牛顿莱布尼茨定理
牛顿莱布尼茨公式解读
牛顿莱布尼茨公式解读牛顿-莱布尼茨公式是微积分中的一个重要公式，它将微积分中的导数和积分联系了起来，为我们解决各种数学问题提供了便利。
本文将对牛顿-莱布尼茨公式进行解读，帮助读者更好地理解和应用这一公式。
牛顿-莱布尼茨公式是由英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨独立发现的，他们分别在17世纪末和18世纪初提出了这一公式。
牛顿-莱布尼茨公式的表达形式如下：∫(a到b) f(x)dx = F(b) - F(a)其中，∫表示积分，a和b是积分的上下限，f(x)是被积函数，F(x)是f(x)的一个原函数。
牛顿-莱布尼茨公式的意义在于，它将积分与导数联系了起来。
根据微积分的基本原理，导数可以看作是函数在某一点上的变化率，而积分则可以看作是函数在某一区间上的累积变化量。
牛顿-莱布尼茨公式告诉我们，如果我们能找到一个函数F(x)，它的导数等于被积函数f(x)，那么在积分的过程中，我们可以通过计算F(x)在积分上下限处的值来得到积分的结果。
牛顿-莱布尼茨公式的证明可以通过微积分的基本定义和性质来完成。
首先，我们知道导数的定义是函数在某一点上的极限值，即f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)]/h。
根据这个定义，我们可以得到一个重要的性质：如果函数F(x)是f(x)的一个原函数，那么F'(x) = f(x)。
这个性质告诉我们，如果我们能找到一个函数F(x)，它的导数等于被积函数f(x)，那么F(x)就是f(x)的一个原函数。
接下来，我们考虑积分的定义。
积分的定义是通过将函数f(x)在积分区间上进行分割，并计算每个小区间上的面积之和来得到的。
我们可以将积分区间[a, b]分割成n个小区间，每个小区间的宽度为Δx = (b-a)/n。
然后，我们可以计算每个小区间上的面积，即ΔS =f(xi)Δx，其中xi是小区间的中点。
最后，我们将所有小区间上的面积之和求和，即∑(i=1到n) ΔS = ∑(i=1到n) f(xi)Δx。
积分的牛顿莱布尼茨公式
积分的牛顿莱布尼茨公式
牛顿-莱布尼茨公式是微积分学中的基本公式，表示对定积分的求导与被积函数之间的关系。
公式表达如下：
如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，则其在该区间上的定积分∫[a, b] f(x)dx是一个关于上限变量b的函数，记为F(b)，即F(b) = ∫[a, b] f(x)dx。
如果f(x)在区间[a, b]上可导，则F(b)在该区间上也可导，且有F'(b) = f(b)。
换句话说，定积分的上限函数在某一点处的导数等于被积函数在该点的函数值。
拓展：牛顿-莱布尼茨公式是微积分中一个非常重要的定理，可以应用于各种实际问题的求解中。
它是定积分与微分之间的关系的实际体现，能够帮助我们理解和计算定积分以及相关的应用问题。
这个公式为计算面积、求曲线长度、求物体的质心等问题提供了理论基础，因此在工程、物理学、经济学等领域都有广泛的应用。
牛顿莱布尼茨公式与积分运算
牛顿莱布尼茨公式与积分运算知识点：牛顿-莱布尼茨公式与积分运算一、牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是微积分基本定理的表述，它建立了微分学与积分学之间的联系。
公式如下：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，并且在区间(a, b)内可导，那么函数f(x)在区间[a, b]上的定积分可以表示为：∫(from a to b) f(x)dx = F(b) - F(a)其中，F(x)是f(x)的一个原函数，即F’(x) = f(x)。
二、积分运算的基本性质1.线性性质：设f(x)和g(x)是两个可积函数，α和β是两个常数，则有：∫(from a to b) (αf(x) + βg(x))dx = α∫(from a to b) f(x)dx + β∫(from a to b) g(x)dx2.保号性：如果f(x)在区间[a, b]上非负（非正），则∫(from a to b)f(x)dx非负（非正）。
3.可加性：如果f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积，且它们的区间分界点相同，那么：∫(from a to b) f(x)dx + ∫(from a to b) g(x)dx = ∫(from a to b) (f(x) + g(x))dx4.换元积分法：设 Integration variable change : x = g(t)，dx = g’(t)dt，则有：∫(from a to b) f(x)dx = ∫(from g(a) to g(b)) f(g(t))g’(t)dt三、积分运算的基本公式1.幂函数的积分公式：∫(from a to b) x^n dx = (1/n+1)x^(n+1) + C，其中C为积分常数。
2.指数函数的积分公式：∫(fro m a to b) e^x dx = e^x + C。
