三角函数公式的推导及公式大全

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三角函数公式及推导公式

记忆方法二：无论 α是多大的角，都将 α看成锐角．以诱导公式二为例：
若将 α看成锐角（终边在第一象限），则 π十 α是第三象限的角（终边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得到了诱导公式二．
以诱导公式四为例：
n 倍角公式应用欧拉公式： . 上式用于求 n 倍角的三角函数时，可变形为：
所以，
其中， Re 表示取实数部分， Im 表示取虚数部分．而
所以，
半角公式
n 倍角的三角函数
（正负由所在的象限决定）
万能公式
辅助角公式
证明：由于，显然
，且
故有：
三角形定理
正弦定理
详见词条：正弦定理在任意△ ABC中，角 A、 B、 C 所对的边长分别为 a、b、c，三角形外接圆的半径为 R．则有：正弦定理变形可得：
基本公式
和差角公式
二角和差公式
证明如图，负号的情况只需要用 -β代替 β即可． cot( α+β)推导只需把角 α对边设为 1，过程与 tan( α+β)相同．
证明正切的和差角公式
三角和公式
和差化积
证明正弦、余弦的和差角公式
口诀：正加正，正在前，余加余，余并肩，正减正，余在前，余减余，负正弦．
若将 α看成锐角（终边在第一象限），则 π-α是第二象限的角（终边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负值．这样，就得到了诱导公式四．
诱导公式的应用：
运用诱导公式转化三角函数的一般步骤：
特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备： ①熟记特殊角的三角函数值； ②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要求是项数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。

三角函数公式大全及其推导方法

三角函数公式大全及其推导方法三角函数是高中数学课程中重要的内容之一、在学习三角函数时，我们会学习各种不同的三角函数公式，这些公式有助于解决三角函数相关的各种问题。

本文将介绍常用的三角函数公式及其推导方法。

一、基本三角函数公式1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，正弦函数定义为对边与斜边的比值。

sin(A) = 对边 / 斜边2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，余弦函数定义为邻边与斜边的比值。

cos(A) = 邻边 / 斜边3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，正切函数定义为对边与邻边的比值。

tan(A) = 对边 / 邻边二、三角函数的诱导公式1.正弦函数的诱导公式：sin(α ± β) = sin(α)cos(β) ± cos(α)sin(β)sin(2α) = 2sin(α)cos(α)2.余弦函数的诱导公式：cos(α ± β) = cos(α)cos(β) ∓ sin(α)sin(β)cos(2α) = cos²(α) - sin²(α) = 2cos²(α) - 1 = 1 -2sin²(α)3.正切函数的诱导公式：tan(α ± β) = (tan(α) ± tan(β)) / (1 ∓ tan(α)tan(β)) tan(2α) = 2tan(α) / (1 - tan²(α))三、倍角公式1.正弦函数的倍角公式：sin(2α) = 2sin(α)cos(α)2.余弦函数的倍角公式：cos(2α) = cos²(α) - sin²(α) = 2cos²(α) - 1 = 1 -2sin²(α)3.正切函数的倍角公式：tan(2α) = 2tan(α) / (1 - tan²(α))四、和差公式1.正弦函数的和差公式：sin(α + β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β)sin(α - β) = sin(α)cos(β) - cos(α)sin(β)2.余弦函数的和差公式：cos(α + β) = cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β)cos(α - β) = cos(α)cos(β) + sin(α)sin(β)3.正切函数的和差公式：tan(α + β) = (tan(α) + tan(β)) / (1 - tan(α)tan(β))tan(α - β) = (tan(α) - tan(β)) / (1 + tan(α)tan(β))五、万能公式sin(A) = (e^(iA) - e^(-iA)) / (2i)cos(A) = (e^(iA) + e^(-iA)) / 2以上是一些常用的三角函数公式及其推导方法。

三角函数公式及推导祥尽版

余弦三倍角公式推导：（证明）
cos3α＝cos(2α＋α)＝cos2αcosα－sin2αsinα ＝(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α) ＝2cos^3(α)－cosα＋(2cosα－2cos^3(α)) ＝4cos^3(α)－3cosα
三倍角公式联想记忆
记忆方法：谐音、联想正弦三倍角：3元减 4元3角（欠债了(被减成负数)，所以要“挣钱”(音似“正弦”)）余弦三倍角：4元3角减 3元（减完之后还有“余”）
r2 112sinsin coscos r2 22sinsin coscos 2r2 1sinsin coscos
由余弦定理得：
AB2 AC 2 BC 2 2AC BC cos ACB
r2 r2 2r r cos 2r2 2r2 cos r2 2 2 cos 2r2 1 cos
sin
cos cos
sin sin
co 1
s sin
cos sin
cos cos
tan tan 1 tan tan
两角差的正切
tan tan tan tan
1 tan tan
tan tan 1 tan tan
4---二倍角公式二倍角的正弦、余弦和正切公式（也称为：升幂缩角公式）
口诀总结
上述的记忆口诀是：奇变偶不变，符号看象限。公式右边的符号为把α视为锐角时，角k·360°+α（k∈z），-α、180°±α，360°-α所在象限的原三角函数值的符号可记忆水平诱导名不变；符号看象限。各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦；三为切；四余弦”．这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”；第三象限内切函数是“＋”，弦函数是“－”；第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”．

三角函数推导,公式应用大全

正弦：sine（简写sin）[sain]余弦：cosine（简写cos）[kəusain]正切：tangent（简写tan）['tændʒənt]余切：cotangent（简写cot）['kəu'tændʒənt]正割：secant（简写sec）['si:kənt]余割：cosecant（简写csc）['kau'si:kənt]正矢：versine（简写versin）['və:sain]余矢：versed cosine（简写vercos）['və:sə:d][kəusain] 直角三角函数直角三角函数（∠α是锐角）三角关系倒数关系：cotα*tanα=1商的关系：sinα/cosα=tanα平方关系：sin²α+cos²α=1折叠编辑本段三角规律三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。

而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。

三角函数本质：根据三角函数定义推导公式根据下图，有sinθ=y/ r; cosθ=x/r; tanθ=y/x; cotθ=x/y 深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB为例：推导：首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。

角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。

A(cosα，sinα），B(cosβ，sinβ），A'(cos（α-β），sin（α-β））OA'=OA=OB=OD=1,D（1,0)∴[cos（α-β）-1]^2+[sin（α-β）]^2=(cosα-cosβ）^2+(sinα-sinβ）^2和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换（a+b)/2与（a-b)/2）单位圆定义单位圆六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。

三角函数公式大全及其推导方法

三角函数公式大全及其推导1. 三角函数的定义由此，我们定义：如Figure I, 在ΔABC 中sin () cos () tan ()11 cot ()tan 11 sec ()cos 11 csc ()sin bca cb a a b b ac a a c c b b c θθθθθθθθθθθθθθθ∠=∠=∠=∠===∠===∠===对边的正弦值：斜边邻边的余弦值：斜边对边的正切值：邻边邻边的余切值：对边斜边的正割值：邻边斜边的余割值：对边备注：当用一个字母或希腊字母表示角时，可略写∠符号，但用三个子母表A c b θ Figure I示时，不能省略。

在本文中，我们只研究sin 、cos 、tan 。

2. 额外的定义222222sin (sin )cos (cos )tan (tan )θθθθθθ===3. 简便计算公式22sin cos cos(90)cos sin sin(90)111tan tan tan(90)sin cos 1b A cc A b b a a A bθθθθθθθθ===-∠===-∠====-∠+= 证明： 2222222222901sin sin 1sin cos 1ABC ABC a b c a b c cB A θθ∆∠=∴+=∴+=∴+=∴+=在中,证完222222sin tan cos sin cos 1tan 1cos cos cos bb c a a cθθθθθθθθθ===+=+= 4. 任意三角形的面积公式如Figure II , C a b hFigure II121sin 21sin ()2ABC S ah ab C ac B ∆===两边和其夹角正弦的乘积 5. 余弦定理：任意三角形一角的余弦等于两邻边的平方和减对边的平方之差与两邻边积的两倍之比。

