高三数学直线的方程
苏教版高三数学复习课件8.1 直线的方程
时，k也是关于α的单调函数，当α在此区间内由
增大到π(α≠π)时，
k由－∞趋近于0(k≠0)，当然解决此类问题时，也可采用数形结合思想，
借助图形直观地作出判断．
1．直线的斜率与倾斜角 (1)直线的斜率
已知两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，如果x1≠x2，那么直线PQ的斜率
k＝
不存在
2．由于直线方程有多种形式，各种形式适用的条件、范围不同，在
具体求
直线方程时，由于所给的条件和采用的直线形式所限，可能会产
【知识拓展】
求直线的斜率及倾斜角的范围
(1)斜率k是一个实数，每条直线都存在唯一的倾斜角，但并不是每条
直线都
(2)在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数k＝tan α是单 存在斜率．倾斜角为90°的直线无斜率． 调函数，当α∈ 由0增大到 时，k由0增大到＋∞；当α∈
＝
(x1≠x2 )。
(2)直线的倾斜角 ． 斜率
在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕 着
逆时针
交点按 的倾斜角．
方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线
0°
2．直线方程的五种形式
名称 点斜式 斜截式 两点式 方 程 y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b 适用范围 不含直线x＝x0 不含垂直于x轴的直线 不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)
单调函数，因此当k的取值连续时，直线倾斜角的取值范围有时却是断
开的，如本题就是．
【答题模板】
解：由题意，得直线2xsin α＋2y－5＝0的斜率为k＝－sin α.
又－1≤sin α≤1，
直线方程公式大全
直线方程公式大全一、一般式方程直线的一般式方程表示为 Ax + By + C = 0，其中 A、B、C 为常数。
直线方程大全中的其他形式可以通过一般式方程推导得出。
二、斜截式方程斜截式方程是直线方程的另一种常见形式。
它表示为 y = mx + c，其中 m 为斜率，c 为截距。
三、截距式方程截距式方程也是直线方程的一种常见形式，表示为 x/a + y/b = 1，其中 a、b 分别为 x 轴和 y 轴的截距。
四、两点式方程两点式方程通过直线上的两个点来表示直线方程。
设直线上的两个点为 (x1, y1) 和 (x2, y2)，则两点式方程表示为 (y - y1) = ((y2 - y1)/(x2 - x1))(x - x1)。
五、点斜式方程点斜式方程利用直线上的一个已知点的坐标和该直线的斜率来表示方程。
设已知点为 (x1, y1)，斜率为 m，则点斜式方程表示为 y - y1 = m(x - x1)。
六、垂直线方程垂直线的特点是斜率不存在，所以其方程可以表示为 x = a，其中 a 为与 y 轴垂直的线在 x 轴上的截距。
七、水平线方程水平线的特点是斜率为零，所以其方程可以表示为 y = a，其中 a 为与 x 轴平行的线在 y 轴上的截距。
八、点式方程点式方程是直线方程中最简单的形式，利用直线上的一个已知点的坐标来表示直线方程。
设已知点为 (x1, y1)，则点式方程表示为 (y - y1) = m(x - x1)，其中 m 为直线的斜率。
九、角平分线方程角平分线是将一个角平分成两个相等的角的线段。
设角的两边斜率分别为 m1 和 m2，角平分线的斜率可表示为 m = (m1 + m2)/2，将平分线上的一个点坐标 (x1, y1) 代入点斜式方程可得到角平分线方程。
十、法线方程直线的法线是与该直线垂直的直线。
设直线的斜率为 m，法线的斜率可表示为-1/m，再通过已知点 (x1, y1) 可以得到法线方程。
高三文科数学直线与方程知识点复习
直线与方程一、倾斜角当直线与X轴相交时,取X轴为基准,叫做直线得倾斜角。
当直线与X轴平行或重合时,规定直线得倾斜角为,因此,直线得倾斜角得取值范围就是。
二、斜率(1)定义:一条直线得倾斜角得叫做这条直线得斜率;当直线得倾斜角时,该直线得斜率;当直线得倾斜角等于时,直线得斜率。
(2)过两点得直线得斜率公式:过两点得直线得斜率公式。
若,则直线得斜率,此时直线得倾斜角为。
练习:1、已知下列直线得倾斜角,求直线得斜率(1)(2)(3)(4)2、求经过下列两点直线得斜率,并判断其倾斜角就是锐角还就是钝角(1) (2)(3) (4)3,判断正误（1）直线得倾斜角为任意实数。
( )（2）任何直线都有斜率。
( )（3）过点得直线得倾斜角就是。
( )（4）若三点共线,则得值就是-2、( )三、注:必记得特殊三角函数值表四、直线得常用方程1、直线得点斜式: 适用条件就是:斜率存在得直线。
2、斜截式:3、截距式: ,为x轴与y轴上得截距。
4、两点式: ()5、直线得一般式方程:练习:1、写出下列直线得点斜式方程（1）经过点A(3,-1),斜率为（2）经过点倾斜角就是（3）经过点C(0,3),倾斜角就是（4）经过点D(-4,-2),倾斜角就是2、写出下列直线得斜截式方程（1）斜率就是在轴上得截距就是-2（2）斜率就是-2,在y轴上得截距就是43、填空题（1）已知直线得点斜式方程就是则直线得斜率就是_________,经过定点________,倾斜角就是______________;（2）已知直线得点斜式方程就是则直线得斜率就是_________,经过定点________,倾斜角就是______________;4、判断(1)经过顶点得直线都可以用方程表示。
( )(2)经过顶点得直线都可以用方程表示。
( )(3)不经过原点得直线都可以用表示。
( )(4)经过任意两个不同得点得直线都可以用方程表示。
( )直线得一般式方程为:,当B不等于0时直线得斜率为_________一般求完直线方程后化成一般式。
高三数学第一轮复习：直线的方程、两条直线的位置关系 试题
高三数学第一轮复习：直线的方程、两条直线的位置关系人教版制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日【本讲教育信息】一. 教学内容：直线的方程、两条直线的位置关系二. 教学重、难点：1. 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件纯熟地求出直线方程。
2. 掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的间隔 公式，可以根据直线的方程判断两条直线的位置关系。
【典型例题】[例1] 点P 到两个定点M 〔0,1-〕，N 〔1，0〕间隔 的比为2，点N 到直线PM 的间隔 为1，求直线PN 的方程。
解：设点P 的坐标为〔x ，y 〕由题设有2=PNPM 即2222)1(2)1(y x y x +-=++∴ 01622=+-+x y x ① ∵ N 到PM 的间隔 为1，2=MN∴ ︒=∠30PMN ∴ PM 的方程为：)1(33+±=x y ② ②代入①：0142=+-x x ∴ 32±=x∴ P 〔31,32++〕或者〔31,32+--〕；)31,32(--+或者)31,32(-- ∴ PN 的方程为1-=x y 或者1+-=x y[例2] ABC ∆的顶点A 〔3，4〕，B 〔6，0〕，C 〔2,5--〕，求A ∠的内角平分线AT 所在的直线方程。
解：方法一：∵ 直线AC 到AT 的角等于AT 到AB 的角 又 ∵ 43)5(3)2(4=----=AC k ，346304-=--=AB k设AT 的斜率为34(-<k k 或者)43>k ，那么k kk k )34(13443143-+--=+-化简得074872=--k k ，解之，得7=k 或者71-=k 〔舍去〕 ∴ 直线AT 的方程为)3(74-=-x y 即所求的方程为0177=--y x方法二：设直线AT 上的动点P 〔x ，y 〕那么P 点到AC 、AB 的间隔 相等 ∵ 43)5(3)2(4,346304=----=-=--=AC AB k k ∴ 直线AB 的方程为)3(344--=-x y ，即02434=-+y x 直线AC 的方程为)3(434-=-x y 即0743=+-y x 那么574352434+-=-+y x y x即0177=--y x 或者0317=-+y x结合图形分析知0317=-+y x 是ABC ∆的角A 外角的平分线，故舍去。
高三数学 专题9.1 直线的方程(讲+练)(原卷版+解析版)