3.对数函数的积分公式：∫(from a to b) ln|x| dx = ln|x| + C。
牛顿-莱布尼茨公式
05
牛顿-莱布尼茨公式的扩展
变上限的牛顿-莱布尼茨公式
总结词
变上限的牛顿-莱布尼茨公式是针对积分上限变化的情况进行扩展的公式。
详细描述
当积分的上限是一个变量时，传统的牛顿-莱布尼茨公式不再适用。为了解决这 个问题，变上限的牛顿-莱布尼茨公式被引入，它允许积分上限在一定范围内变 化，从而更准确地计算定积分。
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04
牛顿-莱布尼茨公式的证明
利用不定积分证明
总结词
通过不定积分和原函数的概念，证明牛 顿-莱布尼茨公式。
VS
详细描述
首先，根据不定积分的定义，我们知道对 一个函数进行不定积分可以得到其原函数 。然后，利用不定积分的基本性质，我们 可以将一个定积分转化为不定积分的形式 。最后，通过计算不定积分的结果，得到 定积分的值，从而证明了牛顿-莱布尼茨 公式。
要点一
总结词
通过微积分基本定理，证明牛顿-莱布尼茨公式。
要点二
详细描述
微积分基本定理指出，如果一个函数在闭区间上可积，那 么其定积分等于其在该区间上所有分割点的函数值的积分 和的极限。利用这个定理，我们可以将定积分转化为求和 的形式，其中每个项表示函数在某个分割点的函数值。通 过计算这些项的和的极限，可以得到定积分的值，从而证 明了牛顿-莱布尼茨公式。
原函数是指一个函数，其导数等于给定的函数。例如，对于函数f(x)=x^2，其原 函数为F(x)=x^3/3。
牛顿-莱布尼茨公式的重要性
牛顿-莱布尼茨公式是微积分学 中的基本定理之一，它为计算定
积分提供了一种简便的方法。
通过使用牛顿-莱布尼茨公式， 我们可以将复杂的定积分问题转 化为求原函数的问题，从而简化
牛顿莱布尼茨公式相减等于0了
牛顿莱布尼茨公式相减等于0了
牛顿莱布尼茨公式是数学中一个著名的定理，有其重要的意义。
它由英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼茨共同推导而出，其式子如下：
F＝GMm / R
其中，F 为物体之间的引力，G 为万有引力常数，M 为质量，m 为另一物体的质量，R 代表两体之间的距离。
由这一公式，我们可以得出，当两体之间的距离R = 0时，引力将无限增大，而引力F也将无穷大。
这个结论是多年以前就已经确认的，但是最近，一些数学家们却做出了新的发现。
他们证明，当两体之间的距离R = 0时，牛顿莱布尼茨公式相减等于0，即F＝GMm / R-GMm / R＝0。
这一发现可以说是比较令人惊讶的，因为以前的模型只能解释到R＝0时，引力F必然是无穷大，但实际上，当R＝0时，引力却是等于0.这是由于引力F具有两个方面，一方面是刚性斥力，另一方面是弹性引力，当两体之间距离R＝0时，弹性引力将全部抵消掉刚性斥力，从而使得F＝0.
因此，这一发现对物理学、天文学和数学都有一定的意义，它不仅提升了我们对牛顿莱布尼茨公式的理解，还为我们提供了更多的思考空间，引发了新的研究方向。
首先，物理学家可以由此探索关于万有引力及其他相关现象的本质原因，而天文学家则可以从此探索宇宙中物质之间引力的作用，在
研究宇宙膨胀、太阳系运动等现象时有更深入的理解。
再者，数学家们也可以从此着手研究物理世界中许多有趣的定理和公式，加深我们对物理原理的理解。
总之，牛顿莱布尼茨公式相减等于0的发现，对物理学、天文学和数学都有重要的意义，它不仅引领我们探寻宇宙奥秘的道路，更让我们思想得到更为广阔的开阔。
定积分牛顿莱布尼茨公式
定积分牛顿莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式（也称为牛莱公式）是微积分学中的一个重要定理，它连接了定积分和原函数之间的关系。
该公式在微积分起源和发展中起到了关键的作用，它的发现极大地推动了微积分学的发展。
首先，我们需要明确定积分的定义。
定积分是求一个函数在一个区间上的“积累量”，它可以看作是无穷多个微小的面积的总和。
设函数f(x)在[a,b]上连续，它的一个原函数为F(x)。
根据牛顿-莱布尼茨公式，定积分的值可以通过求函数的原函数在两个端点的值之差来计算。
具体而言，公式可以表达为：∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a)这个公式的含义是，函数f(x)在区间[a,b]上的定积分等于它的一个原函数F(x)在b和a处的取值之差。
这个公式可用于求解定积分，而无需使用极限定义来进行计算。
牛顿-莱布尼茨公式可以通过微积分基本定理来证明。
微积分基本定理表明，如果一个函数在一个区间上连续，那么它必然有一个原函数。
这个定理的证明涉及到反函数的构造和连续函数的一些性质，它超出了本文的讨论范围。
牛顿-莱布尼茨公式的证明主要涉及到导数和微分的基本概念。
设a 和b为两个实数，函数F(x)在[a,b]上连续且可微。
根据导数的定义，我们有：F'(x) = lim(h->0) [F(x+h) - F(x)]/h我们可以根据这个式子来近似计算定积分的值。
我们可以将区间[a,b]等分为n个小区间，每个小区间的宽度为h=(b-a)/n。
