一次回归正交设计例子
第七章 回归正交试验设计
个因素之间的函数关系。
因素水平编码表
自然变量xj 规范变量zj 1 -1 0 △j x1 700 300 500 200 x2 2400 1800 2100 300 x3 10 8 9 1
7.1.2一次回归方程的建立
设总的试验次数为N，其中原正交表所规定的二水平试验次数为 mc，零水平试验次数为m0，即有： N 建立回归方程
m
mc m0
ˆ a b j x j bkj xk x j，k 1,2,, m 1( j k ) y
j 1 k j
其系数的计算公式如下：
将被剔除变量的偏回归平方和、自由度并入到剩余平方和与自由度中，
然后再进行相关的方差分析计算。具体例子见书P126～129例8－1。
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
14
用石墨炉原子吸收分光光度计法测定食品中的铅，为提高吸光度，
对x1（灰化温度/℃）、x2（原子化温度/℃）和x3（灯电流/mA）三个
F0.05（1,6）=5.99 F0.01（1,6）=13.74
可见因素z2对指标影响高度显著，所建的回归方程高度显著：
y 0.50475 0.03375z2
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
N 1 SST Lyy ( yi y ) 2 yi2 ( yi ) 2 N i 1 i 1 i 1 N N
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
10
②一次项zj偏回归平方和
SS j m b ，j＝ 1 ， 2， ，m
回归正交试验设计
－1
－1
1
1
1
1/3
1/3
5
1
0
0
1
0
1/3
－2/3
6
－1
0
0
1
0
1/3
－2/3
7
0
1
0
0
1
－2/3
1/3
8
0
－1
0
0
1
－2/3
1/3
9
0
0
0
0
0
－2/3
－2/3
二元二次回归正交组合设计编码表
因素水平编码
01
试验因素的水平被编为－γ，－1，0，1，γ
02
变化间距：Δj＝上水平－零水平＝零水平－下水平
第8章 回归正交试验设计
Orthogonal Regression Design
演讲人姓名
正交设计：优方案只能限制在已定的水平上，而不是一定试验范围内的最优方案 回归正交设计（orthogonal regression design） ： 可以在因素的试验范围内选择适当的试验点 用较少的试验建立回归方程 能解决试验优化问题 不适合非数量性因素
8.1 一次回归正交试验设计及结果分析
建立试验指标（y）与m个试验因素x1，x2，…，xm之间的一次回归方程 例：m＝3时，一次回归方程： y＝a＋b1x1＋b2x2＋b3x3＋b12x1x2＋b13x1x3＋b23x2x3 其中x1，x2，x3表示3个因素；x1x2，x1x3，x2x3表示交互作用 若不考虑交互作用，为三元一次线形回归方程： y＝a＋b1x1＋b2x2＋b3x3
二次项偏回归平方和：
一次项偏回归平方和：
回归正交试验设计
回归正交试验设计一、概述（1）回归分析与正交试验设计的主要优缺点回归分析的主要优点是可以由试验数据求出经验公式，用于描述自变量与因变量之间的函数关系。
它的主要缺点是毫不关心试验数据如何取得，这样，不仅盲目地增加了试验次数，而且试验数据还往往不能提供充分的信息。
因此，有些工作者将经典的回归分析方法描述成：“这是撒大网，捉小鱼，有时还捉不到鱼”。
所以说，回归分析只是被动地处理试验数据，并且回归系数之间存在相关关系，若从回归方程中剔除某个不显著因素时，需重新计算回归系数，耗费大量的时间。
正交试验设计的主要优点是科学地安排试验过程，用最少的试验次数获得最全面的试验信息，并对试验结果进行科学分析（如方差分析），从而得到最佳试验条件，但是它的主要缺点是试验结果无法用一个经验公式来表达，从而不便于考察试验条件改变后，试验指标将作如何变化。
