精挑细选!高中数学最经典50题(附答案),刷完稳过一本线
高中数学好题精选50道
1．已知P 是ABC ∆内任一点,且满足AP xAB y AC =+,x 、y R ∈,则2y x +的取值范围是 ___ ．解法一：令1x y AQ AP AB AC x y x y x y ==++++,由系数和1x yx y x y+=++,知点Q 在线段BC 上．从而1AP x y AQ+=<．由x 、y 满足条件0,0,1,x y x y >>⎧⎨+<⎩易知2(0,2)y x +∈．解法二：因为题目没有特别说明ABC ∆是什么三角形，所以不妨设为等腰直角三角形，则立刻变为线性规划问题了．2．在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点, y 轴正半轴有3个点，将x 轴上这5个点和y 轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有 个． 答案：30个好题速递21．定义函数()[[]]f x x x =,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如:[1.5]1[ 1.3]2=-=-，,当*[0)()x n n N ∈∈，时,设函数()f x 的值域为A ,记集合A 中的元素个数为n a ,则式子90n a n+的最小值为 ． 【答案】13．【解析】当[)0,1n ∈时,[]0x x ⎡⎤=⎣⎦,其间有1个整数； 当[),1n i i ∈+,1,2,,1i n =-时,[]2(1)i x x i i ⎡⎤≤<+⎣⎦,其间有i 个正整数,故(1)112(1)12n n n a n -=++++-=+,9091122na n n n +=+-, 由912n n=得,当13n =或14时,取得最小值13． 2． 有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两倍同学要站在一起，则不同的站法有 种． 答案：192种好题速递31．已知直线l ⊥平面α，垂足为O ．在矩形ABCD 中，1AD =，2AB =，若点A 在l 上移动，点B 在平面α上移动，则O ，D 两点间的最大距离为 ．解：设AB 的中点为E ，则E 点的轨迹是球面的一部分，1OE =，DE =所以1OD OE ED ≤+=当且仅当,,O E D 三点共线时等号成立．2． 将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个球放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球且Ａ、Ｂ两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有 种． 答案：30种1． 在平面直角坐标系xOy 中，设定点(),A a a ，P 是函数()10y x x=>图象上一动点．若点,P A之间的最短距离为a 的所有值为 ． 解：函数解析式（含参数）求最值问题()222222211112222AP x a a x a x a x a a x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+-++-=+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦因为0x >，则12x x+≥，分两种情况： （1）当2a ≥时，min AP =，则a （2）当2a <时，min AP ==1a =-2． 将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有 种． 答案：90种好题速递51．已知,x y ∈R ，则()222x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的最小值为 ．解： 构造函数1y x =，22y x =-，则(),x x 与2,y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭两点分别在两个函数图象上，故所求看成两点(),x x 与2,y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭之间的距离平方，令2220802y x m x mx m m y x =+⎧⎪⇒++=⇒∆=-=⇒=⎨=-⎪⎩，所以y x =+1y x =平行的22y x=-的切线，故最小距离为2d =所以()222x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的最小值为42． 某单位要邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有 种．答案：140种好题速递61．已知定圆12,O O 的半径分别为12,r r ，圆心距122O O =，动圆C 与圆12,O O 都相切，圆心C 的轨迹为如图所示的两条双曲线，两条双曲线的离心率分别为12,e e ，则1212e e e e +的值为（ ） A ．1r 和2r 中的较大者 B ．1r 和2r 中的较小者 C ．12r r +D ．12r r -解：取12,O O 为两个焦点，即1c =若C 与12,O O 同时相外切（内切），则121221CO CO R r R r r r -=--+=- 若C 与12,O O 同时一个外切一个内切，则121221CO CO R r R r r r -=---=+ 因此形成了两条双曲线．此时21211212212111221122r r r r e e e e r r r r +-++=-+，不妨设21r r >，则12212e e r e e +=2．某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共有 种． 答案：6种好题速递71． 已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M ，与双曲线交于点N ，且M 、N 均在第一象限，当直线1//MF ON 时，双曲线的离心率为e ，若函数()222f x x x x =+-，则()f e = ．解：()222,x y c M a b by x a ⎧+=⎪⇒⎨=⎪⎩1F M b k a c =+，所以ON b k a c =+，所以ON 的方程为b y x a c=+，所以22221x y a a c a b N b y xa c ⎧-=⎪⎛⎫+⎪⇒⎨⎪=⎪+⎩又N 在圆222x y c +=上，所以222a a c c ⎛⎫⎛⎫++= 所以322220e e e +--=，所以()2222f e e e e=+-=2．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间，这样的五位数的个数有 个． 答案：28个好题速递81． 已知ABC ∆的三边长分别为,,a b c ，其中边c 为最长边，且191a b+=，则c 的取值范围是 ．解：由题意知，,a c b c ≤≤，故1919101a b c c c=+≥+=，所以10c ≥又因为a b c +>，而()1991016b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭所以16c <故综上可得1016c ≤<2． 从5名志愿者中选出3名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有 种． 解： 48种好题速递91．在平面直角坐标系xoy 中，已知点A 是半圆()224024x y x x +-=≤≤上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上．当20OA OC =时，则点C 的纵坐标的取值范围是 ． 解：设()22cos ,2sin A θθ+，()22cos ,2sin C λλθλθ+，1λ>，,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦由20OA OC =得：522cos λθ=+所以()()[]5sin 055sin 2sin 5,522cos 1cos cos 1C y θθθθθθ-=⋅⋅==∈-++--2． 编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是 种． 答案：20种好题速递101．点D 是直角ABC ∆斜边AB 上一动点，3,2A C B C ==，将直角ABC ∆沿着CD 翻折，使'B DC∆与ADC ∆构成直二面角，则翻折后'AB 的最小值是 ．解：过点'B 作'B E CD ⊥于E ，连结,BE AE ， 设'BCD B CD α∠=∠=，则有'2sin ,2cos ,2B E CE ACE πααα==∠=-在AEC ∆中由余弦定理得22294cos 12cos cos 94cos 12sin cos 2AE παααααα⎛⎫=+--=+- ⎪⎝⎭在'RT AEB ∆中由勾股定理得22222''94cos 12sin cos 4sin 136sin 2AB AE B E ααααα=+=+-+=-所以当4πα=时，'AB 取2．从1到10这是个数中，任意选取4个数，其中第二大的数是7的情况共有 种． 答案：45种好题速递111．已知函数()421421x x x x k f x +⋅+=++，若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，则实数k 的取值范围是 ． 解：()421111421212x x x x xk k f x +⋅+-==+++++ 令()110,13212x x g x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦++ 当1k ≥时，()213k f x +<≤，其中当且仅当0x =时取得等号 所以若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，只需223k +≥，所以14k ≤≤ 当1k <时，()213k f x +≤<，其中当且仅当0x =时取得等号 所以若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x为三边长的三角形，只需2213k +⋅≥，所以112k -≤<综上可得，142k -≤≤2．在一条南北方向的步行街同侧有8块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若只要求相邻两块牌的底色不都为红色，则不同的配色方案共有 种．答案：55种好题速递121．已知函数()2221f x x ax a =-+-，若关于x 的不等式()()0f f x <的解集为空集，则实数a 的取值范围是 ．解：()()()222111f x x ax a x a x a =-+-=---+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 所以()0f x <的解集为()1,1a a -+所以若使()()0f f x <的解集为空集就是1()1a f x a -<<+的解集为空，即min ()1f x a ≥+ 所以11a -≥+，即2a ≤-2．某校举行奥运知识竞赛，有6支代表队参赛，每队2名同学，12名参赛同学中有4人获奖，且这4人来自3人不同的代表队，则不同获奖情况种数共有 种．答案：31116322C C C C 种好题速递131． 已知定义在R 上的函数()f x 满足①()()20f x f x +-=；②()()20f x f x ---=；③在[]1,1-上的表达式为()[](]1,01,0,1x f x x x ∈-=-∈⎪⎩，则函数()f x 与函数()122,0log ,0x x g x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩的图象在区间[]3,3-上的交点个数为 ．2． 若5(1)ax -的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是 ．答案：21．()f x 是定义在正整数集上的函数，且满足()12015f =，()()()()212f f f n n f n +++=，则()2015f = ．解：()()()()212f f f n n f n +++=，()()()()()212111f f f n n f n +++-=--两式相减得()()()()2211f n n f n n f n =--- 所以()()111f n n f n n -=-+ 所以()()()()()()()()201520142201420132012121201512015201420131201620152014320161008f f f f f f f f =⋅⋅=⋅⋅⋅== 2．有 种． 答案：144种好题速递151． 若,a b 是两个非零向量，且a b a b λ==+，λ⎤∈⎥⎣⎦，则b 与a b -的夹角的取值范围是 ．解：令1a b ==，则1a b λ+=设,a b θ=，则由余弦定理得()22221111cos 1cos 22λπθθλ+--==-=-又λ⎤∈⎥⎣⎦，所以11cos ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦所以2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以由菱形性质得25,,36b a b ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦2． 若(n x 的展开式中第三项系数等于6，则n = ． 答案：121． 函数()22f x x x =+，集合()()(){},|2A x y f x f y =+≤，()()(){},|B x y f x f y =≤，则由AB 的元素构成的图形的面积是 ．解：()()(){}()()(){}22,|2,|114A x y f x f y x y x y =+≤=+++≤()()(){}()()(){},|,|22B x y f x f y x y x y x y =≤=-++≤画出可行域，正好拼成一个半圆，2S π=2． 甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁两公司各承包2项，共有承包方式 种． 答案：1680种好题速递171． 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，112AE AB =，在面ABCD 中取一个点F ，使1E F F C +最小，则这个最小值为 ．解：将正方体1111ABCD A B C D -补全成长方体，点1C 关于面ABCD 的对称点为2C ，连接2EC 交平面ABCD 于一点，即为所求点F ，使1EF FC +最小．其最小值就是2EC ．连接212,A C B C ，计算可得2121AC B C AB ，所以12AB C ∆为直角三角形，所以2EC =2． 若()62601261mx a a x a x a x +=++++ 且123663a a a a ++++=，则实数m 的值为 ． 答案：1或-31． 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线分别交双曲线的两条渐近线于点,P Q ．若点P 是线段1F Q 的中点，且12QF QF ⊥，则此双曲线的离心率等于 ．解法一：由题意1F P b =，从而有2,a ab P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又点P 为1F Q 的中点，()1,0F c -，所以222,a ab Q c c c ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭所以222ab b a c c a c ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，整理得224a c =，所以2e =解法二：由图可知，OP 是线段1F P 的垂直平分线，又OQ是12Rt F QF ∆斜边中线，所以1260FOP POQ QOF ∠=∠=∠=，所以2e = 解法三：设(),,0Q a m b m m >，则()1,Q F c a m b m =---，()2,QF c am bm =--由()()12,,0QF QF c am bm c am bm ⊥⇒-----=，解得1m =所以(),Q a b ，,22a c b P -⎛⎫ ⎪⎝⎭所以22b b a c a -=-⋅，即2c a =，所以2e =2． 现有甲、已、丙三个盒子，其中每个盒子中都装有标号分别为1、2、3、4、5、6的六张卡片，现从甲、已、丙三个盒子中依次各取一张卡片使得卡片上的标号恰好成等差数列的取法数为 ． 答案：18好题速递191． 已知O 为坐标原点，平面向量,,OA OB OC 满足：24OA OB ==，0OA OB =，()()20OC OA OC OB --=，则对任意[]0,2θπ∈和任意满足条件的向量OC ，cos 2sin OC OA OB θθ-⋅-⋅的最大值为 ．解：建立直角坐标系，设()()(),,4,0,0,2C x y A B 则由()()20OC OA OC OB --=，得22220x y x y +--=(cos 2sin OC OA OB x θθ-⋅-⋅=等价于圆()()22112x y -+-=上一点与圆2216x y +=上一点连线段的最大值即为42． 已知数列{n a }的通项公式为121n n a -=+，则01n a C +12n a C +33na C ++1n n n a C += ．答案：23n n +1． 已知实数,,a b c 成等差数列，点()3,0P -在动直线0ax by c ++=（,a b 不同时为零）上的射影点为M ，若点N 的坐标为()2,3，则MN 的取值范围是 ．解：因为实数,,a b c 成等差数列，所以2b a c =+，方程0ax by c ++=变形为2()20ax a c y c +++=，整理为()2(2)0a x y c y +++=所以2020x y y +=⎧⎨+=⎩，即12x y =⎧⎨=-⎩，因此直线0ax by c ++=过定点()1,2Q -画出图象可得90PMQ ∠=，PQ =点M 在以PQ 为直径的圆上运动，线段MN 的长度满足FN MN FN ≤即55MN ≤2． 如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是 个．答案：48好题速递211． 已知函数是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()()2502161122xx x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩．若关于x 的方程()()20,,f x af x b a b ++=∈⎡⎤⎣⎦R ，有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是 ．解：设()t f x =，问题等价于()20g t t at b =++=有两个实根12,t t ，12501,14t t <≤<<或1255,144t t =<<所以()()0091014504g g h a g ⎧⎪>⎪⎪≤⇒-<<-⎨⎪⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩或()5124591024504a g h a g ⎧<-<⎪⎪⎪>⇒-<<-⎨⎪⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩综上， 5924a -<<-或914a -<<-2．在24的展开式中，x 的幂的指数是整数的项共有 项．好题速递221． 已知椭圆221:132x y C +=的左、右焦点为12,F F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于1l 于点P ，线段2PF 的垂直平分线与2l 的交点的轨迹为曲线2C ，若()()()11221,2,,,,A B x y Cx y 是2C 上不同的点，且AB BC ⊥，则2y 的取值范围是 ． 解：由题意22:4C y x =设:(2)1AB l x m y =-+代入22:4C y x =，得()24840y my m -+-= 所以142y m =-，()()2144121x m m m =-+=- 设()21:(42)21BC l x y m m m =--++-代入22:4C y x =，得()2248164210y y m m m ⎡⎤+++--=⎢⎥⎣⎦所以122442y y m y m+=-+=- 所以(][)2442,610,y m m=--+∈-∞-+∞2． 5人排成一排照相，要求甲不排在两端，不同的排法共有________种．(用数字作答) 答案：72好题速递231． 数列{}n a 是公比为23-的等比数列，{}n b 是首项为12的等差数列．现已知99a b >且1010a b >，则以下结论中一定成立的是 ．（请填上所有正确选项的序号）①9100a a <；②100b >；③910b b >；④910a a >解：因为数列{}n a 是公比为23-的等比数列，所以该数列的奇数项与偶数项异号，即：当10a >时，2120,0k k a a -><；当10a <时，2120,0k k a a -<>；所以9100a a <是正确的； 当10a >时，100a <，又1010a b >，所以100b <结合数列{}n b 是首项为12的等差数列，此时数列的公差0d <，数列{}n b 是递减的． 故知：910b b >当10a <时，90a <，又99a b >，所以90b <结合数列{}n b 是首项为12的等差数列，此时数列的公差0d <，数列{}n b 是递减的． 故知：910b b >综上可知，①③一定是成立的．2． 设5nx （的展开式的各项系数之和为M , 二项式系数之和为N ，若M -N ＝240, 则展开式中x 3的系数为 ．好题速递241． 已知集合(){}2,|21A x y y xbx ==++，()(){},|2B x y y a x b ==+，其中0,0a b <<，且AB 是单元素集合，则集合()()(){}22,|1x y x a y b -+-≤对应的图形的面积为 ．解：()()()2221221202y x bx x b a x ab y a x b ⎧=++⎪⇒+-+-=⎨=+⎪⎩()()2222241201b a ab a b ∆=---=⇒+=所以由2210,0a b a b ⎧+=⎪⎨<<⎪⎩得知，圆心(),a b 对应的是四分之一单位圆弧MPN （红色）．此时()()(){}22,|1x y x a y b -+-≤所对应的图形是以这四分之一圆弧MPN 上的点为圆心，以1为半径的圆面．从上到下运动的结果如图所示：是两个半圆（ABO 与ODE ）加上一个四分之一圆（AOEF ），即图中被绿实线包裹的部分。
