根轨迹绘制的基本规则PPT课件
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的交点和倾角。
[解]：根轨迹有3支。起点为开环极点 p 1 0 , p 2 1 , p 3 5 , 无有限值零点，所以三支根轨迹都趋向无穷远。
渐近线与实轴的交点： pizi 152
nm 30
渐近线与实轴的倾角： q(2k1)60 ,180
nm
零极点分布和渐近线（红线） 如图所示。
5
180
60
z1
p3
(s p j)
i 1 n
1 得 j1 m
Kg
(s p j)
(s zi)
j 1
i1
当Kg= 0时，只有s = －pj (j = 1~n) 时，上式才能成立。而－pj是 开环传递函数的极点，所以根轨迹起始于开环极点。n阶系统有
n个开环极点，分别是n支根轨迹的起点。
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根轨迹的起点和终点
s
nm
s(1n 1m an 1 sbm 1)(K g)n 1m
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根轨迹的渐近线
san n1 m bm1(Kg)n 1m
设s=x+jy, 利用－1=cos(2k+1)π+jsin(2k+1)π，并根据德莫弗(De Moive)代数定理(cosq +jsinq )n= cos(nq )+jsin(nq )，上式可写为
Kg
i1
n
m
式中 an1 p j ，bm1 zi
j 1
i 1
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5
根轨迹的渐近线
s n m ( a n 1 b m 1 ) s n m 1 K g
当Kg→∞，由于m<n，故s→∞满足根轨迹方程，上式近似为
sn m (a n 1 b m 1 )sn m 1 K g
t
g(2k1)
nm
nm
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根轨迹的渐近线
y t( g 2 k 1 ) x a n 1 b m 1 t( g 2 k 1 )x n m n m n m
n
m
n
m
a n 1 b m 1j 1pji 1zi j 1pji 1zi
nm
5.根轨迹的渐近线： 若开环零点数m小于开环极点数n，则当系统的开环增益 Kg→∞时趋向无穷远处的根轨迹共有n-m条。这n-m条根轨迹 趋向无穷远的方位可由渐近线决定。
由根轨迹方程可得： n
(s p j)
j 1 m
Kg
(s zi)
n
i 1
(spj)
j1
m
(szi)
ssm n a bm n11ssnm 11 ab11ssab00
由根轨迹方程
m
m
K g ( s zi )
i 1 n
1
(s p j)
得
(s
i 1
n
(s
zi ) p j)
1 Kg
j 1
j 1
当Kg= ∞时，① s = －zi (i = 1~m) ，上式成立。 －zi是开环传递函
数有限值的零点，有m个。故n阶系统有m支根轨迹的终点在m个
有限零点处。②若n>m，那么剩余的n-m个终点在无穷远处。
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2
根轨迹的支数和起始点
3、根轨迹的支数：
n阶特征方程有n个根。当Kg 从0到无穷大变化时， n个根在复平
面内连续变化组成n支根轨迹。即根轨迹的支数等于系统阶数。
4、根轨迹的起点和终点：
根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。
Kg= 0时为起点， Kg= ∞时为终点。
由根轨迹方程
m
n
K g ( s zi )
nm
nm
这是与实轴交点为－，斜率为 tg (2k 1) 的直线方程。也就
nm
是渐近线方程。渐近线与实轴的夹角(称为渐近线的倾斜角为
q (2 k 1 ) k0 , 1 , 2
nm
180 0
nm1
90
90 0
nm2
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180 60
0
60
nm3
180
45
45 0
nm4
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[例4-2]系统开环传递函数为：Gk(s)s(sK 1)g(s5) ，试确定根 轨迹支数，起点和终点。若终点在无穷远处，求渐近线与实轴
第二节 根轨迹绘制的基本规则
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1
根轨迹的连续性和对称性
一、根轨迹绘图的基本规则 用解析法或试探法绘制根轨迹很烦琐。下面讨论的内容通
过研究根轨迹和开环零极点的关系，根轨迹的特殊点，渐近线 和其他性质将有助于减少绘图工作量，能够较迅速地画出根轨
迹的大致形状和变化趋势。以下的讨论是针对参数Kg的180度根
x j y a n n 1 m b m 1 K g n 1 m c( o 2 n k s m 1 ) js( i 2 n k n m 1 )
xan n 1 m bm 1K g n 1mco (2 n k s m 1 )
1
yKgnmsi
n(2k1)
nm
y xan1bm1
snm(1an1 sbm 1)Kg
两边开n-m次方
s(1an 1 sbm 1)n 1m(K g)n 1m
利用二项式定理
( 1 x ) K 1 K K ( K x 1 ) x 2 K ( K 1 ) ( K I 1 ) x I ( 1 x 1 )
2 !
