高中数学典型例题子集、全集、补集·典型例题新课标

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《子集、全集、补集》典型例题剖析

《子集、全集、补集》典型例题剖析题型1 集合关系的判断例1 指出下列各组集合之间的关系：（1）{15},{05}A xx B x x =-<<=<<∣∣；（2）{}21(1)0,,2nA x x xB x x n ⎧⎫+-=-===∈⎨⎬⎩⎭Z ∣∣；（3）{(,)0},{(,)0,00,0}A x y xy B x y x y x y =>=>><<∣∣或；（4）{}{}2*2*1,,45,A x x a a B x x a a a ==+∈==-+∈N N ∣∣.解析（1）中集合表示不等式，可以根据范围直接判断，也可以利用数轴判断；（2）解集合A 中方程得到集合A ，再根据集合B 中n 分别为奇数、偶数得到集合B ，进行判断；（3）可以根据集合中元素的特征或者集合的几何意义判断；（4）将集合A 中x 关于a 的关系式改写成集合B 中的形式，再进行判断.答案（1）方法一：集合B 中的元素都在集合A 中，但集合A 中有些元素（比如00.5-，）不在集合B 中，故BA .方法二：利用数轴表示集合A ，B ，如下图所示，由图可知BA .（2）{}20{0,1}A x x x =-==∣.在集合B 中，当n 为奇数时,1(1)02nx +-==，当n 为偶数时，1(1)1,{0,1},2n x B A B +-==∴=∴=.（3）方法一：由00000xy x y x y >>><<得，或，；由000x y x >><，或，0y <得0xy >，从而A B =.方法二：集合A 中的元素是平面直角坐标系中第三象限内的点对应的坐标，集合B 中的元素也是平面直角坐标系中第一、三象限内的点对应的坐标，从而A B =.（4）对于任意x A ∈，有221(2)4(2)5x a a a =+=+-++.**,2{3,4,5},a a x B ∈∴+∈∴∈N N .由子集的定义知，A B ⊆.设1B ∈，此时2451a a -+=，解得*2,a a =∈N .211a +=在*a ∈N 时无解，1A ∴∉. 综上所述，AB .名师点评对于（5），在判断集合A 与B 的关系时可先根据定义判断A B ⊆，再进一步判断AB .判断A B 时，只要在集合B 中找出一个元素不属于集合A 即可.变式训练1 判断下列各组中两个集合的关系：（1）{3,},{6,}A xx k k B x x z z ==∈==∈N N ∣∣；（2）1,24k A xx k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣，1,42k B x x k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣. 答案（1）A 中的元素都是3的倍数，B 中的元素都是6的倍数，对于任意的,63(2)z z z ∈=⨯N ，因为z ∈N ，所以2z ∈N ，从而可得6z A ∈，从而有B A ⊆.设63z =，则12z =∉N ，故3B ∉，但3A ∈，所以BA . （2）方法一：取,0,1,2,3,4,5,k =，可得1357911,,,,,,,444444A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,13537,,,1,,,,24424B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭, 易知A 中任一元素均为B 中的元素，但B 中的有些元素不在集合A 中，A B .方法二：集合A 的元素为121()244k k x k +=+=∈Z ，集合B 的元素为12()424k k x k +=+=∈Z ，而21k +为奇数，2k +为整数，A B ∴.点拨判断两个集合的关系要先找到集合中元素的特征，再由特征判断集合间的关系. 题型2 根据集合间的包含关系求参数的值范围类型（一）有限集的问题例2 已知{}2230,{10}A x x x B x ax =--==-=∣∣，若BA ，试求a 的值.解析：首先将集合A ，B 具体化，在对集合B 具体化时，要注意对参数a 进行讨论，然后再由BA 求a 的值.答案 {}2230{1,3}A x x x =--==-∣，且BA ，（1）当B =∅时，方程10ax -=无解，故0a =；（2）当B ≠∅时，则1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.若11a =-,即1a =-时，B A ；若13a =，即13a =时，B A . 综上可知，a 的值为：10,1,3-.易错提示特别要注意子集与真子集的区别，审清题意，由题目的具体条件确定真子集是否有可能为∅，这是个易错点.变式训练2 已知集合{}2320,{05,}A x x x B x x x =-+==<<∈N ∣∣，那么满足A C B 的集合C 的个数是（）A.1B.2C.3D.4 答案 B点拨 {}2320{1,2},{05,}{1,2,3,4}A x x x B x x x =-+===<<∈=N ∣∣，由题意集合C 可以是{123}，，，{124}，，.本题考查对元素个数及真子集的理解，一定要弄清子集和真子集的区别.变式训练3 把上题改为：已知集合{2320}A x x x =-+=∣,{05,}B xx x =<<∈N ∣，则满足A C B ⊆⊆的集合C 的个数是___________.答案 4点拨 {}2320{1,2},{05,}{1,2,3,4}A x x x B x x x =-+===<<∈=N ∣∣，由题意集合C 可以是{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}，故答案为4.类型（二）无限集的问题例 3 已知集合{04},{}A x x B x x a =<=<∣∣，若A B ，求实数a 的取值集合.解析将数集A 在数轴上表示出来，再将B 在数轴上表示出来，使得A B ，即可求出a 的取值范围.答案将数集A 表示在数轴上（如图），要满足AB ，表示数a 的点必须在表示4的点处或在表示4的点的右边.所以所求a 的集合为{4}aa ∣.易错提示在解决取值范围问题时，一般借助数轴比较直观，但一定要注意端点的取舍问题，能取的用实心点，不能取的用空心点，此题易漏掉端点4，显然4a =符合题意.变式训练 4 已知集合{25},{121}A xx B x a x a =-=+-∣∣. （1）若B A ⊆，求实数a 的取值范围；（2）若AB ，求a 的取值范围.答案（1）,B A D ⊆∴=∅①时，满足要求. 则121a a +>-即2a <；②B ≠∅时，则121,12,23215a a a a a +-⎧⎪+-⇒⎨⎪-⎩.综上可知：3a ≤. （2）121,,12215a a AB a a +-⎧⎪∴+-⎨⎪-⎩，，且12215a a +≤--≥与中的等号不能同时成立. 解这个不等式组，无解，a ∴∈∅，即不存在这样的a 使A B .题型3 集合的全集与补集问题例4 已知全集U ，集合 {1,3,5,7},{2,46},{1,4,6}UU A A B ===，，则集合B =____________.解析因为{1,3,5,7},{2,4,6}UA A ==，所以{1,2,3,4,5,6,7}U =.又由已知{1,4,6}UB =，所以{2,3,5,7}B =.答案 27}3{5，，，变式训练5 设集合{1,2,3,4,5,6},{1,2,3},{3,4,5}U M N ===，则集合UM 和UN 共有的元素组成的集合为（）A.{2,3,4,5}B.{1,2,4,5,6}C.{1,2,6}D.{6} 答案 D点拨由题意 {4,5,6},{1,2,6}U UM N ==，所以集合U M 和UN 共有的元素为6，组成的集合为{6}.例5 已知集合{}21A x a x a =<<+∣，集合{}15B x x =<<∣. （1）若A B ⊆，求实数a 的取值范围；（2）若RAB ，求实数a 的取值范围.解析（1）可借助数轴求解；（2）先根据集合B 求出共补集RB ，再根据RAB 列出不等式求解.注意要考虑A 为空集的情况.答案（1）若A =∅，则21a a +≤，解得1a ≤-，满足题意；若A ≠∅，则21a a <+，解得1a >-.由A B ⊆，可得2151a a +≤≥且，解得12a ≤≤.综上，实数a 的取值范围为{1, 12}aa a -∣或. （2）R {1, 5}B xx x =∣或. 若A ≠∅，则211a a a +≤≤-，则，此时RAB ，满足题意；若A ≠∅，则1a >-. 又RAB ，所以5211a a ≥+≤或，所以510a a ≥-<≤或.综上，实数a 的取值范围为{0, 5}aa a ∣或. 变式训练6 已知集合{12},{}A xx B x x a =<<=<∣∣，若RA B ⊆，求实数a 的取值范围.答案由{}B xx a =<∣，得R {}B x x a =∣.又RA B ⊆，所以1a ≤，故a 的取值范围是1a ≤.规律方法总结1.判断集合间关系的常用方法. （1）列举观察法.当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系. （2）集合元素特征法.首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.一般地，设{()},{()}A xp x B x q x ==∣∣，①若由()p x 可推出()q x ，则A B ⊆；②若由()q x 可推出()p x ，则B A ⊆；③若()p x ，()q x 可互相推出，则A B =；④若由力()p x 推不出()q x ，由()q x 也推不出()p x ，则集合A ，B 无包含关系.（3）数形结合法.利用venn 图、数轴等直观地判断集合间的关系，一般地，判断不等式的解集之间的关系，适合用画数轴法.2.根据集合间的包含关系求参数的值或范围的方法.已知两个集合之间的包含关系求参数的值或范围时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解.一般地，若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程（组）求解，此时要注意集合中元素的互异性；若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式（组）求解，此时需注意端点值能否取到.3.求补集的策略.（1）若所给集合是有限集，则先把集合中的元素列举出来，然后结合补集的定义来求解另外，针对此类问题，在解答过程中也常常借助Venn 图来求解，这样处理比较直观、形象，且解答时不易出错.（2）若所给集合是无限集，在解答有关集合补集问题时，则常借助数轴，先把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后根据补集的定义求解.核心素养园地目的以一元二次方程和两个集合的关系为知识载体，求参数的范围为任务，借助根与系数的关系、解方程分类讨论思想等一系列数学思维活动，加强逻辑推理和数学运算核心素养水平一、水平二的练习.情境已知集合{}{}22240,2(1)10A x x x B x x a x a =+==+++-=∣∣，若B A ⊆，求实数a 的取值范围.分析易知集合{0,4}A =-，由B A ⊆的具体含义可知 {0}B B =∅=或或{}{}404B B =-=-或，，进而得解.答案 {}240{0,4}A x x x =+==-∣.,B A B ⊆∴=∅或{}{}0404}{B B B ==-=-或或，. 当B =∅时，()22[2(1)]410,1a a a ∆=+--<∴<-；当{}0B =时，由根与系数的关系知202(1)01a a =-+⎧⎨=-⎩，，解得1a =-. 当{}4B =-时，由根与系数的关系知2442(1),161,a a --=-+⎧⎨=-⎩无解；当{0,4}B =-时，由根与系数的关系知2402(1),0 1.a a -+=-+⎧⎨=-⎩解得1a =. 综上可知，实数a 的取值范围为{1, 1}aa a -=∣或.。