高中数学三年必须吃透的70个必刷题
高中数学是学生在数学学科中学习的重要阶段，数学知识的掌握对于学生进入大学甚至未来的职业发展都是至关重要的。
而在高中数学的学习过程中，大家必须掌握一定的数学题目，才能更好的提高自己的数学水平。
我将在本文中共享70个高中数学必刷题，希望能够帮助更多的学生在高中数学学习过程中取得更好的成绩。
一、代数部分1. 一元二次不等式2. 根据配方法求最值3. 分式方程4. 二项式定理5. 绝对值不等式6. 倍式展开与二项式系数二、函数部分7. 函数奇偶性8. 函数极值问题9. 参数方程问题10. 反函数与复合函数11. 对数函数的性质12. 求极限问题三、方程部分13. 解方程组14. 解不等式组15. 二元一次方程组16. 解三元一次方程组17. 解分式方程18. 二次方程的判别式四、几何部分19. 三角形内角和20. 三角形外角定理21. 直线与平面的交点22. 圆的切线与切点23. 直角三角形的性质24. 平行四边形的几何关系五、概率部分25. 事件的概率26. 条件概率27. 期望与方差28. 排列与组合29. 二项分布30. 正态分布的性质六、数列部分31. 数列的通项32. 数列的性质33. 数列的求和34. 数列的递推公式35. 等差数列与等比数列36. 等比中项问题七、植物生长模型37. 个体生长模型38. 种裙增长模型39. 人口增长模型40. 自然增长模型41. 对数生长模型42. 指数生长模型八、微积分部分43. 函数的极限44. 函数的连续性45. 一元函数的导数46. 函数的微分47. 函数的积分48. 微积分中的应用问题九、向量部分49. 向量的定位问题50. 向量的线性运算51. 向量的数量积52. 向量的夹角问题53. 平面向量的应用54. 空间向量的应用十、解析几何部分55. 曲线与曲面的方程56. 空间中的直线57. 空间中的平面58. 空间中的球面59. 空间中的圆锥曲线60. 空间中的二次曲面十一、复数部分61. 复数的性质62. 复数的运算63. 复数的共轭64. 复数的幂与根65. 复数的几何意义66. 复数方程问题十二、三角部分67. 弧度与角度的转换68. 三角函数的基本关系69. 三角函数的图像70. 三角函数的性质以上便是我整理的高中数学必刷题清单，希望对大家在高中数学学习中有所帮助。
高中数学经典50题(附答案)
将 代入得
得︱AM︱+︱AN︱=8
(2)假设存在a
因为︱AM︱+︱AN︱=︱MM′︱+︱NN′︱=2︱PP′︱
所以︱AP︱=︱PP′︱ ，P点在抛物线上，这与P点是MN的中点矛盾。故a不存在。
7.抛物线 上有两动点A，B及一个定点M，F为焦点，若 成等差数列
16、设 若 是 与 的等比中项，则 的最小值为（ ）
A．8 B．4 C．1 D．
答案：B
解析：因为 ，所以 ，
，当且仅当 即 时“=”成立，故选择B．
点评：本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力．
17、设数列 满足 为实数．
（Ⅰ）证明： 对任意 成立的充分必要条件是 ；
因为 ，BC中点 ，所以直线PD的方程为 （1）
又 故P在以A，B为焦点的双曲线右支上。设 ，则双曲线方程为 （2）。联立（1）（2），得 ，
所以 因此 ，故炮击的方位角北偏东 。
说明：本题的关键是确定P点的位置，另外还要求学生掌握方位角的基本概念。
4.河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽度为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面的部分高米，问水面上涨到与抛物线拱顶距多少时，小船开始不能通行
6.设抛物线 的焦点为A,以B(a+4,0)点为圆心，︱AB︱为半径，在x轴上方画半圆，设抛物线与半圆相交与不同的两点M，N。点P是MN的中点。
（1）求︱AM︱+︱AN︱的值
（2）是否存在实数a，恰使︱AM︱︱AP︱︱AN︱成等差数列若存在，求出a，不存在，说明理由。
高考数学必看的50个数学题目
高考数学必看的50个数学题目1. 假设有两个正整数a和b，满足a+b=15。
如果a的平方加上b的平方等于165，那么a和b分别是多少？2. 已知一个等差数列的前三个项分别是5，8，11。
求这个等差数列的第n项。
3. 某商品原价为120元，现在打8折出售。
请问折后的价格是多少？4. 一条直线通过点A(2,3)和点B(5,8)。
求这条直线的斜率。
5. 一个等边三角形的周长为18cm。
求这个等边三角形的面积。
6. 若x=2是方程2x^2+3x-2=0的一个解，求另一个解。
7. 在一个平面直角坐标系中，点A的坐标是(4,-1)，点B的坐标是(-2,5)。
求线段AB的长度。
8. 已知sinθ=0.6，求cosθ的值。
9. 若3^x=81，求x的值。
10. 已知直线y=2x-3和直线y=-x+7相交于点P。
求点P的坐标。
11. 若实数x的倒数与5的差的平方等于4，求x的值。
12. 若正方形的周长为36cm，求正方形的面积。
13. 已知三角形ABC的边长分别为a=5cm，b=7cm，c=8cm。
求三角形ABC的面积。
14. 若(x+3)(y-4)=0，求方程xy=12的解。
15. 一份资料显示某班级男女比例是5:3，若该班级共有80人，求男生人数和女生人数分别是多少？16. 若函数f(x)=2x^2-5x+3，则f(1)的值是多少？17. 若x的平方减去4x加上3等于0，求x的值。
18. 某商品原价为150元，现在降价30%出售。
请问折后的价格是多少？19. 若一条直线的斜率为2，且经过点(-3,4)，求该直线的方程。
20. 若函数g(x)=3x-7，则g(-2)的值是多少？21. 若3^x=27，求x的值。
22. 若一个等差数列的公差为3，第一个数是2，求该等差数列的第n项。
23. 已知一个四边形的两对对角线相等，且两对对角线互相等长，求证该四边形是个矩形。
24. 已知直线y=kx+3过点(2,5)，求k的值。
高中数学经典试题及答案
高中数学经典试题及答案一、选择题1. 下列哪个选项是函数y=f(x)=x^2的反函数？A. y=√xB. y=x^2C. y=1/xD. y=x^3答案：A2. 计算下列极限：lim (x→0) [sin(x)/x]A. 0B. 1C. 2D. ∞答案：B3. 已知函数f(x)=2x+3，求f(-1)的值。
A. 1B. -1C. -5D. 5答案：C4. 一个等差数列的首项为3，公差为2，求第5项的值。
A. 13B. 15C. 17D. 19答案：A二、填空题5. 已知圆的方程为x^2+y^2-6x-8y+25=0，求圆心坐标。
答案：(3,4)6. 将复数z=3+4i转换为极坐标形式。
答案：5∠arctan(4/3)7. 一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，求斜边长度。
答案：5三、解答题8. 解方程组：\[\begin{cases}x + y = 5 \\2x - y = 1\end{cases}\]答案：将方程组写成增广矩阵形式并使用高斯消元法求解，得到x=2，y=3。
9. 求函数f(x)=x^3-3x^2+4在区间[1,2]上的最大值和最小值。
答案：首先求导数f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0，解得x=0或x=2（不在区间内）。
在区间端点处，f(1)=2，f(2)=0。
因此，最大值为2，最小值为0。
10. 已知等比数列的前三项分别为2, 6, 18，求该数列的通项公式。
答案：设首项为a，公比为r，则有a=2，ar=6，ar^2=18。
解得r=3，因此通项公式为an=2*3^(n-1)。
高中数学经典50题(附答案)之欧阳法创编
高中数学题库1.2. 求下列函数的值域：解法2 令t ＝sin x ，则f (t )＝－t 2＋t ＋1，∵ |sin x |≤1, ∴ |t |≤1.问题转化为求关于t 的二次函数f (t )在闭区间[－1,1]上的最值．本例题(2)解法2通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题，从而达到解决问题的目的，这就是转换的思想．善于从不同角度去观察问题，沟通数学各学科之间的内在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉，由复杂化简单，一句话：由难化易．可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段。
3. 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此慧星离地球相距m 万千米和m 34万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为32ππ和，求该慧星与地球的最近距离。
解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点)0,(c F -处，椭圆的方程为12222=+b y a x （图见教材P132页例1）。
当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为3π时，由椭圆的几何意义可知，彗星A 只能满足)3(3/ππ=∠=∠xFA xFA 或。
作m FA FB Ox AB 3221B ==⊥，则于 故由椭圆第二定义可知得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=)32(34)(22m c c a a c m c c a a c m 两式相减得,23)4(21.2,3231c c c m c a m a c m =-==∴⋅=代入第一式得 答：彗星与地球的最近距离为m 32万千米。
说明：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是c a -，另一个是.c a +（2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。
另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质。
高中数学经典大题150道
高中数学经典大题150道在高中数学学习过程中，经典大题是不可避免的重要内容。
这些经典大题既考察了学生对知识点的掌握程度，又锻炼了他们的思维能力和解题技巧。
下面将列举150道高中数学经典大题，供同学们复习和练习。
1. 一元二次方程求解：求方程$2x^2 - 5x + 3 = 0$的解；2. 直角三角形斜边求长：已知直角三角形的一个锐角为$30^\circ$，斜边长为10，求另外两边的长度；3. 函数求极值：已知函数$f(x) = x^2 - 4x$，求$f(x)$的最小值；4. 三角函数化简：化简$\sin^2x - \cos^2x$；5. 平面向量运算：已知向量$\vec{a} = 2\vec{i} - 3\vec{j}$，$\vec{b} = \vec{i} + \vec{j}$，求$3\vec{a} - 2\vec{b}$的模；6. 不等式求解：解不等式$2x - 5 > 3$；7. 集合运算：已知集合$A = \{1, 2, 3\}$，$B = \{2, 3, 4\}$，求$A\cap B$；8. 对数方程求解：求解方程$\log_x 32 = 5$；9. 三视图绘制：根据给定的正方体的三个视图绘制其立体图形；10. 空间向量垂直判定：已知向量$\vec{a} = 2\vec{i} - 3\vec{j} +\vec{k}$，$\vec{b} = 3\vec{i} + 2\vec{j} - 4\vec{k}$，判断$\vec{a}$和$\vec{b}$是否垂直。
11. 二次函数图象：画出函数$f(x) = x^2 - 4x + 3$的图象；12. 三角函数图象：画出函数$y = \sin x$和$y = \cos x$在同一坐标系内的图像；13. 集合的运算：已知集合$A = \{1, 2, 3\}$，$B = \{3, 4, 5\}$，$C = \{2, 4, 6\}$，求$(A \cup B) \cap C$；14. 对数幂运算：计算$\log_2 8^3$的值；15. 消元解方程组：解方程组$\begin{cases} 2x - 3y = 7 \\ 4x + y = 1 \end{cases}$；16. 平面几何证明：证明过直径的正圆周角是直角；17. 空间几何证明：证明立体对顶点所在直线上的中位线相等；18. 三角函数证明：证明$\sin^2x + \cos^2x = 1$；19. 向量证明：证明向量的模长公式；20. 立体几何体积计算：计算正方体的体积。
高中数学经典50题(附答案)之欧阳文创编
高中数学题库1.2. 求下列函数的值域：解法 2 令t ＝sin x ，则f (t )＝－t 2＋t ＋1，∵ |sin x |≤1, ∴ |t |≤1.问题转化为求关于t 的二次函数f (t )在闭区间[－1,1]上的最值．本例题(2)解法2通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题，从而达到解决问题的目的，这就是转换的思想．善于从不同角度去观察问题，沟通数学各学科之间的内在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉，由复杂化简单，一句话：由难化易．可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段。
3.设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此慧星离地球相距m 万千米和m 34万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为32ππ和，求该慧星与地球的最近距离。
解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点)0,(c F -处，椭圆的方程为12222=+by a x （图见教材P132页例1）。
当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为3π时，由椭圆的几何意义可知，彗星A 只能满足)3(3/ππ=∠=∠xFA xFA 或。
作m FA FB Ox AB 3221B ==⊥，则于 故由椭圆第二定义可知得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=)32(34)(22m c c a a c m c c a a c m两式相减得,23)4(21.2,3231c c c m c a m a c m =-==∴⋅=代入第一式得 答：彗星与地球的最近距离为m 32万千米。
说明：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是c a -，另一个是.c a +（2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。
另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质。
(完整版)高中数学经典50题(附答案)
高中数学题库1. 求下列函数的值域：解法2 令t ＝sin x ，则f (t )＝－t 2＋t ＋1，∵ |sin x |≤1, ∴ |t |≤1.问题转化为求关于t 的二次函数f (t )在闭区间[－1,1]上的最值．本例题(2)解法2通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题，从而达到解决问题的目的，这就是转换的思想．善于从不同角度去观察问题，沟通数学各学科之间的内在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉，由复杂化简单，一句话：由难化易．可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段。
2. 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此慧星离地球相距m 万千米和m 34万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为32ππ和，求该慧星与地球的最近距离。
解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点)0,(c F -处，椭圆的方程为12222=+by a x （图见教材P132页例1）。
当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为3π时，由椭圆的几何意义可知，彗星A 只能满足)3(3/ππ=∠=∠xFA xFA 或。
作m FA FB Ox AB 3221B ==⊥，则于故由椭圆第二定义可知得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=)32(34)(22m c c a a c m c ca a c m两式相减得,23)4(21.2,3231c c c m c a m a c m =-==∴⋅=代入第一式得 .32.32m c c a m c ==-∴=∴答：彗星与地球的最近距离为m 32万千米。
说明：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是c a -，另一个是.c a +（2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。
