九年级数学上垂径定理练习题
部编数学九年级上册专题08垂径定理、圆心角、圆周角之六大题型(解析版)含答案
专题08垂径定理、圆心角、圆周角之六大题型利用垂径定理求值【答案】2【分析】根据垂径定理和勾股定理列方程求解即可．【详解】解：设OC=△中，由勾股定理得，在Rt COE【变式训练】【答案】45cm/4【分析】连接BO，延长22=，即可求解．BC OB OC-【详解】解：如图，连接=，由折叠得：CD CEQ D是OC的中点，\=，CD OD\==，CE CD OD2\==，4OC OE【答案】310【分析】由题意易得【详解】解：连接OD∵AB 是O e 的直径，AB ∴152OD OB AB ===，∵CD AB ^，6CD =，∴13,2DE CD DEO ==Ð∴22OE OD DE =-=垂径定理的实际应用【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，灵活运用所学知识，掌握垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧，是解决本题的关键．【变式训练】1．（2023上·福建龙岩·九年级统考期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧．如图1，点M 表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O （O 在水面上方）为圆心的圆，且圆O 被水面截得的弦AB 长为8米．若筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2米，则这个圆的半径为（ ）A ．2米B ．3米C ．4米D ．5米【答案】D 【分析】过圆O 作OD AB ^于E ，如图所示，由垂径定理可知4AE BE ==，设圆的半径为r ，再利用勾股定理列方程求解即可得到答案．【详解】解：过圆O 作OD AB ^于E ，如图所示：Q 弦AB 长为8米，\4AE BE ==，Q 盛水桶在水面以下的最大深度为2米，设圆的半径为r ，在Rt AOE △中，90AEO Ð=°，OA r =，4AE =，2OE OD ED r =-=-，则由勾【答案】26【分析】连接AO ，依题意，得出222AO AC CO =+，解方程即可求解．【详解】解：如图所示，连接∵1CD =，10AB =，AB ∴5AC =，设半径为r ，则AO r =在Rt AOC V 中，2AO =利用弧、弦、圆心角的关系求解A．AB OC=C．12ABC BOC Ð+Ð=【答案】D 【变式训练】【答案】80°/80度【分析】利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出即可求出答案．Ð【详解】解：∵OBC半圆（直径）所对的圆周角是直角A．43【答案】B【分析】如图：连接AQ QB=，最后根据勾股定理即可解答．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用勾股定理成为解答本题的关键．【变式训练】【答案】13【分析】连接BD ，先由三角形内角和定理求出求出30ABD Ð=°，即有【详解】解：连接BD∵在ABC V 中，55B Ð=∴60A Ð=°，∵AB 为O e 的直径，∴90ADB CDB Ð=Ð=°Ð的度数；(1)求BAC(2)若点E为OB中点，CE 【答案】(1)45°(2)3590°的圆周角所对的弦是直径例题：（2023上·广东汕头DA DC =，2AB BC ==【答案】32【分析】连接AC ，过点角三角形，勾股定理求得∵90ADC Ð=°，∴AC 是直径，∴90ABC Ð=°【变式训练】1．（2023上·山东济南·九年级统考期末）如图，正方形ABCD 中，4AB =，E 点沿线段AD 由A 向D【答案】2p【分析】连接BD 交EF 于点1222OB OD BD ===，再由∵四边形ABCD 是正方形，∴4BC AB AD ===，EDO Ð∴242BD AB ==，【答案】90°Ð【分析】（1）由ABP （2）首先证明点P理求出OC即可得到则OP OA OB ==，\点P 在以AB 为直径的O e 在Rt BCO V 中，90OBC Ð=225OC BO BC \=+=，532PC OC OP =-=-=，已知圆内接四边形求角度【答案】102°【分析】根据圆内接四边形的性质得出【详解】解：∵四边形∴180A DCB Ð+Ð=°，又180DCE DCB Ð+Ð=°，∴102DCE A ÐÐ==°，故答案为102°．【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解决此题的关键．【变式训练】【答案】40【分析】根据已知可得»»BCBD =56DAC BAC BAD Ð=Ð+Ð=°，再利用圆内接四边形对角互补以及平角的定义可得56DBE DAC Ð=Ð=°，继而利用角平分线定义及三角形内角和定理即可求解．(1)求证：A AEBÐ=Ð(2)若90Ð=°，点CEDC【答案】(1)见解析e的半径为25 (2)O一、单选题1．（2023上·河北张家口·九年级统考期末）O e 中的一段劣弧»AB 的度数为80o ，则AOB Ð=（ ）A ．10oB ．80oC ．170oD ．180o【答案】B 【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系得出答案即可．【详解】解：Q O e 中的一段劣弧»AB 的度数为80°，80AOB \Ð=°，故选：B ．A ．32°B ．42【答案】A 【分析】先根据同弧所对的圆周角相等得到小即可．【详解】解：∵50A Ð=°，∴50D A Ð=Ð=°，A ．10【答案】D∴12AH BH AB===在Rt BOHV中，OH∴线段OP长的最小值为A．105°B．110【答案】D【分析】先根据圆内接四边形的性质和平角的定义求出求解．A ．1米B ．()35+米C ．3米【答案】D 【分析】连接OC 交AB 于D ，根据圆的性质和垂径定理可知理求得OD 的长，由CD OC OD =-即可求解．则OC AB ^，12AD BD AB ==在Rt OAD △中，3OA =，AD ∴225OD AO AD =-=，【点睛】本题考查圆的性质、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键．【答案】120【分析】过O 点作OD AC ^AD CD =，根据三角形中位线定理可得由折叠可得：12OD OE ==∵AB 是直径，∴90ACB Ð=°，12OD BC =【答案】64°/64度【分析】根据在同圆中，Ð=Ð可推出AOC BOD【详解】解：Q»AE=【答案】3【分析】由圆的性质可得OA后根据中位线的性质即可解答．【答案】45【分析】连接AC ，如图所示，由直径所对的圆周角为直角可知及勾股定理求出AC 【详解】解：连接Q OC AB ^，AB =12AD BD AB \==在Rt AOD V 中，OA 420r \=，解得r【答案】4【分析】如图，连接CD直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得【点睛】本题考查直径所对的圆周角为直角，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理．掌握直径所对的圆周角为直角是解题的关键．三、解答题e的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，11．（2023上·安徽合肥·九年级统考期末）如图，O，．==28AE CD(1)求O e 的半径长；(2)连接 BC ，作OF BC ^【答案】(1)5(2)5在Rt OCE V 中，2OE ∴()22224R R -+=，解得5R =，∴O e 的半径长为5；(1)若这个输水管道有水部分的水面宽半径；OE AB ^Q ，11168cm 22BD AB \==´=(1)连接AD，求证：(2)若52,==CD AB 【答案】(1)详见解析；(2)6Ð相等吗？为什么？(1)BAFÐ和CAD^，垂足为(2)过圆心O作OH AB【答案】(1)相等，理由见解析(2)10【详解】（1）解：连接BF ，Q AF 是O e 的直径，90F BAF \Ð+Ð=°Q AC BD ^，\90CAD BDA Ð+Ð=°，Q F BDA Ð=Ð，\BAF CAD Ð=Ð．（2）解：OH AB ^Q ，AH BH \=，OA OF =Q ，210BF OH \==，BAF CAD Ð=ÐQ ，10CD BF \==．【点睛】本题考查的是圆周角定理，等角的余角相等，圆心角、弦的关系，三角形的中位线性质，垂径定理，掌握圆心角、弦的关系，三角形的中位线性质以及垂径定理是解题的关键．15．（2023上·山东威海·九年级统考期末）【初识模型】如图1，在ABC V 中，,90AB AC BAC =Ð=°．点D 为BC 边上一点，以AD 为边作ADE V ，使=90DAE а，AE AD =，连接CE ，则CE 与BD 的数量关系是__________；【构建模型】如图2，ABC V 内接于,O BC e 为O e 的直径，AB AC =，点E 为弧AC 上一点，连接,,AE BE CE ．若3,9CE BE ==，求AE 的长；【运用模型】如图3，等边ABC V 内接于O e ，点E 为弧AC 上一点，连接,,AE BE CE ．若6,10CE BE ==，求AE 的长．【答案】（1）BD CE =；（2）32；（3）4【分析】（1）只需要利用SAS 证明BAD CAE V V ≌，即可证明BD CE =（2）如图所示，过点A 作AD AE ^交BE 于D ，由BC 是直径，得到明BAD CAE Ð=Ð，再证明45ADE AED Ð=Ð=°，得到AD AE =，即可证明2（3）如图所示，在BE 上取一点∵ABC V 是等边三角形，∴60AB AC ACB ==°，∠，∴60AEB ACB Ð=Ð=°，∴ADE V 是等边三角形，∴60AE DE DAE ==°=，∠∠∴BAC CAD DAE Ð-Ð=Ð-Ð【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，圆周角定理，勾股定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．。
九年级数学 垂径定理 专题练习(含解析)
答案：B 解析：解答：：∵AB 是⊙O 的弦，OD⊥AB 于 D， ∴AD=BD=
1 AB（垂径定理）， 2
∴AB=2AD， 在 Rt△ADO 中，OD⊥AB 于 D，若 AO=10，OD=6， ∴AD= AO2 ‒ OD2 = 102 ‒ 62 = 8（勾股定理）； ∴AB=16． 故选 B． 分析：先根据勾股定理求出 AD 的长，再根据垂径定理求出 AB 的长． 8、 如 图 ， AB 是 ⊙O 的 直 径 ， 弦 CD⊥AB 于 点 E， 连 接 OC， 若 OC=5， CD=8， 则 tan∠COE=（ ） A．
11、 如 图 ， ⊙O 过 点 B、 C， 圆 心 O 在 等 腰 Rt△ABC 的 内 部 ， ∠BAC=90°， OA=1， BC=6．则⊙O 的半径为（ ） A．6 B．13 C． 13 D．2 13
答案：B 解析：解答：如图：
过 O 作 OC⊥AB 于 C， ∵OC 过圆心 O，AB=24， ∴AC=BC=
1 AB=12， 2
AO2 ‒ AC2 = 132 ‒ 122=5．
在 Rt△AOC 中，由勾股定理得：OC= 故选：B．
分析：过 O 作 OC⊥AB 于 C，根据垂径定理求出 AC，根据勾股定理求出 OC 即可． 6、如图，⊙O 的半径为 2，弦 AB⊥OC 于 C，AB=2 3，则 OC 等于（ ） A．2 2 B. 3 C．1 D．2− 3
答案：B 解析：解答：如图：
连接 OA， ∵⊙O 的直径为 10， ∴OA=5， ∵圆心 O 到弦 AB 的距离 OM 的长为 4， 由垂径定理知，点 M 是 AB 的中点，AM= 由勾股定理可得，AM=3，所以 AB=6． 故选 B． 分析：先根据垂径定理求出 AM=
1 AB， 2Байду номын сангаас
九年级数学：-垂径定理课堂测试卷(含答案)
2020 九级数学上册圆圆的基本性质-垂径定理课堂测试卷一、选择题：1、如图，⊙O的弦AB=8，M是AB的中点，且OM=3，则⊙O的半径等于（）A.8B.4C.10D.52、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（）A.CM=DMB.CB=DBC.∠ACD=∠ADCD.OM=MD3、如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，如果OC=3，那么弦AB的长为（）A.4B.6C.8D.104、下列判断正确的是( )A.平分弦的直径垂直于弦B.平分弦的直径必平分弦所对的两条弧C.弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D.平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦5、如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（）A.2B.4C.4D.86、一个隧道的横截面如图所示，它的形状是以点O为圆心，5为半径的圆的一部分，M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E.若CD=6，则隧道的高（ME的长）为（）A.4B.6C.8D.97、如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣3，2），则该圆弧所在圆心坐标是（）A.（0，0）B.（﹣2，1）C.（﹣2，﹣1）D.（0，﹣1）8、如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围（）A.3≤OM≤5B.4≤OM≤5C.3＜OM＜5D.4＜OM＜59、如图，⊙O的半径为2，弦AB=，点C在弦AB上，AC=AB，则OC的长为（）A. B. C. D.10、如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB,点D是弧ACB上的动点（不与A、B、C重合）,DE⊥OC,DF⊥AB,垂足分别是E、F，则EF长度（）A. 变大B. 变小C. 不变D. 无法确定二、填空题:11、如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8cm，DC=2cm，则OC= cm.12、如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，已知AB=5，BC=3，则圆心O到弦BC的距离是.13、如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB，若AB=10,CD=8，则圆心O到弦CD的距离为.14、如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD=4，OD=3，求AB长是.15、一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的半径是米.16、如图，AB是⊙O的弦，AB=10，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M、N分别是AB、BC的中点，则MN长的最大值是 .三、解答题:17、如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，交AB于点D，交⊙O于点C，CD=2，求弦AB的长.18、如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D，求证：AC=BD.19、如图，已知AB是⊙O的弦，点C在线段AB上，OC=AC=4，CB=8.求⊙O的半径.20、每位同学都能感受到日出时美丽的景色.右图是一位同学从照片上剪切下来的画面，“图上”太阳与海平线交于A﹑B两点，他测得“图上”圆的半径为5厘米，AB=8厘米，若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，求“图上”太阳升起的速度.参考答案1、D2、D3、C4、C5、C6、D.7、C8、A9、D10、C11、512、213、答案为：3；14、答案为：10.15、答案为：0.516、答案为：5.17、解：∵OC是⊙O的半径，OC⊥AB于点D，∴AD=BD=AB.∵OC=5，CD=2，∴OD=OC－CD=3.在Rt△AOD中，OA=5，OD=3，∴AD===4，∴AB=2AD=8.18、证明：过圆心O作OE⊥AB于点E，在大圆O中，OE⊥AB，∴AE=BE.在小圆O中，OE⊥CD，∴CE=DE.∴AE﹣CE=BE﹣DE.∴AC=BD.19、连接OA，过点O作OD⊥AB于点D.∵AC=4，CB=8，∴AB=12.∵OD⊥AB，∴AD=DB=6，∴CD=2.在Rt△CDO中，∠CDO=90°，∴OD=2.在Rt△ADO中，∠ADO=90°，由勾股定理,得OA=4，即⊙O的半径是4.20、解：连接OA，过点O作OD⊥AB，∵AB=8厘米，∴AD=AB=4厘米，∵OA=5厘米，∴OD==3厘米，∴海平线以下部分的高度=OA+OD=5+3=8（厘米），∵太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为16分钟，∴“图上”太阳升起的速度==0.5厘米/分钟.。
九年级数学垂径定理练习题
精品字里行间精品文档成功是必须的垂径定理练习题一一．选择题1、如图2,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB,垂足为E,如果AB=20,CD=16, 那么线段OE 的长为（ ） A 、10 B 、8 C 、6 D 、42．如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB =6，M 是AB 上任意一点，则线段OM 的长可能是（ ）A ．2.5B ．3.5C ．4.5D ．5.53．高速公路的隧道和桥梁最多．图3是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA =（ ）A ．5B ．7C ．375D ．3774．如图，圆弧形桥拱的跨度AB ＝12米，拱高CD ＝4米，则拱桥的半径为（ ）A ．6.5米C ．13米D ．15米二．填空题1．工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ，如图所示，则这个小孔的直径AB是 mm ．2．如图，⊙O 的半径OA =10cm ，弦AB=16cm ，P 为AB 上一动点，则点P 到圆心O 的最短距离为 cm ． 3．如图，⊙O 的半径为5，弦8AB =，OC AB ⊥于C ，则OC 的长等于 ．4．如图，某花园小区一圆形管道破裂，修理工准备更换一段新管道，现在量得污水水面宽度为80cm ，水面到管道顶部距离为20cm ，则修理工应准备内直径是 cm 的管道．5．如图5，点A B ，是⊙O 上两点，10AB =，点P 是⊙O 上的动点（P 与A B ，不重合）连结AP PB ，，过点O分别作OE AP ⊥于点E ，OF PB ⊥于点F ，则EF = ．三．解答题已知：如图1，30PAC ∠=︒，在射线AC 上顺次截取AD =3cm ，DB =10cm ，以DB 为直径作⊙O 交射线AP 于E 、F 两点，求圆心O 到AP 的距离及EF 的长．垂径定理练习题二1、已知：AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点P ，CD ＝10cm ，AP:PB ＝1:5，则⊙O 的半径为_______。
部编数学九年级上册专题24.2垂径定理的应用(重点题专项讲练)(人教版)(解析版)含答案
专题24.2 垂径定理的应用【典例1】如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．（1）求拱桥的半径；（2）有一艘宽为5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.4m，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥，并说明理由．（1）根据垂径定理和勾股定理求解；（2）连接ON，OB，根据勾股定理即可得到结论．解：（1）如图，连接ON，OB．∵OC⊥AB，∴D为AB中点，∵AB＝12m，∴BD=12AB＝6m．又∵CD＝4m，设OB＝OC＝ON＝r，则OD＝（r﹣4）m．在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+62，解得r＝6.5．∴拱桥的半径为6.5m．（2）∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面3.4m，∴CE＝4﹣3.4＝0.6（m），∴OE＝r﹣CE＝6.5﹣0.6＝5.9（m），在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE2＝6.52﹣5.92＝7.44，∴EN m）．∴MN＝2EN＝2×≈5.4m＞5m．∴此货船能顺利通过这座拱桥．1．（2022•南海区校级一模）如图，武汉晴川桥可以近似地看作半径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为300m，那么这些钢索中最长的一根为（ ）A．50m B．45m C．40m D．60m【思路点拨】设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交AB于D，连接OA，先由垂径定理得AC＝BC=12AB＝150，再由勾股定理求出OC＝200，然后求出CD的长即可．【解题过程】解：设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交AB于D，连接OA，如图所示：则OA＝OD＝250，AC＝BC=12AB＝150，∴OC=200，∴CD＝OD﹣OC＝250﹣200＝50（m），即这些钢索中最长的一根为50m ，故选：A ．2．（2022•旌阳区二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O 为圆心的圆，如图2，已知圆心O 在水面上方，且⊙O 被水面截得弦AB 长为4米，⊙O 半径长为3米．若点C 为运行轨道的最低点，则点C 到弦AB 所在直线的距离是（ ）A ．1米B ．2米C ．米D ．(3+米【思路点拨】连接OC ，OC 交AB 于D ，由垂径定理得AD ＝BD =12AB ＝2（米），再由勾股定理得OD 后求出CD 的长即可．【解题过程】解：连接OC ，OC 交AB 于D ，由题意得：OA ＝OC ＝3米，OC ⊥AB ，∴AD ＝BD =12AB ＝2（米），∠ADO ＝90°，∴OD ==∴CD＝OC﹣OD＝（3即点C到弦AB所在直线的距离是（3故选：C．3．（2022•宣州区二模）如图所示的是一圆弧形拱门，其中路面AB＝2m，拱高CD＝3m，则该拱门的半径为（ ）A．53m B．2m C．83m D．3m【思路点拨】取圆心为O，连接OA，由垂径定理设⊙O的半径为rm，则OC＝OA＝rm，由拱高CD＝3m，OD＝（3﹣r）m，OD⊥AB，由垂径定理得出AD＝1m，由勾股定理得出方程r2＝12+（3﹣r）2，解得：r=53，得出该拱门的半径为53m，即可得出答案．【解题过程】解：如图，取圆心为O，连接OA，设⊙O的半径为rm，则OC＝OA＝rm，∵拱高CD＝3m，∴OD＝（3﹣r）m，OD⊥AB，∵AB＝2m，∴AD＝BD=12AB＝1m，∵OA2＝AD2+OD2，∴r2＝12+（3﹣r）2，解得：r=5 3，∴该拱门的半径为53 m，故选：A．4．（2021秋•海淀区校级期中）数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小的解决方案如下：如图，在轮子圆弧上任取两点A，B，连接AB，再作出AB的垂直平分线，交AB于点C，交AB于点D，测出AB，CD的长度，即可计算得出轮子的半径．现测出AB＝40cm，CD＝10cm，则轮子的半径为（ ）A．50cm B．35cm C．25cm D．20cm【思路点拨】由垂径定理，可得出BC的长；连接OB，在Rt△OBC中，可用半径OB表示出OC的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长．【解题过程】解：设圆心为O，连接OB．Rt△OBC中，BC=12AB＝20cm，根据勾股定理得：OC2+BC2＝OB2，即：（OB﹣10）2+202＝OB2，解得：OB＝25；故轮子的半径为25cm．故选：C．5．（2021秋•曾都区期中）在圆柱形油槽内装有一些油，油槽直径MN为10分米．截面如图，油面宽AB 为6分米，如果再注入一些油后，当油面宽变为8分米，油面AB上升（ ）A．1分米B．4分米C．3分米D．1分米或7分米【思路点拨】实质是求两条平行弦之间的距离．根据勾股定理求弦心距，作和或差分别求解．【解题过程】解：连接OA．作OG⊥AB于G，则在直角△OAG中，AG＝3分米，因为OA＝5cm，根据勾股定理得到：OG＝4分米，即弦AB的弦心距是4分米，同理当油面宽AB为8分米时，弦心距是3分米，当油面没超过圆心O时，油上升了1分米；当油面超过圆心O时，油上升了7分米．因而油上升了1分米或7分米．故选：D．6．（2021秋•宁波期末）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝6cm，则球的半径为（ ）A．3cm B．134cm C．154cm D．174cm【思路点拨】设球的平面投影圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，延长NO交BC于点M，连接OF，由垂径定理得：NF＝EN=12EF＝3（cm），设OF＝xcm，则OM＝（4﹣x）cm，再在Rt△MOF中由勾股定理求得OF的长即可．【解题过程】解：设球的平面投影圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，延长NO交BC于点M，连接OF，如图所示：则NF＝EN=12EF＝3（cm），∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，∴四边形CDNM是矩形，∴MN＝CD＝6cm，设OF＝xcm，则OM＝OF，∴ON＝MN﹣OM＝（6﹣x）cm，在Rt△ONF中，由勾股定理得：ON2+NF2＝OF2，即：（6﹣x）2+32＝x2，解得：x=15 4，即球的半径长是154cm，故选：C．7．（2022•鄂州）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，则这种铁球的直径为（ ）A ．10cmB ．15cmC ．20cmD ．24cm【思路点拨】连接OE ，交AB 于点F ，连接OA ，∵AC ⊥CD 、BD ⊥CD ，由矩形的判断方法得出四边形ACDB 是矩形，得出AB ∥CD ，AB ＝CD ＝16cm ，由切线的性质得出OE ⊥CD ，得出OE ⊥AB ，得出四边形EFBD 是矩形，AF =12AB =12×16＝8（cm ），进而得出EF ＝BD ＝4cm ，设⊙O 的半径为rcm ，则OA ＝rcm ，OF ＝OE ﹣EF ＝（r ﹣4）cm ，由勾股定理得出方程r 2＝82+（r ﹣4）2，解方程即可求出半径，继而求出这种铁球的直径．【解题过程】解：如图，连接OE ，交AB 于点F ，连接OA ，∵AC ⊥CD 、BD ⊥CD ，∴AC ∥BD ，∵AC ＝BD ＝4cm ，∴四边形ACDB 是平行四边形，∴四边形ACDB 是矩形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ＝16cm ，∵CD 切⊙O 于点E ，∴OE ⊥CD ，∴OE ⊥AB ，∴四边形EFBD 是矩形，AF =12AB =12×16＝8（cm ），∴EF ＝BD ＝4cm ，设⊙O 的半径为rcm ，则OA ＝rcm ，OF ＝OE ﹣EF ＝（r ﹣4）cm ，在Rt△AOF中，OA2＝AF2+OF2，∴r2＝82+（r﹣4）2，解得：r＝10，∴这种铁球的直径为20cm，故选：C．8．（2022•上海）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，则这个花坛的面积为 400π .（结果保留π）【思路点拨】根据垂径定理，勾股定理求出OB2，再根据圆面积的计算方法进行计算即可．【解题过程】解：如图，连接OB，过点O作OD⊥AB于D，∵OD⊥AB，OD过圆心，AB是弦，∴AD＝BD=12AB=12（AC+BC）=12×（11+21）＝16，∴CD＝BC﹣BD＝21﹣16＝5，在Rt△COD中，OD2＝OC2﹣CD2＝132﹣52＝144，在Rt△BOD中，OB2＝OD2+BD2＝144+256＝400，∴S⊙O＝π×OB2＝400π，故答案为：400π．9．（2021秋•溧水区期末）在一个残缺的圆形工件上量得弦BC＝8cm，BC的中点D到弦BC的距离DE＝2cm，则这个圆形工件的半径是 5 cm．【思路点拨】由垂径定理的推论得圆心在直线DE上，设圆心为0，连接OB，半径为R，再由垂径定理得BE＝CE=12 BC＝4（cm），然后由勾股定理得出方程，解方程即可．【解题过程】解：∵DE⊥BC，DE平分弧BC，∴圆心在直线DE上，设圆心为O，半径为Rcm，如图，连接OB，则OD⊥BC，OE＝R﹣DE＝（R﹣2）cm，∴BE＝CE=12BC＝4（cm），在Rt△OEB中，OB2＝BE2+OE2，即R2＝42+（R﹣2）2，解得：R＝5，即这个圆形工件的半径是5cm，故答案为：5．10．（2022•柯桥区一模）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意思是：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝1寸，CD＝1尺，那么直径AB的长为多少寸？（注：1尺＝10寸）根据题意，该圆的直径为 26 寸．【思路点拨】连接OC，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE的长，设OC ＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB 的长．【解题过程】解：连接OC，∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，又∵CD＝10寸，∴CE＝DE=12CD＝5寸，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，即（x﹣1）2+52＝x2，解得x＝13，∴AB＝26寸，即直径AB的长为26寸，故答案为：26．11．（2021秋•瑞安市期末）某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽AB为24m，AB离地面的高度AE＝10 m，拱顶最高处C离地面的高度CD为18m，在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等都等于17m，则MN＝ 10 m．