第46讲直线的方程(解析版)2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

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新高考数学一轮复习课件直线的方程

第一节直线的方程
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走进教材·夯实基础细研考点·突破题型课时分层作业
(2)当－1≤k＜0 时，34π≤θ＜π，当 0≤k≤1 时，0≤θ≤π4. 因此 θ 的取值范围是0，π4∪34π，π.]
第一节直线的方程
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走进教材·夯实基础细研考点·突破题型课时分层作业
考点二直线方程的求法 1．经过两条直线 l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1 的交点，且直线的一个方向向量 v＝(－3,2)的直线方程为________．
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走进教材·夯实基础细研考点·突破题型课时分层作业
4 ．过点 P(2,3) 且在两轴上截距相等的直线方程为 __________________．
3x－2y＝0 或 x＋y－5＝0 [当纵、横截距为 0 时，直线方程为 3x－2y＝0；
当截距不为 0 时，设直线方程为ax＋ay＝1，则2a＋3a＝1，解得 a＝ 5，直线方程为 x＋y－5＝0.]
当 k＝0 时，直线为 y＝1，符合题意，故 k 的取值范围是[0，＋∞)．
第一节直线的方程
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走进教材·夯实基础细研考点·突破题型课时分层作业
(3)由题意可知 k≠0，再由 l 的方程，得 A－1＋k2k，0，B(0,1＋ 2k)．
(1)A (2)(－∞，－ 3]∪[1，＋∞) [(1)由题意，在 Rt△BCD 中， ∠BCD＝π2，BC＝ 3AB＝ 3CD，
∴tan∠CBD＝ 33，∴∠CBD＝π6，∴直线 BC 的倾斜角为π3，故 kBC＝tanπ3＝ 3.故选 A．
第一节直线的方程

沪教高三数学第一轮复习：直线的方程.ppt

（4）斜截式；
解：
n 3,1
（3）点斜式；
解：
l : y 2 3( x 1)
（5）截距式； x y 1 解： 1 1 3 （6）一般式；
解：
52 k 3 2 1
y 3x 1
3x y 1 0
例 2.设直线 l 的方程是 2 x ay 1 0 ，倾斜角为。 (1)求直线 l 的一个法向量 n 和一个方向向量 d ；
k 0
l : x 2y 4 0
1 4 k 当且仅当 k
1 1 (4k 4) 2 k
4
1 ，即 k 2 时取等号.
例 2.设直线 l 的方程是 2 x ay 1 0 ，倾斜角为。

(3)若 6

2 3 ，求 a 的取值范围；
3 2 2 解：当时, k k tan , 3 , 3 2 a 6 3 2 2 2 3 a 3 2 3 ,0 0, 令 3或 d a,2
(2)将倾斜角为表示为 a 的函数；
解：
a0 2, 2 arctan , a 0 a arctan 2 , a 0 a
2 a 0时, k a
lim f (n) 2
n
例 6.已知直线 l : kx y 1 2k 0(k R) . （1）证明：直线 l 过定点；证明：因为 y k ( x 2) 1 ， l 过点（-2,1）.
y A B
O
l
（2）若直线不过第四象限，求 k 的取值范围；
解：因为直线 l 的纵截距是 1，所以只要 k 0 .

高考数学理一轮复习-7-1直线的方程精品课件

(1)过点 A(0,2)，它的倾斜角的正弦值是35； (2)过点 A(2,1)，它的倾斜角是直线 l1：3x＋4y＋5＝0 的倾斜角的一半；
(3)过点 A(2,1)和直线 x－2y－3＝0 与 2x－3y－2＝0 的交点；
(4)过点 A(－2,4)分别交 x 轴、y 轴于点 B、C，点 A 内分B→C成 1∶2.
第七章直线和圆的方程
第一节直线的方程
知识自主·梳理
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念．
2．掌握过两点的直线的斜率公式．最新考纲 3．掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式．
4．能根据条件熟练地求出直线方程．
以选择题、填空题的形式考查高考热点直线的基本概念及直线方程的
1.直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对
[规律总结] 在解决直线的截距、斜率以及直线是否经过第几象限等问题时，通常需要将直线的一般式转化为直线的特殊形式，在转化过程中，一定要注意转化的条件．忽视了条件，易出现错误，导致题目解错.
备考例题3
过点P(－1，－2)的直线l分别交x轴和y轴的负半轴于A、B两点． (1)当|PA|·|PB|最小时，求l的方程；
[分析] 根据题目的不同特征，选择恰当的方程形式求解．
(3)
方
法
一
：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解
方
程
组
x－2y－3＝0， 2x－3y－2＝0，
得
x＝－5， y＝－4.
∴两条直线的交点为(－5，－4)．由两点式得－y－4－11＝－x－5－22，即 5x－7y－3＝0. 方法二：用直线系方程来解．
设经过两已知直线交点的直线系方程为
于一条与x轴相交的直线交，点如果逆把时x针轴绕着

2021年高中数学一轮复习·直线：第2节直线的方程

第2节直线的方程【基础知识】1.直线的点斜式方程：直线经过点，且斜率为，则直线的方程为：.这个方程就叫做直线点斜式方程.特别地，直线过点，则直线的方程为：.这个方程叫做直线的斜截式方程.2.直线的两点式方程直线过两点其中，则直线的方程为：.这个方程叫做直线的两点式方程.当时，直线与轴垂直，所以直线方程为：；当时，直线与轴垂直，直线方程为：.特别地，若直线过两点，则直线的方程为：，这个方程叫做直线的截距式方程.3.直线的一般式方程关于的二元一次方程（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程.由一般式方程可得，B不为0时，斜率，截距.[【规律技巧】求直线方程的常用方法有1.直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出方程．2.待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．3.直线在x(y)轴上的截距是直线与x(y)轴交点的横(纵)坐标，所以截距是一个实数，可正、可负，也可为0，而不是距离．【典例讲解】【例1】根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为1010；(2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；(3)直线过点(5，10)，且到原点的距离为5.【变式探究】求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P (4，1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A (－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍．解(1)设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0，即l 过点(0，0)和(4，1)，∴l 的方程为y ＝14x ，即x －4y ＝0.若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋y a＝1，∵l 过点(4，1)，∴4a ＋1a＝1，∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0.综上可知，直线l 的方程为x －4y ＝0或x ＋y －5＝0.【针对训练】1、三角形的顶点是A(-5，0)、B(3，-3)、C(0，2)，求这个三角形三边所在直线的方程．【答案】解析：，直线的点斜式方程为：.整理得：.这就是直线的方程．直线的斜率为，在轴上的截距为2.由斜截式得的方程为：.整理得：.这就是直线的方程．由截距式方程得的方程是：.整理得：.这就是直线的方程．2、已知点A（-3，-1），B（1，5），直线过线段AB的中点，且在轴上的截距是它在轴上的截距的2倍.求直线的方程．【答案】3、直线过点，若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.【答案】或.4、将直线绕点按逆时针方向旋转，求所得直线的方程.【答案】【解析】直线的倾斜角为，点直线上，绕点按逆时针方向旋转，所得直线的倾斜角为，其斜率为，所以由点斜式方程得，.即为所求.【综合点评】求直线的方程有以下两种常用的方法：直接法和待定系数法.直接法就是利用方程的形式直接写出直线的方程；待定系数法是用字母表示某些量，把方程设出来，然后再根据题设把这些量求出来，从而得到直线的方程的方法.【练习巩固】1．直线3x－4y＋k＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k＝________．解析令x＝0，得y＝k4；令y＝0，得x＝－k3，则有k 4－k 3＝2，所以k ＝－24.答案－242．一条直线经过点A (－2，2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．3．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3，4)；(2)斜率为16.解(1)设直线l 的方程是y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k－3，3k ＋4，由已知，得(3k ＋－4k －±6，解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.4．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )．(1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；(2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．5.射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，则直线AB 的方程为________．6．直线l 过点P (1，4)，分别交x 轴的正方向和y 轴的正方向于A ，B 两点．(1)当|PA |·|PB |最小时，求l 的方程；(2)当|OA |＋|OB |最小时，求l 的方程．7、一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（）（A）或（B）或（C）或（D）或【答案】D。

2024年高考数学一轮复习(新高考版《直线的方程》课件ppt

(2)直线 2xcos α－y－3＝0α∈π6，π3的倾斜角的变化范围是
A.π6，π3
√B.π4，π3
C.π4，π2
D.π4，23π
直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α. 由于 α∈π6，π3，所以12≤cos α≤ 23，因此 k＝2cos α∈[1， 3]. 设直线的倾斜角为 θ，则有 tan θ∈[1， 3]. 由于θ∈[0，π)，所以 θ∈π4，π3，即倾斜角的变化范围是π4，π3.
跟踪训练3 (1)直线l的方程为(a＋1)x＋y＋3－a＝0(a∈R)，直线l过定点 _(_1_，__－__4_)_，若直线l不经过第三象限，则实数a的取值范围是_[_3_，__＋__∞__)_.
直线l：(a＋1)x＋y＋3－a＝0可化为a(x－1)＋x＋y＋3＝0，令xx－＋1y＋＝30＝，0，解得xy＝＝1－，4， ∴直线l过定点(1，－4)， ∵直线l可化为y＝－(a＋1)x＋a－3，又直线l不经过第三象限， ∴－ a－a3＋≥10，<0，解得 a≥3.
第

二部分
探究核心题型
题型一直线的倾斜角与斜率
例 1 (1)若直线 l 过点 P(1,0)，且与以 A(2,1)，B(0， 3)为端点的线段
有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是
A.[－ 3，1]
C.－
33，1
√B.(－∞，－ 3]∪[1，＋∞)
D.－∞，－
33∪[1，＋∞)
如图，当直线 l 过点 B 时，设直线 l 的斜率为 k1，则 k1＝ 03－－10＝－ 3；当直线 l 过点 A 时，设直线 l 的斜率为 k2，则 k2＝12－－01＝1，所以要使直线 l 与线段 AB 有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是(－∞，－ 3]∪[1，＋∞).