证明：如Figure II, 2222222222222222222222(cos )(sin )2cos cos sin =2cos (cos sin )2cos cos 22b d h a c B c B a ac B c B c Ba ac B c B B a c ac Bb ac a c b B ac ac=+=-+=-++-++=+---+-⇒==-证完6. 海伦公式证明：如Figure II ,1sin 212121212ABC S ab C∆=========2ABC a b cs S ∆===++=设： 7. 正弦定理如 Figure III ,c 为ΔABC 外接圆的直径,sin 2 sin a A c ac r r ABC A =∴==∆（为的外接圆半径）同理：, sin sin 2sin sin sin b c c c B C a b c r A B C ==∴===8. 加法定理(1) 两角差的余弦如 Figure IV , AOC BOC AOB αβαβ∠=∠∠=∠∠=∠-∠令AO=BO=r点A 的横坐标为cos A x r α=点A 的纵坐标为sin A y r α=点B 的横坐标为cos B x r β=Figure IV点B 的纵坐标为sin B y r β=()()()()()()22222222222222222222222222sin sin cos cos sin sin 2sin sin cos cos 2cos cos sin sin 2sin sin cos cos 2cos cos sin cos sin cos 2sin sin 2cos cos 112s A B A B AB y y x x r r r r r r r r r r r r r αββααβαβαβαβαβαβαβαβααββαβαβ=-+-=-+-=+-++-=+-++-=+++--=+-()()()22in sin cos cos 22sin sin cos cos 21sin sin cos cos r r αβαβαβαβαβαβ+⎡⎤⎣⎦=-+⎡⎤⎣⎦=-+⎡⎤⎣⎦由余弦公式可得：()()()()2222222222cos 2cos 22cos 22cos 21cos AB AC BC AC BC ACBr r r r r r r r αβαβαβαβ=+-⋅∠=++⋅-=+-=--⎡⎤⎣⎦=--⎡⎤⎣⎦综上得：()cos sin sin cos cos αβαβαβ-=+(2) 两角和的余弦()()()()cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβαβ+=--⎡⎤⎣⎦=-+-=-+=-(3) 两角和的正弦()()()()()sin cos 90cos 90sin 90sin cos 90cos cos sin sin cos αβαβαβαβαβαβαβ+=︒-+⎡⎤⎣⎦=︒--⎡⎤⎣⎦=︒-+︒-=+(4) 两角差的正弦()()()()sin sin cos sin sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβαβαβ-=+-⎡⎤⎣⎦=-+-=-+=-(5) 两角和的正切()()()sin tan cos cos sin sin cos cos cos sin sin cos sin sin cos cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin 1cos cos tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαββαβααβαβαβαβ++=++=-+=-+=-+=-(6) 两角差的正切()()()()tan tan tan tan 1tan tan tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ-=+-⎡⎤⎣⎦+-=---=+ 9. 两倍角公式()()()()()()()222222222222sin 2sin sin cos sin cos 2sin cos cos 2cos cos cos sin sin cos sin 12sin 2cos 1sin 2tan 2cos 22sin cos cos sin 2sin cos cos cos sin cos 2sin cos sin 1cos 2tan 1ta αααααααααααααααααααααααααααααααααααααα=+=+==+=-=-=-=-==-=-=-=-2n α10. 积化和差公式()()()()1sin cos 2sin cos 21sin cos sin cos cos sin cos sin 21sin sin 2αβαβαβαβαβαβαβαβ==++-=++-⎡⎤⎣⎦()()()()()()()()1cos cos 2cos cos 21cos cos cos cos sin sin sin sin 21cos cos 21sin sin 2sin sin 21sin sin sin sin cos cos cos cos 21cos cos 2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ==++-=++-⎡⎤⎣⎦==++-=+--⎡⎤⎣⎦ 11. 和差化积公式 (1)设：A=α+β, B=α-β,()()()()sin sin sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin 2sin cos 2sin cos 222sin cos 22sin sin sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin 2cos si A B A B A B A B αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα+=++-=++-=++-+--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=+--=+-+=n 2cos sin 222cos sin 22A B A B βαβαβαβαβ++-+-+⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)设：cos sin αα==∵22cos sin 1αα+=()()sin sin coscos sin sin cossinsin baθθθθαθαθαθ+=+=+=+12.其他常用公式()()()()()()()()()()()()()()000sin 360sin cos 360cos tan 360tan sin 90cos cos 90sin 1tan 90tan sin 90cos cos 90sin 1tan 90tan sin 90cos cos 90sin 1tan 90tan sin 180sin cos 180cos n n n θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ+⨯=+⨯=+⨯=︒-=︒-=︒-=︒+=︒+=-︒+=--︒=--︒=-︒=-︒-=︒-=-()()()()()()()()tan 180tan sin 180sin cos 180cos tan 180tan sin sin cos cos tan tan tan 2190 1cos 1cos 11sin 1sin 1n θθθθθθθθθθθθθθθθθθθ︒-=-±︒=-±︒=-±︒=-=--=-=-+⨯︒⎡⎤⎣⎦-≤≤⇒≤-≤≤⇒≤不存在13. 特殊的三角函数值14. 关于机器算法在计算机中，三角函数的算法是这样的，其中x 用弧度计算()()1357210246sin 1!3!5!7!21!cos 0!2!4!6!2!n n nn x x x x x x n x x x x x x n +=∞=∞=-+-+=+=-+-+=∑∑推导公式：(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R(其中，R为外接圆半径) 由正弦定理有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R所以a=2R*sinAb=2R*sinBc=2R*sinC加起来a+b+c=2R*(sinA+sinB+sinC)带入(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R*(sinA+sinB+sinC)/(sinA+sinB+sinC)=2R 两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cosAsinBcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)倍角公式Sin2A=2SinA?CosA对数的性质及推导用^表示乘方，用log(a)(b)表示以a为底，b的对数*表示乘号，/表示除号定义式：若a^n=b(a>0且a≠1)则n=log(a)(b)基本性质：1.a^(log(a)(b))=b2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);3.log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);4.log(a)(M^n)=nlog(a)(M)推导1.这个就不用推了吧，直接由定义式可得(把定义式中的[n=log(a)(b)]带入a^n=b)2.MN=M*N由基本性质1(换掉M和N)a^[log(a)(MN)]=a^[log(a)(M)]*a^[log(a)(N)] 由指数的性质a^[log(a)(MN)]=a^{[log(a)(M)]+[log(a)(N)]} 又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)3.与2类似处理MN=M/N由基本性质1(换掉M和N)a^[log(a)(M/N)]=a^[log(a)(M)]/a^[log(a)(N)] 由指数的性质a^[log(a)(M/N)]=a^{[log(a)(M)]-[log(a)(N)]} 又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N)4.与2类似处理M^n=M^n由基本性质1(换掉M)a^[log(a)(M^n)]={a^[log(a)(M)]}^n由指数的性质a^[log(a)(M^n)]=a^{[log(a)(M)]*n}又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(M^n)=nlog(a)(M)其他性质：性质一：换底公式log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)推导如下N=a^[log(a)(N)]a=b^[log(b)(a)]综合两式可得N={b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)]=b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}又因为N=b^[log(b)(N)]所以b^[log(b)(N)]=b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}所以log(b)(N)=[log(a)(N)]*[log(b)(a)]{这步不明白或有疑问看上面的} 所以log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)性质二：（不知道什么名字）log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]推导如下由换底公式[lnx是log(e)(x),e称作自然对数的底]log(a^n)(b^m)=ln(a^n)/ln(b^n)由基本性质4可得log(a^n)(b^m)=[n*ln(a)]/[m*ln(b)]=(m/n)*{[ln(a)]/[ln(b)]}再由换底公式log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]--------------------------------------------（性质及推导完）公式三:log(a)(b)=1/log(b)(a)证明如下:由换底公式log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a)----取以b为底的对数,log(b)(b)=1=1/log(b)(a)还可变形得:log(a)(b)*log(b)(a)=1平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)·商的关系：tanα=sinα/cosαcotα=cosα/sinα·倒数关系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]常用的诱导公式有以下几组：公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα(以上k∈Z)一般的最常用公式有:Sin(A+B)=SinA*CosB+SinB*CosASin(A-B)=SinA*CosB-SinB*CosACos(A+B)=CosA*CosB-SinA*SinBCos(A-B)=CosA*CosB+SinA*SinBTan(A+B)=(TanA+TanB)/(1-TanA*TanB) Tan(A-B)=(TanA-TanB)/(1+TanA*TanB) 平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)·积的关系：sinα=tanα*cosαcosα=cotα*sinαtanα=sinα*secαcotα=cosα*cscαsecα=tanα*cscαcscα=secα*cotα·倒数关系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边,三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·辅助角公式：Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)·倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]·三倍角公式：sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα·半角公式：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα·降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=vercos(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·其他：sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*( n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*( n-1)/n]=0以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0部分高等内容·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋…此时三角函数定义域已推广至整个复数集。

