第8章 回归正交试验设计
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Orthogonal Regression Design
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正交设计：优方案只能限制在已定的水平上，而不是一定 试验范围内的最优方案
回归正交设计（orthogonal regression design） ： ➢ 可以在因素的试验范围内选择适当的试验点 ➢ 用较少的试验建立回归方程 ➢ 能解决试验优化问题 ➢ 不适合非数量性因素
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8.1 一次回归正交试验设计及结果分析
建立试验指标（y）与m个试验因素x1，x2，…，xm之间的 一次回归方程
例：m＝3时，一次回归方程： y＝a＋b1x1＋b2x2＋b3x3＋b12x1x2＋b13x1x3＋b23x2x3
➢ 其中x1，x2，x3表示3个因素；x1x2，x1x3，x2x3表示交互作用 ➢ 若不考虑交互作用，为三元一次线形回归方程：
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（4）试验方案的确定 表头设计 ： ➢ 可参考正交设计的表头设
计方法 ➢ 交互作用列的编码等于表
中对应两因素列编码的乘 积 零水平试验（中心试验 ）
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8.1.2 一次回归方程的建立
总试验次数为n ： n＝mc＋m0
➢ mc：二水平试验次数 ➢ m0：零水平试验次数 一次回归方程系数的计算： ➢ 常数项：a ➢ 一次项系数：bj ➢ 交互项系数： bjk
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例8-1： （1）因素水平编码
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（2）正交表的选择和试验方案的确定
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（3）回归方程的建立 ➢ m0＝0，n＝mc＝8 ➢ 计算表 ➢ 计算各回归系数 ➢ 写出y与规范变量zj的回归方程 ➢ 根据偏回归系数绝对值大小，确定因素和交互作用主次 ➢ 根据偏回归系数正负，得到各因素对试验指标的影响方向 （4）方差分析 （5）回归方程的回代：得到试验指标y与自然变量xj的回归
回归正交试验设计
回归正交试验设计一、概述（1）回归分析与正交试验设计的主要优缺点回归分析的主要优点是可以由试验数据求出经验公式，用于描述自变量与因变量之间的函数关系。
它的主要缺点是毫不关心试验数据如何取得，这样，不仅盲目地增加了试验次数，而且试验数据还往往不能提供充分的信息。
因此，有些工作者将经典的回归分析方法描述成：“这是撒大网，捉小鱼，有时还捉不到鱼”。
所以说，回归分析只是被动地处理试验数据，并且回归系数之间存在相关关系，若从回归方程中剔除某个不显著因素时，需重新计算回归系数，耗费大量的时间。
正交试验设计的主要优点是科学地安排试验过程，用最少的试验次数获得最全面的试验信息，并对试验结果进行科学分析（如方差分析），从而得到最佳试验条件，但是它的主要缺点是试验结果无法用一个经验公式来表达，从而不便于考察试验条件改变后，试验指标将作如何变化。
（2）回归正交试验设计回归正交试验设计，实际上就是将线性回归分析与正交试验设计两者有机地结合起来而发展出的一种试验设计方法，它利用正交试验设计法的“正交性”特点，有计划、有目的、科学合理地在正交表上安排试验，并将试验结果用一个明确的函数表达式即回归方程来表示，从而达到既减少试验次数、又能迅速地建立经验公式的目的。
根据回归模型的次数，回归正交试验设计又分为一次回归试验设计和二次回归试验设计。
二、一次回归正交试验设计（一）一次回归正交试验设计的概念一次回归设计研究的是一个因素z （或多个因素z 1，z 2，……）与试验指标y 之间的线性关系。
当只研究一个因素时，其线性回归模型：y ＝β0＋β1z ＋e (1)其回归方程为：z y ∧∧∧+=10ββ (2)式中∧0β、∧1β称为回归系数，e 是随机误差，是一组相互独立、且服从正态分布Ｎ（０，σ２）的随机变量。