直线的方程课件-2025届高三数学一轮复习

为
3
2
.
[易错题]已知点 A (3，4)，则经过点 A 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为
4 x －3 y ＝0或 x ＋ y －7＝0
⁠
.
⁠
[解析] 设直线在 x 轴、 y 轴上的截距均为 a .(讨论截距是否为0)
①若 a ＝0，即直线过点(0，0)及(3，4)，
2025届高考数学一轮复习讲义
平面解析几何之直线的方程
一、知识点讲解及规律方法结论总结
1. 直线的倾斜角与斜率
直线的倾斜角
直线的斜率
(1)定义式：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做
定义：当直线l与x轴相交时，
这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，
我们以x轴为基准，x轴正向
π
k＝tan
α
即③
(α≠
D. 8
5−1
＝－2，则线段 lAB ： y －1＝－2( x －4)， x ∈[2，4]，即
2−4
y ＝－2 x ＋9， x ∈[2，4]，故2 x － y ＝2 x －(－2 x ＋9)＝4 x －9， x ∈[2，4].设 h ( x )
1
1
1
1
差为0.1的等差数列，且直线 OA 的斜率为0.725，则 k 3＝(
图1
A. 0.75
B. 0.8
D )
图2
C. 0.85
D. 0.9
[解析] 如图，连接 OA ，延长 AA 1与 x 轴交于点 A 2，则 OA 2＝4 OD 1.因为 k 1， k 2，
2
k 3成公差为0.1的等差数列，所以 k 1＝ k 3－0.2， k 2＝ k 3－0.1，所以tan∠ AOA 2＝