三角函数公式大全及其推导方法

三角函数公式大全及其推导1. 三角函数得定义由此我们定义:如ＦＩ, 在ΔABC 中sin ()cos () tan ()11 cot ()tan 11 sec ()cos 11 csc ()sin b c a c b a a b b a c a a c c b b cθθθθθθθθθθθθθθθ∠=∠=∠=∠===∠===∠===对边的正弦值：斜边邻边的余弦值：斜边对边的正切值：邻边邻边的余切值：对边斜边的正割值：邻边斜边的余割值：对边备注:当用一个字母或希腊字母表示角时,可略写∠符号,但用三个子母表示时,不能省略。

在本文中，我们只研究ｓｉn 、cos 、ta ｎ。

2. 额外得定义3. 简便计算公式证明：证完cb θ Figure I4. 任意三角形得面积公式如Fｉgure II ,5. 余弦定理：任意三角形一角得余弦等于两邻边得平方与减对边得平方之差与两邻边积得两倍之比。

证明: 如Figu ｒe II ，ﻩﻩﻩﻩ ﻩ证完6. 海伦公式证明:ﻩ如Fi ｇure I Ｉ,C a b hFigure II2222244422222222224442222222222444222222222244422221sin 211cos 21122122212414222241422244214ABC S ab C ab C a b c ab ab a b c a b a c b c ab a b a b a b c a b a c b c ab a b a b a b c a b a c b c a b a b a b c a b a b ∆==-⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭+++--=-----++=----++=⋅-----=⋅()()()()()22222222416a cbc a b a b c a b c b c a a b c -+--++-++=()()()()()()()222222222222222222=2ABC a b c c a b c b a b c a a b c a b c c a b c b a b c a a b ca b c a b c a b c a b c a b c a b c s S s s a s b s c ∆++-++-++-++=⨯⨯⨯++-++-++-++=⨯⨯⨯++++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭++=---设：7. 正弦定理如 F ｉg ｕre II Ｉ,c 为ΔA ＢＣ外接圆得直径,同理:A8. 加法定理 (1) 两角差得余弦如Ｆigure IV ，令＝BO=ｒ点Ａ得横坐标为点A 得纵坐标为点Ｂ得横坐标为点B 得纵坐标为()()()()()()22222222222222222222222222sin sin cos cos sin sin 2sin sin cos cos 2cos cos sin sin 2sin sin cos cos 2cos cos sin cos sin cos 2sin sin 2cos cos 112s A B A B AB y y x x r r r r r r r r r r r r r αββααβαβαβαβαβαβαβαβααββαβαβ=-+-=-+-=+-++-=+-++-=+++--=+-()()()22in sin cos cos 22sin sin cos cos 21sin sin cos cos r r αβαβαβαβαβαβ+⎡⎤⎣⎦=-+⎡⎤⎣⎦=-+⎡⎤⎣⎦由余弦公式可得: 综上得: (2) 两角与得余弦yA BO C xβ (α-β)α Figure IV(3) 两角与得正弦(4) 两角差得正弦(5) 两角与得正切()()()sin tan cos cos sin sin cos cos cos sin sin cos sin sin cos cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin 1cos cos tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαββαβααβαβαβαβ++=++=-+=-+=-+=- (6) 两角差得正切 9. 两倍角公式()()()()()()()222222222222sin 2sin sin cos sin cos 2sin cos cos 2cos cos cos sin sin cos sin 12sin 2cos 1sin 2tan 2cos 22sin cos cos sin 2sin cos cos cos sin cos 2sin cos sin 1cos 2tan 1ta αααααααααααααααααααααααααααααααααααααα=+=+==+=-=-=-=-==-=-=-=-2n α10. 积化与差公式()()()()1sin cos 2sin cos 21sin cos sin cos cos sin cos sin 21sin sin 2αβαβαβαβαβαβαβαβ==++-=++-⎡⎤⎣⎦()()()()()()()()1cos cos 2cos cos 21cos cos cos cos sin sin sin sin 21cos cos 21sin sin 2sin sin 21sin sin sin sin cos cos cos cos 21cos cos 2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ==++-=++-⎡⎤⎣⎦==++-=+--⎡⎤⎣⎦ 11. 与差化积公式设:A=α+β, B=α-β,()()()()sin sin sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin 2sin cos 2sin cos 222sin cos 22sin sin sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin 2cos si A B A B A B A B αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα+=++-=++-=++-+--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=+--=+-+=n 2cos sin 222cos sin 22A B A B βαβαβαβαβ++-+-+⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设:∵()()sin sin cos cos sin sin cos sin sin b a θθθθαθαθαθ+=+=+=+12. 其她常用公式()()()()()()()()()()()()()()000sin 360sin cos 360cos tan 360tan sin 90cos cos 90sin 1tan 90tan sin 90cos cos 90sin 1tan 90tan sin 90cos cos 90sin 1tan 90tan sin 180sin cos 180cos n n n θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ+⨯=+⨯=+⨯=︒-=︒-=︒-=︒+=︒+=-︒+=--︒=--︒=-︒=-︒-=︒-=-()()()()()()()()tan 180tan sin 180sin cos 180cos tan 180tan sin sin cos cos tan tan tan 2190 1cos 1cos 11sin 1sin 1n θθθθθθθθθθθθθθθθθθθ︒-=-±︒=-±︒=-±︒=-=--=-=-+⨯︒⎡⎤⎣⎦-≤≤⇒≤-≤≤⇒≤不存在 13. 特殊得三角函数值14.关于机器算法在计算机中，三角函数得算法就就是这样得,其中x用弧度计算推导公式：(ａ＋b＋c）／(sinA+ｓiｎB+sinC)=2Ｒ(其中，Ｒ为外接圆半径）由正弦定理有a/sｉnA=b/ｓｉｎB＝c/sinC=２Ｒ所以a＝2R*sｉnAb＝２R＊ｓinBc＝２Ｒ＊sｉnC加起来ａ+b+ｃ＝2R*(siｎA＋sinB+siｎC)带入(ａ+b+ｃ)/（ｓinA+ｓiｎB＋sｉnC)＝2R＊（sinA+siｎB+sinC)/（sinＡ＋sinB+ｓinC)=２Ｒ两角与公式sｉｎ（Ａ+B)=ｓinAcｏｓB+ｃosAsｉｎBｓin（A-Ｂ）=sinＡcosＢ-coｓAsｉnＢcoｓ(A+B）=cosAｃosB-ｓinAsｉnBcos(Ａ-B)＝cosAｃosB+ｓinＡｓinBtan(A+B)=(tａnA＋tanB)／(1-taｎAtanB）taｎ(A－B)＝（taｎA-tａnB)/(1+tａnAtanB)cｏt(A+B)=(coｔAｃｏｔB-1)/(cｏtB＋ｃｏtA)coｔ(Ａ－B)=（cotAｃotＢ＋1）／（ｃｏｔＢ-cｏtＡ)倍角公式Siｎ2Ａ=2ＳinA?CｏsA对数得性质及推导用^表示乘方,用ｌog(ａ)(b）表示以ａ为底,b得对数＊表示乘号,／表示除号定义式:若a^ｎ=ｂ（ａ＞0且a≠1）则n=ｌｏｇ(a）(ｂ)基本性质：1、a＾（lｏg（a）(ｂ))＝b2、log(a)(MN)=log(a)(Ｍ)＋log（a)(Ｎ）;3、ｌog（a）(M/N)=log（a）（Ｍ)-ｌog(a)(N);４、ｌog(a)(M^ｎ）=nｌｏg(a)（M)推导1、这个就不用推了吧,直接由定义式可得(把定义式中得[n=ｌog(a)(b)]带入a＾n=b)２、MＮ＝M*N由基本性质1(换掉M与N)ａ^[ｌog（a)(MN)］=a^［loｇ(a)(M）]*ａ＾[log（ａ)(N)] 