高一数学集合、子集、全集、补集人教版知识精讲

高一数学集合、子集、全集、补集人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：集合、子集、全集、补集二. 重点、难点：1. 重点：（1）集合的概念，用描述法表示集合。

（2）子集、补集的定义。

2. 难点：（1）用描述法表示集合时，对代表元素内涵的理解。

（2）元素与子集，属于与包含之间的区别。

【典型例题】[例1] 用适当的符号填空：（1）2Q （2）21*N （3）3.14Q （4）（1-，1）}|{2x y y = （5）}6|{≥x x }4|{>x x（6）φ}{φ解：（1）∉ （2）∉ （3）∈ （4）∉ （5）⊆ （6）∈或⊆或≠⊂[例2] 由直线12-=x y 上的点的坐标组成的集合可表示为？解：}12|),{(-=x y y x需注意的几种错误的表示方法}12|{-=x y y ，}12|{-=x y x ，}12{-=x y[例3] 设},36|{*N x xx A ∈Z ∈-=用列举法写出集合A 。

解：∵6|)3(x -∴13±=-x ，2±，3±，6±∴=x 2，4，1，5，0，6，3-，9 又 ∵*N x ∈ ∴=x 2，4，1，5，6，9 ∴ A={1，2，4，5，6，9}[例4] 设a ，b 是整数，集合}63)(|),{(2y b a x y x E ≤+-=点（2，1）∈E ，但点（1，0）∉E ，E ∉)2,3(，求a 、b 的值。

解：∵E ∈)1,2(∴63)2(2≤+-b a ①∵E ∉)0,1(，E ∉)2,3(∴03)1(2>+-b a ②123)3(2>+-b a ③由①、②得22)1()2(6a a -->-- 展开整理032>+a ∴23->a 类似由①、③得21-<a ∴2123-<<-a 又 ∵a 、b 为整数 ∴1-=a把1-=a 代入①、②得334-≤<-b ∴1-=b综上所述1-=a ，1-=b [例5] 数集},1,0{2x x -中实数x 的取值X 围是什么？解：∵ 集合中的元素是互异的 ∴⎪⎩⎪⎨⎧≠-≠-1022x x x x 解得：⎪⎩⎪⎨⎧+≠-≠≠≠25125110x x x x 且且 ∴x 的取值X 围是}251,1,0|{±≠≠≠x x x x [例6] 写出},,{c b a 的所有子集。

