状态空间模型及标准形——自动控制原理
合集下载
自动控制原理控制系统分析与设计-状态空间方法1——基础部分
t
)
RC
duC ( dt
t
)
uC
(
t
)
u(
t
)
状态方程
x1 x2
x1
x2
0 1
LC
1 R
L
x1 x2
0 1
u
该方法具有一般性,可用于 输入输出高阶微分方程
y 1
0
x x
1 2
输出方程
7
同一系统不同状态变量之间的关系？
前例R-L-C网络的两 种状态变量为
i
x
uc
和
0x
0 0
0
0
x u,
1
0
an1 b0
16
即 x Ax Bu
y Cx
0
1
0
0
0
1
A
0
0
0
a0 a1 a2
c 1 0 0 0
0 0
0
0
, b ,
1
0
an1
b0
输入端含导数项时如何建立状态空间表达式？
17
基于传递函数的直接分解法：
x2
1RL
C
1 L 0
x1 x2
1
L
0
u
y 0
1
x x
1 2
x1
x2
0 1
LC
1 R
L
x1 x2
0 1u
1 G( s ) LCs2 RCs 1
y 1
0
x x
1 2
由同一系统的不同状态空间表 达式导出的传递函数（阵）必 然相同
13
由微分方程或传递函数转化为状态空间模型
自动控制原理课件8状态空间分析法
1 2 3
解析法
通过解状态方程和输出方程，得到系统的状态和 输出响应。
数值法
采用数值计算方法，如欧拉法、龙格-库塔法等， 对状态方程和输出方程进行离散化求解，得到系 统的离散时间响应。
线性时不变系统的性质
分析线性时不变系统的稳定性、可控性和可观测 性等性质，为系统设计和控制提供依据。
状态空间模型的求解方法
在处理高阶系统时，计算量较大，需要借助计算机进行数值计算。 在实际应用中，可能需要对系统进行适当的简化或近似处理，以降低
计算复杂度和提高计算效率。
状态空间分析法的优势与局限性
01 02 03 04
局限性
对于非线性系统和时变系统，建立状态空间模型可能较为复杂。
在处理高阶系统时，计算量较大，需要借助计算机进行数值计算。 在实际应用中，可能需要对系统进行适当的简化或近似处理，以降低
描述输入对状态变量的影响。
状态方程的建立
状态变量的选择
选择系统的状态变量，通常基于系统 的物理性质和动态特性进行选择。
建立状态方程
根据状态变量和系统的动态特性，建 立状态方程，描述系统内部状态的变
化规律。
确定系统矩阵
根据状态方程，确定系统矩阵A和B， 其中A描述状态变量的时间导数，B
描述输入对状态变量的影响。
计算复杂度和提高计算效率。
02 状态空间模型的建立
02 状态空间模型的建立
状态方程的建立
状态变量的选择
选择系统的状态变量，通常基于系统 的物理性质和动态特性进行选择。
建立状态方程
根据状态变量和系统的动态特性，建 立状态方程，描述系统内部状态的变
化规律。
确定系统矩阵
根据状态方程，确定系统矩阵A和B， 其中A描述状态变量的时间导数，B
自动控制原理状态空间法
自动控制原理状态空间法
目录
• 引言 • 状态空间法基础 • 线性系统的状态空间表示 • 状态反馈与极点配置 • 最优控制理论 • 离散系Biblioteka 的状态空间表示01引言
状态空间法的定义
状态空间法是一种基于状态变量描述线性时不变系统的方法，通过建立系 统的状态方程和输出方程来描述系统的动态行为。
状态变量是能够完全描述系统内部状态的变量，可以是系统的物理量或抽 象的数学变量。
最优控制问题
在满足一定约束条件下，寻找一个控制输入， 使得被控系统的某个性能指标达到最优。
性能指标
通常为系统状态或输出函数的积分，如时间加 权或能量加权等。
约束条件
包括系统动态方程、初始状态、控制输入和终端状态等。
线性二次调节器问题
线性二次调节器问题是最优控制问题的一个特例， 其性能指标为系统状态向量的二次范数。
THANKS
状态方程描述了系统内部状态变量之间的动态关系，而输出方程则描述了 系统输出与状态变量之间的关系。
状态空间法的重要性
1
状态空间法提供了系统分析和设计的统一框架， 可以用于线性时不变系统的各种分析和设计问题。
2
通过状态空间法，可以方便地实现系统的状态反 馈控制、最优控制、鲁棒控制等控制策略。
3
状态空间法具有直观性和易于实现的特点，能够 直接反映系统的动态行为，便于理解和分析。
02
状态空间法基础
状态与状态变量
状态
系统在某一时刻的状态是由系统 的所有内部变量共同决定的。
状态变量
描述系统状态的变量，通常选择 系统的输入、输出和内部变量作 为状态变量。
状态方程的建立
根据系统的物理或数学模型，通过适 当的方法建立状态方程。
目录
• 引言 • 状态空间法基础 • 线性系统的状态空间表示 • 状态反馈与极点配置 • 最优控制理论 • 离散系Biblioteka 的状态空间表示01引言
状态空间法的定义
状态空间法是一种基于状态变量描述线性时不变系统的方法，通过建立系 统的状态方程和输出方程来描述系统的动态行为。
状态变量是能够完全描述系统内部状态的变量，可以是系统的物理量或抽 象的数学变量。
最优控制问题
在满足一定约束条件下，寻找一个控制输入， 使得被控系统的某个性能指标达到最优。
性能指标
通常为系统状态或输出函数的积分，如时间加 权或能量加权等。
约束条件
包括系统动态方程、初始状态、控制输入和终端状态等。
线性二次调节器问题
线性二次调节器问题是最优控制问题的一个特例， 其性能指标为系统状态向量的二次范数。
THANKS
状态方程描述了系统内部状态变量之间的动态关系，而输出方程则描述了 系统输出与状态变量之间的关系。
状态空间法的重要性
1
状态空间法提供了系统分析和设计的统一框架， 可以用于线性时不变系统的各种分析和设计问题。
2
通过状态空间法，可以方便地实现系统的状态反 馈控制、最优控制、鲁棒控制等控制策略。
3
状态空间法具有直观性和易于实现的特点，能够 直接反映系统的动态行为，便于理解和分析。
02
状态空间法基础
状态与状态变量
状态
系统在某一时刻的状态是由系统 的所有内部变量共同决定的。
状态变量
