专题29 图形折叠中的直角三角形存在性问题(解析版)

专题29 图形折叠中的直角三角形存在性问题

【精典讲解】

1、如图例3-1，在Rt △ABC 中，△ACB =90°，△B =30°，BC =3，点D 是BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点D 作DE △BC 交AB 边于点E ，将△B 沿直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上的点F 处，当△AEF 为直角三角形时，BD 的长为

图例3-1

图例3-2

图例3-3

【答案】2或1.

【解析】从题目所给的“当△AEF 为直角三角形时”条件出发，以直角顶点所在位置进行分类讨论. 通过观察及分析可知△BED =△DEF =60°，所以△AEF =180－120°=60°. 即点E 不可能为直角顶点.

分两种情况考虑： △当△EAF =90°时，如图例3-2所示. △△B =30°，BC =3

△30AC tan BC =︒⨯=

2AB AC = △△EAF =90°

△△AFC =60°，△CAF =30°

在Rt △ACF 中，有：cos AF AC CAF =÷∠÷

，24BF AF == 由折叠性质可得：△B =△DFE =30°，1

22

BD DF BF ==

=

△当△AFE =90°时，如图例3-3所示.

由折叠性质得：△B =△DFE =30°，1

22

BD DF BF === △△AFC =60°，△F AC =30°

△tan 1CF FAC AC =∠⨯=

= 所以，BF =2，1

12

BD DF BF ==

= 综上所述，BD 的长为2或1.

【点睛】本题难度适中，要求学生具备分类讨论思想及数形结合解决问题的能力，另外还需要熟练运用勾股定理及相似三角形知识. 通过此题，可总结出：△遇到直角三角形存在性问题时，分类讨论的出发点在于直角顶点的位置；△解决直角三角形存在性问题的方法是数形结合，先作出符合题意的图形，再用勾股定理或相似三角形、三角函数性质解题.

2、如图例4-1，矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把△B 沿AE 折叠，使点B 落在点B ′处．当△CEB ′为直角三角形时，BE 的长为 ．

图例4-1 图例4-2

图例4-3

【答案】3或1.5.

【解析】此题以“当△CEB ′为直角三角形时”为突破口，分析可能是直角顶点的点，得出存在两种情况，即点B ′及点E 分别为直角顶点.分两种情况考虑：

△当△CEB ′=90°时，如图例4-2所示.

由折叠性质得：AB =AB ′，四边形ABE B ′是矩形.

所以四边形ABE B ′是正方形. 此时，BE =AB =3.

△当△CB ′E =90°时，如图例4-3所示.

由折叠性质知，△AB ′C =90°，所以△AB ′C+△CB ′E =180°. △点A 、B ′、C 共线

在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC =5 由折叠得：AB = AB ′=3 所以B ′C =2

设BE =x ，则B ′E =x ，EC =4－x

在Rt △ABC 中，由勾股定理得：EC 2=B ′E 2+B ′C 2 即：（4-x ）2=x 2+22 解得：x =1.5.

综上所述，BE 的值为3或1.5.

【点睛】本题解题关键在准确对问题进行分类讨论且作出相应图形，要求学生掌握三点共线的理由，折叠的性质及勾股定理的应用.

3、如图例5-1，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，1BC =

，点M ，N 分别是边BC ，AB 上

的动点，沿MN 所在的直线折叠B ∠，使点B 的对应点'B 始终落在边AC 上.若'MB C ∆为直角三角形，则

BM 的长为 ．

图例5-1

图例5-2

图例5-3

或1. 【解析】通过观察及分析可知，C 点不可能为直角顶点，分两种情况讨论. △当△CM B ′=90°时，如图例5-2所示.

由折叠知：△BMN =△B ′MB =45°，又因为△B =45°，所以△BNM =90°，△MNB ′=90° 即△BNM +△MN B ′=180°，所以B 、N 、B ′三点共线，此时B ′与点A 重合.

所以，12BM BC =

= △当△CB ′M =90°时，如图例5-3所示.

由折叠知△B =△B ′=45°，因为△C =45°，可得△B ′MC =45°，所以△B ′MC 是等腰直角三角形

设BM = B ′M =x ，B ′C =x ，则MC =

x

因为BC +1

所以x x +1 解得：x =1，即BM =1.

综上所述，BM 或1. 【点睛】根据题意判断出C 点不可能为直角顶点，分两种情况讨论，利用等腰直角三角形的三边关系求解. 4、 如图例6-1，在△MAN =90°，点C 在边AM 上，AC =4，点B 为边AN 上一动点，连接BC ，△A’BC 与△ABC 关于BC 所在直线对称. D 、E 分别为AC 、BC 的中点，连接DE 并延长交A’B 所在直线于点F ，连接A’E . 当△A’EF 为直角三角形时，AB 的长为

.

图例6-1图例6-2图例6-3

【答案】4或

【解析】分两种情况讨论.

△当△A’FE=90°时，如图例6-2所示.

△D、E分别为AC、BC的中点

△DE是三角形ABC的中位线

即DE△BA

△△A’BA=90°

△四边形AB A’C为矩形

由折叠得AC=A’C

△四边形AB A’C为正方形

即AB=AC=4.

△当△A’EF=90°时，如图例6-3所示.

△△A’EF=△CDE=90°

△A’E△CD

△△DCE=△CEA’

由折叠知：△DCE=△A’CE