专题9.1 直线的方程1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.知识点一 直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角，当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)范围：直线l 倾斜角的范围是[0，π)． 知识点二 直线的斜率(1)定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k ＝tan θ.(2)计算公式：若由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)确定的直线不垂直于x 轴，则k ＝y 2－y 1x 2－x 1 .知识点三 直线方程的五种形式考点一 直线的倾斜角与斜率【典例1】（山西平遥中学2019届模拟）(1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤π6，π3B.⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围是__________．【答案】 (1)B (2)(－∞，－3]∪[1，＋∞)【解析】(1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α，因为α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]．又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3，即倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3. (2)如图，因为k AP ＝1－02－1＝1， k BP ＝3－00－1＝－3， 所以k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)．【方法技巧】直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此求倾斜角或斜率的范围时，要分⎣⎡⎭⎫0，π2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫π2和⎝⎛⎭⎫π2，π三种情况讨论．当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0)．【变式1】（湖南浏阳一中2019届模拟）直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎭⎫3π4，πC.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎦⎤π2，π D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π【答案】B【解析】因为a 2＋1≠0，所以直线的斜截式方程为y ＝－1a 2＋1x －1a 2＋1，所以斜率k ＝－1a 2＋1，即tan α＝－1a 2＋1，所以－1≤tan α<0，解得3π4≤α<π，即倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫3π4，π.故选B. 考点二 直线方程的求法【典例2】（ 北京师范大学实验中学2019届模拟）根据所给条件求直线的方程． (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.【解析】(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式． 设倾斜角为α，则sin α＝1010(0<α<π)，从而cos α＝±31010， 则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)，即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a ＝1.又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0；当斜率存在时，设斜率为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0.由点到直线的距离公式得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0. 【方法技巧】求直线方程的两种方法(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程．(2)待定系数法：设出所求直线方程的某种形式，由条件建立所求参数的方程(组)，解这个方程(组)求出参数，再把参数的值代入所设直线方程即可．【变式2】（河北正定中学2019届模拟）过点P (3，1)，且比直线l ：x ＋3y －1＝0的倾斜角小30°的直线方程为__________．【答案】 3x ＋y －4＝0【解析】直线l ：x ＋3y －1＝0的斜率为－33，所以其倾斜角为150°，则所求直线的倾斜角为120°，因此所求直线的斜率k ＝－ 3.又直线过点P (3，1)，所以所求直线的方程为y －1＝－3(x －3)，即3x＋y －4＝0.考点三 直线方程的综合应用【典例3】（ 辽宁阜新实验中学2019届模拟）(1)已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a 的值．(2)已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．【解析】(1)由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154，当a ＝12时，面积最小．故当四边形的面积最小时，实数a 的值为12.(2)依题意知直线l 的斜率k 存在且k <0， 则直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)， 可得A ⎝⎛⎭⎫3－2k ，0，B (0,2－3k )， 所以S △ABO ＝12(2－3k )⎝⎛⎭⎫3－2k ＝12⎣⎡⎦⎤12＋－9k ＋4－k ≥ 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2－9k4－k ＝12×(12＋12) ＝12， 当且仅当－9k ＝4－k，即k ＝－23时，等号成立．故△ABO 的面积的最小值为12， 此时直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0. 【方法技巧】(1)含有参数的直线方程可看作是直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．(2)求解与直线方程有关的最值问题时，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．【变式3】（吉林长春市实验中学2019届模拟）当k ＞0时，两直线kx －y ＝0,2x ＋ky －2＝0与x 轴围成的三角形面积的最大值为__________．【答案】24【解析】因为2x ＋ky －2＝0与x 轴交于点(1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝0，2x ＋ky －2＝0，解得y ＝2kk 2＋2，所以两直线kx －y＝0,2x ＋ky －2＝0与x 轴围成的三角形面积为12×1×2k k 2＋2＝1k ＋2k≤122，故三角形面积的最大值为24.考点四 综合考查【典例4】（黑龙江哈尔滨市第六中学2019届质检）若θ是直线l 的倾斜角，且sin θ＋cos θ＝55，则l 的斜率为( )A ．－12 B.－12或－2 C.12或2D ．－2【答案】D【解析】∵sin θ＋cos θ＝55，① ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝15，∴2sin θ cos θ＝－45，∴(sin θ－cos θ)2＝95，易知sin θ＞0，cos θ＜0， ∴sin θ－cos θ＝355，②由①②解得⎩⎨⎧sin θ＝255，cos θ＝－55，∴tan θ＝－2，即l 的斜率为－2.【变式4】（江苏扬州中学2019届模拟）已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．【解析】(1)证明：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1， 则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k ≥0，故k 的取值范围是[)0，＋∞.(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk ，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．又－1＋2kk ＜0且1＋2k ＞0，∴k ＞0.故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k ×(1＋2k )＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.专题9.1 直线的方程1．（江苏省无锡一中2019届期中）直线l 的方程为3x ＋3y －1＝0，则直线l 的倾斜角为( ) A ．150° B ．120° C ．60°D ．30°2．（河南省鹤壁一中2019届期末）若函数y 1＝sin 2x 1－32⎝⎛⎭⎫x 1∈⎣⎡⎦⎤0，π2，函数y 2＝x 2＋3，则(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为( )A.2π12B.＋272C.＋212D.－33＋152723．（山西省晋城一中2019届质检）如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 24．（湖北省黄石一中2019届月考）若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(－1,2) D ．(－1，－2)5．(陕西师大附中2019届月考)如果AB ＞0，且BC ＜0，则直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限6．（黑龙江省牡丹江一中2019届期中）设点 A (－2,3)，B (3,2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段 AB 没有交点，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，－52∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－43，52 C.