记第i个小区间为[x_i-1,x_i]。
我们将每个小区间上的函数值F(x_i)与F(x_i-1)相减后再乘以区间宽度h，得到一个近似的定积分值。
如果我们取n趋近于无穷大，这个近似值将趋近于定积分的真正的值。
具体而言，我们可以写出这个近似值为：Σ {i=1 to n} [F(x_i) - F(x_i-1)] * h这个近似值可以表示为区间[a,b]上的一个数列的和。
当n趋近于无穷大时，这个数列的和将趋近于定积分的真正值。
高考数学中的微积分中的牛顿莱布尼茨定理
高考数学中的微积分中的牛顿莱布尼茨定理微积分是现代科学和工程技术中必不可少的一门学科，其中牛顿莱布尼茨定理是微积分的重要基础。
在高考中，微积分也是数学科目的重点之一。
在准备高考数学考试的过程中，学生要深入理解牛顿莱布尼茨定理的原理和应用。
牛顿莱布尼茨定理是微积分的一条基本定理，它揭示了微积分和积分之间的本质联系。
该定理的公式为：如果函数f(x)在[a,b]上连续，并且F(x)是f(x)在[a,b]上的任意一个原函数，则有：∫ab f(x)dx = [F(x)]ab = F(b) - F(a)其中，∫ab表示区间[a,b]上的不定积分，即求函数f(x)在[a,b]上的原函数；F(x)表示函数f(x)的任意一个原函数。
牛顿莱布尼茨定理告诉我们，求某个函数在特定区间上的定积分可以通过求这个函数的原函数来实现。
因此，它成为了微积分中的核心定理。
在高考数学中，牛顿莱布尼茨定理的应用范围非常广泛。
它的典型应用包括：求定积分、求面积、求体积、求弧长、求曲率等。
例如，我们要求函数f(x)在区间[a,b]上的定积分∫ab f(x)dx。
首先，我们可以任意找到一个原函数F(x)，然后代入牛顿莱布尼茨定理的公式，得到定积分的结果。
这个结果就是函数f(x)在区间[a,b]上的积分值。
另一个典型的例子是，要求函数y=f(x)在区间[a,b]上的弧长。
我们可以把弧长看作是定积分的形式，即：L = ∫ab ds其中ds表示弧微元。
如果我们转化上式，得到：L = ∫ab √(1 + (dy/dx)²) dx因此，为了求出函数y=f(x)在区间[a,b]上的弧长，我们需要先求出函数的导数dy/dx，然后再套入公式中进行积分。
当然，牛顿莱布尼茨定理的应用不仅仅限于此。
在实际科学和工程问题中，微积分的应用非常多。
例如，我们可以通过对函数进行微积分分析，得出物体的位置、速度和加速度等物理量的变化规律。
在金融风险管理领域中，微积分也可以用来建立风险评估模型和金融衍生品评估模型。
牛顿莱布尼茨定律
牛顿莱布尼茨定律
牛顿莱布尼茨定律（Newton-Leibniz formula），通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。
牛顿莱布尼茨定律的内容是一个连续函数在区间[ a，b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a，b ]上的增量。
牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式，1677年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。
因为二者最早发现了这一公式，于是命名为牛顿-莱布尼茨公式。
牛顿-莱布尼茨公式给定积分提供了一个有效而简便的计算方法，大大简化了定积分的计算过程。
《牛顿莱布尼茨公式》课件
牛顿莱布尼茨公式定义为一个函数在一个区间上的定积分等于该函数在区间端点上的值之差与一个关于该函数在 区间内所有点的平均值的权重的积分之和。公式表示为：∫(a,b) f(x) dx = F(b) - F(a)，其中F(x)是f(x)的原函数。
牛顿莱布尼茨公式的历史背景
总结词
牛顿莱布尼茨公式是微积分发展史上的重要里程碑，为解决定积分问题提供了有 效的方法计算系统的传递函数。通过使用牛顿
-莱布尼茨公式，我们可以找到传递函数的原函数，从而更好地理解系
统的动态行为。
02
流体动力学
在流体动力学中，我们经常需要计算流体在管道或容器中的压力和速度
分布。通过使用牛顿-莱布尼茨公式，我们可以找到这些量作为位置的
函数的定积分。
03
热力学
在热力学中，我们经常需要计算系统的热量和熵等量。通过使用牛顿-
莱布尼茨公式，我们可以找到这些量作为温度的函数的定积分。
05
牛顿莱布尼茨公式的扩展与
深化
广义的牛顿莱布尼茨公式
广义的牛顿莱布尼茨公式是指将积分上限和下限扩展到任意 实数，甚至扩展到复数域的情况。这使得积分运算的范围更 加广泛，能够处理更复杂的数学问题。
的函数的定积分。
解决力学问题
在解决与力、运动和牛顿第二定 律相关的问题时，牛顿-莱布尼 茨公式可以帮助我们找到物体的
位移、速度和加速度。
电磁学中的应用
在电磁学中，我们经常需要计算 电场和磁场的能量密度。通过使 用牛顿-莱布尼茨公式，我们可 以找到这些量作为空间位置的函
数的定积分。
在工程领域的应用
01
详细描述
牛顿和莱布尼茨分别独立地发现了这个公式，并为其证明做出了贡献。在此之前 ，计算定积分需要使用复杂的几何方法或数值近似法，而牛顿莱布尼茨公式提供 了一种简便且精确的计算方法，极大地推动了微积分学的发展。