描述系统状态的变量，通常选择 系统的输入、输出和内部变量作 为状态变量。
状态方程的建立
根据系统的物理或数学模型，通过适 当的方法建立状态方程。
自动控制原理状态空间法共78页
Thank you
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
自动控制原理ห้องสมุดไป่ตู้态空间法
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
自动控制原理ห้องสมุดไป่ตู้态空间法
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
自动控制原理状态空间知识点总结
自动控制原理状态空间知识点总结自动控制原理是研究控制系统的基本原理、分析方法和综合设计理论的一门学科。
状态空间方法是自动控制原理中的重要内容之一，它是一种模型描述和分析控制系统动态特性的数学工具。
在本文中，将对自动控制原理状态空间的知识点进行总结和概述。
一、状态空间模型的基本概念在自动控制系统中，状态是指系统在某一时刻的内部信息或特性。
状态空间模型是一种用状态来描述系统动态特性的数学模型。
它由状态方程和输出方程组成。
其中，状态方程描述了系统状态随时间的演化规律，而输出方程则说明了系统状态与外部输入之间的关系。
二、状态空间模型的表示方法状态空间模型可以用矩阵表示，常用的表示方法有传递函数表示法和状态方程表示法。
传递函数表示法是通过系统的输入和输出之间的关系来描述系统的动态特性，而状态方程表示法则是通过系统的状态方程来描述系统的动态特性。
三、状态空间模型的性质1. 可观测性：指系统的状态是否能够通过系统的输出来唯一确定，即是否存在唯一解。
2. 可控性：指系统的状态是否能够通过控制输入来控制，即是否存在能够使系统达到任意状态的控制输入。
3. 稳定性：指系统在受到一定干扰或扰动后，是否能够以某种方式恢复到稳定状态。
四、状态空间模型的分析与设计方法状态空间模型的分析与设计方法包括系统的稳定性分析、传递函数与状态空间模型之间的转换、状态空间模型的求解方法等。
1. 稳定性分析：通过对状态空间模型的特征值进行分析，可以得到系统的稳定性信息。
2. 传递函数与状态空间模型之间的转换：传递函数和状态空间模型是描述系统动态特性的两种不同数学表达方式，它们之间可以相互转换。
3. 状态空间模型的求解方法：通过对状态空间模型的求解可以得到系统的时域响应和频域响应等信息。
五、状态观测器与状态反馈控制器状态观测器是一种用于估计系统状态的装置，通过对系统的输出进行测量，并结合系统的数学模型，可以对系统的状态进行估计。
状态反馈控制器是一种利用系统的状态信息对系统进行控制的装置，通过对系统状态进行测量，并将测量值带入控制器中进行计算，从而实现对系统的控制。
现代控制理论控制系统的状态空间模型
方程 x：小车的水平位移
x l sin : 摆心瞬时位置
m
x l
在水平方向，利用牛顿第二定律，得到
2024/6/22
9
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
设： x1 i(t) x2 uC (t)
x
x1
x2
A -1RL
-
1 L
0
C
1
b
L 0
C 0 1
x Ax bu
则可以写成状态空间表达式：
y Cx
内部描述
2024/6/22
10
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
uc
u
传函表示形式：
图 R-L-C网络
Uc (s)
1
U (s) LCS 2 RCS 1
外部描述
2024/6/22
7
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
一阶微分方程表示形式：
C
d uc dt
i
L
di dt
Ri
uc
u
di(t) R i(t) uC (t) u(t)
dt L
x1 x2
ub
x
x
a
18
1.1 状态空间模型
1.1.1 状态空间模型表达式
线性定常多变量系统
状态变量图：
输入向量
r×1 维
u
+ B
Bu
输入矩阵 +
n ×r维
传递矩阵 m×r维
x Ax Bu
y
Cx
Du
D
状态向量
+
x
∫
nx×1
维
自动控制原理课件8状态空间分析法
自动控制原理课件8状态空间分析 法
目录
• 状态空间分析法概述 • 线性系统的状态空间分析 • 非线性系统的状态空间分析 • 状态空间分析法的应用
01
状态空间分析法概述
Chapter
状态空间的概念
状态变量
描述系统动态行为的内部变量， 通常选取系统的输入、输出及内 部变量作为状态变量。
状态方程
描述系统内部状态变量之间关系 的数学模型，通常采用微分方程 或差分方程形式表示。
故障隔离和定位
结合状态空间方法和故障诊断算法，可以隔离和 定位故障源，提高故障处理的效率和准确性。
3
故障预测和预防
利用状态空间方法和数据挖掘技术，可以对控制 系统的故障进行预测和预防，降低故障发生的概 率。
THANKS
感谢观看
在控制系统仿真制系统的动态行为，验证 控制策略的有效性。
系统分析和调试
通过仿真实验，分析系统的性能指标，对系统进行调 试和优化。
多目标优化
利用状态空间方法，可以对多个性能指标进行优化， 实现多目标控制。
在控制系统故障诊断中的应用
1 2
故障检测和诊断
通过状态空间方法，可以检测和诊断控制系统的 故障，及时采取措施进行修复和维护。
状态方程定义
描述系统内部状态变量随时间变化的数学模型，通常表示为dx/dt = Ax + Bu，其中x是状态向量，u是输入向量，A 和B是系统矩阵。
建立状态方程
根据系统的物理特性和输入输出关系，通过适当的方法建立状态方程。
状态方程解法
通过求解状态方程，可以得到系统的状态响应。
线性系统的稳定性
稳定性的定义
极点配置的方法
通过求解线性矩阵不等式或优化问题，找到合适的 控制输入u(t)，使得系统的极点配置在期望的位置 上。
目录