⎣⎡⎦⎤－52，43D.⎝⎛⎦⎤－∞，－43∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞7．（ 浙江省舟山一中2019届期末）直线l 过原点且平分▱ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为B (1,4)，D (5,0)，则直线l 的方程为________．8．（湖北省鄂州一中2019届期中）过点M (－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．9．（江西省南昌二中2019届期末）若 ab >0，且 A (a,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________．10．（河北衡水中学2019届期中）已知点A (3,4)，分别求出满足下列条件的直线方程． (1)经过点A 且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．11．（江西省鹰潭一中2019届模拟）在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )12．（广东惠州一中2019届质检）直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－1，15B.⎝⎛⎭⎫－1，12 C ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞ D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 13．（安徽省亳州一中2019届模拟）在等腰三角形MON 中，MO ＝MN ，点O (0,0)，M (－1,3)，点N 在x 轴的负半轴上，则直线MN 的方程为( )A ．3x －y －6＝0 B.3x ＋y ＋6＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y －6＝014．（广西省来宾一中2019届模拟）若直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2,2]B.(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞)15．（山东省滨州一中2019届质检）已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0，b ≠0)，若f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A.π4B.π3C.2π3D.3π416．（四川省德阳一中2019届模拟）设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )(点P 与点A ，B 不重合)，则△P AB 的面积最大值是( )A ．2 5B ．5 C.52D. 5 17．（陕西省渭南一中2019届模拟）已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为__________________．18. （广东省云浮一中2019届模拟）如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)的直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，则直线AB 的方程为____________________________．19．（ 甘肃省兰州一中2019届调研）已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.20．（四川省雅安一中2019届模拟）已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求： (1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 所在直线的方程．1.（2019·浙江高三学业考试）直线y -26x =+的斜率为( )A.2B.-2C.12 D.12- 2．（2019·浙江高三学业考试）直线210x y +-=经过点（ ）A.（1，0）B.（0，1）C.11,22⎛⎫⎪⎝⎭D.11,2⎛⎫⎪⎝⎭专题9.1 直线的方程1．（江苏省无锡一中2019届期中）直线l 的方程为3x ＋3y －1＝0，则直线l 的倾斜角为( ) A ．150° B ．120° C ．60°D ．30°【答案】A【解析】由直线l 的方程为3x ＋3y －1＝0可得直线l 的斜率为k ＝－33，设直线l 的倾斜角为α(0°≤α<180°)，则tan α＝－33，所以α＝150°.故选A. 2．（河南省鹤壁一中2019届期末）若函数y 1＝sin 2x 1－32⎝⎛⎭⎫x 1∈⎣⎡⎦⎤0，π2，函数y 2＝x 2＋3，则(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为( )A.2π12B.＋272C.＋212D.－33＋272【答案】B【解析】设z ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2，则z 的几何意义是两条曲线上动点之间的距离的平方．因为y 1＝sin 2x 1－32⎝⎛⎭⎫x 1∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以y 1′＝2cos 2x 1.因为函数y 2＝x 2＋3的斜率为1，所以令y 1′＝2cos 2x 1＝1，解得x 1＝π6，则y 1＝0，即函数在⎝⎛⎭⎫π6，0处的切线和直线y 2＝x 2＋3平行，则最短距离为d ＝⎪⎪⎪⎪π6＋32.所以(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫⎪⎪⎪⎪π6＋322＝＋272.故选B.3．（山西省晋城一中2019届质检）如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2【答案】D【解析】直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k 3＜k 2，因此k 1＜k 3＜k 2.故选D.4．（湖北省黄石一中2019届月考）若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( )A ．(1，－2)B ．(1,2)C ．(－1,2)D ．(－1，－2)【答案】A【解析】因为k ，－1，b 三个数成等差数列，所以k ＋b ＝－2，即b ＝－2－k ，于是直线方程化为y ＝kx －k －2，即y ＋2＝k (x －1)，故直线必过定点(1，－2)．5．(陕西师大附中2019届月考)如果AB ＞0，且BC ＜0，则直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率k ＝－A B ＜0，在y 轴上的截距为－C B＞0，所以直线不经过第三象限． 6．（黑龙江省牡丹江一中2019届期中）设点 A (－2,3)，B (3,2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段 AB 没有交点，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，－52∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－43，52 C.⎣⎡⎦⎤－52，43 D.⎝⎛⎦⎤－∞，－43∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞ 【答案】B【解析】易知直线ax ＋y ＋2＝0恒过点M (0，－2)，且斜率为－a .因为k MA ＝3－－－2－0＝－52， k MB ＝2－－3－0＝43， 由图可知－a ＞－52且－a ＜43，所以a ∈⎝⎛⎭⎫－43，52. 7．（ 浙江省舟山一中2019届期末）直线l 过原点且平分▱ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为B (1,4)，D (5,0)，则直线l 的方程为________．【答案】y ＝23x 【解析】直线l 平分平行四边形ABCD 的面积，则直线l 过BD 的中点(3,2)，则直线l ：y ＝23x . 8．（湖北省鄂州一中2019届期中）过点M (－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．【答案】y ＝－53x 或x －y ＋8＝0 【解析】当直线过原点时，直线方程为y ＝－53x ；当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y －a＝1，即x －y ＝a .代入点(－3,5)，得a ＝－8.即直线方程为x －y ＋8＝0.9．（江西省南昌二中2019届期末）若 ab >0，且 A (a,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________．【答案】16【解析】根据A (a,0)，B (0，b )确定直线的方程为x a ＋y b ＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2b＝1，所以－2(a ＋b )＝ab .