可以证明，∧0β、∧1β和∧y 是β０、β１和y 的无偏估计，即Ｅ（∧0β）＝β０，Ｅ（∧1β）＝β1，Ｅ（∧y ）＝y一次回归正交试验设计是通过编码公式x ＝f(z) −− 即变量变换，将式（２）变为：x b b y 10+=∧(3)且使试验方案具有正交性，即使得编码因素Ｘ的各水平之和为零：∑==mi ix1(4)式中m 是因素x 的水平数。
回归正交试验设计45页PPT
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
8第八章_回归正交试验设计
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7.1.3 回归分析对数据的处理由被动变主动 古典的回归分析方法只是被动地处理已有的试验数据，对 试验的安排不提任何要求，对如何提高回归方程的精度研究 很少。 后果： （1）盲目增加试验次数，而这些试验结果还不能提供充分 的信息，以致在许多多因子试验问题中达不到试验目的。 （2）对模型的合适性有时无法检验，因为在被动处理数据 时在同一试验点上不一定存在重复试验数据。 为了适应寻求最佳工艺、最佳配方、建立生产过程的数学 模型等的需要，人们就要求以较少的试验次数建立精度较高 的回归方程。
ˆ b0 b1 x1 bp x p y 今后称 A X X 为正规方程组的系数矩阵， B X Y 为正规 1 方程组的常数项向量，C X X 为相关矩阵。 在模型（7.1.5）下，有
b ~ N ( , 2 ( X X ) 1 )
2015-1-9 试验设计与数据处理 9
( xi1 , xi 2 ,, xip , yi ), i 1,2,, n
假定回归模型为：
yi 0 1 xi1 p xip i，i 1,2,, n 2 各 iid ~ N ( 0 , ) i (7.1.5)
2015-1-9
试验设计与数据处理
i 1 i 1 i 1
ˆi )2 ( y ˆ i y) 2 S E S R ST ( yi y ) 2 ( yi y
其中
ˆi )2 S E ( yi y
ˆ i y) 2 S R ( y
i
为残差平方和，自由度为 为回归平方和，自由度为
2015-1-9 试验设计与数据处理 15
当H0j为真时，有 Fj ~ F (1, f E ) 。 给定的显著性水平 ，当 Fj F1 (1, f E ) 时拒绝假设H0j，即认 为 j 显著不为零，否则可以将对应的变量从回归方程中删除。 注：当有不显著的系数时，一般情况下一次只能删除一个F 值最小的变量，重新计算回归系数，再重新检验。通常要到余 下的系数都显著时为止。
正交回归设计(2)
2．检验一次方程的合适性 为了了解是否存在因子间的交互作用，是否有因子的高次效 应，在中心点进行了m=5次试验，结果为： 40.3，40.5，40.7，40.2，40.6 5 其平均值为 y 0 40.46 ，偏差平方和为 S0 ( y0i y0 ) 2 0.172 ， i 1 其自由度=4。 采用方法1中的检验统计量t作检验。 ˆ 0 40.425， y 0 40.46 ， 现在 y
1u 表示为行向 其中 ，1u 表示元素均为1的u维列向量， 量， I u 表示u阶单位阵，J uv 表示u行v列的矩阵，其元素均为 1， h mc 2 2 ，G是p阶对称方阵，其对角元均为 f mc 2 4 ， 非对角元均为mc，即 f mc mc m c f mc G m m f c c
0
S e ( y 0i y 0 ) 2，f e m0 1
i 1
m0
S Lf S E S e，f Lf f E f e
可对二次回归模型的合适性进行检验。
例8.4.1 为提高钻头的寿命，在数控机床上进行试验，考察 钻头的寿命与钻头轴向振动频率F及振幅A的关系。在试验中， F与A的变动范围分别为：[125 Hz，375Hz]与[1.5，5.5]，采用 二次回归正交组合设计，并在中心点重复进行三次试验。
(2)用二水平正交表L4(23)安排试验，试验方案与结果如下：
(3)建立一次回归方程：
所得一次回归方程为：
ˆ 40.425 0.775 x1 0.325 x2 y
链接31
对回归方程与回归系数作显著性检验的方差分析表如下：
若取 0.05 ，那么 F0.95 (2,1) 200 ，所以方程在显著性水 平0.05上是显著的，又 F0.95 (1,1) 161 ，则两个系数也是显著 的。
数理统计第八章 正交实验设计
即对于在 A1下的四次试验和 A下的四次试验来说， 2 虽然其它条件（ B 、 C、 D）在变动，但这种变动是 A2之间差异反映了A的两 “平等的”，所以 A 和 1 个水平的不同，由于
表 头 设计 列号 试验 1 2 3 4
A
B
C
D
试验 结果
1 1 1 1 1 2 2 2 2 366 358 91.5
5