2023年新高考数学一轮复习9-1 直线与直线方程(知识点讲解)含详解

专题9.1 直线与直线方程（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】（1）通过考查直线的斜率与倾斜角、考查直线方程的几种形式，凸显直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养．（2）通过考查两直线的平行与垂直的判断、两直线的平行与垂直的条件的应用、考查与充要条件、基本不等式、导数的几何意义等相结合，以及考查直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系.凸显直观想象、数学运算、逻辑推理、数学应用的核心素养．【知识点展示】知识点1．直线的倾斜角与斜率1．直线的倾斜角①定义．当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴的正方向与直线l 向上的方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. ②范围：倾斜角的范围为． 2．直线的斜率①定义．一条直线的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即，倾斜角是90°的直线没有斜率．当直线与x 轴平行或重合时, , .②过两点的直线的斜率公式．经过两点的直线的斜率公式为.3.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率．倾斜角为90°的直线斜率不存在．4.直线的倾斜角、斜率k 之间的大小变化关系：（1）当时，越大，斜率越大；（2）当时，越大，斜率越大.知识点2．直线的方程1.直线的点斜式方程：直线经过点，且斜率为，则直线的方程为：.这个方程就叫做直线点斜式方程.特别地，直线过点，则直线的方程为：.这个方程叫做直线的斜截式方程.2.直线的两点式方程直线过两点其中，则直线的方程为：.这个方程叫做直线的两点式方程.当时，直线与轴垂直，所以直线方程为：；当时，直线与轴垂直，直线方程为：.特别地，若直线过两点，则直线的方程为：，这个方程叫做直线的截距式方程.αα0απ≤<(90)αα≠tan k α＝l 0α=tan 00k ==11122212()()()P x y P x y x x ≠，，，2121y y k x x --＝α[0,)2πα∈0,k α>(,)2παπ∈0,k α<l 000(,)P x y k l )(00x x k y y -=-l ),0(b l b kx y +=l ),(),,(222211y x P x x P ),(2121y y x x ≠≠l ),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--21x x =x 1x x =21y y =y 1y y=l 12(,0),(0,)(0)P a P b ab ≠l 1x ya b+=3.直线的一般式方程关于的二元一次方程（A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程.由一般式方程可得，B 不为0时，斜率，截距. 知识点3．两条直线平行与垂直 1．两直线的平行关系(1) 对于两条不重合的直线，其斜率为，有. (2)对于两条直线，有.2．两条直线的垂直关系(1) 对于两条直线，其斜率为，有.(2)对于两条直线，有. 知识点4．距离问题 1．两点间的距离公式设两点，则.2．点到直线的距离公式设点，直线，则点到直线的距离.3．两平行线间的距离公式设两条平行直线，则这两条平行线之间的距离.知识点5．两条直线的交点1.两条直线相交：对于两条直线，若，则方程组有唯一解，两条直线就相交，方程组的解就是交点的坐标.2.两条直线，联立方程组，y x ,0=++C By Ax A k B =-C b B=-12,l l 12,k k 1212//l l k k ⇔=11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=1212211221//0,0l l A B A B AC A C ⇔-=-≠12,l l 12,k k 12121l l k k ⊥⇔=-11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=1211220l l A B A B ⊥⇔+=111222(,),(,)P x y P xy 12PP =000(,)P x y :0l Ax By C ++=000(,)P x y :0l Ax By C ++=d =1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=d =11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=12210A B A B -≠11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩若方程组有无数组解，则重合．知识点6．对称问题 1.中点坐标公式 2．两条直线的垂直关系(1) 对于两条直线，其斜率为，有.(2)对于两条直线，有.【常考题型剖析】题型一：直线的倾斜角与斜率例1.（2022·全国·高三专题练习）过点(1,2)(1,0)-、A B 的直线的倾斜角为（） A ．45︒B ．135︒C ．1D ．1-例2.（2022·全国·高三专题练习）如图，设直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，则1k ，2k ，3k 的大小关系为（）A ．123k k k <<B ．132k k k <<C ．213k k k << D ．321k k k <<例3.（2020·北京·高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.12,l l 12,l l 12,k k 12121l l k k ⊥⇔=-11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=1211220l l A B A B ⊥⇔+=给出下列四个结论： ①在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是____________________．【规律方法】1.求直线的斜率与倾斜角.若已知两点的坐标，则直接利用斜率公式求斜率；若条件中给出一条直线，则求出直线上的两点的坐标，然后利用斜率公式求斜率.求直线的倾斜角，则先求出直线的斜率，再利用求倾斜角.2. 求直线的斜率与倾斜角的范围.若斜率k 是含参数的一个式子，则利用函数或不等式的方法求其范围；若是给出图形求斜率与倾斜角的范围，则采用数开结合的方法求其范围．3.从高考题看，对直线斜率的考查，越侧重其应用. 题型二：直线的方程例4.（2015·山东·高考真题）如下图，直线l 的方程是（）A．330x y --= B ．3230x y --=C 310y --=D ．10x -=例5.（2022·全国·高三专题练习）过点()2,1A 且与直线:2430l x y -+=垂直的直线的方程是（） A ．20x y -= B ．250x y +-= C ．230x y --= D ．240x y +-=【规律方法】求直线方程的常用方法：tan k α=1.直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出方程．2.待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．3.直线在x (y )轴上的截距是直线与x (y )轴交点的横(纵)坐标，所以截距是一个实数，可正、可负，也可为0，而不是距离．4.从高考命题看，侧重于直线与圆、直线与圆锥曲线位置关系的考查. 题型三：两条直线平行与垂直例6.（2023·全国·高三专题练习）“2m =”是“直线()2140x m y +++=与直线320x my --=垂直”的（） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件例7.（2021·台州市书生中学高二期中）已知直线1l ：sin 10x y α+-=，直线2l ：3cos 10x y α-+=，若12l l //，则sin2α=_________若12l l ⊥，则sin2α=________ 【易错提醒】当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．题型四：距离问题例8.（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y =x +4x (x >0)上的一个动点，则点P到直线x +y =0的距离的最小值是_____. 例9.（2016·上海·高考真题（文））已知平行直线，则12l l 与的距离是_______________.【规律方法】两种距离的求解思路 (1)点到直线的距离的求法可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式． (2)两平行线间的距离的求法①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离． ②利用两平行线间的距离公式(利用公式前需把两平行线方程中x ，y 的系数化为相同的形式)．题型五：两条直线的交点例10.（2022·全国·高三专题练习）直线1:1l y mx =+，2:1l x my =-+相交于点P ，其中1m ≤.(1)求证：1l 、2l 分别过定点A 、B ，并求点A 、B 的坐标； (2)当m 为何值时，ABP △的面积S 取得最大值，并求出最大值.例11.（2021·全国高三专题练习）求过直线1:5230l x y +-=和2:3580l x y --=的交点P ，且与直线470x y +-=垂直的直线l 的方程.【规律方法】 1.两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到的方程组的解，即交点的坐标． 2.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程．3.涉及两直线的交点问题，往往需借助于图形，应用数形结合思想，探索解题思路，这也是解析几何中分析问题、解决问题的重要特征. 题型六：对称问题例12.（2020·山东高考真题）直线2360x y +-=关于点()1,2-对称的直线方程是（） A ．32100x y --= B ．32230x y --= C ．2340x y +-=D ．2320x y +-=例13.（浙江·高考真题（理））直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程是（） A ．210x y +-=B ．210x y +-=C ．230x y +-=D ．230x y +-=例14.（2019·河北高考模拟（理））设点为直线：上的动点，点，，则的最小值为（） A ． BC ．D【规律方法】涉及对称问题，主要有以下几种情况：1．若点关于直线对称，设对称点是，则线段的中点在直线上且直线，由此可得一方程组，解这个方程组得：的值，从而求得对称点的坐标.P l 40x y +-=(2,0)A -()2,0B ||||PA PB +00(,)P x y :0l Ax By C ++=00(,)Q x y ''PQ l PQ l ⊥0000000022()1x x y y A B C y y A x x B ''++⎧⨯+⨯+=⎪⎪⎨'-⎪⨯-=-'-⎪⎩00,x y ''2．若直线关于点对称，由于对称直线必与直线平行，故可设对称直线为.因为直线间的距离是点到直线的距离的二倍，，解这个方程可得的值（注意这里求出的有两个），再结合图形可求得对称直线的方程．3．若直线关于直线对称，则在直线上取两点，求出这两点关于直线对称的两点的坐标，再由两点式便可得直线关于直线对称的直线的方程． 4.中心对称问题的两种类型及求解方法5.轴对称问题的两种类型及求解方法:0l Ax By C ++=00(,)P x y :0l Ax By C ++=0:0l Ax By C '++=,l l 'P :0l Ax By C ++=2=0C 0C l ':0l Ax By C ++=0000:0l A x B y C ++=:0l Ax By C ++=0l l 0l专题9.1 直线与直线方程（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】（1）通过考查直线的斜率与倾斜角、考查直线方程的几种形式，凸显直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养．（2）通过考查两直线的平行与垂直的判断、两直线的平行与垂直的条件的应用、考查与充要条件、基本不等式、导数的几何意义等相结合，以及考查直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系.凸显直观想象、数学运算、逻辑推理、数学应用的核心素养．【知识点展示】知识点1．直线的倾斜角与斜率1．直线的倾斜角①定义．当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴的正方向与直线l 向上的方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. ②范围：倾斜角的范围为． 2．直线的斜率①定义．一条直线的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即，倾斜角是90°的直线没有斜率．当直线与x 轴平行或重合时, , .②过两点的直线的斜率公式．经过两点的直线的斜率公式为.3.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率．倾斜角为90°的直线斜率不存在．4.直线的倾斜角、斜率k 之间的大小变化关系：（1）当时，越大，斜率越大；（2）当时，越大，斜率越大.知识点2．直线的方程1.直线的点斜式方程：直线经过点，且斜率为，则直线的方程为：.这个方程就叫做直线点斜式方程.特别地，直线过点，则直线的方程为：.这个方程叫做直线的斜截式方程.2.直线的两点式方程直线过两点其中，则直线的方程为：.这个方程叫做直线的两点式方程.当时，直线与轴垂直，所以直线方程为：；当时，直线与轴垂直，直线方程为：.特别地，若直线过两点，则直线的方程为：，这个方程叫做直线的αα0απ≤<(90)αα≠tan k α＝l 0α=tan 00k ==11122212()()()P x y P x y x x ≠，，，2121y y k x x --＝α[0,)2πα∈0,k α>(,)2παπ∈0,k α<l 000(,)P x y k l )(00x x k y y -=-l ),0(b l b kx y +=l ),(),,(222211y x P x x P ),(2121y y x x ≠≠l ),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--21x x =x 1x x =21y y =y 1y y=l 12(,0),(0,)(0)P a P b ab ≠l 1x ya b+=截距式方程.3.直线的一般式方程关于的二元一次方程（A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程.由一般式方程可得，B 不为0时，斜率，截距. 知识点3．两条直线平行与垂直1．两直线的平行关系(1) 对于两条不重合的直线，其斜率为，有.(2)对于两条直线，有.2．两条直线的垂直关系(1) 对于两条直线，其斜率为，有.(2)对于两条直线，有. 知识点4．距离问题1．两点间的距离公式设两点，则.2．点到直线的距离公式设点，直线，则点到直线的距离.3．两平行线间的距离公式设两条平行直线，则这两条平行线之间的距离.知识点5．两条直线的交点1.两条直线相交：对于两条直线，若，则方程组有唯一解，两条直线就相交，方程组的解就是交点的坐标.2.两条直线y x ,0=++C By Ax A k B =-C b B =-12,l l 12,k k 1212//l l k k ⇔=11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=1212211221//0,0l l A B A B AC A C ⇔-=-≠12,l l 12,k k 12121l l k k ⊥⇔=-11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=1211220l l A B A B ⊥⇔+=111222(,),(,)P x y P xy 12PP =000(,)P x y :0l Ax By C ++=000(,)P x y :0l Ax By C ++=d =1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=d =11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=12210A B A B -≠11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩，联立方程组，若方程组有无数组解，则重合．知识点6．对称问题1.中点坐标公式2．两条直线的垂直关系(1) 对于两条直线，其斜率为，有.(2)对于两条直线，有.【常考题型剖析】题型一：直线的倾斜角与斜率例1.（2022·全国·高三专题练习）过点(1,2)(1,0)-、A B 的直线的倾斜角为（）A ．45︒B ．135︒C ．1D ．1- 【答案】A【解析】【分析】利用斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】过A 、B 的斜率为2011(1)k -==--，则该直线的倾斜角为45︒，故选：A ．例2.（2022·全国·高三专题练习）如图，设直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，则1k ，2k ，3k 的大小关系为（） A ．123k k k << B ．132k k k <<C ．213k k k << D ．321k k k <<11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩12,l l 12,l l 12,k k 12121l l k k ⊥⇔=-11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=1211220l l A B A B ⊥⇔+=【答案】A【解析】【分析】直接由斜率的定义判断即可.【详解】由斜率的定义可知，123k k k <<.故选：A ．例3.（2020·北京·高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是____________________．【答案】①②③【解析】【分析】根据定义逐一判断，即可得到结果【详解】()()f b f a b a---表示区间端点连线斜率的负数，在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，甲企业在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[]12,t t 的污水治理能力最强．④错误；在2t 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为：①②③【规律方法】1.求直线的斜率与倾斜角.若已知两点的坐标，则直接利用斜率公式求斜率；若条件中给出一条直线，则求出直线上的两点的坐标，然后利用斜率公式求斜率.求直线的倾斜角，则先求出直线的斜率，再利用求倾斜角.2. 求直线的斜率与倾斜角的范围.若斜率k 是含参数的一个式子，则利用函数或不等式的方法求其范围；若是给出图形求斜率与倾斜角的范围，则采用数开结合的方法求其范围．3.从高考题看，对直线斜率的考查，越侧重其应用.题型二：直线的方程例4.（2015·山东·高考真题）如下图，直线l 的方程是（）A ．330x y --=B ．3230x y --=C ．3310x y --=D ．310x y --=【答案】D【解析】【分析】由图得到直线的倾斜角为30，进而得到斜率，然后由直线l 与x 轴交点为()1,0求解.tan k α=【详解】由图可得直线的倾斜角为30°，所以斜率tan 30k =︒=，所以直线l 与x 轴的交点为()1,0，所以直线的点斜式方程可得l ：)01y x -=-，即10x -=．故选：D例5.（2022·全国·高三专题练习）过点()2,1A 且与直线:2430l x y -+=垂直的直线的方程是（） A ．20x y -=B ．250x y +-=C ．230x y --=D ．240x y +-= 【答案】B【解析】【分析】利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可求解.【详解】由题意可知，设所求直线的方程为420x y m ++=，将点()2,1A 代入直线方程420x y m ++=中，得42210m ⨯+⨯+=，解得10m =-，所以所求直线的方程为42100x y +-=，即250x y +-=.故选：B.【规律方法】求直线方程的常用方法：1.直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出方程．2.待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．3.直线在x (y )轴上的截距是直线与x (y )轴交点的横(纵)坐标，所以截距是一个实数，可正、可负，也可为0，而不是距离．4.从高考命题看，侧重于直线与圆、直线与圆锥曲线位置关系的考查.题型三：两条直线平行与垂直例6.（2023·全国·高三专题练习）“2m =”是“直线()2140x m y +++=与直线320x my --=垂直”的（）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由直线()2140x m y +++=与直线320x my --=垂直求出m 的值，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】直线()2140x m y +++=与直线320x my --=垂直,则()()2310m m ⨯++⨯-=，解得：2m =或3m =-，所以“2m =”是“直线()2140x m y +++=与直线320x my --=垂直”的充分不必要条件.故选：B.例7.（2021·台州市书生中学高二期中）已知直线1l ：sin 10x y α+-=，直线2l ：3cos 10x y α-+=，若12l l //，则sin2α=_________若12l l ⊥，则sin2α=________ 【答案】23- 35 【分析】根据直线平行和垂直得到sin ,cos αα的关系，再结合二倍角公式及弦化切得到答案.【详解】若12l l //，则()12sin 3cos 10sin cos sin 22sin cos 33ααααααα--=⇒=-⇒==-，此时113cos α≠，则两条直线不重合，故2sin 23α=-；若12l l ⊥，则sin 3cos 0tan 3ααα-=⇒=， ∴2222sin cos 2tan 3sin 22sin cos sin cos tan 15ααααααααα====++. 故答案为：23-，35. 【易错提醒】当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．题型四：距离问题例8.（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y =x +4x (x >0)上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____.【答案】4.【解析】当直线x +y =0平移到与曲线y =x +4x 相切位置时，切点Q 即为点P 到直线x +y =0的距离最小. 由y ′=1−4x 2=−1，得x =√2(−√2舍)，y =3√2，即切点Q(√2,3√2)，则切点Q 到直线x +y =0的距离为√2+3√2|√12+12=4，故答案为：4．例9.（2016·上海·高考真题（文））已知平行直线，则12l l 与的距离是_______________.【解析】利用两平行线间的距离公式得d == 【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即,x y 的系数必须相同，本题较为容易，主要考查考生的基本运算能力.【规律方法】两种距离的求解思路(1)点到直线的距离的求法可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．(2)两平行线间的距离的求法①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．②利用两平行线间的距离公式(利用公式前需把两平行线方程中x ，y 的系数化为相同的形式)．题型五：两条直线的交点例10.（2022·全国·高三专题练习）直线1:1l y mx =+，2:1l x my =-+相交于点P ，其中1m ≤.(1)求证：1l 、2l 分别过定点A 、B ，并求点A 、B 的坐标；(2)当m 为何值时，ABP △的面积S 取得最大值，并求出最大值.【答案】(1)证明见解析，()0,1A ，()10B , (2)0m =时，S 取得最大值12【解析】【分析】（1）在直线1l 的方程中令0x =可得出定点A 的坐标，在直线2l 的方程中令0y =可得出定点B 的坐标，由此可得出结论；（2）联立直线1l 、2l 的方程，可求得两直线的交点P 的坐标，计算出AP 和BP ，利用三角形的面积公式可计算出S 的表达式，由S 的表达式可求得S 的最大值及其对应的m 的值.（1）在直线1l 的方程中，令0x =可得1y =，则直线1l 过定点()0,1A ，在直线2l 的方程中，令0y =可得1x =，则直线2l 过定点()10B ,；（2）联立直线1l 、2l 的方程11y mx x my =+⎧⎨=-+⎩，解得221111m x m m y m -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，即点2211,11m m P m m -+⎛⎫ ⎪++⎝⎭.AP ==BP ，11m -≤≤，所以，()()222211111212212121m m m S AP BP m m m -⋅+-⎛⎫=⋅===- ⎪+++⎝⎭；212121S m ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭且11m -≤≤，因此，当0m =时，S 取得最大值，即max 12S =.例11.（2021·全国高三专题练习）求过直线1:5230l x y +-=和2:3580l x y --=的交点P ，且与直线470x y +-=垂直的直线l 的方程.【答案】450x y --=【分析】解法一：先取得两直线的交点，再根据与直线470x y +-=垂直求解；解法二：根据直线l 垂直于直线470x y +-=，设直线l 的方程为40x y c -+=，再将.1l 与2l 的交点代入求解；解法三：根据直线l 过1l 与2l 的交点，设直线l 的方程为(523)(358)0x y x y λ+-+--=，再根据l 与直线470x y +-=垂直求解.【详解】解法一：由5230,3580x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得(1,1). - 直线470x y +-=的斜率为14-， ∴直线l 的斜率为4.因此满足条件的直线l 的方程为：14(1)y x +=-，即450x y --=. 解法二：直线l 垂直于直线470x y +-=.∴设直线l 的方程为40x y c -+=.1l 与2l 的交点为(1,1)P -，41(1)0c ∴⨯--+=，解得从而5c =-.所以直线l 的方程为450x y --=.解法三：因为直线l 过1l 与2l 的交点，∴设直线l 的方程为(523)(358)0x y x y λ+-+--=，即(53)(25)380x y λλλ++---=， l 与直线470x y +-=垂直，53425l k λλ+∴=-=-，解得1317λ=. ∴直线l 的方程为450x y --=.【规律方法】1.两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到的方程组的解，即交点的坐标．2.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程．3.涉及两直线的交点问题，往往需借助于图形，应用数形结合思想，探索解题思路，这也是解析几何中分析问题、解决问题的重要特征.题型六：对称问题例12.（2020·山东高考真题）直线2360x y +-=关于点()1,2-对称的直线方程是（）A ．32100x y --=B ．32230x y --=C ．2340x y +-=D ．2320x y +-=【答案】D【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为()x y ，,则其关于点()1,2-对称的点的坐标为(2,4)x y ---，代入已知直线即可求得结果.【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为()x y ，，则其关于点()1,2-对称的点的坐标为(2,4)x y ---，因为点(2,4)x y ---在直线2360x y +-=上，所以()()223460x y --+--=即2320x y +-=.故选：D.例13.（浙江·高考真题（理））直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程是（）A ．210x y +-=B ．210x y +-=C ．230x y +-=D ．230x y +-= 【答案】D【解析】【分析】设所求直线上任一点（x ，y ），关于x=1的对称点求出，代入已知直线方程，即可得到所求直线方程．【详解】设所求直线上任一点（x y ，），则它关于1x =对称点为()2,x y -在直线210x y -+=上，∴2210x y --+=化简得230x y +-=故选答案D ．故选D ．例14.（2019·河北高考模拟（理））设点为直线：上的动点，点，，则的最小值为（）A ．BC ．D【答案】A【解析】 P l 40x y +-=(2,0)A -()2,0B ||||PA PB +依据题意作出图像如下：设点关于直线的对称点为，则它们的中点坐标为：，且由对称性可得：，解得：，所以因为，所以当三点共线时，最大此时最大值为故选：A【规律方法】涉及对称问题，主要有以下几种情况：1．若点关于直线对称，设对称点是，则线段的中点在直线上且直线，由此可得一方程组，解这个方程组得：的值，从而求得对称点的坐标. 2．若直线关于点对称，由于对称直线必与直线平行，故可设对称直线为.因为直线间的距离是点到直线的距离的二倍，，解这个方程可得的值（注意这里求出的有两个），再结合图形可求得对称直线的方程．()2,0B l ()1,B a b 2,22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭1PB PB =()011224022b a a b -⎧⨯-=-⎪⎪-⎨+⎪+-=⎪⎩4a =2b =()14,2B 1||||||||PA PB PA PB +=+1,,A P B ||||PA PB +1AB ==00(,)P x y :0l Ax By C ++=00(,)Q x y ''PQ l PQ l ⊥0000000022()1x x y y A B C y y A x x B ''++⎧⨯+⨯+=⎪⎪⎨'-⎪⨯-=-'-⎪⎩00,x y '':0l Ax By C ++=00(,)P x y :0l Ax By C ++=0:0l Ax By C '++=,l l 'P :0l Ax By C ++=2=0C 0C l '3．若直线关于直线对称，则在直线上取两点，求出这两点关于直线对称的两点的坐标，再由两点式便可得直线关于直线对称的直线的方程．4.中心对称问题的两种类型及求解方法5.轴对称问题的两种类型及求解方法:0l Ax By C ++=0000:0l A x B y C ++=:0l Ax By C ++=0l l 0l。