又ab ＞0，故a ＜0，b ＜0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，可得ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时，等号成立．故ab 的最小值为16.10．（河北衡水中学2019届期中）已知点A (3,4)，分别求出满足下列条件的直线方程．(1)经过点A 且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．【解析】(1)设直线在x ，y 轴上的截距均为a .①若a ＝0，即直线过点(0,0)及(3,4)，所以直线的方程为y ＝43x ，即4x －3y ＝0. ②若a ≠0，设所求直线的方程为x a ＋y a ＝1.又点(3,4)在直线上，所以3a ＋4a＝1，所以a ＝7.所以直线的方程为x ＋y －7＝0.综合①②可知所求直线的方程为4x －3y ＝0或x ＋y －7＝0.(2)由题意可知所求直线的斜率为±1.又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)．故所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.11．（江西省鹰潭一中2019届模拟）在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )【答案】B【解析】由题意l 1：y ＝－ax －b ，l 2：y ＝－bx －a ，当a ＞0，b ＞0时，－a ＜0，－b ＜0.选项B 符合．12．（广东惠州一中2019届质检）直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－1，15B.⎝⎛⎭⎫－1，12C ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 【答案】D【解析】设直线l 的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k .令－3＜1－2k＜3，解不等式得k ＜－1或k ＞12. 13．（安徽省亳州一中2019届模拟）在等腰三角形MON 中，MO ＝MN ，点O (0,0)，M (－1,3)，点N 在x 轴的负半轴上，则直线MN 的方程为( )A ．3x －y －6＝0 B.3x ＋y ＋6＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y －6＝0【答案】C【解析】因为MO ＝MN ，所以直线MN 的斜率与直线MO 的斜率互为相反数，所以k MN ＝－k MO ＝3，所以直线MN 的方程为y －3＝3(x ＋1)，即3x －y ＋6＝0，选C.14．（广西省来宾一中2019届模拟）若直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2,2] B.(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞)【答案】C【解析】令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形面积为12⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，因为14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2,0)∪(0,2]． 15．（山东省滨州一中2019届质检）已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0，b ≠0)，若f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A.π4B.π3C.2π3D.3π4【答案】D【解析】由f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x 知，函数f (x )的图象关于x ＝π4对称，所以f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π2，所以－b ＝a ，则直线ax －by ＋c ＝0的斜率为k ＝a b ＝－1，又直线倾斜角的取值范围为[0，π)，所以该直线的倾斜角为3π4，故选D.16．（四川省德阳一中2019届模拟）设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx－y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )(点P 与点A ，B 不重合)，则△P AB 的面积最大值是( )A ．2 5B ．5C.52D. 5 【答案】C【解析】由题意可知动直线x ＋my ＝0过定点A (0,0)．动直线mx －y －m ＋3＝0⇒m (x －1)＋3－y ＝0，因此直线过定点B (1,3)．当m ＝0时，两条直线分别为x ＝0，y ＝3，交点P (0,3)，S △P AB ＝12×1×3＝32.当m ≠0时，两条直线的斜率分别为－1m ，m ，则－1m·m ＝－1，因此两条直线相互垂直．当|P A |＝|PB |时，△P AB 的面积取得最大值．由2|P A |＝|AB |＝12＋32＝10，解得|P A |＝ 5.所以S △P AB ＝12|P A |2＝52.综上可得，△P AB 的面积最大值是52. 17．（陕西省渭南一中2019届模拟）已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为__________________．【答案】4x －3y －4＝0【解析】由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α，因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12， 所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43， 所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)， 即4x －3y －4＝0.18. （广东省云浮一中2019届模拟）如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)的直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，则直线AB 的方程为____________________________．【答案】(3＋3)x －2y －3－3＝0【解析】由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2， 由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得 ⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)．又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32， 所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)， 即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.19．（ 甘肃省兰州一中2019届调研）已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)；(2)斜率为16. 【解析】(1)由题意知，直线l 存在斜率．设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k－3,3k ＋4， 由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83. 故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.20．（四川省雅安一中2019届模拟）已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求：(1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程；(3)BC 边的垂直平分线DE 所在直线的方程．【解析】(1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2， 即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 边的中点D 的坐标为(x ，y )，则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2. BC 边的中线AD 经过A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线的方程为x －3＋y 2＝1， 即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12， 则BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2.由(2)知，点D 的坐标为(0,2)．由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0.1.（2019·浙江高三学业考试）直线y -26x =+的斜率为( )A.2B.-2C.12D.12- 【答案】B【解析】由26y x =-+可知斜率2k =-，本题选B 。
直线的方程课件-2025届高三数学一轮复习
3
2
.