由指数得性质a＾[loｇ（a)（ＭN)］＝a＾｛[ｌog（a)(M）]+[ｌｏｇ（a)(N)]} 又因为指数函数就就是单调函数,所以log(a)(MN)=log(a）(Ｍ)+log(ａ)(Ｎ)３、与2类似处理ＭN=M/N由基本性质1(换掉M与N)ａ^[ｌog（a)（M/N）]=ａ^[log(a)(M)]/ａ^[log（ａ)(N)]由指数得性质a^[log（a）(M/N)]=a^{［lｏg(a)(Ｍ)]-［lｏg（a)(N)］｝又因为指数函数就就是单调函数,所以lｏg(a)（Ｍ/N)=ｌｏg(a)(M)-loｇ(ａ)(N)４、与2类似处理Ｍ＾n=M＾n由基本性质１（换掉M）a＾［lｏg(a)(M＾n）］＝｛a＾［log（a)(M)]｝^n由指数得性质ａ^［ｌoｇ（a)(Ｍ^n）]=a^{［ｌog(a)(M)]*ｎ}又因为指数函数就就是单调函数,所以log（ａ)(M^n)=ｎｌog（a）（M）其她性质：性质一：换底公式loｇ(a)(Ｎ)=log(b)(N)/lｏg(b)(a)推导如下N＝a＾[log（a)(N）]a=ｂ＾[log(b)（a）]综合两式可得N＝{ｂ^[ｌｏg(b)(ａ)]}^[lｏg(ａ)(N)］＝ｂ^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)］}又因为N=ｂ^［log(b）（N)］所以b＾[loｇ(ｂ)(N)］=b＾{［log(a）(N)]*[log（ｂ)(ａ）]}所以loｇ(b)(N)=［lｏg（ａ)（N)]*[lｏｇ(ｂ)(a）]{这步不明白或有疑问瞧上面得｝所以log(a）(N)=ｌｏg（b)(N)/log(ｂ)(a)性质二:(不知道什么名字)log(a＾n)(b^m）=m/ｎ*[lｏg(a)(b)]推导如下由换底公式[lnx就就是log(e)(ｘ）,e称作自然对数得底]ｌog(a^n）（b^ｍ)=ｌn(a^n)/ln(b^n)由基本性质4可得log(ａ^ｎ)(ｂ^m）=[n＊ln(ａ)]/[ｍ*lｎ(b)］=(m/n)＊{[ln（ａ)］/[ln(ｂ)]}再由换底公式ｌog（a＾ｎ)(ｂ＾m）=ｍ／n*[log（a）(b)]-－------－-－-－－-－－-－--－－---－－-－---－--－---－-－-(性质及推导完)公式三：log(ａ)（b)=１／ｌｏｇ(b)(a)证明如下:由换底公式log(ａ）(b)=ｌｏg(b)(ｂ)／log（b）(ａ)-－--取以b为底得对数,loｇ（ｂ)（b)＝１=1/loｇ(b)(ａ）还可变形得：lｏｇ(a)(b）＊loｇ(ｂ)(ａ)＝1平方关系:ｓin^2(α)+cos＾2(α）=1tａn＾2（α)+１=sｅc^2(α)cot^2(α)＋１=ｃsｃ^2（α)·商得关系:tanα＝ｓinα/coｓαcotα=cosα/sｉnα·倒数关系:tanα·cotα＝1sinα·cｓcα=1cosα·seｃα=1万能公式:sｉｎα=2ｔａn(α/2)/[1+tan^2(α／2)]ｃosα＝［1－taｎ^2(α/2)]/［1+ｔan＾2(α/2)］ｔaｎα＝２tan(α/2）/［１-tan^2(α/2)]常用得诱导公式有以下几组:公式一:设α为任意角,终边相同得角得同一三角函数得值相等:sin(2kπ＋α）＝sｉnαcoｓ(2kπ＋α)=cosαtan(2kπ＋α)=taｎαｃoｔ(２kπ+α)＝cｏtα公式二:设α为任意角,π+α得三角函数值与α得三角函数值之间得关系: ｓｉn(π+α)＝－sinαｃos(π＋α)＝-coｓαtａn（π＋α)＝tanαｃot(π＋α)＝cotα公式三:任意角α与-α得三角函数值之间得关系:sin(－α)＝-sinαｃos（-α)＝cosαtan(-α)＝－taｎαcot（-α）＝-cotα公式四:利用公式二与公式三可以得到π-α与α得三角函数值之间得关系: siｎ(π-α)=ｓinαcｏｓ(π－α）=－cｏsαtan(π－α)＝－ｔanαcoｔ（π-α)＝-cotα公式五:利用公式一与公式三可以得到2π-α与α得三角函数值之间得关系: siｎ(2π－α)＝－ｓｉnαcos(２π-α)＝coｓαtａn(2π－α)=-ｔａｎαｃot（2π-α)=－cｏtα公式六:π/2±α及３π/2±α与α得三角函数值之间得关系:sin（π/2＋α）=cosαcｏｓ(π/2+α)=-ｓｉnαtan（π／2+α)＝-cotαcot（π／2+α)=－tanαsｉｎ（π／２－α)＝ｃoｓαcos(π/2-α）＝sinαtaｎ(π/２－α)＝ｃoｔαcot(π/2-α)=tanαsｉn(３π/2+α）=-coｓαｃoｓ(3π/２+α)=ｓinαtaｎ(3π／２＋α)＝－ｃoｔαcｏt(3π/2+α）=-ｔａnαsin(3π/2-α)=-cｏsαcoｓ（3π／２－α)=－sinαtan(3π/2－α)=coｔαcot(３π/2-α)=taｎα(以上k∈Z)一般得最常用公式有:Sｉｎ(A＋B)=SinA*CｏｓB＋SinB*CosASin（A-B)＝SｉnA＊CｏｓB-ＳiｎB*CoｓACｏs(A+B)=CosＡ＊CoｓB-SinA＊ＳinBCos(Ａ－B)=CosA*CosB＋SinA＊SｉnBTａn（A+Ｂ)=(TanA+TanＢ)/(１－ＴａｎA＊ＴanB) Tan(A-B）=(TaｎＡ-TanB)/(１+TａnA*TanB)平方关系:sｉn^２(α)+cos^２(α)＝1tan^2(α)+1=seｃ＾２(α)cｏt^2(α）＋1＝ｃsc＾２(α)·积得关系:ｓiｎα=ｔaｎα*cosαcoｓα=cotα*ｓｉｎαtａnα＝ｓｉnα*sｅcαｃoｔα=coｓα＊cscαseｃα=tanα*ｃscαcｓｃα＝secα*coｔα·倒数关系:tanα·cｏtα=1sｉnα·cscα＝1cosα·secα=1直角三角形ABC中，角A得正弦值就等于角A得对边比斜边,余弦等于角A得邻边比斜边正切等于对边比邻边，三角函数恒等变形公式·两角与与差得三角函数:cｏs(α＋β)＝cｏｓα·cosβ-sｉnα·sinβｃｏs（α-β)=coｓα·coｓβ+ｓｉnα·ｓinβｓｉn(α±β)=ｓinα·ｃｏsβ±cosα·sinβｔan(α+β）＝(tanα+ｔａnβ)/(1-ｔanα·tanβ）tａｎ(α－β)=(ｔanα-tanβ)/(１+tａnα·tanβ)·辅助角公式:Ａｓinα+Bｃｏsα＝（Ａ＾2＋Ｂ^２)^（1／2)sin(α+t)，其中 sint＝Ｂ／（A^２+B^2）^(1／2）coｓｔ=A/(A＾２+B^2)＾(１/2）·倍角公式:sｉｎ(2α)=2siｎα·cosα＝2/(taｎα＋cotα)cos（2α)=cｏs^２(α)-ｓｉn^2(α)=2cos^2(α)－１=１-２ｓｉn^2（α)taｎ(2α)=２tanα／[1-tａn^2(α)]·三倍角公式:sin(3α）=3sinα-4sｉn＾3（α）cos(3α)=4cos＾3（α)-3coｓα·半角公式：sin（α/2)=±√(（１－cosα）／２)ｃoｓ（α/2)＝±√（(1＋cosα)／２）ｔａｎ(α／2)=±√（(1-cｏｓα)／(1+cosα)）＝ｓｉnα/(1+cosα)=(１-ｃｏsα)/sｉｎα·降幂公式siｎ＾2(α)＝(1－cｏs（2α）)/2=verｓｉn(２α)/２ｃos＾2（α)＝(1＋cｏs（2α）)/2=veｒcoｓ（2α)／2tan^２(α)=(1-cｏｓ(２α）)/(1+cos(２α))·万能公式:sinα＝２tan(α／2)/[１＋taｎ＾２(α/2)]cｏsα=[1-ｔaｎ＾2(α/2)]／[１＋tan^2(α/2)]tanα=2taｎ(α/2)/[１-tan＾2(α/2)]·积化与差公式:sｉnα·ｃosβ=(1/2）[siｎ(α+β)+sin(α-β)]ｃoｓα·sinβ=(1／2）［sin（α+β）－sin(α-β)]coｓα·cosβ=(1/2)[coｓ(α+β）+cos(α-β)]ｓinα·sinβ＝-(1/2)[cos（α+β)－cos(α-β）］·与差化积公式:sｉnα＋sｉｎβ=2sin[（α＋β)/2]cos[（α-β)/２]sinα-sinβ＝2ｃos[(α+β)/2]ｓｉn［(α－β）／2]cosα＋cｏsβ=2ｃos[(α+β)／2］cｏs[(α-β)/2]cosα－cosβ=-2sin[(α+β)／２］sｉn［(α-β)／2]·其她:sinα＋ｓiｎ(α+2π／n)+sｉｎ(α+2π＊2/n)+sin（α＋2π*3/n)+……＋sin[α＋2π*(ｎ-１)/n］＝0cosα+cos(α+2π/ｎ)+ｃos(α+2π＊2/n）+cｏs(α+2π*3/n)+……+ｃｏs[α+2π＊(n－１)／ｎ]=0以及sin＾２(α)+sｉn^２(α-2π/３)+ｓin^2(α+2π/３)＝3／2tanAtａｎBｔａn（Ａ+B)+tanＡ+tａｎB－tａn(A+Ｂ）=0部分高等内容·高等代数中三角函数得指数表示(由泰勒级数易得):siｎx=[e^（iｘ)-e^(-ix）]/(2i)cosｘ＝[e^(iｘ)＋e^(-ｉx）]/2taｎx=[ｅ^(iｘ）－e^(-ｉx)]/[ie^（ix)+ｉｅ^(-ix)］泰勒展开有无穷级数，e^ｚ=exp(z)＝1＋ｚ/1!+z＾２/2！+z^３/３！+z^4/4!＋…＋ｚ＾n/n!+…此时三角函数定义域已推广至整个复数集。