2021年高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查必修部分48直线的倾斜角与斜率、直线的方程

开卷速查(四十八) 直线的倾斜角与斜率、直线的方程2021年高考数学理新课标A 版一轮总复习开卷速查必修部分48直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0 (θ∈R )，则直线l 的倾斜角α的范围是( )A ．[0，π)B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 解析：当cos θ＝0时，方程变为x ＋3＝0，其倾斜角为π2；当cos θ≠0时，由直线方程可得斜率k ＝－1cos θ.∵cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0， ∴k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，又α∈[0，π)，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4.由上知，倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4，故选C.答案：C2．如图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则()A．k1<k2<k3B．k3<k1<k2C．k3<k2<k1D．k1<k3<k2解析：直线l1的斜率角α1是钝角，故k1<0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2>α3，所以0<k3<k2，因此k1<k3<k2，故选D.答案：D3．若k，－1，b三个数成等差数列，则直线y＝kx＋b必经过定点()A．(1，－2) B．(1,2)C．(－1,2) D．(－1，－2)解析：因为k，－1，b三个数成等差数列，所以k＋b＝－2，即b ＝－2－k，于是直线方程化为y＝kx－k－2，即y＋2＝k(x－1)，故直线必过定点(1，－2)．答案：A4．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足()A ．ab ＞0，bc ＜0B ．ab ＞0，bc ＞0C ．ab ＜0，bc ＞0D ．ab ＜0，bc ＜0解析：由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －c b ，易知－a b ＜0且－cb ＞0，故ab ＞0，bc ＜0.答案：A5．直线Ax ＋By －1＝0在y 轴上的截距是－1，而且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则( )A ．A ＝3，B ＝1 B ．A ＝－3，B ＝－1C ．A ＝3，B ＝－1D ．A ＝－3，B ＝1解析：将直线Ax ＋By －1＝0化成斜截式y ＝－A B x ＋1B . ∵1B ＝－1，∴B ＝－1，故排除A 、D. 又直线3x －y ＝33的倾斜角α＝π3， ∴直线Ax ＋By －1＝0的倾斜角为2α＝2π3， ∴斜率－A B ＝tan 2π3＝－3，∴A ＝－ 3. 答案：B6．设点A (－2,3)，B (3,2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 没有交点，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，52C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，43 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－43∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞解析：直线ax ＋y ＋2＝0恒过点M (0，－2)，且斜率为－a ， ∵k MA ＝3－(－2)－2－0＝－52，k MB ＝2－(－2)3－0＝43，由图可知：－a >－52且－a <43，∴a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，52.答案：B7．一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为__________．解析：设所求直线的方程为x a ＋y b ＝1，∵A (－2,2)在直线上，∴－2a ＋2b ＝1.①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1， ∴12|a |·|b |＝1.②由①②可得(1)⎩⎨⎧a －b ＝1，ab ＝2或(2)⎩⎨⎧a －b ＝－1，ab ＝－2.由(1)解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－2，方程组(2)无解．故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y－2＝1，即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求直线的方程．答案：x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝08．已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是__________．解析：直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1，设P (x ，y )，则x ＝3－34y ， ∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y ) ＝34[－(y －2)2＋4]≤3.即当P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2时，xy 取最大值3.答案：39．若ab >0，且A (a,0)、B (0，b )、C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为__________．解析：根据A (a,0)、B (0，b )确定直线的方程为x a ＋yb ＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2b ＝1，所以－2(a ＋b )＝ab .又ab >0，故a <0，b <0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号．即ab 的最小值为16. 答案：1610．过点P (3,0)作一直线，使它夹在两直线l 1：2x －y －2＝0与l 2：x ＋y ＋3＝0之间的线段AB 恰被点P 平分，求此直线的方程．解析：设点A (x ，y )在l 1上，点B (x B ，y B )在l 2上．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x B 2＝3，y ＋y B2＝0，则点B (6－x ，－y )，解方程组⎩⎨⎧2x －y －2＝0，(6－x )＋(－y )＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝113，y ＝163，则k ＝163－0113－3＝8.故所求的直线方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0.B 级能力提升练11．已知点A (－1,0)，B (cos α，sin α)，且|AB |＝3，则直线AB 的方程为( )A ．y ＝3x ＋3或y ＝－3x － 3B ．y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33 C ．y ＝x ＋1或y ＝－x －1 D ．y ＝2x ＋2或y ＝－2x － 2解析：|AB |＝(cos α＋1)2＋sin 2α＝2＋2cos α＝3，所以cos α＝12，sin α＝±32，所以k AB ＝±33，即直线AB 的方程为y ＝±33(x ＋1)，所以直线AB 的方程为y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33.答案：B12．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n (n ＋1)(n ∈N *)，其前n 项和S n ＝910，则直线x n ＋1＋y n＝1与坐标轴所围成三角形的面积为( )A ．36B ．45C ．50D ．55 解析：由a n ＝1n (n ＋1)，可知a n ＝1n －1n ＋1，∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1，又知S n ＝910，∴1－1n ＋1＝910，即n ＝9.∴直线方程为x 10＋y9＝1，且与坐标轴的交点为(10,0)和(0,9)， ∴直线与坐标轴所围成的三角形的面积为12×10×9＝45. 答案：B13．如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解析：由题意可得k OA ＝tan45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x ，设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得 ⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)．又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)．即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0. 14．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解析：(1)证明：方法一：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．方法二：设直线l 过定点(x 0，y 0)，则kx 0－y 0＋1＋2k ＝0对任意k ∈R 恒成立，即(x 0＋2)k －y 0＋1＝0恒成立，∴x 0＋2＝0，－y 0＋1＝0，解得x 0＝－2，y 0＝1，故直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎨⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k 的取值范围是[0，＋∞)．(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk ，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．又－1＋2kk ＜0且1＋2k ＞0，∴k ＞0. 故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2kk (1＋2k ) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4，当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.20511 501F 借23105 5A41 婁29803746B 瑫32928 80A0 肠40157 9CDD 鳝%Z25060 61E4 懤23552 5C00 尀+{22743 58D7 壗v39179 990B 餋s。

