贪心算法习题解析

1． 背包问题定义如下：
输入：正数M W W W P P P n n ;,...,
,;,...,,2121 输出：10,,...,,21≤≤i n X X X X ，使得：∑≤≤n
i i i X P 1最大；
∑≤≤≤n
i i
i
M X
W 1
给出一个求解背包问题的贪心算法，并证明其正确性。

解：
贪心思想：首先计算每种物品单位重量的价值
i
i
W P ，并进行由大到小的排序，然后依据贪心选择策略，将尽可能多的单位重量价值最高的物品装入背包，若将这种物品全部装入背包后，背包内的物品总重量未超出M ，则选择单位重量价值次高的物品，以此类推，每次都是选择当前未放入背包的单位重量价值最高的物品，直到总重量大于或等于M 。

优化子结构：设A 是此背包问题的优化解，且A 包含物品j ，其中j 的重量为w ，则A ’=A-{j X }是剩余的n-1个原重物品1,2,…,j-1,j+1,n 以及重为w w j -的物品j 中可装入容量为M-w 的背包问题的优化解。

证明：利用反证法。

假设A ’不是该子问题的优化解，则存在B ’是该子问题的优化解，由此可知B'的价值大于A'的价值，令B=B'+{j X }，则B 的价值大于A 的价值，这与A 是此问题的优化解相矛盾。

所以此问题具有优化子结构。

贪心选择性：计算每种物品单位重量的价值
i
i
W P ，并进行由大到小的排序。

若
11,1
1-≤≤≥++n i W P
W P i i i i ，则存在背包问题的一个最优解使得}1,min{1
1W M
X =。

证明：设A 是一个优化解，设其第一个物品的选择为1X
(1)如果}1,min{1
1W M
X =，则命题成立。

(2)如果}1,min{11W M
X ≠，则X1在全部放入背包总价值不会超过M 的情况下，
并没有全部放入，设B 满足}1,min{1
1W M
X =，i X (i=2,3,...,n)与A 相同，且调
整最终的价值不会超过M ，则B 是一个优化解且满足}1,min{1
1W M
X =
正确性证明：
因为算法处理过程按照最有子结构和贪心选择性依次处理背包问题，则此算法具有正确性。

2. 写出分支界限的一般算法。

（利用爬山算法）
解：
1) 构造由根组成的单元素栈S ，根节点的权值初始化为0； 2) 将可行解初始化为cost=∞；
3) 计算当前栈顶的权值=父节点的权值+该扩展分支的权值； 4 ) If Top(S)是目标节点
then 根据该节点计算当前可行解cost ，cost=新的可行解；
5 ) If 当前栈顶Top(S)的cost ’>cost ，则Pop(S)，且不再将其子节点入栈； 6) 将S 的子节点按照其启发式测度由大到小的顺序压入S ； 7) If S 空且cost=∞，then 失败; 8 ) If S 空且 cost!=∞，return cost; 9 ) Else goto 3.
3. kn n k k J P J P J P →→→,...,,2211是一个可能解，
当且仅当kn k k J J J ,...,,21必是一个拓扑序列。

证明：=>kn n k k J P J P J P →→→,...,,2211是一个可能解，
而每个人的工作能力符合关系n P P P <
<<...,21，则对于j i n j i <∈∀其中整数],,1[,，若kj ki J J 与满足偏序关系，则有kj ki J J <；若不满足偏序关系，则kj ki J J 与的分配无所谓顺序，所以，kn k k J J J ,...,,21必是一个拓扑序列；
<=kn k k J J J ,...,,21是一个拓扑序列，对于j i n j i <∈∀其中整数],,1[,，若
kj ki J J 与满足偏序关系，则有kj ki J J <，其分配满足j i P P <；若不满足偏序关系，则kj ki J J 与的分配无所谓顺序，不妨使得分配情况满足j i P P <，于是将所有的工作分配完成之后，使得n P P P <<<...,21成立，则kn n k k J P J P J P →→→,...,,2211是一个分配任务的可能解。

4. 修改拓扑排序算法，写出严格的分支界限算法。

（使用爬山法）
解：
1) 生成树根root ，其权值为解代价下界； 2) 将可行解的代价初始化为cost=∞；
3) 选择偏序集中没有前序元素的所有元素，根据加工后的代价矩阵元素，按权
值由大到小依次入栈，作为root的子节点；
4) For root的每个子节点v，其权值为加工后的代价矩阵元素加其父节点权值；
5) 如果此节点为目标节点，且权值不大于cost，则令cost=当前节点的权值，作为界限；
6) 如果此节点权值大于cost，则将此分支剪掉，其子节点不再入栈；
7 ) S=S-{v};
8) 把v作为根，递归地处理S.
5. 给出求解旅行商问题的详细算法。

解：
1) 根据各边之间的权值，列出此问题的初始代价矩阵；
2) 将代价矩阵进行处理，每行（列）减去减去该行(列)的最小值，使得每行(列)
至少有一个零，其余各元素非负，每行（列）所减去所有数的和即为解的代价下界；
3) 选择满足下列条件的边(i,j)，使得
=，0
Cost∈
)
∀
j
Cost，所有包含(i,j)的解集合作为
i
,(=
i
Cost
|)1,
}
max{
(
)1,(V
k
k
左子树，所有不包含(i,j)的解集合作为右子树；
4) 左子树的代价下界不变，计算右子树的代价：分别从变换后的代价矩阵的
第i行第j 列中找到具有最小代价的从i出发的边(i,k)和进入j边(r,j)，将这两条边的代价与其父节点的解的代价下界求和，即为右子树节点的代价下界；
5) 构造左子树根对应的代价矩阵：矩阵中的第i行第j 列应该被删除，并且
代价矩阵的(j,i)元素的位置应该被置为∞；
6) 计算左子树的代价下界：此时左子树的代价矩阵中可能出现某行或某列没
有0的情况，则需相应的减去一个对应行或列的最小数，于是可以获得左子树的新代价下界；
7) 构造右子树根对应的代价矩阵：把代价矩阵的(j,i)元素的位置置为∞；
8) 计算右子树的代价下界：此时右子树的代价矩阵中可能出现某行或某列没
有0的情况，则需相应的减去一个对应行或列的最小数，于是可以获得右子树的新代价下界；
9) 继续利用爬山策略处理，对当前的左右子树中分别递归处理，当处理涉及
到n个顶点时则检验是否已经构成环，若是，则成功返回。