高中数学经典50题(附答案)之欧阳育创编
高中数学题库1.2. 求下列函数的值域：解法2 令t ＝sin x ，则f (t )＝－t 2＋t ＋1，∵ |sin x |≤1, ∴ |t |≤1.问题转化为求关于t 的二次函数f (t )在闭区间[－1,1]上的最值． 本例题(2)解法2通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题，从而达到解决问题的目的，这就是转换的思想．善于从不同角度去观察问题，沟通数学各学科之间的内在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉，由复杂化简单，一句话：由难化易．可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段。
3.设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此慧星离地球相距m 万千米和m 34万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为32ππ和，求该慧星与地球的最近距离。
解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点)0,(c F -处，椭圆的方程为12222=+by a x （图见教材P132页例1）。
当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为3π时，由椭圆的几何意义可知，彗星A 只能满足)3(3/ππ=∠=∠xFA xFA 或。
作m FA FB Ox AB 3221B ==⊥，则于 故由椭圆第二定义可知得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=)32(34)(22m c c a a c m c c a a c m两式相减得,23)4(21.2,3231c c c m c a m a c m =-==∴⋅=代入第一式得 答：彗星与地球的最近距离为m 32万千米。
说明：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是c a -，另一个是.c a +（2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。
另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质。
高中数学(共20题 含答案)[自己出题]
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数学试题一、选择题1．下列命题正确的是( )A. {实数集}B. {|x x ⊂≤C. {|x x ≤D. {|x x ⊆≤2．设函数)(x f y =与函数)(x g 的图象关于3=x 对称，则)(x g 的表达式为（ ）A ．)23()(x f x g -=B ．)3()(x f x g -=C ．)3()(x f x g --=D ．)6()(x f x g -=3．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ） A.13项B.12项C.11项D.10项4．给定正数,,,,p q a b c ，其中p q ≠，若,,p a q 成等比数列，,,,p b c q 成等差数列,则一元二次方程220bxax c -+= （ ）A ．无实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个同号的相异的实数根D ．有两个异号的相异的实数根5．已知平面向量a =,1x （） ，b =2,x x（－）， 则向量+a b ( ) A 平行于x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y 轴 D.平行于第二、四象限的角平分线6．不等式(0x -≥的解集是（ ）A{|1}x x > B {|1}x x ≥ C {|21}x x x ≥-≠且 D {|21}x x x =-≥或7．若直线（1+a ）x +y +1=0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则a 的值为（ ） A.1，－1B.2，－2C.1D.－18．椭圆222312x y +=的两焦点之间的距离为（ ）Ａ．Ｃ．9．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为 （ ） A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°10．3个班分别从5 个景点中选择1处游览，不同的选法种数是( ) A. 53B. 35C. A 35D. C 3511．函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则( )A. ()f x 是偶函数B. ()f x 是奇函数C.()(2)f x f x =+ D. (3)f x +是奇函数12．已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3FA FB = ,则||AF=( )二、填空题13．设220,0,12b a b a ≥≥+=，则的最大值为 。
高考数学 解析几何取值范围通关50题(含答案)
2 2解析几何取值范围通关 50 题（含答案）1. 已知椭圆 C 2 x+ y 2 = t α t 0 ，F ，F 分别是其左、右焦点，以 F F 为直径的圆与椭圆 C 有且α2t2t 2仅有两个交点． （1）求椭圆 C 的方程；（2）设过点 F t 且不与坐标轴垂直的直线 l 交椭圆于 A ，B 两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 P ，点 P 横坐标的取值范围是 一 t,0 ，求线段 AB 长的取值范围．4x 2 y 22. 已知 F t ，F 2 分别是长轴长为 2 2 的椭圆 C ：α2 + b 2 = t α t b t 0 的左右焦点，A t ，A 2 是椭圆 C 的左右顶点，P 为椭圆上异于 A t ，A 2 的一个动点，0 为坐标原点，点 M 为线段 PA 2 的中点， 且直线 PA 与 0M 的斜率之积恒为 一 t． 2 （1）求椭圆 C 的方程；（2）设过点 F t 且不与坐标轴垂直的直线 l 交椭圆于 A ，B 两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 N ，点 N 横坐标的取值范围是 一 t,0 ，求线段 AB 长的取值范围．43. 如图，已知抛物线 E 2y 2 = x 与圆 M 2 x 一 4 2 + y 2 = γ2 γ t 0 相交于 A ,B ,C ,D 四个点．（1）求 γ 的取值范围；（2）当四边形 ABCD 的面积最大时，求对角线 AC,BD 的交点 P 的坐标．2 2 2 4. 已知函数 f x = lnx 一 2αx ，α ε R ．（1）若函数 y = f x 存在与直线 2x 一 y = 0 垂直的切线，求实数 α 的取值范围；（2）设 g x = f x + t x 2，若 g x 有极大值 x ，求证：lnx t + tt α．2tx t x t 25. 已知椭圆 x+ y = t α t b t 0 离心率为 2，左、右焦点分别为 F ，F ，左顶点为 A ， AF=α2 b 2 — t ，2t 2t（1）求椭圆的方程；（2）若直线 l 经过 F 2 与椭圆交于 M ，N 两点，求 F t M · F t N 取值范围．6. 已知椭圆 C 2 x + y = t α t b t 0 的离心率为 t ，且过点 一 C 的右顶点为 A ．α2b 22（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）已知过点 ,0 的直线交椭圆 C 于 P ，Q 两点，且线段 PQ 的中点为 R ，求直线 AR 的斜率的取值范围．2 22 3 2 2 t 27. 在平面直角坐标系 x0y 中，椭圆 E ：x+y= t α t b t 0 过点 ,t ，且与直线 2x + 2y 一4 = 0 相切． （1）求椭圆 E 的方程；α2 b 2（2）若椭圆 E 与 x 轴交于 M ，N 两点，椭圆 E 内部的动点 P 使 IPMI ，IP0I ，IPNI 成等比数列，求 P M · P N 的取值范围．8. 已知椭圆 C 2 x+y= t α t b t 0 经过点 t,,0 ．α2 b 2（1）求椭圆 C 的方程；（2）若直线 y = 直 x 一 t 直 芋 0 与 x 轴交于点 P ，与椭圆 C 交于 A,B 两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 Q ，求IABI 的取值范围．IPQI9. 设 F ，F 分别是椭圆 x 2 + y 24= t 的左、右焦点．（1）若 P 是该椭圆上的一个动点，求 P F t · P F 2 的最大值和最小值；（2）设过定点 M 0,2 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A ，B ，且 LA0B 为锐角（其中 0 为坐标原点），求直线 l 的斜率 直 的取值范围．2 232 2 2 2 10. 已知椭圆 E ：mx 2 + y 2 = t m t 0 ．（1）若椭圆 E 的右焦点坐标为 ,0 ，求 m 的值；（2）由椭圆 E 上不同三点构成的三角形称为椭圆的内接三角形．若以 B 0,t 为直角顶点的椭圆E 的内接等腰直角三角形恰有三个，求 m 的取值范围．11. 已知椭圆 C ：x + y α2b 2= t α t b t 0 ，其焦距为 2，点 P 在椭圆 C 上． （1）求椭圆 C 的标准方程；（2）是否存在与椭圆 C 交于 A ，B 两点的直线 l2y = mx + t m ε R ，使得 0 A · 0 B = 0 成立?若存在，求出实数 t 的取值范围，若不存在，请说明理由．12. 已知椭圆 C 2 x+y = t α t b t 0 的离心率为 3，直线 l 2y = x + 2 与以原点为圆心、椭圆 C 的α2b 23短半轴为半径的圆 0 相切． （1）求椭圆 C 的方程；（2）过椭圆 C 的左顶点 A 作直线 m ，与圆 0 相交于两点 R ，S ，若 A 0RS 是钝角三角形，求直线 m 的斜率 直 的取值范围．MN 0Q2 13. 已知函数 f x = e x sinx 一 cosx ，g x = xcosx 一 2e x ，（其中 e 是自然对数的底数）．ππ（1）∀x t ε 0, 2 ，∃x 2 ε 0, 2 使得不等式 f x t + g x 2 2: m 成立，试求实数 m 的取值范围； （2）若 x t 一 t ，求证：f x 一 g x t 0．x 2 y 214. 已知右焦点为 F 2 c ,0 的椭圆 C 2 α2 + b 2 = t α t b t 0 过点 t , C 关于直线 x = c 对称的图形过坐标原点． （1）求椭圆 C 的方程；（2,0 作直线 l 与 椭圆 C 交于 E ，F 两点，线段 EF 的中点为 M ，点 A 是椭圆 C 的右顶点，求直线 MA 的斜率 直 的取值范围．15. 已知椭圆 C 2 x +y= t α t b t 0 经过点 t,F ，F ，圆 x 2 + y 2 = 2 与α2b 2t2直线 x + y + b = 0 相交所得弦长为 2． （1）求椭圆 C 的标准方程；（2）设 Q 是椭圆 C 上不在 x 轴上的一个动点，0 为坐标原点，过点 F 2 作 0Q 的平行线交椭圆C 于 M ，N 两个不同的点，求 的取值范围．22 2x 2 y 216. 已知椭圆 C t 2 α2 + b 2 = t α t b t 0 的焦距为 4，左、右焦点分别为 F t ，F 2 ，且 C t 与抛物线C 22y 2 = x 的交点所在的直线经过 F 2． （1）求椭圆 C t 的方程； （2）过 F t 的直线 l 与 椭圆 C t 交于 A ，B 两点，与抛物线 C 2 无公共点，求 A ABF 2 的面积的取值范围．17. 已知椭圆 C ：x + y α2b 2= t 的两个焦点分别是 F t 一 t,0 ，F 2 t,0 ，且焦距是椭圆 C 上一点 P 到两 焦点 F t ，F 2 距离的等差中项． （1）求椭圆 C 的方程；（2）设经过点 F 2 的直线交椭圆 C 于 M ，N 两点，线段 MN 的垂直平分线交 y 轴于点 Q x 0,y 0 ，求 y 0 的取值范围．18. 在平面直角坐标系 x 0y 中，已知圆 0t 2 x + t 2 + y 2 = t 和 022 x 一 t 2 + y 2 = t ，动圆 P 与圆0t 外切，与圆 02 内切． （1）求圆心 P 的轨迹 E 的方程； （2）过 A 一 2,0 作两条互相垂直的直线 l t ，l 2 分别交曲线 E 于 M ，N 两点，设 l t 的斜率为直 直 t 0 ，A AMN 的面积为 S ，求 S的取值范围．直2 22 2 19. 已知椭圆 E 2 x + y α2b 2= t α t b t 0 过点 0, ，且离心率为 t．2（1）求椭圆 E 的方程；（2）若以 直 直 芋 0 为斜率的直线 l 与椭圆 E 相交于两个不同的点 A ，B ，且线段 AB 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形面积为 t，求 直 的取值范围．tt20. 已知椭圆 C 的中心在原点 0，焦点在 x 轴上，离心率为 tt ．2（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）是否存在与椭圆 C 交于 A ，B 两点的直线 l ：y = 直x + m直 ε R ，使得 0 A + 20B = 0 A 一 20B 成立?若存在，求出实数 m 的取值范围，若不存在，请说明理由．21. 经过原点的直线与椭圆 C 2 x +yα2b 2= t α t b t 0 交于 A ，B 两点，点 P 为椭圆上不同于 A ，B 的一点，直线 PA ，PB 的斜率均存在，且直线 PA ，PB 的斜率之积为 一 t ． 4（1）求椭圆 C 的离心率；（2）设 F t ，F 2 分别为椭圆的左、右焦点，斜率为 直 的直线 l 经过椭圆的右焦点，且与椭圆交于 M ，N 两点，若点 F t 在以 MN 为直径的圆内部，求 直 的取值范围．3222 22222.已知椭圆M2x+y4b2 b2= t b t0上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为4+2 3．（1）求椭圆M 的方程；（2）设不过原点0 的直线l 与该椭圆交于P，Q 两点，满足直线0P，PQ，0Q 的斜率依次成等比数列，求A 0PQ 面积的取值范围．23.已知椭圆C2x+y=tαt b t0的离心率为2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆α2 b22与直线x 一 y + 2 = 0 相切．（1）求椭圆C 的方程．（2）若过点M 2,0 的直线与椭圆 C 相交于A，B 两点，设P 为椭圆上一点，且满足0A+ 0B=t0P（0为坐标原点），当P A一P B＜2 5 时，求实数t 的取值范围．324. 已知椭圆x + yα2 b2= t αt b t 0 与抛物线y2 = 2hx h t 0 共焦点F2，抛物线上的点M 到y 轴5的距离等于IMF2I 一 t，且椭圆与抛物线的交点Q 满足IQF2I =2．（1）求抛物线的方程和椭圆的方程；（2）过抛物线上的点P 作抛物线的切线y = 直x + m 交椭圆于A 、B 两点，求此切线在x 轴上的截距的取值范围．t 5 2 2 2 225. 椭圆 C 2 x +y= t α t b t 0 的左右焦点分别为 F ，F ，点 P 在椭圆 C 上，满足 PF· F F =α20，I P F t I = b 2 t 2，I P F I = ． 55t t 2（1）求椭圆 C 的方程．（2）设过点 D 0,2 的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 M ，N ，且 N 在 D ，M 之间，设 D N =λD M ，求 λ 的取值范围．26. 已知抛物线 E 2y 2 = 2h x h t 0 的焦点为 F ，过 F 且倾斜角为 π的直线 l 被 E 截得的线段长为 8．4（1）求抛物线 E 的方程；（2）已知点 C 是抛物线上的动点，以 C 为圆心的圆过 F ，且圆 C 与直线 x =一 t相交于 A ，B 两2 点，求 FA · FB 的取值范围．27. 已知椭圆x+ y = t α t b t 0 的离心率为 t ，且经过点 P t, F ，F 分别α2 b 2 2 t 2作直线 l t 与 l 2，l t 交椭圆于 A ，B 两点，l 2 交椭圆于 C ，D 两点，且 l t 1- l 2． （1）求椭圆的标准方程；（2）求四边形 ABCD 的面积 S 的取值范围．5 22+ y2 = t 中，过坐标原点0 作两条互相垂直的射线0A，0B 与C 分别交于28. 如图，在椭圆C：x4A，B 两点．（1）已知直线AB 的斜率为直，用直表示线段AB 的长度；（2）过点0 作0M 1- AB 于M 点，点P 为椭圆C 上一动点，求线段PM 长度的取值范围．x2 y229.已知椭圆C t2α2+b2=tαt b t0的焦距为4，左、右焦点分别为F t，F2，且C t与抛物线C22y2=x的交点所在的直线经过F2．（1）求椭圆C t 的方程；（2）分别过F t，F2 作平行直线m，η，若直线m 与C t 交于A，B 两点，与抛物线C2 无公共点，直线η与C t 交于C，D 两点，其中点A，D 在x 轴上方，求四边形AF t F2D 的面积的取值范围．DM DP30. 在圆 x 2 + y 2 = t 上任取一点 P ，过点 P 作 x 轴的垂线段 PD ，D 为垂足，点 M 在线段 DP 上，满足 = 2，当点 P 在圆上运动时，设点 M 的轨迹为曲线 C ．3（1）求曲线 C 的方程；（2）若直线 y = m x + 5 上存在点 Q ，使过点 Q 作曲线 C 的两条切线互相垂直，求实数 m 的取值范围．31. 已知焦点在 y 轴上的椭圆 E 的中心是原点 0，离心率等于 3，以椭圆 E 的长轴和短轴为对角线2的四边形的周长为 4 5，直线 l 2y = 直x + m 与 y 轴交于点 P ，与椭圆 E 交于 A ，B 两个相异点，且 A P = λP B． （1）求椭圆 E 的方程；（2）是否存在 m ，使 0 A + λ0 B = 40 P ?若存在，求 m 的取值范围；若不存在，请说明理由．2 2 332. 如图，已知抛物线 x 2 = y ，点 A 一 t P x,y 一 t ＜ x B2作直线 AP 的垂线，垂足为 Q ．（1）求直线 AP 斜率的取值范围； （2）求 IPAI · IPQI 的最大值．33. 已知椭圆 E 的中心在原点，焦点 F t ，F 2 在 y 轴上，离心率等于 段 PF t 为直径的圆经过 F 2，且 t P F t · P F 2 = t ． （1）求椭圆 E 的方程；P 是椭圆 E 上的点，以线（2）做直线 l 与椭圆 E 交于两个不同的点 M ，N ，如果线段 MN 被直线 2x + t = 0 平分，求 l的倾斜角的取值范围．34. 设函数 f x = x 一 t · Ix 一 αI α ε R ．（1）当 α = 2 且 x 2: 0，关于 x 的方程 f x = 直x 一 2有且仅有三个不同的实根 x ，x ，x ，若tt = max x t ,x 2,x 3 ，求实数 t 的取值范围；t 2 3（2）当 α ε 一 t 时，若关于 x 的方程 f x = 2x 一 tα 有且仅有三个不同的实根 x ，x ，x ，2求 x t + x 2 + x 3 的取值范围．t23MP PNMQQN3 2 35. 如图，已知椭圆 x + y= t α t b t 0 的上顶点为 A ，左右顶点为 B ，C ，右焦点为 F ， AF =α2 b 23，且 A ABC 的周长为 t4．（1）求椭圆的离心率；（2）过点 M 4,0 的直线 l 与椭圆相交于不同的两点 P ，Q ，点 N 在线段 PQ 上，设 λ ==，试判断点 N 是否在一条定直线上，并求实数 λ 的取值范围．