[易错题]已知点 A (3，4)，则经过点 A 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为
4 x －3 y ＝0或 x ＋ y －7＝0
.
[解析] 设直线在 x 轴、 y 轴上的截距均为 a .(讨论截距是否为0)
①若 a ＝0，即直线过点(0，0)及(3，4)，
2025届高考数学一轮复习讲义
平面解析几何之 直线的方程
一、知识点讲解及规律方法结论总结
1. 直线的倾斜角与斜率
直线的倾斜角
直线的斜率
(1)定义式：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做
定义：当直线l与x轴相交时，
这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，
我们以x轴为基准，x轴正向
π
k＝tan
α
即③
(α≠
D. 8
5−1
＝－2，则线段 lAB ： y －1＝－2( x －4)， x ∈[2，4]，即
2−4
y ＝－2 x ＋9， x ∈[2，4]，故2 x － y ＝2 x －(－2 x ＋9)＝4 x －9， x ∈[2，4].设 h ( x )
1
1
1
1
差为0.1的等差数列，且直线 OA 的斜率为0.725，则 k 3＝(
图1
A. 0.75
B. 0.8
D )
图2
C. 0.85
D. 0.9
[解析] 如图，连接 OA ，延长 AA 1与 x 轴交于点 A 2，则 OA 2＝4 OD 1.因为 k 1， k 2，
2
k 3成公差为0.1的等差数列，所以 k 1＝ k 3－0.2， k 2＝ k 3－0.1，所以tan∠ AOA 2＝
2025届高三数学专题复习：直线方程重难点专题(解析版)
直线的方程重难点专题常考结论及公式结论一：两直线平行与垂直的充要条件若l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2；①l 1∥l 2⇒k 1=k 2⇒≠b 2；②l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1.若l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0，且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零.①l 1∥l 2⇒A 1A 2=B 1B 2≠C 1C 2；l 1与l 2重合⇒A 1A 2=B 1B 2=C1C 2；②l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0.结论二：到角公式和夹角公式(1)l 1到l 2的角公式①tan α=k 2-k 11+k 2k 1.(l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2,k 1k 2≠-1)；②tan α=A 1B 2-A 2B 1A 1A 2+B 1B 2(l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,A 1A 2+B 1B 2≠0)(2)夹角公式①tan α=k 2-k 11+k 1k 2.(l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2,k 1k 2≠-1)；②tan α=A 1B 2-A 2B 1A 1A 2+B 1B 2.(l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,A 1A 2+B 1B 2≠0)直线l 1⊥l 2时，直线l 1与l 2的夹角是π2.结论三：四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点P 0(x 0,y 0)的直线系方程为y -y 0=k (x -x 0)(除直线x =x 0)，其中k 是待定的系数；经过定点P 0(x 0,y 0)的直线系方程为A (x -x 0)+B (y -y 0)=0，其中A 、B 是待定的系数.(2)共点直线系方程：经过两直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的交点的直线系方程为l 1:(A 1x +B 1y +C 1)+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0(除l 2)，其中λ是待定的系数.(3)平行直线系方程：直线y =kx +b 中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程.与直线Ax +By +C =0平行的直线系方程是Ax +By +λ=0(λ≠0)，λ是参变量.(4)垂直直线系方程：与直线Ax +By +C =0(A ≠0,B ≠0)垂直的直线系方程是Bx -Ay +λ=0，λ是参变量.结论四：与对称有关的一些结论(1)点P (u ,v )关于点Q (s ,t )的对称点的坐标为：(2s -u ,2t -v )，特别地，点P (u ,v )关于原点的对称点的坐标为：(2×0-u ,2×0-v )，即(-u ,-v ).(2)直线Ax +By +C =0关于点P (-u ,-v )对称的直线的方程为：(2u -x )+B (2v -y )+C =0.(3)直线Ax +By +C =0关于原点、x 轴、y 轴对称的直线的方程分别为：A (-x )+B (-y )+C =0，Ax +B (-y )+C =0，A (-x )+By +C =0.(4)直线Ax +By +C =0关于直线x =u ,y =v 对称的直线的方程分为：A (2u -x )+By +C =0，Ax +B (2v -y )+C =0.(5)曲线f (x ,y )=0关于点P (u ,v )对称的直线的方程为：f (2u -x ,2v -y )=0.(6)点P (s ,t )关于直线Ax +By +C =0的对称点的坐标为：s -2A ∙As +Bt +C A 2+B 2,t -2B ∙As +Bt +CA 2+B2.特别地，当A =B ≠0时，点P (s ,t )关于直线Ax +By +C =0的对称点的坐标为：-Bt +C A,-As +CB .点P (s ,t )关于x 轴、y 轴，直线x =u ，直线y =v 的对称点的坐标分别为(s ,-t ),(-s ,t ),(2u -s ),(s ,2v -t ).题型一直线的倾斜角与斜率关系问题例1.直线x cos θ+y sin θ=0,θ∈0,5π6的斜率的取值范围为()A.-∞,3B.2,+∞C.-∞,0 ∪0,3D.-∞,2【答案】A【分析】求出直线的斜率的表达式，通过角的范围求解斜率的范围即可.【详解】由x cos θ+y sin θ=0,θ∈0,5π6 可得直线的斜率为：k =-cos θsin θ=-1tan θ.因为θ∈0,5π6 ，所以tan θ∈-∞,-33 ∪0,+∞ ,所以k =-1tan θ∈-∞,0 ∪0,3 当θ=π2时，易得k =0。
高三数学直线方程与两直线的位置关系 知识精讲 通用版
高三数学直线方程与两直线的位置关系 知识精讲 通用版【本讲主要内容】直线方程与两直线的位置关系直线斜率的概念、直线方程的几种形式、两条直线的位置关系、两条相交直线的夹角和到角公式、点到直线距离公式。