【思路点拨】根据题意和垂径定理得到CG＝8m，AG＝12m，CH＝1m，根据勾股定理求得半径，进而利用勾股定理求得MH，即可求得MN．【解题过程】解：设CD于AB交于G，与MN交于H，∵CD＝18m，AE＝10m，AB＝24m，HD＝17m，∴CG＝8m，AG＝12m，CH＝1m，设圆拱的半径为r，在Rt△AOG中，OA2＝OG2+AG2，∴r2＝（r﹣8）2+122，解得r＝13，∴OC＝13m，∴OH＝13﹣1＝12m，在Rt△MOH中，OM2＝OH2+MH2，∴132＝122+MH2，解得MH2＝25，∴MH＝5m，∴MN＝10m，故答案为10．12．（2022•荆州）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直径BC＝12cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为 7.5 cm（玻璃瓶厚度忽略不计）．【思路点拨】设球心为O，过O作OM⊥AD于M，连接OA，设球的半径为rcm，由垂径定理得AM＝DM=12AD＝6（cm）然后在Rt△OAM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解题过程】解：如图，设球心为O，过O作OM⊥AD于M，连接OA，设球的半径为rcm，由题意得：AD＝12cm，OM＝32﹣20﹣r＝（12﹣r）（cm），由垂径定理得：AM＝DM=12AD＝6（cm），在Rt△OAM中，由勾股定理得：AM2+OM2＝OA2，即62+（12﹣r）2＝r2，解得：r＝7.5，即球的半径为7.5cm，故答案为：7.5．13．（2021秋•温州校级月考）如图是郑州圆形“戒指桥”，其数学模型为如图所示．已知桥面跨径AB＝20米，D为圆上一点，DC⊥AB于点C，且CD＝BC＝14米，则该圆的半径长为 26 米．【思路点拨】过O作ON⊥AB于N，过D作DM⊥ON于M，由垂径定理得AN＝BN=12AB＝10（米），再证四边形DCNM是矩形，则MN＝CD＝14米，DM＝CN＝BC+BN＝24（米），设该圆的半径长为r米，然后由题意列出方程组，解方程组即可．【解题过程】解：过O作ON⊥AB于N，过D作DM⊥ON于M，如图所示：则AN＝BN=12AB＝10（米），∠ONC＝∠DMN＝90°，∵DC⊥AB，∴∠DCN＝90°，∴四边形DCNM是矩形，∴MN＝CD＝14米，DM＝CN＝BC+BN＝24（米），设该圆的半径长为r米，由题意得：ON2=r2−102 OM2=r2−242 OM=ON−14，解得：r=26ON=24 OM=10，即该圆的半径长为26米，故答案为：26．14．（2021秋•金安区校级期末）往直径为680mm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示，若油面宽AB＝600mm，求油的最大深度．【思路点拨】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD 的长，进而可得出CD的长．【解题过程】解：过点O作OC⊥AB于点D，交弧AB于点C．∵OC⊥AB于点D∴BD=12AB=12×600＝300mm，∵⊙O的直径为680mm∴OB＝340mm…（5分）∵在Rt△ODB中，OD=160（mm），∴DC＝OC﹣OD＝340﹣160＝180（mm）；答：油的最大深度为180mm．15．（2021秋•惠城区校级期中）如图，⊙O为水管横截面，水面宽AB＝24cm，水的最大深度为18cm，求⊙O的半径．【思路点拨】由垂径定理可知AD＝12cm，设⊙O的半径为rcm，则OD＝（18﹣r）cm，在Rt△AOd中，再利用勾股定理即可求出r的值．【解题过程】解：作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，∴AD=12AB=12×24＝12cm，设⊙O的半径为rcm，则OD＝ED﹣OE＝（18﹣r）cm，在Rt△AOD中，由勾股定理得：OA2＝OD2+AD2，即r2＝（18﹣r）2+122，解得：r＝13，即⊙O的半径为13cm.16．（2021秋•奈曼旗期中）如图所示，测得AB是8mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，求这个圆的直径．【思路点拨】过O作OC⊥AB于C，交优弧AB于D，连接AO，由垂径定理得AC＝BC=12AB＝4（mm），设⊙O的半径为rmm，则OC＝CD﹣OD＝（8﹣r）mm，然后在Rt△AOC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解题过程】解：如图，过O作OC⊥AB于C，交优弧AB于D，连接AO，则AC＝BC=12AB＝4（mm），CD＝8mm，设⊙O的半径为rmm，则OC＝CD﹣OD＝（8﹣r）mm，在Rt△AOC中，由勾股定理得：42+（8﹣r）2＝r2，解得：r＝5，即⊙O的半径为5mm，∴⊙O的直径为10mm．17．（2021秋•阜阳月考）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就，它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED＝1寸），锯道长1尺（AB＝1尺＝10寸）．问这块圆形木材的直径（AC）是多少？”如图所示，请根据所学的知识解答上述问题．【思路点拨】设⊙O的半径为x寸．在Rt△ADO中，AD＝5寸，OD＝（x﹣1）寸，OA＝x寸，则有x2＝（x﹣1）2+52，解方程即可．【解题过程】解：设⊙O的半径为x寸，∵OE⊥AB，AB＝10寸，∴AD＝BD=12AB＝5寸，在Rt△AOD中，OA＝x，OD＝x﹣1，由勾股定理得x2＝（x﹣1）2+52，解得x＝13，∴⊙O的直径AC＝2x＝26（寸），答：这块圆形木材的直径（AC）是26寸．18．（2021秋•高新区期中）某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．（1）请你补全这个输水管道的圆形截面图；（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝32cm，水最深处的地方高度为8cm，求这个圆形截面的半径．【思路点拨】（1）根据尺规作图的步骤和方法做出图即可；（2）先过圆心O作半径OD⊥AB，交AB于点D，设半径为r，得出AD、OD的长，在Rt△AOD中，根据勾股定理求出这个圆形截面的半径．【解题过程】解：（1）如图所示；（2）作OD⊥AB于D，并延长交⊙O于C，则D为AB的中点，∵AB＝32cm，∴AD=12AB＝16．设这个圆形截面的半径为xcm，又∵CD＝8cm，∴OC＝x﹣8，在Rt△OAD中，∵OD2+AD2＝OA2，即（x﹣8）2+162＝x2，解得，x＝20．∴圆形截面的半径为20cm．19．（2021秋•黔西南州期末）如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60m，拱高PM为18m，当洪水泛滥到跨度只有30m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m，即PN＝4m时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施．【思路点拨】由垂径定理可知AM＝BM、A′N＝B′N，利用AB＝60，PM＝18，可先求得圆弧所在圆的半径，再计算当PN ＝4时A′B′的长度，与30米进行比较大小即可．【解题过程】解：设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA′，设半径为x米，则OA＝OA′＝OP，由垂径定理可知AM＝BM，A′N＝B′N，∵AB＝60米，∴AM＝30米，且OM＝OP﹣PM＝（x﹣18）米，在Rt△AOM中，由勾股定理可得AO2＝OM2+AM2，即x2＝（x﹣18）2+302，解得x＝34，∴ON＝OP﹣PN＝34﹣4＝30（米），在Rt△A′ON中，由勾股定理可得A′N=16（米），∴A′B′＝32米＞30米，∴不需要采取紧急措施．20．（2021秋•余干县期中）如图是某蔬菜基地搭建一座圆弧型蔬菜棚，跨度AB＝3.2米，拱高CD＝0.8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．（1）求该圆弧所在圆的半径；（2）在距蔬菜棚的一端0.4米处竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度．【思路点拨】（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC至O点，设⊙O的半径为R，利用勾股定理求出即可；（2）利用垂径定理以及勾股定理得出HF的长，再求出EF的长即可．【解题过程】解：（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O点，则BC=12AB＝1.6（米），设⊙O的半径为R，在Rt△OBC中，OB2＝OC2+CB2，∴R2＝（R﹣0.8）2+1.62，解得R＝2，即该圆弧所在圆的半径为2米；（2）过O作OH⊥FE于H，则OH＝CE＝1.6﹣0.4＝1.2=65（米），OF＝2米，在Rt△OHF中，HF== 1.6（米），∵HE＝OC＝OD﹣CD＝2﹣0.8＝1.2（米），∴EF＝HF﹣HE＝1.6﹣1.2＝0.4（米），即支撑杆EF的高度为0.4米．21．如图①，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图②是一款拱门的示意图，其中C为AB中点，D为拱门最高点，线段CD经过圆心，已知拱门的半径为1.5m，拱门最下端AB＝1.8m．（1）求拱门最高点D到地面的距离；（2）现需要给房间内搬进一个长和宽为2m，高为1.2m的桌子，已知搬桌子的两名工人在搬运时所抬高度相同，且高度为0.5m 2.236）【思路点拨】（1）如图②中，连接AO．利用勾股定理求出OC即可；（2）如图②﹣1，弦EF＝2m，且EF⊥CD，连接OE．求出CJ即可．【解题过程】解：（1）如图②中，连接AO．∵CD⊥AB，CD经过圆心O，∴AC＝CB＝0.9m，∴OC= 1.2（m），∴CD＝OD+PC＝1.5+1.2＝2.7（m），∴拱门最高点D到地面的距离为2.7m；（2）如图②﹣1，弦EF＝2m，且EF⊥CD，连接OE．∵CD⊥EF，CD经过圆心，∴EJ＝JF＝1m，≈1.118，∴OJ=2∴CJ＝1.2﹣1.118＝0.082（m），∵0.5＞0.082，∴搬运该桌子时能够通过拱门．22．（2021秋•姑苏区校级月考）诗句“君到姑苏见，人家尽枕河”所描绘的就是有东方威尼斯之称的水城苏州．小勇要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面AB宽度16m时，拱顶高出水平面4m，货船宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m．（1）请你帮助小勇求此圆弧形拱桥的半径；（2）小勇在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由．【思路点拨】（1）根据垂径定理和勾股定理求解；（2）连接ON，利用勾股定理求出EN，得出MN的长，即可得到结论．【解题过程】解：（1）如图，连接OB．∵OC⊥AB，∴D为AB中点，∵AB＝16m，∴BD=12AB＝8（m），又∵CD＝4m，设OB＝OC＝r，则OD＝（r﹣4）m．在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+82，解得r＝10．答：此圆弧形拱桥的半径为10m．（2）此货船不能顺利通过这座拱桥，理由如下：连接ON，∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面3m，∴CE＝4﹣3＝1（m），∴OE＝r﹣CE＝10﹣1＝9（m），在Rt△OEN中，由勾股定理得：EN∴MN＝2EN＝＜12m．∴此货船B不能顺利通过这座拱桥．。
中考数学专题复习《垂径定理》测试卷-附带答案
中考数学专题复习《垂径定理》测试卷-附带答案学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________ 1．如图 在O 中 直径AB 垂直弦CD 于点E 连接,,AC AD BC 作CF AD ⊥于点F 交线段OB 于点G （不与点,O B 重合） 连接OF ．(1)若1BE = 求GE 的长．(2)求证：2BC BG BO =⋅．(3)若FO FG = 猜想CAD ∠的度数 并证明你的结论．2．如图 AB 是O 直径 直线l 经过O 上一点C 过点A 作直线l 的垂线．垂足为D ．连接AC ．已知AC 平分DAB ∠．(1)求证：直线l 与O 相切(2)若70DAB ∠=︒ 3CD = 求O 的半径．（参考数据：sin350.6︒≈cos350.8︒≈．tan350.7︒≈）3．如图 AC 与BD 相交于点E 连接AB CD CD DE =．经过A B C 三点的O 交BD 于点F 且CD 是O 的切线．(1)连接AF 求证：AF AB =(2)求证：2AB AE AC =⋅(3)若2AE = 6EC = 4BE = 则O 的半径为 ． 4．如图 四边形ABCD 内接于O 对角线,AC BD 交于点E 连接OE ．若,AC BD O ⊥的半径为,r OE m =．(1)若ABC BAD ∠=∠ 求证：OE 平分AEB ∠(2)试用含,r m 的式子表示22AC BD +的值(3)记ADE BCE ABE CDE 的面积分别为1S 2S 3S 4S 当求证：AC BD =．5．如图 AB 是O 的直径 ,C D 是O 上两点 且AD CD = 连接BC 并延长与过点D 的O 的切线相交于点E 连接OD ．(1)证明：OD 平分ADC ∠(2)若44,tan 3DE B == 求CD 的长． 6．已知BC 是O 的直径 点D 是BC 延长线上一点 AB AD = AE 是O 的弦 30AEC ∠=︒．(1)求证：直线AD 是O 的切线(2)若AE BC ⊥ 垂足为M O 的半径为10 求AE 的长．7．已知 在O 中 AB 为弦 点C 在圆内 连接AC BC OC 、、,ACO BCO ∠=∠．(1)如图1 求证：AC BC =(2)如图2 延长AC BC 、交O 于点E D 、 连接DE 求证：AB DE ∥(3)如图3 在（2）的条件下 设O 的半径为,3R DE R = 弦FG 经过点C 连接BG BF 、 72,3,33DBF DBG CG R ∠=∠== 求线段CF 的长． 8．已知点,,A B C 在O 上．(1)如图① 过点A 作O 的切线EF 交BC 延长线于点,E D 是弧BC 的中点 连接DO 并延长 交BC 于点G 交O 于点H 交切线EF 于点F 连接,BA BH ．若24ABH ∠=︒ 求E ∠的大小(2)如图① 若135AOC B ∠+∠=︒ O 的半径为5 8BC = 求AB 的长． 9．如图 A B C D 分别为O 上一点 连AB AC BC BD CD AC 垂直于BD 于E AC BC = 连CO 并延长交BD 于F ．(1)求证：CD CF =(2)若10BC = 6BE = 求O 的半径．10．如图 在 Rt ABC △中 90C ∠=︒，AD 平分 BAC ∠ 交 BC 于点D 点O 是边 AB 上的点 以点O 为圆心 OD 长为半径的圆恰好经过点A 交AC 于点E 弦 EF AB ⊥于点G ．(1)求证：BC 是O 的切线．(2)若 12AG EG ==，，求O 的半径．(3)设O 与AB 的另一个交点为 H 猜想AH AE CE 之间的数量关系 并说明理由． 11．如图 在ABC 中 90ACB ∠=︒ 5AB = 1AD = BD BC = 以BD 为直径作O 交BC 于点E 点F 为AC 边上一点 连接EF 过点A 作AG EF ⊥ 垂足为点G =BAC GAF ∠∠．(1)求证：EG 为O 的切线(2)求BE 的长．12．如图 四边形ABCD 中 90B C ∠=∠=︒ 点E 是边BC 上一点 且DE 平分AEC ∠ 作ABE的外接圆O．(1)求证：DC是O的切线(2)若O的半径为5 2CE=求BE与DE的长．13．如图1 在直角坐标系中以原点O为圆心半径为10作圆交x轴于点A B，（点A⊥（点D在点E上方）连在点B的左边）．点C为直径AB上一动点过点C作弦DE AB∥交圆O于另一点记为点F．直线EF交x轴于点G连接接AE过点D作DF AE，，．OE BF AD(1)若80∠=︒求ADFBOE∠的度数(2)求证：OE BF∥(3)若2=请直接写出点C横坐标．OG CG14．如图AB为O的弦C为AB的中点D为OC延长线上一点连接BO并延长交O于点E交直线DA于点F B D∠=∠．(1)求证：DA为O的切线(2)若42EF=求弦AB的长度．AF=2⊥交O于B C两点．连15．如图在O中M为半径OA上一点．过M作弦BC OA=．接BO并延长交O于点D连接AD交BC于点E．已知EB ED(1)求证：60CD =︒(2)探究线段CE EM 长度之间的数量关系 并证明．参考答案：1．(1)1(3)45︒2．(2)2583．4．(2)()222242AC BD r m +=-5．(2)6．(2)AE =7．(3)21349CF =8．(1)48E ∠=︒ (2)9．51010．(2)52(3)2AH AE CE =+11．(2)16512．(2)6BE = 25DE =13．(1)100︒(3)点C 555-14．28215．(2)2CE EM =。
九年级数学：垂径定理练习(第2课时)(含答案)
九年级数学：垂径定理练习(第2课时)（含答案）1．平分弦(____________)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧．2．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦．3．垂径定理解读：(1)过圆心；(2)平分弦(不是直径)；(3)垂直于弦；(4)平分弦所对的优弧；(5)平分弦所对的劣弧．若一条直线具备这五项中任意两项,则必具备另外三项．A组基础训练1．下列命题正确的有( )①垂直于弦的直径平分弦②平分弦的直径必垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧③平分弦的直线必过圆心④弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图,⊙O的弦AB＝8,M是AB的中点,且OM＝3,则⊙O的半径等于( )A．8 B．2 C．10 D．5第2题图3．如图,已知⊙O的半径为2cm,弦AB长23cm,则这条弦的中点C到弦所对劣弧的中点D 的距离为( )第3题图A ．1cmB ．2cm C.2cm D.3cm4．如图,一条公路弯道处是一段圆弧AB ︵,点O 是这条弧所在圆的圆心,C 是AB ︵的中点,OC 与AB 相交于点D.已知AB ＝120m ,CD ＝20m ,那么这段弯道的半径为( )第4题图A ．200mB ．2003mC ．100mD ．1003m5．如图,AB 为⊙O 的直径,CD 是弦,AB 与CD 相交于点E.若要得到结论AB⊥CD ,还需添加的条件是________________________________．(不添加其他辅助线)第5题图6.如图,AB ,CD 是⊙O 的直径,D 是AE ︵的中点,AE 与CD 交于点F ,若OF ＝3,则BE 的长为________．第6题图7．如图所示,AB 是半圆的直径,O 是圆心,C 是半圆上一点,E 是AC ︵的中点,OE 交弦AC 于点D.若AC ＝8cm ,DE ＝2cm ,则OD 的长为________．第7题图8.如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐标是(10,0),点B 的坐标为(8,0),点C 、D 在以OA 为直径的半圆M 上,且四边形OCDB 是平行四边形,则点C 的坐标为________．第8题图9．如图,⊙O是△ABC的外接圆,且AB＝AC＝13,BC＝24,求⊙O的半径．第9题图10．(绍兴中考)如图1,小敏利用课余时间制作了一个脸盆架,图2是它的截面图,垂直放置的脸盆与架子的交点为A,B,AB＝40cm,脸盆的最低点C到AB的距离为10cm,求该脸盆的半径．第10题图B组自主提高11．如图所示,某游乐场的摩天轮⊙P的最高处A到地面l的距离是23m,最低处B到地面l的距离是3m,从B处乘摩天轮绕一周需3分钟,小明从B处乘摩天轮一周的过程中,当他到地面l的距离恰好是18m的时候应为第________分钟．第11题图11．如图,AB ,CD 是半径为5的⊙O 的两条弦,AB ＝8,CD ＝6,MN 是直径,AB ⊥MN 于点E ,CD ⊥MN 于点F ,P 为EF 上的任意一点,则PA ＋PC 的最小值为________．第12题图13．已知：如图,A 、B 、C 为⊙O 上三点,点D 、E 分别为AB ︵、AC ︵的中点,连结DE ,分别交AB 、AC 于点F 、G ,求证：AF ＝AG.第13题图C 组 综合运用14．如图,隧道的截面由圆弧AED 和矩形ABCD 构成,矩形的长BC 为12m ,宽AB 为3m ,隧道的顶端E (圆弧AED 的中点)高出道路(BC )7m.(1)求圆弧AED 所在圆的半径；(2)如果该隧道内设双行道,现有一辆超高货运卡车高6.5m ,宽2.3m ,问这辆货运卡车能否通过该隧道．第14题图3．3 垂径定理(第2课时)【课堂笔记】1．不是直径【课时训练】1－4.BDAC5．CE ＝DE 或AC ︵＝AD ︵或BC ︵＝BD ︵6．67．3cm8．(1,3)9．连结OA 交BC 于点D,连结OC,OB,∵AB ＝AC ＝13,∴AB ︵＝AC ︵,∴∠AOB ＝∠AOC ,∵OB ＝OC,∴AO ⊥BC,CD ＝12BC ＝12.在Rt △ACD 中,AC ＝13,CD ＝12,所以AD ＝132－122＝5,设⊙O 的半径为r,则在Rt △OCD 中,OD ＝r －5,CD ＝12,OC ＝r,所以(r －5)2＋122＝r 2,计算得出r ＝16.9.答：⊙O 的半径为16.9.第10题图10．如图,设圆的圆心为O,连结OA,OC,OC 与AB 交于点D,设⊙O 半径为R,∵OC ⊥AB,∴AD ＝DB ＝12AB ＝20,∠ADO ＝90°,在Rt △AOD 中,∵OA 2＝OD 2＋AD 2,∴R 2＝202＋(R －10)2,∴R ＝25,即该脸盆的半径为25cm.11．1或212．7 2第13题图13．连OD、OE,交AB、AC于M、N,∵OD＝OE＝r,∴∠ODE＝∠OED,而D,E分别为弧AB,弧AC的中点,∴OD、OE分别垂直于AB、AC,则有∠DFB＝∠EGC,∴∠AFG＝∠AGF,∴AF＝AG.14．(1)设圆心为点O,半径为R,连结OE交AD于F点,连结OA,OD,由垂径定理,得OF垂直平分AD,AF＝6,OF＝R－(7－3)＝R－4,由勾股定理,得AF2＋OF2＝OA2,即：62＋(R－4)2＝R2,解得R＝6.5米；(2)能通过,但要小心．车宽GH＝2.3,圆的半径OH＝6.5,由勾股定理,得OG＝ 6.52－2.32≈6.08,G点与BC的距离为7－6.5＋6.08＝6.58＞6.5；能通过．第14题图。
部编数学九年级上册专题24.1垂径定理(重点题专项讲练)(人教版)(解析版)含答案
专题24.1 垂径定理【典例1】如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．（1）求证：AC＝BD；（2）连接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的长．（1）过O作OH⊥CD于H，根据垂径定理得到CH＝DH，AH＝BH，即可得出结论；（2）过O作OH⊥CD于H，连接OD，由垂径定理得CH＝DH=12CD，再证△OCD是等边三角形，得CD＝OC＝4，则CH＝2，然后由勾股定理即可解决问题．（1）证明：过O作OH⊥CD于H，如图1所示：∵OH⊥CD，∴CH＝DH，AH＝BH，∴AH﹣CH＝BH﹣DH，∴AC＝BD；（2）解：过O作OH⊥CD于H，连接OD，如图2所示：则CH＝DH=12 CD，∵OC＝OD，∠OCD＝60°，∴△OCD是等边三角形，∴CD＝OC＝4，∴CH＝2，∴OH=∴AH∴AC＝AH﹣CH＝2．1．（2022•芜湖一模）已知⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB＝8，且AB⊥CD，垂足为M，则AC 的长为（ ）A．B．C．D．【思路点拨】连接OA，由AB⊥CD，根据垂径定理得到AM＝4，再根据勾股定理计算出OM＝3，然后分类讨论：当如图1时，CM＝8；当如图2时，CM＝2，再利用勾股定理分别计算即可．【解题过程】解：连接OA，∵AB⊥CD，∴AM＝BM=12AB=12×8＝4，在Rt△OAM中，OA＝5，∴OM=3，当如图1时，CM＝OC+OM＝5+3＝8，在Rt△ACM中，AC=当如图2时，CM＝OC﹣OM＝5﹣3＝2，在Rt△ACM中，AC=故选：C．2．（2022春•江夏区校级月考）如图，在⊙O中，弦AB＝5，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为（ ）A．5B．2.5C．3D．2【思路点拨】连接OD，如图，利用勾股定理得到CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，再求出CD即可．【解题过程】解：连接OD，如图，∵CD⊥OC，∴∠DCO＝90°，∴CD=当OC的值最小时，CD的值最大，而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，∴CD＝CB=12AB=12×5＝2.5，即CD的最大值为2.5，故选：B．3．（2022•山海关区一模）已知⊙O的直径CD＝10，CD与⊙O的弦AB垂直，垂足为M，且AM＝4.8，则直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有（ ）A．1个B．3个C．6个D．7个【思路点拨】利用勾股定理得出线段AD和AC的长，根据垂线段的性质结合图形判断即可．【解题过程】解：∵CD是直径，∴OC＝OD=12CD=12×10＝5，∵AB⊥CD，∴∠AMC＝∠AMD＝90°，∵AM＝4.8，∴OM==1.4，∴CM＝5+1.4＝6.4，MD＝5﹣1.4＝3.6，∴AC=8，AD=6，∵AM＝4.8，∴A点到线段MD的最小距离为4.8，最大距离为6，则A点到线段MD的整数距离有5，6，A点到线段MC的最小距离为4.8，最大距离为8，则A点到线段MC的整数距离有5，6，7，8，直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有6个，故选：C．4．（2022•博山区一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A（0，﹣2），B（0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为（ ）A．0)B．(−4+0)C．(−40)D．0)【思路点拨】过O点作EH⊥AB于H，EF⊥CD于F，连接ED，如图，根据垂径定理得到CF＝DF，AH＝BH＝3，所以OH＝1，再利用勾股定理计算出EH＝4，则EF＝1，OF＝4，接着利用勾股定理计算出FD，然后计算出OD，从而得到D点坐标．【解题过程】解：过O点作EH⊥AB于H，EF⊥CD于F，连接ED，如图，则CF＝DF，AH＝BH∵A（0，﹣2），B（0，4），∴AB＝6，∴BH＝3，∴OH＝1，在Rt△BHE中，EH4，∵四边形EHOF为矩形，∴EF＝OH＝1，OF＝EH＝4，在Rt△OEF中，FD==∴OD＝FD﹣OF＝4，∴D（4，0）．故选：B ．5．（2022•新洲区模拟）如图，点A ，C ，D 均在⊙O 上，点B 在⊙O 内，且AB ⊥BC 于点B ，BC ⊥CD 于点C ，若AB ＝4，BC ＝8，CD ＝2，则⊙O 的面积为（ ）A ．125π4B ．275π4C ．125π9D ．275π9【思路点拨】利用垂径定理和勾股定理建立方程求出ON ，再求出半径后，根据圆面积的计算方法进行计算即可．【解题过程】解：如图，连接OA 、OC ，过点O 作OM ⊥CD 于M ，MO 的延长线于AB 延长线交于N ，则四边形BCMN 是矩形，∵OM ⊥CD ，CD 是弦，∴CM ＝DM =12CD ＝1＝BN ，∴AN ＝AB +BN ＝4+1＝5，设ON ＝x ，则OM ＝8﹣x ，在Rt △AON 、Rt △COM 中，由勾股定理得，OA 2＝AN 2+ON 2，OC 2＝OM 2+CM 2，∵OA ＝OC ，∴AN 2+ON 2＝OM 2+CM 2，即52+x 2＝（8﹣x ）2+12，解得x =52，即ON =52，∴OA 2＝52+（52）2=1254，∴S⊙O＝π×OA2=1254π，故选：A．6．（2021秋•延平区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（ ）A．910B．65C．85D．125【思路点拨】由题意可知，C、O、G三点在一条直线上OG最小，MN最大，再由勾股定理求得AB，然后由三角形面积求得CF，最后由垂径定理和勾股定理即可求得MN的最大值．【解题过程】解：过O作OG⊥AB于G，连接OC、OM，∵DE＝3，∠ACB＝90°，OD＝OE，∴OC=12DE=32，只有C、O、G三点在一条直线上OG最小，∵OM=3 2，∴只有OG最小，GM才能最大，从而MN有最大值，过C作CF⊥AB于F，∴G和F重合时，MN有最大值，∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，∴AB==5，∵12AC•BC=12AB•CF，∴CF=AC×BCAB=4×35=125，∴OG＝CF﹣OC=125−32=910，∴MG===6 5，∴MN＝2MG=12 5，故选：D．7．（2022•吴忠模拟）如图，AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于E，若AE＝1，∠D＝30°，则AB＝ 4 ．【思路点拨】根据含30度角的直角三角形的性质求出AD，根据垂径定理求出AC=AD，求出AC＝AD＝2，根据圆周角定理求出∠ACB＝90°，∠B＝∠D＝30°，再根据含30度角的直角三角形的性质得出AB＝2AC即可．【解题过程】解：∵CD⊥AB，∴∠AED＝90°，∵AE＝1，∠D＝30°，∴AD＝2AE＝2，∠ABC＝∠D＝30°，∵AB⊥CD，AB过圆心O，∴AC=AD，∴AC＝AD＝2，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AB＝2AC＝2×2＝4，故答案为：4．8．（2022•烟台模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝4，BP＝12，∠APC＝30°，则CD的长为【思路点拨】过O作OI⊥CD于I，连接OD，求出半径OD＝OA＝8，求出OP，根据含30度角的直角三角形的性质求出OI，根据勾股定理求出DI，根据垂径定理求出DI＝CI，再求出CD即可．