36. 已知圆 02x 2 + y 2 = 4，点 A 一 3,0 ，B 的轨迹为 C 2．,0 ，以线段AP 为直径的圆 C t 内切于圆 0，记点 P （1）证明 AP + BP 为定值，并求 C 2 的方程；（2）过点 0 的一条直线交圆 0 于 M ，N 两点，点 D 一 2,0 ，直线 DM ，DN 与 C 2 的另一个交S t点分别为 S ，T ，记 A DMN ，A DST 的面积分别为 S t ，S 2，求 2的取值范围．2 S2 2 37. 已知点 F t,0 ，点 A 是直线 l t 2x =一 t 上的动点，过 A 作直线 l 2，l t 1- l 2，线段 AF 的垂直平分线与 l 2 交于点 P ． （1）求点 P 的轨迹 C 的方程；（2）若点 M ，N 是直线 l t 上两个不同的点，且 A PMN 的内切圆方程为 x 2 + y 2 = t ，直线 PF 的斜率为 直，求I 直IIMNI的取值范围．38. 设椭圆 x + y α23= t α t 的右焦点为 F ，右顶点为 A ．已知 t + t0F0A= 3t，其中 0 为原点，FAt 为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B （B 不在 x 轴上），垂直于 l 的直线与 l 交于点 M ，与 y轴交于点 H ．若 BF 1- HF ，且 LM0A 三 LMA0，求直线 l 的斜率的取值范围．33x2 y239.在直角坐标系中，椭圆C t2α2b2=tαt b t0的左、右焦点分别为F t，F2，其中F2也是抛5物线C22y2=4x的焦点，点P为C t与C2在第一象限的交点，且I P F2I=．（1）求椭圆的方程；（2）过F2 且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于M，N 两点，若线段0F2 上存在定点T t,0 使得以TM，TN 为邻边的四边形是菱形，求t 的取值范围．40. 如图，已知线段AE，BF 为抛物线C2x2 = 2hy h t 0 的两条弦，点E，F 不重合．函数y =αx αt 0 且α芋t 的图象所恒过的定点为抛物线C 的焦点．（1）求抛物线C 的方程；（2）已知A 2,t ，B 一AE 与BF 的斜率互为相反数，且A，B 两点在直线EF 的两侧．①问直线EF 的斜率是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由．②求0E· 0F的取值范围．t52 2 2 41. 已知椭圆 C 2 x+y= t α t b t 0 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直α2b 2线 x + y + t = 0 与以椭圆 C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切． （1）求椭圆 C 的方程；（2）过点 M 2,0 的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 S 和 T ，若椭圆 C 上存在点 P 满足 0 S +0T = t 0 P （其中 0 为坐标原点），求实数 t 的取值范围．42. 已知椭 C 2 x+yα2b 2= t α t b t 0 的离心率为 4，F t ，F 2 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上任意一 点，且 A PF t F 2 的周长是 8 + 2 t5．（1）求椭圆 C 的方程；（2）设圆 T 2 x 一 t 2 + y 2 = 4，过椭圆的上顶点作圆 T 的两条切线交椭圆于 E ，F 两点，当圆心t 在 x 轴上移动且 t ε t,3 时，求 EF 的斜率的取值范围．243. 已知椭圆C 与双曲线y2 一x2 = t 有共同焦点，且离心率为t．3（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若A 为椭圆C 的下顶点，M，N 为椭圆C 上异于A 的两点，直线AM 与AN 的斜率之积为t．（i）求证：直线MN 恒过定点，并求出该定点坐标；（ii）若0 为坐标原点，求0M· 0N的取值范围．44. 已知函数f x = e x 2x 一 m m εR ．（1）若函数f x 在一t, + CX) 上单调递增，求实数m 的取值范围；（2）当曲线y = f x 在x = 0 处的切线与直线y = x 平行时，设h x = f x 一αx + α，若存在唯一的整数x0 使得h x0 ＜ 0，求实数α的取值范围．2 2 45. 已知曲线 C 上的点到点 F 0,t 的距离比它到直线 y =一3 的距离小 2． （1）求曲线 C 的方程；（2）过点 F 且斜率为 直 的直线 l 交曲线 C 于两点 A ，B ，交圆 F2x 2 + y 一 t 2 = t 于 M ，N 两点（A ，M 两点相邻）．① 若 B F = λB A ，当 λ ε t2时，求 直 的取值范围；2 3② 过 A ，B 两点分别作曲线 C 的切线 l t ，l 2 ，两切线交于点 P ，求 A AMP 与 A BNP 面积之积的最小值．46. 已知椭圆 C 2 y +x= t α t b t 0 的上下两个焦点分别为 F ，F ，过点 F 与 y 轴垂直的直线α2b 2t 2 t3交椭圆 C 于 M ，N 两点，A MNF 2 的面积为 3，椭圆 C 的离心力为 2 ．（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）已知 0 为坐标原点，直线 l 2y = 直x + m 与 y 轴交于点 P ，与椭圆 C 交于 A ，B 两个不同的点，若存在实数 λ，使得 0 A + λ0 B = 40 P ，求 m 的取值范围．47. 已知函数 f x = xlnx ，g x = αx 2 + x 一 α α ε R ．2（1）若直线 x = m m t 0 与曲线 y = f x 和 y = g x 分别交于 M ，N 两点．设曲线 y = f x 在点 M 处的切线为 l t ，y = g x 在点 N 出的切线为 l 2． （ⅰ）当 m = e 时，若 l t 1- l 2，求 α 的值； （ⅱ）若 l t ∥l 2，求 α 的最大值； （2）设函数 h x = f x 一 g x 在其定义域内恰有两个不同的极值点 x t ，x 2 ，且 x t ＜ x 2 ．若λ t 0，且 λlnx 2 一 λ t t 一 l nx t 恒成立，求 λ 的取值范围．2 2 2 48. 设 0 ＜ () ＜ π，曲线 x 2sin() + y 2cos() = t 和 x 2cos() 一 y 2sin() = t 有 4 个不同的交点．2（1）求 () 的取值范围；（2）证明这 4 个交点共圆，并求圆半径的取值范围．49. 在平面直角坐标系 x 0y 中，椭圆 C 2 x +y = t α t b t 0 的离心率是 3，且直线 l 2 x + y= t被椭圆 C 截得的弦长为 5． （1）求椭圆 C 的标准方程；α2b 22t αb （2）若直线 l t 与圆 D 2x 2 + y 2 一 t x 一 4y + m = 0 相切： （i ）求圆 D 的标准方程；（ii ）若直线 l 2 过定点 3,0 ，与椭圆 C 交于不同的两点 E ，F ，与圆 D 交于不同的两点 M ， N ，求 IEFI · IMNI 的取值范围．50. 已知双曲线 C 2 x一y= t 的焦距为 3 2，其中一条渐近线的方程为 x 一 2y = 0．以双曲线 C 的α2 b 2实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为 E ，过原点 0 的动直线与椭圆 E 交于 A ，B 两点． （1）求椭圆 E 的方程；（2）若点 P 为椭圆的左顶点，P 㨸 = 2㨸 0 ，求 㨸 A+ 㨸 B的取值范围； （3）若点 P 满足 PA = PB ，求证 t0A 2 + t 0B2+ 2 0P 2为定值．2 222t 直222 22PP2x 0答案1. （1） 根据题意，因为以 F t F 2 为直径的圆与椭圆 C 有且仅有两个交点，2所以 b = c = t ，即 α = = ，即椭圆C 的方程为 x2+ y 2 = t ． （2） 根据题意，过点 F t 且不与坐标轴垂直的直线 l 交椭圆于 A ，B 两点， 即直线 AB 的斜率存在， 设直线 AB 的方程为 y = 直 x + t ，与 x 2+ y 2 = t 联立，得 t + 2直2 x 2 + 4直2x + 2直2 一 2 = 0，11 t 0，有 直2 + t t 0，解之，得 直 εR ， 设 A x t ,y t ，B x 2,y 2 ，AB 的中点为 M x 0,y 0 ，4直22直2一2x t + x 2 =一 t +2直2，x t · x 2 = t +2直2，2直y t + y 2 = 直 x t + t + 直 x 2 + t = t +2直2，2即 M 一2直t +2直2设直线 AB 的垂直平分线方程为 y 一 直 =一t +2直2令 y = 0，得 x = 一直2， t +2直因为 x ε 一 t,0 ，所以 0 ＜ 直24AB ==＜ t ， 2=2 2·t = t ε,2 ,即线段 AB 长的范围是,2 ．2. （1） 由题意可知 2α = 2 ，则 α = ，设 P x 0,y 0 ，因为直线 PA 与 0M 的斜率之积恒为 一 t，2y 0所以2×y 0=一 t，x 0+ 2 2 x 0一 222 所以 02+ y 2 = t ，所以 b = t ，2故椭圆 C 的方程 x2 + y 2 = t ；（2） 设直线 l ：y = 直 x + t ，A x t ,y t ，B x 2,y 2 ，直 x + t ,+ y 2 = t,得 2直2 + t x 2 + 4直2x + 2直2 一 2 = 0， 则 11 t 0，有 直2 + t t 0 解之得 直 ε R ，x + x =一4直22，x x =b 2 +c 2 22直2一2，2直2+tt + 直2t + 直222 x t x 2 x t — x 2 一 x t x x 2 + x t t 2 t 2 2则 y + y = 直 x + x + 2 = 2直，2直 +t2所以 AB 中点 Q 一2直2直2+t QN 直线方程为：y 一=一=一 t x 一2直，2直2+t2 直2直2+t所以 N 一直,0 ，由已知得 一 ＜一＜ 0，2直2+t所以 0 ＜ 2直2 ＜ t ，即 t＜t4＜ t ，2直2+t所以IABI = 22直2+t· 2= =2 2 2222= 因为 t＜tt+,＜ t ，2 2直2+t所以 IABI ε,2 ，故线段 AB 长的取值范围是,2 ．3. （1） 将 y 2 = x 代入 x 4 + y 2 = γ2 ，并化简得x 2 一 7x + tt 一 γ2 = 0, tt ①E 与 M 有四个交点的充要条件是方程①有两个不等的正根 x t ,x 2 ．由此得11 = 一 7 2 一 4 tt 一 γ2 t 0, x t + x 2 = 7 t 0, x t x 2 = tt 一 γ2 t 0h解得又 γ t 0 ，所以 γ 的取值范围是 ,4 ht5 ＜ γ2 ＜ tt,4（2） 不妨设 E 与 M 的四个交点的坐标为：A x t , 则直线 AC,BD 的方程分别为,B x t , 一 y 一 = ,C x 2, 一 x 一 x,D x 2, h· x 一 x t ,解得点 P 的坐标为y + = 2 tx 2 一 x t· x 一 x t ,设 t = ，由 t =及（1）知,0 ht + 直2x t + x 2 2 一 4x t x 22 x t x 2 x t x 2 tt 一 γ2x t x270 ＜t＜h2x 22tS = 2 · 2 则S 2 = x t + x 2 + 2 + 2 ·x 2 一 x t ht + x 2 2 一 4x t x 2 h将 x t + x 2 = 7 ， = t 代入上式，并令 f t = S ，得f t = 7 + 2t 2 · 7 一 2t 0 ＜ t ＜h求导数，令 f' t = 0 ，解得f' t =一 2 2t + 7 tt 一 7 h7 7当 0 ＜ t ＜ 7时，t当 t = 7时，t当 7 ＜ t ＜ 7时，t = t 一 2舍去 hf ' t t 0㜵f ' t = 0㜵t2f ' t ＜ 0h故当且仅当 t = 7 时， f t 有最大值，即四边形 ABCD 的面积最大，故所求的点 P ,0 ．t4. （1） 因为 f' x = t一 2α，x t 0，x因为函数 y = f x 存在与直线 2x 一 y = 0 垂直的切线， 所以 f' x =一 t在 0, + CX) 上有解， 2即 t一 2α =一 t 在 0, + CX) 上有解，x 也即 x = 24α一t2 在 0, + CX) 上有解，所以24α一t t 0，得 α t t ，4故所求实数 α 的取值范围是CX) ． （2） 因为 g x = f x+ x = t x 2+ lnx 一 2αx ， 22因为 g ' x = x 一2αx +t x①当 一 t 三 α 三 t 时，g x 单调递增无极值点，不符合题意，②当 α t t 或 α ＜一 t 时，令 g' x = 0， 设 x 2 一 2αx + t = 0 的两根为 x t 和 x 2， 因为 x t 为函数 g x 的极大值点， 所以 0 ＜ x t ＜ x 2，又 x t x 2 = t ，x t + x 2 = 2α t 0， 所以 α t t ，0 ＜ x t ＜ t ， 所以 g ' x =x t 2一2αx t +t= 0，x t x t x 2 x t x 232 2则 α =x t 2+t ， 2x t 要证明 lnxt + tt α，x tx t2只需要证明 x t lnx t + t t αx t 2， 因为x t lnx t + t 一 αx t 2 = x t lnx t 一 x t 3+xt2 =一 x t3 一 tx + x lnx + t,0 ＜ x ＜ t,2 2 tt t t令 h x=一 t x 3 一 tx + xlnx + t ，x ε 0,t ，22所以 h' x =一 3 x 2 + t，2 2 记 P x =一3 x 2 + t+ lnx ，x ε 0,t ，222 则 P ' x =一 3x + t=t 一3x ，x x当 0 ＜ x ＜ 3 时，h' x t 0， 3当 3＜ x ＜ t 时，h' x ＜ 0，3 所以 h x max = h所以 h' x ＜ 0，=一 t + ln＜ 0，3所以 h x 在 0,t 上单调递减， 所以 h x t h t = 0，原题得证． 5. （1） 设 F t 一 c,0 ，F 2c,0 ，=, 所以2一 c = 2 一 t, α = 2,c = t, 所以 b 2 = α2 一 c 2 = t ，2所以椭圆方程为 x2 + y 2 = t ．（2） 当直线 l 斜率存在时：设 M x t ,y t ，N x 2,y 2 ，直线 l 为：y = 直 x 一 t ， 2代入 x2 得：x 2+ y 2 = t ，+ 直2 x 一 t 2 = t ，整理得： t + 2直2 x 2 一 4直2x + 2直2 一 2 =0， 由题意 11 t 0，4直22直2一2所以 x t + x 2 = 2直2+t ，x t x 2 = 2直2+t ， 所以232 2 22 2 F t M· F t N = x t + t,y t · x 2 + t,y 2= xt x 2 + x t + x 2 + t +直2 x t 一 t x 2一 t= t + 直2 x t x 2 + t 一 直2 x t + x 2 + t + 直2 2 2= t + 直 2 + t 一 直t + 直2 = 7直 一t2直2+t2直2+t2直2+t直2+t 一t= 222直2+tt= 7一22,2直2+t因为 t + 2直2 2: t ，所以 F t M · F t N ε 一当直线 l + y 2 = t, y =± 2 ，所以 M t,N t, 一所以 F t M · F t N = 2,综上，F t M · F t N ε 一 t , · 2, 7 ．2 = 7，2 6. （1） 依题意， t+t= t ，c= t，α2 = b 2 + c 2，解得 α = 2，b = ，c = t ，故椭圆 C 的标准方程为 x +yα2= t ．4b 2 α 243 （2） 依题意，直线 PQ 过,0 ．①当直线 PQ 的斜率不为 0 时，可设其方程为 x = my + t ， 2= my + t,联立2+ y = t, 3消去 x 得 4 3m 2 + 4 y 2 + t2my 一 45 = 0，3m3m设点 P x t ,y t ，Q x 2,y 2 ，R x 0,y 0 ，直线 AR 的斜率为 直，故 y t + y 2 =一 3m 2+4，y 0 =一 当 m = 0 时，直 = 0，当 m 芋 0 时，直 = t，4m+ 4因为 4m +4= 4 m + 4m 2: 8，故 0 ＜t三 t，mm4 m + 48m当且仅当 4 m = 4，即 m = t 时等号成立． m 故 0 ＜ 直 三 t，故 一 t直 三 t直 芋 0．888②当直线 PQ 的斜率为 0 时，线段 PQ 的中点 R 与坐标原点重合，AR 的斜率为 0． 综上所述，直线 AR 的斜率的取值范围为 一 t , t．8 8227. （1） 因为椭圆 E ：x+ yα2 b 2= t α t b t 0 与直线 x + 2y 一 4 = 0 相切， 联立 2x + 2y 一 4 = 0, b 2x 2 + α2y 2 = α2b 2, 整理得 b 2 + t α2 x 2 一 2 2α2x + 4α2 一 α2b 2 = 0，2t2 m 一 2 2 + η22 2 2 2因为椭圆 E ：x + y = t α t b t 0 过点 ,t ，所以 2 + t= t , tt ② α2 b 2 α2 b 2 由 ①② 得 α2 = 4，b 2 = 2， 所以椭圆 E 的方程：x+ y 42= t ．（2） 由（t ）得 M 一 2,0 ，N 2,0 ，设 P m,η ， 因为 IPMI ，IP0I ，IPNI 成等比数列， 所以2IP0I 2 = IPNI · IPMI t m 2 + η2 =· t m 2 = η2 + 2, 因为 P M = 一 2 一 m, 一 η ，P N = 2 一 m, 一 η ，所以 P M · P N = m 2 + η2 一 4 = 2η2 一 2． 因为 P 在椭圆 E 内部，所以 0 三 η2 ＜ 2， 所以 一 2 三 P M · P N ＜ 2． 即 P M · P N 的取值范围为 一 2,2 ． 8. （1） 由题意，得一 b 2 = 3, 3解得 α = 2，b = t ．2 所以椭圆 C 的方程是 x 4+ y 2 = t ． + 4b 2= t, （2） 由直 x 一 t ,消去 y ，得+ y 2 = t,设 A x t ,y t ，B x 2,y 2 ，则有t + 4直2 x 2 一 8直2x + 4直2 一 4 = 0h8直2x t + x 2 = t + 4直2 , 4直2 一 4 x t x 2 = t + 4直2 ,从而线段 AB 的中点坐标为一 2直y t + y 2 = 直 x t + x 2 一 2 =t + 4直2h于是，线段 AB 的垂直平分线方程为y 一一 直t + 4直2 =, m + 2 2 + η2令y = 0，则得,0 ，又点P t,0 ，所以3 3 3根据弦长公式，得PQ = t 一3直2t + 4直2t + 直2 = t + 4直2 hAB=从而IABI IPQI = 4 t + 直2 t + 3直2 t + 4直2t + 直2t + 4直2由 直 芋 0，得 t ＜ 3 一 2t +直2＜ 3． 因此，IABI 的取值范围为 4,4 ．IPQI9. （1） 易知 α = 2，b = t ，c = 设 P x,y ，则，所以F t 一 ,0 ，F 2 ,0 ，P F t · P F 2 = 一 3 一 x, 一 y · = x 2 + y 2 一 3x 2— x , 一 y= x 2 + t 一 4 32 一 8 h 因为 x ε 一 2,2 ，故当 x = 0，即点 P 为椭圆短轴端点时，P F t · P F 2 有最小值 一 2；当 x =± 2，即点 P 为椭圆长轴端点时，P F t · P F 2 有最大值 t ．