高中数学苏教版高一必修1_1.2_子集、全集、补集_作业_word版含解析

[学业水平训练]一、填空题1.已知全集U ＝{x |x ≥－3}，集合A ＝{x |x >1}，则集合A 的补集∁U A ＝________. 解析：∵U ＝{x |x ≥－3}，A ＝{x |x >1}，如图所示：∴∁U A ＝{x |－3≤x ≤1}．答案：{x |－3≤x ≤1}2.已知集合A ＝{－1，3，m }，B ＝{3，4}，若B ⊆A ，则实数m ＝________．解析：∵B ⊆A ，∴4∈A ，∴m ＝4.答案：43.(2014·南通高一期中试题)全集U 是实数集，集合A ＝{x |2<x ≤5}，则∁U A ＝________．解析：由补集的定义∁U A ＝{x |x ≤2或x >5}．答案：{x |x ≤2或x >5}4.设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋x ＋1＝0}，则∁U A ＝________．解析：方程x 2＋x ＋1＝0，无实数根，故A ＝∅，∴∁U A ＝R .答案：R5.设集合A ＝{x |x >2}，B ＝{x |x >a }，若A ⊆B ，则a 的取值范围为________．解析：由子集定义，要使A ⊆B ，则a ≤2.答案：{a |a ≤2}6.已知全集U ，集合A ＝{1，3，5，7，9}，∁U A ＝{2，4，6，8}，∁U B ＝{1，4，6，8，9}，则集合B ＝________．解析：借助Venn 图，如图所示，得U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}．∵∁U B ＝{1，4，6，8，9}，∴B ＝{2，3，5，7}．答案：{2，3，5，7}二、解答题7.写出满足条件∅M {0，1，2}的所有集合M .解：∵∅M {0，1，2}，∴M 为{0，1，2}的非空真子集，M 中的元素个数为1或2.当M 中只有1个元素时，可以是{0}，{1}，{2}；当M 中含有2个元素时，可以是{0，1}，{0，2}，{1，2}．∴所求集合M 为{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}．8.已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>3，1－2x ≥－11，的解集为A ，非空集合B ＝{x |2<x ≤a }． (1)若B ⊆A ，求实数a 的取值范围；(2)若A ＝B ，求实数a 的值．解：由题意知A ＝{x |2<x ≤6}．(1)∵B ⊆A 且B ≠∅，∴2<a ≤6.(2)∵A ＝B ，∴a ＝6.[高考水平训练]一、填空题1.已知集合A ＝{x |1<ax <2}，B ＝{x |－1<x <1}，则满足A ⊆B 的实数a 的取值范围为________．解析：①当a ＝0时，A ＝∅，满足A ⊆B .②当a >0时，A ＝{x |1a <x <2a}．又∵B ＝{x |－1<x <1}，且A ⊆B ，∴⎩⎨⎧1a ≥－1，2a≤1.∴a ≥2. ③当a <0时，A ＝{x |2a <x <1a}． ∵A ⊆B ，∴⎩⎨⎧2a ≥－1，1a≤1.∴a ≤－2. 综上所述，a 的取值范围是{a |a ＝0，或a ≥2，或a ≤－2}．答案：{a |a ＝0，或a ≥2，或a ≤－2}2．已知A ＝{x |x ＜a }，B ＝{x |1＜x ＜2}，若A ⊆∁R B ，则实数a 的取值范围为________．解析：∁R B ＝{x |x ≤1或x ≥2}．若A ⊆∁R B ，(如图所示)则a ≤1.故实数a 的取值范围是{a |a ≤1}．答案：{a |a ≤1}二、解答题3.已知全集U ＝{x |x ∈N ，且x ≤5}，A ＝{x |x 2－5x ＋a ＝0，x ∈U }，求集合∁U A . 解：∵U ＝{0，1，2，3，4，5}，在A 中，x ∈U ，故得x ＝0，1，2，3，4，5分别代入x 2－5x ＋a ＝0.得a ＝0或a ＝4或a ＝6，故有如下结果．当a ＝0时，A ＝{0，5}，∁U A ＝{1，2，3，4}；当a ＝4时，A ＝{1，4}，∁U A ＝{0，2，3，5}；当a ＝6时，A ＝{2，3}，∁U A ＝{0，1，4，5}；当a ≠0，4，6时，A ＝∅，∁U A ＝U .4.已知M ＝{x |x >0，x ∈R }，N ＝{x |x >a ，x ∈R }．(1)若M ⊆N ，求a 的取值范围；(2)若M ⊇N ，求a 的取值范围；(3)若∁R M ∁R N ，求a 的取值范围．解：(1)由M ⊆N ，知a ≤0.(2)由M ⊇N ，知a ≥0.(3)∁R M ＝{x |x ≤0，x ∈R }，∁R N ＝{x |x ≤a ，x ∈R }，而∁R M∁R N ，即∁R M 是∁R N 的真子集，故a >0.。

2高中必修一子集、全集、补集知识点+例题全面

辅导讲义――子集、全集、补集
[例2] 已知集合A =｛1｝，B =｛-1，2m -1｝，且A B ，则m =_______.
[巩固]集合A =｛21≤<x x ｝，集合B =｛a x x <｝，满足A B ，则实数a 的取值范围是______________.
3、子集和真子集的关系：
（1）任何一个集合是它本身的子集，但不是它本身的真子集；
（2）A ⊆B A B 或A =B .
（3）集合A =｛1，2｝，B =｛1，2，3｝，则A 是B 的子集，也是真子集，用符号A ⊆B 与A B 均可，但用A B 更
准确.
4、有限集合的子集个数
（1）由n 个元素构成的集合有2n 个子集（n ∈N*）；
（2）由n 个元素构成的集合有（2n -1）个真子集；
（3）由n 个元素构成的集合有（2n -1）个非空子集；
（4）由n 个元素构成的集合有（2n -2）个非空真子集.
[例]已知集合A =｛a ，b ，c ｝，则集合A 的非空真子集的个数是_____________.
[巩固]定义集合A -B =｛B x A x x ∉∈且｝，若M =｛1，2，3，4，5｝，N =｛0，2，3，6，7｝，则集合N -M 的真子集个数为__________.
1、全集和补集的概念
全集如果集合U 包含我们所要的各个集合，那么这时U 可以看作是一个全集，记作U
补集
设A ⊆U ，由U 中不属于A 的所有元素构成的集合，叫做U 的子集A 的补集，
记作∁U A ，读作A 在U 中的补集符号
语言 ∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }
图示
语言
知识模块2全集、补集精典例题透析。