（2）回归正交试验设计回归正交试验设计，实际上就是将线性回归分析与正交试验设计两者有机地结合起来而发展出的一种试验设计方法，它利用正交试验设计法的“正交性”特点，有计划、有目的、科学合理地在正交表上安排试验，并将试验结果用一个明确的函数表达式即回归方程来表示，从而达到既减少试验次数、又能迅速地建立经验公式的目的。
根据回归模型的次数，回归正交试验设计又分为一次回归试验设计和二次回归试验设计。
二、一次回归正交试验设计（一）一次回归正交试验设计的概念一次回归设计研究的是一个因素z （或多个因素z 1，z 2，……）与试验指标y 之间的线性关系。
当只研究一个因素时，其线性回归模型：y ＝β0＋β1z ＋e (1)其回归方程为：z y ∧∧∧+=10ββ (2)式中∧0β、∧1β称为回归系数，e 是随机误差，是一组相互独立、且服从正态分布Ｎ（０，σ２）的随机变量。
可以证明，∧0β、∧1β和∧y 是β０、β１和y 的无偏估计，即Ｅ（∧0β）＝β０，Ｅ（∧1β）＝β1，Ｅ（∧y ）＝y一次回归正交试验设计是通过编码公式x ＝f(z) −− 即变量变换，将式（２）变为：x b b y 10+=∧(3)且使试验方案具有正交性，即使得编码因素Ｘ的各水平之和为零：∑==mi ix1(4)式中m 是因素x 的水平数。
回归正交试验设计45页PPT
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
正交回归设计(2)
2．检验一次方程的合适性 为了了解是否存在因子间的交互作用，是否有因子的高次效 应，在中心点进行了m=5次试验，结果为： 40.3，40.5，40.7，40.2，40.6 5 其平均值为 y 0 40.46 ，偏差平方和为 S0 ( y0i y0 ) 2 0.172 ， i 1 其自由度=4。 采用方法1中的检验统计量t作检验。 ˆ 0 40.425， y 0 40.46 ， 现在 y
1u 表示为行向 其中 ，1u 表示元素均为1的u维列向量， 量， I u 表示u阶单位阵，J uv 表示u行v列的矩阵，其元素均为 1， h mc 2 2 ，G是p阶对称方阵，其对角元均为 f mc 2 4 ， 非对角元均为mc，即 f mc mc m c f mc G m m f c c
0
S e ( y 0i y 0 ) 2，f e m0 1
i 1
m0
S Lf S E S e，f Lf f E f e
可对二次回归模型的合适性进行检验。
例8.4.1 为提高钻头的寿命，在数控机床上进行试验，考察 钻头的寿命与钻头轴向振动频率F及振幅A的关系。在试验中， F与A的变动范围分别为：[125 Hz，375Hz]与[1.5，5.5]，采用 二次回归正交组合设计，并在中心点重复进行三次试验。
(2)用二水平正交表L4(23)安排试验，试验方案与结果如下：
(3)建立一次回归方程：
所得一次回归方程为：
ˆ 40.425 0.775 x1 0.325 x2 y
链接31
对回归方程与回归系数作显著性检验的方差分析表如下：
若取 0.05 ，那么 F0.95 (2,1) 200 ，所以方程在显著性水 平0.05上是显著的，又 F0.95 (1,1) 161 ，则两个系数也是显著 的。
正交试验设计例题解析
正交试验设计例题解析例题一：正交试验设计(10分)(1)。
如果试验变量是因变量x和自变量y，应如何设计对比试验?(5分)(2)。
用图解法作一次因素设计的正交试验，试写出其图解并分析因素X和因素Y的作用效果。
(5分)(3)。
某高校食堂每天提供三种早点，每周选择三天进行消费者满意度调查。
试设计其满意度指标为：非常不满意0分、很不满意1分、不满意2分。
(5分)(4)。
已知药物A和B治疗血压降低有显著的效果。
如果让学生选择药物A或B进行治疗，那么哪种治疗更合理?(5分)(3)。
题干是要设计三个指标来衡量药物A与B哪一[gPARAGRAPH3]更好，这就是我们通常所说的指标体系。
(设计要求：写出该设计的指标体系，要考虑指标的因素和指标之间的关系，能够清楚地表达设计思想)(4)。