三角函数公式的推导与公式大全

诱导公式目录.诱导公式 •诱导公式记忆口诀 -同角三角函数屛矣系-同角三角函数关系六角形记忆法 •两角和并公式 •倍角公式 •半角公式 -万能公式诱导公式★诱导公式★常用的诱导公式有以下几组: 公式一: 设a 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin (2k n + a ) =sin aCOS (2k n + a ) = COS a cot (2k Ji + a ) = cot a公式二设a 为任意角，兀+a 的三角函数值与a 的三角函数值之间的关系: sin ( n + a ) = —sin a COS ( n + a ) = — COS a tan ( n + a ) = tan a COt( Ji + a )= cot a公式三：任意角a 与・a 的三角函数值之间的关系: sin (— a ) = — sin aCOS (— a ) = cos a tan (— a ) = — tan a cot (— a ) = — cot atan (2k n + a ) = tan a•万能公式推导 -三倍角公式 •三倍角公式推导 •三倍角公式联想记忆 •和差化积公式 •积化和差公式 •和差化积公式雜导公式四：a与a的三角函数值之间的关系:利用公式二和公式三可以得到sin ( n — a )= sin a cos(n — a ) =— cos a tan(n — a ) = — tafl a COt(Ji — a ) = — cot a公式五：利用公式一和公式三可以得到2n- a与a的三角函数值之间的关系: sin (2 H — a ) =— sin a cos (2 — a ) = cos a tan(2 n — a ) = — tan a cot(2 n — a ) = — cota公式六：n/2 ±a及3"/2±a与a的三角函数值之间的关系：sin ( n /2 + a ) = COS aCOS ( Ji /2 + a ) =— sin atan ( n /2 + Cl ) = — cot acot ( JI /2 + a ) = — tan asin ( n/2 — a ) = COS aCOS ( Ji /2 — a ) = sin atan (肌/2 — a ) = cot acot ( JI /2 — a ) = tan asin (3 肌/2 + a ) = —COS aCOS (3 n/2 + a ) = sin atan (3 肌/2 + a ) = —cot aCOt (3 n /2 + a ) = —tan asin (3 肌/2 — a ) =— cosaCOS (3 Ji /2 — a )= — sin atan (3 n /2 — a ) = COt aCOt (3 n /2 — a ) = tan a(以±kez)诱导公式记忆口诀①当k是偶数时，得到a的同名函数值，即函数名不改变；②当k是奇数时，得到a相应的余函数值，即sin — cos;cos -^sin;tan —cot,cot — tan.(奇变偶不变)然后在前面加上把a看成锐角时原函数值的符号。

三角函数公式及推导

三角函数公式及推导
三角函数是数学中常见的函数之一，常用于解决与角度相关的问题。

三角函数公式是三角函数的基本知识点之一，掌握了三角函数公式，就能更好的理解和应用三角函数。

三角函数公式主要包括正弦、余弦、正切、余切、正割、余割等六种函数的公式。

这些公式可以通过三角函数的定义和性质来推导得到。

正弦函数公式：sin(a+b)=sinacosb+cosasinb
余弦函数公式：cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
正切函数公式：tan(a+b)= (tana + tanb)/ (1 - tana*tanb) 余切函数公式：cot(a+b)= (cota*cotb - 1) / (cota + cotb) 正割函数公式：sec(a+b)= (secacosb+sinasectanb) / (secb) 余割函数公式：csc(a+b)= (cscacosc+b) / (sincosb)
以上公式都可以通过三角函数的定义和一些基本的代数运算及恒等式推导出来。

了解这些公式，可以在解决复杂三角函数问题时更灵活应用。

除了以上推导的公式，还有许多其它的三角函数公式，比如二倍角公式、半角公式、余角公式等等，这些公式也是非常重要的。

在学习三角函数时，需要重点掌握这些公式，才能更好地理解和运用三角函数。

三角函数公式的推导并不是一件容易的事情，需要对三角函数的性质和一些基本的代数运算非常熟练才能够推导得出。

因此，在学习
三角函数时，需要认真掌握每一个知识点，努力理解和应用三角函数公式，才能在以后的学习和工作中发挥更大的作用。

三角函数公式大全及其推导方法

三角函数公式大全及其推导方法1.基本关系：三角函数的定义是将角的信息转化为边长比值的函数。

主要有正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)、正切函数tan(x)、余切函数cot(x)、正割函数sec(x)和余割函数csc(x)。

2.三角函数的和差公式：（1）正弦函数的和差公式：sin(a ± b) = sin(a)cos(b) ± cos(a)sin(b)（2）余弦函数的和差公式：cos(a ± b) = cos(a)cos(b) ∓ sin(a)sin(b)（3）正切函数的和差公式：tan(a ± b) = (tan(a) ± tan(b)) / (1 ∓ tan(a)tan(b))（4）余切函数的和差公式：cot(a ± b) = (cot(a)cot(b) ∓ 1) / (cot(b) ± cot(a))3.三角函数的倍角公式：（1）正弦函数的倍角公式：sin(2a) = 2sin(a)cos(a)（2）余弦函数的倍角公式：cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a) = 2cos^2(a) - 1 = 1 - 2sin^2(a)tan(2a) = 2tan(a) / (1 - tan^2(a))（4）余切函数的倍角公式：cot(2a) = (cot^2(a) - 1) / (2cot(a))4.三角函数的半角公式：（1）正弦函数的半角公式：sin(a/2) = ± √((1 - cos(a)) / 2)（2）余弦函数的半角公式：cos(a/2) = ± √((1 + cos(a)) / 2)（3）正切函数的半角公式：tan(a/2) = ± √((1 - cos(a)) / (1 + cos(a)))5.诱导公式：（1）正切函数的诱导公式：tan(a ± b) = (tan(a) ± tan(b)) / (1 ∓ tan(a)tan(b))（2）余切函数的诱导公式：cot(a ± b) = (cot(a)cot(b) ∓ 1) / (cot(b) ± cot(a))6.三角函数的倒角公式：（1）正弦函数的倒角公式：sin(a/2) = ± √((1 - cos(a)) / 2)cos(a/2) = ± √((1 + cos(a)) / 2)（3）正切函数的倒角公式：tan(a/2) = ± √((1 - cos(a)) / (1 + cos(a)))这些都是三角函数的重要公式。

