从工科数学教学改革,谈概率论与数理统计课程建设

北京印刷学院学报Jou rnal of B eijing In stitu te of P rinting第6卷　第1期 1998 V o l.6　N o.1从工科数学教学改革,谈概率论与数理统计课程建设龚　武(北京印刷学院基础部) 现在,人们已经习惯使用“计算机时代”的说法,这就无可争辩地说明了计算机对现今社会各领域的重要性。

但是,大多数人却忽略了一个同样无须论证的事实,即数学的极端重要性。

当然,作为基础科学的数学,其重要性人们并没有也不可能否认,但作为“技术”来理解的数学,并没有让所有人知晓并认可。

正如《数学科学、技术、经济竞争力》一书的作者指出的那样:“作为一种技术的数学科学的作用未被认识到,数学科学作为技术变化以及工业竞争的推动力的极其重要性也未被认识到。

”有必要在此特别指出的是,伴随着计算机在各个领域的普遍应用,这些领域逐步进入了定量化与精确化的阶段。

在这些不同的领域中,越来越多的现实问题的研究和处理,经历着建立数学模型,选用恰当的数学方法,然后借助计算机加以解决的过程。

高等工科院校是为国家和行业培养未来技术人才的基地。

一个国家也好,一个行业也好,具有竞争力的关键在于人才,而人才的培养关键在教育。

对一所学校而言,数学教育在其教育体系中应该占有特殊的重要地位。

工科院校的数学教育应该具备以下三个功能。

第一是传授基本知识。

第二是使受教育者得到数学思想及方法的薰陶和培养,增强其分析问题和解决问题的能力,同时提高学习和掌握其它领域知识的能力。

第三是提供直接将所掌握的数学知识应用到解决实际问题过程中的训练。

如果以这样的观点来衡量目前数学教育的状况,下这样的结论似乎并不为过:数学教育只完成了一半的功能。

因为,从第一点看,由于历来注重数学教学要为后继课程提供基础,基本上满足了知识传授的要求。

对于第二点,由于在课堂上更多地是侧重讲授知识内容,对数学思想与方法的介绍和训练欠缺甚多。

从教委下达的和各院校实际操作使用的教学大纲中很难看到这方面的要求就说明问题。

在这方面往往依赖于任课教师自发地去完成,然而教师个体之间的差异是巨大的。

可以说这项功能达到一半是乐观的估计。

当提及第三点时,带来更多的是尴尬。

之所以使用尴尬一词,是因为一方面数学所具有无需再论证的重要性,另一方面也许是许多人在“私下里”用自己的经历告诉他人:“数学没有什么用”。

其实,只需翻一翻学生的毕业论文或随机采访一下毕业生,答案就会有。

存在的未必是合理的。

导致不合理现象存在的直接原因,并非是很多要解决的实际问题无法与数学联系起 收稿日期:19971208来,而恰恰是接受四年大学教育之后,仍不具备应用所学到的数学知识去解决实际问题的能力。