因此多因子试验问题的突出矛盾是： (1)所有可能搭配的试验次数与实际可行的试验次数之 间的矛盾。 (2)实际所作少数试验与要求全面掌握内在规律之间的 矛盾。 为了解决第一类矛盾，要求必须合理地设计和安排试 验，以便通过尽可能少的试验次数，就可抓住主要矛 盾。 为解决第二类矛盾，要求我们对试验结果作科学的分 析，透过现象看本质，认识内在的规律，为解决问题 提供可靠的依据。
7 8
§8.2 正交表
正交表是试验设计中合理安排试验，并对数据 进行统计分析的主要工具。 正交表用符号 L p (n ) 表示。 “ L ”代表正交表， “ p ”表示表中的行数，即要作的试验次数， “ m ”表示表中有m列，即最多允许安排的因 子 个数， “ n ”表示水平数。
m
L4 ( 23 )
B2
D1
D2
500毫米汞柱 600毫米汞柱
2
我们通常称影响试验指标的因素为因子， 用大写字母A，B，C，…表示； 可能处于的状态称为水平，用该字母加上足标 表示。 例如，A1 ，A2 …表示因子A的第一，第二，… 水平等。 我们把实验中需要考虑多个因子，而每个因子 又有多个水平有待考查的试验问题称为多因子 试验问题。 例8.1.1就是四个两水平的因子试验问题。
3
我们希望通过试验解决的问题是： （1）找出各因子对指标的影响规律，哪个因子是主 要的，哪个是次要的？哪些因子除了各自的单独作 用外，它们之间还产生综合效果？这种综合效果有 多大？对指标的影响，综合效果是主要的，还是因 子的单独作用是主要的？
第八章回归正交试验设计
8回归正交试验设计本章要点：主要讲述了一次回归正交试验设计、二次回归正交试验设计的原理、基本方法和统计分析步骤，并针对不同类型的回归正交试验给出了相应的计算案例。
重点：回归正交试验设计的方法，统计过程中方程的建立以及显著性分析检验。
难点：二次回归组合设计正交性的实现及其统计分析。
8.1 回归正交试验设计简介产品质量通常受多因素的综合影响，试验效应既包括因素的主效应，也包括因素间的交互作用，因此，在产品研究中总希望安排足够多的研究因素以使试验效应有充分的试验论据。
但因素和水平的增加造成试验规模庞大，特别是对于多指标分析的试验往往由于分析困难而无法实施。
线性反应试验一般是研究一个因素多水平的试验设计，面体反应试验是研究两个因素多水平的的试验设计。
当试验因素超过3个的多水平试验时，由于采用组合处理，处理数目等于因素水平间的乘积，它随因素的增加呈几何级数增加。
例如，一个3因素4水平的试验，总共有43＝64个试验处理，而4因素5水平的试验就有54＝625个处理，由于处理数目太大，不仅增加了试验误差，而且由于受试材和条件的限制，这对产品研究来说是难以实施的。
正交试验设计方法在产品工艺改进、新产品的试制中得到了广泛的应用，它能够利用较少的处理安排较多的试验因素，获得较佳的试验结果。
但是正交设计不能在一定的试验范围内，根据数据样本，去确定变量间的相关关系及相应的回归方程。
如果试验传统的回归分析，又只能被动地去处理由试验所得到的数据，而对试验的设计安排几乎不提出任何要求。
这样不仅盲目地增加了试验次数，而且由数据所分析出的结果还往往不能提供充分的信息，造成在多因素试验的分析中，由于设计的缺陷而达不到预期的试验目的。
因而回归正交试验设计应运而生。
回归正交试验设计是将试验安排与数据的回归分析结合起来考虑。
在试验中，通过适当地安排试验点，使得在每个试验点上获得的数据含有最大的信息，并且各自变量(因素)向量间满足正交性以便于回归分析。
第八章.正交试验设计
第八章.正交试验设计第8章正交试验设计本章要求(1)掌握试验设计的基本概念；(2)掌握正交表的形式与特征；(3)掌握正交设计的试验步骤；(4)熟悉无交互作用的正交设计的数据直观分析方法；(5)熟悉正交设计的统计模型与方差分析；(6)了解正交设计的最佳条件选择。
正交试验设计法是研究与处理多因素实验的一种科学方法。
利用规格化的表格―正交表,科学地挑选试验条件,合理安排实验。
正交试验设计法最早由日本质量管量专家田口玄一提出,称为国际标准型正交试验法。
认为：“一个工程技术人员若不掌握正交试验设计法, 只能算半个工程师”。
我国工业企业特别是化工、纺织、医药、电子、机械行业,正交试验设计法的应用也取得相当的成就,中国数学家张里千教授发明了中国型正交试验设计法。
无交互作用单一指标的正交设计及其基本概念试验设计例为提高某化工产品的转化率，选择了三个有关因素进行条件试验，反应温度(A),反应时间(B),用碱量(C),并确定了它们的试验范围：A:80-90℃ B:90-150分钟C:5-7% 试验目的是搞清楚因素A、B、C对转化率有什么影响，哪些是主要的，哪些是次要的，从而确定最适生产条件，即温度、时间及用碱量各为多少才能使转化率高。