2021年高考数学一轮总复习 8.1 直线与方程教案理新人教A版

2021年高考数学一轮总复习 8.1 直线与方程教案理新人教A版高考导航知识网络8.1 直线与方程典例精析题型一直线的倾斜角【例1】直线2xcos α－y －3＝0，α∈[π6，π3]的倾斜角的变化范围是( )A.[π6，π3]B.[π4，π3]C.[π4，π2]D.[π4，2π3]【解析】直线2xcos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α，由于α∈[π6，π3]，所以12≤cos α≤32，k ＝2cos α∈[1，3].设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]，由于θ∈[0，π)，所以θ∈[π4，π3]，即倾斜角的变化范围是[π4，π3]，故选B.【点拨】利用斜率求倾斜角时，要注意倾斜角的范围.【变式训练1】已知M(2m ＋3，m)，N(m －2,1)，当m ∈ 时，直线MN 的倾斜角为锐角；当m ＝时，直线MN 的倾斜角为直角；当m ∈ 时，直线MN 的倾斜角为钝角.【解析】直线MN 的倾斜角为锐角时，k ＝m －12m ＋3－m ＋2＝m －1m ＋5＞0⇒m ＜－5或m ＞1；直线MN 的倾斜角为直角时，2m ＋3＝m －2⇒m ＝－5；直线MN 的倾斜角为钝角时，k ＝m －12m ＋3－m ＋2＝m －1m ＋5＜0⇒－5＜m ＜1.题型二直线的斜率【例2】已知A(－1，－5)，B(3，－2)，直线l 的倾斜角是直线AB 的倾斜角的2倍，求直线l 的斜率.【解析】由于A(－1，－5)，B(3，－2)，所以kAB ＝－2＋53＋1＝34，设直线AB 的倾斜角为θ，则tan θ＝34，l 的倾斜角为2θ，tan 2θ＝2tan θ1－tan2θ＝2×341－(34)2＝247.所以直线l 的斜率为247.【点拨】直线的倾斜角和斜率是最重要的两个概念，应熟练地掌握这两个概念，扎实地记住计算公式，倾斜角往往会和三角函数的有关知识联系在一起.【变式训练2】设α是直线l 的倾斜角，且有sin α＋cos α＝15，则直线l 的斜率为( )A.34B.43C.－43D.－34或－43【解析】选C.sin α＋cos α＝15⇒sin αcos α＝－1225＜0⇒sin α＝45，cos α＝－35或cos α＝45，sin α＝－35(舍去)，故直线l 的斜率k ＝tan α＝sin αcos α＝－43.题型三直线的方程【例3】求满足下列条件的直线方程.(1)直线过点(3,2)，且在两坐标轴上截距相等； (2)直线过点(2,1)，且原点到直线的距离为2.【解析】(1)当截距为0时，直线过原点，直线方程是2x －3y ＝0；当截距不为0时，设方程为x a ＋ya ＝1，把(3,2)代入，得a ＝5，直线方程为x ＋y －5＝0.故所求直线方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0. (2)当斜率不存在时，直线方程x －2＝0合题意；当斜率存在时，则设直线方程为y －1＝k(x －2)，即kx －y ＋1－2k ＝0，所以|1－2k|k2＋1＝2，解得k ＝－34，方程为3x ＋4y －10＝0.故所求直线方程为x －2＝0或3x ＋4y －10＝0.【点拨】截距可以为0，斜率也可以不存在，故均需分情况讨论.【变式训练3】求经过点P(3，－4)，且横、纵截距互为相反数的直线方程. 【解析】当横、纵截距都是0时，设直线的方程为y ＝kx.因为直线过点P(3，－4)，所以－4＝3k ，得k ＝－43.此时直线方程为y ＝－43x.当横、纵截距都不是0时，设直线的方程为x a ＋y－a＝1，因为直线过点P(3，－4)，所以a ＝3＋4＝7.此时方程为x －y －7＝0. 综上，所求直线方程为4x ＋3y ＝0或x －y －7＝0. 题型四直线方程与最值问题【例4】过点P(2,1)作直线l 分别交x 、y 轴的正半轴于A 、B 两点，点O 为坐标原点，当△ABO 的面积最小时，求直线l 的方程.【解析】方法一：设直线方程为x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)，由于点P 在直线上，所以2a ＋1b ＝1.2a ·1b ≤(2a ＋1b 2)2＝14，当2a ＝1b ＝12时，即a ＝4，b ＝2时，1a ·1b 取最大值18，即S △AOB ＝12ab 取最小值4，所求的直线方程为x 4＋y2＝1，即x ＋2y －4＝0.方法二：设直线方程为y －1＝k(x －2)(k ＜0)，直线与x 轴的交点为A(2k －1k ，0)，直线与y 轴的交点为B(0，－2k ＋1)，由题意知2k －1＜0，k ＜0,1－2k ＞0.S △AOB ＝12(1－2k) ·2k －1k ＝12[(－1k )＋(－4k)＋4]≥12[2(－1k)·(－4k)＋4]＝4. 当－1k ＝－4k ，即k ＝－12时，S △AOB 有最小值，所求的直线方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.【点拨】求直线方程，若已知直线过定点，一般考虑点斜式；若已知直线过两点，一般考虑两点式；若已知直线与两坐标轴相交，一般考虑截距式；若已知一条非具体的直线，一般考虑一般式.【变式训练4】已知直线l ：mx －(m2＋1)y ＝4m(m ∈R).求直线l 的斜率的取值范围. 【解析】由直线l 的方程得其斜率k ＝mm2＋1. 若m ＝0，则k ＝0；若m ＞0，则k ＝1m ＋1m≤12m ·1m＝12，所以0＜k≤12；若m ＜0，则k ＝1m ＋1m ＝－1－m －1m≥－12(－m)(－1m)＝－12，所以－12≤k＜0.综上，－12≤k≤12.总结提高1.求斜率一般有两种类型：其一，已知直线上两点，根据k ＝y2－y1x2－x1求斜率；其二，已知倾斜角α或α的三角函数值，根据k ＝tan α求斜率，但要注意斜率不存在时的情形. 2.求倾斜角时，要注意直线倾斜角的范围是[0，π).3.求直线方程时，应根据题目条件，选择合适的直线方程形式，从而使求解过程简单明确.设直线方程的截距式，应注意是否漏掉过原点的直线；设直线方程的点斜式时，应注意是否漏掉斜率不存在的直线.。

2025届高中数学一轮复习课件《直线方程》ppt

高考一轮总复习•数学
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2．直线的斜率 (1)定义：一条直线的倾斜角 α 的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母 k
表示，即 k＝ tan α ，倾斜角是 90°的直线没有斜率．
(2)过两点的直线的斜率公式
经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为 k＝yx22－－yx11. 3．直线的方向向量若 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是直线 l 上两点，则 l 一个方向向量的坐标为(x2－x1，y2－y1)；若 l 的斜率为 k，则一个方向向量的坐标为 (1，k) .
高考一轮总复习•数学
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01 理清教材强基固本 02 重难题型全线突破 03 限时跟踪检测
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理清教材强基固本
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一直线的倾斜角与斜率
1．直线的倾斜角 (1)定义：当直线 l 与 x 轴相交时，以 x 轴为基准，x 轴正向与直线 l 向上的方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角．当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0°. (2)倾斜角的范围为 [0°，180°) .
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所以直线 MN 的方程为1x＋－y52＝1，即 5x－2y－5＝0. (2)设直线方程的截距式为a＋x 1＋ay＝1，则a＋6 1＋－a2＝1，解得 a＝2 或 a＝1，则直线的方程是3x＋2y＝1 或2x＋1y＝1，即 2x＋3y－6＝0 或 x＋2y－2＝0.
切线问题可利用导数的几何意义：设切点 P(x0，ln x0)，则 k＝f′(x0)．
A．e
B．－e