【解题过程】解：过O作OI⊥CD于I，连接OD，则∠OID＝∠OIP＝90°，∵AP＝4，BP＝12，∴直径AB＝4+12＝16，即半径OD＝OA＝8，∴OP＝OA﹣AP＝8﹣4＝4，∵∠IPO＝∠APC＝30°，∴OI=12OP=12×4=2，由勾股定理得：DI==∵OI⊥CD，OI过圆心O，∴DI＝CI＝即CD＝DI+CI＝故答案为：9．（2022•桥西区校级模拟）如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN＝10，AB＝8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是 3 ，⊙C上的整数点有 12 个．【思路点拨】过C作直径UL∥x轴，连接AC，根据垂径定理求出AO＝BO＝4，根据勾股定理求出OC，再得出答案即可．【解题过程】解：过C作直径UL∥x轴，连接CA，则AC=12×10＝5，∵MN过圆心C，MN⊥AB，AB＝8，∴AO＝BO＝4，∠AOC＝90°，由勾股定理得：CO3，∴ON＝5﹣3＝2，OM＝5+3＝8，即A（﹣4，0），B（4，0），M（0，8），N（0，﹣2），同理还有弦QR＝AB＝8，弦WE＝TS＝6，且WE、TS、QR都平行于x轴，Q（﹣4，6），R（4，6），W（﹣3，7），E（3，7），T（﹣3，﹣1），S（3，﹣1），U（﹣5，3），L （5，3），即共12个点，故答案为：3；12．10．（2022•商城县三模）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在小正方形的顶点上，点C 同时也在AB 上，若点P 是BC 的一个动点，则△ABP 面积的最大值是 −8 ．【思路点拨】作AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AB 于E ，圆心为0，则点O 在DE 上，连接AE 、BE ，CF ⊥OE 于F ，如图，设⊙O 的半径为r ，OD ＝x ，利用勾股定理得到r 2＝x 2+42①，r 2＝（x +2）2+22②，则利用②﹣①可求出得x ＝2，所以r ＝DE ＝2，然后根据三角形面积公式，点P 点与点E 重合时，△ABP 面积的最大值．【解题过程】解：作AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AB 于E ，圆心为0，则点O 在DE 上，连接AE 、BE ，CF ⊥OE 于F ，如图，设⊙O 的半径为r ，OD ＝x ，在Rt △BOD 中，r 2＝x 2+42①，在Rt △OCF 中，r 2＝（x +2）2+22②，②﹣①得4+4x +4﹣16＝0，解得x ＝2，∴OD ＝2，∴r =∴DE ＝OE ﹣OD ＝2，∵点P 是BC 的一个动点，∴点P 点与点E 重合时，△ABP 面积的最大值，最大值为12×8×（2）＝8．故答案为：8．11．（2022春•徐汇区校级期中）如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，且CE＝CB，若BE＝2AE，CD＝5，那么⊙O的半径为【思路点拨】先证明△AFO和△BCE是等边三角形，设DE＝x，根据CD＝5列方程，求出x得到AD【解题过程】解：如图，记DC与⊙O交于点F，连接AF、OF、OB，过点C作CT⊥AB于点T，连接OE，OT．∵D为半径OA的中点，CD⊥OA，∴FD垂直平分AO，∴FA＝FO，又∵OA＝OF，∴△AOF是等边三角形，∴∠OAF＝∠AOF＝∠AFO＝60°，∵CE＝CB，CT⊥EB，∴ET＝TB，∵BE＝2AE，∴AE＝ET＝BT，∵AD＝OD，∴DE∥OT，∴∠AOT＝∠ADE＝90°，∴OE＝AE＝ET，∵OA＝OB，∴∠OAE＝∠OBT，∵AO＝BO，AE＝BT，∴△AOE≌△BOT（SAS），∴OE＝OT，∴OE＝OT＝ET，∴∠ETO＝60°，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∠AED＝∠CEB＝60°，∴△CEB是等边三角形，∴CE＝CB＝BE，设DE＝x，∴AE＝2x，BE＝CE＝4x，∴CD＝5x＝5，∴x＝1，∴AD∴AO＝故答案为：12．（2022•盐城）证明：垂直于弦AB的直径CD平分弦以及弦所对的两条弧．【思路点拨】先根据已知画图，然后写出已知和求证，再进行证明即可．【解题过程】如图，CD为⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M．求证：AM＝BM，AC=BC，AD=BD．证明：连接OA、OB，∵OA＝OB，∴△OAB是等腰三角形，∵AB⊥CD，∴AM＝BM，∠AOC＝∠BOC，∴AC=BC，AD=BD．13．（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若BE＝5，CD＝6，求AE 的长．【思路点拨】根据垂径定理和勾股定理求出圆的半径，进而求出AE的长即可．【解题过程】解：如图，连接OC，∵CD⊥AB，AB是直径，∴CE＝DE=12CD＝3，在Rt△COE中，设半径为r，则OE＝5﹣r，OC＝r，由勾股定理得，OE2+CE2＝OC2，即（5﹣r）2+32＝r2，解得r ＝3.4，∴AE ＝AB ﹣BE ＝3.4×2﹣5＝1.8，答：AE 的长为1.8．14．（2021秋•芜湖月考）如图，在△ABC 中AB ＝5，AC ＝4，BC ＝2，以A 为圆心，AB 为半径作⊙A ，延长BC 交⊙A 于点D ，试求CD 的长．【思路点拨】过点A 作AE ⊥BD 于点E ，如图，则DE ＝BE ，利用双勾股得到AC 2﹣CE 2＝AB 2﹣BE 2，即42﹣（BE ﹣2）2＝52﹣BE 2，解方程得到BE =134，然后计算BD ﹣BC 即可．【解题过程】解：过点A 作AE ⊥BD 于点E ，连接AD ，如图，则DE ＝BE ，在Rt △ACE 中，AE 2＝AC 2﹣CE 2，在Rt △ABE 中，AE 2＝AB 2﹣BE 2，∴AC 2﹣CE 2＝AB 2﹣BE 2，即42﹣（BE ﹣2）2＝52﹣BE 2，解得BE =134，∴CD ＝BD ﹣BC ＝2BE ﹣2＝2×134−2=92．答：CD 的长为92．15．（2022•江西开学）如图，在⊙O 中，弦AB ∥CD ，AB ＝8，CD ＝6，AB ，CD 之间的距离为1．（1）求圆的半径．（2）将弦AB 绕着圆心O 旋转一周，求弦AB 扫过的面积．【思路点拨】（1）过点O作OF⊥CD于点F，交AB于点E，连接OA、OD，即可得出DF＝CF＝3，再因为AB∥CD，则可得到OE⊥AB，进而得到AE＝BE＝4，最后根据勾股定理计算即可；（2）先判断出将弦AB绕着圆心O旋转一周，得到的图形，再根据圆面积公式计算即可．【解题过程】解：（1）如图，过点O作OF⊥CD于点F，交AB于点E，连接OA、OD，则DF＝CF＝3，∵AB∥CD，∴OE⊥AB，∴AE＝BE＝4，设OE＝x，则OF＝x+1，根据题意可得：x2+42＝（x+1）2+32，∴x＝3，∴=5；（2）将弦AB绕着圆心O旋转一周，得到的图形是以点O为圆心，以3为半径的圆与以5为半径的圆所围成的环形，故弦AB扫过的面积为π×52﹣π×32＝16π．16．（2021秋•玄武区校级月考）如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB 的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．（1）求证：AC＝CG；（2）若CD＝EG＝8，求⊙O的半径．【思路点拨】（1）利用等角的余角证明∠D＝∠G，再根据圆周角定理得到∠A＝∠D，所以∠A＝∠G，从而得到结论；（2）连接OC，如图，设⊙O的半径为r，根据等腰三角形的性质和垂径定理得到AE＝EG＝8，EC＝ED＝4，则OE＝8﹣r，利用勾股定理得r2＝（8﹣r）2+42，然后解方程即可．【解题过程】（1）证明：∵DF⊥CG，CD⊥AB，∴∠DEB＝∠BFG＝90°，∵∠DBE＝∠GBF，∴∠D＝∠G，∵∠A＝∠D，∴∠A＝∠G，∴AC＝CG；（2）解：连接OC，如图，设⊙O的半径为r．∵CA＝CG，CD⊥AB，∴AE＝EG＝8，EC＝ED＝4，∴OE＝AE﹣OA＝8﹣r，在Rt△OEC中，∵OC2＝OE2+EC2，∴r2＝（8﹣r）2+42，解得r＝5，∴⊙O的半径为5．17．（2022•白云区二模）已知：如图，A，B是半圆O上的两点，CD是⊙O的直径，∠AOD＝80°，B是AD 的中点．（1）在CD上求作一点P，使得AP+PB最短；（2）若CD＝4cm，求AP+PB的最小值．【思路点拨】（1）作出B关于CD的对称点B′，连接AB′，交CD于P点，P就是所求的点；（2）延长AO交圆与E，连接OB′，B′E，可以根据圆周角定理求得∠AOB′的度数，根据等腰三角形的性质求得∠A的度数，然后在直角△AEB′中，解直角三角形即可求解．【解题过程】解：（1）作BB′⊥CD，交圆于B′，然后连接AB′，交CD于P点，P就是所求的点；（2）延长AO交圆于E，连接OB′，B′E．∵BB′⊥CD∴BD=B′D，∵∠AOD＝80°，B是AD的中点，∴∠DOB′=12∠AOD＝40°．∴∠AOB′＝∠AOD+∠DOB′＝120°，又∵OA＝OB′，∴∠A=180°−∠AOB′2=30°．∵AE是圆的直径，∴∠AB′E＝90°，∴直角△AEB′中，B′E=12AE=12×4＝2，∴AB′=．18．（2022•中山市模拟）已知：如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，D、E 为垂足．（1）若AB＝AC，求证：四边形ADOE为正方形．（2）若AB＞AC，判断OD与OE的大小关系，并证明你的结论．【思路点拨】（1）连接OA，根据垂径定理得出AE＝CE，AD＝BD，根据AB＝AC求出AE＝AD，再根据矩形的判定和正方形的判定推出即可；（2）根据勾股定理得出OE2＝OA2﹣AE2，OD2＝OA2﹣AD2，根据AB＞AC求出AD＞AE，再得出答案即可．【解题过程】（1）证明：连接OA，∵OD⊥AB，OE⊥AC，OD和OE都过圆心O，∴∠OEA＝∠ODA＝90°，AE＝CE，AD＝BD，∵AC＝AB，∴AE＝AD，∵AB、AC为互相垂直的两条弦，∴∠EAD＝90°，即∠OEA＝∠EAD＝∠ODA＝90°，∴四边形EADO是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）；（2）解：OD＜OE，证明：∵AB＞AC，AE＝CE，AD＝BD，∴AD＞AE，在Rt△ODA和Rt△OEA中，由勾股定理得：OE2＝OA2﹣AE2，OD2＝OA2﹣AD2，∴OD2＜OE2，即OD＜OE．19．（2022•全椒县一模）如图，⊙O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．（1）OM⊥CD于点M，CD＝24，⊙O的半径长为OM的长．（2）点G在BD上，且AG⊥BD交CD于点F，求证：CE＝EF．【思路点拨】（1）连接OD，由垂径定理和勾股定理可得答案；（2）连接AC，由垂直的定义及等腰三角形的性质可得结论．【解题过程】（1）解：如图，连接OD，∵OM⊥CD，OM过圆心，CD＝24，∴DM＝CM=12CD＝12，∠OMD＝90°，由勾股定理得，OM=4，即OM的长为4；（2）证明：如图，连接AC，∵AG⊥BD，∴∠DGF＝90°，∴∠DFG+∠D＝90°，∵AB⊥CD，∴∠CEA＝90°，∴∠C+∠EAC＝90°，∵∠EAC＝∠D，∠DFG＝∠AFC，∴∠C＝∠AFC，∴AF＝AC，∵AB⊥CD，∴CE＝EF．20．（2022•合肥模拟）如图，在⊙O中，AB，AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF与CD相交于G．（1）求证：ED＝EG；（2）若AB＝8，OG＝1，求⊙O的半径．【思路点拨】（1）连接BD，容易得到∠GBE和∠DBE相等，利用ASA证明△BGE和△BDE全等即可；（2）连接OA，设OA＝r，则DG＝r+1，根据ED＝EG容易求出OE=r−12，再根据垂径定理求出AE的值，最后在Rt△OAE中根据勾股定理求出r的值即可．【解题过程】（1）证明：如图：连接BD，∵AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，∴∠CFG＝∠GEB，∵∠CGF＝∠BGE，∴∠C＝∠GBE，∵∠C＝∠DBE，∴∠GBE＝∠DBE，∵AB⊥CD于E，∴∠GEB＝∠DEB，在△GBE和△DBE中，∠GEB=∠DEBBE=BE∠GBE=∠DBE，∴△BGE≌△BDE（ASA），∴ED＝EG．（2）解：如图：连接OA，设OA＝r，则DG＝r+1，由（1）可知ED＝EG，∴OE=r−1 2，∵AB⊥CD于E，AB＝8，∴AE＝BE＝4，∴在Rt△OAE中，根据勾股定理得：OE2+AE2＝OA2，即（r−12）2+42＝r2，解得：r=13 3，即⊙O的半径为13 3．21．（2021•遵义一模）在《折叠圆形纸片》综合实践课上，小东同学展示了如下的操作及问题：（1）如图1，⊙O1的半径为4cm，通过折叠圆形纸片，使得劣弧AB沿弦AB折叠后恰好过圆心O1，求，AB长；（2）如图2，O2C⊥弦AB，垂足为点C，劣弧AB沿弦AB折叠后经过O2C的中点D，AB＝10cm，求⊙O 的半径．【思路点拨】（1）过点O1作O1F⊥AB于F，得出O1F=12O1F，再根据勾股定理，即可得出结论；（2）同（1）的方法先判断出O2C＝2rcm，再根据勾股定理建立方程求解，即可得出结论．【解题过程】解：（1）如图1，过点O1作O1F⊥AB于F，并延长O1F交虚线劣弧AB于E，∴AB＝2AF，由折叠知，EF＝O1F=12O1E=12×4＝2（cm），连接O1A，在Rt△O1FA中，O1A＝4，根据勾股定理得，AF cm），∴AB＝2AF＝；（2）如图2，延长O2C交虚线劣弧AB于G，由折叠知，CG＝CD，∵D是O2C的中点，∴CD＝O2D，∴CG＝CD＝O2D，设⊙O2的半径为3rcm，则O2C＝2r（cm），∵O2C⊥弦AB，∴AC=12AB＝5（cm），连接O2A，在Rt△ACO2中，根据勾股定理得，（3r）2﹣（2r）2＝25，∴r∴O2A＝3r＝cm），即⊙O2的半径为．22．（2021•浙江自主招生）以O为圆心，1为半径的圆内有一定点A，过A引互相垂直的弦PQ，RS．求PQ+RS的最大值和最小值．【思路点拨】设OA＝a（定值），过O作OB⊥PQ，OC⊥RS，B、C为垂足，设OB＝x，OC＝y，0≤x≤a，（0≤y≤a），由勾股定理得出x，y，a的关系，再由垂径定理PQ和RS，最后由完全平方公式求得最大值和最小值．【解题过程】解：如图，设OA＝a（定值），过O作OB⊥PQ，OC⊥RS，B、C为垂足，设OB＝x，OC＝y，0≤x≤a，（0≤y≤a），且x2+y2＝a2．所以PQ＝2PB＝RS＝所以PQ+RS＝2∴（PQ+RS）2＝4（2﹣a2而x2y2＝x2（a2﹣x2）＝﹣（x2−a22）2+a44．当x2=a22时，（x2y2）最大值=a4 4．此时PQ+RS=当x2＝0或x2＝a2时，（x2y2）最小值＝0，＝2（1+此时（PQ+RS）最小值。
2020苏教版九年级数学上册 垂径定理、弦、弧、圆心角、圆周角练习含答案
【文库独家】九年垂径定理、弦、弧、圆心角、圆周角练习1.已知：AB交圆O于C、D，且AC＝BD.你认为OA＝OB吗？为什么？2. 如图所示，是一个直径为650mm的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600mm，求油面的最大深度。
6003. 如图所示，AB是圆O的直径，以OA为直径的圆C与圆O的弦AD相交于点E。
你认为图中有哪些相等的线段？为什么？ADBOCE4.如图所示，OA是圆O的半径，弦CD⊥OA于点P，已知OC=5，OP=3，则弦CD=____________________。
5. 如图所示，在圆O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，若AC=2cm，则圆O的半径为____________cm。
6. 如图所示，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，若AB=9，BE=1，则CD=_________________。
CA P ODCE OA D B7. 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，以AC为直径作圆与斜边交于点P，则BP的长为________________。
8. 如图所示，四边形ABCD内接于圆O，∠BCD=120°，则∠BOD=____________度。
9.如图所示，圆O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（）A. 3≤OM≤5B. 4≤OM≤5C. 3＜OM＜5D. 4＜OM＜510.下列说法中，正确的是（）A. 到圆心的距离大于半径的点在圆内B. 圆的半径垂直于圆的切线C. 圆周角等于圆心角的一半D. 等弧所对的圆心角相等11.若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于（）A. 45°B. 90°C. 135°D. 270°12. 如图所示，A、B、C三点在圆O上，∠AOC=100°，则∠ABC 等于（）A. 140°B. 110°C. 120°D. 130°13. △ABC 中，∠C=90°，AB=cm 4，BC=cm 2，以点A 为圆心，以cm 5.3长为半径画圆，则点C 在圆A___________，点B 在圆A_________； 14. 圆的半径等于cm 2，圆内一条弦长23cm ，则弦的中点与弦所对弧的中点的距离等于_____________；15. 如图所示，已知AB 为圆O 的直径，AC 为弦，OD ∥BC 交AC 于D ，OD=cm 2，求BC 的长；B16. 如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB 的垂直平分线交弧AB 于点C ，交弦AB 于点D 。
九年级数学上册专题24.3 垂径定理【十大题型】(举一反三)(人教版)(原卷版)
专题24.3 垂径定理【十大题型】【人教版】【题型1 利用垂径定理求线段长度】 (1)【题型2 利用垂径定理求角度】 (2)【题型3 利用垂径定理求最值】 (3)【题型4 利用垂径定理求取值范围】 (4)【题型5 利用垂径定理求整点】 (6)【题型6 利用垂径定理求面积】 (7)【题型7 垂径定理在格点中的运用】 (8)【题型9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】 (10)【题型10 垂径定理的应用】 (11)【题型1 利用垂径定理求线段长度】【例1】（2022•雨花区校级开学）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB交AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，EC＝2√13，则CD的长为（）A．1B．3C．2D．4【变式1-1】（2022•宁津县二模）如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（）A．6B．6√2C．8D．8√2【变式1-2】（2022•建华区二模）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE＝5，EB＝1，∠AEC ＝30°，则CD的长为（）A．5B．2√3C．4√2D．2√2+√3+1【变式1-3】（2022春•徐汇区校级期中）如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，且CE＝CB，若BE＝2AE，CD＝5，那么⊙O的半径为．【题型2 利用垂径定理求角度】【例2】（2022•泰安模拟）如图，⊙O的半径OA，OB，且OA⊥OB，连接AB．现在⊙O上找一点C，使OA2+AB2＝BC2，则∠OAC的度数为（）A．15°或75°B．20°或70°C．20°D．30°̂上的【变式2-1】（2022秋•天心区期中）如图，已知⊙O半径OA＝4，点B为圆上的一点，点C为劣弧AB一动点，CD⊥OA，CE⊥OB，连接DE，要使DE取得最大值，则∠AOB等于（）A．60°B．90°C．120°D．135°【变式2-2】（2022秋•青田县期末）如图，在⊙O中，半径OC过弦AB的中点E，OC＝2，OE=√2．（1）求弦AB的长；（2）求∠CAB的度数．【变式2-3】（2022秋•开州区期末）如图，在⊙O中，弦BC与半径OA垂直于点D，连接AB、AC．点E为AC的中点，连接DE．（1）若AB＝6，求DE的长；（2）若∠BAC＝100°，求∠CDE的度数．【题型3 利用垂径定理求最值】【例3】（2022•威海模拟）⊙O中，点C为弦AB上一点，AB＝1，CD⊥OC交⊙O于点D，则线段CD的最大值是（）A．12B．1C．32D．2【变式3-1】（2022•河北模拟）如图所示，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于点D．且OD＝DC．P为⊙O上任意一点，连接P A，PB，若⊙O的半径为1，则S△P AB的最大值为（）A．1B．2√33C．3√34D．3√32【变式3-2】（2022秋•龙凤区校级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝15，P，Q分别是AB，AD 边上的动点，PQ＝16，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为．【变式3-3】（2022秋•延平区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（）A．910B．65C．85D．125【题型4 利用垂径定理求取值范围】【例4】（2022•包河区校级二模）如图，在⊙O中，直径AB＝10，CD⊥AB于点E，CD＝8．点F是弧BC上动点，且与点B、C不重合，P是直径AB上的动点，设m＝PC+PF，则m的取值范围是（）A．8＜m≤4√5B．4√5＜m≤10C．8＜m≤10D．6＜m＜10【变式4-1】（2022•佛山）如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．【变式4-2】（2022秋•盐都区校级月考）如图，点P是⊙O内一定点．（1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若⊙O的半径为13，OP＝5，①求过点P的弦的长度m范围；②过点P的弦中，长度为整数的弦有条．【变式4-3】（2022秋•天河区校级期中）已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离OH＝3，点P是圆上一动点，设过点P且与AB平行的直线为l，记直线AB到直线l的距离为d．（1）求AB的长；（2）如果点P只有两个时，求d的取值范围；（3）如果点P有且只有三个时，求连接这三个点所得到的三角形的面积．【题型5 利用垂径定理求整点】【例5】（2022•山海关区一模）已知⊙O的直径CD＝10，CD与⊙O的弦AB垂直，垂足为M，且AM＝4.8，则直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有（）A．1个B．3个C．6个D．7个【变式5-1】（2022秋•新昌县期末）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OB，点P是半径OB上任意一点，连接AP，若OB＝5，OC＝3，则AP的长不可能是（）A．6B．7C．8D．9【变式5-2】（2022•桥西区校级模拟）如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN＝10，AB＝8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是3，⊙C上的整数点有个．【变式5-3】（2022秋•肇东市期末）已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【题型6 利用垂径定理求面积】【例6】（2022•武汉模拟）如图，在半径为1的⊙O中有三条弦，它们所对的圆心角分别为60°，90°，120°，那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是（）A．√2B．1C．√32D．√22【变式6-1】（2022秋•黄州区校级月考）如图，矩形MNGH的四个顶点都在⊙O上，顺次连接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD＝12，DF＝4，则菱形ABCD的面积为．【变式6-2】（2022秋•西城区校级期中）如图，AB为⊙O直径，过点O作OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，CD∥AB．（1）求证：E为OD的中点；（2）若CB＝6，求四边形CAOD的面积．【变式6-3】（2022•新洲区模拟）如图，点A，C，D均在⊙O上，点B在⊙O内，且AB⊥BC于点B，BC ⊥CD于点C，若AB＝4，BC＝8，CD＝2，则⊙O的面积为（）A．125π4B．275π4C．125π9D．275π9【题型7 垂径定理在格点中的运用】【例7】（2022秋•襄都区校级期末）如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（2，1）【变式7-1】（2022春•海门市期中）如图所示，⊙P过B、C两点，写出⊙P上的格点坐标．【变式7-2】（2022•商城县三模）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在小正方形的顶点上，点C同时也在AB̂上，若点P是BĈ的一个动点，则△ABP面积的最大值是．【变式7-3】（2017秋•靖江市校级月考）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：（1）利用网格作出该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为；（2）连接AD、CD，则⊙D的半径为，∠ADC的度数．【题型8 垂径定理在坐标系中的运用】【例8】（2022•博山区一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A（0，﹣2），B （0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为（）A．(4−2√6，0)B．(−4+2√6，0)C．(−4+√26，0)D．(4−√26，0)【变式8-1】（2022秋•西林县期末）如图，⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），圆心P的横坐标为﹣4．则⊙P的半径为（）A．3B．4C．5D．6【变式8-2】（2022•印江县三模）如图，直线l为y＝x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；…，按此作法进行下去，则点A2022的坐标为．【变式8-3】（2015•宜春模拟）如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），函数y ＝﹣2x+m图象过点P，则m＝．【题型9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】【例9】（2022秋•化德县校级期末）⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，且AB＝12cm，CD＝16cm，则AB 和CD的距离为（）A．2cm B．14cm C．2cm或14cm D．10cm或20cm【变式9-1】（2022•包河区二模）已知圆O的半径为5，弦AB＝8，D为弦AB上一点，且AD＝1，过点D 作CD⊥AB，交圆O于C，则CD长为（）A．1B．7C．8或1D．7或1【变式9-2】（2022秋•方正县期末）如图，⊙O的弦AB与半径OC垂直，点D为垂足，OD＝DC，AB＝2√3，点E在⊙O上，∠EOA＝30°，则△EOC的面积为．【变式9-3】（2022秋•淮南月考）如图，已知⊙O的半径为2．弦AB的长度为2，点C是⊙O上一动点，若△ABC为等腰三角形，则BC2的长为．【题型10 垂径定理的应用】【例10】（2022秋•武昌区校级期末）某地有一座圆弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长）24m，拱高（弧的中点到弦的距离）4米，则求拱桥的半径为（）A．16m B．20m C．24m D．28m【变式10-1】（2022•望城区模拟）《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，（注：1尺＝10寸）问这块圆柱形木材的直径是（）A．13寸B．6.5寸C．26寸D．20寸【变式10-2】（2022秋•西城区校级期中）京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约．如图，摩天轮直径88米，最高点A距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟．由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为分钟．【变式10-3】（2022•浙江）如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，̂，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB．通∠AOB＝120°，从A到B只有路AB过计算可知，这些市民其实仅仅少走了步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：√3≈1.732，π取3.142）。
人教版九年级数学上册垂径定理专项训练