为什么?因为课堂上不教授。

这也正是目前数学教育中最大的弊端和缺陷。

学以致用,但数学教育多年来显然偏离了这个方向。

那么,教学改革的主要任务就应该让数学教育回到应有的轨道上来。

由于弊端根源于已存在数十年之久的教学体系,改革无论从理论还是从实施上都是相当困难的。

工科数学教学体系基本定型已有相当长的时间,其教学内容涉及数学若干分支。

主要框架包括高等数学、线性代数及概率论与数理统计三门课程。

其中,高等数学尤以基础性强,内容多,学时长而影响最著,改革的难度也就最大。

这在具体操作时需更加谨慎。

相对其它课程而言,概率论与数理统计的教学内容与开课时间都有不同,因此在数学教改中处于特殊的位置。

首先,从教学内容看,概率论与数理统计提供研究和处理大量随机现象的理论和方法,人们在进行科学研究或从事其它不同领域的实践活动中,都会面对大量的具有随机性的现象。

如何应用恰当的数学工具科学地分析和处理这些现象,进而获得其统计规律,最终帮助人们做出科学的判断和决策,这是经常会遇到的。

正是随机现象与社会实践、人类生活的密切性决定了这门学科的重要性,而随机现象的普遍性又决定了它应用的广泛性。

从这个意义上讲,这门课又比其它数学课更具有实用性。

但遗憾的是,目前工科院校普通实行48学时的授课计划,按现行大纲执行,连数理统计的基本内容介绍尚无法完成,加强应用更成了一句空话。

因此,教学内容与方法做较大改进就显得更加迫切。

该门课一般在二年级开设,从教学内容和课堂教学方法进行一些较大改动,对其它数学课的直接影响不大,对经过一年大学学习的学生来说,也较容易适应。

这样,相对高等数学与线性代数课,概率论与数理统计课教改的步子可迈大些。

基于以上认识,对概率论与数理统计的课程建设提出以下改革设想。

11教学内容。

按传统的教学大纲,本课程完成基本内容讲授需要64学时。

现在安排为48学时,使近一半的内容无法讲完。

看来,增加学时应该是比较理想的做法。

但在教改要求减少课程学时的大背景下,已不大可能。

故只得在维持现有学时数不变的前提下,两害相权取其轻,只能采取缩减概率论的教学时间,将挤出的学时让给数理统计。

可以尝试将概率论由原来的32学时压缩到22学时,使数理统计由16学时增加到26学时。

从学时数上保证改变原来“重概率,轻统计”的教学指导思想(实际是重理论轻应用思想的产物)。

教学方法也应改变过去课上只重视讲解概念、定理、公式,课下让学生仅仅练习那些精心构造的标准化习题,而这些习题往往体现不出现实背景。

授课老师在讲解理论时应注重数学思想和方法的传授,让学生体会到纯粹数学概念背后所蕴含的丰富内容,并注意引入数学建模的思想方法。

在掌握必要的知识后,让学生有机会面对实际问题,进行必要的提取和假设去建立数学模型。

也可以说,将实际问题变成平常熟悉的习题,然后选择恰当的方法解出答案,并进一步讨论这答案对解决实际问题所具有的指导意义。

数学建模可以架起由理论到实践的桥梁。

譬如,数学期望是概率论一个非常重要的概念。

其定义虽可归纳为一个简单的计算公式,但它包含了对实际工作非常具有指导意义的“平均”概念。

随机现象正是因其随机性而使考查它在某一次结果中是否能出现而变得难以预料,从而也就失去了实际指导意义。

但是,在相同条件下多次考查某种现象“平均”出现的次数,对指导人们作出判断和决策却具有实际意义。

所以,在课堂讲解中,宜淡化其作为公式在数学上的各种演算推导,而应强调其引入的背景和思想。

然后,以数学建模的实例让学生领悟这样的问题:如果最后结果取决于某个(些)随机变化的因素,那么就有可能将一个时期内总的结果表示成随机因素(变量)函数的数学期望,再求极值后就得到可供操作的方案。

这样,不仅让学生知道这些知识有用,也知道了如何用。

同样的思想也应贯穿到数理统计的教学过程中。

虽然安排专门实习在目前尚有困难,但至少可让学生针对日常生活中到处可见的随机现象,亲自尝试做抽样试验,记录下数据后用课堂上所学的统计方法对数据进行处理,做出统计推断。

而不是像以往那样,仅仅将课本习题上罗列的数字套进公式一算了事。

相信经过亲身体验学生会养成一种“眼光”,去发现将来在实际工作中遇到的很多问题确实可以借助数学工具加以解决,并从定性进一步到定量。

当他们真切感受到数学的确有用时,数学教育的目的也就达到了。

21教学方式。

关键是改变学生所处的被动地位,尽可能提高他们学习的主动性。

首先,在课堂上尽量引发学生主动思考,而不总是被动地听教师要讲的内容。

数学概念很抽象,有些的确是纯粹的公理性定义,但也有很多是有丰富背景而经过抽取共性才得到的。

无疑,熟悉这种过程,才能掌握其灵魂,才能真正学到手。

因此,在讲解这样的概念时,应首先提出实际问题,并留出一些时间让学生思考、讨论,甚至可以请学生谈自己的想法。

教师则可以简要地对学生想法加以评述后,再正式引入新概念。

这样,学生接受会更快,理解会更深。

同时,参与感也有助于提高学生听讲的兴趣。

比如,在概率论中引入数学特征概念。

这时,学生已学过随机变量的分布,而分布已经对随机变量做了很完整的描述,那为什么还要其他的描述呢?可以先在课堂上给学生提出这样的问题:如果要比较两个系的学生在一次英语四级考试中的成绩,只有成绩单是无法立即得到结果的,应该怎样比较呢?学生们会很快想到把两系的成绩各自平均一下,通过比较平均成绩结果马上可知。

