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初中数学因式分解技巧实例解析
初中数学因式分解技巧实例解析因式分解是整数因式分解的简称，是指将一个整数写成几个因数的乘积的形式。
因式分解是数学中的一种基本运算方法和基本思维方式。
下面我们通过一些实例来解析初中数学因式分解的技巧。
1.因式分解法首先，我们来看一个简单的例子：将整数12分解为两个因数的乘积。
解法：由于12可以被2整除，所以可以将12分解为2和6的乘积。
然后，分解6为2和3的乘积。
所以，12可以分解为2×2×3的乘积。
这种方法叫做因式分解法。
2.最大公因数法最大公因数法是寻找最大公因数的方法。
例如，将整数20分解为两个因数的乘积。
解法：首先，找出20的所有因数，即1、2、4、5、10和20。
然后，寻找这些因数中和20的最大公因数，即可将20分解为两个因数的乘积。
所以，20可以分解为4×5的乘积。
这种方法叫做最大公因数法。
3.提取公因式法提取公因式法常用于多项式的因式分解中。
例如，将多项式4x+8分解为两个因式的乘积。
解法：首先，将多项式中各项的系数4提取出来，得到4(x+2)。
所以，4x+8可以分解为4(x+2)的乘积。
这种方法叫做提取公因式法。
4.平方差公式平方差公式常用于两个平方数之间的因式分解。
例如，将差的平方：9x^2-16分解为两个因式的乘积。
解法：首先，根据平方差公式9x^2-16=(3x-4)(3x+4)。
所以，9x^2-16可以分解为(3x-4)(3x+4)的乘积。
这种方法叫做平方差公式。
5.完全平方公式完全平方公式常用于一个二次多项式的因式分解。
例如，将二次多项式：x^2+6x+9分解为两个因式的乘积。
解法：首先，根据完全平方公式x^2+6x+9=(x+3)^2所以，x^2+6x+9可以分解为(x+3)^2的乘积。
这种方法叫做完全平方公式。
以上是一些初中数学因式分解的技巧实例解析。
通过这些例子，我们可以发现因式分解在解决数学问题中起到了重要的作用。
掌握这些技巧，可以帮助我们更好地理解数学问题，从而提高解题能力。
数学竞赛专题讲座---第一讲因式分解(一)
第一讲因式分解(一)多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一：它被广泛地应用于初等数学之中：是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活：技巧性强：学习这些方法与技巧：不仅是掌握因式分解内容所必需的：而且对于培养学生的解题技能：发展学生的思维能力：都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上：对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中：我们学过若干个乘法公式：现将其反向使用：即为因式分解中常用的公式：例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)：(2)a2±2ab+b2=(a±b)2：(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)：(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2：(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)：(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数：(8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)：其中n为偶数：(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)：其中n为奇数．运用公式法分解因式时：要根据多项式的特点：根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4：(2)x3-8y3-z3-6xyz：(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab：(4)a7-a5b2+a2b5-b7．解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2n y2+y4)=-2x n-1y n[(x2n)2-2x2n y2+(y2)2]=-2x n-1y n(x2n-y2)2=-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2＝(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2．本小题可以稍加变形：直接使用公式(5)：解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性：现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式：本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式：用它可以推出很多有用的结论：例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然：当a+b+c=0时：则a3+b3+c3=3abc：当a+b+c＞0时：则a3+b3+c3-3abc ≥0：即a3+b3+c3≥3abc：而且：当且仅当a=b=c时：等号成立．