九年级上册数学垂径定理专项训练一、填空题（共5小题；共25分）1. 如图，AB，AC是⊙O的弦，∠BAC=90∘，点D，E分别是弦AB，AC的中点，连接OD，OE．若BD=3，CE=4，则四边形ADOE的面积为．2. 刻度尺与⊙O按如图所示的方式摆放时，有刻度的一边与⊙O的两个交点处的读数如图所示（单位：cm），已知⊙O的半径是5cm，则圆心O到刻度尺的最小距离为．⏜），O是这段弧的圆心，C是AB⏜的中点，连接AB，3. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（ABOC交于点D．若AB=30m，OA=25m，则CD=m．4. 如图，在⊙O中，点D既是OC的中点，也是弦AB的中点，若AD=√3，则⊙O的半径为．5. 如图，在△ABC中，点O在边AC上，⊙O与△ABC的边BC，AB分别相切于C，D两点，与边AC交于点E点，弦CF与AB平行，与DO的延长线交于点M．若点E是DF⏜的中点，BC= 2，则OC的长为．二、选择题（共25小题；共125分）1. 如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点D，AD=4，则下列说法正确的是( )A. OC=4B. AB=8C. OD=3D. AB垂直平分OC2. 已知圆的半径为R，这个圆的内接正六边形的面积为( )A. 3√34R2 B. 3√32R2 C. 6R2 D. 32R23. 下列判断中正确的是( )A. 弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧B. 平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧C. 平分弦的直线垂直于弦D. 平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦4. 如图，已知△ABC（AC<BC），用尺规在BC上确定一点P，使PA+PC=BC，则符合要求的作图痕迹是( )A. B.C. D.5. 如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB=16厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为( )A. 1.0厘米/分B. 0.8厘米/分C. 1.2厘米/分D. 1.4厘米/分6. 下列命题中，正确的是( )A. 平分一条直径的弦必垂直于这条直径B. 平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C. 弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D. 在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心7. 如图，⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为6，则AB的长为( )A. 8B. 10C. 12D. 16⏜=AD⏜；②8. 如图，CD是⊙O的弦，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，下列结论：①AC⏜；③EO=EB；④EC=ED，其中一定成立的是( )BC⏜=BDA. ①③B. ①④C. ①②④D. ①②③④9. 下列命题中，真命题是( )A. 平分弦的直径垂直于弦B. 垂直平分弦的直线平分这条弦所对的弧C. 在同圆中，相等的弦所对的弧也相等D. 经过半径一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线10. 已知⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的最小值为( )A. 2B. 3C. 4D. 511. 如图，⊙O的直径CD=8，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为点M，OM=2，则AB的长为( )A. 2B. 2√3C. 4D. 4√312. 如图，在 ⊙O 中，弦 AB =6 cm ，圆心 O 到 AB 的距离 OC =3 cm ，则 OA 的长度是 ( )A. 3 cmB. 3√2 cmC. 4 cmD. 3√3 cm 13. 如图，⊙O 的直径 CD =20，AB 是 ⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为 M ，OM:MC =3:2，则 AB的长为 ( )A. 8B. 12C. 16D. 2√91 14. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，AB ，CD 相交于点 E ，且点 E 是弦 CD 的中点，则下列结论中错误的是 ( )A. AB ⊥CDB. BC ⏜=BD ⏜C. AC ⏜=AD ⏜D. OE =BE15. 如图，如果 AB 为 ⊙O 的直径，弦 CD ⊥AB ，垂足为点 E ，那么下面结论中，错误的是 ( )A. CE =DEB. BC ⏜=BD ⏜C. ∠BAC =∠BADD. AC >AD16. 下列命题中，正确的是 ( )A. 圆是轴对称图形，对称轴只有一条B. 在同圆中，互相垂直的两弦不能互相平分C. 直径一定平分弦D. 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧17. 给出下列命题：①垂直于弦的直线平分弦；②平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对应的两条弧；③平分弦的直线必过圆心；④弦所对应的两条弧的中点连线垂直平分弦． 其中正确的命题有 ( )A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个 18. 如图，AB ，AC 是圆的两条弦，AD 是圆的一条直径，且 AD 平分 ∠BAC ，下列结论中不一定正确的是 ( )A. AB ⏜=DB ⏜B. BD ⏜=CD ⏜C. BC ⊥ADD. ∠B =∠C19. 如图，CD 是 ⊙O 的直径，CD ⊥AB 于点 E ，则下列结论不一定成立的是 ( )A. EA =EBB. DA ⏜=DB ⏜C. EO =EDD. CA ⏜=CB ⏜ 20. 下列说法：①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③垂直于弦的直线必过圆心；④垂直于弦的直径平分弦所对的弧． 其中正确的是 ( )A. ②③B. ①③C. ②④D. ①④21. 如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD与⊙O相切，切点分别为C，D．若AB=6，PC=4，则sin∠CAD等于( )A. 35B. 23C. 34D. 4522. 如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120∘，AB=AC，BD是⊙O的直径，若AD=3，则BC=( )A. 2√3B. 3√3C. 3D. 423. 如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半径为4√3，∠CDF=15∘，则阴影部分的面积为( )A. 16π−12√3B. 16π−24√3C. 20π−12√3D. 20π−24√324. 正六边形的周长为12，则该正六边形的内切圆的半径为( )A. 1B. √3C. 2D. 325. 一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程(x−3)(x−5)=0的一根，则此三角形的外接圆的半径是( )A. 3.2B. 258C. 3.5D. 4三、解答题（共6小题；共78分）1. 如图，已知⊙O的半径为10，AB⊥CD，垂足为点P，且AB=CD=16，求OP的长．2. 如图，AB是⊙O的一条弦，CD经过圆心O且与AB交于点E，若AE=BE，AB=2√7，ED=1，求CD的长．⏜的中点，OE交BC于点D．连接AC，若BC=6，3. 如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，E是BCDE=1，求AC的长．⏜的中点，AB，OC相交于点M．试4. 如图，在⊙O中，弦AB的长是半径OA的√3倍，C为AB判断四边形OACB的形状，并说明理由．5. 如图，在⊙O中，OC与AB交于点D，D是弦AB的中点，∠CBA=30∘．求证：OA∥BC．。
中考数学专题训练---垂径定理培优练习(含解析)
∴OP＝
，
故选：B．
9．解：连接 BE，
∵⊙O 的半径 OD⊥弦 AB 于点 C，AB＝8， ∴AC＝BC＝4， 设 OA＝x，
∵CD＝2， ∴OC＝x﹣2， 在 Rt△AOC 中，AC2+OC2＝OA2， ∴42+（x﹣2）2＝x2， 解得 ：x＝5， ∴OA＝OE＝5，OC＝3， ∴BE＝2OC＝6， ∵AE 是直径， ∴∠B＝90°，
P 的所有弦中，弦长是整数的共有（ ）
A．4 条
B．3 条
C．2 条
D．1 条
5．（2019•金华模拟）如图，以 M（4，0）为圆心，3 为半径的圆与 x 轴交于点 A、B，P 是 ⊙M 上异于 A、B 的一动点，直线 PA 与 PB 分别交 y 轴于点 C、D，以 CD 为直径的⊙ N 交 x 轴于点 E、F，则 EF 的长（ ）
中考数学专题训练---垂径定理培优练习
一．选择题 1．（2019•哈尔滨模拟）如图，AB 是⊙O 的弦，点 C 在 AB 的延长线上，AB＝2BC，连接
OA、OC，若∠OAC＝45°，则 tan∠C 的值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
2．（2019•滨湖区一模）如图，在⊙O 中，已知弦 AB 长为 16cm，C 为 的中点，OC 交 AB 于点 M，且 OM：MC＝3：2，则 CM 长为（ ）
PB，AE＝ AB＝3，
∴BD＝DP， 在 Rt△AEO 中，AE＝3，AO＝5，
∴OE＝
＝4，
∵∠OAE＝∠BAD，∠AEO＝∠ADB＝90°， ∴△AOE∽△ABD，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴BD＝ ， ∴BD＝PD＝ ，即 PB＝ ， ∵AB＝AP＝6， ∴∠ABD＝∠APC， ∵∠PAC＝∠ADB＝90°， ∴△ABD∽△CPA，
人教版数学九年级上学期课时练习- 垂直于弦的直径-垂径定理(培优篇)(人教版)
专题24.6 垂直于弦的直径-垂径定理（培优篇）（专项练习）一、单选题1．如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC =3BC =．点P 为ABC ∆内一点，且满足22PA PC +2AC =．当PB 的长度最小时，ACP ∆的面积是（ ）A ．3B ．CD 2．已知⊙O 的直径CD ＝100cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊙CD ，垂足为M ，且AB ＝96cm ，则AC 的长为（ ）A ．36cm 或64cmB ．60cm 或80cmC ．80cmD ．60cm3．如图，在半圆O 中，直径4AB =，C 是半圆上一点，将弧AC 沿弦AC 折叠交AB 于D ，点E 是弧AD 的中点．连接OE ，则OE 的最小值为（ ）A 1B ．4C 1D ．24．如图，在О中，点C 在弦AB 上移动，连接,OC 过点C 作CD OC ⊥交О于点D ．若2,AB =则CD 的最大值是（ ）A．4 B ．2 C D ．15．如图，一圆与y 轴相交于点B （0，1），C 两点，与x 轴相切于点A （3，0），则点C 的坐标是（ ）A ．（0，5）B ．（0，1C ．（0，9）D ．（0，132） 6．已知锐角AOB ∠，如图，（1）在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径作PQ ，交射线OB 于点D ，连接CD ；（2）分别以点C ，D 为圆心，CD 长为半径作弧，交PQ 于点M ，N ； （3）连接,,OM MN DN ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的个数为的（ ）⊙COM COD ∠=∠；⊙若OM MN =．则20AOB ︒∠=；⊙MOD MND ∠=∠；⊙//MN CD ；⊙3MN CD =；A ．1个B ．2个C ．3D ．4个7．如图，AB 为⊙O 的直径，点D 是弧AC 的中点，过点D 作DE ⊙AB 于点E ，延长DE 交⊙OO 于点F ，若AC =12，AE =3，则⊙O 的直径长为（ ）A ．10B ．13C ．15D ．168．如图，MN 为⊙O 的直径，A 、B 是⊙O 上的两点，过A 作AC⊙MN 于点C ，过B 作BD⊙MN 于点D ，P 为DC 上的任意一点，若MN ＝20，AC ＝8，BD ＝6，则PA+PB 的最小值是（ ）．A ．20B ．C ．14D ．9．⊙O 中，弦AB 所对的弧为120°，圆的半径为2，则圆心到弦AB 的距离OC 为（ ）A ．12B ．1CD 10．一张圆形纸片，小芳进行了如下连续操作：()1将圆形纸片左右对折，折痕为AB ，如图()2．()2将圆形纸片上下折叠，使A 、B 两点重合，折痕CD 与AB 相交于M ，如图()3． ()3将圆形纸片沿EF 折叠，使B 、M 两点重合，折痕EF 与AB 相交于N ，如图()4． ()4连结AE 、AF 、BE 、BF ，如图()5．经过以上操作，小芳得到了以下结论：CD //EF ①；②四边形MEBF 是菱形；AEF ③为等边三角形；AEBF S 四边形④：BEMF S =扇形π．以上结论正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊙CD于E，连接CO，AD，⊙BAD＝20°，下列结论中正确的有（）⊙CE＝OE⊙⊙C＝50°⊙ ACD ＝ ADC ⊙AD＝2OEA．⊙⊙B．⊙⊙C．⊙⊙⊙D．⊙⊙⊙⊙二、填空题12．如图，已知A为半径为3的O上的一个定点，B为O上的一个动点（点B与A 不重合），连接AB，以AB为边作正三角形ABC．当点B运动时，点C也随之变化，则O、C两点之间的距离的最大值是______．13．如图，半圆O的直径AB＝4cm，AG BG，点C是BG上的一个动点（不与点B，G重合），CD⊙OG于点D，CE⊙OB于点E，点E与点F关于点O中心对称，连接DE、DF，则⊙DEF面积的最大值为__________cm214．如图，扇形OAB中，⊙AOB＝60°，OA＝，点E为弧AB的中点，C为半径OA上一点，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE′，若点E′恰好落在半径OB上，则OE′＝_____．15．如图，在半径为3的O中，B是劣弧AC的中点，连接AB并延长到D，使BD AB=，连接AC、BC、CD，如果2AB=，那么CD等于______．16．如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），M 是弦CD的中点，过点C作CP⊙AB于点P．若CD＝3，AB＝5，则PM的范围是__________________．17．如图，C为半圆弧AB的中点，P为弧BC上任意一点，CD CP⊥且与AP交于点D，连接BD．若2AB=，则BD的最小值为_________18．如图所示，在O 内有折线OABC ，其中8,30OA AB A B ==∠=∠=︒，则BC 的长为__________．19．如图，已知AB 是半圆O 的直径，6AB =，点C ，D 在半圆上，OC AB ⊥，2BD CD =，点P 是OC 上的一个动点，则BP DP +的最小值为_______．20．已知△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，半径OB ＝5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，则AB 的长为_____cm ．21．如图，AB 是O 的直径，四边形ABCD 内接于O ，若4cm BC CD DA ===，则O 的周长为_____________cm （结果保留π）．22．如图，半圆O 的半径为2，E 是半圆上的一点，将E 点对折到直径AB 上(EE′⊙AB)，当被折的圆弧与直径AB 至少有一个交点时，则折痕CD 的长度取值范围是_________________．23．如图，ABC ∆是O 的内接正三角形，点O 是圆心，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，若DA EB =，则DOE ∠的度数是____度．三、解答题24．如图，AB 是O 的直径，AD 平分BAC ∠，过点D 的切线交AC 的延长线于点E ． （1）求证：AE ED ⊥；（2）连接OC ，CD ，OD ，BD ．填空：⊙当BAC ∠的度数为 时，四边形OBDC 为菱形； ⊙若5AB =，3AC =，则CE = ．25．如图，⊙O 的直径AB ＝26，P 是AB 上(不与点A 、B 重合)的任一点，点C 、D 为⊙O 上的两点，若⊙APD ＝⊙BPC ，则称⊙CPD 为直径AB 的“回旋角”．(1)若⊙BPC ＝⊙DPC ＝60°，则⊙CPD 是直径AB 的“回旋角”吗？并说明理由； (2)若CD 的长为134π，求“回旋角”⊙CPD 的度数； (3)若直径AB 的“回旋角”为120°，且⊙PCD 的周长为AP 的长．26．如图所示，O 的半径是2，直线l 与O 相交于A 、B 两点，M 、N 是O 上的两个动点，且在直线l 的异侧，若45AMB ∠=︒，求四边形MANB 面积的最大值.27．已知⊙O 的半径为2，⊙AOB=120°． （1）点O 到弦AB 的距离为 ；．（2）若点P 为优弧AB 上一动点（点P 不与A 、B 重合），设⊙ABP=α，将△ABP 沿BP 折叠，得到A 点的对称点为A′；⊙若⊙α=30°，试判断点A′与⊙O 的位置关系； ⊙若BA′与⊙O 相切于B 点，求BP 的长；⊙若线段BA′与优弧APB 只有一个公共点，直接写出α的取值范围．28．小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究． （1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在O 中，C 是劣弧AB 的中点，直线CD AB ⊥于点E ，则AE BE =．请证明此结论；（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，PA ，PB 组成O 的一条折弦．C 是劣弧AB 的中点，直线CD PA ⊥于点E ，则AE PE PB =+．可以通过延长DB 、AP 相交于点F ，再连接AD 证明结论成立．请写出证明过程；（3）如图3，PA ，PB 组成O 的一条折弦，若C 是优弧AB 的中点，直线CD PA ⊥于点E ，则AE ，PE 与PB 之间存在怎样的数量关系？请写出证明过程．参考答案1．D 【分析】由题意知90APC ∠=︒，又AC 长度一定，则点P 的运动轨迹是以AC 中点O 为圆心，12AC 长为半径的圆弧，所以当B 、P 、O 三点共线时，BP 最短；在Rt BCO ∆中，利用勾股定理可求BO 的长，并得到点P 是BO 的中点，由线段长度即可得到PCO ∆是等边三角形，利用特殊Rt APC ∆三边关系即可求解．解：222PA PC AC +=∴90APC ∠=︒取AC 中点O ，并以O 为圆心，12AC 长为半径画圆 由题意知：当B 、P 、O 三点共线时，BP 最短AO PO CO ∴== 11322CO AC BC ==⨯==BO ∴=BP BO PO ∴=-=∴点P 是BO 的中点∴在Rt BCO ∆中，12CP BO PO === ∴PCO ∆是等边三角形∴60ACP ∠=︒∴在Rt APC ∆中，tan603AP CP =⨯︒=12APC S AP CP ∆∴=⨯==【点拨】本题主要考察动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题，属于动态几何综合题型，中档难度．解题的关键是找到动点P 的运动轨迹，即隐形圆．2．B【分析】分两种情况讨论，根据题意画出图形，根据垂径定理求出AM 的长，连接OA ，由勾股定理求出OM 的长，进而可得出结论．解：连接AC ，AO ，⊙⊙O 的直径CD ＝100cm ，AB ⊙CD ，AB ＝96cm ，⊙AM ＝12AB ＝12×96＝48（cm ），OD ＝OC ＝50（cm ）， 如图1，⊙OA ＝50cm ，AM ＝48cm ，CD ⊙AB ，⊙OM14（cm），⊙CM＝OC+OM＝50+14＝64（cm），⊙AC80（cm）；如图2，同理可得，OM＝14cm，⊙OC＝50cm，⊙MC＝5014-＝36（cm），在Rt⊙AMC中，AC60（cm）；综上所述，AC的长为80cm或60cm，故选：B．【点拨】本题考查的是垂径定理、勾股定理的应用，根据题意画出图形、利用垂径定理和勾股定理求解是解答此题的关键．3．D【分析】把弧AEC的圆补全为⊙F，可知点F与点O关于AC对称，求出⊙F=90°，CE长，OE 的最小值为EC-OC．解：把弧AEC的圆补全为⊙F，可知点F与点O关于AC对称，半径为2，⊙⊙FCA=⊙ACO，⊙OA=OC，⊙⊙ACO=⊙CAO，⊙⊙FCA=⊙CAO，⊙CF⊙AB，⊙E是弧AD的中点，⊙FE⊙AB，⊙⊙F=⊙BGE=90°，⊙FC=FE=2，⊙EC=⊙OE≥EC-OC即OE≥2，OE的最小值为2，故选：D．【点拨】本题考查了轴对称、垂径定理、勾股定理和圆的有关知识，解题关键是通过作辅助线,根据三角形三边关系确定OE的取值范围．4．D【分析】连接OD，如图，利用勾股定理得CD，利用垂线段最短得到当OC⊙AB时，OC最小，再求出CD即可．解：连接OD，如图，⊙CD⊙OC，⊙⊙DCO=90∘，⊙CD=当OC的值最小时，CD的值最大，而OC⊙AB时，OC最小，此时D.B两点重合，⊙CD =CB =12AB =12×2=1． 即CD 的最大值为1．故答案为：D ．【点拨】本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理等知识点，求出点C 的位置是解题的关键．．5．C【分析】设圆心为M ，连接CM ，由圆M 与x 轴相切，得到M 的纵坐标等于半径也等于ON ，在MNC Rt △中，设BC=x 利用勾股定理列出关于x 的方程，求出方程的解，即可得到结果．解：过点M 作MN⊙y 轴，连接CM ，⊙圆M 与x 轴相切于点A （3，0），BC=x ，⊙MN=3，ON=1+2x ，MC=ON 在MNC Rt △中，由勾股定理得：222MN CN CM +=2223()(1)22x x +=+ 22x 9+144x x =++ x=8又⊙B （0，1），⊙点C 的坐标是（0，9）故答案为：C ．【点拨】本题考查了切线的性质、坐标与图形的性质、以及垂径定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．6．C【分析】由作图知CM CD DN==，OM=OC=OD，再利用对称的性质逐一判断可得．解：由作图知CM=CD=DN，⊙⊙COM=⊙COD，故⊙正确；⊙OM=ON=MN，⊙⊙OMN是等边三角形，⊙⊙MON=60°，⊙CM=CD=DN，⊙⊙MOA=⊙AOB=⊙BON=13⊙MON=20°，故⊙正确；⊙MD所对的圆心角是MOD∠，所对的圆周角是MND∠⊙2MOD MND∠=∠，故⊙不正确；⊙⊙MOA=⊙AOB=⊙BON，⊙⊙OCD=⊙OCM=1802COD︒-∠⊙⊙MCD=180°-⊙COD，又⊙CMN=12⊙AON=⊙COD，⊙⊙MCD+⊙CMN=180°，⊙MN⊙CD，故⊙正确；⊙MC+CD+DN＞MN，且CM=CD=DN，⊙3CD＞MN，故⊙错误；⊙⊙⊙正确故选C【点拨】本题考查作图-复杂作图，弧、圆心角和弦之间的关系，平行线的判定，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．C【分析】连接OF，根据DE⊙AB，AB为⊙O的直径，推出AD AF=，由D是弧AC的中点，推出AC DF=，得到AC=DF=12，求出EF=6，设OA=x，利用勾股定理求出x=7.5，即可得到答案.解：如图，连接OF，⊙DE⊙AB，AB为⊙O的直径，⊙AD AF=.⊙D是弧AC的中点，⊙AD CD=，⊙AC DF=，⊙AC=DF=12，⊙EF=6，设OA=x，⊙OF2=OE2+EF2，⊙x2=（x-3）2+62，解得：x=7.5，⊙⊙O的直径长为15，故选：C.【点拨】此题考查圆的垂径定理，弧、弦、圆心角定理，勾股定理，将求直径长转化为求半径长由此利用勾股定理解答是解题的关键.8．B【分析】连接OA 、OB ，根据AC⊙MN ，BD⊙MN ，经勾股定理计算得到OC 、OD ；延长BD 与⊙O 相交于点G ，推导得当点P 在直线AG 上时，PA GP +取最小值；过G 作GH⊙AC 于点H ，经证明四边形CDGH 是矩形，并经勾股定理计算即可得到AG 的值，即可完成求解．解：如图，连接OA 、OB⊙AC⊙MN ，BD⊙MN⊙222236OB BD OD OD =+=+，222264OA AC OC OC =+=+⊙MN ＝20，A 、B 是⊙O 上的两点 ⊙1102OA OB MN === ⊙210036OD =+，210064OC =+⊙8OD =，6OC =⊙14CD OD OC =+=延长BD 与⊙O 相交于点G⊙MN 为⊙O 的直径，BD⊙MN⊙BP GP =，6BD GD ==⊙PA PB PA GP +=+当点P 在直线AG 上时，PA GP +取最小值，且最小值AG =过G 作GH⊙AC 于点H又⊙AC⊙MN ，BD⊙MN⊙//CD GH ，//DG CH ，90DCH ∠=⊙四边形CDGH 是矩形⊙14GH CD ==，6CH DG ==⊙14=+=AH AC CH⊙AG==⊙PA+PB的最小值是：故选：B．【点拨】本题考查了勾股定理、圆的垂径定理、矩形、两点之间线段最短的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理、垂径定理、矩形、两点之间线段最短的性质，从而完成求解．9．B【分析】根据弧的度数求得弧所对的圆心角的度数，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得⊙A的度数，从而根据直角三角形的性质进行求解．解：⊙弦AB所对的劣弧为120°，⊙⊙AOB=120°，⊙OA=OB，⊙⊙A=⊙B=30°，又OC⊙AB，⊙OC=1OA=1；2故选：B．【点拨】本题主要考查垂径定理以及含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．10．D【分析】根据折叠的性质可得⊙BMD=⊙BNF=90°，然后利用同位角相等，两直线平行可得CD⊙EF，从而判定⊙正确；根据垂径定理可得BM垂直平分EF，再求出BN=MN，从而得到BM、EF互相垂直平分，然后根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形求出四边形MEBF是菱形，从而得到⊙正确；根据直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半求出⊙MEN=30°，然后求出⊙EMN=60°，根据等边对等角求出⊙AEM=⊙EAM ，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出⊙AEM=30°，从而得到⊙AEF=60°，同理求出⊙AFE=60°，再根据三角形的内角和等于180°求出⊙EAF=60°，从而判定⊙AEF 是等边三角形，⊙正确；设圆的半径为r ，求出EN=，则可得，即可得S 四边形AEBF ：S 扇形BEMF 的答案，所以⊙正确．解：⊙纸片上下折叠A 、B 两点重合，⊙⊙BMD=90°，⊙纸片沿EF 折叠，B 、M 两点重合，⊙⊙BNF=90°，⊙⊙BMD=⊙BNF=90°，⊙CD⊙EF ，故⊙正确；根据垂径定理，BM 垂直平分EF ，又⊙纸片沿EF 折叠，B 、M 两点重合，⊙BN=MN ， ⊙BM 、EF 互相垂直平分，⊙四边形MEBF 是菱形，故⊙正确；⊙ME=MB=2MN ，⊙⊙MEN=30°，⊙⊙EMN=90°-30°=60°，又⊙AM=ME （都是半径），⊙⊙AEM=⊙EAM ， ⊙⊙AEM=12⊙EMN=12×60°=30°， ⊙⊙AEF=⊙AEM+⊙MEN=30°+30°=60°，同理可求⊙AFE=60°， ⊙⊙EAF=60°，⊙⊙AEF 是等边三角形，故⊙正确；设圆的半径为r ，则， ，⊙S 四边形AEBF ：S 扇形BEMF =21120(2):(),2360r r ππ⨯= 故⊙正确，综上所述，结论正确的是⊙⊙⊙⊙共4个．故选：D．【点拨】本题圆的综合题型，主要考查了翻折变换的性质，平行线的判定，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，等边三角形的判定与性质．注意掌握折叠前后图形的对应关系是关键．11．B【分析】根据圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系以及直角三角形边的关系进行判断即可．解：⊙AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊙CD于E，⊙CE＝DE，BC BD=，ACB ADB=，⊙⊙BOC＝2⊙A＝40°，ACB BD ADB BC+=+，即ACD ADC=，故⊙正确；⊙⊙OEC＝90°，⊙BOC＝40°，⊙⊙C＝50°，故⊙正确；⊙⊙C≠⊙BOC，⊙CE≠OE，故⊙错误；作OP⊙CD，交AD于P，⊙AB⊙CD，⊙AE＜AD，⊙AOP＝90°，⊙OA＜P A，OE＜PD，⊙P A+PD＞OA+OE⊙OE＜OA，⊙AD＞2OE，故⊙错误；故选：B．【点拨】此题考查圆的垂径定理，圆心角、弧、弦的定理，直角三角形两锐角互余及边的关系，平行线的性质.12．6【分析】连接OB，OC，OA，在优弧AB上取点N，使得AN=AO．证明△BAO⊙⊙CAN（SAS），推出OB=CN=3，推出OC≤ON+CN=6，可得结论．解：如图，连接OB，OC，OA，在优弧AB上取点N，使得AN=AO．⊙OA=ON，OA=AN，⊙AO=ON=AN，⊙⊙OAN是等边三角形，⊙⊙OAN=60°，⊙⊙ABC是等边三角形，⊙AB=AC，⊙BAC=60°，⊙⊙BAC=⊙OAN=60°，⊙⊙BAO=⊙CAN，⊙⊙BAO⊙⊙CAN（SAS），⊙OB=CN=3，⊙OC≤ON+CN=6，⊙OC 的最大值为6，故答案为：6．【点拨】本题考查了等边三角形的性质，圆的相关性质，垂径定理，利用两地之间线段最短是本题的解题关键．13．2【分析】连接OC ，设OD ＝x ，OE ＝OF ＝y ．根据S △DEF ＝12×EF ×OD ＝12×2y ×x ＝xy ，当xy 的值最大时，⊙DEF 的面积最大；根据矩形的性质，通过判定四边形ODCE 是矩形，得12cm 2DE OC AB ===；根据勾股定理、完全平方公式的性质分析，可得结论． 解：连接OC ，设OD ＝x ，OE ＝OF ＝y ．⊙AG BG =⊙OG ⊙AB ，⊙S △DEF ＝12×EF ×OD ＝12×2y ×x ＝xy ，⊙xy 的值最大时，⊙DEF 的面积最大，⊙CD ⊙OG 于点D ，CE ⊙OB 于点E ，⊙⊙CEO ＝⊙CDO ＝⊙DOE ＝90°，⊙四边形ODCE 是矩形， ⊙12cm 2DE OC AB === ⊙x 2+y 2＝22，即x 2+y 2＝4，⊙（x ﹣y ）2≥0，⊙x 2+y 2≥2xy ，⊙2xy ≤4，⊙xy ≤2，⊙xy 的最大值为2，⊙⊙DEF 的面积的最大值为2 cm 2故答案为：2．【点拨】本题考查了圆、勾股定理、中心对称、矩形、完全平方公式的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、勾股定理、完全平方公式的性质，从而完成求解．14．4【分析】过E 点作EH OA ⊥于H ，过E '点作E OA '⊥于F ，连接OE ，如图，设OF x =，利用60AOB ∠=︒得到2OE x '=，E F '，再利用点E 为弧AB 的中点得到30AOE ∠=︒，所以142EH OE ==，6OH =+CEH ∆≅⊙E CF '，则CH E F ='，4CF EH ==，则可列方程46x +=+然后解方程求出x ，从而得到OE '的长．