勾股定理逆定理讲义(经典例题+详解+习题)
勾股定理及其逆定理,经典过关题及练习题(含答案)
CBAFEDCB A勾股定理及其逆定理（讲义）一、 知识点睛1. 11-19的平方：_______________________________________________________________________________________________________．2. 勾股定理：_______________________________________________________________________________________________________． 3. 勾股定理的验证：4. 勾股定理逆定理：_______________________________________________________________________________________________________．5. 勾股数：满足a 2+b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．常见勾股数有______________；______________；_______________；________________；________________；_________________．二、精讲精练1. 一个直角三角形两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）A ．斜边长为25B ．三角形的周长为25C ．斜边长为5D ．三角形的面积为202. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，若BC =8，AB =17，则AC 的长是________．S 3S 2S 1AB C86C3. 已知：如图，在Rt △ABC 和Rt △ACF 中，BC 长为3cm ，AB 长为4cm ，AF长为12cm ，则正方形CDEF 的面积为_________．4. 如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，分别以BC ，AB ，AC 为边向外作正方形，面积分别记为S 1，S 2，S 3．若S 2=4，S 3=6，则S 1=___________．5. 如图，已知Rt △ABC 的两直角边长分别为6和8，分别以其三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为___________．6. （1）等面积法是几何中一种常见的证明方法，可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”．例如，著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较长的直角边长都为a ，较短的直角边长都为b ，斜边长都为c ），大正方形的面积可以表示为c 2，也可以表示为4×12ab +(a -b )2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a ，b ，斜边长为c ，则a 2+b 2=c 2．图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理．（2）试用勾股定理解决以下问题：如果直角三角形的两直角边长为3和4，则斜边上的高为________． 7. 如图，点C 在线段BD 上，AC ⊥BD ，CA =CD ，点E 在线段CA 上，且满足DE =AB ，连接DE 并延长交AB 于点F ． （1）求证：DE ⊥AB ；（2）若已知BC =a ，AC =b ，AB =c ，你能借助本题提供的图形证明勾股定理吗？试一试吧．图2图1b ba ED A ABDEFc c图2b aba ED CBAlcba8. 如图，小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD 的面积是_________．第8题图 第9题图9. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC >BC ，分别以AB ，BC ，CA 为一边向△ABC 外作正方形ABDE ，正方形BCMN ，正方形CAFG ，连接EF ，GM ，ND ．设△AEF ，△CGM ，△BND 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则下列结论正确的是（ ）A ．S 1=S 2=S 3B ．S 1=S 2<S 3C ．S 1=S 3<S 2D ．S 2=S 3<S 110. 如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为5和11，则b 的面积为______．11. 如图，从电线杆离地面8m 处向地面拉一条钢索，若这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m ，那么需要多长的 钢索？12. 小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处1米．法算出旗杆的高度．13. 下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是（ ）DCBAAB C DE F GH图3图2图1h 26246b 106c 125A ．B ．C ．D ．7152024257202425715202425252420157图2图1DCBAA ．0.3，0.4，0.5B ．7，12，15C ．11，60，61D ．9，40，4114. 如图，在单位正方形组成的网格图中有AB ，CD ，EF ，GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）A ．CD ，EF ，GHB ．AB ，EF ，GHC ．AB ，CD ，GHD ．AB ，CD ，EF 15. 若三角形的三边长分别是222122221n n n n n ++++，，（n 为正整数），则三角形的最大内角等于_______度．16. 将直角三角形的三边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形17. 三边长分别是15，36，39的三角形是_______三角形.18. 如图，求出下列直角三角形中未知边的长度：c =____，b =____，h =_____．19. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形中正确的是（ ）20. 一个零件的形状如图1中∠A 和∠DBC 都应为直角．工人师傅量得这个零件各边长如图2请说明理由．勾股定理及其逆定理（随堂测试）1．有一块土地形状如图所示，∠B =∠D =90°，AB =20米，BC =15米，CD =7BAD CB ．A ．