从表面上看， B组的两种治疗方案都能使血压下降，但相对于A组而言，由于两组治疗后所得的效果差异太大，最终会引起学生对治疗方案的怀疑，导致治疗无效。
(设计思想：没有真实的实验设计中，有时我们往往是凭借主观臆断在做一件事情，最终结果只能是人云亦云，毫无自己的判断，还很有可能在执行过程中遇到麻烦，甚至是无法解决的问题。
这就需要通过实验设计来验证，同时根据原始数据回归到最开始的假设上，通过控制和处理影响实验结果的不确定因素，增加实验的可靠性。
)(5)。
设计步骤为：设计出三个指标，建立三个指标体系;XY组设计为治疗组， X组设计为对照组，对照组不变，治疗组治疗后服用预防高血压药物;D组也就是检验组不变。
其它各组的操作过程完全相同。
(步骤写清楚就可以了)(6)。
(6)。
设计类型：因素设计，分析原因时可以采用图解法。
(注意不是单纯的因素设计)(7)。
给出不同分布区间上的同一正态随机数。
(题目不给出)例题二：正交试验设计(20分)总结：从例题一中可以看出，设计者首先要确定一个研究对象，即研究样本;然后设计多个具有代表性的变量，以使变量之间的关系能从多个角度进行考察，避免变量不足或重复的问题;接着设计正交试验方案(具体包括变量的水平及顺序、对照的情况、因素等);最后进行统计学检验，以得出最佳的试验设计方案。
一次回归正交设计、二次回归正交设计、二次回归旋转设计说明
一次回归正交设计、二次回归正交设计、二次回归旋转设计说
明
一次回归正交设计是一种广泛应用于实验设计中的设计方式，该设计最基本的特点是每一个自变量只考虑一次。
这种设计方法可以通过排列组合的方式得到各种不同的设计方案，使得实验者可以通过设计来达到用最少的实验次数获取尽可能多的信息的目的。
一次回归正交设计在实验设计中被广泛使用，尤其在化学制药、工业生产等领域得到了广泛运用。
二次回归正交设计是一种基于一次回归正交设计的设计方式，这种设计方式可以进一步增加实验信息的获取。
在二次回归正交设计中，依然按照一次正交设计的方式来设计实验，但是在每个单独的自变量上，提高对其的测量次数，使得对这些自变量的测量更加准确。
同时，在某些需要深入探究的因素上，可以通过将这些因素的实验次数进一步提高，来获取相关信息。
二次回归旋转设计是一种在二次回归正交设计的基础上发展而来的设计方式。
在二次回归旋转设计中，实验者可以通过旋转矩阵来达到实验变量间的协方差为0的目的。
这样可以在保证基本信息获取的同时，增加获取高阶信息的可能性。
旋转设计特别适合于需要同时考虑多个变量的实验设计，可以使各个变量之间更加独立，减少不必要的干扰。
总的来说，在实验设计领域中，三种设计方法各自有着各自的优势。
对于需要更精准的信息获取的实验，应该选择更高阶的设计方法，在更基础的实验中则可以选择更为简单的设计方法。
另外，在选择设计方法的过程中，还应该根据实验具体情况灵活选择，使得实验设计更加科学合理。
一次回归正交设计、二次回归正交设计、二次回归旋转设计
一次回归正交设计
某产品的产量与时间、温度、压力和溶液浓度有关。实际生产中，时间控制 在 30~40min，温度控制在 50~600C，压力控制在 2*105~6*105Pa，溶液浓度控制 在 20%~40%，考察 Z1~Z2 的一级交互作用。
因素编码
Zj(xj)
Z1/min
Z2/oC
Z3/*105Pa
Z4/%
下水平 Z（1j -1）
30
50
2
20
上水平 Z2j
40
60
6
40
（+1）
零水平 Z0j（0）
35
55
4
30
变化间距
5
5
2
10
编码公式 X1=（Z1-35） X2=(Z2-55）/5 X3=(Z3-4)/2 X4=(Z4-30)/10
/5
选择 L8（27)正交表
因素 x1,x1,x3,x4 依次安排在第 1、2、4、7 列，交互项安排在第 3 列。
试验号 X0 X1(Z1) X2(Z2) X3(Z3) X4(Z4) X1X2
Yi
1
1
1
1
1
1
1
9.7
2
1
1
1
-1
-1
1
4.6
3
1
1
-1
1
-1
-1
10.0
.
.