• 状态空间分析法概述 • 线性系统的状态空间分析 • 非线性系统的状态空间分析 • 状态空间分析法的应用
01
状态空间分析法概述
Chapter
状态空间的概念
状态变量
描述系统动态行为的内部变量， 通常选取系统的输入、输出及内 部变量作为状态变量。
状态方程
描述系统内部状态变量之间关系 的数学模型，通常采用微分方程 或差分方程形式表示。
故障隔离和定位
结合状态空间方法和故障诊断算法，可以隔离和 定位故障源，提高故障处理的效率和准确性。
3
故障预测和预防
利用状态空间方法和数据挖掘技术，可以对控制 系统的故障进行预测和预防，降低故障发生的概 率。
THANKS
感谢观看
在控制系统仿真制系统的动态行为，验证 控制策略的有效性。
系统分析和调试
通过仿真实验，分析系统的性能指标，对系统进行调 试和优化。
多目标优化
利用状态空间方法，可以对多个性能指标进行优化， 实现多目标控制。
在控制系统故障诊断中的应用
1 2
故障检测和诊断
通过状态空间方法，可以检测和诊断控制系统的 故障，及时采取措施进行修复和维护。
状态方程定义
描述系统内部状态变量随时间变化的数学模型，通常表示为dx/dt = Ax + Bu，其中x是状态向量，u是输入向量，A 和B是系统矩阵。
建立状态方程
根据系统的物理特性和输入输出关系，通过适当的方法建立状态方程。
状态方程解法
通过求解状态方程，可以得到系统的状态响应。
线性系统的稳定性
稳定性的定义
极点配置的方法
通过求解线性矩阵不等式或优化问题，找到合适的 控制输入u(t)，使得系统的极点配置在期望的位置 上。
状态空间模型性能分析——《自动控制原理-理论篇》第8.5节
8.5.2 能控性分析----举例
例8-15
0 0 x 1 x u 设系统为 0 0 1 x x x y 1 1 试判能控性 . x
1 1 2 2 1 2
解:
1 0 S B AB ; rank s 1 n 1 0 S y CB CAB D 2 0 0; rank s y 1 m
若系统有一个状态变量不能由系统的输出唯一确定，
8.5.3 能观性分析----能观性判据
线性定常连续系统状态完全能观的充分必 要条件是其能观性矩阵
C CA V n 1 CA nmn
满秩,即
rankV n
8.5.3 能观性分析----举例
控制器 控制器 ˆ x 状态观测器
为了实现状态反馈，要能够测量全部状态，但实际状态往
往是难以测量的 能观性 -----
y(t)对x(t)的反映能力
这就需要从可以测量的输出中估计出来，状态估计的任
务就是设计状态观测器
能够从系统的输出中估计出状态？这就是系统能观性问题。
8.5.3 能观性分析----定义
例8-16 已知 系统的状态空间表达式
2 0 1 t x xt ut 1 1 1 yt 0 1xt
试分析能观性。
解:
C 0 1 V CA 1 1 rankV 2
试判断系统的稳定性。
解:
令 sI A s 1s 2 0 s1 1; s2 2
1 0 2 0 s 2 0 sI A s s 1s 2 1 s 1 0 1 1 1
自动控制原理状态空间设计知识点总结
自动控制原理状态空间设计知识点总结自动控制原理是探讨和研究如何实现系统的自动控制以达到预期目标的学科。
状态空间法是自动控制领域中一种重要的设计方法。
本文将对自动控制原理中的状态空间设计的知识点进行总结。
一、什么是状态空间法状态空间法是自动控制原理中一种用于描述和分析线性时不变系统的方法。
它通过引入状态变量和状态方程的概念，将系统的输入、输出和状态统一起来，从而使得系统的设计和分析更加方便和灵活。
在状态空间法中，系统被描述为一组由状态变量、输入和输出组成的方程，其中状态变量描述了系统的内部状态，输入是系统的外部指令或信号，输出是系统的响应结果。
二、状态空间模型的表示方式1. 状态方程表示状态方程是状态空间模型的一种常用表示方式。
它由一组常微分方程组成，描述了系统状态随时间的变化规律。
一般形式的状态方程可以表示为：dx(t)/dt = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t) + Du(t)其中，x(t)为n维状态向量，描述系统的内部状态；u(t)为m维输入向量，描述系统的外部输入；y(t)为p维输出向量，描述系统的响应结果；A、B、C、D为系统的系数矩阵。
2. 传递函数表示传递函数是状态空间模型的另一种常用表示方式。
它通过 Laplace 变换将系统的输入、输出表示为复频域函数的比值。
传递函数的一般形式为：G(s) = C(sI - A)^(-1)B + D其中，G(s)为传递函数，s为复变量，I为单位矩阵。
三、状态空间设计的基本步骤1. 确定系统的状态变量状态变量的选择对系统的描述和分析有重要影响。
一般来说，状态变量需要能够全面反映系统的内部状态，并且能够适应系统的控制要求。
2. 建立系统的状态方程根据系统的特点和要求，建立描述系统状态变化规律的状态方程。
可以根据物理原理、经验模型或者系统的观测数据进行建模。
3. 确定系统的输出方程输出方程描述了系统的响应结果如何与状态变量、输入信号相联系。
现代控制理论：控制系统的状态空间模型资料
a1n
A a21 a22
a2n
an1 an2
ann
系统矩阵，
n×n矩阵。
2020/10/7
16
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
x Ax bu y cx du
单输入单输出系统状态空间模型
b1
b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b2
bn
输入矩阵，n×1列矩阵。
c c1，c2， ，cn
输出矩阵，1×n行矩阵
线性时变系 统
x(t) A(t)x(t) B(t)u(t)
y(t)
C(t)
x(t)
D(t)u(t)
2020/10/7
15
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
x Ax bu y cx du
单输入单输出系统状态空间模型
x1
式中：
