2 C ．32 D ．12 6．不等式组123 x x -≤??-
高中数学 不等式的基本性质
高中数学不等式的基本性质不等式的基本性质 1.不等式的定义：a-b0ab,a-b=0a=b,a-b0a ①其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。 ②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。 作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。 2.不等式的性质： ①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。 不等式基本性质有： (1)abb (2)ab,bcac(传递性) (3)aba+cb+c(cR) (4)c0时，abacbc c0时，abac 运算性质有： (1)ab,cda+cb+d。 (2)ab0,cd0acbd。 (3)ab0anbn(nN,n1)。
(4)ab0(nN,n1)。 应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此，要正确理解和应用不等式性质。 ②关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题： (1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。 (2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。 要练说，先练胆。说话胆小是幼儿语言发展的障碍。不少幼儿当众说话时显得胆怯：有的结巴重复，面红耳赤；有的声音极低，自讲自听；有的低头不语，扯衣服，扭身子。总之，说话时外部表现不自然。我抓住练胆这个关键，面向全体，偏向差生。一是和幼儿建立和谐的语言交流关系。每当和幼儿讲话时，我总是笑脸相迎，声音亲切，动作亲昵，消除幼儿畏惧心理，让他能主动的、无拘无束地和我交谈。二是注重培养幼儿敢于当众说话的习惯。或在课堂教学中，改变过去老师讲学生听的传统的教学模式，取消了先举手后发言的约束，多采取自由讨论和谈话的形式，给每个幼儿较多的当众说话的机会，培养幼儿爱说话敢说话的兴趣，对一些说话有困难的幼儿，我总是认真地耐心地听，热情地帮助和鼓励
新人教版七年级数学下册不等式经典练习题
1. 解不等式 空 1 5 x 5, 3 4 并把它的解集在数轴上表示出来 2. 给出下列命题：①若a>b,则ac 2 >bc 2 ;②若ab>c,则b>C ;③若-3a>2a,则a<0;?④若 a a3的解集为x< -1 ，求m 的值 5、 k 为何值时，关于x 的不等式 11x — 24 <4x — k 没有正数解。 2粮据不笫式组的解的祝求字梅的取值范BI ［工:有解加的取值范 围为 A. a > —2 鼻亠2 C. <1 <2 ri - a >0* 的整数解共有5个, 3-2x^-1 求。的取范雹 ft - a *4 >0, 肿 wo 则(应“严的值为 已知不等式组, 已知不等式组*
3 旳还不琴攻< 俎)韦为**( m>的 I 吟Wrti为半宦昨灾运动会的共品后*冋帯枚冋石勤址土老rtfm立艰说="我买丁两轲* +5 ,处105 斎”単价令号□为露冗和12亍亡.巫t$ 了 1 500 死.J3E 在述余 4 ■枚元”" 壬WiMi w r——下?说/你皆矩执钳了■ ” < 1 > 土黑卽命为什么说映老卽帝独错r ? LX用力」雀白勺悝口识给子*￥ ? 5 <2^ 晦圭進忙?出昨知復卓槿孟r,卷理曰匕寿他T , 丙丙他珏乘丁一千隹V衣*伯宅记*白勺￥价已極*JlWfeW? 认"1危勿<1*于1O 兀的诫敦■他耳己本旳甲价河能为難少亢￥ 5. 一天夜里，一个人在森林里散步，听见一伙盗贼正在分脏物，只听见他们说：若每人分4个，则还剩2 0个；若每人分8个，则还有一人少分几个?”有盗贼多少？脏物多少个？ 6、火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，现计划用50节A、B两种型号的车厢将这批货物运至北京，已知每节A型货厢的运费是0.5万元，每节B节货厢的运费是0.8万元;甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A型货厢,甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货厢，按此要求安排A、B两种货厢的节数，共有哪几种方案？请你设计出来；并说明哪种方案的运费最少？ 7、某学校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和一批笔记本电脑?经投标，购 买1块电子白板比买3台笔记本电脑多3000元?购买4块电子白板和5台笔记本电脑共需80000元. (1) 求购买1块电子白板和一台笔记本电脑各需多少元？ (2) 根据该校实际情况，需购买电子白板和笔记本电脑的总数为396，要求购买的总费用不超过2700000元，并且购买笔记本电脑的台数不超过购买电子白板数量的3倍?该校有哪几种购买方案？ (3) 上面的哪种购买方案最省钱？按最省钱方案购买需要多少钱?