【知识掌握】 【知识点精析】1. 直线斜率的概念：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。
当直线和x 轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0º。
因此，直线的倾斜角α的取值X 围是0º≤α＜180º。
（2）直线的斜率：倾斜角α≠90º的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示，即k=tan α(α≠90º)。
（3）直线的方向向量：设F 1(x 1，y 1)、F 2(x 2，y 2)是直线上不同的两点，则向量21F F =( x 2- x 1，y 2- y 1)称为直线的方向向量。
向量21121F F x x -=(1，1212x x y y --)=(1，k)也是该直线的方向向量，k 是直线的斜率。
（4）求直线斜率的方法：①定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90º，则斜率k=tan α ②公式法：已知直线过两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，则斜率k=1212x x y y --③方向向量法：若a =(m ，n)为直线的方向向量，则直线的斜率为k=mn 说明：平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率。
斜率的图象如图：2. 直线方程的几种形式：（1）点斜式：）（11x x k y y -=-，其特例是：b kx y +=（斜截式）； （2）两点式：121121x x x x y y y y --=--，其特例是：1=+bya x （截距式）；（3）一般式：0=++C By Ax （A 、B 不同时为0）说明：使用直线方程时，要注意限制条件。
高三数学第一轮知识点：直线与方程
高三数学第一轮知识点：直线与方程第1篇：高三数学第一轮知识点：直线与方程导语：直线与方程就是直线的方程，在几何问题的研究中，我们常常直接依据几何图形中点，直线，平面间的关系研究几何图形的*质。
以下是小编整理高三数学第一轮知识点的资料，欢迎阅读参考。
(1)直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0180(2)直线的斜率①定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k表示。
即。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当时，。
当时，;当时，不存在。
②过两点的直线的斜率公式：注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90(2)k与p1、p2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
(3)直线方程①点斜式：直线斜率k，且过点注意：当直线的斜率为0时，k=0，直线的方程是y=y1。
当直线的斜率为90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。
②斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b③两点式：()直线两点，④截矩式：其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴未完，继续阅读 >第2篇：高三数学一轮直线与方程的知识点一、直线与方程(1)直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0180(2)直线的斜率①定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k表示。
即。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当时，。
当时，;当时，不存在。
②过两点的直线的斜率公式：注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90(2)k与p1、p2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
直线的方程(高三一轮复习)
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3．已知直线l的斜率为2，且经过点A(1,2)，那么直线l的方程为( D ) A．x＋4y－11＝0 B．3x＋y－15＝0 C．x－7y＋5＝0 D．2x－y＝0 解析 依题意，直线l的斜率为2，且经过点A(1,2)，所以直线l的方程为y－2＝ 2(x－1)，即2x－y＝0.
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 4．直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
点斜式 7 __y_－__y_0＝__k_(_x_－__x_0)___________ 不含直线x＝x0
斜截式 8 __y_＝__k_x_＋__b_________
不含垂直于x轴的直线
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两点式
9 yy2－－yy11＝xx2－－xx11 (x1≠x2，y1≠y2)
π 4
时，斜率为－1，倾斜角为
3π 4
≠α，故B不正确；对于C，平行于x轴的直线的倾斜角
为0°，故C不正确；对于D，若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为90°，故D正
确．
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
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5．(易错题) 已知两点A(1，－2)，B(2,1)，直线l过点P(0，－1)且与线段AB有交
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
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Байду номын сангаас
(2)(多选)过点(－3,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程可能是( AB )
A．x＋3y＝0
B．x＋y＋2＝0
C．x－y＋2＝0
D．x－3y＝0
解析 (1)解法一：因为直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，所以直线l的斜率k＝ 32，故直线l的方程为y－3＝32(x＋4)．
高三数学总复习 直线的方程课件 文 新人教版
1 得 A(2－k，0)，B(0,1－2k)．
由|PA|·|PB|＝
(4＋4k2)(1＋k12)
＝
8＋4(k2＋k12)≥4.
当且仅当 k2＝k12，即 k＝±1 时，|PA|·|PB|取最小值．
又 k＜0，∴k＝－1，这时 l 的方程是 x＋y－3＝0.