x
x2
xn
n维状态矢量
a11 a12
2020/10/7
13
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
状态向量: 用状态变量作为分量构成的向量。
x(t) [x1(t), x2 (t), , xn (t)]T
状态空间：以n个状态变量作为坐标轴所组成的n维空间。
状态方程：
x(t) f [x(t),u(t),t],
x(tk1) f [x(tk ), u(tk ), tk ]
输出方程： y(t) g[x(t),u(t),t]
y(tk ) g[x(tk ), u(tk ), tk ]
2020/10/7
14
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
线性定常系 统
x Ax Bu
自动控制原理ppt课件8状态空间分析法
将方程组改成矩阵微分方程的形式：
同理得输出方程
二、传递矩阵
零初始条件时,用拉氏变换的形式表示输出与输入关系如下:
用矩阵方程表示为：
可以写成：
G(s) 即为双输入双输出系统的传递矩阵
r 个输入量和 m个输出量的 系统传递矩阵 G(s)为：
三、系统状态空间表达式与传递矩阵的关系 设系统的状态空间表达式为 ： 对上式进行 拉氏变换： 若 X(0) = 0, 则 X(s)=(sI -A)-1BU(s)
状态方程是计算动态特性的线性定常系数矩阵 微分方程,输出方程是用来计算所观察参数的 线性代数方程。
表 8.1 经典和现代控制理论对比
时间 数学模型 数学工具 应用范围
应用情况
经典 1940-1960年
传递函数、微分方程
常微分方程、复变函 数、Laplace变换等 单输入单输出线性定 常连续、离散时变集 中参数系统
一、基本概念
1. 状态：系统的状态就是系统过去、现在和将来 的状况。系统的状态可以定义为信息的集合， 表征系统运动的信息。
2. 状态变量：指可以完全表征系统状态的最少个数的
一组变量 x1、x2、…、xn , 并且满足下列两个条件: (1)在任何时刻 t = t0 , 这组变量的值：
(2)
x1(t0)、x2(t0) 、…、xn(t0)
试判别该系统的可控性 解:
所以 因为rank M = 1, 所以该系统是不可控的
例 设系统为
试判别该系统的可控性 解:
所以 因为 rank M = 2 , 所以该系统是可控的
例 设系统为
试判别系统的可控性
解:
MM T 非奇异, 故 M 满秩 , 系统是
可控的
几点结论:
自动控制原理课件：状态空间分析
如果系统完全可观测的， 那么在t0≤t≤t1时间间隔内，给定 输出y(t)，就可由上述方程唯一确定x(0)。 这就要求nm×n维 可观测性矩阵的秩为n，即
C CA =n rankP = rank n −1 CA
必要性: 设rankP<n,则存在x(0), 使得Px(0)=0, 即
我们有
10 X 1 (s) = X 2 (s) s+5
状态空间方程的可控性和可观测性
定义 2.1 如果在一个有限的时间内施加一个无约束的控制向量, 使 系统由初始状态x(t0)转移到任一状态, 则称该系统在时间t0时 为状态可控的。 定义 2.2 如果系统的状态x(t0)在有限时间内可由输出的观测值确定, 那么称系统在时刻t0是状态可观测的。 控制系统的状态完全可控性 设状态方程为:
y1 (t ) = g1 ( x1 , , xn ; u1 , , ur ; t )
y2 (t ) = g 2 ( x1 , , xn ; u1 , , ur ; t )
ym (t ) = g m ( x1 , , xn ; u1 , , ur ; t )
定义:
x(t ) = [ x1 (t ), , xn (t )]
A(t)称为状态矩阵, B(t)称为输入矩阵 C(t)称为输出矩阵, D(t)称为直接传输矩阵
D(t )
u (t )
B(t )
+
x(t )
•
+
∫ dt
A(t )
x(t )
C (t )
+
+
y (t )
如果向量函数f和g不显含时间t, 则称该系统定常系统：
x(t ) = Ax(t ) + Bu (t ) y (t ) = Cx (t ) + Du (t )
C CA =n rankP = rank n −1 CA
必要性: 设rankP<n,则存在x(0), 使得Px(0)=0, 即
我们有
10 X 1 (s) = X 2 (s) s+5
状态空间方程的可控性和可观测性
定义 2.1 如果在一个有限的时间内施加一个无约束的控制向量, 使 系统由初始状态x(t0)转移到任一状态, 则称该系统在时间t0时 为状态可控的。 定义 2.2 如果系统的状态x(t0)在有限时间内可由输出的观测值确定, 那么称系统在时刻t0是状态可观测的。 控制系统的状态完全可控性 设状态方程为:
y1 (t ) = g1 ( x1 , , xn ; u1 , , ur ; t )
y2 (t ) = g 2 ( x1 , , xn ; u1 , , ur ; t )
ym (t ) = g m ( x1 , , xn ; u1 , , ur ; t )
定义:
x(t ) = [ x1 (t ), , xn (t )]
A(t)称为状态矩阵, B(t)称为输入矩阵 C(t)称为输出矩阵, D(t)称为直接传输矩阵
D(t )
u (t )
B(t )
+
x(t )
•
+
∫ dt
A(t )
x(t )
C (t )
+
+
y (t )
如果向量函数f和g不显含时间t, 则称该系统定常系统：
x(t ) = Ax(t ) + Bu (t ) y (t ) = Cx (t ) + Du (t )
自动控制原理状态空间法
自动控制原理状态 空间法
控制系统的状态空间描述
一.问题的引出 1 --古典控制理论的局限性 1、仅适用于SISO的线性定常系统(外部描述，
时不变系统) 2、古典控制理论本质上是复频域的方法.(理论) 3、设计是建立在试探的基础上的.(应用) 4、系统在初始条件为零,或初始松驰条件下,才
能采用传递函数.