高中数学苏教版高一必修11.2子集、全集、补集作业

[学业水平训练]一、填空题1.已知全集U ＝{x |x ≥－3}，集合A ＝{x |x >1}，则集合A 的补集∁U A ＝________. 解析：∵U ＝{x |x ≥－3}，A ＝{x |x >1}，如图所示：∴∁U A ＝{x |－3≤x ≤1}．答案：{x |－3≤x ≤1}2.已知集合A ＝{－1，3，m }，B ＝{3，4}，若B ⊆A ，则实数m ＝________．解析：∵B ⊆A ，∴4∈A ，∴m ＝4.答案：43.(2014·南通高一期中试题)全集U 是实数集，集合A ＝{x |2<x ≤5}，则∁U A ＝________．解析：由补集的定义∁U A ＝{x |x ≤2或x >5}．答案：{x |x ≤2或x >5}4.设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋x ＋1＝0}，则∁U A ＝________．解析：方程x 2＋x ＋1＝0，无实数根，故A ＝∅，∴∁U A ＝R .答案：R5.设集合A ＝{x |x >2}，B ＝{x |x >a }，若A ⊆B ，则a 的取值范围为________．解析：由子集定义，要使A ⊆B ，则a ≤2.答案：{a |a ≤2}6.已知全集U ，集合A ＝{1，3，5，7，9}，∁U A ＝{2，4，6，8}，∁U B ＝{1，4，6，8，9}，则集合B ＝________．解析：借助Venn 图，如图所示，得U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}．∵∁U B ＝{1，4，6，8，9}，∴B ＝{2，3，5，7}．答案：{2，3，5，7} 二、解答题7.写出满足条件∅M{0，1，2}的所有集合M . 解：∵∅M {0，1，2}，∴M 为{0，1，2}的非空真子集，M 中的元素个数为1或2.当M 中只有1个元素时，可以是{0}，{1}，{2}；当M 中含有2个元素时，可以是{0，1}，{0，2}，{1，2}．∴所求集合M 为{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}．8.已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>3，1－2x ≥－11，的解集为A ，非空集合B ＝{x |2<x ≤a }． (1)若B ⊆A ，求实数a 的取值范围；(2)若A ＝B ，求实数a 的值．解：由题意知A ＝{x |2<x ≤6}．(1)∵B ⊆A 且B ≠∅，∴2<a ≤6.(2)∵A ＝B ，∴a ＝6.[高考水平训练]一、填空题1.已知集合A ＝{x |1<ax <2}，B ＝{x |－1<x <1}，则满足A ⊆B 的实数a 的取值范围为________．解析：①当a ＝0时，A ＝∅，满足A ⊆B .②当a >0时，A ＝{x |1a <x <2a}．又∵B ＝{x |－1<x <1}，且A ⊆B ，∴⎩⎨⎧1a ≥－1，2a≤1.∴a ≥2. ③当a <0时，A ＝{x |2a <x <1a}． ∵A ⊆B ，∴⎩⎨⎧2a ≥－1，1a≤1.∴a ≤－2. 综上所述，a 的取值范围是{a |a ＝0，或a ≥2，或a ≤－2}．答案：{a |a ＝0，或a ≥2，或a ≤－2}2．已知A ＝{x |x ＜a }，B ＝{x |1＜x ＜2}，若A ⊆∁R B ，则实数a 的取值范围为________．解析：∁R B ＝{x |x ≤1或x ≥2}．若A ⊆∁R B ，(如图所示)则a ≤1.故实数a 的取值范围是{a |a ≤1}．答案：{a |a ≤1}二、解答题3.已知全集U ＝{x |x ∈N ，且x ≤5}，A ＝{x |x 2－5x ＋a ＝0，x ∈U }，求集合∁U A . 解：∵U ＝{0，1，2，3，4，5}，在A 中，x ∈U ，故得x ＝0，1，2，3，4，5分别代入x 2－5x ＋a ＝0.得a ＝0或a ＝4或a ＝6，故有如下结果．当a ＝0时，A ＝{0，5}，∁U A ＝{1，2，3，4}；当a ＝4时，A ＝{1，4}，∁U A ＝{0，2，3，5}；当a ＝6时，A ＝{2，3}，∁U A ＝{0，1，4，5}；当a ≠0，4，6时，A ＝∅，∁U A ＝U .4.已知M ＝{x |x >0，x ∈R }，N ＝{x |x >a ，x ∈R }．(1)若M ⊆N ，求a 的取值范围；(2)若M ⊇N ，求a 的取值范围；(3)若∁R M ∁R N ，求a 的取值范围．解：(1)由M ⊆N ，知a ≤0.(2)由M⊇N，知a≥0.(3)∁R M＝{x|x≤0，x∈R}，∁R N＝{x|x≤a，x∈R}，而∁R M∁R N，即∁R M是∁R N的真子集，故a>0.。

第1章-1.2-子集、全集、补集高中数学必修第一册苏教版

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537
424
= {⋯ , , ,1, , , ,⋯ },易知集合A中任一元素均为B中的元素,但B中的有些元素不在
集合A中，故 ⫋ .

2
1
4
（特征法）集合A中的元素为 = + =
=

4
1
+
2
=
+2
4
2+1
(
4
∈ ),集合B中的元素为
∈ ,而2 + 1 ∈ 为奇数, + 2 ∈ 为整数,故 ⫋ .
知识点4 有限集合的子集、真子集个数
例4-10 (2024·广东省深圳中学月考)若集合满足 ⫋ {1，2}，则的个数为( B
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】集合满足 ⫋ {1，2}，集合{1，2}的元素个数为2，则的个数为
22 − 1 = 3．
)
例4-11 (2024·河南模拟)已知集合 = { ∈ | − 2 < < 3}，则集合的所有非空真
第1章集合
1.2 子集、全集、补集
教材帮丨必备知识解读
知识点1 子集、真子集
例1-1 能正确表示集合 = { ∈ |0 ≤ ≤ 2}和集合 = { ∈ | 2 − = 0}关系的
Venn图为( B
A.
)
B.
C.
D.
பைடு நூலகம்
【解析】由2 − = 0得 = 1或 = 0，所以 = {0,1}，故 ⫋ .结合选项可知,B正确.
【解析】因为 2 − 5 + 6 = 0的两根为2,3，故A正确；
因为⌀ 是任何集合的子集，故B正确；

子集全集补集_典型例题

例1判定以下关系是否正确⑴{a} {a}(2) {1 , 2, 3} = {3 , 2, 1}(3) 丰{0}(4) 0 € {0}(5) € {0}(6) 二{0}分析空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.解根据子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正确的，后两个都是错误的.说明：含元素0的集合非空.例2列举集合{1 , 2, 3}的所有子集.分析子集中分别含1, 2, 3三个元素中的0个，1个，2个或者3个.解含有0个元素的子集有：；含有1个元素的子集有{1} , {2} , {3};含有2个元素的子集有{1 , 2}, {1 , 3} , {2 , 3};含有3个元素的子集有{1 , 2, 3} •共有子集8个.说明：对于集合A,我们把和A叫做它的平凡子集.例3已知{a , b} A丰{a, b , c, d},则满足条件集合A的个数为分析A中必含有元素a , b,又A是{a , b , c , d}真子集，所以满足条件的 A 有：{a , b}, {a , b , c}{a , b , d}.答共3个.说明：必须考虑A中元素受到的所有约束.例4设U为全集,集合M、N工U ,且N M,贝U[ ]A .打皿丈理B , McC v NC, D . M^C V N分析作出4图形.答选C.说明：考虑集合之间的关系，用图形解决比较方便.点击思维例 5 设集合 A = {x|x = 5 —4a+ a2, a€ R}, B = {y|y = 4b2+ 4b + 2, b€R}，则下列关系式中正确的是[ ]A . A =B B . A BC. A 工B D . A 工B分析问题转化为求两个二次函数的值域问题，事实上x = 5 —4a+ a2=(2 —a)2+ 1 > 1,y = 4b2+ 4b+ 2 = (2b + 1)2+ 1> 1,所以它们的值域是相同的，因此A = B.答选A .说明：要注意集合中谁是元素.例6设全集U〔U护3)和集合也N. P,且M=CuN, N二3 则M与P的关系是[ ]A . M = _ U PB . M = PC. M 工PD. M P分析可以有多种方法来思考，一是利用逐个验证(排除)的方法；二是利用补集的性质：M = C U N=C U(C uP)= P;三是利用画图的方法.圈L4答选B .说明：一题多解可以锻炼发散思维.例7下列命题中正确的是[ ]A . C U（O）= ｛A｝B .若A n B = B,则A BC.若A = ｛1 , , ｛2｝｝，则｛2｝工AD .若A = ｛1 , 2 , 3｝, B = ｛x|x A｝，则A € B分析D选择项中A € B似乎不合常规，而这恰恰是惟一正确的选择支.v D选择支中，B中的元素，x A，即x是集合A的子集，而A的子集有，｛1｝，｛2｝，｛3｝，｛1，2｝，｛1，3｝，｛2，3｝，｛1，2，3｝，而B 是由这所有子集组成的集合，集合A是其中的一个元素.••• A € B .答选D .说明：选择题中的选项有时具有某种误导性，做题时应加以注意.例8 已知集合 A = ｛2，4，6，8，9｝，B = ｛1，2, 3，5，8｝，又知非空集合C是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A的一个子集；若各元素都减2后，则变为B的一个子集，求集合C.分析逆向操作：A中元素减2得0，2，4, 6, 7,则C中元素必在其中；B中元素加2得3, 4, 5, 7, 10,贝U C中元素必在其中；所以C中元素只能是4或7.答 C = ｛4｝或｛7｝或｛4 , 7｝.说明：逆向思维能力在解题中起重要作用.例9 设S= ｛1 , 2, 3, 4｝，且M = ｛x € S|x2—5x+ p= 0｝，若L，§M = ｛1 , 4｝，贝U p = _____ .分析本题渗透了方程的根与系数关系理论，由于H S M=｛1, 4｝,且M工S,• M = ｛2 , 3｝则由韦达定理可解.答p= 2 X 3= 6.说明：集合问题常常与方程问题相结合.例10 已知集合S= ｛2 , 3, a2+ 2a—3｝, A = ｛|a + 1|, 2｝, C S A = ｛a + 3｝, 求a的值.分析歓求盘的值，需充分挖掘补集的含义. 心' Q AC S.S 这个集合是集合 A 与集合_SA 的元素合在一起“补成”的，此外，对这类字母的集合问题，需要注意元素的互异性及分类讨论思想方法的应用.解由补集概念及集合中元素互异性知 a 应满足a + 3 = 3① |a + 1| = a 2 + 2a — 3② （1）a 2+ 2a — 3工 2 ③ a 2 + 2a — 3工 3④ a + 3 = a 2 + 2a — 3①|a + 1| = 32a + 2a — 3工 2 a 2 + 2a — 3工 3④在(1)中，由①得a = 0依次代入②③④检验，不合②，故舍去.在(2)中，由①得a =— 3, a = 2，分别代入②③④检验，a =— 3不合②，故舍去，a = 2能满足②③④.故 a = 2符合题意.说明：分类要做到不重不漏.k n n例 11 （1993年北京高考题）集合M = {x|x = -^ + -4 , k € Z} , N = { k n n … x|x =壬 + y , k € Z}贝UA . M = NB . M 工 N C. M 工 ND. M 与N 没有相同元素分析分别令k =^, — 1, 0, 1, 2, 3,…得n n 3 n 5 n 7 n4， 4， 4 ， 4 ， 4n n 3 n 5 n4，T ，~T ，n,T '…} 易见，M 工N .或⑵M = {…,N = …，答选 C ．说明：判断两个集合的包含或者相等关系要注意集合元素的无序性。