方法二：设∠BAO＝θ(0＜θ＜π2 )，过 P 作 PE⊥x 轴于 E，
6
6
＝5＋(a－3)＋a－3≥5＋2 (a－3)·a－3
＝5＋2 6，
当且仅当 a－3＝a－6 3，即 a＝3＋ 6时，a＋b 取得最小值 5＋2 6，
此时 b＝2＋ 6，直线 l 的方程为 x ＋ y ＝1， 3＋ 6 2＋ 6
即(2＋ 6)x＋(3＋ 6)y－12－5 6＝0.
1．(2008 年全国Ⅰ高考)若直线ax＋yb＝1 通过点 M(cos α，sin α)，
方程的形式 y－y1＝k(x－x1)
y＝kx＋b
已知条件
局限性
(x1，y1)为直线上一定 点，k为斜率
不包括垂直于x轴的直线
k为斜率，b是直线在y
轴上的截距
不包括垂直于x轴的直线
两点式 截距式 一般式
(x1≠x2且y1≠y2)
Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)
(x1，y1)，(x2，y2)是 不包括垂直于x轴和y轴
【方法点评】 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0
l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则
(1)l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)或
记为：
(A2、B2、C2不为0)．
(2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
(3)l1与l2重合⇔A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1＝0(或
直线的方程课件-2025届高三数学一轮复习
=
,
⋅
=
.所以
=
=
= +
≥ ,当且仅当
.所以直线的倾斜角为
=
时取等号，又 ∈ , ，所以 =
− = ，所以的斜率为 = −,又直线过点
2.斜率公式
（1）定义式：直线的倾斜角为 ≠ ，则斜率= .
（2）坐标式：设 , ， , 在直线上，且 ≠ ，
率= − − .
如果 = 且 ≠ ，则直线与 轴平行或重合，斜率等于0;
当 = 时，直线方程为 = ，即 − = ；
当 = −时，直线方程为 − + = .
方法二：当直线过原点时，满足题意，此时直线方程为 = ，即
− = ;
当直线不过原点时，设直线方程为
+
−
= ≠ ,
因为直线过点 ,
,所以
,
= ∈ [, ].设直线的倾斜角为 ，则有
∈ [, ].又 ∈ [, )，所以 ∈
[ , ].故选B.
D.[ , ]
.由于 ∈ [ , ]，所以
[ , ]，即倾斜角的取值范围是
（2）已知直线过点 , ，且与以 , ， , 为端点的线段有公
+ = .
高三数学直线与方程PPT优秀课件
D. 零度角
2.(教材改编题)若直线ax+by+c=0经过第一、二、三象限，则有
()
A. ab>0，bc>0
B. ab>0，bc<0
C. ab<0，bc>0
D. ab<0，bc<0
3.(教材改编题)过点(2,4)且在坐标轴上的截距相等的直线共有
()
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
4. 直线kx-y+1=3k，当k变动时，所有直线都通过定点________．
()
答案：D
解析： 设倾斜角为a，则k=tan a=-cos q. ∵q∈R，-1≤-cos q≤1，∴-1≤tan a≤1， ∴a∈ 0,434,
题型二 求直线的方程
【例2】 求经过点A(-3,4)，且在两坐标轴上的截距之和等于
12的直线方程．
解：方法一：由题意可知直线在坐标轴上的截距不能为零，设
方法二：因为直线在两坐标轴上都存在截距且不为零，故直线
的斜率存在且不为零，故设直线方程为y-4=k(x+3)(k¹0)．
当x=0时，y=4+3k，
当y=0时，x=-4 -3，
k
所以3k+4- 4 -3=12，即3k2-11k-4=0，解得k=4或k=1 - ，
k
3
所以直线方程为y-4=4(x+3)或y-41 =- (x+3)，
一条直线的倾斜角a的________叫做这条直线的斜率，斜率常用小 写字母k表示，即k=______，倾斜角是90°的直线斜率不存在．
②过两点的直线的斜率公式
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1 x2)的直线的斜率公式为 k=________.
8.1直线的方程课件高三数学一轮复习
(2)如图，∵kAP＝12－ －01＝1，
kBP＝ 03－－10＝－ 3， ∴k∈(－∞，－ 3]∪[1，(1,0)改为 P(－1,0)，其他条件不变，则直线 l 斜率的取 值范围是_______13_，___3_____．
【解析】 ∵P(－1,0)，A(2,1)，B(0， 3)，
角度 2：与直线有关的最值问题 【例 3】 过点 P(4,1)作直线 l 分别交 x 轴，y 轴正半轴于 A，B 两点，O 为坐标原点． (1)当△AOB 面积最小时，求直线 l 的方程． (2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线 l 的方程．
【解】 设直线 l：ax＋by＝1(a>0，b>0)，因为直线 l 经过点 P(4,1)，所以4a＋1b＝1.
0°. (2)范围：直线 l 倾斜角的范围是 [0°，180°) ．
3．直线的斜率公式 (1)定义：把一条直线的倾斜角 α 的
正切值 叫做这条直线的斜率，常用小写
字母 k 表示，即 k＝ tanα (α≠90°)．
(2)过两点的直线的斜率公式：如果直线经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，则
ab·4ab＝9，当且仅当 a＝6，
所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线 l 的方程为6x＋3y＝1，即 x＋2y－6＝0.