牛顿莱布尼茨公式以及对反常积分
牛顿莱布尼茨公式以及对反常积分牛顿-莱布尼茨公式（Newton-Leibniz formula），通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。
牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间 [ a，b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a，b ]上的增量。
牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式，1677年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。
因为二者最早发现了这一公式，于是命名为牛顿-莱布尼茨公式。
牛顿-莱布尼茨公式给定积分提供了一个有效而简便的计算方法，大大简化了定积分的计算过程。
1.先判断积分区间内有无暇点,比如区间（0,+∞),被积函数分母有个（x-1),那么区间要分为（0,1）和（1,+∞)两个积分,如果还有就继续分。
2.现在（0,1）和（1,+∞)内无暇点,用牛顿一莱布尼茨公式计算,代入端点1,+∞时是求极限。
微积分基本定理—牛顿莱布尼茨公式
而原函数是与导函数互逆的一个概念，本质上属于
微分学，形式上看，与定积分没有关系。 Newton 和 Leibniz 却发现了这两个概念之间的内在联系：
函数在一个区间上的定积分等于它的原函数在该区间上的增量。 从此微分学与积分学形成一门完整学科——微积分学。
（2）为 定积分的计算提供了一个有效方法. 如果被积函数连续且其原函数易于求得，则只需 先求出原函数，再将上限和下限代入原函数后相减：
定理2 如果函数 f (x)在[a,b]上连续, 函数 F ( x)是 f ( x)
的一个原函数，则
∫b f ( x) dx = F (b) − F (a). a
（上式称为牛顿—莱布尼茨公式，也叫微积分基本公式）
证 因F ( x)与 Φ ( x) = ∫ x f (t )dt 都是 f ( x) 的原函数， a
证 设 F (t ) 是 f (t ) 的原函数，由 N-L 公式，得
∫ϕ(x)
ψ (x)
f
(t ) dt
=
[
F
(t
)]ψϕ
(x) ( x)
=
F
ϕ
( x)
−
F
ψ
( x)
，
于是，
∫ ϕ(x)
ψ ( x)
f
(t)
dt
′
=
F′ ϕ
( x)ϕ′(
x)
−
F′
ψ
(
x)ψ
′(x)
= f ϕ ( x)ϕ′( x) − f ψ ( x)ψ ′( x).
y
y = f (t)
定义了以 x 为自变量的一个
函数，记为Φ ( x), 即
Φ(x)
牛顿——莱布尼兹公式
牛顿——莱布尼兹公式
牛顿和莱布尼兹是17世纪最伟大的数学家之一，他们都发现了微积分学中的基本定理。
在微积分学中，求导是一种操作，它可以计算函数在某一点的变化率。
而反过来，积分则是将变化率还原为函数的操作。
牛顿和莱布尼兹独立地发现了这两个操作的逆运算，也就是微积分学基本定理。
但是，牛顿和莱布尼兹的方法略有不同。
牛顿将微积分学的基本定理表述为“求导和积分是互为逆运算的”，而莱布尼兹则将其表述为“微积分的求导和积分操作可以交换次序”。
在实际应用中，这两种表述是等价的。
但是，在理论上，牛顿和莱布尼兹的方法存在一些不同。
特别是，在微积分学的一些较为抽象的分支中，莱布尼兹的方法更加方便和直接。
例如，在微分几何中，我们考虑的是空间中的曲线和曲面。
这些曲线和曲面可以用参数方程或者显式方程来表示。
如果我们想要计算曲线或曲面上某一点的切向量或法向量，我们可以使用微积分学中的求导和积分操作。
在这种情况下，莱布尼兹的方法比牛顿的方法更加自然和方便。
总之，牛顿和莱布尼兹的方法都非常重要，它们为微积分学和数学的发展做出了巨大的贡献。
现代数学家们在应用微积分学时也常常使用这两种方法的结合，以便更好地解决复杂的问题。
- 1 -。
析因数定理
析因数定理析因数定理，又称牛顿-莱布尼茨公式，是微积分中的一个重要定理，它是牛顿发现的关于多项式的基本定理之一。
析因数定理适用于任意一个多项式，它可以用来分解多项式成一个或多个低次多项式的乘积。
这是微积分中的一个非常重要的定理，具有广泛的应用。
下面我们将详细介绍析因数定理及其应用。
首先，什么是多项式？多项式是数学中的一个常见的代数表达式，它是由一系列的项（term）按照加法或减法的运算方式组合而成的。
在多项式中，每一项都是由一个常数乘以一串字母的幂次的乘积组成，其中常数称为系数，字母的幂次称为次数。
现在我们来介绍析因数定理。
如果一个多项式P(x)除以 (x-a)的余数为零，即 P(a) = 0，那么 (x-a) 就是多项式 P(x) 的一个因子。
这个定理表示，如果一个多项式在某个特定的值上取值为零，那么这个值就是该多项式的一个根（零点）。
例如，我们考虑一个三次多项式 P(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 2。
现在我们要找到 P(x) 的因子。
根据析因数定理，如果我们能找到一个 x-a，使得 P(a)=0，那么 x-a 就是 P(x) 的一个因子。