高一数学教案1.2子集、全集、补集

1.2子集、全集、补集教学目的：通过本小节的学习，使学生达到以下要求： (1)了解集合的包含、相等关系的意义； (2)理解子集、真子集的概念； (3)理解补集的概念；(4)了解全集的意义．教学重点与难点：本小节的重点是子集、补集的概念，难点是弄清元素与子集、属于与包含之间的区别。

教学过程:第一课时一提出问题:现在开始研究集合与集合之间的关系.存在着两种关系:“包含”与“相等”两种关系. 二“包含”关系—子集1. 实例: a={1,2,3}b={1,2,3,4,5} 引导观察. 结论: 对于两个集合a和b,如果集合a的任何一个元素都是集合b的元素,则说:集合a包含于集合b,或集合b包含集合a,记作aíb (或bêa)也说: 集合a是集合b的子集.2. 反之: 集合a不包含于集合b,或集合b不包含集合a,记作a?b (或b?a) 注意: í也可写成ì；ê也可写成é；í也可写成ì；ê也可写成é。

3. 规定: 空集是任何集合的子集. φía 三“相等”关系1. 实例：设a={x|x2-1=0} b={-1,1} “元素相同”结论：对于两个集合a与b，如果集合a 的任何一个元素都是集合b的元素，同时,集合b的任何一个元素都是集合a的元素，我们就说集合a等于集合b，即： a=b2. ①任何一个集合是它本身的子集。

aía②真子集：如果aíb ,且a1 b那就说集合a是集合b的真子集，记作③空集是任何非空集合的真子集。

④如果 aíb, bíc ,那么 aíc 证明：设x是a的任一元素，则 x?a aíb, x?b 又 bíc x?c 从而 aíc 同样；如果 aíb, bíc ,那么 aíc⑤如果aíb 同时 bía 那么a=b 四例题：例一写出集合{a,b}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.例二解不等式x-3>2,并把结果用集合表示出来. 练习 p9 例三已知，问集合m与集合p之间的关系是怎样的？例四已知集合m满足五小结：子集、真子集的概念，等集的概念及其符号几个性质： aíaaíb, bíc taícaíb bíat a=b 作业：p10 习题1.2 1,2,3。

