第六章 树和二叉树(2)

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2）产生前缀码表 a) 找一个待编码的叶结点，没有此结点，算法结束。 b) 找该结点的双亲，如果无双亲，一个字符编码完成，转a)。 c) 有双亲，确定该结点是双亲的左（右）孩子，得到一位 编码值。 d) 以双亲为当前结点，转b) 对应字符的编码 见讲义算法6.12/6.13 a: 0110
哈夫曼树
哈夫曼树对应的静态三叉链表
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哈夫曼算法 void HuffmanTree(HuffmanTree &HT, int * w, int n){ //w 存放n 个字符的权值（均>0），构造赫夫曼树HT if (n<=1) return; m=2* n-1; HT=(HuffmanTree)malloc(m+1) * sizeof(HTNode); //为哈夫曼树分配存储 //空间 for (p=HT, i=1; i<=n; ++i, ++p, ++w) * p={ * w, 0, 0, 0}; //用给定的n个权// 值 ，构造n棵只有一个根结点的二叉树 for (; i<m; ++i; ++p) { //按构造哈夫曼树的步骤2、3、4，建哈夫曼树 //在HT[1..i-1] 选择parent为0且weight最小的两个结点，其序号分别为s1和 s2。 Select(HT, i-1, s1, s2); HT[s1]. parent =i; HT[s2].parent=i; //HT[i]存放新子树的根结点， HT[i].lchild=s1; HT[i].rchild=s2; HT[i].weight=HT[s1].weight+HT[s2].weight;
weight parent lchild rchild
HTNode类型的结构变量
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w 100 42 23 11 5 19 8 3 29 14 7 58 29 15 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
p 5 29 7 8 14 23 3 11 8 15 19 29 42 58 100
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60 30 15 30 15 60 30 15 5 10 30 15 5 15 10 15 30
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5 10
WPL=5*1+10*2+15*3+30*3=160
30 15
WPL=5*3+10*3+15*2+30*1=105
WPL=5*2+10*2+15*2+30*2=120
Βιβλιοθήκη Baidu
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HT
w
p
lch rch
0 5 0 0 0 1 2 29 0 0 0 5 7 0 0 0 3 8 0 0 0 4 5 14 0 0 0 6 23 0 0 0 3 0 0 0 7 8 11 0 0 0 9 10 11 12 13 14 15 8 棵只有一个结点的二叉树
lch rch 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11 1 12 3 13 8 14 5 15 6 15 2 0 13 0 0 0 0 0 0 0 0 7 4 9 10 11 12 14
w,p,lch,rch 是 weight,parent,l child,rchild 的缩写
100 60 30 15 5 10
结束
40 30
15
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3 哈夫曼树的构造 构造哈夫曼树的步骤： 1．根据给定的n个权值 ，构造n棵只有一个根结点的二叉树， n个权值分 别是这些二叉树根结点的权。设F是由这n棵二叉树构成的集合 2．在F中选取两棵根结点权值最小的树作为左、右子树，构造一颗新的 二叉树，置新二叉树根的权值=左、右子树根结点权值之和； 3．从F中删除这两棵树，并将新树加入F； 4．重复 2、3，直到F中只含一棵树为止；
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例：用哈夫曼算法构造 以w=(5,29,7,8,14,23,3,11) 为权值的哈夫曼树
算 法 原 始 数 据
HT
w 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
p 5 29 7 8 14 23 3 11 8 15 19 29 42 58 100
lch rch 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11 1 12 3 13 8 14 5 15 6 15 2 0 13 0 0 0 0 0 0 0 0 7 4 9 10 11 12 14
W
0 1 2 3 4 5 6 7 8
5 29 7 8 14 23 3 11
算 法 结 果 数 据
权值数组W
哈夫曼树对应的静态三叉链表HT
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哈夫曼算法主要步骤图示
HT
w 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
p
lch rch
为哈夫曼树分 配存储空间
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a: b: c: d: e: f: g: h: 0000 0001 0010 0011 010 011 10 11
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g e a b c d f
h
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如何得到使二进制 串总长最短编码
应用中每个字符的使用频率是不一样的。显然，为使传输的二进制 串尽可能的短，使用频率高的字符用较短编码，使用频率低的字符用较 长的编码。如何使得电文最短呢？这就希望常用的字符编码尽可能的短。 统计语言各个字符的使用频度Wi，利用哈夫曼树就可以对这种语言 定义出一种最优的编码，使∑WiLi最小（电文最短）。
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例：构造以W=（5，15，40，30，10）为权的哈夫曼树。
100 5 15 40 30 10 30 15 5 10 15 40 30 5 15 10 15 60 30 40
60 30 15 5 10 15 40 30 5 15 10 30 15 40