因此，我们可以假设 x-2 是 P(x) 的一个因子。
为了验证我们的猜测，我们将 P(x) 除以 (x-2)。
首先，我们将 P(x) 写成部分分式的形式，即 P(x) = (2x^3 -3x^2) + (x - 2)。
然后，我们用长除法的方法进行计算，将(2x^3 - 3x^2) + (x - 2) 除以 (x-2)。
具体计算过程如下：2x - 1(x-2) | 2x^3 - 3x^2 + x - 2- (2x^3 - 4x^2)-----------------x^2 + x - 2- (x^2 - 2x)------------------3x - 2- (3x - 6)----------------4计算结果为 x^2 + x - 2 + (4/(x-2))。
数学分析9.2牛顿—莱布尼茨公式
数学分析9.2牛顿—莱布尼茨公式-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第九章 定积分 2 牛顿—莱布尼茨公式定理9.1：若函数f 在[a,b]上连续，且存在原函数F ，即F ’(x)=f(x)， x ∈[a,b]，则f 在[a,b]上可积，且⎰ba f (x)dx=F(a)-F(b)，称为牛顿—莱布尼茨公式，常写成：⎰ba f (x)dx=F(x)ba .证：对[a,b]上的任一分割T={a=x 0,x 1,…,x n =b}，在每个小区间[x i-1,x i ]上对F(x)应用拉格朗日中值定理，则 分别存在ηi ∈(x i-1,x i )，i=1,2,…,n ，使得F(b)-F(a)=∑=-n1i 1-i i )]x (F )x ([F =i n1i i x △)η(F ∑='=i n1i i x △)η(f ∑=.∵f 在[a,b]上连续，从而一致连续，∴对任给的ε>0，存在δ>0，使 当x ’,x ”∈[a,b]且|x ’-x ”|<δ时，|f(x ’)-f(x ”)|<ab ε-. 于是，当△x i ≤║T ║<δ时，任取ξi ∈(x i-1,x i )，便有|ξi -ηi |<δ， ∴|i n1i i x △)ξ(f ∑=-[F(a)-F(b)]|=|i n1i i i x △])η(f )ξ([f ∑=-|≤i n1i i i x △)η(f )ξ(f ∑=-<a b ε-·∑=n 1i i x △=ε. 由定积分定义，得⎰b a f (x)dx=F(a)-F(b).例1：利用牛顿—莱布尼茨公式计算下列定积分： (1)⎰ba n x dx(n 为正整数)；(2)⎰ba x e dx ； (3)⎰ba 2xdx(0<a<b)； (4)⎰π0sinx dx ；(5)⎰202x -4x dx.解：(1)∵∫x ndx =1n x 1n +++C ，∴⎰b a nx dx=b a1n 1n x ++=1n a b 1n 1n +-++.(2)∵∫e x dx =e x+C ，∴⎰ba x e dx=e x ba =eb -e a .(3)∵∫2x dx =-x 1+C ，∴⎰b a 2xdx =-bax 1=-b 1-(-a 1)=a 1-b1.(4)∵∫sin xdx=-cosx+C ，∴⎰π0sinx dx=-cosx ba =-cos π-(-cos0)=2.(5)∵∫2x -4x dx=-32)x -(431+C ，∴⎰202x -4x dx=-232)x -(431=38.例2：利用定积分求极限：⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋯++++→2n 12n 11n 1lim ∞n.解：原式=n 1ni 11lim n1i ∞n⋅+∑=→=⎰+10x 1dx =ln(1+x)10=ln2. 注：和式n 1ni 11n1i ⋅+∑=是函数f(x)=x 11+在[0,1]上的一个积分和，这里所取的是等分分割，△x i =n 1，ξi =n i∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+n in 1-i , i=1,2,…,n.习题1、计算下列定积分：(1)⎰+103)(2x dx ；(2)⎰+1022x 1x -1dx ； (3)⎰2e e xlnx dx ；(4)⎰10-xx 2e -e dx ；(5)⎰32x tan πdx ；(6)⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+94x 1x dx ；(7)⎰+40x 1dx ；(8)⎰e e 12x )(ln x 1dx. 解：(1)⎰+103)(2x dx=(x 2+3x)10=4.(2)⎰+1022x 1x -1dx=(2arctanx-x)1=2π-1. (3)⎰2e exlnxdx=lnlnx 2e e=ln2-ln1=ln2.(4)⎰10-x x 2e -e dx=21(e x +e -x )10=21(e+e -1-2).(5)⎰302x tan πdx=(tanx-x)|30π=3-3π.