c b c a b a a b c a b c c b a c b a A BCD EF D ．c b a a b c C ．米，则这块地的面积为__________．2．若三角形的三边长是：①5k ，12k ，13k （k >0）；②111345，，；③32，42，52；④0.3，0.4，0.5；⑤2n +1，2n ，2n 2+2n +1（n 为正整数）．则其中能构成直角三角形的是_____________．3．如图，在四边形ABCD 中，AD =3，AB =4，BC =12，CD =13，∠BAD =90°． （1）求BD 的长； （2）证明：BD ⊥BC ； （3）求四边形ABCD 的面积．勾股定理及其逆定理（作业）1. 以下列长度的三条线段为边，不能组成直角三角形的是（ ）A ．1.5，2，2.5B ．9，12，15C ．7，24，25D ．1，1，22. 若三角形的三边长是：①5k ，12k ，13k （k >0）；②111345，，；③32，42，52；④11，60，61；⑤22(+)12(+)(+)+1m n m n m n ，，（m ，n 为正整数）．其中能构成直角三角形的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3. 下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（ ）4. 已知甲、乙两人从同一点出发，甲往东走了12km ，乙往南走了5km ，这时甲、乙两人相距______．5. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =9，BC =12，则点C 到AB 的距离为____________．DC BAF E D CB A 6. 记为S 1，S 2，S 3，则S 1，S 2，S 3之间的关系是（ A ．S l +S 2>S 3 B ．S l +S 2< S 3C ．S 1+S 2=S 3D ．S 12+S 22=S 327. 中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，___________cm 2．8. 如图，每个小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD 的面积为_________．9. 如图，在正方形ABCD 中，AB =4，AE =2，DF =1，则图中共有直角三角形________个．10. 11. 如图，一架长25（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4方向上滑动了几米？12. 已知一个三角形的三边长分别是5cm ，12cm ，13cm ，你能算出这个三角形的面积吗？b915勾股定理及其逆定理【参考答案】➢ 课前预习1. 大于，互余；2. 121，144，169，196，225，256，289，324，3613. 16A S =9B S = 25C S =A B C S S S +=➢ 知识点睛1. 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．2. 略3. 三角形两边的平方和等于第三边的平方，直角三角形．4. 3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41；11，60，61．➢ 精讲精练1. C2. 169 cm 23. 24.245. 证明略6. 167. 148. AD =12 cm ，AC =15 cm 9. B 10. B 11. 90 12. 直角 13. C14. 符合要求，理由略15. （1）同位角相等，两直线平行．逆命题成立．（2）如果两个实数的积是正数，那么这两个实数是正数．逆命题不成立． （3）锐角三角形是等边三角形．逆命题不成立．（4）到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．逆命题成立．。
勾股定理详解与经典例题解析
勾股定理详解与经典例题解析(总10页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除勾股定理(基础)学习目标1．掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想；2．能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）；3．通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题．要点梳理要点一、勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么．要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的．（3）理解勾股定理的一些变式：，，．要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．图（1）中，所以．方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．图（2）中，所以．方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．，所以．要点三、勾股定理的作用1．已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2．用于解决带有平方关系的证明问题；3．与勾股定理有关的面积计算；4．勾股定理在实际生活中的应用．典型例题类型一、勾股定理的直接应用1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、．（1）若＝5，＝12，求；（2）若＝26，＝24，求．【变式】在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、．（1）已知＝6，＝10，求；（2）已知，＝32，求、．类型二、与勾股定理有关的证明2、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为N，试说明．【变式】如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC边的中点，DE⊥AB于E，则AE2-BE2等于（）A．AC2 B．BD2C．BC2 D．DE2类型三、与勾股定理有关的线段长3、如图，长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC 重合，点B落在点F 处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6类型四、与勾股定理有关的面积计算4、如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（）A．6 B．5 C．11 D．