牛顿莱布尼茨定理

2
0 2 1 2 0 1
o
1
2
x
原式 x dx xdx x 2dx
2
11 . 2
例7
求
1
2
1 解 当 x 0 时， 的一个原函数是ln | x | , x 1 1 1 dx 2 x ln | x | 2 ln1 ln 2 ln 2. x 轴所围 例 8 计算曲线 y sin x 在[0, ] 上与
练习题
一、填空题： x2 b d 2 e dx =_______ . 1、 a dx x d f ( x ))dx __________ . 2、 ( a dx d 2 3 t ln( t 2 1)dt _______ . 3、 dx x 2 x2 , 0 x 1 4、 0 f ( x )dx ____，其中 f ( x ) . 2 x , 1 x 2
5、设 I 1

cos mx cos nxdx ,

sin mx sin nxdx ，
（1） 、当m n 时， I 1 =__ ,I 2 =_____ ， （2） 、当m n 时，I 1 =___ ,I 2 =_____ . 6、设 （1） 、当m n 时， I 3 =____ , （2） 、当m n 时， I 3 =_____ . 7、4
b
例4
求 ( 2 cos x sin x 1)dx .
0
2
解
原式 2 sin x cos x x 0

2
3 . 2
例5
求 2 max{ x , x }dx.
2
2
y
解
由图形可知
y x2
2
f ( x ) max{ x , x }
y x
2
x 2 x 0 x 0 x 1 , x2 1 x 2
大值与最小值 . 1 sin x , 当0 x 时， 七、设 f ( x ) 2 0 ，当x 0或x 时， x 求（x ) 0 f ( t )dt 在( , ) 内的表达式 .
八、设 f ( x )在 a , b 上连续且 f ( x ) 0 , x x dt F ( x ) f ( t )dt ,证明： a b f (t ) （1） 、F ' ( x ) 2 ; （2） 、方程 F ( x ) 0 在( a , b ) 内有且仅有一个根 .
4. 微积分基本公式
设 f ( x) C [a, b] , 且 F ( x) f ( x) , 则有
a f ( x) d x f ( )(b a) F ( )(b a) F (b) F (a)
积分中值定理 微分中值定理 牛顿 – 莱布尼兹公式
b
思考题
t x f ( u)du 是x 的函数还是
Baidu Nhomakorabea
x

e 2 t dt
2
;
2、 lim
x 0
1 x2
0
(1 cos t 2 )dt x
5 2
.
五、设 f ( x ) 为连续函数，证明:

x
0
f ( t )( x t )dt
(
0
x
t
0
f ( u)du)dt .
六、求函数 f ( x )

x
0
3t 1 dt 在区间 0 , 1 上的最 2 t t 1
一、问题的提出
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动，已知速度v v ( t ) 是时 t 的一个连续函数，且v ( t ) 0 ， 间间隔[T1 , T2 ]上 求物体在这段时间内所经过的路程.
变速直线运动中路程为
T
T2
1
v ( t )dt
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) s(T1 )
t 0 0 y x
dy 定，求 ； dx 2 x t u ln udu, 2 d y 1 ( t 1 ) 2、 设 ,求 2 ； 1 dx y 2 u 2 ln udu, t
d cos x 2 cos(t )dt ； 3、 dx sin x x dx g (1) . 4、设 g ( x ) 0 3 ，求 1 x
a
x
(补充) 变限积分求导:
d ( x) f (t ) d t f [ ( x)] ( x) dx a ( x) d ( x) d a f ( t ) d t f ( t ) d t f ( t ) d t a d x ( x ) dx ( x )
2
x
.
e
cos2 x
(cos x ) sin x e
cos2 x
,
e cos x lim
x 0
1
t 2
dt
x2
sin x e lim x 0 2x
cos2 x
1 . 2e
例2
设 f ( x ) 在[0,1]上连续，且 f ( x ) 1.证明
记 ( x ) f ( t )dt .
a
x
积分上限函数
积分上限函数的性质
定理１ 如果 f ( x ) 在[a , b] 上连续，则积分上限的函 数 ( x )
f ( t )dt 在[a , b] 上具有导数，且它的导 d x f ( t )dt f ( x ) (a x b) 数是 ( x ) a dx
b
a f ( x )dx F (b) F (a ) F ( x )
b
b a
微积分基本公式表明：
一个连续函数在区间[a , b] 上的定积分等于 [a , b] 上的增量. 它的任意一个原函数在区间
求定积分问题转化为求原函数的问题. 注意 当a b 时， f ( x )dx F (b) F (a ) 仍成立. a
x (1 x )dx _____ . 3 dx _____ . 8、 1 2 31 x
9
cos mx sin nxdx ,