(2)状态变量选取不唯一,有时选取状态变量仅为数 学描述所需,而非明确的物理意义。
(3)状态变量是系统的内部变量,一般情况下输出是 状态的函数,但输出总是希望可量测的。
(4)仅讨论有限个状态变量的系统。 (5)有限个数的状态变量的集合,称为状态向量。 (6)状态向量的取值空间称为状态空间。
例2,设下图的RLC网络,如果电流 i(t,0电) 容电压
• 状态方程描述了 t0时刻和状态 x(和t0 )输入 u(t0所, 决)定的系统在 的t 行 t为0 .
2.输出方程
• 输出方程是在指定输出变量情况下,(输出变量 往往是选取可以量测的物理量)其输出变量与 状态变量以及输入变量之间的关系. 用
y(t) C(t)x(t) D(t)u(t)
• 其中: • y(t是) m×1维向量, y(t) R, m1 • C(t是) m×n维向量, C(t) ,Rmn • D(t是) m×r维向量, D(t) ,Rmr
根据系统微分方程建立状态空间表达式.
1.输入项中不含输入导数项的线性系统空间状态 表达式
• 系统描述为:
y(n) a1 y(n1) an1 y an y u
(1)
讨论:状态如何选择
• 对方程(1),若已知 y(,t0], y(,t0], y(n1) (,t0和] 则可u[完t0 , 全) 确定系统在 的行为t,故 t而0 可选取
控制系统的状态空间描述
一.问题的引出 1 --古典控制理论的局限性 1、仅适用于SISO的线性定常系统(外部描述，
时不变系统) 2、古典控制理论本质上是复频域的方法.(理论) 3、设计是建立在试探的基础上的.(应用) 4、系统在初始条件为零,或初始松驰条件下,才
能采用传递函数.
(2)状态变量选取不唯一,有时选取状态变量仅为数 学描述所需,而非明确的物理意义。
(3)状态变量是系统的内部变量,一般情况下输出是 状态的函数,但输出总是希望可量测的。
(4)仅讨论有限个状态变量的系统。 (5)有限个数的状态变量的集合,称为状态向量。 (6)状态向量的取值空间称为状态空间。
例2,设下图的RLC网络,如果电流 i(t,0电) 容电压
• 状态方程描述了 t0时刻和状态 x(和t0 )输入 u(t0所, 决)定的系统在 的t 行 t为0 .
2.输出方程
• 输出方程是在指定输出变量情况下,(输出变量 往往是选取可以量测的物理量)其输出变量与 状态变量以及输入变量之间的关系. 用
y(t) C(t)x(t) D(t)u(t)
• 其中: • y(t是) m×1维向量, y(t) R, m1 • C(t是) m×n维向量, C(t) ,Rmn • D(t是) m×r维向量, D(t) ,Rmr
根据系统微分方程建立状态空间表达式.
1.输入项中不含输入导数项的线性系统空间状态 表达式
• 系统描述为:
y(n) a1 y(n1) an1 y an y u
(1)
讨论:状态如何选择
• 对方程(1),若已知 y(,t0], y(,t0], y(n1) (,t0和] 则可u[完t0 , 全) 确定系统在 的行为t,故 t而0 可选取
状态空间_1简介 自动控制原理 浙江大学考研资料
1 C
vC
id
0
t
e
1 x
和
1 x2 C
di d dt
又
v L v R vC e
2 x
vL L
1 1 R x2 u x1 L L L
11
浙江大学控制科学与工程学系
回顾与简介
2. 系统的状态空间模型:
1 x2 C 1 R 1 x x x u 2 1 2 Ex.2: R-L-C Circuit L L L 1 x
ห้องสมุดไป่ตู้
回顾与简介——内容
回顾
状态空间基本概念 状态空间模型
简介
可控性和可观性 状态反馈基本概念 问题
浙江大学控制科学与工程学系
3
回顾与简介
1. 状态空间基本概念
Input(输入)：由外部施加到系统上的全部激励. Output(输出)：能从外部量测到的来自系统的信息。 State(状态)：所谓状态，是指系统过去、现在和将来的状况.可以认 为是信息的集合。 State variable(状态变量)： 状态变量是指能确定系统运动状态的最 少数目的一组变量。一个用n阶微分方程描述的系统就有n个独立的变 量 当这n个独立变量的时间响应都可以获得时，系统的行为也就完全 量，当这 个独立变量的时间响应都可以获得时 系统的行为也就完全 确定了。因此，由n阶微分方程描述的系统就有n个状态变量。状态变 量具有非唯 性，因为不同的状态变量也能表达同 个系统的行为。 量具有非唯一性，因为不同的状态变量也能表达同一个系统的行为。 要注意的是，状态变量不一定是物理上可观察的量，可以是一个纯数 学量。
), x 2 ( t ) ), , x n ( t ) State space(状态空间)：以状态变量 以状态变量 x1 ( t ) 构成 的 n 维空间，称为状态空间。系统在任意时刻的状态向量 x(t) 是状 态空间中的一个点。系统随时间的变化过程，使 态空间中的 个点。系统随时间的变化过程，使 x(t) 在状态空间中描
vC
id
0
t
e
1 x
和
1 x2 C
di d dt
又
v L v R vC e
2 x
vL L
1 1 R x2 u x1 L L L
11
浙江大学控制科学与工程学系
回顾与简介
2. 系统的状态空间模型:
1 x2 C 1 R 1 x x x u 2 1 2 Ex.2: R-L-C Circuit L L L 1 x
ห้องสมุดไป่ตู้
回顾与简介——内容