如果令x=a3≥0：y=b3≥0：z=c3≥0：则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项：从最高次项x15开始：x的次数顺次递减至0：由此想到应用公式a n-b n来分解．解因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)：所以说明在本题的分解过程中：用到先乘以(x-1)：再除以(x-1)的技巧：这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时：整理、化简常将几个同类项合并为一项：或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时：需要恢复那些被合并或相互抵消的项：即把多项式中的某一项拆成两项或多项：或者在多项式中添上两个仅符合相反的项：前者称为拆项：后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多：这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法：注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．说明由此题可以看出：用拆项、添项的方法分解因式时：要拆哪些项：添什么项并无一定之规：主要的是要依靠对题目特点的观察：灵活变换：因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3：(2)(m2-1)(n2-1)+4mn：(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4：(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解 (1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．(4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．说明 (4)是一道较难的题目：由于分解后的因式结构较复杂：所以不易想到添加+ab-ab：而且添加项后分成的三项组又无公因式：而是先将前两组分解：再与第三组结合：找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在：同学们需多做练习：积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体：并用一个新的字母替代这个整体来运算：从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．分析将原式展开：是关于x的四次多项式：分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体：并用字母y来替代：于是原题转化为关于y 的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y：则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体：比如今x2+x+1=u：一样可以得到同样的结果：有兴趣的同学不妨试一试．例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．分析先将两个括号内的多项式分解因式：然后再重新组合．解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．令y=2x2+5x+2：则原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．解设x2+4x+8=y：则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．说明由本题可知：用换元法分解因式时：不必将原式中的元都用新元代换：根据题目需要：引入必要的新元：原式中的变元和新变元可以一起变形：换元法的本质是简化多项式．例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．解法1 原式=6(x4+1)＋7x(x2-1)-36x2=6［(x4-2x2+1)+2x2］+7x(x2-1)-36x2=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=[2(x2-1)-3x］［3(x2-1)+8x]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．说明本解法实际上是将x2-1看作一个整体：但并没有设立新元来代替它：即熟练使用换元法后：并非每题都要设置新元来代替整体．解法2原式=x2[6(t2+2)+7t-36]=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．