人教课标版高中数学选修4-5：《不等式的基本性质》教案(1)-新版
1.1 课时1 不等式的基本性质 一、教学目标 （一）核心素养 在回顾和复习不等式的过程中，对不等式的基本性质进行系统地归纳整理，并对“不等式有哪些基本性质和如何研究这些基本性质”进行讨论，使学生掌握相应的思想方法，以提高学生对不等式基本性质的认识水平. （二）学习目标 1.理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础. 2.掌握不等式的基本性质，并能加以证明. 3.会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法. （三）学习重点 应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明. （四）学习难点 灵活应用不等式的基本性质. 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务 （1）读一读：阅读教材第2页至第4页，填空： a b >? a b =? a b >?> ②a c b c a b +>+?> ③ac bc a b >?> ④33a b a b >?> ⑤22a b a b >?> ⑥,a b c d ac bd >>?> 2.预习自测 （1）当x ∈ ，代数式2(1)x +的值不大于1x +的值. 【知识点】作差比较法 【解题过程】2(1)(1)x x +-+=2(1)x x x x -=- 【思路点拨】熟悉作差比较法 【答案】[0,1]
（2）若c ∈R ，则22ac bc > a b > A.? B.? C.? D.≠ 【知识点】不等式的基本性质 【解题过程】由22ac bc >，得0c ≠，所以20c >；当,0a b c >=时，22ac bc =. 【思路点拨】掌握不等式的基本性质 【答案】A. （3）当实数,a b 满足怎样条件时，由a b >能推出 11a b ，所以当0ab >时，11a b <. 【思路点拨】掌握作差比较法 【答案】当0ab >时， 11a b <. (二)课堂设计 1.问题探究 探究一 结合实例，认识不等式 ●活动① 归纳提炼概念 人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的. 【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程. ●活动② 认识作差比较法 关于实数,a b 的大小关系，有以下基本事实： 如果a b >，那么a b -是正数；如果a b =，那么a b -等于零；如果a b <，那么a b -是负数.反过来也对. 这个基本事实可以表示为：0;0;0a b a b a b a b a b a b >?->=?-=
七年级数学不等式教学方法
七年级数学不等式教学方法 1七年级数学不等式该如何教学 注重基础知识的教学 初中的数学内容较小学教学内容更系统和深入，涉及面更广。因此，教师在教学中应 该注重基础知识的教学，帮助学生打下厚实的基础，以利于学生以后的数学学习。首先应 该摆正师生关系，在中国的教育当中一直强调着“师道尊严”。教师在课堂上一般都是居 高而上，普遍都是教师在讲台上讲，学生在下面埋头“消化”教师讲的知识点。教师掌握 着上课的节奏，这样学生显得很被动。在初中不等式教学当中涉及很多的知识点，学生仅 仅知道一些公式而不会运用是教学的一种失败。基础知识在教学当中就显得尤为重要。 不等式的解题方式多样，内容丰富，技巧性较强并且要依据题设、题的结构特点、内 在联系、选择适当的解题方法，就要熟悉解题中的推理思维，需要掌握相应的步骤、技巧 和语言特点。而这一切都是建立在学生有夯实的基础之上的。学生的基础知识不扎实的话，在解不等式题时就步履维艰。 夯实的基础来源于学生对不等式概念知识的掌握和运用，而概念的形成有一个从具 体到表象再到抽象的过程。对不等式抽象概念的教学，更要关注概念的实际背景和学生对 概念的掌握程度。数学的概念也是数学命题、数学推理的基础，学生学习不等式知识点也 是从概念的学习开始的。所以在不等式教学探究中教师应注重学生的基础。 注重学生对知识的归纳和整理 提高初中数学不等式教学效果，首先要培养学生主动探索数学知识的精神，通过寻求 不同思维达到解题效果来激发学生对数学学习的兴趣。引导学生主动去对数学不等式知识 进行探究，通过结合所学的数学知识来形成一个完整的知识网络，以帮助学生完成更深入 地数学知识探究。 同时初中数学不等式知识点的学习对学生归纳能力提出了较高的要求。灵活使用概念 能够帮助学生熟练地运用数学知识，对不等式这一章节知识点的掌握归纳和整理进行综合 的运用从而能够成功地解题。例如，在含有绝对值的不等式当中：解关于x的不等式2+a0时，解集是;2当-2≤a<0时，解集为空集;3当a<-2时，解集为。当学生对知识点进行归 纳和整理后，学生也就不会马失前“题”。 2提高数学课堂教学质量 创设自主学习与合作学习的情境 要把数学学习设置到复杂的、有意义的问题情境中，通过让学生合作解决真正的问题，掌握解决问题的技能，并形成自主学习的能力。创设促进自主学习的问题情境，首先教师 要精心设计问题，鼓励学生质疑，培养学生善于观察、认真分析、发现问题的能力。其次，要积极开展合作探讨，交流得出很多结论。当学生所得的结论不够全面时，可以给学生留