I !
当 x1时，(1x)K 1Kx，令 xan1bm1 ， K 1
轨迹的性质。
1、根轨迹的连续性：
闭环系统特征方程的某些系数是增益Kg的函数。当Kg从0到
无穷变化时，这些系数是连续变化的。故特征方程的根是连续 变化的，即根轨迹曲线是连续曲线。
2、根轨迹的对称性：
一般物理系统特征方程的系数是实数，其根必为实根或共轭 复根。即特征根位于复平面的实轴上或对称于实轴。
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2 1 0
60
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实轴上的根轨迹
6、实轴上的根轨迹：
实轴上具有根轨迹的区间是：其右方开 环系统的零点数和极点数的总和为奇数。 [证明]：例如在实轴上有两个开环极点p1、 p2，复平面上有一对共轭极点p3、 p4和一对 共轭零点z1、 z2 。 先看试验点s1点： ①成对出现的共轭极点p3、 p4对实轴上任意 试探点构成的两个向量的相角之和为0°；
由根轨迹方程知：当s→∞时
m
根轨迹方 ls i 程 min1((s左 s p zij))边 ls i m ssm n ls i m sn1m0 j1
根轨迹方程 li右 m边 1 0 Kg Kg
我们称系统有n－m个无限远零点。有限值零点加无穷远零 点的个数等于极点数。
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根轨迹的渐近线
[解]：根轨迹有3支。起点为开环极点 p 1 0 , p 2 1 , p 3 5 , 无有限值零点，所以三支根轨迹都趋向无穷远。
渐近线与实轴的交点： pizi 152
nm 30
渐近线与实轴的倾角： q(2k1)60 ,180
nm
零极点分布和渐近线（红线） 如图所示。
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180
60
z1
p3
(s p j)
i 1 n
1 得 j1 m
Kg
(s p j)
(s zi)
j 1
i1
当Kg= 0时，只有s = －pj (j = 1~n) 时，上式才能成立。而－pj是 开环传递函数的极点，所以根轨迹起始于开环极点。n阶系统有
n个开环极点，分别是n支根轨迹的起点。
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根轨迹的起点和终点
s
nm
s(1n 1m an 1 sbm 1)(K g)n 1m
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根轨迹的渐近线
san n1 m bm1(Kg)n 1m
设s=x+jy, 利用－1=cos(2k+1)π+jsin(2k+1)π，并根据德莫弗(De Moive)代数定理(cosq +jsinq )n= cos(nq )+jsin(nq )，上式可写为
Kg
i1
n
m
式中 an1 p j ，bm1 zi
j 1
i 1
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根轨迹的渐近线
s n m ( a n 1 b m 1 ) s n m 1 K g
当Kg→∞，由于m<n，故s→∞满足根轨迹方程，上式近似为
sn m (a n 1 b m 1 )sn m 1 K g
t
g(2k1)
nm
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根轨迹的渐近线
y t( g 2 k 1 ) x a n 1 b m 1 t( g 2 k 1 )x n m n m n m
n
m
n
m
a n 1 b m 1j 1pji 1zi j 1pji 1zi
nm
5.根轨迹的渐近线： 若开环零点数m小于开环极点数n，则当系统的开环增益 Kg→∞时趋向无穷远处的根轨迹共有n-m条。这n-m条根轨迹 趋向无穷远的方位可由渐近线决定。
由根轨迹方程可得： n
(s p j)
j 1 m
Kg
(s zi)
n
i 1
(spj)
j1
m
(szi)