子集、全集、补集知识点总结及练习

1.2 子集全集补集学习目标：1．理解集合之间包含的含义，能识别给定集合是否具有包含关系；2．理解全集与空集的含义．重点难点：能通过分析元素的特点判断集合间的关系．授课内容：一、知识要点1．子集、真子集(1)子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 称为集合B 的子集．即：对任意的x ∈A ，都有x ∈B ，则A ____B (或B ⊇A )．(2)真子集：若A ⊆B ，且A ≠B ，那么集合A 称为集合B 的真子集，记作A ___B (或B _____A )．(3)空集：空集是任意一个集合的______，是任何非空集合的____．即∅⊆A ，∅____B (B ≠∅)．(4)若A 含有n 个元素，则A 的子集有个，A 的非空子集有个．(5)集合相等：若A ⊆B ，且B ⊆A ，则A ＝B ．2．全集与补集：全集：包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U ．补集：若S 是一个集合，A ⊆S ，则，S C =}|{A x S x x ∉∈且称S 中子集A 的补集．简单性质：（1）S C (S C )=A ；（2）S C S=Φ，ΦS C =S ．二、典型例题子集、真子集1．（1）写出集合{a ，b }的所有子集及其真子集；（2）写出集合{a ，b ，c }的所有子集及其真子集．2．设M 满足{1，2，3}⊆M ≠⊂{1，2，3，4，5，6}，则集合M 的个数为． 3．设{|12}A x x =<<，{|}B x x a =<，若A 是B 的真子集，则a 的取值范围是．4．若集合A ={1，3，x }，B ={x 2，1}，且B ⊆A ，则满足条件的实数x 的个数为．5．设集合M ={(x,y )|x+y <0，xy >0}和N ={(x,y )|x <0，y <0}，那么M 与N 的关系为______________．6．集合A ={x |x =a 2-4a +5，a ∈R }，B ={y |y =4b 2+4b +3，b ∈R } 则集合A 与集合B 的关系是________．7．设x ，y ∈R ，B ={(x,y )|y -3=x -2}，A ={(x,y )|32y x --=1}，则集合A 与B 的关系是_______ ____． 8．已知集合{}{}|21,,|41,,A x x n n Z B x x n n Z ==+∈==±∈则,A B 的关系是．9．设集合{}{}21,3,,1,,1,A a B a a a ==-+,A B =若则________=a ．10．已知非空集合P 满足：(){}11,2,3,4;P ⊆()2,5a P a P ∈-∈若则，符合上述要求的集合P 有个．11．已知A={2，4，x 2-5x+9}，B={3，x 2+ax+a }，C={x 2+(a+1)x-3，1}．求：（1）当A ={2，3，4}时，求x 的值；（2）使2∈B ，B A ，求x a ,的值；（3）使B=C 的x a ,的值．【拓展提高】12．已知集合{}{},121|,52|-≤≤+=≤≤-=m x m x B x x A 满足,A B ⊆求实数m 的取值范围．⊂ ≠全集、补集1．设集合{}{}R b b y y B R a a x x A ∈+-==∈+-==,3|,,4|22，则A ，B 间的关系为．2．若U ={x|x 是三角形}，P ={x|x 是直角三角形}，则U C P = ．3．已知全集+=R U ，集合{}|015,,A x x x R =<-≤∈则_______.U C A =4．已知全集}{非零整数=U ，集合}},42{U x x x A ∈>+=，则=A C U ．5．设},61{},,5{N x x x B N x x x A ∈<<=∈≤=，则=B C A ．6．设全集U={1，2，3，4，5}，M ={1，4}，则U C M 的所有子集的个数是．7．已知全集},21{*N n x x U n ∈==，集合}*,21{2N n x x A n ∈==，则=A C U ．8．已知A A y ax y x A Z a ∉-∈≤-=∈)4,1(,)1,2(}3),{(,且，则满足条件a 的值为．9．设U =R ，}1{},31{+≤≤=≥≤=m x m x B x x x P 或，记所有满足P C B U ⊆的m 组成的集合为M ，求M C U ．10．（1）设全集{}{},1|,1|,+>=≤==a x x B x x A R U 且U C A B ⊆，求a 的范围．（2）已知全集{}{}{}22,3,23,2,,5,U U a a A b C A =+-==求实数b a 和的值．【拓展提高】10．已知全集}5{的自然数不大于=U ，集合}1,0{=A ，}1{<∈=x A x x B 且，}1{U x A x x C ∈∉-=且．求B C U 、C C U三、巩固练习《子集、全集、补集》1一、填空题1．已知全集U，M、N是U的非空子集，若∁U M⊇N，则下列关系正确的是________．①M⊆∁U N ②M∁U N ③∁U M＝∁U N ④M＝N2．设全集U和集合A、B、P，满足A＝∁U B，B＝∁U P，则A________P(填“”、“”或“＝”)．3．设全集U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，∁U A＝{x|x>4或x<3}，则a＝________，b＝________．4．给出下列命题：①∁U A＝{x|x/∈A}；②∁U∅＝U；③若S＝{三角形}，A＝{钝角三角形}，则∁S A＝{锐角三角形}；④若U＝{1,2,3}，A＝{2,3,4}，则∁U A＝{1}．其中正确命题的序号是________．5．已知全集U＝{x|－2011≤x≤2011}，A＝{x|0<x<a}，若∁U A≠U，则实数a的取值范围是________．6．设U为全集，且M U，N U，N⊆M，则①∁U M⊇∁U N；②M⊆∁U N；③∁U M⊆∁U N；④M⊇∁U N．其中不正确的是________(填序号)．7．设全集U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1，|a－5|,9}，∁U A＝{5,7}，则a的值为________．8．设全集U＝{2,4,1－a}，A＝{2，a2－a＋2}．若∁U A＝{－1}，则a＝______．9．设I＝{1,2,3,4,5,6,7}，M＝{1,3,5,7}，则∁I M＝________．10．若全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{0,1,2,3}，集合B＝{2,3,4}，则由∁U A与∁U B的所有元素组成的集合为________．11．已知全集U＝{非负实数}，集合A＝{x|0<x－1≤5}，则∁U A＝________．12．已知全集U＝{0,1,2}，且∁U Q＝{2}，则集合Q的真子集共有________个．二、解答题13．已知全集U，集合A＝{1,3,5,7,9}，∁U A＝{2,4,6,8}，∁U B＝{1,4,6,8,9}，求集合B．14．设全集I＝{2,3，x2＋2x－3}，A＝{5}，∁I A＝{2，y}，求x，y的值15．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x|0<ax ＋1≤5}，集合B ＝{x|x ≤－12或x>2}． (1)若A ⊆∁U B ，求实数a 的取值范围；(2)集合A 、∁U B 能否相等？若能，求出a 的值；否则，请说明理由．《子集、全集、补集》2一、填空题1．已知M ＝{x|x≥22，x ∈R}，a ＝π，给定下列关系：①a ∈M ；②{a}M ；③a M ；④{a}∈M ，其中正确的是________(填序号)．2．已知集合A ⊆{2,3,7}，且A 中至多有1个奇数，则这样的集合共有________个．3．设集合A ＝{2,x,y}，B ＝{2x,y 2,2}，且A ＝B ，则x ＋y 的值为________．4．已知非空集合P 满足：①P ⊆{1,2,3,4,5}，②若a ∈P ，则6－a ∈P ，符合上述条件的集合P 的个数是________．5．集合M ＝{x|x ＝6－2n ，n ∈N ＋，x ∈N}的子集有________个．6．已知集合A ＝{x|ax 2＋2x ＋a ＝0，a ∈R}，若集合A 有且仅有2个子集，则实数a 的取值是________．7．已知集合A ＝{x|0<x<2，x ∈Z}，B ＝{x|x 2＋4x ＋4＝0}，C ＝{x|ax 2＋bx ＋c ＝0}，若A ⊆C ，B ⊆C ，则a ∶b ∶c 等于________．8．已知集合A ＝{－1,2}，B ＝{x|x 2－2ax ＋b ＝0}，若B≠∅，且B A ，则实数a ，b 的值分别是________．9．以下表示正确的有________(填序号)．①{0}∈N ；②{0}⊆Z ；③∅⊆{1,2}；④Q R ．10．集合A ＝{x|0≤x<3且x ∈Z}的真子集的个数是________．11．设集合M ＝{x|－1≤x<2}，N ＝{x|x －k≤0}，若M ⊆N ，则k 的取值范围是________．12．已知集合A ＝{－1,3，m}，B ＝{3,4}，若B ⊆A ，则实数m ＝________．二、解答题13．已知集合M ＝{x|x ＝m ＋16，m ∈Z}，N ＝{x|x ＝n 2－13，n ∈Z}，P ＝{x|x ＝p 2＋16，p ∈Z}．试确定M ，N ，P 之间满足的关系．14．集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．(1)若B⊆A，求实数m的取值范围；(2)当x∈Z时，求A的非空真子集个数；(3)当x∈R时，不存在元素x，使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围．15．已知集合A＝{1,3，－x3}，B＝{x＋2,1}，是否存在实数x，使得B是A的子集？若存在，求出集合A，B；若不存在，请说明理由．。

【新】高中必修一数学子集、全集、补集 (例题+练习题)

子集、全集、补集【经典例题】例1. （1）{}a A ,3,1=，{}1,12+-=a a B ，B A ⊇，求a 。

（2）已知{}01|=+=ax x A ，{}056|2=--=x x x B ，B A ⊆，求a 。

（3）已知{}04|2=+=x x x A ，{}01)1(2|22=-+++=a x a x x B ，若A B ⊆，求a 。

经典练习：已知{}52|≤≤-=x x A ，{}121|-≤≤+=m x m x B ，若A B ⊆，求m 的范围例2.设全集{}32,3,22-+=a a U ，{}2,12-=a A 。