试制定试验方案。
这里，对因素A,在试验范围内选了三种状态；因子B和C也都取三种状态：A:A1=80℃,A2=85℃,A3=90℃ B:B1=90分，B2=120分，B3=150分C:C1=5%,C2=6%,C3=7% 当然，在正交试验设计中，因素可以是定量的，也可以是定性的。
而定量因素各水平间的距离可以相等，也可以不相等。
这个三因子三水平的条件试验，通常有两种试验进行方法：(Ⅰ)取三因素所有状态之间的组合，即AlBlC1,A1BlC2,A1B2C1, ……, A3B3C3,共有33=27次试验。
用图表示就是图1 立方体的27个节点。
这种试验法叫做全面试验法。
全面试验对各因素与指标间的关系剖析得比较清楚。
8正交试验设计
综合平衡法
• 水份A对各指标的影响：从表看出，对 裂纹度来讲，水份的极差最大，即水份 是影响最大的因素，水份取A2水平最 好，但对抗压强度和落下强度来讲，水 份的极差都是最小的，即是影响最小的 因素。对抗压强度来讲，水份取A2最 好，取A3次之；对落下强度来讲，水 份取A3最好，取A2次之。对3个指标综 合考虑，水份取A2水平为好。
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正交表及其用法
本例中各因素对试验指标铁水 温度的影响按大小顺序来说C底焦
高度、A焦比、B风压，最好方案是
C2A3B2即： C2底焦高度，第2水平：1.5 A3焦比，第3水平： 1:14 B2风压，第2水平： 230
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12.2 多指标的分析方法
• 在实际问题中，需要考虑的指标往 往不止一个，有时是两个、三个， 甚至更多，这都是多指标的问题。 解决多指标试验问题可采用两种方 法：综合平衡法和综合评分法。
2
3 抗压强度
试验号
A BC
Kg/个
1
1
1
1
11.5
2
1
2
2
4.5
3
1
3
3
11.0
4
2
1
2
7.0
5
2
2
3
8.0
6
2
3
1
18.5
7
3
1
3
9.0
8
3
2
1
8.0
9
3
3
2
13.4
K1
11
9
5
K2
5
8
8
裂 K3
6
5
9
k1
纹 k2
3.7 3.0 1.7 1.7 2.7 2.7
工程试验设计 回归正交试验设计
第一节 一次回归正交设计一 正交设计和回归设计的特点1 正交设计的特点正交设计是一种很实用的试验设计方法，它利用较少的试验次数获得较好的试验结果；但是通过正交设计得到的优方案只是局限在确定的水平组合中，而不是一定试验范围内的最优方案。
2 回归设计回归分析是一种有效的数据处理方法，通过所确定的回归方程，可对试验结果进行预测和控制；但是，它只能对试验数据进行被动的分析和处理，不涉及对试验设计的要求。
如果把两者的优势统一起来，不仅有合理的试验设计和较少的试验次数，还能建立有效的数学模型，这就是回归正交设计方法。
二 一次回归正交设计基本方法一次回归正交设计就是利用回归正交设计原理，建立试验指标y 与m 个因素x 1、x 2、…、x m 之间的一次回归方程：)(ˆ1k j x x b x b a yjk j k kj mj j j ≠++=∑∑<=（k=1，2，…，m ） 如果不考虑交互作用，则一次回归方程为m m x b x b x b a y++++=...ˆ2211 一次回归正交设计的基本步骤如下：1 确定因素的变化范围根据指标y ，确定需要考察的m 个因素x j （j=1，2，…，m ），并确定每个因素的取值范围。
设：x j 的变化范围为[x j 1，x j 2]，分别称x j 1和x j 2为因素x j 的下水平和上水平，并将其算术平均值称为零水平，即2210j j j x x x +=上水平与零水平之差或零水平与下水平之差称为x j 的变化间距j ∆，即2121002j j j j j j j x x x x x x -=-=-=∆例如，某试验中温度的变化范围为30-90℃，则其上水平为x j 2=90℃，x j 1=30℃，零水平x j 0=60℃，变化间距△j =30℃。
2 因素水平的编码编码（coding ）就是将x j 的各水平进行线性变换，即jj j j x x z ∆-=式中，z j ——x j 的编码。
第8章 回归的正交设计
第8章 回归的正交设计教学目标：1. 掌握一次回归正交设计及统计分析方法2. 掌握二次回归正交组合设计及统计分析方法正交设计是一种重要的科学试验设计方法，它能够利用较少的试验次数，获得较佳的试验结果。