分析本题含有两个字母：且当互换这两个字母的位置时：多项式保持不变：这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式：经常令u=x+y：v=xy：用换元法分解因式．解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u：xy=v：则原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2．练习一1．分解因式：(2)x10+x5-2：(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．2．分解因式：(1)x3+3x2-4：(2)x4-11x2y2+y2：(3)x3+9x2+26x+24：(4)x4-12x+323．3．分解因式：(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1：(2)x4+7x3+14x2+7x+1：(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1：(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20．。
初二数学攻略因式分解的技巧与实例
初二数学攻略因式分解的技巧与实例初二数学攻略：因式分解的技巧与实例在初二数学的学习中，因式分解是一个重要的知识点，也是许多同学感到头疼的部分。
但只要掌握了正确的技巧和方法，因式分解其实并不难。
接下来，就让我们一起深入探讨因式分解的技巧，并通过实例来加深理解。
一、什么是因式分解因式分解，简单来说，就是把一个多项式化成几个整式的积的形式。
例如，将多项式 x² 9 分解为（x ＋ 3)（x 3) ，这就是因式分解。
二、因式分解的常用方法1、提公因式法这是因式分解的首要方法。
如果多项式的各项有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解。
例如，对于多项式 6x ＋ 9 ，公因式是 3 ，可以分解为 3(2x ＋ 3) 。
2、公式法常用的公式有平方差公式：a² b²＝（a ＋ b)（a b) ；完全平方公式：（a ± b)²＝ a² ± 2ab ＋ b²。
比如，对于 4x² 25 ，可以利用平方差公式分解为（2x ＋ 5)（2x5) 。
对于 x²＋ 6x ＋ 9 ，可以利用完全平方公式分解为（x ＋ 3)²。
3、十字相乘法对于二次三项式 ax²＋ bx ＋ c ，如果能找到两个数 p、q ，使得 p＋ q ＝ b ， pq ＝ ac ，那么就可以将原式分解为（x ＋ p)（x ＋ q) 。
例如，对于 x²＋ 5x ＋ 6 ，因为 2 ＋ 3 ＝ 5 ， 2×3 ＝ 6 ，所以可以分解为（x ＋ 2)（x ＋ 3) 。
4、分组分解法当多项式的项数较多时，可以将多项式适当分组，然后再用提公因式法或公式法进行分解。
比如，对于多项式 am ＋ an ＋ bm ＋ bn ，可以先分组为（am ＋an) ＋（bm ＋ bn) ，然后分别提取公因式得到 a(m ＋ n) ＋ b(m ＋ n) ，最后再提取公因式（m ＋ n) ，得到（m ＋ n)（a ＋ b) 。
初中数学同步讲义8年级第41讲因式分解方法
第41讲因式分解方法（2）一、因式分解的概念在代数中，如果一个多项式可以写成两个或者多个多项式的乘积的形式，那么我们就说这个多项式可以进行因式分解。
二、提取因子法提取因子法是一种常见的因式分解方法，它适用于多项式中存在其中一因子的情况。
1.提取公因子当多项式的各项中存在着相同的因子时，我们可以将这个因子提取出来。
例如：8x+4y=4(2x+y)2.提取同类项若多项式中存在同类项，我们可以将同类项相加，然后再提取公因子。
例如：3a+6a+5b+7b=(3+6)a+(5+7)b=9a+12b3.提取平方根如果多项式中其中一项可以表示成其中一个数的平方根，我们可以将这个平方根进行提取。
例如：x²+2x+1=(x+1)²三、分组分解法当多项式中存在四个项，且前两项可以分解成其中一个因式的平方，后两项可以分解成其中一个因式的平方时，我们可以尝试使用分组分解法。
例如：x²+2x+1+2x+4=(x²+2x+1)+(2x+4)=(x+1)²+2(x+2)四、平方差公式平方差公式是指两个数的平方差可以分解成两个因式的乘积。
平方差公式的形式：a²-b²=(a+b)(a-b)例如：x²-4=(x+2)(x-2)五、总结因式分解是数学中重要的一个概念和技巧，它在解决一些多项式问题时起到了重要的作用。
提取因子法、分组分解法和平方差公式是常用的因式分解方法，需要加以掌握和运用。
此外，因式分解的过程是一个反向思考的过程，要注重观察和推理。
因式定理的由来-概述说明以及解释
因式定理的由来-概述说明以及解释1.引言1.1 概述因式定理是数学中的一个重要概念，它在代数学、高等数学以及应用数学等领域都有广泛的应用。
因式定理是一个让我们更好地理解多项式的因式分解和根的性质的工具。
在代数学中，多项式是一个由各种数（包括实数和复数）和各种运算（如加减乘除和幂运算）组成的表达式。
因式定理告诉我们，任何一个多项式都可以被分解为若干个因子的乘积。