4
1
1
-1
-1
1
-1
11.0
5
1
-1
1
1
-1
-1
9.0
6
1
-1
1
-1
1
回归正交设计
实验内容：P201习题2、5模版：实验3 回归正交试验设计◆实验目的掌握回归正交试验设计原理及统计分析方法，并能通过SAS编程实现◆实验内容及实验步骤1某橡胶制品有橡胶，竖直和改良剂复合而成，为提高撕裂强度，考虑进行一次响应曲面正交设计，三个变量的取值范围分别为：Z：橡胶中等成分的含量0~20Z：树脂中等成分的含量10~20Z：改良剂的阿百分比0.1~0.3（2）如果在试验中心进行了四次重复试验，结果分别为：417，401，455，439，试检验在区域中心一次响应曲面方程是否合适？实验步骤：I)在SAS系统软件中对该数据进行一次相应曲面正交试验设计，程序如下：data raw1;input tno x1 x2 x3 y @@;cards;1 -1 -1 -1 4072 -1 -1 1 4213 -1 1 -1 3224 -1 1 1 3715 1 -1 -1 2306 1 -1 1 2437 1 1 -1 2508 1 1 1 259;proc print data = raw1; proc glm data =raw1; model y= x1 x2 x3 ; Run;321625.10375.12375.67875.312x x x y +--=从方差分析结果来看，2x 和3x 的显著性不高，可推断该曲面方程的忽略了几个变量之间的交互作用，但是拟合度已经达到90.2027%，整个实验还是显著的。
II) 一次响应曲面方程的最大值是403.25，而四次重复试验的结过分别为417，401，455，439，其中的三个结果都超出了一次相应曲面方程的最大值，所以在区域中心的一次相应曲面方程是不合适的。
下面再对三个变量的交互作用进行二次相应曲面方程拟合。
程序如下： data raw1;input tno x1 x2 x3 y @@; cards ;1 -1 -1 -1 4072 -1 -1 1 4213 -1 1 -1 3224 -1 1 1 3715 1 -1 -1 2306 1 -1 1 2437 1 1 -1 2508 1 1 1 2599 0 0 0 41710 0 0 0 401 11 0 0 0 45512 0 0 0 439;data reg1;set raw1;x1x2=x1*x2;x1x3=x1*x3;x2x3=x2*x3;x1x1=x1*x1;x2x2=x2*x2;x3x3=x3*x3;proc print data=reg1;proc glm data=reg1;model y= x1 x2 x3 x1x2 x1x3 x2x3 x1x1 x2x2 x3x3;run;结果2通过上面的图标可以看出，数据的拟合度已经达到了97.6273%，这样的拟合度是相当高的，在该种拟合状况下的二次响应曲面方程式是：1132312132112.115875.3125.5375.21625.10375.12375.67428x x x x x x x x x x x y -+-++--=该种情况下，虽然拟合程度很高，但是我们仍然可以看到，x2、x3、x1x3的显著性不是很好。
第5章 回归正交试验设计
第一节 一次回归正交试验设计
（4）失拟性检验
本例中，零水平试验次数m0=3，进行失拟行检验。
FLf
SSLf / dfLf SSe1 / dfe1
0.0963/ 5 0.00667/ 2
5.775
F0.1(5,2)
9.29
表明失拟不显著，回归模型与实际情况拟合得很好。
第一节 一次回归正交试验设计
4 回归方程及偏回归系数的方差分析 4.1 无零水平试验 4.1.2 计算自由度
第一节 一次回归正交试验设计
4 回归方程及偏回归系数的方差分析 4.1 无零水平试验 4.1.3 计算均方
MSj
SS j df j
MSkj
SSkj dfkj
j k,k 1,2,...,(m 1)
n i 1
yi
y
n
z ji yi
bj
i 1
mc
n
(zk z j )i yi
bkj i1 mc
j k,k 1,2,...,(m 1)
第一节 一次回归正交试验设计
3 一次回归方程的建立 通过计算得到回归系数之后，可以直接根据它们绝对值的大
小来判断各因素和交互作用的相对重要性，而不用转换成标准 回归系数。
n
z ji 0
i 1
n
z ji zki 0 ( j k )
i 1
这些特点说明了转换之后的正交表同样具有正交性。
第一节 一次回归正交试验设计
2.4 试验方案的确定
确定试验方案时，将规范变量zj安排在一次回归正交编码表 相应的列中，即进行表头设计。
一次回归正交设计、二次回归正交设计、二次回归旋转设计说明
一次回归正交设计某产品的产量与时间、温度、压力和溶液浓度有关。
实际生产中，时间控制在30~40min，温度控制在50~600C，压力控制在2*105~6*105Pa，溶液浓度控制在20%~40%，考察Z1~Z2的一级交互作用。
