《概率论与数理统计》课程教案

第二部分：随机实验的定义与特点（10分钟）
最基本的数学模型：首个非常重要的概念，是研究概率的重要的基础性工具。
自然界和社会上发生的现象是多种多样的，在观察、分析、研究各种现象时，通常我们将它们分为两类：
(1)可事前预言的，即在准确地重复某些条件下，它的结果总是肯定的，或者根据它过去的状况，在相同条件下完全可以预言将来的发展，称这一类现象为确定性现象或必然现象。
具备以上三个特点（简而言之：过程的可重复性、可能结果的确定性、实际结果的不确定性）的试验，称为随机试验
随机试验的作用：通过随机试验来研究随机现象
第三部分：样本空间，随机事件，随机事件的关系与事件运算（40分钟）
（一）样本空间
由随机试验的3个特点可知，每次试验的所有可能结果是已知的。
样本空间：将随机试验E的所有可能结果组成一个集合，称为E的样本空间，记为S (space)。
随机试验的任一种可能结果构成一个基本事件，比如A＝{s5}
基本事件的总数：等于集合S的基数
注意区别：样本点和基本事件，是元素和集合的关系
2)必然事件(Certain Event)：样本空间S作为一个子集，S S，它作为事件时总会发生
3)不可能事件(Impossible Event)：用空集Φ表示，不包含任何样本点，也有Φ S，每次试验都不发生
样本点：样本空间中的元素，即E的每个结果。
例：设前述试验E1～E7的样本空间S1～S7如下：(保留)
S1:{H，T}
S2:{HHH，HHT，HTH，HTT，THH，THT，TTH，TTT}
S3:{0，1，2，3}
S4:{1，2，3，4，5，6}
S5:{0，1，2，3，…}
S6:{t|t≥0}
S7:{(x,y)|T0≤x≤y≤T1,T0表示该地区最低温，T1表示最高温}
定义:由事件A与事件B中公共的样本点组成的新事件称为事件A与B的积/交。
(1)数学表述为：A∩B=AB= {x|x∈A且x∈B}；
(2)当且仅当A与B同时发生时，A∩B才发生。
例.抛一粒骰子，事件A= “出现点数不超过3”，事件B= “出现偶数点”，
则A={1，2，3}，B={2，4，6}，所以，A∩B={2}.
教学安排
考勤、复习相关知识点、新课内容概述、组织教学、布置作业、课后小结
教学过程
教学组织、具体教学内容及教学方法、手段、时间分配及其它说明
备 注
第一部分：新课内容概述(10分钟)
授课教师向学生做自我介绍，介绍本课程课时设置、作业要求、成绩计算方法。
首先介绍《概率论与数理统计》的发展历史背景、该课程的主要学习内容、本课程与通信工程专业的联系与重要性。
多个事件的积事件： 为n个事件A1,A2,…,An的积事件。
2.必然事件在每一次试验中都发生，对任何一个随机事件A都有φAS。
（2）相等关系(Equivalent Relation)
定义:若属于A的样本点必属于B，且属于B的样本点必属于A，则称事件A与事件B相等，记为A=B。即：若A B且A B，则有A=B。
3.2事件的运算(Operation of Events)
E5：记录电话交换台一分钟内接到的呼叫次数
E6：在一批灯泡中任意抽取一次，测试它的寿命
E7：记录某地一昼夜地最高温度和最低温度
以上试验有以下三个特点：
（1）可以在相同条件下重复地进行；
（2）每次试验地可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；
（3）进行一次试验之前，不能确定哪一个结果会出现，
数理统计—应用概率论研究大量随机现象的规律性；对通过科学安排的一定数量的实验所得到的统计方法给出严格的理论证明；目标是使我们能从一组样本来判定是否能以相当大的概率来保证某一判断是正确的，并控制发生错误的概率。（对应第5、6章内容）
统计手段—以上提供的方法在各种具体问题中的应用，它不去注意这些方法的理论根据、数学论证。（对应第7、8章内容）
随着18、19世纪工业革命和科学的发展，人们注意到某些生物、物理和社会现象与机会游戏相似，从而由机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中，也大大推动了概率论本身发展：
18世纪，法国人布丰在《概率算术试验》中导入“投针问题”；
19世纪，概率论有了飞跃的进展：
1812年拉普拉斯出版的经典著作《分析的概率理论》总结了这一时代概率论的研究，提出了概率古典定义；
（一）概率论的缘起：概率论产生于17世纪，由银行和保险事业发展而产生，但是来自赌博者的请求，却是数学家们思考概率论问题的源泉。
最早书面记载为：1654年，贵族赌徒德.梅勒向法国数学家帕斯卡和费尔马提出了一个使他苦恼了很久的问题：“两个赌徒相约赌若干局，谁先赢m局就算获胜，全部赌本就归胜者，但是当其中一个人甲赢了a(a<m)局的时候，赌博中止，问赌本应当如何分配才算合理？”。这就是著名的分赌注问题。
1657年，荷兰数学家惠更斯企图解决这一问题，写成了《论机会游戏中的计算》一书，是迄今被认为是最早的概率论著作。早期概率论真正创立者是：帕斯卡、费尔马和惠更斯，该时期被称为组合概率时期。