（2） 显然直线 x = 0 不满足题设条件，可设直线 l 2y = 直x + 2，A x t ,y t ，B x 2,y 2 ，联立直x + 2, + y 2 = t, 消去 y ，整理得 直2由 11 = 4直 2 一 4 直2 x 2 + 4直x + 3 = 0，所以 4直 x t + x 2 =一 直2 + × 3 = 4直2 一 3 t 0 得t ,x t · x 2 = 43t h 直2 +43 333 32+ 一直 +t t 0，即 直 ＜ 4，所以 10. （1） 椭圆 E 的方程可以写成 x2 t22又0o ＜ LA0B ＜ t0o ¢=> cosLA0B t 0¢=> 0 A · 0 B t 0,所以0 A · 0B = x t x 2 + y t y 2 t 0h 又y t y 2 = 直x t + 2 直x 2 + 2= 直2x t x 2+ 2直 x t + x 2 + 43直2= + 直2 + t 4 一 8直2+ 4 直2 + t4 一 直2 + t = t , 直2 +43 2 t t 直2+ 直2+一 2 ＜ 直 ＜ 2 tt ②故由①，②得一 2 ＜ 直 ＜一2或 ＜ 直 ＜ 2h22t + y 2 = t ，焦点 m,0 在 x 轴上，所以 α2 = t ，b 2 = t ，c 2 = α2 一 b 2 = t t = = 3，求得 m = t．mm4（2） 设椭圆 E 内接等腰直角三角形的两直角边分别为 BA ，BC ，设 A x t ,y t ，C x 2,y 2 ，显然 BA与 BC 不与坐标轴平行，且 直BA · 直BC =一 t ＜ 0． 所以可设直线 BA 的方程为 y = 直x + t 直 t 0 ，则直线 BC 的方程为 y =一 tx + t ，由mx 2 + y 2 = t,消去 y 得到 m + 直2 x 2 + 2直x = 0，所以 x = 一2直，求得 BA =m+直t 一 0 =直y = 直x + tBC=× x 2 一 0 因为 A ABC 为以 B 0,t 为直角顶点的等腰直角三角形， 所以 BA = BC ，22+t m 直3 一 直2 + 直 一 m = 0 t m 直3 一 m 一 直2 一 直 = 03 m+直m + 一2因为t m直3 一t 一直2 一直= 0t m 直一t 直2 + 直+ t 一直直一t = 02 2t 722所以直= t 或m直2 + m 一t 直+ m = 0，设f 直= m直2 + m 一t 直+ m．因为以B 0,t 为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形恰有三个，所以关于直的方程m直2 + m 一t 直+ m = 0 有两个不同的正实根x t，x2，且不为t，f t 芋0 t m + m 一t + m 芋0 t m 芋t ,3x t+x2t0t一所以m一tmt 0 t 0 ＜ m ＜t,x t · x2 t 0 t t t 0,恒成立,11t0t11= m 一t2一4m2t0t一t＜ m ＜t,3所以实数m的取值范围是11. （1）由椭圆C 的焦距2c =2，解得c=t，因为点P t,所以tα2在椭圆C 上，= t，解得α2 = 4，b= 3，2 2所以椭圆C 的标准方程：x + y4 3= t．（2）设A x t,y t ，B x2,y2 ，= mx + t,联立+ y = t 得3 + 4m3x2 + 8tmx + 4t2一t2 = 0，11 = 8tm 2 一 4 3 + 4m2 4t2 一t2 t 0，化简得3 + 4m2 t t2．一8mt4t2一t2x t + x2 =3+4m2，x t x2 =3+4m2，假设0A· 0B= 0 成立，所以x t x2 + y t y2 = 0，x t x2 + mx t + t mx2 + t = 0，t + m2 x t x2 + tm x t + x2 + t2 = 0，化简得7t2 = t2 +t2m2，代入3 +4m2 t t2 中得t2 t 3．4因为7t2 = t2 + t2m2 2: t2，所以t2 2: t2，7即t 2: 2 2t，或t 三一2 2t．7 7所以存在实数t，使得0A· 0B= 0 成立，实数t 的取值范围为一 CX), 一12. （1）由题意可得t = c = 3，u , + C X) ．α3又圆0 的方程为x2 + y2 = b2，因为直线l2x 一y + 2 = 0 与圆0 相切，b = = ，由α2 = 3c2 = 3 α2 一 b2 ，即α2 = 3．23 33 一2 3直2t +直222 2 2 2 2 22 2所以椭圆 C 的方程为 x +y= t ．32 （2） 由（t ）得知圆的方程为 x 2 + y 2 = 2，A 一 ,0 ， 直线 m 的方程为：y = 直 x + ．设 R x t ,y t ，S x 2,y 2 ，x 2 + y 2 = 2, 由 y = 直 x + 得 t + 直2 x 2 + 23直2一2直2x + 3直2 一 2 = 0，x t + x 2 =，x t x 2 = t +直2 ， 由 11 = t 2直4 一 4 t + 直2 3直2 一 2 t 0 得一 因为 A 0RS 是钝角三角形，所以＜ 直 ＜ , tt ①0R · 0 S= x t x 2 + y t y 2= x t x 2 + 直2 x t += 4直 一2 ＜ 0h t +直2x 2 + 一 2＜ 直 ＜ 2 , tt ②22由 A ，R ，S 三点不共线，知 直 芋 0, tt ③由 ①，②，③，得直线 m 的斜率 直 的取值范围是 一 2,0 u 0,2 13. （1） 因为 f x t + g x 2 2: m ， 所以 f x t 2: m 一 g x 2 ，所以 f x t min 2: m 一 g x ， 所以 f 一 g x 2 max ， 当 x ε时，f' x t 0，函数 f x 在 0,π2上单调递增，所以 f x min = f 0 =一 t ， 因为 g x = x cosx 一 e x ， 所以 g' x = cosx 一 xsinx 一 因为 x ε 0, π2 e x ， 所以 0 三 cosx 三 t ，xsinx 2: 0， 所以 g' x ＜ 0，e x 2: ，所以函数 g x 在 0, π2 上单调递减，所以 g x max = g 0 =一 ， 所以 一 t 2: m + ，所以 m 三一 t 一 ， 所以实数 m 的取值范围为 一 C X), 一 t 一3 2 3 32 2（2）x t一t，要证：f x 一g x t 0，只要证f x t g x ，2x 2 2x 22 t 22 只要证 e x sinx + t x + t cosx ， 由于 sinx + xt 0，x + t t 0， 只要证ex+t t cosx ，sinx+ 2x下面证明 x t 一 t 时，不等式 ex+tt cosx sinx+ 2 成立， 令 h x =ex+t所以 h' x =，x t 一 t ，x t一 t ，当 x ε 一 t,0 时，h' x ＜ 0，h x 单调递减， 当 x ε 0, + CX) 时，h' x t 0，h x 单调递增，所以 h x min = h 0 = t ，令 直 = cosx ，其可看作点 A sinx,cosx 与点 B 一 ,0 连线的斜率，sinx+ 2所以直线 AB 的方程为 y = 直 x + ， 由于点 A 在圆 x 2 + y 2 = t 上， 所以直线 AB 与圆相交或相切，当直线 AB 与圆相切且切点在第二象限时，直线 AB 的斜率取得最大值为 t ， 所以当 x = 0 时，直 = 2＜ t = h 0 ，x 芋 0 时，h x t t 2: 直，2 综上所述，当 x t 一 t ，f x 一 g x t 0． 14. （1） 因为椭圆 C 过点 所以 t+ t= t h tt ①α24b 2 因为椭圆 C 关于直线 x = c 对称的图形过坐标原点， 所以 α = 2c ． 因为 α2 = b 2 + c 2， 所以 b 2 = 3α2, tt ②4 由 ①② 得 α2 = 4，b 2 = 3， 所以椭圆 C 的方程为 x +y= t ．4 3 （2） 依题意，直线 l ,0 且斜率不为零，故可设其方程为 x = my + t． = my + t,由2+ y= t32消去 x ，并整理得 4 3m 2 + 4 y 2 + t2my 一 45 = 0．设 E x t ,y t ，F x 2,y 2 ，M x 0,y 0 ， 所以 y + y =一 ， 3m +4y t +y 2所以 y 0 =2=一 t 所以 x 0 = my 0 + 2 = 3m 2+4， 所以 直 = y 0 = m．x 0一24m 2+42 223t t+m 2mt + m 2 t + m 2 0 2② 当 m 芋 0 时，直 = t ，4m+4因为 4m +4m所以 0 ＜t4m+ 4m= 4 m + 4m三 t，82: 8，m所以 0 ＜ 直 三 t ，8 所以 一 t三 直 三 t 且 直 芋 0．8 8综合 ①② 可知，直线 MA 的斜率 直 的取值范围是 一 t , t．8 815. （1） 由已知可得：圆心到直线 x + y + b = 0 的距离为 t ， 即 b= t ，2 所以 b = ， 又椭圆 C 经过点所以 t+4= t ，得到 = ，α2 3b 2 22所以椭圆 C 的标准方程为 x + y32= t ．（2） 设 Q x 0,y 0 ，M x t ,y t ，N x 2,y 2 ， 0Q 的方程为 x = my ， 则 MN 的方程为 x = my +x = my, + y 2= t,22 x 2 =tm , 得2m 2+3 y 2 = t ,2m 2+3x 2 =即2tm 22m 2+3 ,ty 0 = 2m 2+3 ,所以 0Q =·y 022 由+ y = t, 得 2m2+ 3 y + 4my 一 4 = 0， 所以 11 t 0，解之得 m 为任意实数．4m4y t + y 2 = 2m 2+3，y t y 2 =一 2m 2+3， MN = t + m 2 · y t 一 y 2 =t + m 2 · y t + y 2 2 一 4y t y 2 ==4 3 2m t + m 22 2 2MN 0Q2 t32 2 2 t + t 28 2 t t 2t 2 + t 8 2 8 2s 8 2 2 t 所以== 2= 2= 2因为 t + m 2 2: t ， 所以 0 ＜tt+m 2即 2 ＜2 +t三 t ， 三 3，即 t 三 t t+m 2＜ t，3 2+ t2t+m 2所以2 t 三 3＜ 2，即 的取值范围为,2 ． 16. （1） 依题意得 2c = 4，则 F t 一 2,0 ，F 2 2,0 ； 所以椭圆 C t 与抛物线 C 2 的一个交点为 P 2, ， 于是 2α = IPF t I + IPF 2I = 4 又 α2 = b 2 + c 2，解得 b = 2．，从而 α = 2 ． x 2y 2所以椭圆 C t 的方程为 8 + 4= t ． （2） 依题意，直线 l 的斜率不为 0，设直线 l ：x = ty 一 2，x = ty 一 2, 由 y 2 = x, 消去 x 整理得 y 2 一 ty + 2 = 0， 由 11 = 一 t 2 一 8 ＜ 0 得 t 2 ＜8． x = ty 一 2,由 x 2 + 2y 2 = 8,消去 x 整理得 t 2 + 2 y 2 一 4ty 一 4 = 0， 4t4设 A x t ,y t ，B x 2,y 2 ，则 y t + y 2 = t 2+2，y t y 2 =一 t 2+2，所以IABI = Iyt 一 y 2I =4F 2 到直线 l 的距离tt 4 故 S AABF 2 = 2 IABId = 2令 = s ε t,3 ．则 S AABF 2 =t 2= s 2+t = s+εs，MN 0QMN 0Qt + t 2y t + y 22 一 4yt y 23 3 3 3332t 220 2 3 2 2217. （1） 设椭圆 C 的半焦距是 c ．依题意，得 c = t ．由题意焦距是椭圆 C 上一点 P 到两焦点 F t ，F 2 距离的等差中项，得 4c = 2α， 所以 α = 2，所以 b 2 = α2 一 c 2 = 3． 故椭圆 C 的方程为 x + y = t ．43 （2） 当 MN 1- x 轴时，显然 y 0 = 0．当 MN 与 x 轴不垂直时，可设直线 MN 的方程为 y = 直 x 一 t 直 芋0 ． 代入椭圆方程，消去 y 整理得 3 + 4直2 x 2 一 8直2x + 4 直2 一 3 = 0． 设 M x t ,y t ，N x 2,y 2 ，线段 MN 的中点为 0 x 3,y 3 ，则 x + x = 8直2．3+4直 4直2一3直所以 x 3 = 3+4直2，y 3 = 直 x 3 一 t = 3+4直2， 所以线段 MN 的垂直平分线方程为 y +3直=一3+4直在上述方程中令 x = 0，得 y = 直= t． 3+4直当 直 ＜ 0 时，3+ 4直 三一 4直+4直直；当 直 t 0 时，3+ 4直 2: 4 ．直所以 一t2三 y 0 ＜ 0 或 0 ＜ y 0 三 t2． 综上，y 0 的取值范围是 一18. （1） 设动圆 P 的半径为 γ，则 P0t = γ + t ， P02 = 3 一 γ， 所以 P0t + P02 = 4，所以 P 的轨迹为椭圆，2α = 4，2c = 2， 所以 α = 2，c = t ，b = ，所以椭圆的方程为 x+ y 43= t x 芋一 2 ．（2） 设 M 点坐标为 x 0,y 0 ，直线 l t 的方程为 y = 直 x + 2 ， 代入 x +y= t ，可得， 3 + 4直2 x 2 + tt 直2x + tt 直2 一 t 2 = 0，4 3 tt 直2一t 2t 一8直2 x 0 × 一 2 =所以 AM =3+4直2 ，所以 x 0 =3+4直2，+ 2 = ，2同理 AN所以 S = t AM × AN = t× ，S2 2令 直2 + t = t t t ，S2直= 72 ，所以 Sε 0,t ．直19. （1） 由已知得直,= t ,t 2t +t 一tt2= b 2 + c 2h322220 022α = 2, 解得 b = 3,c = t h2 2 所以椭圆 E 的方程为 x + y43= t ．（2） 设直线 l 的方程为 y = 直x + m 直 芋 0 ，A x t ,y t ，B x 2,y 2 ． y 2联立方程+ = t, 3直x + m h整理得 4直+ 3 x 2 + 8直mx + 4m 2 一 t2 = 0，此方程有两个不等实根， 所以 11 = 8直m 2 一 4 4直2 + 3 4m 2 一 t2 t 0， 整理得 4直2 一 m 2 + 3 t 0h tt ①x t +x 2 一4直m3m由根与系数的关系，可得线段 AB 的中点坐标 x 0,y 0 满足 x 0 = =，y = 直x + m = ，24直2+34直2+3所以 AB 的垂直平分线方程为 y 一3m4直2+3=此直线与 x 轴、 y 轴的交点坐标分别为,0 ，由已知得 t一直m·一m = t， 2 4直2+34直2+3 tt整理得 m 2 =直 芋 0h tt ②将 ② 代入 ① 得 4直2 + 3 t 0，整理得 4直2 + 3 4直2 一 8 直 + 3 ＜ 0，直 芋 0，解得 t＜ 直 ＜ 3， 所以 直 的取值范围为 一 3, 222 20. （1） 设椭圆 C 的方程为 + = t α t b t 0 ，半焦距为 c ．依题意 t = c = t，由右焦点到右顶α2b 2α2点的距离为 t ，得 α 一 c = t ．解得所以 b 2 = α2 一 c 2 = 3．c = t ,α = 2h所以椭圆 C 的标准方程是 x +y= t ．4 3 （2） 存在直线 l ，使得 0 A + 20 B 理由如下： 直x + m , = 0A 一 20B 成立． 由+ y = t,得33 + 4直2 x 2 + 8直m x + 4m 2 一 t 2 = 0h 11 = 8直m 2 一4 3 + 4直2 4m 2 一 t2 t0,化简得 3 + 4直2 tm 2． 设 A x t ,y t ，B x 2,y 2 ，则8直mx t + x 2 =一 3 + 4直2 ,x t x2=22m 2一t 2 3 + 4直2h2若0A+20B=0A一20B成立，即0A+20B=0A一20B，等价于0A· 0B= 0．42 2t 2 2t 2 2t 73 3 3 38 3直2b4直3 3 3 3 3 02t2 22x t x 2 + y t y 2 = 0,即x t x 2 + 直x t + m 直x 2 + m = 0,亦即化简得t +直2 · 4m 2 一 t2 3 + 4直2一 直m · 8直m 3 + 4直2+ m 2 = 0, 7m 2 = t 2 + t 2直2h将 直2 = 7m 2 一 t 代入 3 + 4直2 t m 2 中，得t23 +4 2一 t t m 2,解得3 m 2 t h4又由 7m 2 = t 2 + t 2直2 2: t 2，m 2 2: t 2，从而 m 2 2: t 2，m 2: 或 m 三一 ．所以实数 m 的取值范围是7一 C X), 一 7 7 7u , + CX) h21. （1） 设 P x 0,y 0 ，A x t ,y t ，B 一 x t , 一 y t ， y 2 + 0 = t, 2一y 2则b 2 所以 y t =一 b． 2 2一x 2 α2y+= t,b 2x 0 t2一y 2 y 0一y t y 0+y t y 0 t t ，所以 b t ，因为 直PA · 直PB = x 一x· x +x = =一 x 2一x 4α2 = 4 0 t0 t0 t 所以椭圆 C 的离心率 t == 3．2（2） 因为 t = c = 3，所以 b = t， 所以 x α+ y = t ，c =2α2b ，焦点 F 一 b,0 ，4b 2b 2t设 M N 2y = 直 x 一 b ， 联立y = 直 x 一 3b ,得 4直2 + t x 2 一 8 x 2 + 4y 2 = 4b 2直2b x + t 2直2b 2 一 4b 2 = 0， t 2直2b 2一4b 2 2设 M x t ,y t ，N x 2,y 2 ，则 x t + x 2 = ，x t x 2 =4直2+t，y t y 2 =直x t 一 b x 2 一 b =直2 x t x 2 一 b x t + x 2 + 3b 2 ， 所以 F t M · F t N ＜ 0，所以 x t + b,y t · x 2 + b,y 2= x t + 3bx t x 2 + b + y t y 22 2t 7 3。
高中数学经典题型50道(另附详细答案)(2020年10月整理).pdf
3). 因此 kPA
=
53 8−3
=
3 ，故炮击的方位角北偏东 30 。
说明：本题的关键是确定 P 点的位置，另外还要求学生掌握方位角的
基本概念。
4. 河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶 5 米时，水面宽度为 8 米，
3
一小船宽 4 米，高 2 米，载货后船露出水面的部分高 0.75 米，问 水面上涨到与抛物线拱顶距多少时，小船开始不能通行？ 解：建立平面直角坐标系,设拱桥型抛物线方程为 x2 = −2 py ( p 0) 。 将 B（4,-5）代入得 P=1.6 x2 = −3.2 y 船两侧与抛物线接触时不能通过 则 A(2,yA)，由 22=-3.2 yA 得 yA = - 1.25 因为船露出水面的部分高 0.75 米 所以 h=︱yA︱+0.75=2 米 答：水面上涨到与抛物线拱顶距 2 米时，小船开始不能通行 [思维点拔] 注意点与曲线的关系的正确应用和用建立抛物线方程 解决实际问题的技巧。．
设曲线段 C 的方程为 y 2 = 2 px( p 0)(xA x xB , y 0) ，其中 xA , xB 为
A、B 的横坐标，p = MN ，所以 M (− p ,0), N( p ,0) ，由 AM = 17, AN = 3，
2
2
得 (xA
+
p)2 2
+
2 pxA
= 17
（1）
4
(x A
3. A，B，C 是我方三个炮兵阵地，A 在 B 正东 6 Km ，C 在 B 正北偏西
30 ，相距 4 Km ，P 为敌炮阵地，某时刻 A 处发现敌炮阵地的某种
信号，由于 B，C 两地比 A 距 P 地远，因此 4 s 后，B，C 才同时发
高中数学优质试题50道(附经典解析)149
