初等数论期末试题及答案
20111 初等数论 期末试卷 参考答案 A(数学091)
莆 期末考试参考答案及评分标准 2011 —— 2012 学年第 一 学期 （A ）卷课程名称： 初等数论 适用年级/专业 数学091 试卷类别：开卷（ ）闭卷（√） 学历层次： 本科 考试用时： 120 分钟 一、填空题（每空2分，共20分） 1、 ① 9072 2、 ① 4 3、 ① 无 4、 ① -2，-1，0，1，2 5、 ① -1 6、 ① 星期三 7、 ① 若p 是素数，则(mod )p a a p ≡。
8、 ① (28,45,53) (注：答案不惟一！) 9、 ① 6 ② 2,5,6,7,8,11 二、计算题（每小题10分，共50分） 1、(10分)解：因为(6,14,32)2=，而2|80，所以原不定方程有整数解。
将原方程化简得371640x y z ++=。
设37x y t +=，显然，2,x t y t =-=是方程37x y t +=的一个解。
因此，其通解为27()3x t uu y t u=-+⎧⎨=-⎩为任意整数。
‥‥‥‥(5分) 把37x y t +=代入原三元一次不定方程得：1640t z +=，这个二元一次不定方程的通解为816()2t vv z v =+⎧⎨=-⎩为任意整数， 把=8+16t v 分别代入,x y ，可得原不定方程的通解为163278163(,)2x v u y v u u v z v =--+⎧⎪=+-⎨⎪=-⎩为任意整数 (注：答案形式上不唯一！) ‥‥‥‥(5分)2、(10分)解：由(2,243)1=及①式可得：28580(mod143)x y +-≡ ③由②，③得：171420(mod143)y -≡，解此一次同余式得42(mod143)y ≡，‥‥‥‥(5分)再由①式442290(mod143)x +⨯-≡，即4(mod143)x ≡。
所以此联立同余式的解是4(mod143)42(mod143)x y ≡⎧⎨≡⎩。
‥‥‥‥(5分)3、(10分)解：注意到原式与下面的同余式组等价：()0(mod5)()0(mod 7)f x f x ≡⎧⎨≡⎩容易验证()0(mod5)f x ≡有两个解：1,4(mod5)x ≡；()0(mod7)f x ≡有三个解：35,6(mod7)x ≡，。
三套大学初等数论期末考试试卷
期末考试卷(A)一、填空题（每空3分，共45分）1. 若a ︱b ，b ＜a ，则b= ；a ︱b ，b ︱a ，则a= 。
2. (36，108，204)= ；[30，45，84]= 。
3. 300 000的质因数标准分解为 ，它的所有正约数的个数是 ，所有正约数的和是 。
4. 。
5. 四位数b a 27能同时被2，3，5整除，则a= ；b= 。
6. 用m ϕ（)表示数0,1,2,1m -中与数m 互质的数的个数，则ϕ（20)= ，ϕ（120)= 。
7. 循环小数0.01001001000100010001……的循环节的长度h= 。
8. 已知费马（Fermat ）数为2F 21nn =+，n N ∈，则前四个费马质数是 。
9. 设今天是星期一，则102天后是星期 。
二、从0、3、5、7四个数中任意选三个，排成能同时被2、3、5 整除的三位数，求这样的三位数，且确定有多少个这样的三位数。
（7分）三、（16分）1、求4063的个位数。
2、 求1001006！约分后的分母。
四．解方程（16分）。
＝0 ；2. 525x ＋231y=42。
五．证明题、（16分） 1. 求证：77733337|(333777) 。
2．设p为质数，a为整数，且a2≡b2(mod p)，证明：a≡b(mod p)或a≡-b(mod p)。
中央广播电视大学2006—2007学年度第二学期“开放本科”期末考讧数学专业初等数论试题2007年7月一、单项选择题(每题4分，共24分)1．如果b，d，e，b，则( )．A．a＝b B．a＝-bC．a≥b D．a＝±b2．如果2|n, 15|n，则30( )n．A. 整除B．不整除c. 等于D．不一定3．大于10且小于30的素数有( )．A．4个B．5个C 6个D．7个4．模5的最小非负完全剩余系是( )．A．一2，一1，O，1，2 B．一5，一4，一3，一2，一1C．1，2，3，4，5 D．0，1，2，3，45．如果( )，则不定方程ax+by＝c 有解．A．(a，b)|c B．c|(a，b)C．a|c D．(a，b)|a6．整数637693能被( )整除．A．3 B．5C．7 D．9二、填空题(每题4分，共24分)1．x=[x]+ ·2．同余式111x≡75(mod321)有解，而且解的个数．3．在176与545之间有是17的倍数．4．如果ab>o，则[a,b](a,b)= ·5. a,b的最小公倍数是它们公倍数的·S．