高考数学重点知识点讲解：直线方程

2021年高考数学重点知识点讲解：直线方程数学是学习其他学科的基础。

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一、直线方程.1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是.注：①当或时，直线垂直于轴，它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别地，当直线经过两点，即直线在轴，轴上的截距分别为时，直线方程是：.注：若是一直线的方程，则这条直线的方程是，但若则不是这条线.附：直线系：对于直线的斜截式方程，当均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果变化时，对应的直线也会变化.①当为定植，变化时，它们表示过定点(0，)的直线束.②当为定值，变化时，它们表示一组平行直线.3. ⑴两条直线平行：∥两条直线平行的条件是：①和是两条不重合的直线. ②在和的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.(一般的结论是：对于两条直线，它们在轴上的纵截距是，则∥，且或的斜率均不存在，即是平行的必要不充分条件，且)推论：如果两条直线的倾斜角为则∥.⑵两条直线垂直：两条直线垂直的条件：①设两条直线和的斜率分别为和，则有这里的前提是的斜率都存在. ②，且的斜率不存在或，且的斜率不存在. (即是垂直的充要条件)4. 直线的交角：⑴直线到的角(方向角);直线到的角，是指直线绕交点依逆时针方向旋转到与重合时所转动的角，它的范围是，当时.⑵两条相交直线与的夹角：两条相交直线与的夹角，是指由与相交所成的四个角中最小的正角，又称为和所成的角，它的取值范围是，当，则有.5. 过两直线的交点的直线系方程为参数，不包括在内)6. 点到直线的距离：⑴点到直线的距离公式：设点，直线到的距离为，则有. 注：1. 两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：.特例：点P(x,y)到原点O的距离：2. 定比分点坐标分式。

高考数学第一轮复习精讲(课前准备+课堂活动小结+课后练习)直线及其方程导学案文新人教A版

高考数学第一轮复习精讲（课前准备+课堂活动小结+课后练习）直线及其方程导学案文新人教A 版学案47 直线及其方程导学目标： 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式，了解斜截式与一次函数的关系．自主梳理1．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角①定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴________与直线l________方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为________．②倾斜角的范围为______________． (2)直线的斜率①定义：一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝________，倾斜角是90°的直线斜率不存在．②过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝______________________. 2．直线的方向向量经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线的一个方向向量为P 1P 2→，其坐标为________________，当斜率k 存在时，方向向量的坐标可记为(1，k)．3．直线的方程和方程的直线已知二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0 (A 2＋B 2≠0)和坐标平面上的直线l ，如果直线l 上任意一点的坐标都是方程____________的解，并且以方程Ax ＋By ＋C ＝0的任意一个解作为点的坐标都在__________，就称直线l 是方程Ax ＋By ＋C ＝0的直线，称方程Ax ＋By ＋C ＝0是直线l 的方程．4．直线方程的五种基本形式名称方程适用范围点斜式不含直线x ＝x 0 斜截式不含垂直于x 轴的直线两点式不含直线x ＝x 1 (x 1≠x 2)和直线y ＝y 1(y 1≠y 2) 截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式平面直角坐标系内的直线都适用 5.线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝，y ＝，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．自我检测1．(2011·银川调研)若A(－2,3)，B(3，－2)，C ⎝⎛⎭⎫12，m 三点共线，则m 的值为( ) A .12 B ．－12C ．－2D ．2 2．直线l 与两条直线x －y －7＝0，y ＝1分别交于P 、Q 两点，线段PQ 的中点为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A ．－32B .32C .23D ．－233．下列四个命题中，假命题是( )A ．经过定点P(x 0，y 0)的直线不一定都可以用方程y －y 0＝k(x －x 0)表示B ．经过两个不同的点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)来表示C ．与两条坐标轴都相交的直线不一定可以用方程x a ＋yb＝1表示D ．经过点Q(0，b)的直线都可以表示为y ＝kx ＋b 4．(2011·商丘期末)如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限5．已知直线l 的方向向量与向量a ＝(1,2)垂直，且直线l 过点A (1,1)，则直线l 的方程为( )A ．x －2y －1＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x ＋2y ＋1＝0D ．x ＋2y －3＝0探究点一倾斜角与斜率例1 已知两点A (－1，－5)、B (3，－2)，直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，求l 的斜率．变式迁移1 直线x sin α－y ＋1＝0的倾斜角的变化范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，π2 B ．(0，π) C.⎣⎡⎦⎤－π4，π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π 探究点二直线的方程例2 (2011·武汉模拟)过点M (0,1)作直线，使它被两直线l 1：x －3y ＋10＝0，l 2：2x ＋y －8＝0所截得的线段恰好被M 所平分，求此直线方程．变式迁移2求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍．探究点三直线方程的应用例3过点P(2,1)的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点，求使：(1)△AOB面积最小时l的方程；(2)|P A|·|PB|最小时l的方程．变式迁移3为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图)，另外△EF A 内部有一文物保护区不能占用，经测量|AB|＝100 m，|BC|＝80 m，|AE|＝30 m，|AF|＝20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？探究点四数形结合思想例4已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)．试求y ＋3x ＋2的最大值与最小值．变式迁移4 直线l 过点M (－1,2)且与以点P (－2，－3)、Q (4,0)为端点的线段恒相交，则l 的斜率范围是( )A ．[－25，5]B ．[－25，0)∪(0,5]C ．(－∞，－25]∪[5，＋∞)D ．[－25，π2)∪(π2，5]1．要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的范围为0°≤α<180°，熟记斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1，该公式与两点顺序无关．已知两点坐标(x 1≠x 2)，根据该公式可以求出经过两点的直线斜率，而x 1＝x 2，y 1≠y 2时，直线斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°. 2．当直线没有斜率(x 1＝x 2)或斜率为0(y 1＝y 2)时，不能用两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1求直线方程，但都可以写成(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)的形式．直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式都可以化成一般式，但是有些直线的一般式方程不能化成点斜式、斜截式、两点式或截距式．3．使用直线方程时，一定要注意限制条件以免解题过程中丢解，如点斜式的使用条件是直线必须有斜率，截距式的使用条件是截距存在且不为零，两点式的使用条件是直线不与坐标轴垂直．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2011·临沂月考)已知直线l 经过A (2,1)、B (1，m 2) (m ∈R )两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是( )A ．(0，π) B.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4 D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，π 2．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫π6，π3B.⎝⎛⎭⎫π6，π2C.⎝⎛⎭⎫π3，π2D.⎣⎡⎦⎤π6，π23．点P (x ，y )在经过A (3,0)，B (1,1)两点的直线上，那么2x ＋4y 的最小值是( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．16 D ．不存在 4．(2011·宜昌调研)点A (a ＋b ，ab )在第一象限内，则直线bx ＋ay －ab ＝0不经过的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．(2011·包头期末)经过点P (2，－1)，且在y 轴上的截距等于它在x 轴上的截距的2倍的直线l 的方程为( )A ．2x ＋y ＝2B ．2x ＋y ＝4C ．2x ＋y ＝3D ．2x ＋y ＝3或x ＋2y ＝0 二、填空题(每小题4分，共12分) 6．过两点A (m 2＋2，m 2－3)，B (3－m －m 2,2m )的直线l 的倾斜角为45°，则m ＝________.7．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0(a ∈R )的倾斜角的取值范围是________．8．设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是________________．三、解答题(共38分)9．(12分)已知两点A (－1,2)，B (m,3)，求： (1)直线AB 的斜率k ； (2)求直线AB 的方程；(3)已知实数m ∈⎣⎡⎦⎤－33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的范围．10．(12分)(2011·秦皇岛模拟)已知线段PQ 两端点的坐标分别为(－1,1)、(2,2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，求m 的范围．11．(14分)已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0 (k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．学案47 直线及其方程自主梳理1．(1)①正向向上 0° ②0°≤α<180° (2)①正切值 tan α ②y 2－y 1x 2－x 12.(x 2－x 1，y 2－y 1) 3.Ax ＋By ＋C ＝0直线l 上 4.y －y 0＝k(x －x 0) y ＝kx ＋b y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 x a ＋yb＝1(a ≠0，b ≠0) Ax＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0) 5.x 1＋x 22 y 1＋y 22自我检测1．A 2.D 3.D 4.C 5.D 课堂活动区例1 解题导引斜率与倾斜角常与三角函数联系，本题需要挖掘隐含条件，判断角的范围．关键是熟练掌握好根据三角函数值确定角的范围这一类题型．解设直线l 的倾斜角为α，则直线AB 的倾斜角为2α，由题意可知：tan 2α＝－2－(－5)3－(－1)＝34，∴2tan α1－tan 2α＝34.整理得3tan 2α＋8tan α－3＝0.解得tan α＝13或tan α＝－3，∵tan 2α＝34>0，∴0°<2α<90°，∴0°<α<45°，∴tan α>0，故直线l 的斜率为13.变式迁移1 D [直线x sin α－y ＋1＝0的斜率是k ＝sin α，又∵－1≤sin α≤1，∴－1≤k ≤1. 当0≤k ≤1时，倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π4，当－1≤k<0时，倾斜角的范围是⎣⎡⎭⎫3π4，π.]例2 解题导引 (1)对直线问题，要特别注意斜率不存在的情况． (2)求直线方程常用方法——待定系数法．待定系数法就是根据所求的具体直线设出方程，然后按照它们满足的条件求出参数．解过点M 且与x 轴垂直的直线是y 轴，它和两已知直线的交点分别是⎝⎛⎭⎫0，103和(0,8)，显然不满足中点是点M(0,1)的条件．故可设所求直线方程为y ＝kx ＋1，与两已知直线l 1、l 2分别交于A 、B 两点，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，x －3y ＋10＝0，①⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，2x ＋y －8＝0，② 由①解得x A ＝73k －1，由②解得x B ＝7k ＋2.∵点M 平分线段AB ，∴x A ＋x B ＝2x M ，即73k －1＋7k ＋2＝0，解得k ＝－14.故所求直线方程为x ＋4y －4＝0.变式迁移2 解 (1)设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)，∴l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋ya＝1，∵l 过点(3,2)，∴3a ＋2a ＝1，∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0，综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0. (2)由已知：设直线y ＝3x 的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.∵tan α＝3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34.又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.例3 解题导引先设出A 、B 所在的直线方程，再求出A 、B 两点的坐标，表示出△ABO 的面积，然后利用相关的数学知识求最值．确定直线方程可分为两个类型：一是根据题目条件确定点和斜率或确定两点，进而套用直线方程的几种形式，写出方程，此法称直接法；二是利用直线在题目中具有的某些性质，先设出方程(含参数或待定系数)，再确定参数值，然后写出方程，这种方法称为间接法．解设直线的方程为x a ＋yb＝1 (a>2，b>1)，由已知可得2a ＋1b ＝1.(1)∵2 2a ·1b ≤2a ＋1b ＝1，∴ab ≥8.∴S △AOB ＝12ab ≥4.当且仅当2a ＝1b ＝12，即a ＝4，b ＝2时，S △AOB 取最小值4，此时直线l 的方程为x 4＋y2＝1，即x ＋2y －4＝0.(2)由2a ＋1b ＝1，得ab －a －2b ＝0，变形得(a －2)(b －1)＝2，|PA|·|PB| ＝(2－a )2＋(1－0)2·(2－0)2＋(1－b )2 ＝[(2－a )2＋1]·[(1－b )2＋4] ≥2(a －2)·4(b －1).当且仅当a －2＝1，b －1＝2，即a ＝3，b ＝3时，|PA|·|PB|取最小值4. 此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.变式迁移3 解如图所示建立直角坐标系，则E(30,0)，F(0,20)，∴线段EF 的方程为x 30＋y20＝1(0≤x ≤30)．在线段EF 上取点P(m ，n)，作PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥CD 于点R ，设矩形PQCR 的面积为S ，则S ＝|PQ||PR|＝(100－m)(80－n)．又m 30＋n20＝1(0≤m ≤30)， ∴n ＝20(1－m30)．∴S ＝(100－m)(80－20＋23m)＝－23(m －5)2＋18 0503(0≤m ≤30)．∴当m ＝5时，S 有最大值，这时|EP||PF|＝30－55＝5.所以当矩形草坪的两边在BC 、CD 上，一个顶点在线段EF 上，且这个顶点分EF 成5∶1时，草坪面积最大．例4 解题导引解决这类问题的关键是弄清楚所求代数式的几何意义，借助数形结合，将求最值问题转化为求斜率取值范围问题，简化了运算过程，收到事半功倍的效果．解由y ＋3x ＋2的几何意义可知，它表示经过定点P(－2，－3)与曲线段AB 上任一点(x ，y)的直线的斜率k ，由图可知：k PA ≤k ≤k PB ，由已知可得： A(1,1)，B(－1,5)， ∴43≤k ≤8，故y ＋3x ＋2的最大值为8，最小值为43.变式迁移4 C[如图，过点M 作y 轴的平行线与线段PQ 相交于点N.k MP ＝5，k MQ ＝－25.当直线l 从MP 开始绕M 按逆时针方向旋转到MN 时，倾斜角在增大，斜率也在增大，这时，k ≥5.当直线l 从MN 开始逆时针旋转到MQ 时，∵正切函数在(π2，π)上仍为增函数，∴斜率从－∞开始增加，增大到k MQ ＝－25，故直线l 的斜率范围是(－∞，－25]∪[5，＋∞)．]课后练习区1．B 2.B 3.B 4.C 5.D6．－2 7.[34π，π) 8.x ＋y －5＝09．解 (1)当m ＝－1时，直线AB 的斜率不存在；(1分)当m ≠－1时，k ＝1m ＋1.(3分)(2)当m ＝－1时，AB 的方程为x ＝－1，(5分)当m ≠－1时，AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)，即y ＝x m ＋1＋2m ＋3m ＋1.(7分) ∴直线AB 的方程为x ＝－1或y ＝x m ＋1＋2m ＋3m ＋1. (8分)(3)①当m ＝－1时，α＝π2；②当m ≠－1时，∵k ＝1m ＋1∈(－∞，－3]∪⎣⎡⎭⎫33，＋∞，∴α∈⎣⎡⎭⎫π6，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，2π3.(10分) 综合①②，知直线AB 的倾斜角α∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3.(12分) 10.解直线x ＋my ＋m ＝0恒过A(0，－1)点．(2分) k AP ＝－1－10＋1＝－2， k AQ ＝－1－20－2＝32，(5分) 则－1m ≥32或－1m ≤－2，∴－23≤m ≤12且m ≠0.(9分)又m ＝0时直线x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，∴所求m 的范围是－23≤m ≤12.(12分)11．(1)证明直线l 的方程是：k(x ＋2)＋(1－y)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝01－y ＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝1，∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)．(4分) (2)解由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎨⎧－1＋2kk ≤－21＋2k ≥1，解之得k>0；(7分)当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k ≥0.(9分)(3)解由l 的方程，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B(0,1＋2k)．依题意得⎩⎨⎧－1＋2kk <0，1＋2k>0，解得k>0.(11分)11 ∵S ＝12·|OA|·|OB|＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k|＝12·(1＋2k )2k ＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4，“＝”成立的条件是k>0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时l ：x －2y ＋4＝0.(14分)。