高中数学优质试题50道（附经典解析）优质试题11．已知P 是ABC ∆内任一点,且满足AP x AB y AC =+,x 、y R ∈,则2y x +的取值范围是 ___ ．解法一：令1x y AQ AP AB AC x yx yx y==++++,由系数和1x y x yx y+=++,知点Q 在线段BC 上．从而1AP x y AQ+=<．由x 、y 满足条件0,0,1,x y x y >>⎧⎨+<⎩易知2(0,2)y x +∈． 解法二：因为题目没有特别说明ABC ∆是什么三角形，所以不妨设为等腰直角三角形，则立刻变为线性规划问题了． 2．在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点, y 轴正半轴有3个点，将x 轴上这5个点和y 轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有 个． 答案：30个优质试题21．定义函数()[[]]f x x x =,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如:[1.5]1[ 1.3]2=-=-，,当*[0)()x n n N ∈∈，时,设函数()f x 的值域为A ,记集合A 中的元素个数为n a ,则式子90na n+的最小值为 ． 【答案】13．【解析】当[)0,1n ∈时,[]0x x ⎡⎤=⎣⎦,其间有1个整数； 当[),1n i i ∈+,1,2,,1i n =-时,[]2(1)i x x i i ⎡⎤≤<+⎣⎦,其间有i 个正整数,故(1)112(1)12n n n a n -=++++-=+,9091122na n n n +=+-,由912n n=得,当13n =或14时,取得最小值13．2． 有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两倍同学要站在一起，则不同的站法有 种． 答案：192种优质试题31．已知直线l ⊥平面α，垂足为O ．在矩形ABCD 中，1AD =，2AB =，若点A 在l 上移动，点B 在平面α上移动，则O ，D 两点间的最大距离为 ．解：设AB 的中点为E ，则E 点的轨迹是球面的一部分，1OE =，DE =所以1OD OE ED ≤+=当且仅当,,O E D 三点共线时等号成立．2． 将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个球放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球且Ａ、Ｂ两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有 种． 答案：30种优质试题41． 在平面直角坐标系xOy 中，设定点(),A a a ，P 是函数()10y x x=>图象上一动点．若点,P A之间的最短距离为满足条件的实数a 的所有值为 ． 解：函数解析式（含参数）求最值问题()222222211112222AP x a a x a x a x a a x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+-++-=+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦因为0x >，则12x x+≥，分两种情况：（1）当2a ≥时，min AP ==，则a = （2）当2a <时，min AP =1a =-2． 将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有 种． 答案：90种优质试题51．已知,x y ∈R ，则()222x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的最小值为 ．解： 构造函数1yx =，22y x =-，则(),x x 与2,y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭两点分别在两个函数图象上，故所求看成两点(),x x 与2,y y⎛⎫- ⎪⎝⎭之间的距离平方，令2220802y x mx mx m m y x =+⎧⎪⇒++=⇒∆=-=⇒=⎨=-⎪⎩所以y x =+1y x =平行的22y x=-的切线，故最小距离为2d = 所以()222x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的最小值为42． 某单位要邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有 种． 答案：140种优质试题61．已知定圆12,O O 的半径分别为12,r r ，圆心距122O O =，动圆C 与圆12,O O 都相切，圆心C 的轨迹为如图所示的两条双曲线，两条双曲线的离心率分别为12,e e ，则1212e e e e +的值为（ ）A ．1r 和2r 中的较大者B ．1r 和2r 中的较小者C ．12r r +D ．12r r -解：取12,O O 为两个焦点，即1c =若C 与12,O O 同时相外切（内切），则121221CO CO R r R r r r -=--+=-若C 与12,O O 同时一个外切一个内切，则121221CO CO R r R r r r -=---=+因此形成了两条双曲线．此时21211212212111221122r r r r e e e e r r r r +-++=-+，不妨设21rr >，则12212e e r e e += 2．某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共有 种． 答案：6种优质试题71． 已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b ab-=>>的左右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M ，与双曲线交于点N，且M 、N 均在第一象限，当直线1//MF ON 时，双曲线的离心率为e ，若函数()222f x x x x=+-，则()f e = ．解：()222,x y c M a b by xa ⎧+=⎪⇒⎨=⎪⎩1F M b k a c=+，所以ON bk a c =+，所以ON 的方程为b y x a c=+， 所以22221x y a b N b y x a c ⎧-=⎪⎛⎫⎪⇒⎨⎪=⎪+⎩又N 在圆222x y c +=上，所以222a a c c ⎛⎫⎛⎫++=所以322220e e e +--=，所以()2222f e e e e=+-=2．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间，这样的五位数的个数有 个． 答案：28个优质试题81． 已知ABC ∆的三边长分别为,,a b c ，其中边c 为最长边，且191ab+=，则c 的取值范围是 ．解：由题意知，,a c b c ≤≤，故1919101a b c c c =+≥+=，所以10c ≥又因为a b c +>，而()1991016b aa b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭所以16c <故综上可得1016c ≤<2． 从5名志愿者中选出3名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有 种． 解： 48种优质试题91．在平面直角坐标系xoy中，已知点A是半圆()224024x y x x +-=≤≤上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上．当20OA OC =时，则点C的纵坐标的取值范围是 ．解：设()22cos ,2sin A θθ+，()22cos ,2sin C λλθλθ+，1λ>，,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦由20OA OC =得：522cos λθ=+所以()()[]5sin 055sin 2sin 5,522cos 1cos cos 1C y θθθθθθ-=⋅⋅==∈-++-- 2． 编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是 种． 答案：20种优质试题101．点D 是直角ABC ∆斜边AB 上一动点，3,2AC BC ==，将直角ABC ∆沿着CD 翻折，使'B DC ∆与ADC ∆构成直二面角，则翻折后'AB 的最小值是 ．解：过点'B 作'B E CD ⊥于E ，连结,BE AE ， 设'BCD B CD α∠=∠=，则有'2sin ,2cos ,2B E CE ACE πααα==∠=- 在AEC ∆中由余弦定理得22294cos 12cos cos 94cos 12sin cos 2AE παααααα⎛⎫=+--=+- ⎪⎝⎭在'RT AEB ∆中由勾股定理得22222''94cos 12sin cos 4sin 136sin 2AB AE B E ααααα=+=+-+=-所以当4πα=时，'AB取得最小值为2．从1到10这是个数中，任意选取4个数，其中第二大的数是7的情况共有 种． 答案：45种优质试题111．已知函数()421421x x x x k f x +⋅+=++，若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，则实数k 的取值范围是 ． 解：()421111421212x x x x x x k k f x +⋅+-==+++++ 令()110,13212x x g x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦++当1k ≥时，()213k f x +<≤，其中当且仅当0x =时取得等号所以若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，只需223k +≥，所以14k ≤≤当1k <时，()213k f x +≤<，其中当且仅当0x =时取得等号所以若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，只需2213k +⋅≥，所以112k -≤< 综上可得，142k -≤≤ 2．在一条南北方向的步行街同侧有8块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若只要求相邻两块牌的底色不都为红色，则不同的配色方案共有 种． 答案：55种优质试题121．已知函数()2221f x x ax a =-+-，若关于x 的不等式()()0f f x <的解集为空集，则实数a 的取值范围是 ． 解：()()()222111f x x ax a x a x a =-+-=---+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 所以()0f x <的解集为()1,1a a -+所以若使()()0f f x <的解集为空集就是1()1a f x a -<<+的解集为空，即min ()1f x a ≥+ 所以11a -≥+，即2a ≤-2．某校举行奥运知识竞赛，有6支代表队参赛，每队2名同学，12名参赛同学中有4人获奖，且这4人来自3人不同的代表队，则不同获奖情况种数共有 种． 答案：31116322C C C C 种优质试题131． 已知定义在R 上的函数()f x 满足①()()20f x f x +-=；②()()20f x f x ---=；③在[]1,1-上的表达式为()[](]1,01,0,1x f x x x ∈-=-∈⎪⎩，则函数()f x 与函数()122,0log ,0x x g x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩的图象在区间[]3,3-上的交点个数为 ．2． 若5(1)ax -的展开式中3x的系数是80，则实数a 的值是 ． 答案：2优质试题141．()f x 是定义在正整数集上的函数，且满足()12015f =，()()()()212f f f n n f n +++=，则()2015f = ．解：()()()()212f f f n n f n +++=，()()()()()212111f f f n n f n +++-=--两式相减得()()()()2211f n n f n n f n =---所以()()111f nn f n n -=-+所以()()()()()()()()201520142201420132012121201512015201420131201620152014320161008f f f f f f f f =⋅⋅=⋅⋅⋅==2． 某次文艺汇演，要将A 、B 、C 、D 、E 、F 这六个不同节目编排成节目单，如下表：节目单上不同的排序方式 有 种． 答案：144种优质试题151． 若,a b 是两个非零向量，且a b a b λ==+，λ⎤∈⎥⎣⎦，则b 与a b -的夹角的取值范围是．解：令1a b ==，则1a b λ+=设,a b θ=，则由余弦定理得()22221111cos 1cos 22λπθθλ+--==-=-又λ⎤∈⎥⎣⎦，所以11cos ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦所以2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以由菱形性质得25,,36b a b ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦2． 若(nx 的展开式中第三项系数等于6，则n = ． 答案：12优质试题161．函数()22fx xx=+，集合()()(){},|2A xy f x f y =+≤，()()(){},|B x y f x f y =≤，则由A B的元素构成的图形的面积是 ．解：()()(){}()()(){}22,|2,|114A x y f x f y x y x y =+≤=+++≤()()(){}()()(){},|,|22B x y f x f y x y x y x y =≤=-++≤画出可行域，正好拼成一个半圆，2S π=2． 甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁两公司各承包2项，共有承包方式 种． 答案：1680种优质试题171． 在棱长为1的正方体1111A B C D A B C D -中，112A E AB =，在面ABCD 中取一个点F ，使1EF FC +最小，则这个最小值为 ． 解：将正方体1111ABCD A B C D -补全成长方体，点1C 关于面ABCD 的对称点为2C ，连接2EC 交平面ABCD于一点，即为所求点F ，使1E F F C +最小．其最小值就是2EC ．连接212,AC B C ，计算可得2121,,AC B C AB =，所以12AB C ∆为直角三角形，所以2EC =2． 若()62601261mx a a x a x a x +=++++ 且123663a a a a ++++=，则实数m的值为 ． 答案：1或-3优质试题181． 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线分别交双曲线的两条渐近线于点,P Q ．若点P是线段1FQ 的中点，且12QF QF ⊥，则此双曲线的离心率等于 ．解法一：由题意1F P b =，从而有2,a ab P c c⎛⎫- ⎪⎝⎭， 又点P 为1FQ 的中点，()1,0F c -，所以222,a ab Q c cc ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭所以222ab b a c c a c ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，整理得224ac =，所以2e =解法二：由图可知，OP 是线段1F P 的垂直平分线，又OQ 是12Rt F QF ∆斜边中线， 所以1260FOP POQ QOF ∠=∠=∠=，所以2e = 解法三：设(),,0Q am bm m >，则()1,Q F c a m b m =---，()2,QF c am bm =-- 由()()12,,0QF QF c am bm c am bm ⊥⇒-----=，解得1m =所以(),Q a b ，,22a c b P -⎛⎫⎪⎝⎭所以22b b ac a-=-⋅，即2c a =，所以2e =2． 现有甲、已、丙三个盒子，其中每个盒子中都装有标号分别为1、2、3、4、5、6的六张卡片，现从甲、已、丙三个盒子中依次各取一张卡片使得卡片上的标号恰好成等差数列的取法数为 ． 答案：18优质试题191． 已知O 为坐标原点，平面向量,,OA OB OC 满足：24OA OB ==，0OA OB =，()()20OC OAOC OB --=，则对任意[]0,2θπ∈和任意满足条件的向量OC ，cos 2sin OC OA OB θθ-⋅-⋅的最大值为 ． 解：建立直角坐标系，设()()(),,4,0,0,2C x y A B 则由()()20OC OA OC OB --=，得22220x y x y +--=(cos 2sin OC OA OB x θθ-⋅-⋅=等价于圆()()22112x y -+-=上一点与圆2216x y +=上一点连线段的最大值即为42． 已知数列{na }的通项公式为121n n a -=+，则01na C +12na C +33na C ++1n n na C += ． 答案：23n n+优质试题201． 已知实数,,a b c 成等差数列，点()3,0P -在动直线0ax by c ++=（,a b 不同时为零）上的射影点为M ，若点N 的坐标为()2,3，则MN 的取值范围是 ．解：因为实数,,a b c 成等差数列，所以2b a c =+，方程0ax by c ++=变形为2()20ax a c y c +++=，整理为()2(2)0a x y c y +++=所以2020x y y +=⎧⎨+=⎩，即12x y =⎧⎨=-⎩，因此直线0ax by c ++=过定点()1,2Q -画出图象可得90PMQ ∠=，PQ = 点M 在以PQ 为直径的圆上运动，线段MN的长度满足FN MN FN ≤即55MN ≤2． 如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是 个． 答案：48优质试题211． 已知函数是定义在R上的偶函数，当x ≥时，()()()2502161122x x x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩．若关于x 的方程()()20,,f x af x b a b ++=∈⎡⎤⎣⎦R ，有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是 ．解：设()t f x =，问题等价于()2g t t a t b =++=有两个实根12,t t ，12501,14t t <≤<<或1255,144t t =<< 所以()()0091014504g g h a g ⎧⎪>⎪⎪≤⇒-<<-⎨⎪⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩或()5124591024504a g h a g ⎧<-<⎪⎪⎪>⇒-<<-⎨⎪⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩ 综上， 5924a -<<-或914a -<<- 2．在24的展开式中，x 的幂的指数是整数的项共有项． 答案：5优质试题221． 已知椭圆221:132x y C +=的左、右焦点为12,F F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于1l 于点P ，线段2PF 的垂直平分线与2l 的交点的轨迹为曲线2C ，若()()()11221,2,,,,A B x y C x y 是2C上不同的点，且AB BC ⊥，则2y 的取值范围是 ．解：由题意22:4Cy x=设:(2)1ABlx m y =-+代入22:4C y x =，得()24840y my m -+-= 所以142y m =-，()()2144121x m m m =-+=-设()21:(42)21BC l x y m m m=--++-代入22:4C y x=，得()2248164210y y m m m ⎡⎤+++--=⎢⎥⎣⎦所以122442y y m y m+=-+=-所以(][)2442,610,ym m=--+∈-∞-+∞2． 5人排成一排照相，要求甲不排在两端，不同的排法共有________种．(用数字作答) 答案：72优质试题231． 数列{}na 是公比为23-的等比数列，{}nb 是首项为12的等差数列．现已知99ab >且1010ab >，则以下结论中一定成立的是 ．（请填上所有正确选项的序号） ①9100a a<；②100b >；③910b b >；④910a a >解：因为数列{}na 是公比为23-的等比数列，所以该数列的奇数项与偶数项异号，即： 当10a>时，2120,0k k a a -><；当10a <时，2120,0k k a a -<>；所以9100a a <是正确的；当10a>时，100a <，又1010a b >，所以100b <结合数列{}nb 是首项为12的等差数列，此时数列的公差0d <，数列{}n b 是递减的．故知：910b b >当10a<时，90a <，又99a b >，所以90b <结合数列{}nb 是首项为12的等差数列，此时数列的公差0d <，数列{}n b 是递减的．故知：910bb >综上可知，①③一定是成立的． 2． 设5nx （的展开式的各项系数之和为M , 二项式系数之和为N ，若M -N ＝240, 则展开式中x 3的系数为 ． 答案：150优质试题241． 已知集合(){}2,|21A x y y x bx ==++，()(){},|2B x y y a x b ==+，其中0,0a b <<，且A B 是单元素集合，则集合()()(){}22,|1x y x a y b -+-≤对应的图形的面积为 ． 解：()()()2221221202y x bx x b a x ab y a x b ⎧=++⎪⇒+-+-=⎨=+⎪⎩()()2222241201b a ab a b ∆=---=⇒+=所以由2210,0a b a b ⎧+=⎪⎨<<⎪⎩得知，圆心(),a b 对应的是四分之一单位圆弧MPN（红色）．此时()()(){}22,|1x y x a y b -+-≤所对应的图形是以这四分之一圆弧MPN上的点为圆心，以1为半径的圆面．从上到下运动的结果如图所示：是两个半圆（ABO 与ODE ）加上一个四分之一圆（AOEF ），即图中被绿实线包裹的部分。