(6)⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+94x 1x dx=|943x 2x 32⎪⎭⎫ ⎝⎛+=(18+6)-(316+4)=344. (7)令t =x ，则⎰+4x1dx =⎰+4t12tdt=2(t-ln|1+t|)|20=4-2ln3. (8)⎰ee 12x )(ln x 1dx=31(lnx)3|ee1=32.2、利用定积分求极限： (1))n 21(n 1lim334∞n +⋯++→；(2)⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⋯++++→222∞n n)n (12)n (11)n (1n lim ； (3)⎪⎭⎫⎝⎛+⋯++++→2222∞n2n 12n 11n 1n lim ；(4)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⋯++→n)1(n sin n2sin nsin n 1lim ∞nπππ. 解：(1)原式=n 1n i lim n1i 3∞n ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=→=⎰103x dx=4x 41=41.(2)原式=n 1n i 11lim n1i 2∞n ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑=→=⎰+102)x 1(1dx=-x 11+10=21.(3)原式=n1n i 11lim n1i 2∞n ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑=→=⎰+102x 11dx=arcttan 10=4π. (4)原式=n n 1)-(i sin lim 1n1i ∞nπππ⋅∑=→=⎰ππx sin 1dx=-cosx1ππ=π2.3、证明：若f 在[a,b]上可积，F 在[a,b]上连续，且除有限个点外有F ’(x)=f(x)，则有：⎰ba f (x)dx=F(a)-F(b).证：设除有限个点：y 1,y 2,…,y m 外有F ’(x)=f(x).对[a,b]上的任一分割T ’，T={a=x 0,x 1,…,x n =b}是分割T ’添加分点y 1,y 2,…,y m 后所得到的分割. 在每个小区间[x i-1,x i ]上对F(x)应用拉格朗日中值定理，则 分别存在ηi ∈(x i-1,x i )，i=1,2,…,n ，使得F(b)-F(a)=∑=-n1i 1-i i )]x (F )x ([F =i n1i i x △)η(F ∑='=i n1i i x △)η(f ∑=.∵f 在[a,b]上可积，∴f 在[a,b]上连续，从而一致连续，∴对任给的ε>0，存在δ>0，使 当x ’,x ”∈[a,b]且|x ’-x ”|<δ时，|f(x ’)-f(x ”)|<ab ε-. 于是， 当△x i ≤║T ║<δ时，任取ξi ∈(x i-1,x i )，便有|ξi -ηi |<δ， ∴|i n1i i x △)ξ(f ∑=-[F(a)-F(b)]|=|i n1i i i x △])η(f )ξ([f ∑=-|≤i n1i i i x △)η(f )ξ(f ∑=-<a b ε-·∑=n 1i i x △=ε. 由定积分定义，得⎰b a f (x)dx=F(a)-F(b).。
牛顿-莱布尼茨公式综述
牛顿-莱布尼茨公式综述1、简介：牛顿-莱布尼兹公式，通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。
牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间 [ a，b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a，b ]上的增量。
牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式，1677年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。
因为二者最早发现了这一公式，于是命名为牛顿-莱布尼茨公式。
牛顿-莱布尼茨公式给定积分提供了一个有效而简便的计算方法，大大简化了定积分的计算过程。
2、定义：如果函数在区间上连续，并且存在原函数，则或[F(x)]a b3、证明：（1）积分上限函数在证明牛顿莱布尼茨公式前，需引入积分上限函数的概念为证明牛顿莱布尼茨公式铺路架桥。
a.定义：设函数f(x)在区间[a，b]上可积，且对任意在[a，x]上也可积，称变上限定积分为的积分上限函数，记为即b.原函数存在定理：设函数在区间[a，b]上连续，则积分上限函数在[a，b]上可导，并且即Φ(x)为f（x）的一个原函数。
这个定理一方面肯定了连续函数的原函数是存在的，另一方面初步的揭示了积分学中的定积分与原函数之间的关系。
因此，我们就有可能通过原函数来计算定积分。
C.证明：对于任意给定的给x以增量其绝对值足够的小，使得由的定义及定积分对区间的可加性，有再由定积分中值定理，得其中，在和之间。
由于假设f（x）在[a,b]上连续，令则从而由的连续性，得根据导数定义，得即证毕。
