勾股定理逆定理讲义(经典例题+详解+习题)

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如 3,4,5 ；6,8,10 ；5,12,13 ； 7,24,25 等
③用含字母的代数式表示 n 组勾股数：
n2 1,2n,n2 1 （ n 2, n 为正整数）；
2n 1,2n2 2n,2n2 2n 1 （ n 为正整数）
m2 n2, 2mn, m2 n2 （ m n, m ， n 为正整数）
∴ a2+b2=c2， ∴能成为直角三角形的三边长．
题型二：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用
例 4. 已知 ABC 中， AB 13 cm ， BC 10 cm ， BC 边上的 中线 AD 12 cm ，求证A：B AC
B
证明： AD 为中线， BD DC 5 cm 在 ABD 中， AD2 BD2 169 ， AB2 169 AD2 BD2 AB2 ， ADB 90 ， AC2 AD2 DC2 169 ， AC 13 cm ， AB AC
理由：a2 b2 (a b)2 2ab 64 ，且 c2 64 a2 b2 c2 所以此三角形是直角三角形
例3. 如果△ABC的三边长分别为 a,b,c,且a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(m>n,m,n是正 整数），则△ABC是直角三角形吗？ 分析：先来判断a,b,c 三边哪条最长，可以代m,n 为满足条件的特殊值来试， m=5,n=4.则a=9,b=40,c=41,c最大。 解 ： ∵ （ m2-n2）2+（ 2mn）2=m4+n4-2m2n2+4m2n2=m4+n4+2m2n2=（ m2+n2）2，
1、勾股定理的逆定理
如果三角形三边长 a ， b ， c 满足 a2 b2 c2 ，那么这个三角形是直角三角形，
其中 c 为斜边。
①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它
通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小
教
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边的平方和 a2 b2 与较长边的平方 c2 作比较，若它们相等时，以 a ， b ， c 为三
学
边的三角形是直角三角形；若 a2 b2 c2 ，时，以 a ， b ， c 为三边的三角形是钝
步
角三角形；若 a2 b2 c2 ，时，以 a ， b ， c 为三边的三角形是锐角三角形；
骤
②定理中 a ， b ， c 及 a2 b2 c2 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若
及
三角形三边长 a ， b ， c 满足 a2 c2 b2 ，那么以 a ， b ， c 为三边的三角形是直角
勾股定理逆定理讲义(经典例题 +详解+习题)
XX 教育一对一个性化教案
授课日期： 2014 年 月 日
学生姓名 许 XX
教师姓名
授课时段
2h
年级
8
学科
数学
课型
VIP
教学内容
勾股定理及逆定理
教学 重、难点
重点：运用勾股定理判定一个三角形是否为直角三角形。 难点：运用用勾股定理和勾股定理逆定理解决实际问题。 一、知识归纳
突
三角形，但是 b 为斜边。
出
③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直
教
角边的平方和时，这个三角形是直角三角形。
学
2、勾股数
方
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 a2 b2 c2 中，
法
a ， b ， c 为正整数时，称 a ， b ， c 为一组勾股数
（2）分 两 种 情 况 ：
①当△ABC 为锐角三角形时，在 Rt△ABD 中，BD=9，在 Rt△ACD 中，CD=5， ∴BC=5+9=14 ∴△ABC 的周长为：15+13+14=42； ②当△ABC 为钝角三角形时， 在 Rt△ABD 中，BD=9 ，在 Rt△ACD 中，CD=4 ，∴BC=9-5=4． ∴△ABC 的周长为：15+13+4=32 ∴当△ABC 为锐角三角形时，△ABC 的周长为 42；当△ABC 为钝角三角形时，△ABC 的周 长为 32
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题型一：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形
例 1.已知三角形的三边长为 a ， b ， c ，判定 ABC 是否为 Rt
① a 1.5 ， b 2 ， c 2.5 ② a 5 ， b 1， c 2
4
3
分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要
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A
D
C
例 5.（ 1） 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， D 是 BC 上 一 点 ， AB=10， BD=6， AD=8， AC=17，求△ABC 的面积． （2）在△ABC 中，若 AB=15，AC=13，高 AD=12，求△ABC 的周长．
分析：（1）根据 AB=10，BD=6，AD=8，利用勾股定理的逆定理求证△ABD 是直角三角 形，再利用勾股定理求出 CD 的长，然后利用三角形面积公式即可得出答案． （ 2） 本 题 应 分 两 种 情 况 进 行 讨 论 ： ① 当 △ ABC 为 锐 角 三 角 形 时 ，在 Rt△ ABD 和 Rt△ ACD 中 ，运 用 勾 股 定 理 可 将 BD 和 CD 的 长 求 出 ，两 者 相 加 即 为 BC 的 长 ，从 而 可 将 △ ABC 的 周 长 求 出 ； ② 当 △ ABC 为 钝 角 三 角 形 时 ，在 Rt△ ABD 和 Rt△ ACD 中 ，运 用 勾 股 定 理 可 将 BD 和 CD 的 长求出，两者相减即为 BC 的长，从而可将△ABC 的周长求出． 解 ： （ 1） ∵BD2+AD2=62+82=102=AB2， ∴△ABD 是直角三角形， ∴AD⊥BC， 在 Rt△ACD 中，CD=15，
看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方。
解：①a2 b2 1.52 22 6.25 ， c2 2.52 6.25
ABC 是直角三角形且 C 90
②b2 c2 13 ， a2 25 ， b2 c2 a2 ABC 不是直角三角形
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例 2.三边长为 a ， b ， c 满足 a b 10 ， ab 18 ， c 8 的三角形是什么形状？ 解：此三角形是直角三角形