但是正交设计不能在一定的试验范围内，根据数据样本，去确定变量间的相关关系及其相应的回归方程。
如果使用传统的回归分析，又只能被动地去处理由试验所得到的数据，而对试验的设计安排几乎不提出任何要求。
这样不仅盲目地增加了试验次数，而且由数据所分析出的结果还往往不能提供充分的信息，造成在多因素试验的分析中，由于设计的缺陷而达不到预期的试验目的。
因而有必要引入把回归与正交结合在一起的试验设计与统计分析方法──回归正交设计。
回归设计就是在因子空间选择适当的试验点，以较少的试验处理建立一个有效的多项式回归方程，从而解决生产中的最优化问题，这种试验设计方法称为回归设计。
随着生产与科学技术的发展，在工农业生产中为了实现以较少的生产投资，获得最大的经济效益，经常需要寻求某种产品、材料试验的最佳配方、试验条件与工艺参数以及建立生产过程的数学模型。
特别是以较少的试验次数和数据分析去选择试验点，使得在每个试验点上能获得比较充分、有用的信息，减少试验次数，并使其数据分析能提供更为科学、充分、有用的信息。
解决上述问题比较理想的方法就是通过回归设计进行试验，建立相应的数学模型，寻求最佳生产条件和最优配方。
回归设计始于20世纪50年代初期，发展至今其内容已相当丰富，包括回归的正交设计、回归的旋转设计、回归的最优设计以及回归的混料设计等，本章只介绍回归的正交设计。
8.1一次回归正交设计与统计分析当试验研究的因变量（如加工罐头质量）与各自变量（如杀菌方式、产品配料等）之间呈线性关系时，可采用一次回归正交设计的方法。
8.1.1一次回归正交设计的一般方法一次回归正交设计的方法原理与正交设计类似，主要是应用二水平正交表进行设计，如)2(34L ，)2(78L ，)2(1112L ，)2(1516L 等，其设计的一般步骤为：⑴ 确定试验因素的变化范围。
回归正交设计
实验内容：P201习题2、5模版：实验3 回归正交试验设计◆实验目的掌握回归正交试验设计原理及统计分析方法，并能通过SAS编程实现◆实验内容及实验步骤1某橡胶制品有橡胶，竖直和改良剂复合而成，为提高撕裂强度，考虑进行一次响应曲面正交设计，三个变量的取值范围分别为：Z：橡胶中等成分的含量0~20Z：树脂中等成分的含量10~20Z：改良剂的阿百分比0.1~0.3（2）如果在试验中心进行了四次重复试验，结果分别为：417，401，455，439，试检验在区域中心一次响应曲面方程是否合适？实验步骤：I)在SAS系统软件中对该数据进行一次相应曲面正交试验设计，程序如下：data raw1;input tno x1 x2 x3 y @@;cards;1 -1 -1 -1 4072 -1 -1 1 4213 -1 1 -1 3224 -1 1 1 3715 1 -1 -1 2306 1 -1 1 2437 1 1 -1 2508 1 1 1 259;proc print data = raw1; proc glm data =raw1; model y= x1 x2 x3 ; Run;321625.10375.12375.67875.312x x x y +--=从方差分析结果来看，2x 和3x 的显著性不高，可推断该曲面方程的忽略了几个变量之间的交互作用，但是拟合度已经达到90.2027%，整个实验还是显著的。
II) 一次响应曲面方程的最大值是403.25，而四次重复试验的结过分别为417，401，455，439，其中的三个结果都超出了一次相应曲面方程的最大值，所以在区域中心的一次相应曲面方程是不合适的。
下面再对三个变量的交互作用进行二次相应曲面方程拟合。
程序如下： data raw1;input tno x1 x2 x3 y @@; cards ;1 -1 -1 -1 4072 -1 -1 1 4213 -1 1 -1 3224 -1 1 1 3715 1 -1 -1 2306 1 -1 1 2437 1 1 -1 2508 1 1 1 2599 0 0 0 41710 0 0 0 401 11 0 0 0 45512 0 0 0 439;data reg1;set raw1;x1x2=x1*x2;x1x3=x1*x3;x2x3=x2*x3;x1x1=x1*x1;x2x2=x2*x2;x3x3=x3*x3;proc print data=reg1;proc glm data=reg1;model y= x1 x2 x3 x1x2 x1x3 x2x3 x1x1 x2x2 x3x3;run;结果2通过上面的图标可以看出，数据的拟合度已经达到了97.6273%，这样的拟合度是相当高的，在该种拟合状况下的二次响应曲面方程式是：1132312132112.115875.3125.5375.21625.10375.12375.67428x x x x x x x x x x x y -+-++--=该种情况下，虽然拟合程度很高，但是我们仍然可以看到，x2、x3、x1x3的显著性不是很好。