如果(a，b)＝1，那么(ab，a+b)= ．三、计算题(共32分)1．求(336，221，391)＝?2．求解不定方程4x+12y=8．3．解同余式12x+4≡0(mod 7)．4．解同余式x2≡2(mod 23)四、证明题(第1小题10分，第2小题10分，共20分)1．如果(a,b)＝1，则(a十b，a-b)＝l或2．2．证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数．试卷代号：1077中央广播电视大学2006—2007学年度第二学期“开放本科”期末考试2007年7月一、单项选择题(每题4分，共24分)1．B 2．D 3．B4．A 5．D 6．A二、填空题(每题4分，共24分)1．{x}2．33．124．ab5．因数6．1三、计算题(每题8分，共32分)1．求(336，221，391)＝?解：(336，221，391)＝(336，(22l，391))…………………………—…………………(4分)＝(336，17)＝l ，．，．．，，，．，．．．．．，．．．·(4分)2．求解不定方程4x+12y＝8．解：因为(4，12)＝4 | 8，所以有解……………………………………………………(2分)化简x+3y＝2，则有x＝-1,y＝l ……………………………………………(4分)通解为x＝-1十3t,y＝1一t ……………………………………………………(2分)3．解同余式12x十4≡O(mod7)．解：因为(12，7)＝1|4，所以有解，而且解的个数为1 …………………………(2分)变形12x一7y＝一4………………………………………………………………(2分)简单计算x≡2(mod7)．…………………………………………………………(4分)4．解同余式x2≡2(mod23)解：因为，所以有解，而且解的个数为2……………………(4分)解分别为x≡5，18(mod23)………………………………………………………(4分)四、证明题(第14、题lo分，第2小题lo分，共20分)1．如果(a，b)＝1，则(a+b，a-b)＝1或2．证明设(a十b，a一b)=d，则d|(a十b)，d|(a一b)…………………………………(3分)所以d|(a十b)十(a一b)，d|2a．同理d|2b…………………………………………(4分)再(a，b)＝1，所以d|2．即d＝1或2……………………………………—………(3分)2．证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数．(10分)证明设相邻两个偶数分别为2n，(2n+2)…………………………………………(2分)所以2n(2n十2)＝4n(n十1) …………………………………………………………<3分)而且两个连续整数的乘积是2的倍数………………………………………………(2分)即4n(n+1)是8的倍数．…………………………………………—……………(3分)初等数论一、判断题1、任意给出5个整数必有三个数之和能被整数3整除。
福师期末考试《初等数论》复习题及参考答案
福师期末考试《初等数论》复习题及参考答案复习题及参考答案一一、填空(40%)1 、求所有正约数的与等于15的最小正数为 考核知识点：约数，参见P14-19 2、若1211,,,b b b 是模11的一个完全剩余系，则121181,81,,81b b b +++也是模11的 剩余系.考核知识点：完全剩余系，参见P54-573．模13的互素剩余系为考核知识点：互素剩余系，参见P584.自176到545的整数中是13倍数的整数个数为 考核知识点：倍数，参见P11-13 5、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者考核知识点：整除，参见P1-4 6、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的 .考核知识点：最小公倍数，参见P11-13 7、如果b a ,是两个正整数,则存在 整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.考核知识点：整除，参见P1-4 8、如果n 3，n 5，则15（ ）n . 考核知识点：整除，参见P1-4二、(10%)试证：6|n(n+1)(2n+1)，这里n 是任意整数。
考核知识点：整除的性质，参见P9-12 提示：i)若 则ii)若 则iii)若 则又三、(10%)假定a 是任意整数，求证a a (mod )++≡2103或a a (mod )+≡203考核知识点：二次同余式，参见P88提示:要证明原式成立，只须证明231a a ++，或者23a a +成立即可。