解：过E 点作EH OA ⊥于H ，过E '点作E OA '⊥于F ，连接OE ，如图，设OF x =，60AOB ∠=︒，22OE OF x ∴'==，E F '，点E 为弧AB 的中点，1302AOE BOE AOB ∴∠=∠=∠=︒， 118)422EH OE ∴===，6OH ==+线段CE 绕点C 逆时针旋转90︒得到线段CE '，CE CE ∴='，90ECE ∠'=︒，90ECH CEH ∠+∠=︒，90ECH E CF ∠+∠'=︒，CEH E CF ∴∠=∠'，在CEH ∆和⊙E CF '中CHE FE C CEH E CF CE CE ∠=∠'⎧⎪∠=∠'⎨⎪='⎩， CEH ∴∆≅⊙()E CF AAS '，CH E F ∴='，4CF EH ==，OH OF FC CH =++，46x ∴+=+2x =，24OE x ∴'==．故答案为4．【点拨】本题考查了圆心角、弧、弦的关系、旋转的性质，解题的关键是在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．15．43【分析】如图，连OA ，OB ．利用垂径定理和勾股定理求BE ，利用中位线定理求CD ．解：如图，连OA ，OB ，∵B 是弧AC 的中点，AB ＝BC ＝BD ，∴△ACD 是直角三角形，∠ACD ＝90°，由垂径定理知，OB ⊥AC ，点E 是AC 的中点，设BE x =,则3OE x ,由勾股定理知，222OA AE OE +＝，222AE BE AB +＝ ，∴22=OA OE -22AB BE -,∵AB ＝2，AO ＝BO =3，∴()2233x --222x =-, 解得，23x = ，即23 BE=∵∠AEB＝∠ACD＝90°，∴BE∥CD，∵点B是AD的中点，所以BE是△ACD的中位线，所以CD＝2BE＝43．故答案为：4 3【点拨】本题利用了垂径定理，勾股定理求解16．5 02PM≤≤【分析】延长CP交⊙O于N，连接DN，易证PM＝12DN，所以当DN为直径时，PM的值最大，当DN＝AC时，PM最小，即可求得PM的取值.解：如图：延长CP交⊙O于N，连接DN．⊙AB⊙CN，⊙CP＝PN，⊙CM＝DM，⊙PM＝12DN，⊙当DN为直径时，PM的值最大，最大值为52，当DN＝NC时，PM最小，最小值为0，⊙PM的范围是0≤PM≤52．故答案为：5 02PM≤≤【点拨】本题考查的是圆的综合题，垂径定理，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题.171【分析】设半圆弧AB 所在圆的圆心为O ，连接OC ，分别过点,A C 作,AB OC 的垂线，两垂线交于点E ，延长CE 至点F ，使得CE EF =，连接,,AF BE DE ，先根据正方形的判定与性质可得1,90AE CE OA BAE ===∠=︒，从而可得BE =1452APC AOC ∠=∠=︒，从而可得135ADC ∠=︒，然后判断出点,,,A D C F 四点共圆，且所在圆的圆心为点E ，由此可得1DE =，最后根据三角形的三边关系定理、两点之间线段最短求出最小值即可得．解：如图，设半圆弧AB 所在圆的圆心为O ，连接OC ，分别过点,A C 作,AB OC 的垂线，两垂线交于点E ，延长CE 至点F ，使得CE EF =，连接,,AF BE DE ，C 为半圆弧AB 的中点，90AOC ∴∠=︒， 又112OA OC AB ===， ∴四边形OAEC 是正方形，1,90AE CE OA BAE ∴===∠=︒，在Rt ABE △中，BECE EF =，AE EF ∴=，Rt AEF ∴是等腰直角三角形，45F ∠=︒， 由圆周角定理得：1452APC AOC ∠=∠=︒， CD CP ⊥，即90DCP ∠=︒，135ADC DCP APC ∴∠=∠+∠=︒，13545180ADC F ∴∠+∠=︒+︒=︒，又AE CE EF ==，∴点,,,A D C F 四点共圆，且所在圆的圆心为点E ，1DE AE ∴==，由三角形的三边关系定理、两点之间线段最短得：DE BD BE +≥，即BD BE DE ≥-，当且仅当点,,B D E 共线时，等号成立，则BD 的最小值为1BE DE -，1．【点拨】本题考查了正方形的判定与性质、圆周角定理、圆心角定理等知识点，通过作辅助线，构造出点,,,A D C F 四点共圆是解题关键．18．28【分析】过点O 分别作OD ⊙AB ，OE ⊙BC ，垂足分别为点D 、E ，延长DO 交BC 于点H ，连接OB ，然后根据含30°角的直角三角形的性质可求OD 的长，进而可得BD ，然后利用勾股定理及垂径定理可求解问题．解：过点O 分别作OD ⊙AB ，OE ⊙BC ，垂足分别为点D 、E ，延长DO 交BC 于点H ，如图所示：⊙BE =CE ，⊙8,30OA AB A B ==∠=∠=︒， ⊙142OD OA ==，⊙AD ⊙BD =⊙30A B ==︒∠∠，⊙2,BH OH BD ==，60DHB ∠=︒，⊙8DH==，16BH=，⊙OH=4，⊙⊙HDB=90°，⊙⊙HOE=30°，⊙2HE=，⊙14BE=，⊙28BC=；故答案为28．【点拨】本题主要考查垂径定理及含30°直角三角形的性质，熟练掌握垂径定理及含30°直角三角形的性质是解题的关键．19．【分析】如图，连接AD，P A，OD．先证明P A＝PB，再根据PD+PB＝PD+P A≥AD，求出AD即可解决问题．解：如图，连接AD，P A，OD．⊙OC⊙AB，OA＝OB，⊙P A＝PB，⊙COB＝90°，⊙BD=2CD，⊙⊙DOB23=⨯90°＝60°，⊙OD＝OB，⊙⊙OBD是等边三角形，⊙⊙ABD＝60°⊙AB是直径，⊙⊙ADB＝90°，⊙AD＝AB•cos⊙ABD＝⊙PB+PD＝P A+PD≥AD，⊙PD+PB⊙PD+PB的最小值为故答案为：【点拨】本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系，三角函数等知识，根据OC为AB的垂直平分线得到AD为BP DP+的最小值是解题的关键．20．【分析】根据A点所在的位置分类讨论：⊙若等腰三角形的顶点A在优弧BC上时，连接AO并延长交BC于点D，利用A、O都在BC中垂线上可得AO垂直平分BC，再利用勾股定理求出BD，从而求出AB；⊙若等腰三角形的顶点A在劣弧BC上时，连接AO交BC于点D，原理同上．解：⊙若等腰三角形的顶点A在优弧BC上时，如图，连接AO并延长交BC于点D，连接OB，⊙AB=AC⊙点A在BC的中垂线上⊙圆心O也在BC中垂线上，根据两点确定一条直线⊙AO垂直平分BC⊙⊙O的半径为5cm ,点O到BC的距离为3cm⊙OA=OB=5，OD=3⊙AD=8根据勾股定理：4BD=⊙再根据勾股定理：AB=⊙若等腰三角形的顶点A在劣弧BC上时，连接AO交BC于点D，连接OB，⊙AB=AC⊙点A在BC的中垂线上⊙圆心O也在BC中垂线上，根据两点确定一条直线⊙AO垂直平分BC⊙⊙O的半径为6cm ,点O到BC的距离为2cm⊙OA=OB=5，OD=3⊙AD=2根据勾股定理：4BD=⊙再根据勾股定理：AB=综上所述：AB=AB=【点拨】此题考查的是垂径定理的应用，勾股定理，利用等腰三角形的顶点在圆上的不同位置分类讨论是解决此题的关键．21．8π【分析】连接OD、OC，求出⊙AOD=⊙COD=⊙BOC=60，证得⊙AOD、⊙COD、⊙BOC都是等边三角形，得到OA=OB=BC=4cm，利用圆的周长公式求出答案.解：如图，连接OD、OC，⊙4cm===，AB是O的直径，BC CD DA⊙⊙AOD=⊙COD=⊙BOC=60,⊙OA=OD=OC=OB，⊙⊙AOD、⊙COD、⊙BOC都是等边三角形，⊙OA=OB=BC=4cm ，⊙O 的周长=24π⨯=8π（cm ），故答案为：8π.【点拨】此题考查了弧、弦、圆心角定理：等弦所对的圆心角相等，等边三角形的判定定理及性质定理，圆的周长计算公式.22．4CD <【分析】先找出折痕CD 取最大值和最小值时，点E 的位置，再利用折叠的性质、垂径定理、勾股定理求解即可得．解：由题意，有以下两个临界位置：（1）如图，当被折的圆弧与直径AB 相切时，折痕CD 的长度最短，此时点E '与圆心O 重合，连接OD ， 由折叠的性质得：11,2OF EF OE OE CD ===⊥， 2OD =，∴在Rt DOF △中，DF =由垂径定理得：2CD DF ==；（2）当CD 和直径AB 重合时，折痕CD 的长度最长，此时4CD AB ==， 又要使被折的圆弧与直径AB 至少有一个交点，4CD ∴<；综上，折痕CD的长度取值范围是4≤<，CD故答案为：4≤<．CD【点拨】本题考查了折叠的性质、垂径定理、勾股定理等知识点，正确找出两个临界位置是解题关键．23．120【分析】本题可通过构造辅助线，利用垂径定理证明角等，继而利用SAS定理证明三角形全等，最后根据角的互换结合同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解本题．解：连接OA，OB，作OH⊙AC，OM⊙AB，如下图所示：因为等边三角形ABC，OH⊙AC，OM⊙AB，由垂径定理得：AH=AM，又因为OA=OA，故⊙OAH≅⊙OAM（HL）．⊙⊙OAH=⊙OAM．又⊙OA=OB,AD=EB,⊙⊙OAB=⊙OBA=⊙OAD,⊙⊙ODA≅⊙OEB（SAS）,⊙⊙DOA=⊙EOB,⊙⊙DOE=⊙DOA+⊙AOE=⊙AOE+⊙EOB=⊙AOB．又⊙⊙C=60°以及同弧AB，⊙⊙AOB=⊙DOE=120°．故本题答案为：120．【点拨】本题考查圆与等边三角形的综合，本题目需要根据等角的互换将所求问题进行转化，构造辅助线是本题难点，全等以及垂径定理的应用在圆综合题目极为常见，圆心角、弧、圆周角的关系需熟练掌握．24．（1）见分析；（2）⊙60°；⊙1【分析】（1）连接OD，则OD⊙ED，由OA=OD，得⊙OAD=⊙ODA，根据AD平分⊙BAC，可推得OD⊙AE，从而可得结论；（2）⊙当四边形OBDC为菱形时，则OB=BD，又OB=OD，则得⊙OBD是等边三角形，从而易得⊙BAC=60°；⊙ 连接BC交OD于点F，则可知⊙ACB=90°，且由勾股定理可计算得BC=4；由AD平分⊙BAC可得BD=CD，再由OB=OC，得OD垂直平分线段BC，从而得F点为BC的中点，得CF=2；易得四边形CFDE为矩形，故可得DE=CF，且⊙CDE=⊙DCB，再由AD为角平分线，可得⊙CDE=⊙EAD，从而可得⊙DCE⊙⊙ADE，有对应边成比例，设AE=x，则可得关于x的方程，解方程即可求得结果．解：（1）连接OD．ED是O的切线，∴⊥．OD EDAD平分BAC∠，∴∠=∠．EAD BADOA OD=，∴，∠=∠OAD ODA∴∠=∠，ODA EAD∴，OD AE//∴⊥．AE ED（2）⊙四边形OBDC是菱形，OB BD∴=，BD⊙OC，⊙OB=ODOB OD BD∴==，OBD∴△是等边三角形．⊙⊙B=60°，⊙BD⊙OC，⊙⊙AOC=⊙B=60°，⊙OA=OC，⊙⊙OAC是等边三角形，⊙⊙BAC=60°，故答案为：60︒．⊙如图，连接BC交OD于F．⊙AB是⊙O的直径，⊙⊙ACB=90°，⊙AB=5，AC=3，⊙由勾股定理得：4BC=．⊙AD平分⊙BAC，⊙BD CD=，⊙BD=CD，⊙OB=OC，⊙OD垂直平分线段BC，⊙CF=122BC=，⊙⊙E=⊙ODE=⊙ECF=90°,⊙四边形ECFD是矩形，⊙DE=CF=2，DE⊙BC，⊙⊙CDE=⊙DCB，⊙⊙DCB=⊙BAD，⊙EAD=⊙BAD，⊙⊙CDE=⊙EAD，⊙⊙DCE⊙⊙ADE，⊙DE CE AE DE=，即2DE CE AE=，设CE=x，则AE=AC+CE=3+x．⊙x(3+x)=4，解方程得：x=1，或x=-4（舍去），⊙CE=1．故答案为：1．【点拨】本题综合考查了圆的性质、三角形相似的判定和性质、菱形的性质；（2）中⊙的关键是得到OD垂直平分BC，从而得出四边形CFDE是矩形．25．(1)⊙CPD是直径AB的“回旋角”，理由见分析；(2)“回旋角”⊙CPD的度数为45°；(3)满足条件的AP的长为3或23．【分析】（1）由⊙CPD、⊙BPC得到⊙APD，得到⊙BPC＝⊙APD，所以⊙CPD是直径AB的“回旋角”；（2）利用CD弧长公式求出⊙COD＝45°，作CE⊙AB交⊙O于E，连接PE，利用⊙CPD 为直径AB的“回旋角”，得到⊙APD＝⊙BPC，⊙OPE＝⊙APD，得到⊙OPE+⊙CPD+⊙BPC＝180°，即点D，P，E三点共线，⊙CED＝12⊙COD＝22.5°，得到⊙OPE＝90°﹣22.5°＝67.5°，则⊙APD＝⊙BPC＝67.5°，所以⊙CPD＝45°；（3）分出情况P在OA上或者OB上的情况，在OA上时，同理（2）的方法得到点D，P，F在同一条直线上，得到△PCF是等边三角形，连接OC，OD，过点O作OG⊙CD于G，利用sin⊙DOG，求得CD，利用周长求得DF，过O作OH⊙DF于H，利用勾股定理求得OP，进而得到AP；在OB上时，同理OA计算方法即可解：⊙CPD是直径AB的“回旋角”，理由：⊙⊙CPD＝⊙BPC＝60°，⊙⊙APD＝180°﹣⊙CPD﹣⊙BPC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，⊙⊙BPC＝⊙APD，⊙⊙CPD是直径AB的“回旋角”；(2)如图1，⊙AB＝26，⊙OC＝OD＝OA＝13，设⊙COD＝n°，⊙CD的长为134π，⊙1313 1804 nππ=⊙n＝45，⊙⊙COD＝45°，作CE⊙AB交⊙O于E，连接PE，⊙⊙BPC＝⊙OPE，⊙⊙CPD为直径AB的“回旋角”，⊙⊙APD＝⊙BPC，⊙⊙OPE＝⊙APD，⊙⊙APD+⊙CPD+⊙BPC＝180°，⊙⊙OPE+⊙CPD+⊙BPC＝180°，⊙点D，P，E三点共线，⊙⊙CED＝12⊙COD＝22.5°，⊙⊙OPE＝90°﹣22.5°＝67.5°，⊙⊙APD＝⊙BPC＝67.5°，⊙⊙CPD＝45°，即：“回旋角”⊙CPD的度数为45°，(3)⊙当点P在半径OA上时，如图2，过点C作CF⊙AB交⊙O于F，连接PF，⊙PF＝PC，同(2)的方法得，点D，P，F在同一条直线上，⊙直径AB的“回旋角”为120°，⊙⊙APD＝⊙BPC＝30°，⊙⊙CPF＝60°，⊙⊙PCF是等边三角形，⊙⊙CFD＝60°，连接OC，OD，⊙⊙COD＝120°，过点O作OG⊙CD于G，⊙CD＝2DG，⊙DOG＝12⊙COD＝60°，⊙DG＝ODsin⊙DOG＝13×sin60°＝1332√⊙CD＝133√，⊙⊙PCD的周长为24+133√，⊙PD+PC＝24，⊙PC＝PF，⊙PD+PF＝DF＝24，过O作OH⊙DF于H，⊙DH＝12DF＝12，在Rt△OHD中，OH5在Rt△OHP中，⊙OPH＝30°，⊙OP＝10，⊙AP＝OA﹣OP＝3；⊙当点P在半径OB上时，同⊙的方法得，BP＝3，⊙AP＝AB﹣BP＝23，即：满足条件的AP的长为3或23．【点拨】本题是新定义问题，同时涉及到三角函数、勾股定理、等边三角形性质等知识点，综合程度比较高，前两问解题关键在于看懂题目给到的定义，第三问关键在于P 点的分类讨论26．四边形MANB 面积最大，为【分析】过点O 作OC⊙AB 于C ，交⊙O 于D 、E 两点，连结OA 、OB 、DA 、DB 、EA 、EB ，根据圆周角定理得⊙AOB=2⊙AMB=90°，则△OAB 为等腰直角三角形，所以，由于S 四边形MANB =S △MAB +S △NAB ，而当M 点到AB 的距离最大，△MAB 的面积最大；当N 点到AB 的距离最大时，△NAB 的面积最大，即M 点运动到D 点，N 点运动到E 点，所以四边形MANB 面积的最大值=S 四边形DAEB =S △DAB +S △EAB =12AB•CD+12AB•CE=12AB（CD+CE ）=12AB•DE=12．解：过点O 作OC⊙AB 于C ，交⊙O 于D 、E 两点，连结OA 、OB 、DA 、DB 、EA 、EB ，如图，⊙⊙AMB=45°，⊙⊙AOB=2⊙AMB=90°，⊙⊙OAB 为等腰直角三角形，⊙S 四边形MANB =S △MAB +S △NAB ，⊙当M 点到AB 的距离最大，△MAB 的面积最大；当N 点到AB 的距离最大时，△NAB 的面积最大，即M 点运动到D 点，N 点运动到E 点，此时四边形MANB 面积的最大值=S 四边形DAEB =S △DAB +S △EAB =12AB•CD+12AB•CE=12AB （CD+CE ）=12AB•DE=12．故答案为【点拨】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理．27．（1）1；（2）⊙点A′在⊙O 上；⊙⊙0°＜α＜30°或60°≤α＜120°【分析】（1）如图，作辅助线；证明⊙AOC=60°，得到OC=1．（2）⊙证明⊙PAB=90°，得到PB 是⊙O 的直径；证明⊙PA′B=90°，即可解决问题． ⊙证明⊙A′BP=⊙ABP=60°；借助⊙APB=60°，得到△PAB 为正三角形，求出AB 的长即可解决问题．⊙直接写出α的取值范围即可解决问题．解：解：（1）如图，过点O 作OC⊙AB 于点C ；⊙OA=OB ，则⊙AOC=⊙BOC=12×120°=60°，⊙OA=2，⊙OC=1．故答案为1．（2）⊙⊙⊙AOB=120°⊙⊙APB=12⊙AOB=60°， ⊙⊙PBA=30°，⊙⊙PAB=90°，⊙PB 是⊙O 的直径，由翻折可知：⊙PA′B=90°，⊙点A′在⊙O 上．⊙由翻折可知⊙A′BP=⊙ABP ，⊙BA′与⊙O 相切，⊙⊙OBA′=90°，⊙⊙ABA′=120°，⊙⊙A′BP=⊙ABP=60°；⊙⊙APB=60°，⊙△PAB 为正三角形，⊙BP=AB ；⊙OC⊙AB ，⊙AC=BC ；而OA=2，OC=1， ⊙AC=3，⊙α的取值范围为0°＜α＜30°或60°≤α＜120°．【点拨】该题主要考查了翻折变换、垂径定理及其应用问题；解题的关键是灵活运用翻折变换、垂径定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．28．（1）见分析；（2）见分析；（3）AE PE PB =-，理由见分析【分析】（1）连接AD ，BD ，易证ADB ∆为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一这一性质，可以证得AE BE =．（2）根据圆内接四边形的性质，先CDA CDF ∠=∠，再证AFD ∆为等腰三角形，进一步证得PB PF =，从而证得结论．（3）根据ADE FDE ∠=∠，从而证明DAE DFE ∆≅∆，得出AE EF =，然后判断出PB PF =，进而求得AE PE PB =-．解：证明：（1）如图1，连接AD ，BD ，C是劣弧AB的中点，∴∠=∠，CDA CDB∵⊥，DE AB∴∠=∠=︒，AED DEB90∠+∠=︒，B CDB∴∠+∠=︒，9090A ADE∴∠=∠，A BADB∴∆为等腰三角形，⊥，CD AB∴=；AE BE（2）如图2，延长DB、AP相交于点F，再连接AD，ADBP是圆内接四边形，∴∠=∠，PBF PADC是劣弧AB的中点，∴∠=∠，CDA CDF。
浙教新版数学九年级上册：3.3垂径定理同步练习题含答案
浙教新版数学九年级上册：3.3垂径定理同步练习题一．选择题（共7小题）1．过⊙O内一点N的最长弦为6，最短的弦长为4，那么ON的长为（）A．B．2C．D．2．圆的半径为13cm，两弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，则两弦AB，CD的距离是（）A．7cm B．17cm C．12cm D．7cm或17cm3．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB＝7，M是AB上任意一点，则线段OM的长不可能是（）A．3.5B．4.5C．4D．54．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图，油面宽AB为6dm，如果再注入一些油后，油面AB上升ldm，油面宽为8dm，圆柱形油槽直径MN为（）A．6dm B．8dm C．10dm D．12dm5．若P为半径长是6cm的⊙O内一点，OP＝2cm，则过P点的最短的弦长为（）A．12cm B．cm C．cm D．cm6．下列命题中，正确的是（）A．平分弦的直线必垂直于这条弦B．垂直于弦的直线必过圆心C．平分弦的直径必垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧D．垂直平分弦的直线必平分这条弦所对的弧7．如图所示，⊙O的弦AB、AC的夹角为50°，MN分别为弧AB和弧AC的中点，OM、ON分别交AB、AC于点E、F，则∠MON的度数为（）A．110°B．120°C．130°D．100°二．填空题（共10小题）8．秋千长度的长度为3m，秋千向两边摆动时，最大摆角为60度，且两边的摆动角度相同，则它摆置最高处与最低处的高度差为．9．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为，最大值为．10．如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，点P的坐标为（10，5），点A的坐标为（6，0），则点B的坐标为．11．如图，已知在⊙O中，直径MN＝10，四边形ABCD是正方形，并且∠POM＝45°，则AB的长为．12．已知如图，⊙O中直径AB交CD于E，点B是弧CD的中点，CD＝8cm，AE＝8cm，则⊙O的半径为．13．如图，⊙O的弦AB的垂直平分半径OC，⊙O的半径等于8cm，则四边形OACB的面积等于cm2．14．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平弦所对的弧．即：如图，若AB⊥CD，则有AP PB，，AD＝．如图，若CD＝10，AB＝8，求PC的长？15．如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，若AB＝10cm，OE＝4cm，则CD＝cm．16．如图AB是⊙O的直径CD是弦，且CD⊥AB于点E，BC＝6，AC＝8，则DE＝．17．如图，在⊙O中，AB是弦，∠AOB＝120°，OA＝5cm，那么圆心O到AB的距离是cm，弦AB的长是cm．三．解答题（共8小题）18．直径为80cm的油桶水平放置于地面上，截面图如图所示，油面MN与直径AB交于点C，且最大深度BC为直径的时．（1）求油面的宽度MN（结果保留根号）；（2）若油桶的高为120cm，求油桶中存贮油的体积（结果保留根号）．19．如图，一圆弧形拱桥，跨度AB＝16m，拱高为4m，求半径OA的长．20．如图，已知AB和CD是⊙O的两条弦，且AB⊥CD，连接OC，作∠OCD的平分线交⊙O于P，连接P A、PB，求证：P A＝PB．21．已知：如图，⊙O中，AB＝AC，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E．求证：∠ODE＝∠OED．22．如图，有一拱桥为圆弧形，跨度AB＝60米，拱高PM＝18米，当洪水泛滥时，跨度只有30米时要采取紧急措施，测量人员测得水面A1B1到拱顶距离只有4米时，是否采取紧急措施？23．如图所示，AB是⊙O的一条弦（不是直径），点C，D是直线AB上的两点，且AC＝BD．（1）判断△OCD的形状，并说明理由．（2）当图中的点C与点D在线段AB上时（即C，D在A，B两点之间），（1）题的结论还存在吗？24．（综合题）如图所示，⊙O中的弦AB，CD互相垂直于E，AE＝5cm，BE＝13cm，O到AB的距离为2cm，求⊙O的半径及O到CD的距离．25．在直径为1米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，若油面宽AB＝0.6米，求油的最大深度．浙教新版数学九年级上册：3.3垂径定理同步练习题参考答案一．选择题（共7小题）1．过⊙O内一点N的最长弦为6，最短的弦长为4，那么ON的长为（）A．B．2C．D．【解答】解：如图所示，则直径AB是过点N的最长的弦．过N点作弦CD⊥AB，则CD是过N的最短的弦．连接OC．∵ON⊥CD，∴CN＝CD＝2，又OC＝3，∴ON＝．故选：C．2．圆的半径为13cm，两弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，则两弦AB，CD的距离是（）A．7cm B．17cm C．12cm D．7cm或17cm【解答】解：作OE⊥CD，∵AB∥CD，∴OE⊥AB，当两弦在圆心的同侧时，已知CD＝10cm，∴由垂径定理得DE＝5．∵OD＝13，∴利用勾股定理可得：OE＝12．同理可求OF＝5，∴EF＝7．当两弦在圆心的两侧时，EF＝OE+OF＝17．故选：D．3．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB＝7，M是AB上任意一点，则线段OM的长不可能是（）A．3.5B．4.5C．4D．5【解答】解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，当点M与点A重合时OM最长，当点M于点D重合时OM最短，∵OD⊥AB，AB＝7，∴AD＝AB＝，∴OD＝＝＝，∴≤OM≤5．∵＞＝3.5，∴A不合题意．故选：A．4．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图，油面宽AB为6dm，如果再注入一些油后，油面AB上升ldm，油面宽为8dm，圆柱形油槽直径MN为（）A．6dm B．8dm C．10dm D．12dm【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，EF＝1dm，AB＝6dm，CD＝8dm，设圆的半径为r，∵OE⊥CD，OF⊥AB，∴CE＝DE＝4dm，AF＝BF＝3dm，在Rt△OCE和△OAF中，根据勾股定理得：OE＝＝，OF＝＝，∴OE﹣OF＝1，即﹣＝1，＝+1，两边平方得，r2﹣9＝r2﹣16+2+1，＝3，两边平方得，r2﹣16＝9，r2＝25，解得：r＝5，则圆柱形油槽直径MN为10dm．故选：C．5．若P为半径长是6cm的⊙O内一点，OP＝2cm，则过P点的最短的弦长为（）A．12cm B．cm C．cm D．cm【解答】解：如图，∵OA＝6cm，OP＝2cm，∴AP＝＝＝4cm，∴AB＝8cm，∴过P的最短的弦长等于8cm，故选：D．6．下列命题中，正确的是（）A．平分弦的直线必垂直于这条弦B．垂直于弦的直线必过圆心C．平分弦的直径必垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧D．垂直平分弦的直线必平分这条弦所对的弧【解答】解：A、过弦的中点的直线都是平分线的直线，有无数条，所以平分弦的直线不一定垂直于这条弦；故A 错误．B、垂直于弦的直线有无数条，所以垂直于弦的直线不一定过圆心，垂直平分弦的直线过圆心；故B错误．C、根据垂径定理的推论，平分弦（不是直径）的直径必垂直于这条弦，因为任意两条直径互相平分，但不一定垂直；故C错误．D、垂直平分弦的直线必过圆心，并且平分这条弦所对的弧；故D正确．故选：D．7．如图所示，⊙O的弦AB、AC的夹角为50°，MN分别为弧AB和弧AC的中点，OM、ON分别交AB、AC于点E、F，则∠MON的度数为（）A．110°B．120°C．130°D．100°【解答】解：∵M、N分别为弧AB和弧AC的中点，∴OF⊥AC，OE⊥AB，∴∠OF A＝∠OEA＝90°，∴在四边形OEAF中，∠MON＝360°﹣∠OF A﹣∠OEA﹣∠A＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°．故选：C．二．填空题（共10小题）8．秋千长度的长度为3m，秋千向两边摆动时，最大摆角为60度，且两边的摆动角度相同，则它摆置最高处与最低处的高度差为（3﹣）米．【解答】解：∵最大摆角为60度，∴∠BOD＝60°，∴∠BOA＝∠DOA＝30°．∵OB＝OD＝3米，∴BC＝OB＝米，∴OC＝＝＝（米），∴AC＝OA﹣AC＝（3﹣）米．故答案为：（3﹣）米．9．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为3，最大值为5．【解答】解：如图所示，过O作OM′⊥AB，连接OA，∵过直线外一点与直线上的所有连线中垂线段最短，∴当OM于OM′重合时OM最短，∵AB＝8，OA＝5，∴AM′＝×8＝4，∴在Rt△OAM′中，OM′＝＝＝3，∴线段OM长的最小值为3，最大值为5．故答案为：3，5．10．如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，点P的坐标为（10，5），点A的坐标为（6，0），则点B的坐标为（14，0）．【解答】解：过点P作PM⊥AB于M，则M的坐标是（10，0）．又∵A的坐标为（6，0），∴OA＝6，AM＝OM﹣OA＝10﹣6＝4，∵A，B两点一定关于PM对称．∴MB＝AM＝4，∴OB＝OM+MB＝10+4＝14，∴点B的坐标是（14，0）．故答案为：（14，0）．11．如图，已知在⊙O中，直径MN＝10，四边形ABCD是正方形，并且∠POM＝45°，则AB的长为．【解答】解：∵∠POM＝45°，∠DCO＝90°，∴∠DOC＝∠CDO＝45°，∴△CDO为等腰直角三角形，∴CO＝CD．连接OA，则△OAB是直角三角形，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝CO，BO＝BC+CO＝BC+CD＝2AB，∴AB2+OB2＝52，即AB2+（2AB）2＝52，∴AB的长为．故答案为：．12．已知如图，⊙O中直径AB交CD于E，点B是弧CD的中点，CD＝8cm，AE＝8cm，则⊙O的半径为5．【解答】解：设⊙O的半径为rcm，∵点B是弧CD的中点，CD＝8cm，AB是直径，∴AB⊥CD，CE＝ED＝CD＝4cm，在Rt△COE中，由勾股定理得：OC2＝CE2+OE2，r2＝42+（8﹣r）2，解得r＝5．故答案为：5．13．如图，⊙O的弦AB的垂直平分半径OC，⊙O的半径等于8cm，则四边形OACB的面积等于cm2．【解答】解：∵AB垂直平分OC，∴OA＝AC，又半径OA＝OC，∴△OAC为等边三角形，四边形OACB为菱形，∵OA＝OC＝8，∴AB＝8，S四边形OACB＝×OC×AB＝×8×8＝32．故答案为：32．14．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平弦所对的弧．即：如图，若AB⊥CD，则有AP＝PB，＝，AD＝BD．如图，若CD＝10，AB＝8，求PC的长？【解答】解：∵AB⊥CD，∴由垂径定理，可得AP＝BP，＝，AD＝BD，连接OA，∵AB⊥CD，CD＝10，AB＝8，∴AP＝4，OA＝5，∴由勾股定理得，OP＝3，∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．15．如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，若AB＝10cm，OE＝4cm，则CD＝6cm．【解答】解：由题意得：OC＝5，OE＝4∴Rt△OCE中可求得CE＝＝3cm根据垂径定理可得：CD＝2CE＝6cm．16．如图AB是⊙O的直径CD是弦，且CD⊥AB于点E，BC＝6，AC＝8，则DE＝．【解答】解：∵AB是⊙O的直径CD是弦，且CD⊥AB于点E∴CE＝DE，AC⊥BC∵BC＝6，AC＝8∴AB＝10∵S△ABC＝×AC×BC＝×CE×AB∴AC×BC＝CE×AB∴CE＝＝∴DE＝CE＝故此题应该填．17．