高考数学 最有可能考的50题 理 新课标
高考数学 最有可能考的50题 理 新课标(数学理课标版)（30道选择题+20道非选择题）一．选择题（30道）1.若集合{|23},M x x =-<<2{|1,}N y y x x R ==+∈，则集合M N =A. (2,)-+∞B. (2,3)-C. [1,3)D. R2.已知集合1Ax x ，B x x m ，且A B R ，那么m 的值可以是A ．1B ．0C ．1D ．2 3．复数17ii+的共轭复数是a+bi （a,b ∈R ）,i 是虚数单位，则ab 的值是 A 、－7 B 、－6 C 、7 D 、64．已知i 是虚数单位，m ．n ∈R ，且i 1i m n +=+，则iim n m n +=- （A ）1- （B ）1（C ）i -（D ）i5．已知命题11:242x p ≤≤，命题15:[,2]2q x x +∈--，则下列说法正确的是 A ．p 是q 的充要条件B ．p 是q 的充分不必要条件C ．p 是q 的必要不充分条件D ．p 是q 的既不充分也不必要条件6.下面四个条件中，使b a >成立的充分而不必要的条件是 A.1+>b a B.1->b a C.22b a > D.33b a >7．已知数列}{n a ，那么“对任意的*N n ∈，点),(n n a n P 都在直线12+=x y 上”是“}{n a 为等差数列”的(A) 必要而不充分条件 (B) 既不充分也不必要条件(C) 充要条件 (D) 充分而不必要条件 8．执行右边的程序框图，若输出的S 是127，则条件①可以为 （A ）5n ≤（B ）6n ≤ （C ）7n ≤（D ）8n ≤9．阅读右面程序框图，如果输出的函数值在区间11[,]42内，则输入的实数x 的取值范围是 （A ）(,2]-∞- （B ）[2,1]-- （C ）[1,2]- （D ）[2,)+∞10.要得到函数sin(2)4y x π=+的图象，只要将函数sin 2y x =的图象（ ）A ．向左平移4π单位B ．向右平移4π单位C ．向右平移8π单位D ．向左平移8π单位11．已知33)6cos(-=-πx ，则=-+)3cos(cos πx x （ ） A ．332- B ．332±C ．1-D ．1±12．如图所示为函数()()2sin f x x ωϕ=+(0,0ωϕπ>≤≤的部分图像,其中,A B 两点之间的距离为5,那么()1f -=（ ） A ．2 B ．3 C．3- D ．2-13．设向量a 、b 满足:1=a ,2=b ,()0⋅-=a a b ,则a 与b 的夹角是（ ） A ．30︒ B ．60︒ C ．90︒ D ．120︒14.如图，O 为△ABC 的外心，BAC ,AC ,AB ∠==24为钝角，M 是边BC 的中点，则AO AM •的值( ) A ．23 B ．12 C ．6 D ．515.若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )16.如图，平面四边形ABCD 中，1===CD AD AB ，CD BD BD ⊥=,2，将其沿对角线BD 折成四面体BCD A -'，使平面⊥BD A '平面BCD ，若四面体BCD A -'顶点在同一个球面上，则该球的体积为( ) A. π23 B. π3 C. π32D. π2第21题图ABCOM17. A a x a x xA ∉⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+-=1,0若已知集合，则实数a 取值范围为（ ） A ),1[)1,(+∞⋃--∞ B [-1,1] C ),1[]1,(+∞⋃--∞ D (-1,1]18．已知正项等比数列{}n a 满足:1232a a a +=,若存在两项n m a a ,,使得14a a a n m =,则nm 41+的最小值为 （ ）A ．23 B ．35 C ．625 D ．不存在19．将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排 方法的种数为 （ ）A ．10B ．20C ．30D ．4020．现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数有 （ ） .6 .8 .12 .16A B C D21．在各项都为正数的等比数列{}n a 中，13a =，前三项的和为21，则345a a a ++= （ ） A ．33 B ．72 C ．84 D ．18922．若等比数列}{n a 的前n 项和23-⋅=nn a S ，则=2aA.4B.12C.24D.3623．已知1F 、2F 分别是双曲线22221(0,0)x y aba b -=>>的左、右焦点,P 为双曲线上的一点,若1290F PF ∠=︒,且12F PF ∆的三边长成等差数列,则双曲线的离心率是( ). A.2 B.3 C.4 D.524．长为)1(<l l 的线段AB 的两个端点在抛物线x y =2上滑动，则线段AB 中点M 到y 轴距离的最小值是A ．2lB ．22lC ．4lD ．42l25．若圆C:222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D.626．函数f(x)=tan x +x tan 1，x }2002|{ππ<<<<-∈x x x 或的大致图象为（ ）A B C D27．设()f x 在区间(,)-∞+∞可导，其导数为'()f x ，给出下列四组条件（ ） ①()p f x ：是奇函数，':()q f x 是偶函数②()p f x ：是以T 为周期的函数，':()q f x 是以T 为周期的函数③()p f x ：在区间(,)-∞+∞上为增函数，':()0q f x >在(,)-∞+∞恒成立④()p f x ：在0x 处取得极值，'0:()0q f x =A ．①②③ B．①②④ C ．①③④ D．②③④28．若a 满足4lg =+x x ，b 满足410=+xx ，函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤+++=0,20,2)()(2x x x b a x x f ，则关于x 的方程x x f =)(的解的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D. 429．已知函数f （x ）是R 上的偶函数，且满足f （x+1）+f （x ）=3，当x ∈[0，1]时，f （x ）=2－x ，则f （－2007.5）的值为( ) A ．0.5 B ．1.5 C ．－1.5 D ．130．设()f x 与()g x 是定义在同一区间[,]a b 上的两个函数，若函数()()y f x g x =-在[,]x a b ∈上有两个不同的零点，则称()f x 和()g x 在[,]a b 上是“关联函数”，区间[,]a b 称为“关联区间”．若2()34f x x x =-+与()2g x x m =+在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围（ ） A. 9(,2]4-- B.[1,0]- C.(,2]-∞- D.9(,)4-+∞二．填空题（8道）31.为了了解“预防禽流感疫苗”的使用情况，某市卫生部门对本地区9月份至11月份注射 疫苗的所有养鸡场进行了调查，根据下图表提供的信息，可以得出这三个月本地区每月注射 了疫苗的鸡的数量平均为 万只。
高中数学就这50道经典题,全吃透,冲刺140!高清打印,建议收藏
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哈喽，大家好！我是北大学长阿黎哥，很开心再次和大家见面！
高中物理，是令不少同学发怵的一门学科。
不管是高一、高二，还是高三生，很多同学容易走近一个误区，就是盲目刷题。
高考数学150分，那么考点重点就那么多，出题与题型不会变化太大，如果所有知识你都抓，却没有侧重点！不仅花费大量的时间，而且得不到什么好的效果，再加上其他科目再耗费精力，效率高不高可想而知！
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今天，阿黎哥给大家整理了《高中数学50道重点题型》，都是高考重点考点，现在免费分享给大家！
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高中数学必做100题含答案,附精品试卷1套
高中数学必做100题含答案，附精品试卷1套高中数学必做100题⑴-数学11. 试选择适当的方法表示下列集合：（1）函数22y x x =-+的函数值的集合； （2）3y x =-与35y x =-+的图象的交点集合.解：（1）2217224y x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭ ……（3分）74y ∴≥，……（5分） 故所求集合为7|4y y ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭.……（6分） （2）联立335y x y x =-⎧⎨=-+⎩，……（8分）解得21x y =⎧⎨=-⎩，……（10分）故所求集合为(){}2,1-.……（12分）2. 已知集合{|37}A x x =≤<，{|510}B x x =<<，求()R C A B 、()R C A B 、()R C A B 、()R A C B . （◎P 14 10）解：{}()|310R C A B x x x =<≥或，……（3分）{}()|57R C A B x x x =≤≥或，……（6分）{}()|710R C A B x x =≤<，……（9分）{}()|710R A C B x x x =<≥或.……（12分）3. 设全集*{|9}U x N x =∈<，{1,2,3}A =，{3,4,5,6}B =. （◎P 12 例8改编） （1）求A B ，A B ，()U C A B ，()U C A B ； 解：{}1,2,3,4,5,6A B =，……（1分）{}3A B =，……（2分） {}()7,8U C A B =，……（3分） {}()1,2,4,5,6,7,8U C A B =.……（4分）（2）求U C A ， U C B ， ()()U U C A C B ，()()U U C A C B ； 解：{}4,5,6,7,8U C A =，……（5分）{}1,2,7,8U C B =，……（6分）{}()()1,2,4,5,6,7,8U U C A C B =，……（7分） {}()()7,8U U C A C B =. ……（8分）（3）由上面的练习，你能得出什么结论？请结合Venn 图进行分析.解：()()()U U U C A B C A C B =，……（9分）()()()U U U C A B C A C B =. ……（10分） Venn 图略. ……（12分）4. 设集合{|(4)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(1)(4)0}B x x x =--=. （◎P 14 B 4改编） （1）求A B ，A B ；解：①当4a =时，{}4A =，{}1,4B =，故{}1,4A B =，{}4A B =；……（2分） ②当1a =时，{}1,4A =，{}1,4B =，故{}1,4A B =，{}1,4A B =；……（4分） ③当4a ≠且1a ≠时，{},4A a =，{}1,4B =，故{}1,,4A B a =，{}4A B =. ……（6分）（2）若A B ⊆，求实数a 的值；解：由（1）知，若A B ⊆，则1a =或4. ……（8分）（3）若5a =，则A B 的真子集共有 个, 集合P 满足条件()()A B P A B 刎，写出所有可能的集合P .解：若5a =，则{}4,5A =，{}1,4B =，故{}1,4,5A B ⋃=，此时A B 的真子集有7个. ……（10分） 又{}4A B ⋂=，∴满足条件()()A B P A B 刎的所有集合P 有{}1,4、{}4,5. ……（12分）5. 已知函数3()41xf x x -=+. （1）求()f x 的定义域与值域（用区间表示） （2）求证()f x 在1(,)4-+∞上递减. 解：（1）要使函数有意义，则410x +≠，解得14x ≠-. ……（2分） 所以原函数的定义域是1{|}4x x ≠-.……（3分）()311241(41)1311311041441441444144x x x y x x x x ---++==⨯=⨯=-+≠-+=-++++，……（5分）所以值域为1{|}4y y ≠-.……（6分） （2）在区间1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上任取12,x x ，且12x x <，则 ()()()()()2112121212133341414141x x x x f x f x x x x x ----=-=++++……（8分） 12x x <，210x x ∴->……（9分）又121,,4x x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，12410,410x x ∴+>+>，……（10分）()()120f x f x ∴->()()12f x f x ∴>，……（11分）∴函数()f x 在1(,)4-+∞上递减. ……（12分）6. 已知函数(4),0()(4),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩，求(1)f 、(3)f -、(1)f a +的值.（◎P 49 B4）解：(1)5f =，……（3分）()321f -=，……（6分）()2265,1123,1a a a f a a a a ⎧++≥-⎪+=⎨--<-⎪⎩.……（12分）7. 已知函数2()2f x x x =-+. （☆P 16 8题）（1）证明()f x 在[1,)+∞上是减函数;（2）当[]2,5x ∈时，求()f x 的最大值和最小值. 解：（1）证明：在区间[1,)+∞上任取12,x x ，且12x x <，则有……（1分）221211222112()()(2)(2)()(2)f x f x x x x x x x x x -=-+--+=-⋅+-，……（3分）∵12,[1,)x x ∈+∞，12x x <，……（4分）∴21120,x x x x ->0,+-2>即12()()0f x f x ->……（5分） ∴12()()f x f x >，所以()f x 在[1,)+∞上是减函数．……（6分） （2）由（1）知()f x 在区间[]2,5上单调递减，所以max min ()(2)0,()(5)15f x f f x f ====-……（12分）8. 已知函数()log (1),()log (1)a a f x x g x x =+=-其中(01)a a >≠且．（◎P 84 4） （1）求函数()()f x g x +的定义域；（2）判断()()f x g x +的奇偶性，并说明理由； （3）求使()()0f x g x ->成立的x 的集合. 解：（1）()()log (1)log (1)a a f x g x x x +=++-.若要上式有意义，则1010x x +>⎧⎨->⎩，即11x -<<. ……（3分）所以所求定义域为{}11x x -<< ……（4分） （2）设()()()F x f x g x =+，则()()()log (1)log(1)()a F x f x g x x x F x -=-+-=-+++=-.……（7分）所以()()f x g x +是偶函数. ……（8分）（3）()()0f x g x ->，即 log (1)log (1)0a a x x +-->，log (1)log (1)a a x x +>-.当01a <<时，上述不等式等价于101011x x x x+>⎧⎪->⎨⎪+<-⎩，解得10x -<<.……（10分）当1a >时，原不等式等价于101011x x x x+>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，解得01x <<.……（12分）综上所述, 当01a <<时，原不等式的解集为{10}x x -<<；当1a >时，原不等式的解集为{01}x x <<.9. 已知函数2()(0,0)1bxf x b a ax =≠>+. （☆P 37 例2）（1）判断()f x 的奇偶性； （2）若3211(1),log (4)log 422f a b =-=，求a ，b 的值.解：（1）()f x 定义域为R ，2()()1bxf x f x ax --==-+，故()f x 是奇函数. ……（6分）（2）由1(1)12b f a ==+，则210a b -+=.……（8分） 又log 3(4a -b )=1，即4a -b =3. ……（10分）由21043a b a b -+=⎧⎨-=⎩，解得a =1，b =1. ……（12分）10. 对于函数2()()21xf x a a R =-∈+. （1）探索函数()f x 的单调性；（2）是否存在实数a 使得()f x 为奇函数. （◎P 91 B3） 解: (1)()f x 的定义域为R , 设12x x <,则121211()()2121x x f x f x a a -=--+++=121222(12)(12)x x x x -++,……（3分） 12x x <, 1212220,(12)(12)0x x x x ∴-<++>,……（5分） 12()()0,f x f x ∴-<即12()()f x f x <,所以不论a 为何实数()f x 总为增函数. ……（6分）（2）假设存在实数a 使()f x 为奇函数, ()()f x f x ∴-=-……（7分） 即222121x xa a --=-+++,……（9分） 解得: 1.a =……（12分）11. （1）已知函数()f x 图象是连续的，有如下表格，判断函数在哪几个区间上有零点. （☆P 40 9）x －2 －1.5－1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 f (x )－3.511.022.371.56－0.381.232.773.454.89（2）已知二次方程2(2)310m x mx -++=的两个根分别属于(-1,0)和(0,2),求m 的取值范围. 