四、（10％）设p 是不小于5的素数，试证明21(mod24)p ≡ 考核知识点：同余的性质，参见P48-52 提示： 且是不小于5的素数．又且是不小于5的素数．只能是奇数且即即五、(15%)解同余式组 51(mod7)142(mod8)x x ≡⎧⎨≡⎩考核知识点：同余式，参见P74-75 提示∵ (14，8)=2 且 2 | 2 ∴ 14x ≡2(mod8) 有且仅有二个解解7x ≡1(mod4) ⇒ x ≡3 (mod4) ∴ 6x ≡10(mod8)的解为 x ≡3，3+4(mod8) 原同余式组等价于()()3mod 73mod8x x ≡⎧⎪⎨≡⎪⎩ 或()()3mod 77mod8x x ≡⎧⎪⎨≡⎪⎩ 分别解出两个解即可。
初等数论期末考试模拟试卷(含答案)
初等数论期末考试模拟试卷（含答案）一、填空题（每题5分，共25分）1. 若两个正整数a和b的最大公约数为1，则称a和b互质。
若a和b互质，则a+b与a-b也互质。
（）2. 设m和n是正整数，且m、n互质。
若存在正整数k，使得km+1与kn+1互质，则k的最小值为（）。
答案：13. 已知p和q是不同的质数，且p+q=17，则p^2+q^2的最小值为（）。
答案：974. 设F(n)表示斐波那契数列的第n项，且F(n+1)=F(n)+F(n-1)，F(1)=1，F(2)=1。
若F(n)能被3整除，则n的最小值为（）。
答案：85. 已知正整数a、b、c满足a^2+b^2=c^2，则称a、b、c 为勾股数。
勾股数中，a、b、c都是奇数的三元组称为奇素勾股数。
已知最小的奇素勾股数是(3,4,5)，则第二小的奇素勾股数是（）。
答案：(15,8,17)二、选择题（每题5分，共25分）6. 以下关于最大公约数和最小公倍数的说法，错误的是（）。
A. 两个正整数的最大公约数是它们的公共因子中最大的一个B. 两个正整数的最大公约数等于它们的乘积除以最小公倍数C. 两个正整数的最大公约数和最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积D. 两个正整数的最大公约数和最小公倍数一定互质答案：D7. 设p是质数，且p>2，则以下说法正确的是（）。
A. p的平方能被3整除B. p的立方能被3整除C. p的平方加1能被3整除D. p的平方减1能被3整除答案：D8. 以下关于斐波那契数列的说法，错误的是（）。
A. 斐波那契数列中的任意两个相邻项互质B. 斐波那契数列中的任意两个非相邻项互质C. 斐波那契数列中的任意三个连续项构成勾股数D. 斐波那契数列中的任意两个相邻项之比越来越接近黄金比例答案：C9. 设a、b、c是勾股数，且a是最小的质数。
以下说法正确的是（）。
A. b和c一定互质B. b和c一定不互质C. b和c中至少有一个是质数D. b和c中至少有一个不是质数答案：D10. 以下关于同余的说法，错误的是（）。
初等数论试卷,最全面的答案,包括截图
初等数论试卷,最全⾯的答案,包括截图初等数论考试试卷⼀、单项选择题：（1分/题X 20题=20分）1 ?设x为实数，lx ]为x的整数部分，则（A ）A.[xl X ：：: lx ； E. [x I ::: x Ixl ? 1 ;C. lx I x lx A：；1 ;D. lx I ::: X ：：: Ix.l ? 1 .2.下列命题中不正确的是（B ）A.整数a i,a2,||（,a n的公因数中最⼤的称为最⼤公因数；C.整数a与它的绝对值有相同的倍数D.整数a与它的绝对值有相同的约数3 .设⼆元⼀次不定⽅程ax?by=c （其中a,b,c是整数，且a,b不全为零）有⼀整数解x o,y°,d⼆a,b，则此⽅程的⼀切解可表为（C ）a bA.x =x°t, y ⼆y°t,t =0, _1,_2」H;d da bB.x = X o t, y ⼆y o t,t = 0, —1, _2」H;d db ac. x =X o t, y =y°t,t =0, _1,_2,川；d db aD. x =x°t, y ⼆y o t,t =0, ⼀1,_2,|"；d d4. 下列各组数中不构成勾股数的是（D ）A. 5, 12, 13;B. 7, 24, 25;C.3, 4, 5;D. 8, 16, 175. 下列推导中不正确的是（D ）A.? 三b modm ,a2 三d modm = y a?三b b2modm ;B.Q= b mod m ,a2 = b2 modm = Qa? = bb 2mod m ;c. Q= b mod m = 时2 = ba 2modm ;2 2C. ⼀5, -4, _3,-2,_1,0,1,2,3,4;D. 1,3,7,9.D.a1= b1 modm = Q=b modm .6 .模10的⼀个简化剩余系是（D ）A. 0,1,2,川,9;B. 1,2,3川1,10;7. a三b modm的充分必要条件是(A )A. ma —b;B. a —b m;C.m a +b;D. a +b m.