如图，在⊙O中，AB是弦，∠AOB＝120°，OA＝5cm，那么圆心O到AB的距离是cm，弦AB的长是5 cm．【解答】解：过O作OC⊥AB交AB于C点，如右图所示：由垂径定理可知，OC垂直平分AB，∵OA＝OB，∠AOB＝120°∴∠OAB＝30°∴OC＝OA＝cm∴由勾股定理可得：AC＝cm∴AB＝5cm故此题应该填，5．三．解答题（共8小题）18．直径为80cm的油桶水平放置于地面上，截面图如图所示，油面MN与直径AB交于点C，且最大深度BC为直径的时．（1）求油面的宽度MN（结果保留根号）；（2）若油桶的高为120cm，求油桶中存贮油的体积（结果保留根号）．【解答】解：（1）如图，连接OM，∵AB＝80cm，BC为直径的，∴OM＝OB＝40cm，BC＝20cm，∴OC＝20cm，∴MC＝cm，∴MN＝2CM＝40cm；（2）∵OC＝20cm，OM＝40cm，∴sin∠OMC＝，∴∠OMC＝30°，∴∠MOC＝60°，∴∠MON＝120°，∴阴影部分的面积是：＝，∵油桶的高为120cm，∴油桶中存贮油的体积是：（）×120＝64000π﹣48000，即油桶中存贮油的体积是（64000π﹣48000）cm3．19．如图，一圆弧形拱桥，跨度AB＝16m，拱高为4m，求半径OA的长．【解答】解：∵AB＝16m，OC⊥AB，∴AD＝AB＝8m，设OA＝r，则OD＝r﹣4，在Rt△AOD中，OA2＝AD2+OD2，即r2＝82+（r﹣4）2，解得r＝10m，即半径OA的长是10m．20．如图，已知AB和CD是⊙O的两条弦，且AB⊥CD，连接OC，作∠OCD的平分线交⊙O于P，连接P A、PB，求证：P A＝PB．【解答】证明：∵OC＝OP，∴∠1＝∠2．∵CP平分∠OCD，∴∠2＝∠3，∴∠3＝∠1，∴CD∥OP，∵CD⊥AB，∴OP⊥AB．∴＝，∴P A＝PB．21．已知：如图，⊙O中，AB＝AC，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E．求证：∠ODE＝∠OED．【解答】解：连接OA并延长交BC于点F，∵⊙O是△ABC的外接圆，∴点O是△ABC的外心，∵AB＝AC，∴AF是BC的垂直平分线，∴∠BAF＝∠CAF，∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴OD、OE分别是AB、AC的垂直平分线，∵AB＝AC，∴AD＝AE，在Rt△AOD与Rt△AOE中，，∴Rt△AOD≌Rt△AOE，∴OD＝OE，∴△ODE是等腰三角形，∴∠ODE＝∠OED．22．如图，有一拱桥为圆弧形，跨度AB＝60米，拱高PM＝18米，当洪水泛滥时，跨度只有30米时要采取紧急措施，测量人员测得水面A1B1到拱顶距离只有4米时，是否采取紧急措施？【解答】解：连接OA、OA1，如下图所示：由题可得：AB＝60m，PM＝18m，PN＝4m，OA＝OA1＝OP＝ROP⊥AB，OP⊥A1B1由垂径定理可得：AM＝MB＝30m在Rt△AMO中，由勾股定理可得：AO2＝AM2+MO2即R2＝302+（R﹣18）2解得R＝34m∵PN＝4m，OP＝R＝34m∴ON＝30m在Rt△ONA1中，由勾股定理可得：A1N2＝A1O2﹣ON2可得A1N＝16m故A1B1＝32m＞30m故不用采取紧急措施．23．如图所示，AB是⊙O的一条弦（不是直径），点C，D是直线AB上的两点，且AC＝BD．（1）判断△OCD的形状，并说明理由．（2）当图中的点C与点D在线段AB上时（即C，D在A，B两点之间），（1）题的结论还存在吗？【解答】解：（1）△OCD是等腰三角形如左图所示，过点O作OM⊥AB，垂足为M，则有MA＝MB又AC＝BD∴AC+MA＝BD+MB即CM＝DM又OM⊥CD，即OM是CD的垂直平分线∴OC＝OD∴△OCD为等腰三角形（2）当点C，D在线段AB上时，如右图所示同（1）题作OM⊥AB，垂足为M由垂径定理，得AM＝BM又AC＝BD∴CM＝AM﹣AC＝BM﹣BD＝MD∴OC＝OD∴△OCD为等腰三角形．24．（综合题）如图所示，⊙O中的弦AB，CD互相垂直于E，AE＝5cm，BE＝13cm，O到AB的距离为2cm，求⊙O的半径及O到CD的距离．【解答】解：AB＝AE+BE＝5+13＝18（cm），连接OB，过O作OM⊥AB，∴AM＝AB＝9（cm），又∵OM＝2（cm），∴在Rt△OBM中，BO＝＝＝＝11cm，ON＝EM＝AM﹣AE＝9﹣5＝4（cm）．25．在直径为1米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，若油面宽AB＝0.6米，求油的最大深度．【解答】解：连接OA．∵OA＝OD＝0.5米，AC＝AB＝0.3米∴OC2＝OA2﹣AC2∴OC＝＝0.4米∴CD＝OD﹣OC＝0.5﹣0.4＝0.1米故油的最大深度是0.1米．。
3.3.2 垂径定理的逆定理 浙教版数学九年级上册同步练习(含解析)
3.3 垂径定理第2课时 垂径定理的逆定理基础过关全练知识点1 垂径定理的逆定理11.如图,☉O的直径CD过弦AB的中点E,且CE=2,DE=8,则AB的长为( )A.9B.8C.6D.42.如图,☉O的半径为5,弦AB的长为8,半径OD过弦AB的中点C,则CD的长为 .知识点2 垂径定理的逆定理23.如图,☉O的直径AB与弦CD交于点E,若B为CD的中点,则下列说法错误的是( )A.CB=BDB.OE=BEC.CE=DED.AB⊥CD4.【新独家原创】如图,AB是☉O的直径,点P是BD的中点,若BD=8,BP=25,则AD的长为 .5.如图所示,D、E分别是AB、AC的中点,DE交AB于M,交AC于N,求证:AM=AN.知识点3 垂径定理的逆定理的应用6.【新情境·中国元素】圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断,既美观又实用,彰显出中国元素的韵味.如图所示的是一款拱门的示意图,其中拱门最下端AB=18分米,C为AB的中点,D为拱门最高点,圆心O在线段CD上,CD=27分米,求拱门所在圆的半径.能力提升全练7.下列命题中,正确的个数是( )①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦;②平分弦的直径平分弦所对的弧;③垂直于弦的直线必过圆心;④垂直于弦的直径平分弦所对的弧. A.1 B.2 C.3 D.48.【新考法】如图,AB为☉O的直径,AE为☉O的弦,C为优弧ABE的中点,CD⊥AB,垂足为D.若AE=8,DB=2,则☉O的半径为 .9.【教材变式·P79例3】如图所示的是某蔬菜基地搭建的一座蔬菜棚的截面,其为圆弧形,跨度AB(弧所对的弦)为3.2米,拱高(弧的中点到弦的距离)为0.8米.(1)求该圆弧所在圆的半径;(2)在距蔬菜棚的一端(点B)0.4米处竖立支撑杆EF,求支撑杆EF的长度.10.如图,AB是☉O的直径,AB⊥CD于点E,连结CO并延长交AD于点F,且F恰为AD的中点.求证:E是OB的中点.素养探究全练11.【运算能力】木工师傅经常要测量圆木截面的直径,实际上不易操作,为解决这一难题,小颖设计了一个测圆工具,如图所示,在长为h的木条AB的中点钉另一根木条MN,MN⊥AB,在木条MN上自MN上某一点向N标注刻度,使用时,将A、B置于圆上,读出MN与圆的交点C处的刻度,就可以知道圆的直径,设MC=d d≥(1)用含h,d的式子表示该圆的直径;(2)若h=2,圆木截面的直径为5.2,则MC的长度为多少?答案全解全析基础过关全练1.B ∵CE=2,DE=8,∴CD=10,∴OB=OC=5,∴OE=5-2=3.∵☉O的直径CD过弦AB的中点E,∴CD⊥AB,AE=BE,在Rt△OBE中,∵OE=3,OB=5,∴BE=OB2―OE2=4,∴AB=2BE=8.故选B.2.答案 2解析 连结OA(图略),∵半径OD过弦AB的中点C,∴OD⊥AB,AC=BC,∴∠OCA=90°,∵弦AB的长为8,∴AC=BC=4,∵AO=5,∴由勾股定理得OC=52―42=3,∴CD=OD-OC=5-3=2.3.B ∵B为CD的中点,∴CB=BD,故A选项说法正确,不符合题意;∵AB是☉O的直径,CB=BD,∴CE=DE,AB⊥CD,故C、D选项说法正确,不符合题意;根据题中条件不能证明OE=BE,故B选项说法错误,符合题意.故选B.4.答案 6解析 如图,连结OP交BD于点G,BD=4,∵P是BD的中点,∴OP⊥BD,DG=BG=12在Rt△BPG中,PG=BP2―BG2=(25)2―42=2,设☉O的半径为r,在Rt△OBG中,OB2=OG2+BG2,即r2=(r-2)2+42,解得r=5,∴OG=3,∵OA=OB,DG=BG,∴OG为△ABD的中位线,∴AD=2OG=6.5.证明 如图,连结DO,EO,∵D是AB的中点,E是AC的中点,∴OD⊥AB,OE⊥AC.∵OD=OE,∴∠EDO=∠DEO,∴∠DMB=180°-90°-∠EDO,∠ENC=180°-90°-∠DEO,∴∠DMB=∠ENC.∵∠AMN=∠DMB,∠ANM=∠ENC,∴∠AMN=∠ANM,∴AM=AN.6.解析 如图,连结AO,∵CD过圆心,C为AB的中点,∴CD⊥AB,∵AB=18分米,C为AB的中点,∴AC=BC=9分米,设圆的半径为x分米,则OA=OD=x分米,∵CD=27分米,∴OC=(27-x)分米,在Rt△OAC中,AC2+OC2=OA2,∴92+(27-x)2=x2,∴x=15.答:拱门所在圆的半径是15分米.能力提升全练7.B 平分弧的直径垂直平分弧所对的弦,所以①正确;平分弦(非直径)的直径平分弦所对的弧,所以②错误;垂直平分弦的直线必过圆心,所以③错误;垂直于弦的直径平分弦所对的弧,所以④正确.故选B.8.答案 5解析 如图,连结CO并延长,交AE于点T.∵C为优弧ABE的中点,∴AC=CE,AE=4,∴CT⊥AE,AT=TE=12∵∠ATO=∠CDO=90°,∠AOT=∠COD,AO=CO,∴△AOT≌△COD(AAS),∴CD=AT=4,设☉O的半径为r.在Rt△COD中,OC2=CD2+OD2,∴r2=42+(r-2)2,∴r=5,∴☉O的半径为5.9.解析 (1)如图,设AB所在圆的圆心为O,D为AB的中点,连结OB,OD,OD交AB于点C,∴OD垂直平分AB,由题可知AB=3.2米,CD=0.8米,AB=1.6米,∴BC=12设☉O的半径为R米,则OC=OD-CD=(R-0.8)米,在Rt△OBC中,由勾股定理得OB2=OC2+CB2,即R2=(R-0.8)2+1.62,解得R=2,即该圆弧所在圆的半径为2米.(2)如图,过O作OH⊥EF,交EF的延长线于点H,连结OE,则四边形OHFC是矩形,∴OH=CF=1.6-0.4=1.2(米),∵OE=2米,∴在Rt△OHE中,HE=OE2―OH2=22―1.22=1.6(米),∵HF=OC=OD-CD=2-0.8=1.2(米),∴EF=HE-HF=1.6-1.2=0.4(米),即支撑杆EF的长度为0.4米.10.证明 如图,连结AC,BC,∵AB⊥CD,AB为☉O的直径,∴CE=DE,∴AB垂直平分CD,∴AC=AD,∵F为AD的中点,CF过圆心,∴CF⊥AD,∴CF垂直平分AD,∴AC=CD,∴AC=AD=CD,∴△ACD是等边三角形,∴∠ACD=60°,∵F为AD的中点,∴∠FCD=30°,∴∠COE=60°,∵OC=OB,∴△OCB为等边三角形,∵CE⊥OB,∴OE=BE,即E是OB的中点.素养探究全练11.解析 (1)∵MN⊥AB,M为AB的中点,∴MN 过圆心,设圆心为O ,连结AO ,如图:设AO =x ,在Rt △AOM 中,AO 2=MO 2+AM 2,∴x 2=(d -x )2,∴x 2=d 2-2dx +x 2+ℎ24,∴2dx =d 2+ℎ24,∴2x =d +ℎ24d ,即该圆的直径为d +ℎ24d .(2)当h =2,圆木截面的直径为5.2时,d +224d =5.2,∴d +1d =5.2,∴d 2-5.2d +1=0,解得d =5或d =0.2,∵d ≥ℎ2,∴d ≥1,∴d =0.2不符合题意,舍去,∴d =5,∴MC 的长度为5.。
垂径定理-中考数学专项训练(含解析)
垂径定理一、单选题A．82．如图，圆弧形桥拱的跨度A．2米B．43．如图，一个圆柱形的玻璃水杯，将其水平放置，截面是个圆，是弧AB的中点，2CD=cm，杯内水面宽A．6cm4．如图，CD是圆O长为（）A．33A ．45︒6．如图，O 的半径是A ．27．如图是一段圆弧 AB 点．若63,AB CD =A ．6πB ．4π8．如图，在O 中，半径23r =，AB 过点C 作CD OC ⊥交O 于点D ，则A ．4B的直径，11．如图，AB是O==，则CD5,3AB BC的弦，半径12．如图，AB是O中，直径13．如图，在O一点，连AE，过点C作14．如图，在圆O中，弦的直径15．如图．O为．的外接圆，16．如图，⊙O是ABC∠的度数为于点D，连接BD，则D三、解答题17．如图，AB为半圆O点D，若4，==AB AC(1)DE的长．(2)阴影部分的面积．18．如图，AB 为O 的直径，CD 为弦，CD AB ⊥于点E ，连接DO 并延长交O 于点F ，连接AF 交CD 于点G ，CG AG =，连接AC ．(1)求证：AC DF ∥；(2)若12AB =，求AC 和GD 的长．19．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C D 、两点，若16cm 6cm AB CD ==，．(1)求AC 的长；(2)若大圆半径为10cm ，求小圆的半径．∠；(1)连接AD，求OAD(2)点F在 BC上，CDF∠=参考答案：∵OA OB =，C 为弦AB 中点，∴OC AB ⊥，4AC =，∴OE 平分 AB ，∵D 为 AB 的中点，∴点,D E 重合，∴,,O C D 三点共线，设圆的半径为r ，则：2OC OD CD r =-=-，由勾股定理，得：222OA AC OC =+，∴()22242r r =+-，解得：=5r ；故选B ．4．C【分析】本题考查了勾股定理的应用，垂径定理，熟练掌握和运用垂径定理是解决本题的关键．连接OC ，首先根据题意可求得63OC OE ==，，根据勾股定理即可求得CE 的长，再根据垂径定理即可求得CD 的长．【详解】解：如图，连接OC ，∵123AB BE ==，，∴63OB OC OE ===，，∵AB CD ⊥，∵50BOC ∠=︒，OC ∴OCB OBC ∠=∠=∵OC AB ⊥，∴AD BD =，故选：B．7．B【分析】本题考查的是垂径定理，勾股定理及弧长的计算公式，先根据垂径定理求出=长，由题意得OD OAOE AB ⊥ ，132AE BE AB ∴===，22OE OA AE ∴=-=在Rt COE △中，∵AB 是O 的直径，∴152OD OB AB ===∵,6CD AB CD ⊥=，∴13,2DE CD DEO ==∠∴22OE OD DE =-=∵5AB =，∴25OE =，∵DE 切O 于点E ，∴OE DE ⊥，∴90OED ∠=︒，∵1OA =，120AOB ∠=︒，∴30A B ==︒∠∠，AC BC =∴1122OC OA ==，AC =∵直径CD 长为4，∴1422OD =⨯=，∵1OG =，∴1DG OD OG =-=，∴AB 垂直平分OD ，OH 经过圆心O ，12AH BH AB ∴===∴2AO AH OH =+故答案为：5．在Rt AOD 中，12OD OA ==，，1cos 2AOD \Ð=，60AOD ∴=︒∠，OE AC ⊥ ，由垂径定理知，点E是CD的中点，也是AB是 的直径，CD⊥AB∴垂直平分CD，M是OA的中点，∴1122OM OA OD==，OA CD于点M，⊥∴点M是CD的中点，∴垂直平分CD，ABNC ND∴=，Q，∠=︒45CDFNCD NDC∴∠=∠=︒，45∴∠=︒，90CND。
人教版数学九年级上学期课时练习-垂直于弦的直径-垂径定理(巩固篇)(人教版)
专题24.5 垂直于弦的直径-垂径定理（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段OM的长的取值范围是（）A．35OM≤≤≤≤B．45OMC．35OM<<<<D．45OM2．已知O的直径10cmAB=，⊥，垂足为M，且8cmCD=，AB是O的弦，AB CD则AC的长为（）A．B．C．或D．或3．如图，AB是O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交O于点E．若DE=，则BC的长是（）AC=4A．1B C．2D．44．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊙BC于点D，AC＝4，则OD的长为（）A．1B．1.5C．2D．2.55．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（）cm.A．6B．C．D．6．如图，AB是半圆O的直径，以弦AC为折痕折叠AC后，恰好经过点O，则AOC等于（）A．120°B．125°C．130°D．145°7．在Rt△ABC中，⊙ C=90°，BC=6，AC=8，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE=6，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（）A ．245B ．165C ．125 D ．958．如图，已知O 的直径AB CD ⊥弦于点,E 则下列结论不一定成立的是（ ）A ．CE DE =B ．AE OE =C ．COA DOA ∠=∠D ．OCE ODE ∆≅∆9．如图所示，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为E ，那么下列结论中，错误的是（ ）A ．CE DE =B ．BC BD =C ．BAC BAD ∠=∠ D ．AC AD >10．如图，在⊙ABC 中，90ACB ∠=，点D 是AB 的中点，将⊙ACD 沿CD 对折得⊙A ′CD ．连接BA '，连接AA ′交CD 于点E ，若14cm AB =，4cm BA '=，则CE 的长为（ ）A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．7cm11．如图，在⊙ABCD 中，用直尺和圆规作⊙BAD 的平分线AG 交BC 于点E ．若AE ＝6，AB ＝5，则BF 的长为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．1212．已知⊙O 的半径为7，AB 是⊙O 的弦，点P 在弦AB 上．若P A ＝4，PB ＝6，则OP ＝（ ）A B ．4C D ．5二、填空题13．如图，CD 是⊙O 的直径，AB 是弦，CD AB ⊥，若10OB =，12AB =，则AC 的长为______．14．如图，在平面直角坐标系中，P 与x 轴相切于原点O ，平行于y 轴的直线交P 于M ，N 两点．若点M 的坐标是(2,1)-，则点N 的坐标是__．15．如图，O 的直径AB 与弦CD 相交于点P ，且45APC ∠=︒，若2232PC PD +=，则O的半径为______．16．如图，AB，CD是半径为15的⊙O的两条弦，AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊙MN于点E，CD⊙MN于点F，P为EF上任意一点，则PA＋PC的最小值为_____．17．如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊙AB于点O，MN=10，AB=8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是_____，⊙C上的整数点有_______个．18．如图，在⊙O中，2＝，AD⊙OC于点D，比较大小AB___________2AD．（填AB AC入“＞”或“＜”或“＝”）．19．如图，⊙O的半径为6，OAB的面积为18，点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，P 点有_____个．20．如图，圆心B 在y 轴的负半轴上，半径为5的B 与y 轴的正半轴交于点()0,1A ，过点()0,7P -的直线l 与OB 相交于C 、D 两点，则弦CD 长的所有可能的整数值是___________．21．如图，AB 是圆O 的直径，CD⊙AB 于点E ，交圆O 于点D ，OF⊙AC 于点F ，BD=5，则OF=__________________________．22．如图，已知O 的半径为5，P 是直径AB 的延长线上一点，BP 1=，CD 是O 的一条弦，CD 6=，以PC ，PD 为相邻两边作▱PCED ，当C ，D 点在圆周上运动时，线段PE 长的最大值与最小值的积等于______．23．如图，某圆弧形拱桥的跨度AB=20m，拱高CD=5m，则该拱桥的半径为_______m．三、解答题24．如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=2，ED=6，求⊙O的半径长．25．已知：如图，在⊙O中，AB＝CD，AB与CD相交于点M，(1) 求证：AC BD；(2) 求证：AM＝DM．26．在《折叠圆形纸片》综合实践课上，小东同学展示了如下的操作及问题： (1)如图1，1O 的半径为4cm ，通过折叠圆形纸片，使得劣弧AB 沿弦AB 折叠后恰好过圆心1O ，求AB 长；(2)如图2，2O C ⊥弦AB ，垂足为点C ，劣弧AB 沿弦AB 折叠后经过2O C 的中点D ，10cm AB =，求O 的半径．27．如图，在扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，C 、D 是AB 上两点，过点D 作DE OC ∥交OB 于E 点，在OD 上取点F ，使OF DE =，连接CF 并延长交OB 于G 点．(1)求证：OCF DOE ≌△△；(2)若C 、D 是AB 的三等分点，=OA⊙求OGC ∠；⊙请比较GE 和BE 的大小．28．【教材回顾】（1）如图⊙，点D 、E 分别是ABC 的边AB 、边AC 的中点，连结DE ，则DE 是ABC 的一条中位线．则DE 和BC 的数量关系是____，位置关系是_____．【提出问题】如图⊙，AB 是以MN 为直径的⊙O 的一条弦，连结OA 、OB ，点M 在AB 的上方，点N 在AB 的下方，MP AB ⊥于P ，NQ AB ⊥于Q ，点P 、Q 均在弦AB 上．已知5MN =，30OAB ∠=︒，求MP NQ -的值．为了解决上面的问题，进行了如下的探究：【分析问题】先看两种特殊情况：（2）如图⊙，当点N 与点B 重合时，点Q 也与点B 重合，点P 与点A 重合，此时MP MA =，0NQ =（点看成是长度为0的线段），则MP NQ -=_____．（写出具体的数值）（3）如图⊙，当MN AB ⊥时，P 、Q 重合，此时MP NQ -与OP 的数量关系是____，先根据条件易求OP 的长度，则MP NQ -=____．（写出具体的数值）【解决问题】（4）结合图⊙对应的一般情况和你的感知，请用严谨的数学方法求MP NQ -的值．参考答案1．B【分析】由垂线段最短可知当OM ⊙AB 时最短，当OM 是半径时最长．根据垂径定理求最短长度．解：如图，连接OA ，作OM ⊙AB 于M ，⊙⊙O 的直径为10，⊙半径为5，⊙OM 的最大值为5，⊙OM ⊙AB 于M ，⊙AM =BM ，⊙AB =6，⊙AM =3，在Rt △AOM 中，4OM ==；此时OM 最短，所以OM 长的取值范围是4≤OM ≤5．故选：B ．【点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理，解决本题的关键是确定OM 的最小值，所以求OM 的范围问题又被转化为求弦的弦心距问题，而解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r ，弦长为a ，这条弦的弦心距为d ，则有等式r 2=d 2+（2a ^$^$）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．2．C【分析】先画好一个圆，标上直径CD ，已知AB 的长为8cm ，可知分为两种情况，第一种情况AB 与OD 相交，第二种情况AB 与OC 相交，利用勾股定理即可求出两种情况下的AC 的长；解：连接AC ，AO ，⊙圆O 的直径CD =10cm ，AB ⊙CD ，AB =8cm ，⊙AM =12AB =12×8=4cm ，OD =OC =5cm ， 当C 点位置如图1所示时，⊙OA =5cm ，AM =4cm ，CD ⊙AB ，⊙OM =，⊙CM =OC +OM =5+3=8cm ，⊙AC；当C 点位置如图2所示时，同理可得OM =3cm ，⊙OC =5cm ，⊙MC =5−3=2cm ，在Rt⊙AMC 中，AC =．故选C ．【点拨】本题考查垂径定理和勾股定理，根据题意正确画出图形进行分类讨论，熟练运用垂径定理是解决本题的关键．3．C【分析】根据垂径定理求出OD 的长，再根据中位线求出BC =2OD 即可．解：设OD =x ，则OE =OA =DE -OD =4-x ．⊙AB 是O 的直径，OD 垂直于弦AC 于点，AC =⊙12AD DC AC ===⊙OD 是⊙ABC 的中位线⊙BC =2OD⊙222OA OD AD =+⊙222x=-=+，解得1(4)x x⊙BC=2OD=2x=2故选：C【点拨】本题考查垂径定理、中位线的性质，根据垂径定理结合勾股定理求出OD的长是解题的关键．4．C【分析】由OD⊙BC，根据垂径定理，可得CD＝BD，即可得OD是△ABC的中位线，则可求得OD的长．解：⊙OD⊙BC，⊙CD＝BD，⊙OA＝OB，AC＝4AC＝2．⊙OD＝12故选C．【点拨】此题考查了垂径定理以及三角形中位线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．5．C【分析】作OD⊙AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长.解：作OD⊙AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC，⊙OA=OD=4，CD=2，⊙OC=2，=⊙AB=2AC=故答案为C.【点拨】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键.6．A【分析】连接OC，BC，过O作OE⊙AC于D交圆O于E，根据折叠的性质得到OD=12OE，根据圆周角定理得到⊙ACB=90°，根据三角形的中位线的性质得到OD=12BC，求得⊙COB=60°，得到⊙AOC=120°，于是得到结论．解：如图，连接OC，BC，过O作OE⊙AC于D交圆O于E，⊙把半圆沿弦AC折叠，AC恰好经过点O，⊙OD=12OE，OD AC⊥⊙AB是半圆O的直径，⊙⊙ACB=90°，⊙OD⊙BC，⊙OA=OB，⊙OD=12BC，⊙BC=OE=OB=OC，OCB∴是等边三角形，⊙⊙COB=60°，⊙⊙AOC=120°，【点拨】本题考查了折叠的性质，垂径定理，中位线的性质，等边三角形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键．7．A【分析】由题意可知，C、O、G三点在一条直线上OG最小，MN最大，再由勾股定理求得AB，然后由三角形面积求得CF，最后由垂径定理和勾股定理即可求得MN的最大值．解：如图，过O作OG⊙AB于G，连接OC、OM，⊙DE＝6，⊙ACB＝90°，OD＝OE，⊙OC＝12DE＝3，⊙OM＝3，⊙只有OG最小，GM才能最大，从而MN有最大值，⊙只有C、O、G三点在一条直线上OG最小，过C作CF⊙AB于F，⊙G和F重合时，MN有最大值，⊙⊙ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，⊙AB＝10，⊙12AC•BC＝12AB•CF，⊙CF＝245，⊙OG＝CF−OC＝249355-=，⊙MG125，⊙MN＝2MG＝24 5故选:A【点拨】本题考查了勾股定理，垂线段最短，垂径定理等知识，正确作出辅助线，得出C 、O 、G 三点在一条直线上OG 最小是解题的关键．8．B【分析】根据垂径定理得出=CE DE ，由此可判断A ，再根据全等三角形的判定方法“AAS”即可证明OCE ODE ∆∆≌，进而可判断C 、D ，而AE 与OE 不一定相等，由此可判断B ．解：⊙O 的直径AB CD ⊥于点，⊙=CE DE ，故A 选项结论成立；在OCE ∆和ODE ∆中，90CEO DEO OCE ODEOC OD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ⊙OCE ODE ∆∆≌，故D 选项结论正确；⊙COA DOA ∠=∠，故C 选项结论正确；而AE 与OE 不一定相等，故B 选项结论不成立；故选：B ．【点拨】本题考查了垂径定理的应用，注意：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．9．D【分析】根据垂径定理逐个判断即可．解：AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊙AB 垂足为E ，则AB 是垂直于弦CD 的直径，就满足垂径定理．因而CE ＝DE ，BC BD =，⊙BAC ＝⊙BAD 都是正确的．根据条件可以得到AB 是CD 的垂直平分线，因而AC ＝AD ．所以D 是错误的． 故选：D ．【点拨】本题主要考查的是对垂径定理的记忆与理解．10．B【分析】由折叠性质得AA ′⊙CD ，AD = A ′D ，根据直角三角形斜边上的中线性质可证得CD =AD =BD = A ′D ，可证得A 、C 、A ′、B 共圆且AB 为直径，利用垂径定理的推论和三角形A′B，进而可求解CE的长．的中位线性质证得DE=12解：由折叠性质得AA′⊙CD，AD= A′D，⊙90∠=，点D是AB的中点，ACBAB，⊙CD=AD=BD= A′D=12⊙A、C、A′、B共圆且AB为直径，又A A′⊙CD，⊙AE= A′E，又AD=BD，⊙DE是⊙AB A′的中位线，A′B，⊙DE=12⊙14cmAB=，4cmBA'=，⊙CD=7cm，DE=2cm，⊙CE=CD-DE=7-2=5cm，故选B．【点拨】本题考查直角三角形斜边上的中线性质、三角形的中位线性质、折叠性质、垂径定理的推论，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．11．C【分析】设AE交BF于点O，根据题意可得四边形ABEF为菱形，勾股定理求得BO的长度，即可求解．解：设AE交BF于点O，如下图：由题意可得：AF AB =，AG 平分FAB ∠，AF BC ∥，⊙AG 垂直平分BF ，AFB ABF ∠=∠，⊙EF BE =，2BF BO =，⊙EFB EBF ∠=∠，又⊙AF BC ∥，⊙AFB EBF ∠=∠，⊙EFB ABF ∠=∠，⊙//AB EF ，⊙四边形ABEF 为平行四边形，又⊙AF AB =，⊙平行四边形ABEF 为菱形， ⊙132AO AE ==，由勾股定理得，4BO ==，⊙28BF BO ==，故选：C ．【点拨】此题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，垂径定理以及勾股定理，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解．12．