解：（1）由(2)( 1.5)0f f --<，(0.5)(0)0f f -<，(0)(0.5)0f f <，……（3分） 得到函数在（－2，－1.5）、（－0.5，0）、（0，0.5）内有零点. ……（6分） （2）设()f x =2(2)31m x mx -++，则()f x =0的两个根分别属于(-1,0)和(1,2).所以(1)(0)0(2)(0)0f f f f -⋅<⎧⎨⋅<⎩，……（8分）即(21)10(107)10m m --⨯<⎧⎨-⨯<⎩， ……（10分）∴ 17210m -<<．……（12分）12. 某商场经销一批进货单价为40元的商品，销售单价与日均销售量的关系如下表：销售单价/元50 51 52 53 54 55 56 日均销售量/个48464442403836为了获取最大利润，售价定为多少时较为合理？ （☆P 49 例1）解：由题可知，销售单价增加1元，日均销售量就减少2个.设销售单价定为x 元，则每个利润为（x －40）元，日均销量为[482(50)]x --个. 由于400x ->，且482(50)0x -->，得4074x <<.……（3分）则日均销售利润为2(40)[482(50)]22285920y x x x x =---=-+-，4074x <<.……（8分） 易知，当228572(2)x =-=⨯-，y 有最大值. ……（11分）所以，为了获取最大利润，售价定为57元时较为合理. ……（12分）13. 家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层臭氧层. 臭氧含量Q 呈指数函数型变化，满足关系式4000t Q Q e -=，其中0Q 是臭氧的初始量. （1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？ （2）多少年以后将会有一半的臭氧消失？（☆P 44 9）解：（1）∵ 00Q >，0400t -<，1e >， ∴ 4000t Q Q e -=为减函数. ……（3分）∴ 随时间的增加，臭氧的含量是减少. ……（6分） （2）设x 年以后将会有一半的臭氧消失，则4000012x Q e Q -=，即40012x e -=，……（8分） 两边去自然对数，1ln 4002x -=，……（10分） 解得400ln 2278x =≈.……（11分）∴ 287年以后将会有一半的臭氧消失. ……（12分）14. 某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了以后估计每个月的产量，以这三个月的产品数据为依据. 用一个函数模拟产品的月产量y 与月份数x 的关系，模拟函数可选用二次函数2()f x px qx r =++（其中,,p q r 为常数，且0p ≠）或指数型函数()x g x a b c =⋅+（其中,,a b c 为常数），已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用上述哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由.（☆P 51 例2）解：当选用二次函数2()f x px qx r =++的模型时，∵()()20f x px qx r p =++≠，由()()()12,2 1.2,3 1.3f f f ===，有142 1.293 1.3p q r p q r p q r ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩， 解得0.05,0.35,0.7p q r =-==，……（4分） ∴()4 1.3f =.……（5分）当选用指数型函数()x g x a b c =⋅+的模型时，∵(),x g x a b c =⋅+ 由()()()11,2 1.2,3 1.3,g g g === 有2311.21.3a b c a b c a b c ⋅+=⎧⎪⋅+=⎨⎪⋅+=⎩ ，解得0.8,0.5, 1.4a b c =-==， ……（9分）∴()4 1.35g =.……（10分）根据4月份的实际产量可知，选用()0.80.5 1.4xy =-⨯+作模拟函数较好. ……（12分）15. 如图，OAB ∆是边长为2的正三角形，记OAB ∆位于直线(x t t =>左侧的图形的面积为()f t . 试求函数 ()f t 的解析式,并画出函数()y f t =的图象. （◎P 126 B2） 解：（1）当01t <≤时，OC t =，如图，设直线x t =与OAB ∆分别交于C 、D 两点，则又331CD BE OC CE ===，3CD t ∴=，()21133222f t OC CD t t t ∴=⋅=⋅⋅= ……（4分） （2）当12t <≤时，如图，设直线x t =与OAB ∆分别交于M 、N 两点，则2AN t =-，又331MN BE AN AE ===，()32MN t ∴=- ()()22113323322332222f t AN MN t t t ∴=⋅⋅-⋅⋅=--=-+-……（8分）（3）当2t >时，()3f t =. ……（10分）()223,0123233,1223,2t t f t t t t t ⎧<≤⎪⎪⎪⎪∴=-+-<≤⎨⎪⎪>⎪⎪⎩……（12分）16. 某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y （微克）与时间t （小时）之间近似满足如图所示的曲线.（1）写出服药后y 与t 之间的函数关系式y =f (t)；（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾xyOBAx=t病有效.求服药一次治疗疾病有效的时间？（☆P 45 例3） 解：（1）当0≤t ≤1时，y =4t ；……（2分） 当t ≥1时，1()2t a y -=，此时(1,4)M 在曲线上， ∴114(),32a a -==，这时31()2t y -=. ……（5分）所以34(01)()1()(1)2t t t y f t t -≤≤⎧⎪==⎨≥⎪⎩.……（6分）（2）∵ 340.25()0.25,1()0.252t t f t -≥⎧⎪≥⎨≥⎪⎩即， ……（8分）解得1165t t ⎧⎪≥⎨⎪≤⎩ ，……（10分）∴ 1516t ≤≤.……（11分）∴ 服药一次治疗疾病有效的时间为115541616-=个小时. ……（12分）高考数学精品试卷参考公式锥体的体积公式: 13V Sh =,其中S 为锥体的底面积, h 为锥体的高 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集U R =,集合{}10A x x =-≤,集合{}260B x x x =--<则下图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}3x x < B ．{}31x x -<≤ C ．{}2x x < D ．{}21x x -<≤2. 设复数z 满足()12z i -= (其中i 为虚数单位),则下列说法正确的是（ ）A ．2z =B ．复数z 的虚部是iC ．1z i =-+D ．复数z 在复平面内所对应的点在第一象限3. 已知角α的终边经过点(),2m m -,其中0m ≠,则sin cos αα+等于（ ）A ．55-B ．55± C ．35- D ．35±4. 已知12,F F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点, P 为双曲线上一点, 2PF 与x 轴垂直, 1230PF F ∠=,且虚轴长为22,则双曲线的标准方程为（ ）A ．22142x y -= B ．22132x y -= C. 22148x y -= D ．2212y x -= 5. 某商场举行有奖促销活动,抽奖规则如下:从装有形状、大小完全相同的2个红球、3个蓝球的箱子中,任意取出两球,若取出的两球颜色相同则中奖,否则不中奖.则中奖的概率为（ ） A ．15 B ．310 C. 25D ．35 6. 中国古代数学名著《九章算术》中,将底面是直角三角形的直棱柱称为 “堑堵”已知某“堑堵”的正视图和俯视图如下图所示,则该“堑堵”的左视图的面积为`（ ）A ．186B ．183 C. 182 D ．27227. 记不等式组1,50,210,x x y x x ⎧≥⎪=-≥⎨⎪-+≤⎩,的解集为D ,若(),x y D ∀∈,不等式2a x y ≤+恒成立,则a 的取值范围是（ ）A ．(],3-∞B ．[)3,+∞ C. (],6-∞ D ．(],8-∞8. 如图,半径为1的圆O 中, ,A B 为直径的两个端点,点P 在圆上运动,设BOP x ∠=,将动点P 到,A B 两点的距离之和表示为x 的函数()f x ,则()y f x =在[]0,2π上的图象大致为（ ）A ．B ．C. D ．9. 如下图所示的程序框图中, ()Mod ,m n 表示m 除以n 所得的余数,例如: ()Mod 5,21=,则该程序框图的输出结果为（ ）A ．2B ．3 C. 4 D ．510. 设椭圆()2222:10,0x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点()()0,0E t t b <<.已知动点P 在椭圆上,且点2,,P E F 不共线,若2PEF ∆的周长的最小值为4b ,则椭圆C 的离心率为（ ）A ．32 B ．22 C. 12 D ．3311. 已知点,,,P A B C 均在表面积为81π的球面上,其中PA ⊥平面ABC ,30BAC ∠=,3AC AB =,则三棱锥P ABC -的体积的最大值为（ ） A ．818 B ．24332C. 8132 D ．8112. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数,记()f x 的导函数为'()f x ,当0x ≥时,满足'()()0f x f x ->.若[)2,x ∃∈-+∞使不等式()333x f e x x ⎡⎤-+⎣⎦(a x)x f e ≤+成立,则实数a 的最小值为（ ） A ．21e - B ．22e - C. 212e + D ．11e-二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.13. 522x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中,常数项为 ．(用数字作答) 14. 2018年4月4日,中国诗词大会第三季总决赛如期举行,依据规则,本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军,某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现,结合自己的判断,对本场比赛的冠军进行了如下猜测:爸爸:冠军是甲或丙;妈妈:冠军一定不是乙和丙;孩子:冠军是丁或戊.比赛结束后发现:三人中只有一个人的猜测是对的,那么冠军是 ．15. 已知ABC ∆中, 4,AC 5AB ==,点O 为ABC ∆所在平面内一点,满足OA OB OC ==，则OA BC ⋅= ．16. 在圆内接四边形ABCD 中, 8,2AC AB AD ==,60BAD ∠=,则BCD ∆的面积的最大值为 ．三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:17. 已知数列{}n a 的前n 项和为1,1,0n n S a a =>2211n n n S a S λ++=-,其中λ为常数. (1)证明: 12n n S S λ+=+；(2)是否存在实数λ,使得数列{}n a 为等比数列,若存在,求出λ;若不存在,说明理由.18. 在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为菱形，60,BAD PA PD ∠==.(1)证明: BC PB ⊥；(2)若,PA PD PB AB ⊥=,求二面角A PB C --的余弦值.19. 近期，济南公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动,活动设置了一段时间的推广期,由于推广期内优惠力度较大,吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次,用x 表示活动推出的天数, y 表示每天使用扫码支付的人次(单位:十人次),统计数据如表1所示:根据以上数据,绘制了散点图.(1)根据散点图判断,在推广期内, y a bx =+与xc d ⋅(,c d 均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付 的人次y 关于活动推出天数x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由);(2)根据(1)的判断结果及表1中的数据,建立y 关于x 的回归方程,并预测活动推出第8天使用扫码支付的 人次；(3)推广期结束后,车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下车队为缓解周边居民出行压力,以80万元的单价购进了一批新车,根据以往的经验可知,每辆车每个月的运营成本约为0.66万元.已知该线路公交车票价为2元,使用现金支付的乘客无优惠,使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠,扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知,使用扫码支付的乘客中有16的概率享受7折优惠,有13的概率享受8折优惠,有12的概率享受9折优惠.预计该车队每辆车每个月有1万人次乘车,根据给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,在不考虑其它因素的条件下,按照上述收费标准,假设这批车需要()N n n n ∈年才能开始盈利,求n 的值.参考数据:其中其中7111,7i i i i gy υυυ===∑ 参考公式:对于一组数据()()()22,,,,,,i i n n u u u υυυ,其回归直线+a u υβ=的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: 1221,n i i i n i i u nu unu υυβ==-=-∑∑a u υβ=-.20. 在平面直角坐标系xOy 中,抛物线()2:20C x py p =>,斜率为()0k k ≠的直线l 经过C 焦点,且与C 交于,A B 两点满足34OA OB ⋅=-.(1)求抛物线C 的方程；(2)已知线段AB 的垂直平分线与抛物线C 交于,M N 两点, R 为线段MN 的中点,记点R 到直线AB 的距离为d ,若22d AB =，求k 的值. 21. 已知函数()2()1n 1f x x ax x =++-.(1)当0x ≥时, ()0f x ≥恒成立,求a 的取值范；(2)若函数()()g x f x x =+有两个极值点12,x x ,且12x x <,求证: ()211n22g x >-.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为1,2,x t y t =--⎧⎪⎨=+⎪⎩ (t 为参数),以坐标原点为极点,以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为P1+sin26直线与曲线C 交于A,B 两点(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)已知点P 的极坐标为2,24π⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,求PA PB ⋅的值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()1f x x =- .(1)解不等式()()259f x f x x ++≥+；(2)若0,0a b >>，且142a b +=,证明: 9()()2f x a f x b ++-≥，并求9()()2f x a f x b ++-=时，,a b 的值.。
高中数学经典50题(附答案)之欧阳学创编
高中数学题库1.2. 求下列函数的值域：解法2 令t ＝sin x ，则f (t )＝－t 2＋t ＋1，∵ |sin x |≤1, ∴ |t |≤1.问题转化为求关于t 的二次函数f (t )在闭区间[－1,1]上的最值．本例题(2)解法2通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题，从而达到解决问题的目的，这就是转换的思想．善于从不同角度去观察问题，沟通数学各学科之间的内在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉，由复杂化简单，一句话：由难化易．可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段。
3. 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此慧星离地球相距m 万千米和m 34万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为32ππ和，求该慧星与地球的最近距离。
解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点)0,(c F -处，椭圆的方程为12222=+b y a x （图见教材P132页例1）。
当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为3π时，由椭圆的几何意义可知，彗星A 只能满足)3(3/ππ=∠=∠xFA xFA 或。
作m FA FB Ox AB 3221B ==⊥，则于 故由椭圆第二定义可知得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=)32(34)(22m c c a a c m c ca a c m 两式相减得,23)4(21.2,3231c c c m c a m a c m =-==∴⋅=代入第一式得 答：彗星与地球的最近距离为m 32万千米。
说明：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是c a -，另一个是.c a +（2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。
另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质。
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精挑细选!高中数学最经典50题（附答案），刷完稳过一本线！
高中数学，对于很多学生来讲都是一个难点，甚至是一个噩梦。
在高中阶段，很多同学数学考不及格，甚至是六七十分，都是很常见的一件事，这在小学初中是无法想象的，就算是初中，数学考个不及格都很严重了，但在高中，不及格却好像没什么大不了的，甚至在有的班级里面，及格都算优秀了。
看起来很不可思议的，但在高中又显得稀松平常。
当然，不能因为大家都考不好，自己就不去用心学数学了，再怎么说，数学在高考的时候也占了那么多分，如果在高考的时候，数学就考个几十分的话，那不知道其他学科要考得多好才能拉回来这些分数。
将数学学好，也是给自己高考带来一份保障，就算不依靠数学拉分，也不要让数学成为别人与你拉开差距的学科。
学习数学最好的方式就是多做题，很多学校在高中的时候都会给学生搞题海战术，就是因为做题有用，不是每一个人都是天赋异禀的，还是得脚踏实地
去学习。
对此，这里也为大家带来了高中数学50道经典例题，全部刷一遍，考试不用愁！。