16类型五、利用勾股定理解决实际问题5、一圆形饭盒，底面半径为8，高为12，若往里面放双筷子（精细不计），那么筷子最长不超过多少，可正好盖上盒盖？巩固练习一．选择题1．在△ABC中，AB＝12，AC＝9，BC＝15，则△ABC的面积等于（）A．108 B．90C．180D．542．若直角三角形的三边长分别为2，4，，则的值可能有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是( ) A．12米 B．10米 C．8米 D．6米4．Rt△ABC中，斜边BC＝2，则的值为( )A．8 B．4 C．6 D．无法计算5．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，DC＝2，则BD等于( )A．4 B．6 C．8 D．56．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为( )A．150B．200 C．225 D．无法计算二．填空题7．甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4，乙往南走了3，此时甲、乙两人相距____．8．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了______米路，却踩伤了花草．9．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为mm．10．如图，有两棵树，一棵高8，另一棵高2，两树相距8，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______．11．如图，直线经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线的距离分别是6、8，则正方形的边长是______．12．如图，王大爷准备建一个蔬菜大棚，棚宽2．4m，高3．2m，长15m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积是m2．三．解答题13．如图四边形ABCD的周长为42，AB＝AD＝12，∠A＝60°，∠D＝150°，求BC的长．14．已知在三角形ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，CD＝3，BD＝5，求AC的长．勾股定理逆定理(基础)学习目标1．理解勾股定理的逆定理，并能与勾股定理相区别；2. 能运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形；3. 理解勾股数的含义；4. 通过探索直角三角形的判定条件的过程，培养动手操作能力和逻辑推理能力.要点梳理要点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如）.（2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.要点三、勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.要点诠释：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；（2）（是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）（是自然数）是直角三角形的三条边长；典型例题类型一、勾股定理的逆定理1、判断由线段组成的三角形是不是直角三角形．（1）＝7，＝24，＝25；（2）＝，＝1，＝；（3），，()；【变式】一个三角形的三边之比是3:4:5 则这个三角形三边上的高之比是（）A．20:15:12 B．3:4:5 C．5:4:3 D．10:8:2类型二、勾股定理逆定理的应用例3、已知：为的三边且满足，试判断的形状.例：4、“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？巩固练习一.选择题1．在三边分别为下列长度的三角形中，不是直角三角形的是（）．A. 9，12，15 B．3，4，5 C．，,5 D．4，7，52. 如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）．A．CD、EF、GH B．AB、EF、GH C．AB、CF、EF D．GH、AB、CD3. 下列说法：（1）在△ABC中，若a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形；（2）若△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2+b2=c2；（3）在△ABC中，若a2+b2=c2，则∠C=90°；（4）直角三角形的两条直角边的长分别为5和12，则斜边上的高为．其中说法正确的有（）．A．4个B．3个C．2个D．1个4．下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的是( )．A．1∶1∶2 B．1∶3∶4C．9∶25∶26 D．25∶144∶1695．已知三角形的三边长为(其中)，则此三角形( )．A．一定是等边三角形 B．一定是等腰三角形C．一定是直角三角形 D．形状无法确定6．三角形的三边长分别为、、（都是正整数），则这个三角形是（）．A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定二.填空题7．若一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形中最短边上的高为______．8．已知两条线段的长分别为11和60，当第三条线段的长为时，这3条线段能组成一个直角三角形（要求三边长均为整数）．9. 已知,则由此为边的三角形是三角形.10．在△ABC中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是_____．11．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60，则它的面积为．12．如图，AB＝5，AC＝3，BC边上的中线AD＝2，则△ABC的面积为______．三.解答题13．已知：如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为CB的四等分点且CE＝，求证：AF⊥FE．14．观察下列各式：，，，，…，你有没有发现其中的规律?请用含的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子．15．在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?。
初二数学下册知识点《勾股定理的逆定理》经典例题和解析