（2）牛顿-莱布尼茨公式：已知函数F（x）是连续函数f(x)的一个原函数，又根据原函数存在定理知，积分上限的函数也是f(x)的一个原函数。
于是这两个原函数之差F(x)-Φ(x)在[a,b]上必定是某一个常数C，即F(x)-Φ(x)=C (a≤x≤b).a f(x)dx=0可知Φ(a)=0.在上式中x=a，得F(a)-Φ(a)=C.又由Φ(x)的定义式及∫a因此C=F(a)。
牛顿-莱布尼茨公式3
考点、牛顿—莱布尼茨公式（N —L 公式）
定理：设函数在区间上连续，为的一个原函数，则. 该公式揭示了定积分与不定积分的内在联系，即定积分之值等于被积函数的任一原函数在积分区间上的增量，同时给出了计算定积分的一种简便方法：当被积函数的原函数可以求出时，计算定积分时只要将积分上限和下限分别代入所求出的原函数，取其差值即可。
（1）
=
（2）
= 注：利用N —L 公式，要满足定理中的条件：在上连续，且的原函数等表示出来。
N —L 公式是计算定积分常用且简便的方法。
真题2017：定积分3221d x x ⎰= 解析：21x 在[2,3]上联系，满足牛顿-莱布尼茨公式，6
1213113
2=+-=-x 真题2017：下列积分可以用牛顿-莱布尼茨公式进行计算的是
A. 20d x xe x ⎰
B.201d 1x x -⎰
C.11d ln e e x x x ⎰
D.1211d 1x x --⎰ 解析：满足
函数在区间上连续，才可以用牛顿-莱布尼茨公式，只有
A 在[a,b]上连续,答案选A 。
真题2017：定积分1
0(2)d 2x k x +=⎰，则k 的值是 A.0 B.1 C.-1 D.2 解析：可知2x+k 在【0,1】上连续，满足牛顿莱布尼茨公式，故211
02=+=+k kx x ，
k=1，答案选B
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f x [],a b ()F x ()f x ()()()()
b b
a a f x dx F x F
b F a ==-⎰()f x [],a b ()f x ()f x [],a b。
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练习题
一、填空题： x2 b d 2 e dx =_______ . 1、 a dx x d f ( x ))dx __________ . 2、 ( a dx d 2 3 t ln( t 2 1)dt _______ . 3、 dx x 2 x2 , 0 x 1 4、 0 f ( x )dx ____，其中 f ( x ) . ) f [ ( x)] ( x)
例1
e 求 lim cos x
x 0
1
t 2 2
dt
0 分析：这是 型不定式，应用洛必达法则. 0 d 1 t 2 d cos x t 解 e dt e dt , dx cos x dx 1
2
三、计算下列各定积分： 2 1 2 1、 ( x 2 )dx ; 1 x 4 2 0 3x 3x 1 dx ; 3、 1 2 x 1
2、
1 2 1 2
dx 1 x
2
;
4、0 sin x dx .
2
四、求下列极限： 1、 lim
( e dt ) 2
t2 x 0 x 0
定理的重要意义： （1）肯定了连续函数的原函数是存在的.
x
（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之 间的联系.
三、牛顿—莱布尼茨公式
定理 3（微积分基本公式）
[a , b ] 上 如果F ( x ) 是连续函数 f ( x ) 在区间
的一个原函数，则a f ( x )dx F (b) F (a ) .
四、1、0；
1 2、 . 10
5 六、 , 0. 3 3 0 , x 0 1 七、( x ) (1 cos x ) , 0 x . 2 1 , x
4. 微积分基本公式
设 f ( x) C [a, b] , 且 F ( x) f ( x) , 则有
a f ( x) d x f ( )(b a) F ( )(b a) F (b) F (a)
积分中值定理 微分中值定理 牛顿 – 莱布尼兹公式
b
思考题
t x f ( u)du 是x 的函数还是
大值与最小值 . 1 sin x , 当0 x 时， 七、设 f ( x ) 2 0 ，当x 0或x 时， x 求（x ) 0 f ( t )dt 在( , ) 内的表达式 .
八、设 f ( x )在 a , b 上连续且 f ( x ) 0 , x x dt F ( x ) f ( t )dt ,证明： a b f (t ) （1） 、F ' ( x ) 2 ; （2） 、方程 F ( x ) 0 在( a , b ) 内有且仅有一个根 .
5、设 I 1
cos mx cos nxdx ,
sin mx sin nxdx ，
（1） 、当m n 时， I 1 =__ ,I 2 =_____ ， （2） 、当m n 时，I 1 =___ ,I 2 =_____ . 6、设 （1） 、当m n 时， I 3 =____ , （2） 、当m n 时， I 3 =_____ . 7、4
b
例4
求 ( 2 cos x sin x 1)dx .