在这个过程中，我们可以找到这个多项式的根，也就是使得多项式取值为零的解。
因子和根之间有着密切的联系，通过因子分解，我们可以更好地理解多项式的根的性质，也可以更方便地求解多项式的方程。
而因式定理的历史背景，可以追溯到古希腊时期的数学家欧几里得。
他在《几何原本》一书中首次提出了因式定理，并使用了几何图形来证明这个定理。
随后，这个定理在代数学中得到了广泛的研究和应用，成为了代数学的基础。
因式定理的重要性和应用不仅体现在数学理论中，同时也在实际问题的求解中发挥着重要作用。
比如，在工程学中，我们经常会遇到各种多项式函数，通过因式定理，我们可以更好地对这些函数进行分析和优化。
在物理学中，多项式函数常常用于描述各种物理现象，因式定理帮助我们理解和解释这些现象。
当然，因式定理的研究也并没有止步于此，它仍然具有很大的发展潜力。
随着数学研究的深入和技术的进步，我们可以预见，对于更加复杂的多项式和非线性方程，因式定理会进一步完善并扩展其应用领域。
因此，对于因式定理的未来发展方向的研究和探索也具有重要的意义。
综上所述，因式定理作为数学中的一个重要概念，不仅在理论研究中发挥着重要作用，而且在实际问题的求解中也具有广泛的应用前景。
通过深入研究因式定理的定义、基本概念和历史背景，我们可以更好地理解和应用这一概念，并为其未来的发展提供支持和指导。
1.2 文章结构文章结构部分的内容应当包括对整篇文章的框架和逻辑结构的介绍。
具体可以按照以下内容进行撰写：文章结构:本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
最新小学数学故事：约瑟夫问题与因式分解
最新小学数学故事：约瑟夫问题与因式分解我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。
为什么在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:“中小学语文教学效果差,中学语文毕业生语文水平低,……十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时间,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数不过关,岂非咄咄怪事!”寻根究底,其主要原因就是腹中无物。
特别是写议论文,初中水平以上的学生都知道议论文的“三要素”是论点、论据、论证,也通晓议论文的基本结构:提出问题――分析问题――解决问题,但真正动起笔来就犯难了。
知道“是这样”,就是讲不出“为什么”。
根本原因还是无“米”下“锅”。
于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来,抄人家的名言警句,抄人家的事例,不参考作文书就很难写出像样的文章。
所以,词汇贫乏、内容空洞、千篇一律便成了中学生作文的通病。
要解决这个问题,不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫,必须认识到“死记硬背”的重要性,让学生积累足够的“米”。
为帮助大家提高学习数学是兴趣，查字典数学网为同学们特别提供了约瑟夫问题与因式分解，希望对大家的学习有所帮助!生活中出处充满数学的趣味，在这里济南奥数网小编为大家整理了一些小学生数学故事，希望济南的家长和孩子能在快乐中了解数学，爱上数学。
小学生数学故事：约瑟夫问题与因式分解有一个古老的传说，有64名战士被敌人俘虏了，敌人命令它们排成一个圈，编上号码1，2，3，……64。
敌人把1号杀了，又把3号杀了，他们是隔一个杀一个这样转着圈杀。
最后剩下一个人，这个人就是约瑟夫，请问约瑟夫是多少号? 宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。
至元明清之县学一律循之不变。
因式分解ppt
因式分解什么是因式分解？在代数学中，因式分解是指将一个多项式表达式写成两个或多个乘积的形式。
通过因式分解，我们可以简化复杂的多项式，更好地理解和计算。
为什么要进行因式分解？因式分解有很多实际应用，尤其在代数学和求解方程问题中非常重要。
以下是因式分解的几个重要作用：1.简化计算：通过将多项式进行因式分解，我们可以将复杂的计算简化为一系列简单的乘法运算。
2.找到根：通过因式分解，我们可以将多项式等式转化为相等的乘法形式，从而更轻松地找到方程的解。
3.转化问题：将多项式进行因式分解，可以让问题转化为更容易解决的形式。
因式分解的基本方法公因式提取法公因式提取法是最常用的因式分解方法，它基于以下原则：如果一个多项式的每一项都有相同的因子，则可以将这个因子提取出来。
下面是一些例子来解释这个方法。
例子1：将多项式2x^2 + 4x进行因式分解。
首先观察多项式的每一项，我们发现每一项都有2x这个因子，因此我们可以将2x提取出来：2x^2 + 4x = 2x(x + 2)我们得到了因式分解的结果。
例子2：将多项式6a^3b^2 + 9ab^2进行因式分解。
观察多项式的每一项，我们发现每一项都有3ab^2这个因子，因此我们可以将3ab^2提取出来：6a^3b^2 + 9ab^2 = 3ab^2(2a^2 + 3)我们得到了因式分解的结果。
分组法分组法是另一种常用的因式分解方法，它适用于多项式中存在四项及以上的情况。
下面是一个例子来解释这个方法。