瑞士数学家雅可布·贝努利等在前人基础上，继续分析赌博中的其他问题，给出了“赌徒输光问题”和“圣彼得堡问题”的详尽解法，证明了被称为“大数定律”的一个定理，1713年，其著作《猜度术》出版。
S中不同事件的总数：记S中基本事件的个数为|S|，则总数为2|S|
例1：随机试验E2：将一枚硬币抛掷三次，观察其正面和反面出现的情况
S2={HHH，HHT，HTH，HTT，THH，THT，TTH，TTT}
事件A1:“第一次出现的是正面H”A1={HHH，HHT，HTH，HTT }
A2:“三次出现同一面”A2={HHH,TTT}
设：试验E的样本空间为S，A，B，Ak(k=1,2,..)是S的子集
3.1事件的关系
（1）包含关系(Inclusion Relation)
定义:若属于A的样本点必属于B，则称事件B包含事件A，记为AB，即事件A发生必然导致事件B发生。
注意：
1.事件A是B的子事件即AB，换一说法：如果事件B不发生必导致事件A也不发生，反之则不成立；
(2)在个别试验中呈现不确定的结果，而在相同条件下大量重复试验中呈现规律性的现象称为随机现象(或偶然现象)。
长期观察和实践表明：随机现象在个别的试验中，1.偶然性起着支配作用，呈现出不确定性；2.但在相同条件下的大量重复试验中，却呈现出某种规律性。随机现象的这种规律性称之为统计规律性，概率论与数理统计就是研究和揭示随机现象的统计规律性的一门学科。
随机试验（Random Experiment）包括各种各样的科学试验，甚至对某一事务的某一特征的观察，也认为是一种试出现的情况
E2：将一枚硬币抛掷三次，观察正面H，反面T出现的情况
E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数
E4：抛一颗骰子，观察出现的点数
2.对随机现象数学描述的理解和建模,理解概率的定义和性质
教学重点
基于集合论中集合之间的关系和集合运算来处理事件之间的关系；
公理化概率的定义与基本性质。
教学难点
理解概率在统计意义上的定义与基本性质；
“频率是概率的稳定值”的意义，伯努利大数定律的初步解释。
教学方法
提问、讲授、启发、讨论
工具仪器
多媒体教具、教材、教案、教学课件、考勤表、平时成绩登记表
《概率论与数理统计》课程教案
主讲教师__________所在单位______________
授课班级____________专业_____________________撰写时间_________________
教案编号
1-0101
教案内容
1.1随机实验；1.2样本空间与随机事件
1.3频率与概率
学时
（1）事件的和/并(Union of Events)
定义:由事件A与事件B中所有样本点（相同的样本点只计入一次）所组成的新事件称为事件A与B的和/并。
(1)数学表述为：A∪B={x|x∈A或x∈B}；
(2)当且仅当A,B中至少有一个发生时,事件A∪B发生。
例.抛一粒骰子，事件A=“出现点数不超过3”，事件B=“出现偶数点”。
高斯则奠定了最小二乘法和误差论的基础；
泊松推广了“大数定律”，引入了十分重要的“泊松分布”；
切比雪夫和其的学生马尔可夫分别创建了“大数定律”和“马尔可夫链”。
1934年苏联数学家辛钦提出一种在时间中均匀进行着的平稳过程理论；
柯尔莫戈洛夫以勒贝格的测度论为基础，给出了一套完整的概率论公理体系。
如何把概率论建立在严谨的逻辑基础上，这是从概率诞生时起人们就关注的问题，许多数学家进行过尝试，经过了300年的发展才最终得以圆满解决！
（二）概率论的应用与发展：严谨实用的学科
概率论伴随着工程技术科学的发展而发展起来，经过18、19世纪的长期探索，逐步在20世纪初成为一门完整、严谨的学科。它在物理、化学、生物、生态、天文、地质、医学等专业，在控制论、信息论、电子技术、预报、运筹、金融经济等工程技术领域有广泛的应用。
最新的相关学科发展：博弈论、大数据发掘与分析、预测学。
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教学目标
基本要求
（1）了解概率论与数理统计学科的历史背景、发展；了解概率论与数理统计作为通信专业数学理论基础的地位；
（2）理解样本空间、随机事件的概念，掌握事件的关系与运算；熟练运用事件的和，积，差运算表示未知的事件；
（3）了解概率的公理化体系及基本性质。
能力要求
1.培养能力要求：
a)掌握概率论和数理统计中的基本概念和性质并能够运用到复杂工程问题的适当表述之中；
科幻电影、小说：阿西莫夫《基地》系列—心理史学（预测未来发展）；
电影《少数派报告》----犯罪行为的短时预测。
（三）概率论与通信理论的发展
概率论对通信数学理论发展的最大贡献：基于概率论而创建的“信息论(Information Theory)”，导致了数字通信的兴起与繁荣。信息论将数字通信理论进行重建:利用概率和统计分布等数学语言，构建通信系统中信源编码、信道调制、传输信道、信道信源解调等各个传输环节的分析描述模型，采用基于统计学原理的分析研究方法对整个通信系统进行构架和剖析，指导了诸如信源编码、纠错码、无线信道建模分析等多个分支学科的出现，间接导致当代各类宽带高速移动通信的出现。