2019-2020学年天津一中高三(上)第一次月考数学试卷 (含答案解析)

2019-2020学年天津一中高三（上）第一次月考数学试卷

一、选择题（本大题共9小题，共27.0分）

1. 集合A ={x|x 2−x −2≤0}，B ={x|x −1<0}，则A ∪B =( )

A. {x|x <1}

B. {x|−1≤x <1}

C. {x|x ≤2}

D. {x|−2≤x <1}

2. 定义域为[a,b]的函数y =f(x)图像的两个端点为A 、B ，向量ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)OB

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，M(x,y)是f(x)图像上任意一点，其中x =λa +(1−λ)b ，若不等式|MN |≤k 恒成立，则称函数f(x)在[a,b]上满足“k 范围线性近似”，其中最小正实数k 称为该函数的线性近似阈值.若函数y =2

x 定义在[1,2]上，则该函数的线性近似阈值是( )

A. 2−√2

B. 3−2√2

C. 3+2√2

D. 2+√2

3. 把函数y =sin(x +φ)(0<φ<π)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的1

2倍(纵坐标不变)，再

向右平移π

6个单位长度，所得图象过点(π

4,0)，则φ=

A. π

6 B. π

3 C. 2π

3 D. 5π

6 4. 设a =sin2，b =log 0.3π，c =40.5，则( )

A. b

B. a

C. c

D. b

5. 已知sinα=2

3,则cos(3π−2α)等于( )

A. −√5

3

B. 1

9 C. −1

9 D. √53

6. 设函数y =f(x)是奇函数，若f(−2)+f(−3)−1=f(2)+f(3)+2，则f(2)+f(3)=( )

A. 1

B. 3

C. −1

D. −3

7. 一个边长为6的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x 的小正方形，然后做成一个无盖

方盒．当无盖方盒的容积V 最大时，x 的值为( )

A. 3

B. 2

C. 1

D. 1

6

8. 已知函数f(x)={(1

2)x ,x ≤1−x 2+4x −5

2

,x >1

，若函数g(x)=3

2x −a ，其中a ∈R ，若函数y =f(x)−g(x)恰有3个零点，则实数a 的取值范围是( )

A. (0,15

16)

B. (15

16,1)

C. (1,16

15)

D. (1,5

4)

9. 将函数f (x )=sin (2x +π

6)的图象向左平移π

6个单位，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的

是( )

A. 直线x =π

2是g(x)的图象的一条对称轴

B. g (π6)=√32

C. g(x)的周期为2π

D. g(x)为奇函数

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

10.若复数1+i

z

=1−i，则|z|=____．

11.已知角α满足tanα−1

tanα+1=−1

3

，则sinαcosα=__________．

12.设函数f(x)=e x sin x的图像在点(0,0)处的切线与直线x+my+1=0平行，则m=____.

13.已知函数f(x)=|lnx|，实数m,n满足0

大值是2，则n

m

的值为__________．

14.已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现

从甲、乙两个盒内各任取2个球．设ξ为取出的4个球中红球的个数，则ξ的数学期望Eξ=______ ．

15.设函数f(x)=sin2x−√3cosxcos(x+π

2)，则函数f(x)在区间[0,π

2

]上的单调增区间为_________．

三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

16.已知tan(π

4

+α)=3，且α为锐角．

(1)求tanα的值；

(2)求sin(α+π

6

)的值．

17.设函数f(x)=1

2

ax2−1−lnx，其中a∈R.

(1)若a=0，求过点(0,−1)且与曲线y=f(x)相切的直线方程；

(2)若函数f(x)有两个零点x1，x2.①求a的取值范围；②求证：f′(x1)+f′(x2)<0．

18. 已知函数f(x)=sinωx +√3cosωx 的最小正周期为π，x ∈R ，ω>0是常数．

(1)求ω的值； (2)若f(θ

2+

π12

)=65

，θ∈(0,π

2)，求sin2θ．

19. 已知离心率为√

6

3

的椭圆x 2

a 2+y 2

b 2=1(a >b >0)的一个焦点为F ，过F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于A,B 两点，|AB |=2√3

3

． (1)求此椭圆的方程；

(2)已知直线y =kx +2与椭圆交于C,D 两点，若以线段CD 为直径的圆过点E (−1,0)，求k 的值．

20. 已知函数f(x)=xlnx ．

(1)求曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； (2)求f(x)的单调区间；

(3)若对于任意x ∈[1

e ,e]，都有f(x)≤ax −1，求实数a 的取值范围．