（1）若{}5=A C U ，求实数a 的值（2）若A B ⊆，集合{}3=B C A ，求集合B 与集合U 。

经典练习：1.设全集}3,5,31{--=U ,31-}053|{2=-+=∈px x x A 且31-}0103|{2=++=∈q x x x B ,求B C A C U U ,2. 已知全集{}{}222,4,3,2,2U x M x x =-=-+，}1{-=M C U ，求实数x 的值。

例3. },,14|{Z n n x x A ∈+==若},34|{Z n n x x B ∈-==},,18|{Z n n x x C ∈+==则A 、B 、C 之间的关系是什么？经典练习1、已知},312|{},,61|{Z n n x x N Z m m x x M ∈-==∈+==，的关系为则P N M Z p p x x P ,,},,612|{∈+==2、},214|{},,412|{Z k k x x N Z k k x x M ∈+==∈+==设，的关系为则N M ,巩固练习：基础训练1．给出6个关系式：①{}{}(,)(,)a b b a =； ②{}{},,a b b a =； ③∅{}0； ④{}00∈； ⑤{}0∅∈； ⑥{}0∅=；其中正确的个数为（） A.6 B.5 C.4D.32．已知集合{}24A x x =<≤，则下列关系中正确的是（） A ．A π∉ B ．{}A π∈ C ．A π⊆ D ．{}A π⊆3．已知集合{}0,2,3,A =，则A 的子集的个数是（） A ．4 B ．6 C ．8 D ．9 4．下列各组集合中相等的是（） A ．{}{}20,|10A B x x ==+= B ． {}3(,)|1,(,)|12y A x y y x B x y x -⎧⎫==+==⎨⎬-⎩⎭C ．A =｛n 条边都相等的多边形｝B =｛n 个内角都相等的多边形｝D ．{}{}|31,,|32,A x x n n Z B y y n n Z ==+∈==-∈5. 若集合},3,1{x A =,}1,{2x B =,且A B ⊆,则满足条件的实数x 的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.（1）满足{},a b A ⊆⊂≠{,,,}a b c d 的集合A 可以是；（2）满足{}1,23，⊂≠{}1,2,3,4,5A ⊆的集合A 可以是。

苏教版高中数学必修1- 1.2 子集、全集、补集作业 Word版含解析

§1_1_2子集、全集、补集

§1.1.2子集、全集、补集教学过程：（一）问题情景【问题1】：实数有相等.大小关系，如5=5，5＜7，5＞3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？让学生自由发言，教师不要急于做出判断。

而是继续引导学生；欲知谁准确，让我们一起来观察.研探.【问题2】：观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系了吗？如何用语言来表达这种关系？ ⑴}01|{2=+=x x A ,}0|{2<=x x B ⑵}2,1{=A ,}023|{2=+-=x x x B⑶{2,4,6},{6,4,2}E F ==（二）形成概念1、两个集合相等定义---------如果两个集合所有的元素完全相同(即A 中元素都是B 的元素, B 中元素也都是A 的元素),则称这两个集合相等.记作A=B观察下面几个例子：⑴{}{}1,1,1,0,1,2A B =-=-⑵}|{},|{是三角形是正三角形x x B x x A == ⑶}3,2,1{=A ，}3,1,2{=B ⑷}2|{},3|{≥=>=x x B x x A【问题3】你能发现集合A 中的元素与集合B 中的元素有什么关系了吗？如何用语言来表达这种关系？2.子集⑴ 定义-----如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为B 的子集, 记作：()A B B A ⊆⊇或读作：集合A 包含于集合B(或集合B 包含集合A).【问题4】：你能举出几个具有包含关系.相等关系的集合实例，并用Venn 图表示吗？【问题5】：与实数中的结论“若,,a b b a a b ≥≥=且则”相类比，在集合中，你能得出什么结论? 教师引导学生通过类比，思考得出结论：⑵ 性质【问题6】一个集合能够是它自己的子集吗?【问题7】空集是任何集合的子集吗?空集是空集的子集吗?【问题8】对于集合 A ，B ，C ，如果A ⊆B ，B ⊆C ，那么A 与C 的关系如何呢?⑵性质：①若,,A B B A A B ⊆⊆=且则.②任何一个集合是它自身的子集即A ⊆A③空集是任何集合的子集.即对于任何一个集合A ，有Φ⊆A. ④对于集合 A ，B ，C ，如果A ⊆B ，B ⊆C ，那么A ⊆C 。

新高一数学子集、全集、补集

新高一数学第9课时子集、全集、补集一、复习引入1、集合的概念、表示法，特性，分类2、新课引入（1）子集：（2）真子集：（3）当集合A 不包含于集合B ，或集合B 不包含集合A 时，则记作A B （或B A ）.（4）说明 ①空集是任何集合的子集Φ⊆A ②空集是任何非空集合的真子集ΦA 。

若A ≠Φ，则ΦA ③任何一个集合是它本身的子集A A ⊆ （5）易混符号“∈”与“⊆”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系（6）全集、补集的概念二、例题分析例1、写出集合{,}a b 的所有子集，并指出哪些是它的真子集。

拓展：{,,}a b c 的子集有多少个？{}12,,,n a a a 的子集个数是例2、下列各组的三个集合中，哪两个集合之间具有包含关系？（1）{}{}{}2,1,1,2,1,1,2,2S A B =--=-=-（2）{}{},0,,0,S R A x x x R B x x x R ==≤∈=>∈（3）S ={|x x 为地球人}，A ={|x x 为中国人}，B ={|x x 为外国人}例3、不等式组210360x x ->⎧⎨-≤⎩的解集为A ，U R =，试求A 及U C A ，并把它们分别表示在数轴上。

例4.已知集合{}{}25,121A x x B x m x m =-<≤=-+≤≤-且A B ⊆，求实数m 的取值范围。

例5.已知全集U ＝{2，3，a 2－2a －3}，A ＝{2，｜a －7｜}，C U A ＝{5}，求a 的值.三、随堂练习1、判断下列式子是否正确，并说明理由.(1)2{|10}x x ⊆≤ (2)2{|10}x x ∈≤ (3){2}{|10}x x ≤(4)∅{|10}x x ∈≤ (5)∅{{|10}x x ≤ (6) ∅{|10}x x ≤(7){4，57，11} (8){4，5，6，7}{2，3，5，7，11}2、如图，试说明集合A 、B 、C 之间有什么包含关系.3、设集合A ={四边形}，B ={平行四边形}，C={矩形} D={正方形}，试用Venn 图表示它们之间的关系。

高一数学子集-补集-全集(2019年11月整理)