&设f x =x42x38x 9，同余式f x三0 mod5的所有解为(C )A. x =1 或-1;B. x =1 或4;C. x 三1 或-1 mod5 ;D.⽆解.9、设f(x)= a n X n JlUII a1x ? a°其中a i是奇数,若x = x0mod p 为f(x) = 0 mod p 的⼀个解, 则:(?)A. 了.三/.: mod p ⼚定为f (x)三0(mod p勺,1的⼀个解B. '三I mod p「，：：1,⼀定为f (x)三0 mod p ：的⼀个解D. 若x三x° mod p -为f (x)三0 mod p -的⼀个解，则有x ：三x° mod p10.设f (x)⼆a n x n|川|) ax a0,其中a i为奇数,a n丞Omodp,n p,则同余式f (x) =0 mod p 的解数：( )A.有时⼤于p但不⼤于n; B .不超过pC.等于p D .等于n11.若2为模p的平⽅剩余，则p只能为下列质数中的:( D )A. 3 B . 11 C . 13 D . 2312.若雅可⽐符号->1，则(C )Im⼃2A. 同余式x三a modm ⼀定有解,B. 当a,m =1时,同余式x2=a mod p有解；C. 当m = p(奇数)时,同余式x2三a mod p有解；D. 当a⼆p(奇数)时,同余式x2三a mod p有解.13.若同余式x2三a mod2‘，〉-3, 2, a =1有解,则解数等于(A )C. ⼀5, -4, _3,-2,_1,0,1,2,3,4;D. 1,3,7,9.D.18. 若x 对模m 的指数是ab , a >0, ab >0,则a 对模m 的指数是（B ）A. a B . b C . ab D.⽆法确定19. f a , g a 均为可乘函数，则（A ） A. f a g a 为可乘函数； B . f ag （a ）C. f a g a 为可乘函数； D . f a - g a 为可乘函数20. 设丄［a 为茂陛乌斯函数，则有（B ）不成⽴A ⼆ J 1 =1B .空-1 =1C .⼆■-2 = -1D .⼆=9 =0⼆. 填空题：（每⼩题1分，共10分）21.3在45!中的最⾼次n = ________ 21 ___ ; 22. 多元⼀次不定⽅程：a 1x 1 a 2x 2 ?⼁II a n x^ N ,其中a 1 , a 2，…，a n , N 均为整数，n _ 2 ,有整数解的充分必要条件是 _ （ a 1 , a 2 ,…，a n ,） I N_a23.有理数⼀，0cavb , （a,b ）=1，能表成纯循环⼩数的充分必要条件是_ （10, b ） =1__； b- _ 24. 设x 三冷 mod m 为⼀次同余式ax 三b modm , a = 0 mod m 的⼀个解，则它的所有解 A . 414. A . 15. A . B . 3 C 模12的所有可能的指数为：（ 1, 2, 4 B . 1, 2, 4, 6, 若模m 的原根存在，下列数中，2 B .3 C 16. 对于模5，下列式⼦成⽴的是.2 A )12 C . 1, 2, m不可能等于：( D . 12 B ) 3, D 4, 6,12 D ?⽆法确定 )A. in d 32 =2ind 3^=3 C. in d 35 =0ind 310 ⼆ ind 32 ind 35 17. A. 下列函数中不是可乘函数的是：茂陛鸟斯（mobius ）函数w（a ）; B. 欧拉函数■- a ；C. 不超过x 的质数的个数⼆x ；25. ____________________________ 威尔⽣（wilson ）定理： _______________ （P —1）! +1 三0（modp ）, p 为素数 _____________ ；26. 勒让德符号'^03 |= 1 ;訂013⼃27. 若a, p [=1，则a 是模p 的平⽅剩余的充分必要条件是 a 2三1 mod p （欧拉判别条件； 28.在模m 的简化剩余系中，原根的个数是 _讥営m __； 29.设。
初等数论练习题一(含答案)