例子3：将多项式x^3 + x^2 + x + 1进行因式分解。
这个多项式有四项，我们可以将其分为两组：(x^3 + x^2) + (x + 1)在每一组中，我们可以提取因子x^2和1：x^2(x + 1) + 1(x + 1)现在，我们可以再次提取公因子(x + 1)：(x + 1)(x^2 + 1)我们得到了因式分解的结果。
公式法公式法适用于特定的多项式形式，包括差平方和、和平方差、二次三项完全平方等。
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七年级下册数学知识点故事
七年级下册数学知识点故事在七年级下册数学课上，我们学习了许多新的知识点，其中有些知识点背后隐藏着有趣的故事，今天我就来给大家分享一下这些故事。
1. 分数的故事分数是我们小学时就学过的概念，但是在七年级下册我们又重新学习了分数的知识点，其中有一个有趣的故事：在古希腊，有一个数学家叫做毕达哥拉斯，他抱怨市场上的货物很难卖出去，因为商家口中的数字和客户心中的数字并不相同。
于是他开始研究如何用数字来表示量和比例。
他发现，如果用一条线段来表示规定的长度，那么这条线段可以被无限地切割。
于是他切割出了一块块等份的线段，并将每块线段的长度用数字来表示，这就是分数的雏形。
2. 次方的故事在学习数字的次方时，我们也发现了一个有趣的故事：在16世纪时，一位叫做德·费罗的数学家完成了一项困难的计算任务，他需要计算一个时针走完一周需要多少时间。
他发现这个问题可以用一个公式来解决，但是这个公式中需要用到类似于平方数的概念，他于是创造了数字的平方和立方这样的概念，并将这些数字称为次方。
3. 比例的故事比例是我们生活中十分常见的概念，但是我们很少有机会了解比例背后的故事。
其实，在古埃及和古巴比伦时期，人们需要计算土地的面积和周长，他们发现将土地的长度和宽度按照比例来计算可以简化计算过程。
因此，比例的概念就应运而生了。
4. 三角形的故事在学习三角形时，我们也发现了一个十分有趣的故事。
在公元前300年左右，古希腊的数学家欧几里得在研究几何学时，发现了一个关于三角形的定理：三角形的任意两个角的正弦值的比等于其对应边长的比。
这个定理被称为正弦定理。
欧几里得的这个定理在当时引起了轰动，成为了几何学的经典理论。
总之，数学知识点背后有许多有趣的故事，这些故事不仅能够让我们对于数学知识点更加深入地理解，还可以激发我们对于数学的兴趣。
希望大家在学习数学时能够更加注意这些细节，通过这些故事让自己的数学知识更加丰富和深入。
《因式分解》ppt课件
出错。
常见错误及纠正方法
分解不彻底
有些学生在因式分解时，不能完全将多项式转化为整式的 积的形式。应指导学生检查每一步的分解是否正确，并确 保所有项都已正确分解。
误用公式
学生在使用公式法进行因式分解时，可能会误用公式。应 确保学生理解并记住正确的公式，并能够正确应用。
在几何图形中，通过因式分解可以计算图形的面积和周长，特别 是在处理一些不规则图形时。
分割与拼接图形
通过因式分解的方法，可以将一个几何图形分割成若干个简单图形， 或者将若干个简单图形拼接成一个复杂的图形。
解决几何问题
因式分解在解决一些几何问题中也有应用，如证明勾股定理、解决 几何图形的面积和体积等问题。
在解方程中的应用
分解因式解方程
对于一些一元二次方程，可以通过因式分解的方 法来求解，简化计算过程。
判断根的性质
通过因式分解，可以判断一元二次方程根的性质， 如根的和与积、根的判别式等。
解决代数问题
因式分解在解代数方程中有着广泛的应用，如求 解一元一次方程、分式方程等。
在几何图形中的应用
面积与周长的计算
THANK YOU
感谢各位观看
题目2： 把下列多项式分解因 式：3x^2 - 6xy + 3y^2。
题目3： 把下列多项式分解因 式：4a^2 - 8ab + 4b^2。
进阶练习题
提升技巧难度
题目2： 把下列多项式分解因式：(2a + b)^2 - (a b)^2。
题目1： 把下列多项式分解因式：(x + 2y)^2 - (x y)^2。
重要性
总结词
因式分解在数学中具有重要意义，是解决许多数学问题的关 键步骤。
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学长看数学
整式回顾
趣味数学
探索数字的舞蹈-----因式分解
因式分解常用方法
⑴提公因式法
• ①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项 的～. • ②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可 以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的 形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
换元法练习
• 分解因式： • (x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．
• 说明 ：由本题可知，用换元法分解因式
时，不必将原式中的元都用新元代换，根 据题目需要，引入必要的新元，原式中的 变元和新变元可以一起变形，换元法的本 质是简化多项式
换元法练习