因素编码Z j(x j) Z1/min Z2/o C Z3/*105Pa Z4/%下水平Z1j（-1）30 50 2 20上水平Z2j（+1）40 60 6 40零水平Z0j（0）35 55 4 30变化间距 5 5 2 10编码公式X1=（Z1-35）/5 X2=(Z2-55）/5X3=(Z3-4)/2 X4=(Z4-30)/1选择L8（27)正交表因素x1,x1,x3,x4依次安排在第1、2、4、7列，交互项安排在第3列。
试验号X0 X1(Z1) X2(Z2) X3(Z3) X4(Z4) X1X2 Yi1 1 1 1 1 1 1 9.72 1 1 1 -1 -1 1 4.63 1 1 -1 1 -1 -1 10.04 1 1 -1 -1 1 -1 11.05 1 -1 1 1 -1 -1 9.06 1 -1 1 -1 1 -1 10.07 1 -1 -1 1 1 1 7.38 1 -1 -1 -1 -1 1 2.49 1 0 0 0 0 0 7.910 1 0 0 0 0 0 8.111 1 0 0 0 0 0 7.4 Bj=∑xjy 87.4 6.6 2.6 8.0 12.0 -16.0aj=∑xj2 11 8 8 8 8 8bj = Bj7.945 0.825 0.325 1.000 1.500 -2.00/aj393 5.445 0.845 8.000 18.000 32.000Qj =Bj2 /aj可建立如下的回归方程。
Y=7.945+0.825x1+0.325x2+x3+1.5x4-2x1x2显著性检验：1、回归系数检验回归关系的方差分析表变异来源SS平方和Df自由度MS均方F显著水平x1 5.4451 5.44576.250.01 x20.84510.84511.830.05 x38.00018.000112.040.01 x4 18.000118.000252.100.01 x1x2 32.000132.000448.180.01 回归64.29 5 12.858180.080.01 剩余0.357 5 0.0714失拟0.097 3 0.0323 0.25 <1 误差e 0.2620.13总和64.64710经F检验不显著的因素或交互作用直接从回归方程中剔掉，不必再重新进行回归分析。
一次回归正交设计
第五讲回归设计及统计分析设目标性状y与z1、z2……z m等因素有关，我们可以应用回归分析的方法建立y与诸因素的回归方程,以此对y进行预测和控制，或筛选y的最优指标。
z1、z2……z m构成一个因子空间，每一组z1、z2……z m值对应一个y值。
如何在因子空间中选择最适当的试验点,以最少的试验点寻求y的最优区域，这就要将回归分析与正交设计结合起来应用,称为回归正交设计。
按回归模型的次数,回归正交设计又分为一次回归正交设计和二次回归正交设计。
一、一次回归正交设计一次回归正交设计主要是应用2水平正交表进行设计,其设计和分析步骤如下。
1．确定试验因素的变化范围例如研究m 个栽培因素z 1、z 2……z m 与作物产量y 的数量关系，首先需确定各个栽培因素的变化范围。
设因素z j 的变化区间为（z 1j ，z 2j )，则z 1j 和z 2j 分别为因素z j 的下水平和上水平。
那么1202j jj z z z +=为因素z j 的零水平.212jjj z z ∆=-为因素z j 的变化区间。
2。
对各因素的水平编码编码就是对各个因素的取值作如下线性变换：0j jj jz z x =∆-式中x j 为编码值。
如：10121121212jjj jj j j jjz zz z z x z z =∆-+--==-0000j jj jz z x =∆-=20122221212jjj jj j j jjz zz z z x z z =∆+--==-这样就建立了z j 与x j 的一一对应关系: 下水平 z 1j x 1j （-1）零水平z0j x0j （0 )上水平z0j x0j （+1)通过上面的编码可知，当z j在区间（z1j，z2j)变化时,它的编码值x j就在区间（-1,+1）内变化。
多个因素的编码工作可在因素水平编码表（表1)上进行。
表1 因素水平编码表z j因素Z1Z2……Z m下水平Z11Z12 (1)零水平Z01Z02 0上水平Z21Z22 (2)变化间距△j△1△2……△m对因素的水平进行编码后,y对z1、z2……z m的回归问题就转化为对x1、x2……x m的回归问题。
一次回归正交设计例子
一次回归正交设计某冶炼厂排出的废水中含有大量的镉、鉀、铅等有害元素，对环境造成严重污染。
考察的试验因素为温度（X i）、碱与硫酸亚铁之比（X2）以及硫酸亚铁用量（刈）对指标除镉效率（y）的影响。
不考虑交互作用。
已知X|= 60~80C, x2= 8~ 12, x3= 1~3ml。
（1）因素水平编码及试验方案的确定由于不考虑交互作用，所以建立一个三元线性方程。
因素水平编码如表1所示。
选正交表L8（27）安排试验，将三个因素分别安排在回归正交表的第1、2、4列，试验方案及试验结果见表2,表中的第9、10、11号试验为零水平试验。