《初等数论》期末练习二一、单项选择题1、=),0(b （ ）.A bB b -C bD 02、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（ ）.A aB bC 1D b a +3、小于30的素数的个数（ ）.A 10B 9C 8D 74、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则A )(mod m bc ac ≡B b a =C (mod )ac bc m ≡/D b a ≠5、不定方程210231525=+y x （ ）.A 有解B 无解C 有正数解D 有负数解6、整数5874192能被( )整除.A 3B 3与9C 9D 3或97、如果a b ，b a ，则( ).A b a =B b a -=C b a ≥D b a ±=8、公因数是最大公因数的（ ）.A 因数B 倍数C 相等D 不确定9、大于20且小于40的素数有（ ）.A 4个B 5个C 2个D 3个10、模7的最小非负完全剩余系是( ).A -3，-2,-1,0,1,2，3B -6，-5,-4,-3,-2,-1C 1,2,3,4,5，6D 0,1,2,3,4，5，611、因为( ),所以不定方程71512=+y x 没有解.A [12，15]不整除7B （12，15）不整除7C 7不整除（12，15）D 7不整除[12，15]12、同余式)593(m od 4382≡x （ ）.A 有解B 无解C 无法确定D 有无限个解二、填空题1、有理数ba ，0,(,)1ab a b <<=，能写成循环小数的条件是（ ）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，而且解的个数为( ). 3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( ).4、设n 是一正整数，Euler 函数)(n ϕ表示所有( )n ，而且与n （ ）的正整数的个数.5、设b a ,整数，则),(b a （ ）=ab .6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（ ）数码的和能被3整除.7、+=][x x （ ）.8、同余式)321(m od 75111≡x 有解,而且解的个数( ). 9、在176与545之间有( )是17的倍数.10、如果0 ab ,则),](,[b a b a =( ).11、b a ,的最小公倍数是它们公倍数的( ).12、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( ).三、计算题1、求24871与3468的最小公倍数?2、求解不定方程2537107=+y x .（8分）3、求⎪⎭⎫ ⎝⎛563429,其中563是素数. （8分） 4、解同余式)321(m od 75111≡x .（8分） 5、求[525,231]=?6、求解不定方程18116=-y x .7、判断同余式)1847(m od 3652≡x 是否有解？8、求11的平方剩余与平方非剩余.四、证明题1、任意一个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数.（11分）2、证明当n 是奇数时，有)12(3+n .（10分）3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积,也是一个两个平方数和的数.（11分）4、如果整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.5、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯一的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0.《初等数论》期末练习二答案一、单项选择题1、C2、C3、A4、A5、A6、B7、D8、A9、A 10、D 11、B 12、B二、填空题1、有理数ba ，1),(,0=b a b a ，能写成循环小数的条件是（ 1)10,(=b ）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，而且解的个数为( 3 ). 3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( 41 ).4、设n 是一正整数，Euler 函数)(n ϕ表示所有( 不大于 )n ，而且与n （ 互素 ）的正整数的个数.5、设b a ,整数，则),(b a （ ],[b a ）=ab .6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（ 十进位 ）数码的和能被3整除.7、+=][x x （ }{x ）.8、同余式)321(m od 75111≡x 有解,而且解的个数( 3 ). 9、在176与545之间有( 12 )是17的倍数.10、如果0 ab ,则),](,[b a b a =( ab ).11、b a ,的最小公倍数是它们公倍数的( 因数 ).12、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( 1 ).三、计算题1、求24871与3468的最小公倍数?解：因为（24871,3468）=17所以[24871,3468]= 17346824871⨯=5073684 所以24871与3468的最小公倍数是5073684。