• 分解因式： • (x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90
• am＋bm＋cm＝m（a+b+c）
• ③具体方法：当各项系数都是整数时，公 因式的系数应取各项系数的最大公约数； 字母取各项的相同的字母，而且各字母的 指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是 负的，一般要提出“－”号，使括号内的 第一项的系数是正的.
提公因式法练习
• • • • (2003淮安市中考题)分解因式x3 -2x2 -x x5－2x4＝_____ -2x2y＋4xy2＝____ －xn＋1－3xn＋xn－1
• 如果f(a)=0， • 那么f(x)必含有因式x-a． • 例题：x²+5x+6
应用因式定理练习
• x3+2x2-5x-6
5换元法
• 换元法指的是将一个较复杂的代数式中的 某一部分看作一个整体，并用一个新的字 母替代这个整体来运算，从而使运算过程 简明清晰． • 例题：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．
数学家的奇闻轶事PPT课件
数学家华罗庚
他在灯下拿来一本书，看着题目思考一会儿，然后熄灯躺在床上，闭目静思，开始在头脑中做题。碰到难处，再翻身下床，打开书看一会儿。就这样，一本需要十天半个月才能看完的书，他一夜两夜就看完了。华罗庚被人们看成是不寻常的助理员。第二年，他的论文开始在国外著名的数学杂志陆续发表。清华大学破了先例，决定把只有初中学历的华罗庚提升为助教。
数学家华罗庚
几年之后，华罗庚被保送到英国剑桥大学留学。可是他不愿读博士学位，只求做个访问学者。因为做访问学者可以冲破束缚，同时攻读七、八门学科。他说：“我到英国，是为了求学问，不是为了得学位的。”华罗庚没有拿到博士学位。在剑桥的两年内，他写了 20 篇论文。论水平，每一篇都可以拿到一个博士学位。其中一篇关于“塔内问题”的研究，他提出的理论被数学界命名为“华氏定理”。华罗庚以一种热爱科学，勤奋学习，不求名利的精神，献身于他所热爱的数学研究事业。他抛弃了世人所追求的金钱、名利、地位。最终，他的事业成功了。
古代祖冲之
祖冲之博览当时的名家经典，坚持实事求是，他从亲自测量计算的大量资料中对比分析，发现过去历法的严重误差．
PART 03
费马的故事
费马
可以说是一个喜欢安静生活，不想追逐权利，淡泊功名的人。他懂几种外国语文，有时就用希腊、拉丁或者西班牙文写写诗词自我朗诵消遣。
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费马的数学情缘
但是他最喜欢的玩意儿是搞数学和作一点科学研究，有时他把所得到的结果写信给在远方有同样兴趣的朋友，有时就把自己的心得写在数学书的空白处。当时还没有出现数学杂志可以让他发表他的研究心得。
数学家的奇闻轶事
古/往/今/来/的/数/学/大/家
火星趣味课因式分解
火星趣味课因式分解1. 介绍火星趣味课是一个以火星为背景的数学课程，旨在通过有趣的方式教授数学概念和技巧。
在这一节课中，我们将学习因式分解，这是一个重要的数学概念，可以帮助我们简化和解决复杂的数学问题。
2. 因式分解的定义因式分解是指将一个多项式表达式表示为乘积形式的过程。
通过因式分解，我们可以将一个复杂的表达式简化为更简单的形式，从而更容易进行计算和求解。
3. 因式分解的步骤步骤1：提取公因子首先，我们要尽可能地提取出表达式中的公因子。
例如，对于表达式2x + 4xy，我们可以提取出公因子2，并得到2(x + 2y)。
步骤2：使用特殊公式或公式定理如果表达式符合某个特殊公式或公式定理的形式，我们可以直接应用这些特殊规则来进行因式分解。
例如，对于平方差公式a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)，我们可以将表达式x^2 - 4分解为(x + 2)(x - 2)。
步骤3：使用分解方法如果表达式不符合任何特殊公式或公式定理，我们可以尝试使用分解方法来进行因式分解。
这包括找到表达式中的两个因子，使其乘积等于原始表达式。
例如，对于表达式x^2 + 5x + 6，我们可以将其分解为(x + 2)(x + 3)。
步骤4：检查结果完成因式分解后，我们应该检查结果是否正确。
可以通过展开乘积形式来验证我们的因式分解是否与原始表达式相等。
4. 因式分解的应用因式分解在数学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：简化表达式通过因式分解，我们可以将一个复杂的多项式简化为更简单的形式，从而更容易进行计算和求解。
这在代数方程、函数求导和积分等领域中非常有用。
求根和方程求解通过因式分解，我们可以将一个多项式方程转化为一个或多个一次或二次方程。
这样就能更容易地求出方程的根，并得到问题的答案。
理论证明在数学证明中，因式分解常常被用作推导和证明的工具。
通过将一个复杂的表达式分解为更简单的形式，我们可以更好地理解问题的本质，并找到证明的线索。
数学分享,内涵无限的因式分解
数学分享，内涵无限的因式分解
一个整数可以被分解成多个因数的乘积，这个过程称为因式分解。
因式分解是数学中的一项重要概念，它帮助我们理解数字的结构和性质。
在因式分解的过程中，我们首先要找到数字的所有因数。
一个因数是能够整除数字且大于1的整数。