回顾
状态空间基本概念 状态空间模型
简介
可控性和可观性 状态反馈基本概念 问题
浙江大学控制科学与工程学系
3
回顾与简介
1. 状态空间基本概念
Input(输入)：由外部施加到系统上的全部激励. Output(输出)：能从外部量测到的来自系统的信息。 State(状态)：所谓状态，是指系统过去、现在和将来的状况.可以认 为是信息的集合。 State variable(状态变量)： 状态变量是指能确定系统运动状态的最 少数目的一组变量。一个用n阶微分方程描述的系统就有n个独立的变 量 当这n个独立变量的时间响应都可以获得时，系统的行为也就完全 量，当这 个独立变量的时间响应都可以获得时 系统的行为也就完全 确定了。因此，由n阶微分方程描述的系统就有n个状态变量。状态变 量具有非唯 性，因为不同的状态变量也能表达同 个系统的行为。 量具有非唯一性，因为不同的状态变量也能表达同一个系统的行为。 要注意的是，状态变量不一定是物理上可观察的量，可以是一个纯数 学量。
), x 2 ( t ) ), , x n ( t ) State space(状态空间)：以状态变量 以状态变量 x1 ( t ) 构成 的 n 维空间，称为状态空间。系统在任意时刻的状态向量 x(t) 是状 态空间中的一个点。系统随时间的变化过程，使 态空间中的 个点。系统随时间的变化过程，使 x(t) 在状态空间中描
自动控制原理状态空间分析方法PPT课件
返回子目录
第6页/共217页
一、状态空间的基本概念
状态：动力学系统的状态可以定义为信息的集合。
已知 t0时状态， t 时t0的输入，可确定
时任一变量的运动状况。
t t0
： 状态变量 确定动力学系统状态的最小一组变
量
。 x1(t),, xn (t)
第7页/共217页
状态向量：
x1 t
x2
t
0
用 e At 左乘上式两边
t
x(t) eAt x(0) eA(t )Bu( )d （9-54）
0
则式（9-54）可以写成
t
x(t) (t)x(0) (t )Bu( )d （9-55） 0
第40页/共217页
讨论非齐次状态方程的拉氏变换解法
sx(s) x0 Ax(s) Bus
⑩ 正确理解系统齐次方程渐近稳定和系统BIBO稳 定的概念, 熟练掌握判别渐近稳定的方法和判别 系统BIBO稳定的方法。
⑪ 正确理解李雅普诺夫方程正定对称解存在的条件
第5页/共217页
9-1 状态空间方法 基础
• 在经典控制理论中，用传递函数来设计和分析 单输入、单输出系统。
• 在现代控制理论中，用状态变量来描述系统。 采用矩阵表示法可以使系统的数学表达式简洁 明了，为系统的分析研究提供了有力的工具。
经典控制理论 (50年代前)
现代控制理论 (50年代后)
研究对象
单输入单输出的线 可以比较复杂 性定常系统
数学模型 数学基础
传递函数 (输入、输出描述)
运算微积、复变函 数
状态方程 (可描述内部行为)
线性代数、矩阵理论
设计方法的 特点
非唯一性、试凑成 份多, 经验起很大 作用。主要在复数 域进行。
东南大学自动控制原理控制系统的状态空间模型
对偶实现
g(s)
n1sn1
sn an1sn1
1s 0
a1s a0
d
则状态空间表达式可为
d=0时为严格真系统
0 0 0 a0
1
0
a1
A 0 0 ,
1
0
an2
0 0 1 an1
实现过程：
第一步：分解传递函数
g(s)
bn
(bn1
bnan1)sn1 (b1 sn an1sn1
bna1)s a1s a0
(b0
bna0
)
第二步：定义虚拟输出
~y (s)
sn
an1s n1
1
a1s a0
u(s)
则 y(s) ((bn1 bnan1)sn1 (b1 bna1)s (b0 bna0 )) ~y (s) bnu(s)
bnu(t)
第三步：取n个状态变量 x1 ~y, x2 ~y (1) , , xn ~y (n1)
x1 ~y (1) x2 ,
xn1
~y (n1)
xn ,
xn ~y (n) an1xn a0 x1 u
y(t) (b0 bna0 )x1(t) (b1 bna1)x2 (t) (bn1 bnan1)xn (t) bnu(t)
假设零初始条件（即x(0)=0)，进行拉普拉斯变换后得到系统的 传递函数矩阵为
G(s) C(sI A)1 B D
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二、连续系统的状态空间模型
•
状态方程： x(t) Ax t Bu t , x t0 x0
输出方程（观测方程）：
yt Cxt Bt
x1 t
x
t
x2
t
M
xn
t
状态矢量
u1 t
u
t
u2
t
M
ur
t
输入或控制矢量
y1 t
y
t
y2 t
M
ym
t
输出矢量
a11 L a1n
y
a n 1
➢对角标准型和约当标准型 以上两种标准形的传递函数G(s)有相同阶数的分 子和分母。G(s)可以看成由一个比例环节和一个分 母阶数n总是大于分子阶数m的有理传递函数G′(S)。
N(s)为特征多项式或极点多项式；Z(s)为零 点多项式。N(s)=0的根不同，则有不同的对 角标准型和约当标准型。
•
x t Ax t , x t0 x0
它表达了系统的固有特性称为自制系统。系统矩阵A反映系统固有特性的全 部信息，控制矩阵B反映系统受外部激励。
状态方程和输出方程构成了系统的空间状态 表达式，它是一个n节线性时不变的动态系统。 是一个具有r个输入和m个输出的多变量系统。