ssm n a bm n11ssnm 11 ab11ssab00
由根轨迹方程
m
m
K g ( s zi )
i 1 n
1
(s p j)
得
(s
i 1
n
(s
zi ) p j)
1 Kg
j 1
j 1
当Kg= ∞时，① s = －zi (i = 1~m) ，上式成立。 －zi是开环传递函
数有限值的零点，有m个。故n阶系统有m支根轨迹的终点在m个
有限零点处。②若n>m，那么剩余的n-m个终点在无穷远处。
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根轨迹的支数和起始点
3、根轨迹的支数：
n阶特征方程有n个根。当Kg 从0到无穷大变化时， n个根在复平
面内连续变化组成n支根轨迹。即根轨迹的支数等于系统阶数。
4、根轨迹的起点和终点：
根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。
Kg= 0时为起点， Kg= ∞时为终点。
由根轨迹方程
m
n
K g ( s zi )
nm
nm
这是与实轴交点为－，斜率为 tg (2k 1) 的直线方程。也就
nm
是渐近线方程。渐近线与实轴的夹角(称为渐近线的倾斜角为
q (2 k 1 ) k0 , 1 , 2
nm
180 0
nm1
90
90 0
nm2
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180 60
0
60
nm3
180
45
45 0
nm4
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[例4-2]系统开环传递函数为：Gk(s)s(sK 1)g(s5) ，试确定根 轨迹支数，起点和终点。若终点在无穷远处，求渐近线与实轴
第二节 根轨迹绘制的基本规则
11/18/2020
1
根轨迹的连续性和对称性
一、根轨迹绘图的基本规则 用解析法或试探法绘制根轨迹很烦琐。下面讨论的内容通
过研究根轨迹和开环零极点的关系，根轨迹的特殊点，渐近线 和其他性质将有助于减少绘图工作量，能够较迅速地画出根轨
迹的大致形状和变化趋势。以下的讨论是针对参数Kg的180度根
x j y a n n 1 m b m 1 K g n 1 m c( o 2 n k s m 1 ) js( i 2 n k n m 1 )
xan n 1 m bm 1K g n 1mco (2 n k s m 1 )
1
yKgnmsi
n(2k1)
nm
y xan1bm1
snm(1an1 sbm 1)Kg
两边开n-m次方
s(1an 1 sbm 1)n 1m(K g)n 1m
利用二项式定理
( 1 x ) K 1 K K ( K x 1 ) x 2 K ( K 1 ) ( K I 1 ) x I ( 1 x 1 )
2 !
I !
当 x1时，(1x)K 1Kx，令 xan1bm1 ， K 1
轨迹的性质。
1、根轨迹的连续性：
闭环系统特征方程的某些系数是增益Kg的函数。当Kg从0到
无穷变化时，这些系数是连续变化的。故特征方程的根是连续 变化的，即根轨迹曲线是连续曲线。
2、根轨迹的对称性：
一般物理系统特征方程的系数是实数，其根必为实根或共轭 复根。即特征根位于复平面的实轴上或对称于实轴。
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实轴上的根轨迹
6、实轴上的根轨迹：
实轴上具有根轨迹的区间是：其右方开 环系统的零点数和极点数的总和为奇数。 [证明]：例如在实轴上有两个开环极点p1、 p2，复平面上有一对共轭极点p3、 p4和一对 共轭零点z1、 z2 。 先看试验点s1点： ①成对出现的共轭极点p3、 p4对实轴上任意 试探点构成的两个向量的相角之和为0°；
由根轨迹方程知：当s→∞时
m
根轨迹方 ls i 程 min1((s左 s p zij))边 ls i m ssm n ls i m sn1m0 j1
根轨迹方程 li右 m边 1 0 Kg Kg
我们称系统有n－m个无限远零点。有限值零点加无穷远零 点的个数等于极点数。
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根轨迹的渐近线