细观力学的研究内容Eshelby等效夹杂理论自洽理论

0 ij
ij
三、均匀化方法（homogenization theory for heterogeneous）
4. Hill’s principle
有分别满足平衡条件和应变协调条件的两个独立的
应力场和应变场，它们不一定满足本构关系。如果 ij 在边界上满足均匀应力边界条件，或 ij 在边界满足均
匀应变条件，则有: ij ij ij ij
ij, j 0
当边界为均匀应力时
ij ij
0 ij
ij
ij
1 2 (ui, j
u j,i )
当边界为均匀应变时
ij ij
ij
0 ij
三、均匀化方法（homogenization theory for heterogeneous）
对Hill引理的说明：
1、应力、应变不一定满足本构关系。当用于满足 本构关系的情况，则有宏观功（能量）与微观功 （能量）的体积平均相等。（Hill均匀化条件）
微分法
R.A.Roscoe, J. Apl. Phys. Solids, vol.3, 267-269, 1952
变分原理求上下限方法
Z.Hashin and S.Shtrikman, J. Mech. Phys. Solids, vol.11, 127-140, 1963
计算细观力学方法
三、均匀化方法（homogenization theory for heterogeneous）
0 0 ij ij
ij ij
2、
0 ij
ij
为Hill引理的特殊情况。
0 ij
ij
四、线弹性复合材料的均匀化
1、有效刚度和有效柔度的定义 考虑区V的线弹性非均匀复合材料RV源自文库，其边界S上作
建立复合材料宏观性能与组分性能及结构之间的 定量关系。
揭示复合材料结构在一定工况下的相应规律及本 质
为复合材料优化设计、性能评价提供必要的理论 依据及手段。
一、细观力学的研究内容
非均质介质等效性能的预测（刚度、热物理特性）
等效介质与非均质材料有相同的响应规律
复合材料强度、断裂韧性等性能的预测
3.Homogeneous boundary conditions
均匀边界条件
ui
(S
)
0
ij
x
j
Ti
(S
)
0
ij
n
j
0 单值不变 ij
0 单值不变 ij
ij
0 ij
ij
0 ij
场量在RVE内的平均值与复合材料内的平均值相等
三、均匀化方法（homogenization theory for heterogeneous）
def
1 V
V
dV
ij
1 V
V ij dV
ij
1 V
V ij dV
RVE
V
u
1 V
1
udV
V
V
V
1 2
ij
ij
dV
1 V
V
1 2
Cijkl
ij
kl
dV
1 V
V
1 2
fijkl ij kl dV
细观应力应变场通过体积平均值对宏观性能产生影响。
三、均匀化方法（homogenization theory for heterogeneous）
J.D.Eshelby, Proc. Roy. Soc. (London), vol.240(A), 367-396, 1957
自洽理论
R.Hill, J. Mech. Phys. Solids, vol.13, 213-222, 1965
Mori-Tanaka方法
T.Mori and K.Tanaka, Acta Metall., vol.21, 571-574, 1973
细观力学
内容
材料细观力学基础 本征应变的基本理论 复合材料弹性性能的预测 复合材料热传导性能的预测
第一章 材料细观力学基础
细观力学的研究内容 代表体积单元 均匀化方法
homogenization theory for heterogeneous
一、细观力学的研究内容
基于材料微结构信息确定材料宏观性能
或RVE上的平均应力。
三、均匀化方法（homogenization theory for heterogeneous）
均匀应变边界条件
ui
(S
)
0
ij
x
j
ij
1 V
V ijdV
0 ij
RVE
ui
ij
ni
V
S
0 ik
称为宏观应变，即RVE边界上的均匀应变，
或RVE上的平均应变。
def
0 ij
ij
RVE尺度的二重性：宏观上足够小，可看做物质点，因而RVE 中的宏观应力、应变可视为均匀；细观上足够大，包含足够的 细观结构信息，可代表局部连续介质的统计平均性质。
三、均匀化方法（homogenization theory for heterogeneous）
2.average fields and effective priperties
1. RVE representative volum element and Effectiv fields RVE
homogenization
homogenneity
heterogeneous materials 等效均匀材料
statistical homogenneity
非均匀材料组分的特征尺寸＜ ＜ RVE尺寸＜ ＜ 结构特征尺寸
三、均匀化方法（homogenization theory for heterogeneous）
homogenization
Statistical homogenneity
matrix and inclusion
RVE
由各种力学和几何特征所集合的非均匀材料构成了RVE。 宏观上表现为一点，表现为细观结构时，作用于RVE上的荷 载产生复杂的局部场量，并通过宏观变量表现出来。
均匀应力边界条件
Ti
(S
)
0n
ij
j
ij
1 V
V ijdV
1 V
V (ik x j ),k dV
1 V
S ik x jnk dS
不计体力 ik,k 0
1 V
0 ik
S x jnk dS
1 V
0 ik
V
x j,k dV
0 ik
RVE
Ti
ij
ni
V
S
0 ik
称为宏观应力，即RVE边界上的均匀应力，
损伤演化过程
结构与功能材料一体化、多场的耦合作用
陶瓷基复合材料、新型功能材料
一、细观力学的研究内容
复
合
局部性—内部弹性场
材
料
组分性能
力
刚度预测
学
宏观等效性能
微结构特征
性
能
强度预测
二、细观力学的研究方法
1、基于有限的统计信息描述非均匀材料细观特性 2、离散微结构的研究方法
Eshelby等效夹杂理论