表2试验方案及试验结果⑵回归方程的建立表3试验结果及计算表由表3计算a 」皆 \ 二-72.〕6. 6 182n i.i11回归方程为y = 6.6182 0.5125/ 0.5375Z 2 0.3125Z 3由该回归方程偏回归系数绝对值的大小，可以得到各因素的主次 顺序为：X 2>X 1>X 3，即液固比 >乙醇浓度>回流次数。
又由于各偏回归 系数都为正，所以这些影响因素取上水平时，试验指标最好。
(3)回归方程显著性检验b 2b 3、Z 1i Y ii =1m c ' Z 2i%i =1i =1Z 3i Y im c41二 0.5125843二 0.537582^50. 3125 8SS = m c b 2= 8汉 0.5125 = 2.101 = m c b 荻 8 0.53752二 2.311 SQ = m j b ； = 8 0.31252 = 0.781SQ = SS + SS2 + SS3 + SS 2 + SS 厂 2.101+ 2.311+ 0.781= 5.193SS= SS-S&5. 2 9 6- 5. 1 93 0.方差分析结果见表4。
表4方差分析表差异源 SS df MS F 显著性 Z 1 2.101 1 2.101 142.9 ** Z 2 2.311 1 2.311 157.2 ** Z 3 0.781 1 0.781 53.1 ** 回归 5.193 3 1.731117.8**残差 0.103 70.0147总和5.296n — 1 = 10注：F o.o1（1, 7）= 12.25, F o.o1（3, 7） = 8.45可见，三个因素对试验指标都有非常显著的影响， 所建立的回归 方程也非常显著。
实验五 回归正交试验设计(Excel)
U j B2 j /dj
2 Ukj Bkj / dkj
U jj B2 jj / d jj
第二步： 计算总变异均方、剩余的均方、回归均方
SS总 SSy y
2 j 1
p
( y ) 2
j 1
p
df 总 n 1
df回 p
n
SS回 U y / z U j
df 误差 m0 1
SS 失拟 SS剩 SS 误差
df 失拟 df剩 df误
F失拟 SS失拟 / df失拟 SS误差 / df误差
方法：
利用Excel函数
SUM () AVERAGE() DEVSQ() SUMSQ() SUMPRODUCT() FINV () TINV ()
j 1
p
p 1
k 1 j k 1
b
p
kj k
x x j b jj x
j 1
p
2
j
I.
一次回归正交试验的结果分析
建立回归方程
第一步：计算各列的SSj值
SS j d j zik zij ) 2
i 1
n
n
第二步：计算各列的Bj值
i 1
n
SS回 U y / z U j
j
p
SS剩余 SS 总 SS回
Uj Fkj U kj MS剩余 Fjj U jj MS剩余
F
U j / dfU MS剩余
Fj
MS剩余
第五步，拟合度检验
SS 误差
m0 1 ( y0i y 0i ) 2 y 2 0i ( y0i ) 2 m i 1 i 1 i 1 m0 m0
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一次回归正交设计
某冶炼厂排出的废水中含有大量的镉、鉮、铅等有害元素，对环境造成严重污染。
考察的试验因素为温度（x1）、碱与硫酸亚铁之比（x2）以及硫酸亚铁用量（x3）对指标除镉效率（y）的影响。
不考虑交互作用。
已知x l＝60～80℃，x2＝8～12，x3＝1～3ml。
(1)因素水平编码及试验方案的确定
表1 因素水平编码表
编码z j温度（x1）
碱与硫酸亚铁之比
（x2）硫酸亚铁用量
（x3）
－1 60 8 1
0 70 10 2
1 80 1
2 3
△j 10 2 1
由于不考虑交互作用，所以建立一个三元线性方程。
因素水平编码如表1所示。
选正交表L8(27)安排试验，将三个因素分别安排在回归正交表的第1、2、4列，试验方案及试验结果见表2，表中的第9、
10、11号试验为零水平试验。
表2 试验方案及试验结果
试验
号z1 z2 z3 温度（x1）
碱与硫酸亚
铁之比（x2）
硫酸亚铁用
量（x3）
除镉效率
y／％
1 1 1 1 80 1
2
3 8.0
2 1 1 －1 80 12 1 7. 3
3 1 －1 1 80 8 3 6. 9
4 l －1 －l 80 8 l 6.4
5 －1 1 1 60 12 3 6.9
6 －1 1 －1 60 12 1 6.5
7 －1 －1 l 60 8 3 6.0
8 －1 －1 －1 60 8 1 5.1
9 0 0 0 70 10 2 6.6
10 0 0 0 70 10 2 6.5
11 0 0 0 70 10 2 6.6
⑵回归方程的建立
表3试验结果及计算表
提取率y
y2 z1y z2y z3y 试验号z1 z2 z3
／％
1 1 1 1 8.0 64.00 8.0 8.0 8.0
2 1 1 －1 7.