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6.6.2 哈夫曼编码 1.哈夫曼编码 哈夫曼编码 哈夫曼树除了能求解最优判定问题解，还用于其他一些最优问题的求 解。这里介绍用哈夫曼树求解数据的二进制编码。 在进行数据通讯时，涉及数据编码问题。所谓数据编码就是数据与 二进制字符串的转换。例如：数据压缩、邮局发电报，发送方将原文转 换成二进制字符串，接收方将二进制字符串还原成原文。 原文 ---电文（二进制字符串） ----原文 例 要传输的原文为ABACCDA 设ABCD的编码为 A；00 B；01 C：10 D：11 发送方：将ABACCDA 转换成 00010010101100 接收方：将 00010010101100 还原为 ABACCDA
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采用不等长的编码，并且让字符串中出现频率大的字符的编码尽可 能的短，则电文的（字符串的编码）总长度即可减少，但这时会出现 编码的唯一性问题。 如果：A,B,C,D的编码分别为：0，00，1，01 则：上述电文：000011010 共9位，长度减少。但是译文困难。前面的 连续四个0，可以译成AAAA,BB,ABA。不唯一。 3).前缀 前缀编码 3).前缀编码 任一字符的编码都不是另一个字符编码的前缀。如果我们的不等长 编码是前缀编码，则问题就解决了。 前缀编码可以用二叉树来设计。方法： 1）字符放在叶结点上。 2）树中度为1的结点个数为0。 3）左右分支的编码分别为0，1。 4）从根结点到叶结点的路径上各分支的字符组成的二进制串作为 叶结点的编码。
b: c: d: e: f: g: h: 10 1110 1111 110 00 0111 010
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3．哈夫曼编码算法 设用一维数组W存储n个权值， 用静态三叉链表HT存储哈夫曼树
存储哈夫曼树的静态三叉链表类型定义 typedef struct { unsigned int weight; unsigned int parent, lchild, rchild; }HTNode, *HuffmanTree; //动态分配数组存储哈夫曼树
100 42 23 11 5 19 8 3 29 14 7 58 29 15 8 a: b: c: d: e: f: g: h: 0110 10 1110 1111 110 00 0111 010
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*哈夫曼树的应用 哈夫曼树的应用 1）报文到电文的译码 a) 从根出发 b) 取一位报文，若取完，译码结束。 c) 若报文=1，向右分支行进一个结点 若报文=0，向左分支行进一个结点 d) 若所得结点不是叶结点，转b) e) 若所得结点是叶结点，则字符即为译码结果，得到一个 字符，转a) 例：报文：111010001100100111 c b f e h g
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2．哈夫曼编码 目的：得到使报文最短的前缀码表 途径：构造哈夫曼树 依据：字符的使用频度
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设：有8种字符a、b、c、d、e、f、g、h，其使用频率分别为 0.05,0.29,0.07,0.08, 0.14,0.23, 0.03,0.11。构造以字符使用频率作为权值的 哈夫曼树。，将权值取为整数w=(5,29,7,8,14,23,3,11)，按哈夫曼算法构造 的一棵哈夫曼树如下： 对应字符的编码
分数 0-59 60-69 70-79 80-89 90-100 0.15 0.40 0.30 0.10 比例数 0.05
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按图的判定过程，转换一个分数所需的比较次数=从根到对应结点的路径 长度。转换10000个分数所需的总比较次数= 10000（0.05 × 1+0.15 × 2+0.4 × 3+0.3 × 4+0.1 × 4） 若将学生成绩在5个等级以上的分布比例看作描述判定过程二叉树叶子结 点权值，（0.05 × 1+0.15 × 2 +0.4 × 3+0.3 × 4+0.1 × 4）正是该二叉树的带 权路径长度。可见要想获得效率较高的转换程序，可构造以分数的分布 比例为权值的哈夫曼树。
2 应用举例 在求得某些判定问题时，利用哈夫曼树获得最佳判定算法。 例 编制一个将百分制转换成五分制的程序。 最直观的方法是利用if语句来的实现。可用二叉树描述判定过程。参 见课本P145 图6.23(a)。 如果这个程序很不经常使用，或要转换的分数不 多，不必考虑该程序效率，我们可以按照这个流程编程。 可是如果该程序经常要使用或数据量很大。比如对几十万学生的分 数进行转换，在这种情况下，要考虑转换程序的效率。 设有10000个百分制分数要转换，设学生成绩在5个等级以上的分布如 下：
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1).等长编码 1).等长编码 等长 每个字符都有相同长度的二进制编码。 我们上面的例子是一个等长编码的例子。 *优点：译文容易。 *缺点：报文长。 若某种文字有n个字符，每个字符的编码为k位，则： K=log2(n+1) 例如：英文字母26个，若要等长的给每个字母一个编码，则需要5 位二 进制。 2).不等长编码 2).不等长编码 不等长 每个字符具有长度不同的二进制编码。 在电报通讯的例子中，我们总希望电文长度尽可能的短。在数据 压缩时总希望压缩比尽可能的大。
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6.6 哈夫曼树及其应用
6.6.1 哈夫曼树及构造 1 哈夫曼树的概念 哈夫曼树的概念 路径：从一个祖先结点到子孙结点之间的分支构成这两个结点间的路径； 路径长度：路径上的分支数目称为路径长度； 结点的权：根据应用的需要可以给树的结点赋权值； 结点的带权路径长度：从根到该结点的路径长度与该结点权的乘积； 树的带权路径长度=树中所有叶子结点的带权路径之和； 通常记作 WPL= ∑ wi × Li 哈夫曼树：假设有n个权值(w1 , w2 , … , wn )，构造有n个叶子结点的二叉 树，每个叶子结点有一个 wi 作为它的权值。则带权路径长度最小的二叉 树称为哈夫曼树。 哈夫曼树。 哈夫曼树
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A :0
A B C
B: 10 C:11 用这种方式得到的编码是前缀编码。
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例 某通讯系统只使用8种字符a、b、c、d、e、f、g、h，其使用频率分 别为0.05,0.29,0.07,0.08, 0.14,0.23, 0.03,0.11，利用二叉树设计一种不等长 编码： 1）构造以 a、b、c、d、e、f、g、h为叶子结点的二叉树； 2）将该二叉树所有左分枝标记0，所有右分枝标记1； 3）从根到叶子结点路径上标记作为叶子结点所对应字符的编码；