回归正交设计课程设计
回归正交设计课程设计一、教学目标本节课的教学目标是使学生掌握正交设计的原理和方法，能够运用正交设计解决实际问题。
知识目标包括：了解正交设计的概念、原理和步骤；掌握正交表的构造方法和应用。
技能目标包括：能够独立完成正交试验的设计和分析；能够运用正交设计解决实际问题。
情感态度价值观目标包括：培养学生的创新意识和实践能力；培养学生团队合作精神和科学严谨的态度。
二、教学内容本节课的教学内容主要包括正交设计的原理、方法和应用。
首先，介绍正交设计的概念和原理，让学生了解正交设计是一种高效、可靠的实验设计方法。
其次，讲解正交表的构造方法和应用，让学生掌握如何使用正交表进行试验设计。
最后，通过实例分析，让学生学会如何运用正交设计解决实际问题。
三、教学方法为了实现本节课的教学目标，将采用多种教学方法相结合的方式进行教学。
主要包括讲授法、案例分析法和实验法。
首先，通过讲授法向学生传授正交设计的理论知识。
其次，通过案例分析法，让学生结合实际案例，理解和掌握正交设计的应用。
最后，通过实验法，让学生动手实践，培养学生的实际操作能力。
四、教学资源为了支持本节课的教学内容和教学方法的实施，将准备以下教学资源：教材《实验设计与应用》，正交设计的相关参考书籍，多媒体教学课件，正交设计实验设备，以及在线教学资源等。
这些教学资源将有助于丰富学生的学习体验，提高学习效果。
五、教学评估本节课的教学评估将采用多元化的评估方式，以全面、客观、公正地评价学生的学习成果。
评估方式包括平时表现、作业、考试等。
平时表现主要评估学生的课堂参与度、提问回答、团队协作等方面；作业主要评估学生的理解能力和应用能力；考试主要评估学生的知识掌握和运用能力。
通过这些评估方式，能够全面反映学生的学习成果，激发学生的学习积极性。
六、教学安排本节课的教学安排将根据课程目标和学生的实际情况进行合理规划。
教学进度将按照教材的章节和内容进行安排，确保在有限的时间内完成教学任务。
回归正交试验设计
5.1
60
8
1
9 0 00
6.6
70
10
2
10 0 0 0
6.5
70
10
2
11 0 0 0
6.6
70
10
2
例8-2 试验方案计算表与正交回归方程
试验号 z1 z2 z3 提取率y／％ z1*y
1 1 11
8
z2*y
z3*y
8
8
8
2 1 1 -1
7.3
7.3 7.3 -7.3
3 1 -1 1
6.9
6.9 -6.9 6.9
0.516 -0.516
-1 1 -1 -1 1 0.532 0.283024 -1 -1 1 1 -1 0.448 0.200704 -1 -1 1 -1 1 0.484 0.234256
-0.532 -0.448 -0.484
0.532 -0.532 -0.448 0.448 -0.484 0.484
z1*y z2*y (z1z2)*y z3*y
（z1z3）*y Se
1 1 1 1 1 0.552 0.552 0.552 0.552 0.552 0.552
1 1 1 -1 -1 0.554 0.554 0.554 0.554 -0.554 -0.554
1 -1 -1 1 1 0.48 0.48 -0.48 -0.48 0.48 0.48
回归正交设计表的特点： ➢ 任一列编码的和为0 ➢ 任两列编码的乘积之和等于0
（4）试验方案的确定
表头设计 ：
➢ 可参考正交设计的表头设计 方法
➢ 交互作用列的编码等于表中 对应两因素列编码的乘积
零水平试验（也称中心试 验 ，为失拟检验提供信息, 试验次数m0>=2）
回归正交试验设计
规范变量z 规范变量 j 上星号臂γ 上星号臂 上水平1 上水平 零水平0 零水平 下水平－1 下水平－ 下星号臂－ 下星号臂－γ 变化间距 变化间距 j
②确定合适的二次回归正交组合设计 参考表8-22 参考表
正交表的选用 因素数m 因素数 2 3 4（1/2实施） （ 实施 实施） 4 5（1/2实施） （ 实施 实施） 5 选用正交表 L4（23） L8（27） L8（27） L16（215） L16（215） L32（231） 表头设计 1，2列 ， 列 1，2，4列 ， ， 列 1，2，4，7列 ， ， ， 列 1，2，4，8列 ， ， ， 列 1，2，4，8，15列 ， ， ， ， 列 1，2，4，8，16列 ， ， ， ， 列 mc 22＝ 4 23＝ 8