状态空间表达的系统方框图
A
M
M
an1 L ann
b11 L b1r
B
M
M
bn1 L bnr
为n× n系统矩阵
为n× r输入或控制矩阵
c11 L c1n
C
M
M
cm1 L cmn
为m× n输出或观测矩阵
d11 L
D
M
dm1 L
为m× r连接矩阵
d1r M dmr
如果选输入矢量 u t 0 得到其次方程：
y xn bnu
x&n xn1 an1 y bn1u
能观标准形状态空间表达式中的各项系数矩阵为
将能控矩阵系数A、B、C与能观矩阵系数A、 B、C相比，可知它们具有对偶关系。
能观标准形系统的状态变量结构图
b0
b1
b2
L
•
x1
a0
•
•Hale Waihona Puke x1x2x2
x3 L
a1
a2
L
bn1
b0
•
xn
xn
多个重极点的系统的状态空间约当标准型表达式的 系统阵表示为
有重极点的约当标准型系统的状态变量结构图
1
x s s1
一、状态空间模型的基本概念
状态：系统的状态是指系统的过去、现在和将 来的状况。
状态变量：确定系统状态的最少数目的一组变 量。状态变量具有非唯一性。
状态矢量：
x1 t
X
t
x2
t
M
xn
t
X(t)称为状态矢量。
状态空间：状态矢量所有可能值的集合称为状
态空间。若有一组状态变量x1 t, x2 t,L , xn t
得状态方程
•
x Ax Bu
y Cx Du
0 1 0 L
0
0
1L
A M M M
0
0
0L
a0 a1 a2 L
0 0
0
0
M , B M
1
0
an1
1
C b0 bna0 b1 bna1 L
能控标准型的结构图
bn1 bnan1 , D bn
bn
ut
- --
•
xn
L xn
描述系统时，由 x1 t轴, x2 t轴,L , xn t轴 组
成的n维空间。
状态方程和状态空间表达式：描述状态变量与 系统输入之间关系的一阶微分方程组（常用矩阵 表示）。状态方程和输出方程共同构成空间表达 式。
状态空间分析：稳定性、能控性、能观性。
状态反馈：以状态变量为反馈变量。 状态观测：以状态变量为观测变量。 状态估计：以状态变量为估计变量。
若令
x&2 x3 x&&1
M
x&n1 xn x1n1
则有
y t b0 x1 b1x2 L bn1xn bn x&n
a0 x1 a1x2 L an1xn x&n u t
由两式可得
y t b0 bna0 x1 b1 bna1 x2 L bn1 bnan1 xn bnu
ut
B
D
•
xt
xt
L dt
C
A
状态空间表达式的系统信号流图
D
ut 1
•
xt
B
L dt xt C
A
yt
1 yt
三、状态空间模型的标准型
状态空间模型的标准型是以特定的空间基底导 出的状态空间模型。又称状态空间模型的规范型。 状态空间模型的标准型四种分类： 能控标准型——很容易由传递函数确定 能观标准型——与能控标准型有对偶关系 对角标准型——是完全解耦的系统 约当标准型——一定有重极点
s s2
2
Y
M
M
1 s sn
Xn
cn
（2）系统中只有多个重极点
N(s) (s s1)r1 (s s2 )r2 L (s sp )rp (r s p为 p的重根数)
p
rk n
k 1
pn
该系统的状态方程
输出方程为 y c1,r1 x1 c x 1,r11 2 L c1,1xr1 c x 2,r2 r11 c x 2,r2 1 r1 2 L
一个单输入单输出的线性连续系统的微分方程
yn an1 yn1 L
•
•
a1 y a0 y b0u b1 uL
bnun
零初始条件下的拉氏变换
G
s
Y U
s s
b0 b1s L a0 a1s L
bn1sn1 bnsn an1sn1 ansn
➢ 能控标准型
G
s
Y U
s s
Y V
s s
V U
s s
b0 b1s L
bn1sn1 bnsn
a0 a1s L
1 an1sn1 ansn
可用微分方程表示 :
y t b0v b1v&L bnvn a0v a1v& L an1vn1 vn u t
零初始条件 v0n L v 0 0
x1 v
x&1 x2
a n 1
M
a1
a0
bn1
M
b1
x2
x1 b0
yt
➢能观标准型
微分方程
yn an1 yn1 L a1 y& a0 y b0u b1u& L bnun 求积分n次：
y t bnu t
t 0
bn1u
an1 y
d
t
t
L L b0u a0 y d n
0
0
x&1 a0 y b0u x&2 x1 a1 y b1u x&3 x2 a2 y b2u M
（1）系统中只有互异实极点
若选状态变量xk ,满足
则有状态方和输出方程
Xk
(s)
s
1 sk
U
(s)
•
xk sk xk u
k 1, 2,L , n
y c1x1 c2 x2 L cn xn
系统状态空间表达式的系数阵为
1 s s1
X1
c1
其对角标准型系统 状态变量结构图 U
c 1 X 2
•
状态方程： x(t) Ax t Bu t , x t0 x0
输出方程（观测方程）：
yt Cxt Bt
x1 t
x
t
x2
t
M
xn
t
状态矢量
u1 t
u
t
u2
t
M
ur
t
输入或控制矢量
y1 t
y
t
y2 t
M
ym
t
输出矢量
a11 L a1n
y
a n 1
➢对角标准型和约当标准型 以上两种标准形的传递函数G(s)有相同阶数的分 子和分母。G(s)可以看成由一个比例环节和一个分 母阶数n总是大于分子阶数m的有理传递函数G′(S)。
