高考中档大题规范练(二)
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高考中档大题规范练
(二)数 列
1．已知函数f (x )＝7x ＋5x ＋1
，数列{a n }满足：2a n ＋1－2a n ＋a n ＋1a n ＝0且a n ≠0.数列{b n }中，b 1＝f (0)且b n ＝f (a n －1)．
(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 是等差数列； (2)求数列{|b n |}的前n 项和T n .
2．已知等差数列{a n }是递增数列，且满足a 4·a 7＝15，a 3＋a 8＝8.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)令b n ＝19a n －1a n (n ≥2)，b 1＝13
，求数列{b n }的前n 项和S n .
3．(2015·天津)已知数列{a n }满足a n ＋2＝qa n (q 为实数，且q ≠1)，n ∈N *，a 1＝1，a 2＝2，且a 2＋a 3，a 3＋a 4，a 4＋a 5成等差数列．
(1)求q 的值和{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝log 2a 2n a 2n －1
，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和．
4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n ＋n 2－1，数列{b n }满足3n b n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ，且b 1＝3.
(1)求a n ，b n ；
(2)设T n 为数列{b n }的前n 项和，求T n ，并求满足T n <7时n 的最大值．
5．(2015·广东)数列{a n }满足：a 1＋2a 2＋…＋na n ＝4－
n ＋22n －1，n ∈N *
. (1)求a 3的值；
(2)求数列{a n }前n 项和T n ；
(3)令b 1＝a 1，b n ＝
T n －1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n a n (n ≥2)，证明：数列{b n }的前n 项和S n 满足S n <2＋2ln n .
答案精析
高考中档大题规范练
(二)数 列
1．(1)证明 由2a n ＋1－2a n ＋a n ＋1a n ＝0 得1a n ＋1－1a n ＝12
， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列．
(2)解 因为b 1＝f (0)＝5，
所以7a 1－1＋5a 1－1＋1
＝5， 7a 1－2＝5a 1，所以a 1＝1，
1
a n ＝1＋(n －1)×12，所以a n ＝2n ＋1.
b n ＝7a n －2a n
＝7－(n ＋1)＝6－n . 当n ≤6时，T n ＝n 2
(5＋6－n )＝n 11－n 2； 当n ≥7时，T n ＝15＋
n －62(1＋n －6) ＝n 2－11n ＋60
2.
所以，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n 11－n 2，n ≤6，
n 2－11n ＋602，n ≥7.
2．解 (1)根据题意a 3＋a 8＝8＝a 4＋a 7，a 4·a 7＝15，
所以a 4，a 7是方程x 2