然后，我们将这些因数进行组合，使得它们的乘积等于原始数字。
例如，我们可以将数字12进行因式分解：12 = 2 × 2 × 3。
在这个例子中，数字12的所有因数为2和3，将它们相乘可以得到原始数字。
因式分解的应用非常广泛。
它在数论、代数、几何等数学领域中都有重要的作用。
在数论中，因式分解可以帮助我们研究数字的性质和特征；在代数中，因式分解可以帮助我们简化表达式和求解方程；在几何中，因式分解可以帮助我们分解多边形和研究几何形状。
因式分解不仅可以应用于整数，还可以应用于分数、多项式等不同类型的数学对象。
因此，它具有无限的内涵和应用。
总之，因式分解是数学中的一项重要概念，它能够帮助我们理解数字的结构和性质。
它有广泛的应用，并且涵盖了整数、分数、多项式等不同类型的数学对象。
因式分解的研究和应用，为我们深入探索数学世界提供了无限的可能性。
七年级上册数学知识点故事
七年级上册数学知识点故事在学习数学的过程中，我们有时会感到枯燥乏味，不知道其中的奥妙。
其实，数学是一门极具魅力的学科，充满了奇妙的故事和充满趣味的知识点。
今天，我要和大家分享一些七年级上册数学知识点的故事，希望能够让大家对数学有更深刻的认识。
1. 比例与相似我们来看一个关于比例和相似的故事。
故事的主人公是一位名叫费马的著名数学家。
他曾经被人问到如何构建一个正方形，使得它的面积比已知正方形的面积大两倍。
费马很快就找到了答案，并且还证明了这个答案是唯一的。
他用了比例和相似这两个概念，发现正方形的边长应该是原来正方形的边长的 $\sqrt{2}$ 倍。
这个故事告诉我们，比例和相似是数学中非常重要的概念，它们能够帮助我们解决很多实际的问题。
2. 一次函数接下来，我们来看一个与一次函数相关的故事。
这个故事发生在18世纪末期，当时的英国经济正在飞速发展，人们对经济增长率的计算非常感兴趣。
一位名叫门罗的数学家就在这个问题上做出了巨大贡献。
他发现，经济增长率可以用一次函数来描述，即$y = kx + b$。
其中，$y$ 表示经济总量，$x$ 表示时间，$k$ 表示经济增长率，$b$ 表示起始值。
这个故事告诉我们，一次函数是实际问题中经常出现的数学工具，它可以帮助我们预测未来的发展趋势。
3. 解方程我们再来看一个关于解方程的故事。
这个故事发生在19世纪初期，当时的世界充满了变革和不确定性。
一位名叫高斯的数学家发现了一种解决线性方程组的方法，这种方法被称为高斯消元法。
高斯消元法可以将线性方程组化为矩阵形式，然后通过不断变换矩阵的形式，最终得到方程的解。
这个故事告诉我们，解方程是数学中非常重要的一部分，它可以帮助我们解决很多实际问题，如画家巴勃罗·毕加索曾经说过：“计算是人类思维的一种美妙形式。
”4. 概率最后，我们来看一个与概率相关的故事。
这个故事发生在二战期间，当时的美国政府急需找到一种有效的方法来提高军火生产的效率。
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• 高斯他幼年时就表现出超人的数学天才。11岁时 发现了二项式定理，17岁时发明了二次互反律， 18岁时发明了正十七边形的尺规作图法，解决了 两千多年来悬而未决的难题，他也视此为生平得 意之作，还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上 ，但后来他的墓碑上并没有刻上十七边形，而是 十七角星，因为负责刻碑的雕刻家认为，正十七 边形和圆太像了，大家一定分辨不出来。
学长看数学
整式回顾
趣味数学
探索数字的舞蹈-----因式分解
因式分解常用方法
⑴提公因式法
• ①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项 的～.
• ②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可 以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的 形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
高斯，眉头紧皱，一声不吭。小伙子们更得意了，他们为 自己高明的难题而叫绝。有人甚至刁难道：“怎么样，你智 力有限吧，实在解不出，就把你得到的那么多荣誉证书拿到
大街上当众烧掉，以后别再逞能了。”
你猜，高斯用了什么方法呢？
• 从口袋里拿出一面放大镜，对着瓶子里的 棉线照着，一分钟、两分钟..人们好奇地睁 大了眼，随着钱币“铛”的一声掉落瓶底 ，大家发现棉线被烧断了。
• 他还利用杠杆原理制造出一批投石机，凡 是靠近城墙的敌人，都难逃他的飞石或标 枪。这些武器弄的罗马军队惊慌失措、人 人害怕，连大将军马塞拉斯都苦笑的承认 ：“这是一场罗马舰队与阿基米德一人的 战争”、“阿基米德是神话中的百手巨人 ”
给我一个支点，我能撬动整个地球。
Give me a fulcrum,and I shall move the world
• am＋bm＋cm＝m（a+b+c）
• ③具体方法：当各项系数都是整数时，公 因式的系数应取各项系数的最大公约数； 字母取各项的相同的字母，而且各字母的 指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是 负的，一般要提出“－”号，使括号内的 第一项的系数是正的.
