高数总结：基本初等函数图像及其性质

基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数）y =C（其中C 为常数）；α1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。

且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。

函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。

三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。

1(3.（选，补充）指数函数值的大小比较*N ∈a ；a.底数互为倒数的两个指数函数x a x f =)(，xa x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1)(的函数图像关于y 轴对称。

b.1.当1>a 时，a 值越大，xa y =的图像越靠近y 轴；b.2.当10<<a 时，a 值越大，x a y =的图像越远离y 轴。

4.指数的运算法则（公式）；a.整数指数幂的运算性质),,0(Q n m a ∈≥；(1) n m n m a a a +=⋅(2)nm n m aa a -=÷(3)()()mn nm n m aa a ==(4) ()nnnba ab =b.根式的性质； (1)()a a nn= ； (2)当n 为奇数时，a a nn =当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0(0)(a a a a a a nnc.分数指数幂；(1))1,,,0(*>∈>=n Z n m a a a n m nm(2))1,,,0(11*>∈>==-n Z n m a a aanmnm nm yxf x xxx g ⎪⎫⎛=1)(四、对数函数x y a log =(a 是常数且1,0≠>a a )，定义域),0(+∞∈x [无界]1.对数的概念：如果a(a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是 N a b=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式。

对数函数x y a log =与指数函数x a y =互为反函数，所以x y a log =的图象与x a y =的图象关于直线x y =对称。

2.常用对数：N 10log 的对数叫做常用对数，为了简便，N 的常用对数记作N lg 。

3.自然对数：使用以无理数7182.2=e 为底的对数叫做自然对数，为了简便，N 的自然对数N e log 简记作N ln 。

4.对数函数的图象：5.对数函数的性质；1）对数函数的图形为于y 轴的右方，并过点(1,0)；2）当1>a 时，在区间(0,1)，y 的值为负，图形位于x 的下方；在区间(1, +∞)，y 值为正，图形位于x 轴上方，在定义域是单调增函数。

1<a 在实际中很少用到。

x a )1(>a)10(<<a6.（选，补充）对数函数值的大小比较*N ∈a ；a.底数互为倒数的两个对数函数x y a log =，x y a1log =的函数图像关于x 轴对称。

b.1. 当1>a 时，a 值越大，x x f a log )(=的图像越靠近x 轴；b.2. 当)10(<<a 时，a 值越大，x x f a log )(=的图像越远离x 轴。

7.对数的运算法则（公式）；a.如果a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么： ()N M MN a a a log log log +=N M N Ma a a log log log -=Mn M a n a log log =b.对数恒等式：N a N a =log )010(>≠>N a a ，且c.换底公式： (1)bNN a a b log log log =（1,0≠>a a ，一般常常换为e 或10为底的对数,即b NN b ln ln log =或bNN b lg lg log =）(2)由公式和运算性质推倒的结论：b mnb a n a n log log =d.对数运算性质(1)1的对数是零，即01log =a ；同理01ln =或01lg = (2)底数的对数等于1，即1log =a a ；同理1ln =e 或110lg =xa x a1x2xx 3log )(=x 21x x 31log )(=五、三角函数1.正弦函数x y sin =,有界函数，定义域),(+∞-∞∈x ，值域]1,1[+-∈y图象：五点作图法：0，2π，π，23π，π22.余弦函数x y cos =，有界函数，定义域),(+∞-∞∈x ，值域]1,1[+-∈y图象：五点作图法：0，2π，π，23π，π23.正、余弦函数的性质；性质函数xy sin =)(Z k ∈x y cos =)(Z k ∈定义域 R值域[-1,1] [-1,1] 奇偶性 奇函数偶函数周期性 π2=Tπ2=T对称中心 )0,(πk)0,2(ππk对称轴2ππ+=k x )0,2(ππ+k单调性在⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∈22,22ππππk k x 上是增函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∈232,22ππππk k x 上是减函数在[]πππk k x 2,2-∈上是增函数 在[]πππ+∈k k x 2,2上是减函数最值22ππ+=k x 时，1max =y 22ππ+=k x 时，1min -=yπk x 2=时，1max =yππ+=k x 2时，1min -=yx y tan =的图像x y cot =的图像6.正、余切函数的性质；8.余割函数xx y sin 1csc ==，无界函数，定义域{})(,Z k k x x ∈≠π，值域1csc ≥x9.正、余割函数的性质；x y sec =的图像x y csc =的图像六、反三角函数1.反正弦函数x y arcsin =，无界函数，定义域[-1,1]，值域],0[πA.反正弦函数的概念：正弦函数x y sin =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上的反函数称为反正弦函数，记为x y arcsin =2.反余弦弦函数x y arccos =，无界函数，定义域[-1,1]，值域],0[πB.反余弦函数的概念：余弦函数x y cos =在区间π,0上的反函数称为反余弦函数，记为y =x y arcsin =的图像 x y arccos =的图像3.反正、余弦函数的性质；4.反正切函数x y arctan =，有界函数，定义域),(+∞-∞∈x ,值域⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππC.反正切函数的概念：正切函数x y tan =在区间⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ上的反函数称为反正切函数，记为x y arctan =5.反余切函数x arc y cot =，有界函数，定义域),(+∞-∞∈x ,值域()π,0D.反余切函数的概念：余切函数x y cot =在区间()π,0上的反函数称为反余切函数，记为x arc y cot =xy arctan =的图像 x arc y cot =的图像6.反正、余弦函数的性质；三角函数公式汇总一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=。

正弦：r y =αsin 余弦：r x=αcos 正切：xy=αtan 余切：y x =αcot正割：xr=αsec 余割：y r =αcsc二、同角三角函数的基本关系式倒数关系：1csc sin =⋅αα，1sec cos =⋅αα，1cot tan =⋅αα商数关系：αααcos sin tan =，αααsin cos cot =平方关系：1cos sin22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+三、诱导公式x 轴上的角，口诀：函数名不变，符号看象限；y 轴上的角，口诀：函数名改变，符号看象限。

四、和角公式和差角公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=-βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=-五、二倍角公式αααcos sin 22sin =ααα2tan 1tan 22tan -=ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=二倍角的余弦公式常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=- 2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=-22cos 1cos 2αα+=，22sin 1sin 2αα+=，ααααα2cos 12sin 2sin 2cos 1tan +=-=六、三倍角公式)3sin()3sin(sin 4sin 4sin 33sin 3απαπααα+-=-=)3cos()3cos(cos 4cos 3cos 43cos 3απαπααα+-=-=)3tan()3tan(tan tan 31tan tan 33tan 23απαπααααα+-=--= 七、和差化积公式2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+ 2sin2cos2sin sin βαβαβα-+=-2cos2cos2cos cos βαβαβα-+=+ 2sin2sin2cos cos βαβαβα-+-=-八、辅助角公式)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a其中：角ϕ的终边所在的象限与点),(b a 所在的象限相同，22sin b a b +=ϕ，22cos ba a+=ϕ，a b=ϕtan 九、三角函数的周期公式函数)sin(ϕω+=x A y ，R x ∈及函数)cos(ϕω+=x A y ，R x ∈(A,ϕω,,为常数，且0,0>≠ωA )周期： ωπ2=T函数)tan(ϕω+=x A y ，Z k k x ∈+≠,2ππ(A,ϕω,,为常数，且0,0>≠ωA )周期： ωπ=T 十、正弦定理R C cB b A a 2sin sin sin ===（R 为ABC ∆外接圆半径） 十一、余弦定理A bc c b a cos 2222⋅-+=B ac c a b cos 2222⋅-+=C ab b a c cos 2222⋅-+=。