0
2
解
原式 2 sin x cos x x 0
2
3 . 2
例5
求 2 max{ x , x }dx.
2
2
y
解
由图形可知
y x2
2
f ( x ) max{ x , x }
y x
2
x 2 x 0 x 0 x 1 , x2 1 x 2
a
x
(补充) 变限积分求导:
d ( x) f (t ) d t f [ ( x)] ( x) dx a ( x) d ( x) d a f ( t ) d t f ( t ) d t f ( t ) d t a d x ( x ) dx ( x )
练习题答案
一、1、0； 2、 f ( x ) f ( a ) ； 3、 3 x ln( x 2 1) ； 5 4、 ； 5、(1) , ； (2)0,0； 6 1 7、45 ; 8、 ； 9、1. 6 6 1 cos x 二、1、 ； 2、 2 ； 2 t ln t sin x 1 2 (sin x cos x ) cos( sin x)； 3、 4、 2 . 5 三、 1、2 ； 2、 ； 3、 1 ； 4、4. 8 3 4
2
0 2 1 2 0 1
o
1
2
x
原式 x dx xdx x 2dx
2
11 . 2
例7
求
1
2
1 解 当 x 0 时， 的一个原函数是ln | x | , x 1 1 1 dx 2 x ln | x | 2 ln1 ln 2 ln 2. x 轴所围 例 8 计算曲线 y sin x 在[0, ] 上与
2
x
.
e
cos2 x
(cos x ) sin x e
cos2 x
,
e cos x lim
x 0
1
t 2
dt
x2
sin x e lim x 0 2x
cos2 x
1 . 2e
例2
设 f ( x ) 在[0,1]上连续，且 f ( x ) 1.证明
记 ( x ) f ( t )dt .
a
x
积分上限函数
积分上限函数的性质
定理１ 如果 f ( x ) 在[a , b] 上连续，则积分上限的函 数 ( x )
f ( t )dt 在[a , b] 上具有导数，且它的导 d x f ( t )dt f ( x ) (a x b) 数是 ( x ) a dx
v ( t )dt s(T2 ) s(T1 ). 其中 s(t ) v(t ). T
1
T2
二、积分上限函数及其导数
x 设函数 f ( x ) 在区间[a , b] 上连续，并且设
为[a , b]上的一点， 考察定积分
a
x
f ( x )dx a f ( t )dt
x
如果上限x 在区间[a , b] 上任意变动，则对于 每一个取定的x 值，定积分有一个对应值，所以 它在[a , b]上定义了一个函数，
成的平面图形的面积.
1 dx. x
解
面积 A sin xdx
0
y
cos x 2.
0
o
x
四、小结
1.积分上限函数 ( x ) a f ( t )dt 2.积分上限函数的导数 ( x ) f ( x ) 3.变限积分求导公式
x
牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学 之间的关系．
2 x 0 f ( t )dt 1在[0,1]上只有一个解.
证 令 F ( x ) 2 x f ( t )dt 1,
0 x
x
f ( x ) 1,
F ( x ) 2 f ( x ) 0,
F ( x ) 在[0,1]上为单调增加函数. F (0) 1 0,
b
a f ( x )dx F (b) F (a ) F ( x )
b
b a
微积分基本公式表明：
一个连续函数在区间[a , b] 上的定积分等于 [a , b] 上的增量. 它的任意一个原函数在区间
求定积分问题转化为求原函数的问题. 注意 当a b 时， f ( x )dx F (b) F (a ) 仍成立. a
t 0 0 y x
dy 定，求 ； dx 2 x t u ln udu, 2 d y 1 ( t 1 ) 2、 设 ,求 2 ； 1 dx y 2 u 2 ln udu, t
d cos x 2 cos(t )dt ； 3、 dx sin x x dx g (1) . 4、设 g ( x ) 0 3 ，求 1 x
0
x
f ( x) ( x t ) f (t ) d t
x
0 f (t ) d t
2
x
2
0 f (t ) d t
0 x
f ( x) ( x ) f ( ) x
0 f (t ) d t
x
2
0
(0 x )
定理2（原函数存在定理）
如果 f ( x ) 在[a , b] 上连续，则积分上限的函 数 ( x ) a f ( t )dt 就是 f ( x ) 在[a , b] 上的一个 原函数.
b
设 f ( x ) 在[a , b] 上连续，则a f ( t )dt 与
x
u 的函数？它们 与
的导数存在吗？如存在等于什么？
思考题解答
a
x
f ( t )dt 与 x f ( u)du都是x 的函数
b
d x f ( t )dt f ( x ) a dx d b f ( u ) du f ( x ) dx x
x
e 2 t dt
2
;
2、 lim
x 0
1 x2
0
(1 cos t 2 )dt x
5 2
.
五、设 f ( x ) 为连续函数，证明:
x
0
f ( t )( x t )dt
(
0
x