三角函数推导及公式大全

三角函数诱导公式公式一:设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)公式二:设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系sin(π+α)=－sinαcos(π+α)=－cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三:任意角α与-α的三角函数值之间的关系sin(－α)=－sinαcos(－α)=cosαtan(－α)=－tanαcot(－α)=－cotα公式四:利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系sin(π－α)=sinαcos(π－α)=－cosαtan(π－α)=－tanαcot(π－α)=－cotα公式五:利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系sin(2π－α)=－sinαcos(2π－α)=cosαtan(2π－α)=－tanαcot(2π－α)=－cotα公式六:π/2±α与α的三角函数值之间的关系sin(π/2+α)=cosαsin(π/2－α)=cosαcos(π/2+α)=－sinαcos(π/2－α)=sinαtan(π/2+α)=－cotαtan(π/2－α)=cotαcot(π/2+α)=－tanαcot(π/2－α)=tanα诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。

“奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。

（反之亦然成立）“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n·(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。

以cos（π/2+α）=－sinα为例，等式左边cos（π/2+α）中n=1，所以右边符号为sinα，把α看成锐角，所以π/2<（π/2+α）<π，y=cosx在区间（π/2，π）上小于零，所以右边符号为负，所以右边为－sinα。

三角函数诱导公式万能公式和差化积公式倍角公式等公式总结及其推导

三角函数诱导公式万能公式和差化积公式倍角公式等公式总结及其推导一、三角函数诱导公式1、万能公式a sin(A+B) = a sinAcosB + a cosAsinBa cos(A+B) = a cosAcosB - a sinAsinB2、差化积公式sinAcosB - cosAsinB = sin(A-B)cosAcosB + sinAsinB = cos(A-B)3、倍角公式sin2A = 2sinAcosAcos2A = cos2A - sin2A = 2cos2A - 1 = 1 - 2sin2A4、和差公式sin(A±B) = sinAcosB±cosAsinBcos(A±B) = cosAcosB∓sinAsinB二、推导1、万能公式推导过程设定A+B=C，则有：a sin(A + B)= a sinC左右两侧同时乘以cosB:a sin(A + B)cosB = a sinCcosB左右两侧同时乘以sinB:a sin(A + B)sinB = a sinCsinB将上式整合即可得：a sin(A + B)= a sinAcosB + a cosAsinB同理，可推导出：a cos(A + B) = a cosAcosB - a sinAsinB2、差化积公式推导过程设定A=B，则有：sinAcosB - cosAsinB = sinAcosA - cosAcosA 经过整合可得：sinAcosB - cosAsinB = sinA -cosA将A=B替换为A-B,即可得sinAcosB - cosAsinB = sin(A-B)同理：cosAcosB + sinAsinB = cosAcosA + sinAsinA 经过整合可得：cosAcosB +sinAsinB = cosA +sinA将A=B替换为A-B,即可得cosAcosB +sinAsinB = cos(A-B)3、倍角公式的推导过程由于A为任意角度，对其两侧两边可以分别进行乘以cosA及sinA，得到：sinAcosA + sinAcosA = cosA*sinA + cosA*sinA经过整合可得：sin2A = 2sinAcosAcos2A = cosAcosA - sinAcosA经过整合可得：cos2A = 2cos2A - 1再把上式中的cos2A代入：2cos2A - 1 = 1 - 2sin2A4、和差公式推导过程设定A+B=C，则有：sin(A + B)= sinC将左右两侧分别乘以cosB及sinB：。

三角函数公式总结与推导--很全很实用

三角函数公式总结与推导1. ①与（0°≤＜360°）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）：αααβ{}Zk k ∈+⨯=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,180|ββ③终边在y 轴上的角的集合：{}Zk k ∈+⨯=,90180|ββ④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90| ββ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,45180| ββ⑥终边在轴上的角的集合：x y -={}Zk k ∈-⨯=,45180| ββ⑦若角与角的终边关于x 轴对称，则角与角的关系：αβαββα-=k 360⑧若角与角的终边关于y 轴对称，则角与角的关系：αβαββα-+= 180360k ⑨若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：αβαββα+=k 180⑩角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：αβαβ90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2 180°= 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ππ注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.、弧度与角度互换公式： 1rad ＝°≈57.30°=57°18ˊ．1°＝≈0.01745（rad ）π180180π3、弧长公式：. 扇形面积公式：r l⋅=||α211||22s lr r α==⋅扇形4、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为ααr ，则；；；；；.ry =αsin rx =αcos xy =αtan yx =αcot xr =αsec .yr=αcsc 5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）、、、、、、、、、、、、、、、1¡¢2¡¢3¡¢4表示第一、二、三、四象限一半所在区域的6、三角函数线正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.7. 三角函数的定义域：三角函数定义域sin x=)(x f {}R x x ∈|cos x =)(x f {}R x x ∈|tan x =)(x f ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈Z k k x R x x ,21|ππ且cot x =)(x f {}Z k k x R x x ∈≠∈,|π且sec x =)(x f ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈Z k k x R x x ,21|ππ且csc x=)(x f {}Z k k x R x x ∈≠∈,|π且8、同角三角函数的基本关系式：αααtan cos sin =αααcot sin cos =1cot tan =⋅αα1sin csc =α⋅α1cos sec =α⋅α 1cos sin 22=+αα1tan sec 22=-αα1cot csc 22=-αα9、诱导公式：2k παα±把的三角函数化为的三角函数，概括为：“奇变偶不变，符号看象限” 三角函数的公式：（一）基本关系公式组二公式组三x x k x x k xx k x x k cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(=+=+=+=+ππππxx x x xx x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=--=-公式组四公式组五公式组六x x x x xx x x cot )cot(tan)tan(cos )cos(sin )sin(=+=+-=+-=+ππππx x x x xx x x cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(-=--=-=--=-ππππxx x x xx x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=--=-=-ππππ（二）角与角之间的互换公式组一sin x ·csc x =1tan x =x x cos sin sin 2x +cos 2x =1cos x ·sec x x =xxsin cos 1+tan 2x =sec 2xtan x ·cot x =11+cot 2x =csc 2x=1(3) 个 o<x<2,个sinx<x<tanx16. 个个个个个个:公式组一公式组二 βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+αααcos sin 22sin = βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ααα2tan 1tan 22tan -= βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-2cos 12sinαα-±=βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+2cos 12cosαα+±=βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-公式组三公式组四公式组五2tan 12tan2sin 2ααα+= 2tan 12tan 1cos 22ααα+-= 2tan 12tan2tan 2ααα-=,,,.42675cos 15sin -== 42615cos 75sin +== 3275cot 15tan -== 3215cot 75tan +== 10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：()ϕω+=x A y sin （A 、＞0）ω定义域RRR值域]1,1[+-]1,1[+-R R []A A ,-周期性 π2π2ππωπ2奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当非奇非偶,0≠ϕ当奇函数,0=ϕ()()[]()()[]()()[]()()[]βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα--+-=-++=--+=-++=cos cos 21sin sin cos cos 21cos cos sin sin 21sin cos sin sin 21cos sin 2cos 2sin 2sin sin βαβαβα-+=+2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=-2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=-αααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan-=+=+-±=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈Z k k x R x x ,21|ππ且{}Z k k x R x x ∈≠∈,|π且xy cot =x y tan =xy cos =xy sin =ααπsin )21cos(-=+ααπcos )21sin(=+ααπcot )21tan(-=+ααπsin )21cos(=-ααπcos )21sin(=-ααπcot )21tan(=-单调性]22,22[ππππk k ++-上为增函数；]223,22[ππππk k ++上为减函数（）Z k ∈()]2,12[ππk k -；上为增函数()]12,2[ππ+k k 上为减函数（）Z k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππk k 2,2上为增函数（）Z k ∈上为减函()()ππ1,+k k 数（）Z k ∈⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+--)(212),(22A k A k ωϕππωϕππ上为增函数；⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+-+)(232),(22A k A k ωϕππωϕππ上为减函数（）Z k ∈注意：①与的单调性正好相反；与的单调性也同样相反.一般地，若x y sin -=x y sin =x y cos -=x y cos =在上递增（减），则在)(x f y =],[b a )(x f y -=],[b a ②与的周期是.x y sin =x y cos =π③或（）的周期.)sin(ϕω+=x y )cos(ϕω+=x y 0≠ωωπ2=T 的周期为2（，如图，翻折无效）.2tanx y =ππωπ2=⇒=T T ④的对称轴方程是（），对称中心（）；的对称轴方程是)sin(ϕω+=x y 2ππ+=k x Z k ∈0,πk )cos(ϕω+=x y （），对称中心（）；的对称中心（）.πk x =Z k ∈0,21ππ+k )tan(ϕω+=x y 0,2πk xx y x y 2cos )2cos(2cos -=--=−−−→−=原点对称⑤当·；·.αtan ,1tan =β)(2Z k k ∈+=+ππβααtan ,1tan -=β)(2Z k k ∈+=-ππβα⑥与是同一函数,而是偶函数，则x y cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ππk x y 22sin )(ϕω+=x y )cos()21sin()(x k x x y ωππωϕω±=++=+=.⑦函数在上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，为x y tan =R x y tan =增函数，同样也是错误的].⑧定义域关于原点对称是具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原)(x f 点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：，奇函数：）)()(x f x f =-)()(x f x f -=-奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：是奇函数，是非奇非偶.（定义域不关于原x y tan =)31tan(π+=x y 点对称）奇函数特有性质：若的定义域，则一定有.（的定义域，则无此性质）x ∈0)(x f 0)0(=f x ∉0⑨x y sin =不是周期函数；为周期函数（）x y sin =π=T 是周期函数（如图）；为周期函数（x y cos =x y cos ==T 的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如： 212cos +=x y π.R k k x f x f y ∈+===),(5)(⑩ 有.abb a b a y =+++=+=ϕϕαβαcos )sin(sin cos 22y b a ≥+2211、三角函数图象的作法：１）、几何法：２）、描点法及其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.３）、利用图象变换作三角函数图象．三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的振幅|A|，周期，频率，相位初相（即当x ＝02||T πω=1||2f T ωπ==;x ωϕ+ϕ时的相位）．（当A ＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号），由y ＝sinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y ＝Asinx 的图象，叫做振幅变换或叫沿y 轴的伸缩变换．（用y/A 替换y ）由y ＝sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的倍，得到y ＝sin ω x 的图象，叫做周期变换或叫做沿x 轴的伸缩变换．(用ωx 替换x)1||ω由y ＝sinx 的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y ＝sin （x ＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x 轴方向的平移．(用x ＋φ替换x)由y ＝sinx 的图象上所有的点向上（当b ＞0）或向下（当b ＜0）平行移动｜b ｜个单位，得到y ＝sinx ＋b 的图象叫做沿y 轴方向的平移．（用y+(-b)替换y ）由y ＝sinx 的图象利用图象变换作函数y ＝Asin （ωx ＋φ）（A ＞0，ω＞0）（x ∈R ）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x 轴量伸缩量的区别。