D【分析】连接OA ，过点O 作OC AB ⊥于点C ，如图所示，先利用垂径定理求得152AC BC AB ===，然后在Rt AOC ∆中求得OC =Rt POC ∆中，利用勾股定理即可求解． 解：连接OA ，过点O 作OC AB ⊥于点C ，如图所示，则12AC BC AB ==，7OA =， ⊙P A ＝4，PB ＝6，⊙4610AB PA PB =+=+=， ⊙152AC BC AB ===， ⊙541PC AC PA =-=-=，在Rt AOC ∆中，OC ===在Rt POC ∆中，5OP ===，故选：D【点拨】本题考查了垂径定理及勾股定理的运用，构造直角三角形是解题的关键．13．【分析】根据垂径定理求出AE =BE =6，根据勾股定理求出OE ，求出CE ，再根据勾股定理求出AC 即可．解：设AB 和CD 交于E ，⊙CD ⊙AB ，CD 过圆心O ，AB =12，⊙AE =BE =6，⊙OEB =⊙CEA =90°， 由勾股定理得：22221068OE OB BE ，⊙CE =OC +OE =10+8=18， 由勾股定理得：2222186610ACCE AE ，故答案为：【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识点，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．14．(2,4)-【分析】首先过点P 作P A ⊙MN 于点A ，由垂径定理即可求得AM ＝12MN ，易证得四边形ABOP 是矩形，即可得AB ＝OP ，P A ＝OB ＝2，设OP ＝a ，在Rt △P AM 中，由PM 2＝AM 2+P A 2，可得方程a 2＝（a ﹣1）2+4，继而可求得答案．解：如图，过点P 作PA MN ⊥于点A ，⊙12AM MN =，在平面直角坐标系中，P 与x 轴相切于原点O ，平行于y 轴的直线交P 于M ，N 两点，设MN 交x 轴于点B ， ⊙90POB PAB ABO ∠=∠=∠=︒，⊙四边形ABOP 是矩形，⊙AB OP =，2PA OB ==，设OP a =，则PM OP a ==，⊙点M 的坐标是(2,1)-，⊙BM ＝1，⊙1AM a =-，在Rt ΔPAM 中，222PM AM PA =+，即22(1)4a a =-+，解得： 2.5a =，⊙ 1.5AM =，⊙23MN AM ==，⊙134BN BM M N =+=+=，⊙点N 的坐标为：(2,4)-．故答案为：(2,4)-．【点拨】此题考查了垂径定理、点与坐标的关系以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．15．4【分析】过点O 作,OE CD ⊥ 连接,OC 根据垂径定理可得,CE DE =根据45APC ∠=︒，得到,EP OE =对式子2232PC PD +=进行变换，即可求出半径.解：设O 的半径为R过点O 作,OE CD ⊥ 连接,OC,CE DE ∴=45APC ∠=︒，,EP OE ∴=()()2222,PC PD CE EP DE EP +=++- 222222,CE CE EP EP DE DE EP EP =+⋅++-⋅+2222,CE EP =+()222,CE EP =+()222,CE OE =+ ⊙2232,R =解得： 4.R=故答案为：4【点拨】此题考查垂径定理，等腰直角三角形的性质等，把式子2232PC PD+=进行变形是解题的关键.16．【分析】由于A、B两点关于MN对称，因而PA＋PC＝PB＋PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA＋PC的值最小，即BC的值就是PA＋PC的最小值．解：连接BC，OB，OC，作CH垂直于AB于H．⊙AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊙MN于点E，CD⊙MN于点F，⊙BE＝12AB＝12，CF＝12CD＝9，⊙9OE=，12OF=，⊙CH＝OE＋OF＝9＋12＝21，BH＝BE＋EH＝BE＋CF＝12＋9＝21，在Rt⊙BCH中，根据勾股定理得：BC即PA＋PC的最小值为故答案为：【点拨】本题考查垂径定理以及最短路径问题，灵活根据垂径定理确定最短路径是解题关键．17．312【分析】过C作直径UL⊙x轴，连接AC，根据垂径定理求出AO=BO=4，根据勾股定理求出OC，再得出答案即可．解：过C作直径UL⊙x轴，连接CA，则AC=12×10=5，⊙MN过圆心C，MN⊙AB，AB=8，⊙AO=BO=4，⊙AOC=90°，由勾股定理得：CO= ，⊙ON=5-3=2，OM=5+3=8，即A（-4，0），B（4，0），M（0，8），N（0，-2），同理还有弦QR=AB=8，弦WE=TS=6，且WE、TS、QR都平行于x轴，Q（-4，6），R（4，6），W（-3，7），E（3，7），T（-3，-1），S（3，-1），U（-5，3），L（5，3），即共12个点，故答案为：3；12．【点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理和坐标与图形的性质，能找出符合条件的所有点是解此题的关键．18．=【分析】过点O作OF AB⊥于点E，交O于点F，根据解：如图，过点O作OF AB⊥于点E，交O于点F，AF BF ∴=，12AE AB =2AB AC = AOF AOC ∴∠=∠AD ⊙OC ，AE OE ⊥12AD AE AB ∴== 即2AB AD =故答案为：=【点拨】本题考查了垂径定理，角平分线的判定定理，等弧所对的圆心角相等，掌握垂径定理是解题的关键．19．4【分析】过点P 最长的弦是12，根据已知条件，△OAB 的面积为18，可以求出AB ＜12，根据三角形面积可得，从而可知OP 的长有两个整数：5，6，且OP=6是P 在A 或B 点时，每一个值都有两个点P ，所以一共有4个．解：过O 作OC⊙AB 于C ，则AC ＝BC ，设OC ＝x ，AC ＝y ，⊙AB 是⊙O 的一条弦，⊙O 的半径为6，⊙AB≤12，⊙⊙OAB 的面积为18， ⊙223612182x y yx ⎧+=⎪⎨⨯=⎪⎩， 则y ＝18x， ⊙2218()36x x+=， 解得x ＝或﹣，⊙OC＝＞4，⊙4＜OP≤6，⊙点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，OP＝5或6，则P点有4个．故答案为：4【点拨】此题考查了圆的有关概念，三角形的面积，解决本题的关键是确定OP的最小值和最大值．20．8，9，10．【分析】当CD为直径时，此时CD最长，为10；当CD过P点且垂直y轴时，CD为P点的最短弦，由点A（0，1），BA＝5，得到B点坐标为（0，−4），再由P点坐标为（0，−7），得到BP＝3，由BP⊙CD，根据垂径定理得PC＝PD，然后在Rt⊙PBC中，根据勾股定理得到PC＝4，所以CD＝8，即过P点的最短弦长为8，最长的弦长为10，故可求解．解：当CD过圆心B时，此时CD为直径，CD＝10；当CD过P点且垂直y轴时，CD为P点的最短弦，如图，⊙点A（0，1），BA＝5，⊙B点坐标为（0，−4），⊙P点坐标为（0，−7），⊙BP＝−4−（−7）＝3，⊙BP⊙CD，⊙PC＝PD，在Rt⊙PBC中，BC＝5，BP＝3，⊙PC4，⊙CD＝2PC＝8，⊙过P点的最短弦长为8，最长的弦长为10，⊙过P点的弦长为整数还有9，⊙弦CD长的所有可能的整数值有8，9，10．故答案为：8，9，10．【点拨】本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理和勾股定理；同时掌握图形与坐标的关系．21．5 2【分析】利用垂径定理可得BC BD=，推出BD=BC，再根据三角形的中位线定理可得BC=2OF，即可解决问题．解：⊙直径AB⊙弦CD，⊙BC BD=，⊙BD=BC=5，⊙OF⊙AC，⊙AF=FC，⊙OA=OB，⊙OF是三角形ABC的中位线,⊙2OF=15 BC22=，故答案为：52．【点拨】本题考查垂径定理、三角形中位线定理等知识，熟知垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．22．80.【分析】连接OC．设CD交PE于点K，连接OK．根据垂径定理的推论可得OK CD⊥，根据勾股定理求出OK，然后得出OP的值，利用三角形的三边关系即可解决问题．解：连接OC.设CD交PE于点K，连接OK．四边形PCED 是平行四边形，CD 6=，EK PK ∴=，CK DK=3=，OK CD ∴⊥，在Rt COK 中，OC 5=，CK 3=，OK 4∴=，OP OB PB 6=+=，64PK 64∴-≤≤+，2PK 10∴≤≤，PK ∴的最小值为2，最大值为10，PE 2PK =，PE ∴的最小值为4，最大值为20，∴线段PE 长的最大值与最小值的积等于80．故答案为80．【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，平行四边形的性质以及三角形的三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．23．12.5【分析】根据垂径定理的推论知，圆弧形拱桥的圆心在CD 所在的直线上，设圆心是O ，半径为r m ，连接OA ．根据垂径定理得10m AD =，再由勾股定理求解即可．解：根据垂径定理的推论知，圆弧形拱桥的圆心在CD 所在的直线上，设圆心是O ，半径是r m ，连接OA ．根据垂径定理，得：110m 2AD AB ==， 在Rt AOD △中，根据勾股定理，得22210(5)r r =+-，解得：12.5r =，即该拱桥的半径为12.5m ，故答案为：12.5．【点拨】此题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程进行求解．24．【分析】过点O 分别作AB 、CD 的垂线OM 、ON ，则四边形OMEN 是正方形，利用垂径定理即可求得OM ，AM 的长度，然后在直角AOM ∆中利用勾股定理即可求得OA 的长度．解：过点O 分别作AB 、CD 的垂线OM 、ON ，则四边形OMEN 是矩形，连接OA ．AB CD =，AB CD ⊥，OM ON ∴=，∴矩形OMEN 是正方形．2CE =，6ED =，268CD ∴=+=，ON CD ⊥142CN CD ∴==， 2EN OM ∴==，同理：4AM =．在直角AMO ∆中，OAO ∴的半径长为【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是利用垂径定理可以把求弦长以及半径的计算转化成求直角三角形的边长的计算．25．(1)见分析(2)见分析【分析】（1）由在⊙O 中，AB =CD ，根据弦与弧的关系，可证得=AB CD ，继而可证得AC BD =；（2）首先连接AC ，BD ，易证得⊙ACM ⊙⊙DBM ，继而证得AM =DM ．解：(1)⊙在⊙O 中，AB ＝CD ，⊙=AB CD ，⊙=AB BC CD BC --，⊙AC BD =；(2)连接AC ，BD ，⊙=AB CD ，⊙AC ＝BD ，在⊙ACM 和⊙DBM 中，A D AC DBC B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，⊙⊙ACM ⊙⊙DBM （ASA ），⊙AM ＝DM ．【点拨】此题考查了弦与弧的关系、圆周角定理以及全等三角形的判定与性质．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．26．(1)【分析】（1）如图1，作1O M AB ⊥交AB 于N ，交1O 于M ，连接1AO ，由题意知，1142cm 2O N MN ==⨯=，12AN BN AB ==，在1Rt AO N 中，由勾股定理得AN 求出AN 的值，进而可求AB 的值；（2）如图2，延长2O C 交2O 于E ，连接2AO ，设半径为r ，由题意知15cm 2AC CB AB ===，由折叠和中点的性质可知213O D DC CE r ===，在2Rt AO C 中，由勾股定理得22221AC AO O C =-，即222253r r ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求出满足要求的解即可． (1)解：如图1，作1O M AB ⊥交AB 于N ，交1O 于M ，连接1AO由题意知，1142cm 2O N MN ==⨯=，12AN BN AB ==在1Rt AO N 中，由勾股定理得AN =⊙AB =⊙AB 的长为．(2)解：如图2，延长2O C 交2O 于E ，连接2AO ，设半径为r由题意知15cm 2AC CB AB ===，由折叠和中点的性质可知213O D DC CE r ===，在2Rt AO C 中，由勾股定理得22221AC AO O C =-，即222253r r ⎛⎫=- ⎪⎝⎭解得：r =r =-⊙半径的长为．【点拨】本题考查了垂径定理，折叠的性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．27．(1)证明见分析(2)⊙⊙OGC =90°；⊙BE ＞GE【分析】（1）先由平行线得出⊙COD =⊙ODE ，再用SAS 证△OCF ⊙⊙DOE 即可；（2）⊙先由C 、D 是AB 的三等分点，⊙AOB =90°，求得⊙AOC =⊙COD =⊙BOD =30°，由（1）知△OCF ⊙⊙DOE ，所以⊙OCF =⊙DOE =30°，即可由三角形内角和求解；⊙由⊙⊙OGC =90°，⊙OCF =⊙DOE =30°，利用直角三角形的性质和勾股定理即可求得OG =OF =2，又⊙OCF =⊙COF =30°，所以CF =OF ，又由△OCF ⊙⊙DOE ，所以OE =CF =OF =2，即可求得2GE =2BE =，再比较即可得出结论；(1)解：⊙DE AB 2AC =OC ，⊙⊙COD =⊙ODE ，⊙OC =OD ，OF =DE ，⊙⊙OCF ⊙⊙DOE (SAS )；(2)解：⊙⊙C 、D 是AB 的三等分点，⊙AOB =90°，⊙⊙AOC =⊙COD =⊙BOD =30°，⊙⊙OCF ⊙⊙DOE ，⊙⊙OCF =⊙DOE =30°，⊙⊙COG =⊙COD +⊙DOB =60°，⊙⊙OGC =90°．⊙⊙OA OC OB === ⊙OG又⊙⊙DOE =30°，⊙OF =2，⊙⊙OCF =⊙COF =30°，⊙CF =OF ，⊙⊙OCF ⊙⊙DOE ，⊙OE =CF =OF =2，⊙2GE OE OG =-=-2BE OB OE =-=，⊙40BE GE =>－，⊙BE ＞GE ．【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，圆的性质，圆心角、弧之间的关系，直角三角形的性质，勾股定理，求出⊙AOC =⊙COD =⊙BOD =30°，进而求得⊙OGC =90°是解题词的关键．28．（1）12DE BC =；//DE BC ；（2）52；（3）2MP NQ OP -=；52；（4）52【分析】（1）直接用中位线性质定理得出结论；（2）由等边三角形判定得出⊙MOA 为等边三角形，得到12MP MA MN ==，即可得到答案；（3）由直角三角形中，30°所对的边是斜边的一半，得到1122OP OA ON ==，即OP PN =，计算即可得知答案；（4）过圆O 作直径CD ⊙AB 交于点E ，连接PM 与CD 交于点F ，由中位线定理得出OF 是⊙MNP 的中位线，EF 是⊙PNQ 的中位线，得到2MP OF =，2NQ EF =，即()22MP NQ OF EF OE -=-=，计算即可得出答案．解：（1）⊙点D 、E 分别是ABC 的边AB 、边AC 的中点，⊙DE 是ABC 的一条中位线， ⊙12DE BC =，//DE BC ， 故答案为：12DE BC =，//DE BC ． （2）⊙MN 为直径，O 为圆心，当点N 与点B 重合时，点Q 也与点B 重合，点P 与点A 重合，⊙⊙MAB ＝90°，O 为MN 的中点，⊙在Rt ⊙MAB 中，12OA MN =，OA OM OB ==， ⊙30OAB OBA ==︒∠∠，⊙60MOA ∠=︒，⊙⊙MOA 为等边三角形，⊙5MN = ⊙1522MP MA MN ===，0NQ =， ⊙52MP NQ -=， 故答案为：52 （3）当MN AB ⊥时，P 、Q 重合，⊙30OAB ∠=︒，⊙在Rt ⊙AOP 中，1122OP OA ON ==， ⊙OP PN =，⊙OM ON =，⊙2MP NQ MP OP OM OP -=-==，⊙5MN =， ⊙52OM OA ON ===， ⊙1524OP PN OA ===， ⊙522MP NQ OP -==， 故答案为：2MP NQ OP -=；52． （4）⊙MP AB ⊥于P ，NQ AB ⊥于Q ，⊙过圆O 作直径CD ⊙AB 交于点E ，连接PN 与CD 交于点F ，如图：⊙点O 为MN 的中点，////MP CD NQ ，⊙点F 为PN 的中点，点E 为PQ 的中点，⊙在⊙MNP 中，OF 是⊙MNP 的中位线，⊙2MP OF =，在⊙PNQ 中，EF 是⊙PNQ 的中位线，⊙2NQ EF =，⊙()22MP NQ OF EF OE -=-=，⊙在Rt ⊙AOE 中，30OAB ∠=︒，5MN =， ⊙15222OE OA MN ===， ⊙52MP NQ -=． 【点拨】本题考查了中位线定理，圆的垂径定理，直角三角形中30°所对的边是斜边的一半等知识点，根据题意作出辅助线是解题的关键．。
部编数学九年级上册24.4垂直于弦的直径垂径定理(基础篇)(人教版)含答案
专题24.4 圆的对称性-垂径定理（基础篇）（专项练习）一、单选题1．AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=16，OE=6，则⊙O的直径为（ ）A．8B．10C．16D．202．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，连接AC，∠CAB=22.5°，AB=12，则CD的长为（ ）A．B．6C．D．3．如图以CD为直径的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB=16，CM=16．则MD的长为（）A．2B．4C．6D．84．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，则下列结论不一定成立的是（）A ．AE ＝BEB ．OE ＝DEC ．»»AC BC =D ．»»AD BD=5．如图，点A ，B ，C ，D 在圆上，弦AB 和CD 交于点E ，则下列说法正确的是（ ）A ．若CD 平分AB ，则CD AB ^B ．若CD AB ^，则CD 平分ABC ．若CD 垂直平分AB ，则圆心在CD 上D ．若圆心在CD 上，则CD 垂直平分AB 6．如图，CD 是O e 的直径，弦AB CD ^于点E ，连接BC 、BD ，下列结论中不一定正确的是（ ）A ．AE BE =B ．»»AD BD =C ．OE DE =D ．»»AC BC=7．下列命题中假命题是（ ）A ．平分弦的半径垂直于弦B ．垂直平分弦的直线必经过圆心C ．垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧D ．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦8．如图，在⊙O 中，半径OC ⊥AB 于点E ，AE =2，则下列结论正确的是（ ）EC=A．2OE=B．2C．AB垂直平分OC D．OC垂直平分AB9．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，点C是AB的中点，连接OC，则OC的长为（ ）A．1B．2C．3D．410．如图，在⊙O中，弦AB的长是半径OA C为»AB中点，AB、OC交于点P，则四边形OACB是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形11．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为(1,4)，(5,4)，(1,0)，则以A、B、C为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是（）A ．(3,2)B ．(2,3)C ．(1,3)D ．(3,1)12．我国古代数学名著《九章算术》中有一个经典的“圆材埋壁”问题： “今有圆材埋壁中，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何? "意思是： 如图，CD 是⊙O 的直径， 弦 AB ⊥CD 于P ，CP =1寸，AB =10寸，则直径CD 的长是 （ ）寸A ．20B ．23C ．26D ．30二、填空题13．圆的半径为5cm ，圆心到弦AB 的距离为4cm ，则AB =_______cm ．14．如图，OE ⊥AB 于E ，若⊙O 的半径为10，OE ＝6，则AB ＝_______．15．如图，O e 的半径为4，AB ，CD 是O e 的弦，且//AB CD ，4AB =，CD =则AB 和CD 之间的距离为______．16．某隧道口横截面如图所示，上部分是圆弧形，下部分是矩形、已知隧道口最高点E与DC的距离EF为4米，且弧DC所在圆的半径为10米，则路面AB的宽度为_____米．17．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，若∠D=30°，AD=，则AB=________cm．Ð的度数为18．如图，在⊙O中，弦AB的长为4，圆心O到弦AB的距离为2，则AOC______．19．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，4），（5，4），（1，﹣2），则△ABC外接圆的圆心坐标是_________．20．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，3），则该圆弧所在圆的圆心坐标是______．21．在进行垂径定理的证明教学中，老师设计了如下活动：先让同学们在圆中作了一条直径MN，然后任意作了一条弦（非直径）．如图1，接下来老师提出问题：在保证弦AB长度不变的情况下，如何能找到它的中点？在同学们思考作图验证后，小华说了自己的一种想法：只要将弦AB与直径MN保持垂直关系，如图2，它们的交点就是弦AB的中点，请你说出小华此想法的依据是__．22．如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是______度．23．如图，某小区的一个圆形管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，现在量得污水水面宽度为80cm，水面到管道顶部的距离为20cm，则修理工人应准备的新管道的内直径是______cm．24．已知O e 的半径为2，弦BC =，A 是O e 上一点，且»»AB AC =，直线AO 与BC 交于点D ，则AD 的长为________．三、解答题25．如图，在⊙O 中，直径AB =10，弦AC =8，连接BC ．(1)尺规作图：作半径OD 交AC 于E ，使得点E 为AC 中点；(2)连接AD ，求三角形OAD 的面积．26．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就，它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（1ED =寸），锯道长1尺（AB =1尺=10寸）．问这块圆形木材的直径（AC ）是多少？”如图所示，请根据所学的知识解答上述问题．27．已知：如图，在O e 中，AB AC 、为互相垂直的两条弦，,OD AB OE AC ^^，D 、E 为垂足．(1)若AB AC =，求证：四边形ADOE 为正方形．(2)若AB AC >，判断OD 与OE 的大小关系，并证明你的结论．28．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD AB ^于点F ，OE AC ^于点E ，若3OE =，OB=，求OF的长．5参考答案1．D【分析】连接OC ，由垂径定理可知，点E 为CD 的中点，且OE ⊥CD ，在Rt △OEC 中，根据勾股定理，即可得出OC ，从而得出直径．解：连接OC ，∵AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E∴CE=12CD=8，∵OE=6．在Rt △OEC 中，由勾股定理得：OC 2=OE 2+EC 2，即OC 2=62+82解得：OC=10∴直径AB=2OC=20．故选D ．【点拨】本题考查垂径定理，勾股定理．熟练掌握定理是解答关键.2．C【分析】连接OC ，求出∠COB =45°，根据垂径定理求出CD =2CE ，根据勾股定理求出CE 即可．解：连接OC ，则OC =12AB =12×12=6， ∵OA =OC ，∠CAB =22.5°，∴∠CAB =∠ACO =22.5°，∴∠COB=∠CAB+∠ACO=45°，∵AB⊥CD，AB为直径，∴CD=2CE，∠CEO=90°，∴∠OCE=∠COB=45°，∴OE=CE，∵CE2+OE2=OC2，∴2CE2=62，解得：CE，即CD=2CE，故选：C．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的外角性质，垂径定理等知识点，能求出CE=OE是解此题的关键．3．B【分析】连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA=r，OM=16-r，根据垂径定理得到AM=BM=8，再根据勾股定理得到82+（16-r）2=r2，解方程求出r=10，然后计算CD-CM即可．解：连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA=r，OM=16-r，∵AB⊥CD，∴AM=BM=12AB=8，在Rt△AOM中，82+（16-r）2=r2，解得r=10，∴MD=CD-CM=20-16=4．故选：B．【点拨】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．4．B【分析】根据垂径定理即可判断．解：CD Q 是O e 的直径，弦AB CD ^于点E ，AE EB \=，»»AC BC =， »»AD BD=．故选：B ．【点拨】本题主要考查垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键．5．C【分析】根据垂径定理的内容和垂径定理的推论的内容进行判断．解：A 、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意；B 、垂直于弦的直径平分弦，原说法错误，不符合题意；C 、弦的垂直平分线必经过圆心，原说法正确，符合题意；D 、AB 若也是直径，则原说法不符合题意；故选：C ．【点拨】本题考查了垂径定理以及推论，解答时熟悉垂径定理的内容以及推论的内容是关键．6．C【分析】根据垂径定理判断即可；解：∵直径CD 垂直于弦AB 于点E ，则由垂径定理可得，AE BE =，»»AD BD=，»»AC BC=，故选项A ，B ，D 正确；OE DE =无法得出，故C 错误．故选C ．【点拨】本题主要考查了垂径定理的应用，准确分析判断是解题的关键．7．A【分析】根据垂径定理及其推论分别进行判断．解：A、平分弦（非直径）的半径垂直于弦，所以A为假命题；B、垂直平分弦的直线必经过圆心，所以B选项为真命题；C、垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧，所以C选项为真命题；D、平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦，所以D选项为真命题．故选：A．【点拨】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理，也考查了垂径定理的性质．8．D【分析】由垂径定理和勾股定理分别对各个选项进行判断即可．解：连接OA，条件不足，不能求出OE和EC的长，故选项A、B不符合题意；∵OC⊥AB于点E，∴OC是线段AB的垂直平分线，故选项D正确，符合题意；选项C不符合题意，故选：D．【点拨】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．9．C【分析】根据垂径定理的推论，勾股定理即可求得OC的长解：OA OBQ点C是AB的中点，=Q ⊙O 的半径为5，弦AB ＝8，1,42OC AB AC BC AB \^===在Rt AOC △中3OC ==故选C【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．10．C【分析】根据弦AB 的长是半径OA C 为»AB 的中点，判定出四边形OACB 是平行四边形，再由AB OC ^，即可判定四边形OACB 是菱形.解：∵弦AB 的长是半径OA C 为»AB 的中点，OC 为半径，∴12AP AB AO AB OC ==^，，∴1122OP OA OC ===，∴12PC OC =，即OP PC =，∴四边形OACB 是平行四边形，又∵AB OC ^，∴四边形OACB 是菱形.【点拨】本题主要考查了勾股定理，菱形的判定，以及垂径定理的推论，读懂题意是解题的关键．11．A【分析】根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心．解：如图，作弦AB 、AC 的垂直平分线，∵点A 、B 、C 的坐标分别为(1,4)，(5,4)，(1,0)，所以弦514AB =-=，弦404AC =-=，∴弦AB 的垂直平分线与x 轴相交于点(30)，，弦AC 的垂直平分线与y 轴相交于点(0)2，，∴两条垂直平分线的交点1O即为三角形外接圆的圆心，且1O点的坐标是(3,2)．故选：A．【点拨】本题考查了垂径定理，三角形的外接圆与圆心，熟知垂径定理是解题的关键．12．C【分析】连接OA构成直角三角形，先根据垂径定理，由DP垂直AB得到点P为AB的中点，由AB=6可求出AP的长，再设出圆的半径OA为x，表示出OP，根据勾股定理建立关于x 的方程，解方程直接可得2x的值，即为圆的直径．解：连接OA，∵AB⊥CD，且AB=10寸，∴AP=BP=5寸，设圆O的半径OA的长为x，则OC=OD=x，∵CP=1，∴OP=x-1，在直角三角形AOP中，根据勾股定理得：x2-（x-1）2=52，化简得：x2-x2+2x-1=25，即2x=26，∴CD =26（寸）．故选：C ．【点拨】本题考查了垂径定理和勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是关键．13．6【分析】根据题意，画出图形，利用垂径定理，可得2AB AC = ，然后利用勾股定理求出3AC cm =，即可求解．解：根据题意画出如下图形，半径5OA cm = ，OC AB ^ ，则4OC cm = ，∵半径5OA cm = ，OC AB ^ ，∴2AB AC = ，在Rt AOC △ 中，由勾股定理得：3A C cm === ，∴26A B A C cm == ．故答案为：6 ．【点拨】本意主要考查了垂径定理，勾股定理，利用垂径定理，得到2AB AC =是解题的关键．14．16【分析】连接OA ，由垂径定理可得2AB AE =，在Rt AOE D 中利用勾股定理即可求得AE 的长，进而求得AB ．