高考数学一轮复习直线方程精品课件理新人教A版

③
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，l1∥l2,
∴l1,l2在y轴上的截距互为相反数.
即 4 =b.
b
由③④联立,解得
{a=2 b=-2
④
{a= 2 ,
或
3
b=2.
∴a,b的值为2和-2,或 2和2.
3
【评析】当所求直线的方程中存在字母系数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑斜率不存在的特殊情况，对于（1）,若用l1⊥l2 A1A2+B1B2=0 可不用分类讨论.
三、直线的方程
1.点斜式：为k的直线.
y-y0=k(x-x0) 表示过(x0,y0)点且斜率
2.斜截式： y=kx+b 表示过(0,b)点且斜率为k的直线.
3.两点式： P2（x2,y2）
表示过两点P1(x1,y1)，
(其中x1≠x2,y1≠y2)的直线方程.
xy
4.截距式：
+ =1 ab
表示过两点(a,0),(0,b)(ab≠0)
的直线3.的斜斜率率公公式式：k经=过两yx点22 -- xyP111（x.1,y1）,P2(x2,y2)(x1≠x2) 二、两条直线平行与垂直的判定
1.两直线平行
（1）对于直线
l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2(b1≠b2).l1∥l2 ⇔ k1=k2 .
（2）对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,
【解析】设直线的倾斜角为θ，则tanθ=-
又α∈〔 π , π) ,∴0<cosα≤ , 3
62
∴- 3≤- c2osα＜0.
2
33
即- 3≤tanθ＜0,注意到0≤θ＜π,

2021年高中数学一轮复习·直线：第3节直线方程的综合应用

第3节直线方程的综合应用【基础知识】直线方程综合问题的两大类型及解法：(1)与函数相结合的问题，解决这类问题，一般是利用直线方程中的x ，y 的关系，将问题转化为关于x (或y )的函数，借助函数的性质解决；(2)与方程、不等式相结合的问题，一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决．【规律技巧】注意定义域的范围【典例讲解】【例1】已知直线l 过点P (3，2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．所求直线的方程为2x ＋3y －12＝0.【变式探究】已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)．(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．(1)证明直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0，＋2＝0，－y ＝0，＝－2，＝1，∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2，1)．【针对训练】设直线l 的方程为．(1)若在两坐标轴上截距相等，求的方程；(2)若不经过第二象限，求实数的取值范围．易错分析：易忽视截距均为的情况而失解．温馨提醒：涉及直线在两坐标轴上截距相等问题，要特别注意截距均为的情况；另外，某些涉及直线问题中，往往要讨论直线的斜率是否存在的情况，也应特别注意.【练习巩固】1.经过点、的直线的斜率等于1，则的值为（）A、1B、4C、1或3D、1或4【答案】A【解析】由斜率公式得，故选A.2.设直线的倾斜角为，且,则满足（）【答案】D3.】经过（2，3）且在两坐标轴上截距相反的直线方程是___________________【答案】或【解析】（1）截距为0时，则直线方程为：（2）截距相反时，斜率为1，则直线方程为：，即4.已知直线：，则倾斜角的范围是.【答案】∪.5.直线的倾斜角的大小是．【答案】6.(1)已知直线过点，求直线的斜率和倾斜角.；(2)已知直线过点，求直线的斜率和倾斜角的范围．(3)已知两点，直线过点且与线段相交，直线的斜率的取值范围是.【答案】（1）；（2）；（3）.(3)在坐标系内作出，三点（如图所示），直线的斜率为，直线的斜率为.由图可知直线的斜率的取值范围是：.。

高三数学一轮复习讲义直线与方程(1)