初等数论试卷和答案解析
初等数论考试试卷1一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、如果a b ，b a ，则( ). Ab a = B b a -= C b a ≤ D b a ±=2、如果n 3，n 5，则15（ ）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A)(mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(mod m bc D b a ≠5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解. Acb a ),( B),(b a c Cca Dab a ),(6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9二、填空题(每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）.2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ).3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ).4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ).5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ).6、如果b a ,是两个正整数,则存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.三、计算题(每题8分，共32分) 1、求[136,221,391]=? 2、求解不定方程144219=+y x . 3、解同余式)45(mod 01512≡+x .4、求⎪⎭⎫ ⎝⎛563429,其中563是素数. （8分）四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)1、证明对于任意整数n ,数62332n n n ++是整数.2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和.试卷1答案一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、D. 2、A 3、C 4、A 5、A 6、B 二、填空题(每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）.2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),().3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为(][b a ).4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( 与p 互素 ).5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ).6、如果b a ,是两个正整数,则存在( 唯一 )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.三、计算题(每题8分，共32分) 1、求[136,221,391]=?（8分）解 [136,221,391]=[[136,221],391]=[391,17221136⨯]=[1768,391]------------(4分)= 173911768⨯=104⨯391=40664. ------------（4分）2、求解不定方程144219=+y x .（8分） 解：因为（9，21）=3，1443，所以有解；----------------------------（2分） 化简得4873=+y x ；-------------------（1分）考虑173=+y x ，有1,2=-=y x ， -------------------（2分） 所以原方程的特解为48,96=-=y x ，-------------------（1分）因此，所求的解是Z t t y t x ∈-=+-=,348,796。
初等数论期末考试
初等数论期末考试一、选择题（共20题，每题2分）1.质数是指只能被1和本身整除的自然数。