解：连接OA ，∵OE ⊥AB 于E ，∴2AB AE =，在Rt AOE D 中，10OA =，OE ＝6，∴8AE ==，∴216AB AE ==，故答案为：16【点拨】本题考查了垂径定理和勾股定理，构造直角三角形是解题的关键．15．±【分析】作OE AB ^于E ，交CD 于F ，连结OA ，OC ，根据平行线的性质等到OF CD ^，再利用垂径定理得到1122AE AB CF CD ==，，再由勾股定理解得OE ，OF 的长，继而分类讨论解题即可．解：作OE AB ^于E ，交CD 于F ，连结OA ，OC ，如图，//AB CDQ OF CD\^11222AE BE AB CF DF CD \======，在Rt OAE △中，42OA AE ==Q ，\==OEV中，在Rt OCFQ，C F4OC==\==OF当圆心O在AB与CD之间时，=+=EF OF OE当圆心O不在AB与CD之间时，=-=-EF OF OE即AB和CD之间的距离为故答案为：【点拨】本题考查勾股定理、垂径定理、分类讨论等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．16．16【分析】先根据勾股定理CF8=米，根据垂径定理求出DF=CF=8米，然后根据四边形ABCD为矩形，得出AB=DC=16米即可．解：∵EF=4米，OC=OE=10米，∴OF=OE-EF=6米，在Rt△OEC中，CF8=米，∵OF⊥DC，DC为弦，∴DF=CF=8米，∴DC=2×8=16米，∴四边形ABCD为矩形，∴AB=DC=16米，故答案为：16．【点拨】本题考查勾股定理，垂径定理，矩形性质，掌握勾股定理，垂径定理，矩形性质是解题关键．17．【分析】根据∠D =30°，直角三角形中30°角对应的直角边等于斜边的一半计算出AH ，再根据垂直于弦的直径平分弦得到AB =2AH 计算出AB ．解：在Rt AHD V 中，∠D =30°∴2AD AH=∴AH =cm∵弦AB ⊥CD∴2==AB AH故答案为：【点拨】本题考查直角三角形和圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识．18．45°【分析】先根据垂径定理可得122AC AB ==，再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得．解：由题意得：OC AB ^，4AB =，122AC AB \==，2OC =Q ，AC OC \=，Rt AOC \V 是等腰直角三角形，45AOC =\а，故答案为：45°．【点拨】本题考查了垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解题关键．19．（3，1）【分析】根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心．解：根据垂径定理的推论，则作弦AB、AC的垂直平分线，交点D即为圆心，且坐标是（3，1）．故答案为：（3，1）．【点拨】此题考查了垂径定理的推论，能够准确确定一个圆的圆心．20．(1,0)．【分析】直接利用垂径定理推论得出圆心位置，进而利用A点坐标得出原点位置即可得出答案．解：如图示，∵点A的坐标为（0，3），据此建立平面直角坐标系如下图所示，连接AB，AC，作AB，AC的中垂线，交点是点D则，该圆弧所在圆的圆心坐标是：(1,0)．故答案是：(1,0)．【点拨】本题主要考查了垂径定理以及坐标与图形的性质，正确得出圆心位置是解题关键．21．等腰三角形三线合一的性质【分析】连接OA、OB，则△OAB是等腰三角形，依据等腰三角形的性质判断．解：连接OA、OB，则△OAB是等腰三角形，当MN⊥AB时，一定有MB过AB的中点，依据三线合一的性质可得．故答案是：等腰三角形三线合一的性质．【点拨】本题考查了垂径定理，正确转化为等腰三角形的性质解决问题是关键．22．48【分析】根据点D是弦AC的中点，得到OD⊥AC，然后根据∠DOC=∠DOA即可求得答案：解：∵AB是⊙O的直径，∴OA=OC．∵∠A=42°，∴∠ACO=∠A=42°．∵D为AC的中点，∴OD⊥AC．∴∠DOC=90°﹣∠DCO=90°﹣42°=48°．故答案为：48．23．100【分析】由垂径定理和勾股定理计算即可．解：如图所示，作管道圆心O，管道顶部为A点，污水水面为BD，连接AO，AO与BD垂直相交于点C．设AO=OB=r则OC=r-20，BC=140 2BD=有222 OB OC BC=+222(20)40r r =-+化简得r =50故新管道直径为100cm ．故答案为：100．【点拨】本题为垂径定理的实际应用题，主要是通过圆心距，圆的半径及弦长的一半构成直角三角形，并应用勾股定理，来解决问题．24．1或3【分析】根据垂径定理建立直角三角形，再运用勾股定理求得OD ，进而分两种情况讨论即可．解：如图，连接OB ，»»AB AC =Q ，\由垂径定理可知，OA BC ^，BD CD ==则在Rt OBD △中，1OD ==，211AD r OD \=-=-=或213AD r OD =+=+=，故答案为：1或3．【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理计算圆周上点到弦得距离，熟练掌握基本定理，准确分类讨论是解题关键．25．(1)见分析(2)10【分析】（1）过点O 作OD ⊥AC ，交AC 于点E ，交⊙O 于点D ；（2）由题意可得OD =5，由（1）得：OE ⊥AC ，点E 为AC 中点，继而可得118422AE AC ==´=，然后根据三角形的面积公式即可求得答案．(1)解：如图，点E 即为所求；(2)解：如图，连接AD ，∵⊙O 的直径是10，∴OD =5，由（1）得：OE ⊥AC ，点E 为AC 中点，∴118422AE AC ==´=，∴11541022OAD S OD AE =×=´´=V ．【点拨】本题主要考查了垂径定理、三角形的面积公式，熟练掌握垂径定理是解题的关键．26．这块圆形木材的直径（AC ）是26寸【分析】设O e 的半径为x 寸，根据题意可得AD BD =，在Rt AOD △中，OA x =，1OD x =-，勾股定理求解即可．解：设O e 的半径为x 寸，∵OE AB ^，10AB =寸，∴152AD BD AB ===寸，在Rt AOD △中，OA x =，1OD x =-，由勾股定理得()22215x x =-+，解得13x =.∴O e 的直径226AC x ==（寸）.答：这块圆形木材的直径（AC ）是26寸.【点拨】本题考查了垂径定理的应用，掌握垂径定理是解题的关键．27．(1)见分析(2)OD ＜OE【分析】（1）先根据垂径定理，由OD ⊥AB ，OE ⊥AC 得到AD ＝12AB ，AE ＝12AC ，且∠ADO ＝∠AEO ＝90°，加上∠DAE ＝90°，则可判断四边形ADOE 是矩形，由于AB ＝AC ，所以AD ＝AE ，于是可判断四边形ADOE 是正方形；（2）由（1）得四边形ADOE 是矩形，可得OE ＝AD ＝12AB ，OD ＝AE ＝12AC ，又AB ＞AC ，即可得出OE 和OD 的大小关系．(1)证明：∵OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，AB ⊥AC ，∴四边形ADOE 为矩形，且OD 平分AB ，OE 平分AC ，∴BD ＝AD ＝12AB ，AE ＝EC ＝12AC ，∵AB ＝AC ，∴AD ＝AE ，∴四边形ADOE 为正方形．(2)解：OD ＜OE ，理由如下：由（1）得四边形ADOE 是矩形，∴OE ＝AD ，OD ＝AE ，∵AD ＝12AB ，AE ＝12AC ，∴OE ＝12AB ，OD ＝12AC ，又∵AB ＞AC ，∴OD ＜OE ．【点拨】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧、也考查了正方形的判定．28．1.4【分析】根据垂径定理得到AE EC =，CF FD =，根据勾股定理求出AE ．设OF x =，再次根据勾股定理得到等式2222AC AF OC OF -=-，代入求值即可解答．解：连接OC ，∵AB CD ^，OE AC ^，∴AE EC =，CF FD =，∵3OE =，5OB =，∴5OB OC OA ===，∴在Rt OAE △中，4AE ===，∴4AE EC ==，∴8AC =，设OF x =，∵在Rt CAF V 中，222CF AC AF =-，在Rt OFC V 中，222CF OC OF =-，∴2222AC AF OC OF -=-，∴()2222855x x -+=-，解得： 1.4x =，即 1.4OF =．【点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理知识，关键在于合理运用垂径定理和勾股定理求出边的长度．。
2022-2023学年浙教版九年级数学上册《垂径定理》同步练习题(含答案)
2022-2023学年浙教版九年级数学上册《3.3垂径定理》同步练习题（附答案）一．选择题1．如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E．若AC ＝4，DE＝4，则BC的长是（）A．1B．C．2D．42．过⊙O内一点M的最长弦为20cm，最短弦为16cm，那么OM的长为（）A．3cm B．6cm C．8cm D．9cm3．如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD 的面积为（）A．36B．24C．18D．724．工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC ⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，则这种铁球的直径为（）A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm5．如图，在⊙O中，直径AB＝8，弦DE⊥AB于点C，若AD＝DE，则BC的长为（）A．B．C．1D．26．如图，在⊙O中，直径CD垂直弦AB于点E，且OE＝DE．点P为上一点（点P不与点B，C重合），连接AP，BP，CP，AC，BC．过点C作CF⊥BP于点F．给出下列结论：①△ABC是等边三角形；②在点P从B→C的运动过程中，的值始终等于．则下列说法正确的是（）A．①，②都对B．①对，②错C．①错，②对D．①，②都错二．填空题7．如图，AB是半圆O的直径，四边形CDMN和DEFG都是正方形，其中C，D，E在AB 上，F、N在半圆上．若则正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是16，则AB 的长为．8．如图，以AB为直径的⨀O中，点C为⨀O上一点，且AC＝BC＝，过点O作OD⊥AC，垂足为D，点P为直线OD上一个动点，则弧BC，PB，PC构成的封闭图形周长最小值为．9．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是⊙O中弦AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于点D，并且AB＝4m，CD＝6m，则⊙O的半径长为m．10．如图，在⊙O中，AD⊥BC，连接AB、CD，当AB＝2，CD＝6时，则⊙O半径长为．11．平面直角坐标系xOy如图所示，以原点O为圆心，以2为半径的⊙O中，弦AB＝，点C是弦AB中点，P（+1，﹣1），连接PC，当弦AB在⊙O上滑动，线段PC扫过的面积为．12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝4，BP＝12，∠APC＝30°，则CD的长为．13．如图，圆O的半径为4，点P是直径AB上定点，AP＝1，过P的直线与圆O交于C，D两点，则△COD面积的最大值为；作弦DE∥AB，CH⊥DE于H，则CH的最大值为．三．解答题14．如图，在⊙O中，AB，AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF与CD 相交于G．（1）求证：ED＝EG；（2）若AB＝8，OG＝1，求⊙O的半径．15．石拱桥是我国古代入民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长）AB＝26m，设所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，垂足为D．拱高（弧的中点到弦的距离）CD＝5m．连接OB．（1）直接判断AD与BD的数量关系；（2）求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到1m）．16．如图，⊙O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．（1）OM⊥CD于点M，CD＝24，⊙O的半径长为4，求OM的长．（2）点G在BD上，且AG⊥BD交CD于点F，求证：CE＝EF．17．如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）求证：四边形ADOE是正方形；（2）若AC＝2cm，求⊙O的半径．18．如图，线段AB＝10，AC＝8，点D，E在以AB为直径的半圆O上，且四边形ACDE 是平行四边形，过点O作OF⊥DE于点F，求AE的长．19．如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD＝20cm，水深GF＝2cm．若水面上升2cm （EG＝2cm），则此时水面宽AB为多少？20．某隧道的截面是由如图所示的图形构成，图形下面是长方形ABCD，上面是半圆形，其中AB＝10米，BC＝2.5米，隧道设双向通车道，中间有宽度为2米的隔离墩，一辆满载家具的卡车，宽度为3米，高度为4.9米，请计算说明这辆卡车是否能安全通过这个隧道？参考答案一．选择题1．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∵OD⊥AC，∴点D是AC的中点，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥BC，且OD＝BC，设OD＝x，则BC＝2x，∵DE＝4，∴OE＝4﹣x，∴AB＝2OE＝8﹣2x，在Rt△ABC中，由勾股定理可得，AB2＝AC2+BC2，∴（8﹣2x）2＝（4）2+（2x）2，解得x＝1．∴BC＝2x＝2．故选：C．2．解：由题意知，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦，如图所示．直径ED⊥AB于点M，则ED＝20cm，AB＝16cm，由垂径定理知：点M为AB中点，∴AM＝8cm，∵半径OA＝10cm，∴OM2＝OA2﹣AM2＝100﹣64＝36，∴OM＝6cm．故选：B．3．解：如图，连接OC，∵AB＝12，BE＝3，∴OB＝OC＝6，OE＝3，∵AB⊥CD，在Rt△COE中，EC＝，∴CD＝2CE＝6，∴四边形ACBD的面积＝．故选：A．4．解：如图，连接OE，交AB于点F，连接OA，∵AC⊥CD、BD⊥CD，∴AC∥BD，∵AC＝BD＝4cm，∴四边形ACDB是平行四边形，∴四边形ACDB是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD＝16cm，∵CD切⊙O于点E，∴OE⊥CD，∴OE⊥AB，∴四边形EFBD是矩形，AF＝AB＝×16＝8（cm），∴EF＝BD＝4cm，设⊙O的半径为rcm，则OA＝rcm，OF＝OE﹣EF＝（r﹣4）cm，在Rt△AOF中，OA2＝AF2+OF2，∴r2＝82+（r﹣4）2，解得：r＝10，∴这种铁球的直径为20cm，故选：C．5．解：∵DE⊥AB，AB过圆心O，∴DC＝CE＝DE，∠ACD＝∠BCD＝90°，∵AD＝DE，∴DC＝AD，∴∠DAC＝30°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴BD＝AB＝＝4，∵∠ADB＝90°，∠DAB＝30°，∴∠ABD＝60°，∵∠DCB＝90°，∴∠CDB＝30°，∴BC＝BD＝，故选：D．6．解：如图，作CM⊥AP于M，连接AD．∵AE⊥OD，OE＝DE，∴AO＝AD，∵OA＝OD，∴AO＝AD＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠D＝∠ABC＝60°，∵CD⊥AB，∴AE＝EB，∴CA＝CB，∴△ABC是等边三角形，故①正确，∵∠CP A＝∠ABC＝60°，∠APB＝∠ACB＝60°，∴∠CPF＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∵∠CPM＝∠CPF＝60°，CF⊥PF，CM⊥P A，∴CF＝CM，∵PC＝PC，∠CFP＝∠CMP，∴Rt△CPF≌Rt△CPM（HL），∴PF＝PM，∵AC＝BC，CM＝CF，∠AMC＝∠CFB＝90°，∴Rt△AMC≌Rt△BFC（HL），∴AM＝BF，∴AP﹣PB＝PM+AM﹣（BF﹣PF）＝2PM＝2PF，∴＝，在Rt△CPF中，∵∠CPF＝60°，∠CFP＝90°，∴CF＝PF，∴PF＝CF，∴＝，故②正确，故选：A．二．填空题7．解：连接ON，OF，设正方形CDMN的边长为a，正方形DEFG边长为b，OD＝c，则CN＝CD＝a，DE＝EF＝b，∵四边形CDMN和DEFG都是正方形，∴∠NCD＝90°，∠FED＝90°，设OA＝ON＝OF＝OB＝r，由勾股定理得：NC2+CO2＝ON2，OE2+EF2＝OF2，∴a2+（a+c）2＝r2①，b2+（b﹣c）2＝r2②，①﹣②，得a2+（a+c）2﹣b2﹣（b﹣c）2＝0，（a2﹣b2）+[（a+c）2﹣（b﹣c）2）]＝0，（a+b）（a﹣b）+（a+c+b﹣c）（a+c﹣b+c）＝0，（a+b）（a﹣b）+（a+b）（a﹣b+2c）＝0，（a+b）（a﹣b+a﹣b+2c）＝0，2（a+b）（a﹣b+c）＝0，∵a+b≠0，∴a﹣b+c＝0，即b＝a+c，把b＝a+c代入①，得a2+b2＝r2，∵正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是16，∴a2+b2＝16，∴r2＝16，解得r＝4（负值舍去），∴AB＝2r＝8．故答案为：8．8．解：要使得弧BC，PB，PC构成的封闭图形周长最小，弧BC的值不变，则BP+PC最小即可，∵OD⊥AC，∴点C关于PD的对称点为点A，即当P点与O点重合时，BP+PC最小，即弧BC，PB，PC构成的封闭图形周长最小，连接OC，∵AC＝BC＝，∴∠BOC＝90°，OB＝OC＝BC＝＝1，∴弧BC的长为＝，∴弧BC，PB，PC构成的封闭图形周长最小为：2+．故答案为：2．9．解：连接OA，如图，设⊙O的半径为rm，∵C是⊙O中弦AB的中点，CD过圆心，∴CD⊥AB，AC＝BC＝AB＝2m，在Rt△AOC中，∵OA＝rcm，OC＝（6﹣r）m，∴22+（6﹣r）2＝r2，解得r＝，即⊙O的半径长为m．故答案为：．10．解：如图，连接CO，延长CO交⊙O于H，连接BH，DH，BD．∵CH是直径，∴∠CBH＝∠CDH＝90°，∴CB⊥BH，∵CB⊥AD，∴AD∥BH，∴∠CDB＝∠DBH，∴＝，∴DH＝BA＝2，而CD＝6，根据勾股定理CH＝＝2，故答案为2．11．解：连接OC，OA，如图，∵点C是弦AB中点，∴OC⊥AB，AC＝BC＝AB＝，∴OC＝＝．∵弦AB在⊙O上滑动，∴点C的轨迹为以点O为圆心，以为半径的圆，如图中的虚线⊙O，过点P作该圆的切线PD，PE，连接OD，OE，PO，如上图，则OD＝OE＝．利用勾股定理可求得PO＝，∵PD，PE是虚线⊙O的切线，∴OD⊥PD，OE⊥PE，PD＝PE，∠DPO＝∠EPO．∴∠OPD＝30°，∴∠OPE＝30°，∴∠DOP＝60°，∠EOP＝60°，∴∠DOE＝120°．∵线段PC扫过的面积为四边形DOEP的面积+大扇形ODE的面积，∴线段PC扫过的面积为2×PD•OD+＝+π．故答案为：+π．12．解：过O作OI⊥CD于I，连接OD，则∠OID＝∠OIP＝90°，∵AP＝4，BP＝12，∴直径AB＝4+12＝16，即半径OD＝OA＝8，∴OP＝OA﹣AP＝8﹣4＝4，∵∠IPO＝∠APC＝30°，∴OI＝OP＝＝2，由勾股定理得：DI＝＝＝2，∵OI⊥CD，OI过圆心O，∴DI＝CI＝2，即CD＝DI+CI＝4，故答案为：4．13．解：如图1，∵OC•OD•sin∠COD，∴当∠COD＝90°时，△COD面积有最大值，且最大值＝×4×4×1＝8；设△APO的PO边上的高为h1，△DPO的边PO上的高为h2，如图，∵S△CDO＝S△PCO+S△DPO，∴当△COD面积有最大值时，PO×h1+PO×h2＝8．∴×3×（h1+h2）＝8，∴h1+h2＝．∴CH的最大值为．故答案为：8；．三．解答题14．（1）证明：如图：连接BD，∵AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，∴∠CFG＝∠GEB，∵∠CGF＝∠BGE，∴∠C＝∠GBE，∵∠C＝∠DBE，∴∠GBE＝∠DBE，∵AB⊥CD于E，∴∠GEB＝∠DEB，在△GBE和△DBE中，，∴△BGE≌△BDE（ASA），∴ED＝EG．（2）解：如图：连接OA，设OA＝r，则DG＝r+1，由（1）可知ED＝EG，∴OE＝，∵AB⊥CD于E，AB＝8，∴AE＝BE＝4，∴在Rt△OAE中，根据勾股定理得：OE2+AE2＝OA2，即（）2+42＝r2，解得：r＝，即⊙O的半径为．15．解：（1）∵OC⊥AB，∴AD＝BD；（2）设主桥拱半径为R，由题意可知AB＝26，CD＝5，∴BD＝AB＝13，OD＝OC﹣CD＝R﹣5，∵∠ODB＝90°，∴OD2+BD2＝OB2，∴（R﹣5）2+132＝R2，解得R＝19.4≈19，答：这座石拱桥主桥拱的半径约为19m．16．（1）解：如图，连接OD，∵OM⊥CD，OM过圆心，CD＝24，∴DM＝CM＝CD＝12，∠OMD＝90°，由勾股定理得，OM＝＝＝4，即OM的长为4；（2）证明：如图，连接AC，∵AG⊥BD，∴∠DGF＝90°，∴∠DFG+∠D＝90°，∵AB⊥CD，∴∠CEA＝90°，∴∠C+∠EAC＝90°，∵∠EAC＝∠D，∠DFG＝∠AFC，∴∠C＝∠AFC，∴AF＝AC，∵AB⊥CD，∴CE＝EF．17．（1）证明：∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴AD＝AB，AE＝AC，∵AB＝AC，∴AD＝AE，∵∠ADO＝∠A＝∠AEO＝90°，∴四边形ADOE是正方形；（2）解：连接OA，∵AC＝2cm，∴AE＝1cm，在Rt△AOE中，OA＝＝（cm），答：⊙O的半径是cm．18．解：过点E作EG⊥AB于点G，连接OE，则OE＝OA＝，∠EGO＝90°，∵四边形ACDE是平行四边形，∴DE＝AC＝8，DE∥AB，∵OF⊥DE，即∠OFE＝90°，∴EF＝＝4，∠FOG＝∠OFE＝90°，∴四边形OFEG是矩形，∴OG＝EF＝4，∴AG＝5﹣4＝1，在Rt△OEG中，EG＝，在Rt△AGE中，AE＝．19．解：连接OA、OC，∵由题意知：AB∥CD，OE⊥AB，OF⊥CD，CD＝20cm，∴CG＝CD＝10cm，在Rt△OGC中，由勾股定理得：OC2＝CG2+OG2，OC2＝102+（OC﹣2）2，解得：OC＝26（cm），则OE＝26cm﹣2cm﹣2cm＝22cm，∵在Rt△OEA中，由勾股定理得：OA2＝OE2+AE2，∴262＝222+AE2，∴AE＝8，∵OE⊥AB，OE过圆心O，∴AB＝2AE＝16cm．20．解：如图，作OM⊥AB于M，交AB于M，图中KN＝3，作KF⊥CD于H，交⊙O于F，连接OF．易知四边形OHKM是矩形，四边形ABCD是矩形，OH＝KM＝4，AB＝CD＝10，OF＝OD＝5，在Rt△OHF中，FH＝＝＝3，∵HK＝BC＝2.5，∴FK＝2.5+3＝5.5，∵5.5＞4.9，∴这辆卡车能安全通过这个隧道．。
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B
F
E O
D C A
O
D C B
A
A
B C
D
O
垂径定理综合训练习题
一、垂径定理在证明上的应用
1、如图，AB 、CD 都是⊙O 的弦，且AB ∥CD ，求证： 弧AC = 弧BD 。
2.如图，CD 为⊙O 的弦，在CD 上截取CE=DF ，连结OE 、OF ，并且它们的延长⊙O 于点A 、
B 。
（1）试判断△OEF 的形状，并说明理由；（2）求证：⋂
AC =⋂
BD 。
3、如图，在⊙O 中，AB 为⊙O 的弦，C 、D 是直线AB 上两点，且AC ＝BD 求证：△OCD 为等腰三角形。
4、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于D ，求证：AD=2
1
BF. 二、垂径定理在计算上的应用（一）求半径，弦长，弦心距
1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深
度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm.
变式2.在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm
，那么油的最大深度为________cm
2：如图为一圆弧形拱桥，半径OA = 10m ，拱高为4m ，求拱桥跨度AB 的长。
3、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F .
（1）求证：四边形OEHF 是正方形.
（2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离. 4、如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 、BC 分别交于点D 、E ，求AB 和AD 的长。
（二）、度数问题
1、已知：在⊙O 中，弦cm 12=AB ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：
AOB ∠的度数和圆的半径。
. 已知：⊙O 的半径1=OA ，弦AB 、AC 的长分别是2、2、
3.
求BAC ∠的度数。
（三）、相交问题 如
图，已知⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=6cm ，EB=2cm ，∠BED=30°，
求CD 的长. （四）平行问题
(南京市)如图2，矩形ABCD 与圆心在AB 上的⊙O 交于点G 、B 、F 、E ， GB ＝8cm ，AG ＝1cm ，DE ＝2cm ，则EF ＝ cm .
变式一：圆内两条互相平行的弦AB 、CD ，其中AB =16cm ，CD =12cm ，圆的半径为10，求AB 、CD 间的距离。
2、 如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽
CD=20cm ，水深GF=2cm ．若水面上升2cm （EG=2cm ），则此时水面宽AB 为多少？ （五）同心圆问题
O
A
B
C D
E A
C B
D O
A B
C D
O C
A
D E
如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB ，交小圆于C 、D 两点，设大圆和小圆的半径分别为b a ,.求证：2
2
b a BD AD -=⋅.
3、（2009•龙岩）如图，AB 、CD 是半径为5的⊙O 的两条弦，AB=8，CD=6，MN 是直径，AB ⊥MN 于点E ，CD ⊥MN 于点F ，P 为EF 上的任意一点，则PA+PC 的最小值为多少？
1．下列命题中错误的有（）
（1）弦的垂直平分线经过圆心（2）平分弦的直径垂直于弦 （3）梯形的对角线互相平分（4）圆的对称轴是直径 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
2、⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（ ） （A ）5OM 3≤≤ （B ）5OM 4≤≤ （C ）5OM 3<< （D ）5OM 4<< 3．如图，如果AB 为⊙O 直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，那么下列结论中错误的 是（ ） A ．DE CE =
B ．
C ．BA
D BAC ∠=∠
D ．AD AC >
4．如图，AB 是⊙O 直径，CD 是⊙O 的弦，CD AB ⊥于E ，则图中不大于半圆的相等弧有（ ）对。
A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对 二、垂径定理
1、过⊙O 内一点P 的最长弦为10cm ，最短的弦为6cm ，则OP 的长为 .
2.在⊙O 中，弦AB 长为cm 8，圆心到弦AB 的距离为cm 3，则⊙O 半径长为 cm 3．半径是5cm 的圆中，圆心到cm 8长的弦的距离是 cm
4．如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径m 10=OA ，桥拱的距度16=AB m ，则拱高
_____=CD m.
5．一水平放置的圆柱型水管的横截面如图所示，如果水管横截面的半径是13cm ，水面宽24=AB ，则水管中水深是_______cm.
6．如图，⊙O 的直径⊥CD AB ，垂足为点E ，若8,2==ED CE ，则=AB （ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16
7．过⊙O 内一点M 的最长的弦长为4cm ，最短的弦长为2cm ， 则OM 的长为（ ）
1、（2010•大田县）如图，在平面直角坐标系中，点P 在第一象限，⊙P 与x 轴相切于点Q ，与y 轴交于M （0，2），N （0，8）两点，则点P 的坐标是（ ） A 、（5，3） B 、（3，5） C 、（5，4） D 、（4，5）
2、（2010•潍坊）已知：如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB=8m ，OC=5m ，则DC 的长为（ ）
A 、3cm
B 、2.5cm
C 、2cm
D 、1cm
A ．3cm
B ．2cm
C ．1
D ．3cm
8．已知：如图，⊙O 中直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，若6,10==CD AB ，则BE 的长是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9．已知⊙O 的弦AB 长8cm ，弦心距为3cm ，则⊙O 的直径是（ ）
A ．5cm
B ．10cm
C ．55cm
D ．73cm
10．已知⊙O 的半径为2cm ，弦AB 长32cm ，则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为（ ）
A ．1cm
B ．2cm
C ．2cm
D ．3cm
11如图，已知⊙O 的半径为cm 6，两弦AB 与CD 垂直相交于E ，若cm CE 3=，cm DE 9=，则=AB （ ）
A ．cm 6
B ．cm 33
C ．cm 3
D ．cm 36。