9、lim
x 0
x
0
cos t 2 dt x
________ .
二、求导数： 1 、 设函数 y y ( x ) 由方程 e dt cos tdt 0 所确
f [ ( x)] ( x) f [ ( x)] ( x)
例1
e 求 lim cos x
x 0
1
t 2 2
dt
0 分析：这是 型不定式，应用洛必达法则. 0 d 1 t 2 d cos x t 解 e dt e dt , dx cos x dx 1
四、1、0；
1 2、 . 10
5 六、 , 0. 3 3 0 , x 0 1 七、( x ) (1 cos x ) , 0 x . 2 1 , x
0
x

f ( x) ( x t ) f (t ) d t
x
0 f (t ) d t
2
x
2
0 f (t ) d t
0 x

f ( x) ( x ) f ( ) x
0 f (t ) d t
x
2
0
(0 x )
定理2（原函数存在定理）
如果 f ( x ) 在[a , b] 上连续，则积分上限的函 数 ( x ) a f ( t )dt 就是 f ( x ) 在[a , b] 上的一个 原函数.
2
三、计算下列各定积分： 2 1 2 1、 ( x 2 )dx ; 1 x 4 2 0 3x 3x 1 dx ; 3、 1 2 x 1
2、
1 2 1 2
dx 1 x
2
;
4、0 sin x dx .
2
四、求下列极限： 1、 lim
( e dt ) 2
t2 x 0 x 0
练习题答案
一、1、0； 2、 f ( x ) f ( a ) ； 3、 3 x ln( x 2 1) ； 5 4、 ； 5、(1) , ； (2)0,0； 6 1 7、45 ; 8、 ； 9、1. 6 6 1 cos x 二、1、 ； 2、 2 ； 2 t ln t sin x 1 2 (sin x cos x ) cos( sin x)； 3、 4、 2 . 5 三、 1、2 ； 2、 ； 3、 1 ； 4、4. 8 3 4
b
设 f ( x ) 在[a , b] 上连续，则a f ( t )dt 与
x
u 的函数？它们 与
的导数存在吗？如存在等于什么？
思考题解答
a
x
f ( t )dt 与 x f ( u)du都是x 的函数
b
d x f ( t )dt f ( x ) a dx d b f ( u ) du f ( x ) dx x
定理的重要意义： （1）肯定了连续函数的原函数是存在的.
x
（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之 间的联系.
三、牛顿—莱布尼茨公式
定理 3（微积分基本公式）
[a , b ] 上 如果F ( x ) 是连续函数 f ( x ) 在区间
的一个原函数，则a f ( x )dx F (b) F (a ) .
F (1) 1 0 f ( t )dt 0 [1 f ( t )]dt 0,
所以F ( x ) 0 即原方程在 [0,1] 上只有一个解.
1 1
例3.
证明
只要证
在 证:
内为单调递增函数 .
F ( x) 0
x 0
x f ( x) f (t ) d t f ( x) t f (t ) d t
成的平面图形的面积.
1 dx. x
解
面积 A sin xdx
0

y
cos x 2.
0
o

x
四、小结
1.积分上限函数 ( x ) a f ( t )dt 2.积分上限函数的导数 ( x ) f ( x ) 3.变限积分求导公式
x
牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学 之间的关系．
v ( t )dt s(T2 ) s(T1 ). 其中 s(t ) v(t ). T
1
T2
二、积分上限函数及其导数
x 设函数 f ( x ) 在区间[a , b] 上连续，并且设
为[a , b]上的一点， 考察定积分
a
x
f ( x )dx a f ( t )dt
x
如果上限x 在区间[a , b] 上任意变动，则对于 每一个取定的x 值，定积分有一个对应值，所以 它在[a , b]上定义了一个函数，
2 x 0 f ( t )dt 1在[0,1]上只有一个解.
证 令 F ( x ) 2 x f ( t )dt 1,
0 x
x
f ( x ) 1,
F ( x ) 2 f ( x ) 0,
F ( x ) 在[0,1]上为单调增加函数. F (0) 1 0,