读作：集合Ａ包含于集合Ｂ或？
注：若 A B且B A，则称集合A与集合B相等。记为A B（也即A中的元素与B中的元素相同）
A B
A B
A B
A B
注：A A，Ａ，ＡＢ．ＢＣＡＣ
真子集：若Ａ是Ｂ的子集且集合Ａ与Ｂ
不相等，称Ａ是Ｂ的真子集
记作：ＡＢ或ＢＡ读作：Ａ真包含与Ｂ或Ｂ真包含Ａ
子集全集补集
问题: 1.观察集合:A={1.2} B={1.2.3.4} 它们有什么异同?
2.观察集合:A={1.2} C={x|(x-1)(x-2)=0}它们有什么关系?
子集：如合果Ｂ集的合元Ａ素的，任称意则一Ａ个是元集素合都Ｂ是的集子
集．即若a A则aB
A B或B A 记作：
例２：不等式组２３ｘｘ－－１６＞００的解集为Ａ，Ｕ＝Ｒ，试求Ａ及Ａ在Ｕ中的补集，并把它们在数轴上表示出来
例３：已知Ｍ＝｛x|x>0｝,Ｎ＝｛x|x>a｝
若ＭＮ，求实数a的取值范围，若ＮＭ呢？
练习：1,已知集合Ａ=｛－２ x－ｘ |２５ｘ５｝,
Ｂ＝｛x|ｋ＋１ｘ２ｋ－１｝若ＢＡ求实
数k的取值范围.
2.若方程 x2 x a 0 至少有一
非负实数根,求实数a的取值范围
课堂小结：
１，子集，真子集，补集，全集的概念
n ２，含n个元素的集合的子集有
2 1 2 n 真子集有
个．
个，
知识总结
１，数形结合２，分类讨论３，补集法
方法总结
全集：如果集合Ｕ包含所要研究的各个集合，这时Ｕ可以看作一个全集．全集通常记为Ｕ．
补集：设Ａ是Ｕ的子集，由Ｕ中不属于

高中数学典型例题子集、集、补集·典型例题课标试题

创作；朱本晓高中数学新课标典型例题：子集、全集、补集·典型例题例1 断定以下关系是否正确(1){a}{a}⊆(2){1，2，3}＝{3，2，1}(3){0}∅⊂≠(4)0∈{0}(5){0}(6){0}∅∅∈＝分析空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．解根据子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正确的，后两个都是错误的．说明：含元素0的集合非空．例2 列举集合{1，2，3}的所有子集．分析子集中分别含1，2，3三个元素中的0个，1个，2个或者者3个．解含有个元素的子集有：； 0∅含有1个元素的子集有{1}，{2}，{3}；含有2个元素的子集有{1，2}，{1，3}，{2，3}；含有3个元素的子集有{1，2，3}．一共有子集8个．创作；朱本晓说明：对于集合，我们把和叫做它的平凡子集．A A ∅例已知，，，，，则满足条件集合的个数为≠3 {a b}A {a b c d}A ⊆⊂ ________．分析 A 中必含有元素a ，b ，又A 是{a ，b ，c ，d}真子集，所以满足条件的A 有：{a ，b}，{a ，b ，c}{a ，b ，d}．答一共3个．说明：必须考虑A 中元素受到的所有约束．例设为全集，集合、，且，则≠4 U M N U N M ⊂⊆ [ ]分析作出4图形．答选C ．说明：考虑集合之间的关系，用图形解决比拟方便．点击思维创作；朱本晓例5 设集合A ＝{x|x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R}，B ＝{y|y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R}，那么以下关系式中正确的选项是[ ]A A BB A BC A BD A B ．＝．．．≠≠⊇⊂⊃分析问题转化为求两个二次函数的值域问题，事实上x ＝5－4a ＋a 2＝(2－a)2＋1≥1，y ＝4b 2＋4b ＋2＝(2b ＋1)2＋1≥1，所以它们的值域是一样的，因此A ＝B ．答选A ．说明：要注意集合中谁是元素．M 与P 的关系是[ ]A ．M ＝U PB ．M ＝PC M PD M P ．．≠⊃⊆分析可以有多种方法来考虑，一是利用逐个验证(排除)的方法；二是利用补集的性质：M ＝U N ＝U (U P)＝P ；三是利用创作；朱本晓画图的方法．答选B ．说明：一题多解可以锻炼发散思维．例7 以下命题中正确的选项是[ ]A ．U (U A)＝{A}B A B B A BC A {1{2}}{2}A ．若∩＝，则．若＝，，，则≠⊆⊂ϕD A {123}B {x|x A}A B ．若＝，，，＝，则∈⊆分析 D 选择项中A ∈B 似乎不合常规，而这恰恰是惟一正确的选择支．∵选择支中，中的元素，，即是集合的子集，而的子D B x A x A A ⊆ 集有，，，，，，，，，，，，，而∅{1}{2}{3}{12}{13}{23}{123}B 是由这所有子集组成的集合，集合A 是其中的一个元素．∴A ∈B ．答选D ．说明：选择题中的选项有时具有某种误导性，做题时应加以创作；朱本晓注意．例8 集合A ＝{2，4，6，8，9}，B ＝{1，2，3，5，8}，又知非空集合C 是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A 的一个子集；假设各元素都减2后，那么变为B 的一个子集，求集合C ．分析逆向操作：A 中元素减2得0，2，4，6，7，那么C 中元素必在其中；B 中元素加2得3，4，5，7，10，那么C 中元素必在其中；所以C 中元素只能是4或者7．答 C ＝{4}或者{7}或者{4，7}．说明：逆向思维才能在解题中起重要作用．例9 设S ＝{1，2，3，4}，且M ＝{x ∈S|x 2－5x ＋p ＝0}，假设S M ＝{1，4}，那么p ＝________．分析此题浸透了方程的根与系数关系理论，由于S M ＝{1，4}，且，≠M S ∴M ＝{2，3}那么由韦达定理可解．答 p ＝2×3＝6．说明：集合问题常常与方程问题相结合．例10 集合S ＝{2，3，a 2＋2a －3}，A ＝{|a ＋1|，2}，S A＝{a ＋3}，求a 的值．创作；朱本晓 S 这个集合是集合A 与集合S A 的元素合在一起“补成〞的，此外，对这类字母的集合问题，需要注意元素的互异性及分类讨论思想方法的应用．解由补集概念及集合中元素互异性知a 应满足()1a 3 3 |a 1|a 2a 3 a 2a 3 2a 2a 3 3 222＋＝①＋＝＋－②＋－≠③＋－≠④⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪或＋＝＋－①＋＝②＋－≠③＋－≠④(2)a 3a 2a 3 |a 1| 3 a 2a 3 2a 2a 3 3 222⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 在(1)中，由①得a ＝0依次代入②③④检验，不合②，故舍去．在(2)中，由①得a ＝－3，a ＝2，分别代入②③④检验，a ＝－3不合②，故舍去，a ＝2能满足②③④．故a ＝2符合题意．说明：分类要做到不重不漏．例年北京高考题集合＝＝π＋π，∈，＝11 (1993)M {x|x k Z}N {k 24 x|x k Z}＝π＋π，∈则k 42[ ]A ．M ＝N创作；朱本晓 B M N C M N ．．≠≠⊃⊂D ．M 与N 没有一样元素分析分别令k ＝…，－1，0，1，2，3，…得M {}N {}M N ＝…，－π，π，π，π，π，…，＝…，π，π，π，π，π，…易见，．≠44345474423454⊂ 答选C ．说明：判断两个集合的包含或者者相等关系要注意集合元素的无序性励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。