下列数中，属于质数的是（）A. 1B. 2C. 4D. 92.下列数中，能被2整除的是（）A. 15B. 21C. 34D. 493.下列数中，属于互质数对的是（）A. 6和9B. 12和15C. 16和24D. 18和254.在100以内，能被2和3整除的数是（）A. 12B. 24C. 36D. 48…二、填空题（共10题，每题4分）1.两个数的最大公约数为5，最小公倍数为30，则这两个数为____和____。
2.两个数的最大公约数为18，较大的数为54，则较小的数为_____。
3.一个数除以9余7，除以13余11，这个数最小是_____。
4.两个数的最大公约数等于45，较小的数是135，则较大的数为_____。
…三、计算题1.用辗转相除法求出以下两个数的最大公约数和最小公倍数：（）A. 72和96B. 80和120C. 112和140D. 135和180解答：设a和b为两个数，不妨设a > b，则执行以下步骤：1.计算a除以b的余数，记作r1。
2.将b除以r1的余数，记作r2。
3.若r2不等于0，则将r1除以r2的余数，记作r3。
4.依此类推，直到rk等于0为止，此时rk-1即为最大公约数。
5.最小公倍数可以通过a和b的乘积除以最大公约数得到。
经过计算，得到以下结果：–72和96的最大公约数为24，最小公倍数为288。
–80和120的最大公约数为40，最小公倍数为240。
–112和140的最大公约数为28，最小公倍数为560。
–135和180的最大公约数为45，最小公倍数为540。
所以答案为：A. 72和96，B. 80和120，C. 112和140，D. 135和180。
…四、证明题1.证明素数有无穷多个。
证明：假设素数只有有限个，记作p1, p2, p3, …, pn。
令P = p1 * p2 * p3 * … * pn + 1，则P必定是一个大于1的整数。
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初等数论期末试题及答案1. 选择题
1.1 以下哪个数是质数？
A. 10
B. 17
C. 26
D. 35
答案：B. 17
1.2 下列哪个数不是完全平方数？
A. 16
B. 25
C. 36
D. 49
答案：C. 36
1.3 对于任意正整数n，下列哪个数一定是n的倍数？
A. n^2
B. n^3
C. n+1
D. n-1
答案：A. n^2
2. 填空题
2.1 求下列数的最大公约数：
a) 24和36
b) 45和75
答案：
a) 12
b) 15
2.2 求下列数的最小公倍数：
a) 6和9
b) 12和18
答案：
a) 18
b) 36
3. 计算题
3.1 求1到100之间所有奇数的和。
解答：观察可知，1到100之间的奇数是等差数列，公差为2。
根据等差数列的求和公式，我们可以得到：
(100 - 1) / 2 + 1 = 50 个奇数
所以，奇数的和为：50 * (1 + 99) / 2 = 2500
3.2 求1到100之间所有能被3整除的数的和。
解答：观察可知，1到100之间能被3整除的数是等差数列，首项为3，公差为3。
根据等差数列的求和公式，我们可以得到：
(99 - 3) / 3 + 1 = 33 个数
所以，能被3整除的数的和为：33 * (3 + 99) / 2 = 1683
4. 证明题
4.1 证明：如果一个数是平方数，那么它一定有奇数个正因数。
证明：设n是一个平方数，即n = m^2，其中m是一个正整数。
我们知道，一个数的因数总是成对出现的，即如果a是n的因数，那么n/a也是n的因数。
对于一个平方数n来说，它的因数可以分成两类：
1) 当因数a小于等于m时，对应的商n/a必然大于等于m，因此这样的因数对有m对；
2) 当因数a大于m时，对应的商n/a必然小于等于m，因此这样的因数对有(m - 1)对。
所以，在m > 1的情况下，平方数n有2m - 1个正因数，由于m是正整数，因此2m - 1一定是奇数。
而当m = 1时，平方数1只有一个因数，也满足奇数个正因数的条件。
综上所述，如果一个数是平方数，那么它一定有奇数个正因数。
5. 解答题
5.1 用辗转相除法求出32和24的最大公约数。
解答：用辗转相除法：
32 ÷ 24 = 1 (8)
24 ÷ 8 = 3 0
所以，32和24的最大公约数为8。
5.2 给出一个大于1的正整数n，证明n和n + 2不可能同时都是质数。
解答：考虑两种情况：
1) 如果n是偶数且大于2，那么n + 2一定是偶数，而偶数除了2之外都不是质数，所以n和n + 2不可能同时都是质数。
2) 如果n是奇数，那么n + 2一定是偶数，而奇数和偶数中只有2是质数，所以n和n + 2不可能同时都是质数。
综上所述，n和n + 2不可能同时都是质数。
以上即为初等数论期末试题及答案，祝你学业进步！。