课题：直线与方程知识点一、直线方程1．直线的倾斜角①定义．当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴的正方向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. ②范围：倾斜角α的范围为0απ≤<． 2．直线的斜率①定义．一条直线的倾斜角(90)αα≠的正切叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即tan k α＝，倾斜角是90°的直线没有斜率．当直线l 与x 轴平行或重合时, 0α=, tan 00k ==.②过两点的直线的斜率公式．经过两点11122212()()()P x y P x y x x ≠，，，的直线的斜率公式为2121y y k x x --＝.3.直线的点斜式方程直线l 经过点000(,)P x y ，且斜率为k ，则直线l 的方程为：)(00x x k y y -=-.这个方程就叫做直线点斜式方程.特别地，直线l 过点),0(b ，则直线l 的方程为：b kx y +=.这个方程叫做直线的斜截式方程.4.直线的两点式方程直线l 过两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠，则直线l 的方程为：),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--.这个方程叫做直线的两点式方程.当21x x =时，直线与x 轴垂直，所以直线方程为：1x x =；当21y y =时，直线与y 轴垂直，直线方程为：1y y=.特别地，若直线l 过两点12(,0),(0,)(0)P a P b ab ≠，则直线l 的方程为：1x ya b+=，这个方程叫做直线的截距式方程.5.直线的一般式方程关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程.由一般式方程可得，B 不为0时，斜率A k B =-，截距C b B=-. 6．两直线的平行关系(1) 对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率为12,k k ，有1212//l l k k ⇔=. (2)对于两条直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，有1212211221//0,0l l A B A B AC A C ⇔-=-≠.7．两条直线的垂直关系(1) 对于两条直线12,l l ，其斜率为12,k k ，有12121l l k k ⊥⇔=-.(2)对于两条直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，有1211220l l A B A B ⊥⇔+=. 8．两点间的距离公式设两点111222(,),(,)P x y P x y ，则22122121()()PP x x y y =-+-.9．点到直线的距离公式设点000(,)P x y ，直线:0l Ax By C ++=，则点000(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离0022Ax By Cd A B++=+.10．两平行线间的距离公式设两条平行直线1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=，则这两条平行线之间的距离1222C C d A B-=+.【典型例题】【例1】已知直线230x y --=的倾斜角为θ，则sin 2θ的值是（） A ．14 B ．34 C ．45 D ．25【答案】C 试题分析：22tan 4tan 2,sin 21tan 5θθθθ===+，选C.【例2】过点且与直线垂直的直线方程为（） A.B.C.D.【答案】C 【解析】所求直线与垂直，则斜率为 21，由所求直线过点，得直线方程为【例3】过点()25，，且在y 轴上的截距是在x 轴上截距2倍的直线方程是（） A.0122=-+y x B.0122=-+y x 或052=-y x C.012=--y x D.012=--y x 或052=-y x 【答案】B试题分析：当直线过原点时所求方程为250x y -=；当直线不过原点时，可设其截距式为12x ya a+=，由该直线过()5,2即可解得6a =，对应方程为1612x y+=，即2120x y +-=.故选B. 【例4】“0a =”是“直线()21:130l a x a y ++-=与直线2:2210l x ay a +--=平行”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 试题分析：两直线平行，则有()2120,0,1a a a a +-==，故为充分不必要条件.【例5】已知直线l 过点)4,3(P 且与点)2,2(-A ，)2,4(-B 等距离，则直线l 的方程为（） A ．01832=-+y x B ．022=--y xC ．01823=+-y x 或022=++y xD ．01832=-+y x 或022=--y x【答案】D 试题分析：设所求直线的方程为4(3)y k x -=-，即340kx y k --+=，由已知及点到直线的距离公式可得222243424311k kk kk k --+-++-=++，解得2k =或23k =，即所求直线方程为01832=-+y x 或022=--y x ．【举一反三】1．过点()2,3A 且垂直于直线250x y +-=的直线方程为（）A ．240x y -+=B ．270x y +-=C ．230x y -+=D ．250x y -+= 【答案】A试题分析：根据两直线垂直，斜率乘积为1-，得直线斜率为12，由点斜式得()132,2402y x x y -=--+=. 2．设直线，，若，则（）A.B. 1C.D. 0【答案】A 【解析】，解得：，故选A.3．已知，则“”是“直线与直线垂直”的（）A. 充要条件B. 必要而不充分条件C. 充分而不必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】“直线与直线垂直” 的充要条件为，因此“”是“直线与直线垂直”的充分而不必要条件，选C.4．过点),2(a M -，)4,(a N 的直线的斜率为21-，则=||MN （） A ．10 B ．180 C ．36 D ．56 【答案】D 试题分析：2124-=---=a a k MN ，解得：10=a ，即()102，-M ,()410，N ,所以()()5641010222=-+--=MN ,故选D.5．已知直线:20l ax y a +--=在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是（） A ．1 B ．1- C ．2-或1- D ．2-或1【答案】D 试题分析：由直线的方程：20ax y a +--=得此直线在x 轴与y 轴上的截距分别为2a a+和2a +，由22a a a+=+得1a =或2a =-，故选D. 【巩固练习】1．点（√3，5）在直线l ：ax ﹣y+2=0上，则直线l 的倾斜角为 A. 30° B. 45° C. 60° D. 120° 【答案】C【解析】∵点(√3,5)在直线l:ax −y +2=0上∴√3a −4+2=0, ∴a =√3即直线的斜率为√3，直线l 的倾斜角为60∘故选C .2．两条平行直线()1:120l x m y ++-=和2:240l mx y ++=之间的距离为A.65 B. 45C. 6D. 4 【答案】A【解析】∵()1:120l x m y ++-=和2:240l mx y ++=互相平行，∴()120m m +-=，即m=2或1，经检验：m=2两直线重合，故m=1；两条平行直线()1:120l x m y ++-=和2:240l mx y ++=之间的距离=3．下列直线中与直线210x y -+=平行的一条是（）A ．210x y -+=B ．2420x y -+=C ．2410x y ++=D ．2410x y -+= 【答案】D 【解析】试题分析：两直线平行，斜率相等，原题直线斜率是12，故排除A ，C ，B 选项化简后和原直线重合，故选D.考点：直线与直线的位置关系.【易错点晴】本题主要考查两条直线的位置关系.在平面中，两条之间的位置关系有相交和平行，当直线斜率不相同时，两直线相交，当斜率相同且截距不相同时，两直线平行.所以两条平行线斜率是相等的，在选项中，B ，D 两个选项的斜率都是12，和原直线的斜率相同，但是通过观察后发现，B 选项可以化简，所得直线和原直线重合，故要排除.4．经过点()1,1M 且在两坐标轴上截距相等的直线是（）．A. 2x y +=B. 1x y +=C. 1x =或1y =D. 2x y +=或x y = 【答案】D【解析】若直线过原点，则直线为y x =符合题意，若直线不过原点设直线为1x ym m+=，代入点()1,1解得2m =，直线方程整理得20x y +-=，故选D ．5．若()2,3A =-， ()3,2B -， 1,2C m ⎛⎫⎪⎝⎭三点共线，则m 的值为（）．A.12 B. 12- C. 2- D. 2 【答案】A【解析】∵()5,5AB =-， 5,32AC m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ∵三点共线， ∴AB ， AC 共线， ∴()25532m -=-，解得12m =，选择A ． 6．已知直线AB 与直线AC 有相同的斜率，且()()()1,0,2,,,1A B a C a ，则实数a 的值是____________．【答案】12【解析】试题分析：依题意有1211a a =--，解得a =. 考点：直线斜率.7．已知线段PQ 两端点的坐标分别为()1,1-P 和()2,2Q ，若直线0:=+my x l 与线段PQ 有交点，则实数m 的取值范围是 .【答案】[]1,1- 【解析】试题分析：111,1,1,1,11OP OQ k k m m m==-∴-≤--≥-≤≤. 考点：1、两直线的位置关系；2、直线的斜率和倾斜角.l 倾斜角的变化范围，再利用斜率图象确定斜率的取值范围，再解相关不等式，即：先求得111,11,111OP OQ k k m m m==-⇒-≤--≥⇒-≤≤.81+=的倾斜角等于_________ ．【答案】34π1=的斜率为1.设倾斜角为α，则有tan α1=-.所以3α4π=.1+=的倾斜角等于34π. 9．已知两直线12:5,:28l mx y m l x my +=-+=，若12//l l ，则m =_______ ；若12l l ⊥，则m =__________【答案】 0m =【解析】两直线12:5,:28l mx y m l x my +=-+=，若12//l l ，则22m m =∴=若12l l ⊥，则200m m m +=∴=故答案为 0m =10．经过点（2，0），与1:23l y x =+平行的直线方程是_______________. 【答案】24y x =+；【解析】设与1:23l y x =+平行的直线方程是2y x m =+ ∵要求的直线过（2，0） ∴()220m ⨯-+=，即4m =∴经过点（2，0），与1:23l y x =+平行的直线方程是24y x =+ 故答案为24y x =+11．已知两条直线0x ky k --=与()1y k x =-平行，则k 的值为________________. 【答案】1【解析】由0x ky k --=得： ()k 1x y +=，当k=0时，显然不符合题意；当k 0≠时， 1k k=，即k 1=± 1k =时，两直线重合舍去，∴1k =- 故答案为： 1-12．点()1,2到直线21y x =+的距离为 __________.【答案】55【解析】试题分析：根据点到直线的距离公式可得222125512d +-==+. 考点：点到直线的距离公式.【课后练习】正确率：________1．直线和直线.若，则的值为（）A. 1B. 0C. 0或1D. 0或1 【答案】C 由两直线平行可得 ,解得.代入两直线的方程验证,当.2．若直线与直线垂直，则的值为（）A. 3B. 3C.D.【答案】B 试题分析：直线的斜率为，直线的斜率为，因为两直线垂直所以，解得。