角度 3：由直线方程求参数值(范围)
【例 4】 已知直线 l：x－my＋ 3m＝0 上存在点 M 满足与 A(－1,0)，B(1,0)两点连线
的斜率 kMA 与 kMB 之积为 3，则实数 m 的取值范围是( C ) A．[－ 6， 6]
【解析】 (1)当 x＝0 时，y＝3，所以直线过定点(0,3)． (2)当 x＝－3 时，y＝0，所以直线过定点(－3，0)． (3)当 y＝0 时，x＝3，所以直线过定点(3,0)．
【高三】2021届高考数学难点突破复习 直线方程
【高三】2021届高考数学难点突破复习直线方程【高三】2021届高考数学难点突破复习直线方程7.1线性方程一、高考考点：1.直线的倾角：。
范围是。
2.线性方程的五种形式：点斜型、截距型、两点型、斜截面型和一般型。
3.两条直线⑴平行：（2）垂直：4.直线的交角：（1）从直线到：⑵两条相交直线与的夹角：5.点到线的距离：⑴点到直线的距离公式：设点，直线到的距离为，则有.（2）两条平行线之间的距离公式。
如果距离是，那么就有6.两点p1(x1,y1)、p2(x2,y2)的距离公式：.7.固定比率分界点的坐标分数。
如果点P（x，y）被划分为有向线段，其中P1（x1，Y1），P2（X2，Y2）为中点坐标公式；三角形重心坐标公式。
8.两点钟二、例题例1直线+y+2=0的倾角范围为（）a.［，）∪（，］b.［0，］∪［，π）c、 [0，]d.[变式训练1.若∈，则直线2cosx+3y+1=0的倾斜角的取值范围.例2假设直线通过该点并与线段Mn相交，直线斜率的取值范围为（）a．b．c、 d。
变式训练2.已知点a（-2，4）、b（4，2），直线l过点p（0，-2）与线段ab相交，则直线l的斜率k的取值范围是.例如3，当m为值时，已知两条直线L1:（3+m）x+4Y=5-3m和L2:2x+（5+m）y=8，L1和L2:（1）相交？（2）平行？（3）垂直？已知直线L1:ax+2Y+6=0，直线L2:x+（A-1）y+A2-1=0，（1）试判断l1与l2是否平行；（2）当L1⊥ L2，求A的值三．训练反馈1.在以下四个命题中，正确的共同所有权（）（1）坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率（2）直线倾角的取值范围为：（3）若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为（4）如果直线的倾角为，直线的斜率为a．0个b．1个c．2个d．3个2.如果两条直线的倾角分别为，则以下四个命题中正确的一个为（）a.若，则两直线的斜率：b.若，则两直线的斜率：c、如果两条直线的斜率：，那么D.如果两条直线的斜率：，那么3、若直线在第一、二、三象限，则（）a、不列颠哥伦比亚省。
直线的方程课件 高三数学一轮复习
解析：如图所示：
当直线l过B时设直线l的斜率为k1，
则k1＝
3−0＝－0−13， Nhomakorabea当直线l过A时设直线l的斜率为k2， 则k2＝12−−01＝1，
∴要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(－∞，－ 3] ∪
1， + ∞ ．
题后师说
(1)由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围 求 π)上直的线单倾调斜性角求的解取，值这范里围特时别，要常注借意助，正正切切函函数数y＝在ta[0n，x在π2)[∪0，(π2，π2)π∪)上(π2 ， 并不是单调的．
课堂互动探究案
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算 公式．
2．根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜 式、两点式及一般式)．
问题思考·夯实技能 【问题1】 直线的倾斜角越大，斜率越大对吗？
答案：不对．设直线的倾斜角为α，斜率为k.
【问题2】
在平面直角坐标系中，给定直线l上一个定点P0(x0，y0)和斜率k，则 直线l上不同于该定点的任意一点P(x，y)的横坐标x与纵坐标y所满足 的关系式是什么？
公共点，则直线l斜率的取值范围为__[13_，___3_]_．
解析：∵P(－1，0)，A(2，1)，B(0， 3)， ∴kPA＝2−1−−01 ＝13，kPB＝0−3−−01 ＝ 3. 由图可知，直线l的斜率k的取值范围为[13 ， 3].
【变式练习】 若本例(2)中“P(－1，0)”改为“P(1，0)”，其他 条件不变，则直线l的斜率的取值范围为__(－__∞__，_－___3_]_∪__1_，__+__∞__．
题后师说
求直线方程的两种方法 (1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式． (2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待 定的系数，再由题设条件求出待定系数．
高三数学ppt课件 直线的一般式方程课件1
4
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【方法技巧】直线的一般式转化为其他形式的步骤 (1)一般式化为斜截式的步骤 ①移项得By=-Ax-C; ②当B≠0时,得斜截式:
A C y x . B B
(2)一般式化为截距式的步骤 方法一: ①把常数项移到方程右边,得Ax+By=-C; ②当C≠0时,方程两边同除以-C,得 ③化为截距式:
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)任何直线方程都能表示为一般式. ( )
(2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化. ( )
(3)对于二元一次方程Ax+By+C=0,当A=0,B≠0时,方程表示垂 直于x轴的直线. ( )
【解析】 (1)正确.因为平面上任意一条直线都可以用一个关
x y 1. C C A B
Ax By 1; C C
方法二: ①令x=0求直线在y轴上的截距b;
②令y=0求直线在x轴上的截距a;
③代入截距式方程
x y 1. 由于直线方程的斜截式和截距式是惟一的 ,而两点式和点斜式 a b
不惟一,因此,通常情况下,一般式不化为两点式和点斜式.
令y=0得
【延伸探究】若题(2)中直线在y轴上的截距为1,试求m的值. 【解析】由题意得 4m 1
m m
2
1,
所以
m 0且m 1, 5 21 m m 0, 解得 5 21 所以m 2 . 2 . 4m 1 m m, m 2
3.求直线方程的常规要求 (1)求直线方程的题目,无特别要求时,结果写成直线方程的一 般式. (2)对于直线方程的一般式,一般作如下约定:x的系数为正,x,y 的系数及常数项一般不出现分数,一般按含x项,含y项,常数项 顺序排列.
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