3 53.29 7.3 7.3 －7.3
3 l －1 1 6.9 47.61 6.9 －6.9 6.9
4 1 －1 －1 6.4 40.96 6.4 －6.4 －6.4
5－1 1 1 6.9 47.61 －6.9 6.9 6.9
6 －1 1 －1 6.5 42.25 －6.5 6.5 －6.5
7 －1 －1 1 6.0 36.00 －6.0 －6.0 6.0
8 －1 －1 －1 5.1 26.01 －5.1 －5.1 －5.1
9 0 0 0 6.6 43.56 0.0 0.0 0.0 10 0 0 0 6.5 42.25 0.0 0.0 0.0 11 0 0 0 6.6 43.56 0.0 0.0 0.0 ∑
72.8
487.1
4.1
4.3
2.5
由表3计算
1172.16.618211
n i i a y y n =====∑
11
1 4.1
0.51258
n
i
i
i c
z
y b m ==
==∑
21
2 4.30.53758
n
i
i
i c
z
y b m ==
==∑
31
3 2.50.31258
n
i
i
i c
z
y b m ==
==∑
回归方程为
1236.61820.51250.53750.3125y z z z =+++
由该回归方程偏回归系数绝对值的大小，可以得到各因素的主次顺序为：x 2>x 1>x 3，即液固比>乙醇浓度>回流次数。
又由于各偏回归系数都为正，所以这些影响因素取上水平时，试验指标最好。
(3)回归方程显著性检验
2
221
1172.8487.1 5.29611n
n
T i
i i i SS y y n ==⎛⎫
=-=-= ⎪⎝⎭∑∑
221180.5125 2.101c SS m b ==⨯=
2
22280.5375 2.311c SS m b ==⨯=
223380.31250.781c SS m b ==⨯=
1231213 2.101 2.3110.781 5.193
R SS SS SS SS SS SS =++++=++=
5.296 5.1930.e T R
S S S S S S =-=-=
方差分析结果见表4。
表4 方差分析表
差异源 SS df MS F 显著性 z 1 2.101 1 2.101 142.9 ﹡﹡ z 2 2.311 1 2.311 157.2 ﹡﹡ z 3 0.781 1 0.781 53.1 ﹡﹡ 回归 5.193 3 1.731 117.8 ﹡﹡ 残差 0.103 7 0.0147 总和
5.296
n －1＝10
注：F 0.01(1，7)＝12.25，F 0.01(3，7) ＝8.45
可见，三个因素对试验指标都有非常显著的影响，所建立的回归方程也非常显著。
(4)失拟性检验
本试验中，零水平试验次数m 0＝3，可以进行失拟性检验，有关计算如下。
()
02
2
2
10001
1101m m m e i i i i i i SS y y
y y m ===⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭
∑∑∑
()()2143.5642.2543.56 6.6 6.5 6.63
=++-
++ 0.00667=
10.1030.006670.0963e
Lf e SS SS SS =-=-=
101312e df m =-=-=
1725Lf e e df df df =-=-=
0.111
0.0963/5 5.775(5,2)9.290.00667/2
Lf Lf Lf e e SS df F F SS df =
==<= 检验结果表明，失拟不显著，回归模型与实际情况拟合得很好。
(5)回归方程的回代
根据编码公式：
1170
10
x z -=，22102x z -=，33
3221x z x -==- 代人上述回归方程得：
()12370106.61820.51250.53750.31252102x x y x --⎛⎫⎛⎫
=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
整理后得到：
1230.28180.051250.268750.3125y x x x =-+++。