（3）回归方程的建立 ） m0＝0，n＝mc＝8 ， ＝ 计算表 计算各回归系数 写出y与规范变量 写出 与规范变量zj的回归方程 与规范变量 根据偏回归系数绝对值大小， 根据偏回归系数绝对值大小，确定因素和交互作用主次 根据偏回归系数正负， 根据偏回归系数正负，得到各因素对试验指标的影响方向 （4）方差分析 ） 与自然变量x （5）回归方程的回代：得到试验指标 与自然变量 j的回归 ）回归方程的回代：得到试验指标y与自然变量 方程
1 m0 SSe1 = ∑ ( y0i y 0 ) 2 = ∑ y0i2 (∑ y0i ) 2 m0 i =1 i =1 i =1
m0
m0
重复试验误差的自由度： 重复试验误差的自由度： ②回归方程失拟部分： 回归方程失拟部分： 失拟平方和 ：
df e1 = m0 1
SS Lf = SST SS R SS e1 = SS e SS e1
回归平方和 ： SS R = ∑ SS 一次项 + ∑ SS 交互项 残差平方和 ：
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b3
z
i 1 n
n
3i
yi
mc
b12
(z z
i 1 1
2
)i yi
mc
b13
(z z
i 1 1
n
3
)i yi
mc
得回归方程：
y 0.50475 0.00975 z1 0.03375 z2 0.00575 z3 0.00475 z1 z2 0.00725 z1 z3
增加零水平试验后回归平方和SSR没有变化
②回归方程失拟部分：
失拟平方和
：
SS Lf SST SS R SSe1 SSe SSe1
失拟平方和自由度：
df Lf dfe dfe1
包括其它因素及xj的高次项等引起的差异
③失拟检验 ：
FLf
SS Lf df Lf SSe1 df e1
2 c 2
SS3 mc b32 ... ... SS12 m b ... ...
2 c 12 2 SS13 mc b13 ... ...
SS R SS1 SS2 SS3 SS12 SS13 ...
再计算df,MS,F,显著性，得方差分析表
第8章
回归正交试验设计
Orthogonal Regression Design
正交设计：优方案只能限制在已定的水平上，而 不是一定试验范围内的最优方案
回归正交设计（orthogonal regression design） ： 可以在因素的试验范围内选择适当的试验点 用较少的试验建立回归方程 能解决试验优化问题 不适合非数量性因素
例8-1： 用石墨炉原子吸收分光光度计法测定食品中的铅， 为提高测定灵敏度，希望吸光度大。为提高吸光
度，对x1（灰化温度/℃）、x2（原子化温度/℃ ）
和x3（灯电流/mA）三个因素进行了考察，并考虑
交互作用x1x2,x1x3,已知x1=300-700℃,x2=18002400℃，x3=8-10mV。试通过一次回归正交试验确
8.1.2 一次回归方程的建立
总试验次数为n ：
n＝mc＋m0
mc：二水平试验次数
m0：零水平试验次数
一次回归方程系数的计算：
常数项：a
一次项系数：bj
交互项系数： bjk
1 n a yi y n i 1
bj
n
z
i 1
n
Zji是Zj列各 水平的编码 j＝1，2，…，m ZjZk列各水 平的编码 j＞k, k＝1，2，…，m－1
（3）一次回归正交设计表
将二水平的正交表中“2”用“－1”代换 ，例：
回归正交设计表的特点：
任一列编码的和为0
任两列编码的乘积之和等于0
正交性
（4）试验方案的确定
表头设计 ： 可参考正交设计的 表头设计方法 交互作用列的编码 等于表中对应两因 素列编码的乘积
零水平试验（中心 试验 ）
对显著性水平α=0.05，只有因素z2对试验
指标y有非常显著的影响，其它因素及交互 作用都无显著影响，故可以将 z1,z3,z1z3,z1z2并入残差，然后再进行方 差分析
得新的回归方程：y=0.50475+0.03375z2
根据编码公式
x2 x20 x2 2100 z2 2 300
①重复试验误差：
平方和：
m0 2 m0 2 0i m0
1 2 SSe1 ( y0i y 0 ) y ( y0i ) m0 i 1 i 1 i 1
重复试验误差的自由度：
dfe1 m0 1
由计算公式可知，只有回归系数a与零水平试验次
数m0有关，其它偏回归系数都只与mc有关，所以
8
二元二次回归正交组合设计
（2） 三元二次回归正交组合设计试验方案
三元二次回归方程：
y a b1x1 b2 x2 b3 x3 b12 x1x2 b13 x1x3 b23 x2 x3 b11x12 b22 x22 b33x32
试验方案