提公因式法练习
• (2003淮安市中考题)分解因式x3 -2x2 -x • x5－2x4＝_____ • -2x2y＋4xy2＝____ • －xn＋1－3xn＋xn－1
• 导师接过学生的作业一看，当即惊呆了。他用颤 抖的声音对青年说：这是你自己做出来的吗？青 年有些疑惑地看着导师，回答道：是我做的。但 是，我花了整整一个通宵。导师请他坐下，取出 圆规和直尺，在书桌上铺开纸，让他当着自己的 面再做出一个正17边形。青年很快做出了一上正 17边形。导师激动地对他说：你知不知道？你解 开了一桩有两千多年历史的数学悬案！阿基米德 没有解决，牛顿也没有解决，你竟然一个晚上就 解出来了。你是一个真正的天才！
2ห้องสมุดไป่ตู้应用公式法
• 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果 把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项 式分解因式。
• 阿基米德之死，罗马将军马塞勒斯甚为悲 痛，除严肃处理这个士兵外，还寻找阿基 米德的亲属，给予抚恤并表示敬意，又给 阿基米德立墓，聊表景仰之忱．在碑上刻 着球内切于圆柱的图形，以资纪念．因阿 基米德发现球的体积及表面积，都是外切 圆柱体体积及表面积的 2/3．他生前曾流露 过要刻此图形在墓上的愿望．
趣味数学
------浅谈数学名人
数学家的故事
阿基米德之死
• 当罗马军队的士兵一脚踢开阿基米德的房门时，里 面居然静悄悄的，毫无反响。罗马士兵以为阿基米 德还在酣睡，仔细一瞧，床上空荡荡的，只见地上 一动不动地蹲着一个两腮长着长长白胡子的人。 原来，这位七十五岁高龄的老科学家，通宵未眠， 正用双手托着下巴，聚精会神地看着画在地上的几 何图形，以至连罗马士兵站在他眼前都未发觉。 当罗马士兵把寒光闪闪的利剑碰到阿基米德鼻尖时 ，这位老科学家才从数学的迷梦中惊醒，明白发生 了什么事情。阿基米德毫无惧色，用手推开了剑， 十分平静地说道：“等一下杀我的头，再给我一会 儿功夫，让我把这条几何定律证明完毕。可不能给 后人留下一道还没有求解出来的难题啊！”
• 他刚说完，又沉思起来，继续研究着地上的几何图 形。
• 残暴的罗马士兵不由分说，一剑砍死了这位伟大 的科学家
罗马士兵为什么这么痛恨阿基米德呢？
• 当时他造了巨大的起重机，可以将敌人的战舰吊 到半空中，然后重重摔下使战舰在水面上粉碎。
• 同时阿基米德也召集城中百姓手持镜子排成扇形 ，将阳光聚焦到罗马军舰上，烧毁敌人船只
• 无论是敌是友，无论是战争还是和平，社会都会对知识分 子表现出由衷的敬意。
• 爱因斯坦（1914年（35岁）4月，爱因斯坦接受德国科学界的邀请。迁居到柏林，8月 即爆发了第一次世
界大战。他虽身居战争的发源地，生活在战争鼓吹者的包围之中，却坚决地表明了自己的反战态度。）
• 周作人
数学王子“高斯”
十七边形趣闻
• 1796年的一天，德国哥廷根大学，一个很有数学 天赋的19岁青年吃完晚饭，开始做导师单独布置 给他的每天例行的三道数学题。前两道题在两个 小时内就顺利完成了。第三道题写在另一张小纸 条上：要求只用圆规和一把没有刻度的直尺，画 出一个正17边形。
• 他感到非常吃力。时间一分一秒的过去了，第三 道题竟毫无进展。这位青年绞尽脑汁，但他发现 ，自己学过的所有数学知识似乎对解开这道题都 没有任何帮助。困难反而激起了他的斗志：我一 定要把它做出来！他拿起圆规和直尺，他一边思 索一边在纸上画着，尝试着用一些超常规的思路 去寻求答案。当窗口露出曙光时，青年长舒了一 口气，他终于完成了这道难题。见到导师时，青 年有些内疚和自责。他对导师说：“您给我布置 的第三道题，我竟然做了整整一个通宵，我辜负 了您对我的栽培……”
• 他们用一根细棉线系上一块银币，然后再找来一个非常薄 的玻璃瓶，把银币悬空垂放在瓶中，瓶口用瓶塞塞住，棉 线的另一头也系在瓶塞上。准备好以后，他们小心翼翼地 捧着瓶子，在大街上拦住高斯，用挑衅的口吻说道，“你 一天到晚捧著书本，拿着放大镜东游西逛，一副蛮有学问 的样子，你那么有本事，能不碰破瓶子，不去掉瓶塞，把 瓶中的棉线弄断吗？”