三角函数公式及推导公式

三角函数公式及推导公式三角函数是数学中的重要概念之一，它们在几何学、物理学、工程学和数学分析等领域中被广泛应用。

本文将介绍常见的三角函数公式及其推导。

一、正弦函数（sin）1.定义正弦函数表示的是一个角的对边与斜边的比值，通常用sin来表示。

2.常见公式（1）和差公式：sin(A ± B) = sin A · cos B ± cos A · sin B（2）倍角公式：sin 2A = 2 · sin A · cos A（3）半角公式：sin(A/2) = ±√[(1 - cos A) / 2]二、余弦函数（cos）1.定义余弦函数表示的是一个角的邻边与斜边的比值，通常用cos来表示。

2.常见公式（1）和差公式：cos(A ± B) = cos A · cos B ∓ sin A · sin B（2）倍角公式：cos 2A = cos² A - sin² A = 2 · cos² A - 1 = 1 - 2 · sin² A （3）半角公式：cos(A/2) = ±√[(1 + cos A) / 2]三、正切函数（tan）1.定义正切函数表示的是一个角的对边与邻边的比值，通常用tan来表示。

2.常见公式（1）和差公式：tan(A ± B) = (tan A ± tan B) / (1 ∓ tan A · tan B)（2）倍角公式：tan 2A = (2 · tan A) / (1 - tan² A)（3）半角公式：tan(A/2) = ±√[(1 - cos A) / (1 + cos A)]四、余切函数（cot）1.定义余切函数表示的是一个角的邻边与对边的比值，通常用cot来表示。

三角函数公式大全及推导过程

三角函数公式大全及推导过程一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=，正弦：r y =αsin 余弦：r x =αcos 正切：xy =αtan 二、同角三角函数的基本关系式商数关系：αααcos sin tan =，平方关系：1cos sin 22=+αα，221cos 1tan αα=+ 三、诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin （2kπ＋α）= sinα cos （2kπ＋α）= cosα tan （2kπ＋α）= tanα 公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）= -sinα cos （π＋α）= -cosα tan （π＋α）= tanα 公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin （-α）= -sinα cos （-α）= cosα tan （-α）= -tanα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （π-α）= sinα cos （π-α）= -cosα tan （π-α）= -tanα公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π-α）= -sinα cos （2π-α）= cosα tan （2π-α）= -tanα公式六：2π±α及23π±α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π-α）= cosα cos （2π-α）= sinα sin （2π+α）= cosα cos （2π+α）= -sinα sin （23π-α）= -cosα cos （23π-α）= -sinα sin （23π+α）= -cosα cos （23π+α）= sinα 三、两角和差公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=-βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=- 四、二倍角公式αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(*ααα2tan 1tan 22tan -= 二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角） αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=-2)cos (sin 2sin 1ααα+=+2)cos (sin 2sin 1ααα-=-其它公式五、辅助角公式： )sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a （其中ab =ϕtan ）其中：角ϕ的终边所在的象限与点),(b a 所在的象限相同，(以上k ∈Z)六、其它公式：1、正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 为ABC ∆外接圆半径） 2、余弦定理 A bc c b a cos 2222⋅-+=B ac c a b cos 2222⋅-+=C ab b a c cos 2222⋅-+=3、三角形的面积公式高底⨯⨯=∆21ABC S B ca A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆（两边一夹角）万能公式推导sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*，（因为cos^2(α)+sin^2(α)=1）再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α=2tanα/(1+tan^2(α))然后用α/2代替α即可。

三角函数推导万能公式大全

三角函数推导万能公式大全三角函数推导万能公式大全1、三角函数推导公式——万能公式推导sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/[cos2(α)+sin2(α)]，(因为cos2(α)+sin2(α)=1)再把分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α=2tanα/[1+tan2(α)]然后用α/2代替α即可。