三元二次回归正交组合设计
定吸光度与三个因素之间的函数关系式。
（1）因素水平编码
-1
考虑交互作用x1x2,x1x3
X1
X2 X3
（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7）
（2）正交表的选择和试验方案的确定
（3）回归方程的建立 m0＝0，n＝mc＝8 计算表 计算各回归系数 写出y与规范变量zj的回归方程 根据偏回归系数绝对值大小，确定因素和交互作 用主次 根据偏回归系数正负，得到各因素对试验指标的 影响方向 （4）方差分析 （5）回归方程的回代：得到试验指标y与自然变量 xj的回归方程
-1 1
∑
由上表得
1 n 4.038 a yi 0.50475 n i 1 8 b1
z
i 1 n
n
1i
yi
mc
0.078 0.00975 8
b2
z
i 1
2i
yi
mc
0.270 0.03375 8 0.046 0.00575 8 0.038 0.00475 8 0.058 0.00725 8
ji
yi
bkj
(z z ) y
i 1 k j i
mc
i
说明：
mc
求得的回归系数直接反映了该因素作用的大小
回归系数的符号反映了因素对试验指标影响的正负
8.1.3 回归方程及偏回归系数的方差分析
8.1.3.1 无零水平试验时
①平方和：
n 1 SST Lyy ( yi y)2 yi2 ( yi )2 总平方和： n i 1 i 1 i 1 n n
序 号
1 2 3 4 5 6 7 8
z1 z2
z1 z3 z1 z2 z3
y
y2
z1y
z2y
0.552 0.554
z3y
0.552 -0.554
(z1z2 (z1z3 )y )y
0.552 0.554 0.552 -0.554
1 1 1 1
1 1
1 1
1
1
0.552 0.304704 0.552
-1 -1 0.554 0.306916 0.554 1 0.480 0.230400 0.480
一次项偏回归平方和
：
SS j mcb2 j
SSkj m b
2 c kj
交互项偏回归平方和： 回归平方和 残差平方和
： ：
SSR SS一次项 SS交互项
SSe SST SSR
②自由度 dfT＝n―1
各种偏回归平方和的自由度＝1
回归平方和的自由度 ：
df R df一次项 df交互项
将上述线性回归方程进行回代， 得有关y与x2的回归方程 Y=6.79525+0.0001125x2
8.1.3.2 有零水平试验时
目的：进行回归方程的失拟性（lack of fit）检验 （要求m0≥2 ）
失拟性检验：为了检验一次回归方程在整 个研究范围内的拟合情况 失拟性检验步骤：
设m0次零水平试验结果为y01，y02，…，y0m0
要求：试验次数＞回归方程的项数
回归正交组合设计：在一次回归正交试验设计 的基础上再增加一些特定的试验点，通过适当 的组合形成试验方案
8.2.1 二次回归正交组合设计表
（1）二元二次回归正交组合设计试验方案
二元二次回归方程：
2 11 1
y a b1 x1 b2 x2 b12 x1 x2 b x b x
对于给定的显著性水平α（一般取0.1）
当FLf＜Fα（dfLf，dfe1）时，就认为回归方程 失拟不显著，失拟平方和SSLf是由随机误差造 成的，所建立的回归方程是拟合得很好
例8-2
8.2 二次回归正交组合设计
回归方程的建立： 根据最小二乘法原理得到正规方程组
求解正规方程组，得回归系数
残差自由度：
df e dfT df R
不考虑交互作用时:dfR=m，dfe=n-m-1。
无论是否考虑交互作用，都不影响偏回归
系数的计算公式
③均方
④F检验：
回归方程显著性检验
偏回归系数显著性检验 ：
判断因素或交互作用对试验的影响程度
可直接从回归方程中剔除这些一次和交互 项 经检验不显著的因素或交互作用应归入残 差，重新检验
8.1 一次回归正交试验设计及结果分析
建立试验指标（y）与m个试验因素x1，x2，…，
xm之间的一次回归方程
例：m＝3时，一次回归方程：
y＝a＋b1x1＋b2x2＋b3x3＋b12x1x2＋b13x1x3＋ b23x2x3
其中x1，x2，x3表示3个因素；x1x2，x1x3，x2x3表示 交互作用 若不考虑交互作用，为三元一次线形回归方程： y＝a＋b1x1＋b2x2＋b3x3
-1 -1 1
-0.480 0.480 -0.472 -0.472 0.516 -0.532
-0.480 0.480 -0.472 -0.472 -0.516 -0.516 -0.532 0.532 0.448 0.484 0.038 -0.448 0.484 0.058