这时将话题转到随机变量的所有可能取值,学生们会很自然地接受它们也可以存在平均的概念,再加上概率作为权数,数学期望的定义也就水到渠成。

这样讲,学生肯定记得更牢,容易掌握,也有利于应用。

第二,有意识锻炼学生的自学能力。

可以说,在现代社会,学习将伴人终生。

但当大多数人走出校门后,其专门的学习生活可能永远结束了。

那么,具备相当的自学能力,其重要性不言而喻。

当然,自学能力的培养主要靠学生自己,但任课教师有责任给予指导。

可以在行课过程中,有意识选择一部分内容留给学生自学,并且让每位学生都做好准备。

在以后课堂上留出一段时间,安排几名学生上讲台分别讲解其中的一部分,再由教师加以总结,指出他们的长短处。

这样做至少有两点益处:既起到督促指导的作用,又让学生有机会与别人交流自学的心得。

有一点特别值得强调指出的是,当需要你给别人讲解某些内容的时候,能激发你更好地接受和理解这些内容。

正如危难之时总能激发出更多的潜能一样。

第三,应该训练学生的总结能力。

教师常有这样的经历:在答疑时,学生往往问习题怎么做。

这些习题并不需要多么高难的技巧,主要是考查学生对概念、基本理论是否已经掌握。

于是,教师会反问学生一些相关内容,结果学生往往回答不上来。

显然,学过的内容仍然留在书本上,并没有成为学生自己的东西。

在学习过程中忽视总结,是一个重要的原因。

华罗庚先生有句名言“厚书读薄”。

读薄的过程正是消化吸收的过程。

如果每讲完一部分相对完整的教学内容之后,教师都要求学生用自认为最合适的方式和语言,将学过的内容总结一下,并当作一次作业来完成,那么学生一定受益匪浅。

这种外在的作业形式,事实上在促进学生完成“读薄”的过程。

31教学考核。

提到考试,很容易让人联想到“应试教学”。

其实从字面理解,应试教学并没有错。

考试是对教与学两个方面总的衡量与检测,无视教学过程最终的考核内容与方式,其结果无法想象。

现在的问题是考试获得好成绩的学生毕业后在工作上低能。

自然人们会提出质疑:这样考试行吗?一般工科院校以培养应用型人才为主要任务,这应当在考试和考核的内容与方式上体现出来。

可以设想将考试和考核分为两部分:一部分为基本概念与计算,另一部分为综合应用。

对第一部分不追求其难度有多深而强调涵盖面要广,及格分数定得高些,比如设在90分。

可以借鉴驾驶学校对交通规则的考试办法。

交规并不难学,但直接关系到生命财产的(下转第78页) 在高等数学中,导数概念无时不在,无处不有,贯穿于始终。

弄清导数概念及其之间的关系,对于学好高等数学会有很大帮助。

下面列出有关一阶导数(即导数)、二阶导数的一些常用术语,以便比较:(a )函数f (x )在x 0某邻域内二阶导数连续;(b )函数f (x )的二阶导数在x 0点连续;(c )函数f (x )在x 0点某邻域内二阶可导;(d )函数f (x )在x 0点处二阶可导;(e )函数f (x )在x 0点某邻域内一阶导数连续;(f )函数f (x )的一阶导数在x 0点连续;(g )函数f (x )在x 0点某邻域内一阶可导;(h )函数f (x )在x 0点处一阶可导;为了能够更容易看清相互之间的关系,按照它们条件结论的强弱排列起来,有关系图如下:(a )(b )(c )(d )(e )(f )(g )(h )图1　一阶导数、二阶导数常用术语关系图图中,(x )(y )表示“已知(x ),则(y )成立”。