同理可推导余弦的万能公式。

正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。

2、三角函数推导公式——三倍角公式推导tan3α=sin3α/cos3α=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)=[2sinαcos2(α)+cos2(α)sinα-sin3(α)]/[cos3(α)-cosαsin2(α)-2sin2(α)cosα]上下同除以cos3(α)，得：tan3α=[3tanα-tan3(α)]/[1-3tan2(α)]sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα=2sinαcos2(α)+[1-2sin2(α)]sinα=2sinα-2sin3(α)+sinα-2sin3(α)=3sinα-4sin3(α)cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα=[2cos2(α)-1]cosα-2cosαsin2(α)=2cos3(α)-cosα+[2cosα-2cos3(α)]=4cos3(α)-3cosα即sin3α=3sinα-4sin3(α)cos3α=4cos3(α)-3cosα3、三角函数推导公式——和差化积公式推导首先,我们知道sin(a+b)=sinacosb+cosasinb，sin(a-b)=sinacosb-cosasinb我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sinacosb同理，若把两式相减，就得到cosasinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2同样的，我们还知道cos(a+b)=cosacosb-sinasinb，cos(a-b)=cosacosb+sinasinb所以，把两式相加，我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosacosb 同理，两式相减我们就得到sinasinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2这样，我们就得到了积化和差的公式：cosasinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2sinasinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2好，有了积化和差的四个公式以后，我们只需一个变形，就可以得到和差化积的四个公式我们把上述四个公式中的a+b设为x，a-b设为y，那么a=(x+y)/2，b=(x-y)/2 把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:sinx+siny=2sin[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]sinx-siny=2cos[(x+y)/2]sin[(x-y)/2]cosx+cosy=2cos[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]cosx-cosy=-2sin[(x+y)/2]sin[(x-y)/ 2]4、同角三角函数的基本关系式倒数关系tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1商的关系sinα/cosα=tanα=secα/cscαcosα/sinα=cotα=cscα/secα平方关系sin2(α)+cos2(α)=11+tan2(α)=sec2(α)1+cot2(α)=csc2(α)同角三角函数关系六角形记忆法构造以“上弦、中切、下割;左正、右余、中间1”的正六边形为模型。

三角函数公式的推导及公式大全

三角函数公式的推导及公式大全三角函数是数学中常用的一类函数，它们描述了角度与三角形边长之间的关系。

三角函数公式的推导基于角度的单位圆定义和三角形的几何性质。

本文将详细介绍三角函数的推导和给出常用的三角函数公式。

1.角度的定义和单位圆首先，让我们来定义角度。

角度是用来度量平面上两条射线之间的夹角的量度，也可以理解为弧度的一种度量方式。

常用的度量单位有度和弧度。

在许多三角函数的推导中，我们使用弧度作为角度的单位。

① sinθ = y② cosθ = x③ tanθ = sinθ / cosθ = y / x④ cotθ = cosθ / sinθ = x / y⑤ secθ = 1 / cosθ = 1 / x⑥ cscθ = 1 / sinθ = 1 / y2.基本三角函数公式基本的三角函数公式可以通过单位圆上的定义推导得出。

这些公式为我们计算各种三角函数提供了便利。

以下是基本的三角函数公式：①互余三角函数关系：sinθ = 1 / cscθcosθ = 1 / secθtanθ = 1 / cotθ②诱导公式：sin(-θ) = -sinθcos(-θ) = cosθtan(-θ) = -tanθ③倍角公式：sin(2θ) = 2sinθcosθcos(2θ) = cos²θ - sin²θtan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan²θ)④半角公式：sin(θ/2) = sqrt((1 - cosθ) / 2)cos(θ/2) = sqrt((1 + cosθ) / 2)tan(θ/2) = sinθ / (1 + cosθ)⑤和差公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinBcos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinBtan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)这些基本的三角函数公式是推导其他三角函数公式的基础。

三角函数公式大全及推导过程

三角函数公式大全及推导过程(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--三角函数公式大全及推导过程一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=，正弦：r y =αsin 余弦：r x =αcos 正切：xy =αtan 二、同角三角函数的基本关系式商数关系：αααcos sin tan =，平方关系：1cos sin 22=+αα，221cos 1tan αα=+ 三、诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin （2kπ＋α）= sinα cos（2kπ＋α）= cosα tan（2kπ＋α）= tanα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin （π＋α）= -sinα cos（π＋α）= -cosα tan（π＋α）= tanα 公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin （-α）= -sinα cos（-α）= cosα tan（-α）= -tanα 公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （π-α）= sinα cos（π-α）= -cosα tan（π-α）= -tanα 公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin （2π-α）= -sinα cos（2π-α）= cosα tan（2π-α）= -tanα 公式六：2π±α及23π±α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π-α）= cosα cos（2π-α）= sinα sin （2π+α）= cosα cos（2π+α）= -sinα sin （23π-α）= -cosα cos（23π-α）= -sinα sin （23π+α）= -cosα cos（23π+α）= sinα 三、两角和差公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=-βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=- 四、二倍角公式αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(*ααα2tan 1tan 22tan -= 二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角） αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=-2)cos (sin 2sin 1ααα+=+2)cos (sin 2sin 1ααα-=-其它公式五、辅助角公式： )sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a （其中ab =ϕtan ）其中：角ϕ的终边所在的象限与点),(b a 所在的象限相同，(以上k ∈Z)六、其它公式：1、正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 为ABC ∆外接圆半径） 2、余弦定理 A bc c b a cos 2222⋅-+=B ac c a b cos 2222⋅-+=C ab b a c cos 2222⋅-+=3、三角形的面积公式高底⨯⨯=∆21ABC S B ca A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆（两边一夹角）万能公式推导sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*，（因为cos^2(α)+sin^2(α)=1）再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α=2tanα/(1+tan^2(α))然后用α/2代替α即可。

三角函数公式及推导

三角函数公式及推导三角函数是数学中的重要概念，它描述了三角形内角与其边长之间的关系。

三角函数分为正弦函数、余弦函数和正切函数，它们的定义涉及到平面直角坐标系和单位圆。

下面将详细介绍三角函数的公式及其推导。

1. 正弦函数（Sine）正弦函数是三角函数中最基本的一种。

它描述的是一个角的正弦值与其对边与斜边的比值。

设直角三角形中的一个锐角为角A，对边的长度为a，斜边的长度为h，则正弦函数可以表示为：sin(A) = a / h在单位圆中，以原点为圆心，半径为1的圆为基准，与x轴正半轴所成的角度为θ，对应的点的坐标为(x,y)，则有：x = cos(θ)y = sin(θ)2. 余弦函数（Cosine）余弦函数也是三角函数中的一种。

它描述的是一个角的余弦值与其邻边与斜边的比值。

设直角三角形中的一个锐角为角A，邻边的长度为b，斜边的长度为h，则余弦函数可以表示为：cos(A) = b / h在单位圆中，以原点为圆心，半径为1的圆为基准，与x轴正半轴所成的角度为θ，对应的点的坐标为(x,y)，则有：x = cos(θ)y = sin(θ)3. 正切函数（Tangent）正切函数是三角函数中另一种重要的函数。

它描述的是一个角的正切值与其对边与邻边的比值。

设直角三角形中的一个锐角为角A，对边的长度为a，邻边的长度为b，则正切函数可以表示为：tan(A) = a / b在单位圆中，以原点为圆心，半径为1的圆为基准，与x轴正半轴所成的角度为θ，对应的点的坐标为(x,y)，则有：tan(θ) = sin(θ) / cos(θ) = y / x以上是三角函数的定义及基本概念，下面我们进一步推导一些三角函数的性质和公式。

4.倍角公式正弦函数的倍角公式：sin(2A) = 2sin(A)cos(A)余弦函数的倍角公式：cos(2A) = cos^2(A) - sin^2(A) = 2cos^2(A) - 1 = 1 - 2sin^2(A)正切函数的倍角公式：tan(2A) = 2tan(A) / (1 - tan^2(A))5.和差公式正弦函数的和差公式：sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B)余弦函数的和差公式：cos(A ± B) = cos(A)cos(B)∓ sin(A)sin(B)正切函数的和差公式：tan(A ± B) = (tan(A) ± tan(B)) / (1 ∓ tan(A)tan( B))6.倒数公式（倒数关系）正弦函数和余弦函数的倒数关系：csc(A) = 1 / sin(A)sec(A) = 1 / cos(A)正切函数的倒数关系：cot(A) = 1 / tan(A)7.平方和差公式正弦函数的平方和差公式：sin^2(A) ± sin^2(B) = 1/2(1 - cos(2A ± 2B))余弦函数的平方和差公式：cos^2(A) ± cos^2(B) = 1/2(1 + cos(2A ± 2B))正切函数的平方和差公式：tan^2(A) ± tan^2(B) = 1 / (cos^2(A)cos^2(B))上述公式和推导为三角函数的基本公式，其中还有其他更多的公式用于特定的三角函数关系。