N(s)为特征多项式或极点多项式；Z(s)为零 点多项式。N(s)=0的根不同，则有不同的对 角标准型和约当标准型。
•
x t Ax t , x t0 x0
它表达了系统的固有特性称为自制系统。系统矩阵A反映系统固有特性的全 部信息，控制矩阵B反映系统受外部激励。
状态方程和输出方程构成了系统的空间状态 表达式，它是一个n节线性时不变的动态系统。 是一个具有r个输入和m个输出的多变量系统。
状态空间表达的系统方框图
A
M
M
an1 L ann
b11 L b1r
B
M
M
bn1 L bnr
为n× n系统矩阵
为n× r输入或控制矩阵
c11 L c1n
C
M
M
cm1 L cmn
为m× n输出或观测矩阵
d11 L
D
M
dm1 L
为m× r连接矩阵
d1r M dmr
如果选输入矢量 u t 0 得到其次方程：
y xn bnu
x&n xn1 an1 y bn1u
能观标准形状态空间表达式中的各项系数矩阵为
将能控矩阵系数A、B、C与能观矩阵系数A、 B、C相比，可知它们具有对偶关系。
能观标准形系统的状态变量结构图
b0
b1
b2
L
•
x1
a0
•
•Hale Waihona Puke x1x2x2
x3 L
a1
a2
L
bn1
b0
•
xn
xn
多个重极点的系统的状态空间约当标准型表达式的 系统阵表示为
有重极点的约当标准型系统的状态变量结构图
1
x s s1
一、状态空间模型的基本概念
状态：系统的状态是指系统的过去、现在和将 来的状况。
状态变量：确定系统状态的最少数目的一组变 量。状态变量具有非唯一性。
状态矢量：
x1 t
X
t
x2
t
M
xn
t
X(t)称为状态矢量。
状态空间：状态矢量所有可能值的集合称为状
态空间。若有一组状态变量x1 t, x2 t,L , xn t
得状态方程
•
x Ax Bu
y Cx Du
0 1 0 L
0
0
1L
A M M M
0
0
0L
a0 a1 a2 L
0 0
0
0
M , B M
1
0
an1
1
C b0 bna0 b1 bna1 L
能控标准型的结构图
bn1 bnan1 , D bn
bn
ut
- --
•
xn
L xn
描述系统时，由 x1 t轴, x2 t轴,L , xn t轴 组
成的n维空间。
状态方程和状态空间表达式：描述状态变量与 系统输入之间关系的一阶微分方程组（常用矩阵 表示）。状态方程和输出方程共同构成空间表达 式。
状态空间分析：稳定性、能控性、能观性。
状态反馈：以状态变量为反馈变量。 状态观测：以状态变量为观测变量。 状态估计：以状态变量为估计变量。
若令
x&2 x3 x&&1
M
x&n1 xn x1n1
则有
y t b0 x1 b1x2 L bn1xn bn x&n
a0 x1 a1x2 L an1xn x&n u t
由两式可得
y t b0 bna0 x1 b1 bna1 x2 L bn1 bnan1 xn bnu
ut
B
D
•
xt
xt
L dt
C
A
状态空间表达式的系统信号流图
D
ut 1
•
xt
B
L dt xt C
A
yt
1 yt
三、状态空间模型的标准型
状态空间模型的标准型是以特定的空间基底导 出的状态空间模型。又称状态空间模型的规范型。 状态空间模型的标准型四种分类： 能控标准型——很容易由传递函数确定 能观标准型——与能控标准型有对偶关系 对角标准型——是完全解耦的系统 约当标准型——一定有重极点
s s2
2
Y
M
M
1 s sn
Xn
cn
（2）系统中只有多个重极点
N(s) (s s1)r1 (s s2 )r2 L (s sp )rp (r s p为 p的重根数)
p
rk n
k 1
pn
该系统的状态方程
输出方程为 y c1,r1 x1 c x 1,r11 2 L c1,1xr1 c x 2,r2 r11 c x 2,r2 1 r1 2 L
一个单输入单输出的线性连续系统的微分方程
yn an1 yn1 L
•
•
a1 y a0 y b0u b1 uL
bnun
零初始条件下的拉氏变换
G
s
Y U
s s
b0 b1s L a0 a1s L
bn1sn1 bnsn an1sn1 ansn
➢ 能控标准型
G
s
Y U
s s
Y V
s s
V U
s s
b0 b1s L
bn1sn1 bnsn
a0 a1s L
1 an1sn1 ansn
可用微分方程表示 :
y t b0v b1v&L bnvn a0v a1v& L an1vn1 vn u t
零初始条件 v0n L v 0 0
x1 v
x&1 x2
a n 1
M
a1
a0
bn1
M
b1
x2
x1 b0
yt
➢能观标准型
微分方程
yn an1 yn1 L a1 y& a0 y b0u b1u& L bnun 求积分n次：
y t bnu t
t 0
bn1u
an1 y
d
t
t
L L b0u a0 y d n
0
0
x&1 a0 y b0u x&2 x1 a1 y b1u x&3 x2 a2 y b2u M
（1）系统中只有互异实极点
若选状态变量xk ,满足
则有状态方和输出方程
Xk
(s)
s
1 sk
U
(s)
•
xk sk xk u
k 1, 2,L , n
y c1x1 c2 x2 L cn xn
系统状态空间表达式的系数阵为
1 s s1
X1
c1
其对角标准型系统 状态变量结构图 U
c 1 X 2