初二数学下册知识点《勾股定理的逆定理》经典例题和解析初二数学下册知识点《勾股定理的逆定理》经典例题及解析副标题题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共73小题，共219.0分）1.如图所示，被纸板遮住的三角形是（）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 以上三种情况都有可能【答案】D【解析】解：从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个锐角．故选D．三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形．本题考查了三角形内角和定理的运用以及图形的识别能力和推理能力，解题的关键是熟记三角形内角和定理．2.如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，将△ABC绕A逆时针方向旋转40°得到△ADE，点B经过的路径为弧BD，是图中阴影部分的面积为（）A. π-6B. πC. π-3D. +π【答案】B【解析】解：∵AB=5，AC=3，BC=4，∴△ABC为直角三角形，由题意得，△AED的面积=△ABC的面积，由图形可知，阴影部分的面积=△AED的面积+扇形ADB的面积-△ABC的面积，∴阴影部分的面积=扇形ADB的面积==π，故选：B．根据AB=5，AC=3，BC=4和勾股定理的逆定理判断三角形的形状，根据旋转的性质得到△AED的面积=△ABC的面积，得到阴影部分的面积=扇形ADB的面积，根据扇形面积公式计算即可．本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质和勾股定理的逆定理，根据图形得到阴影部分的面积=扇形ADB的面积是解题的关键．3.已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，则△ABC是（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】本题考查了因式分解的应用，提取公因式并利用平方差公式分解因式得到a、b、c的关系式是解题的关键.移项并分解因式，然后解方程求出a、b、c的关系，再确定出△ABC的形状即可得解. 【解答】解：移项得，a2c2-b2c2-a4+b4=0，c2（a2-b2）-（a2+b2）（a2-b2）=0，（a2-b2）（c2-a2-b2）=0，所以，a2-b2=0或c2-a2-b2=0，即a=b或a2+b2=c2，因此，△ABC等腰三角形或直角三角形.故选C.4.一个三角形的三边长为15，20，25，则此三角形最大边上的高为( ).A. 10B. 12C. 24D. 48【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了三角形面积，直角三角形的判定，勾股定理及其逆定理，解答此题的关键是根据三角形的三边的长，利用勾股定理逆定理求证该三角形为直角三角形．根据三角形的三边的长，利用勾股定理逆定理求证该三角形为直角三角形，然后根据三角形面积公式得出BD•AC=AB•BC，即可求得答案.【解答】解：已知三角形的三边分别是BC=15，AB=20，AC=25，BD是AC上的高，∵BC=15，AB=20，AC=25，∴AC2=AB2+BC2，∴三角形ABC为直角三角形，∵BD是AC上的高，∴BD•AC=AB•BC，∴BD=12．故选B.5.下列各组数是三角形的三边，能组成直角三角形的一组数是（）A. 2，3，4B. 3，4，5C. 6，8，12D.【答案】B【解析】【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、22+32≠42，故不是直角三角形，故此选项错误；B、42+32=572，故是直角三角形，故此选项正确；初二数学下册知识点《勾股定理的逆定理》经典例题和解析C、62+82≠122，故不是直角三角形，故此选项错误；D、（）2+（）2≠（）2，故不是直角三角形，故此选项错误．故选：B．6.下列以a，b，c为边的三角形，不是直角三角形的是（）A. a＝1，b＝1，B. a＝1，，c＝2C. a＝3，b＝4，c＝5D. a＝2，b＝2，c＝3【答案】D【解析】解：A、∵12+12=（）2，∴该三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；B、∵12+（）2=22，∴该三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；C、∵32+42=52，∴该三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；D、∵22+22≠32，∴该三角形不是直角三角形，故此选项符合题意．故选：D．根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．7.下列给定的三条线段中，不能组成直角三角形的是（）A. 9，12，15B. 0.5，1.2，1.3C. 7，8，9D. 7，24，25【答案】C【解析】解：A、92+122=152，故是直角三角形，故不符合题意；B、（0.5）2+（1.2）2=（1.3）2，故是直角三角形，故不符合题意；C、72+82≠92，故不是直角三角形，故符合题意；D、72+242=252，故是直角三角形，故不符合题意．故选：C．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．8.如图△ABC，BC=6，AC=8，AB=10，则点B到AC的距离是（）A. 6B. 7C. 8D. 10【答案】A【解析】解：∵BC2+AC2=62+82=100，AB2=102=100，∴BC2+AC2=AB2，根据勾股定理逆定理得，△ABC是直角三角形，∠C=90°，所以，点B到AC的距离是6．故选：A．利用勾股定理逆定理判断出△ABC是直角三角形，∠C=90°，再根据点到直线的距离的定义解答．本题考查了勾股定理逆定理，点到直线的距离的定义，熟记定理并判断出三角形是直角三角形是解题的关键．9.如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】解：如图，C1，C2，C3，C4均可与点A和B组成直角三角形，则使△ABC为直角三角形的概率是：．故选：B．由取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的有4种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．此题主要考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．10.如图，方格中的点A，B称为格点（格线的交点），以AB为一边画△ABC，其中是直角三角形的格点C的个数为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是正确作出图形，不要漏掉任何一种情况．以AB为直角边有2个，以AB为斜边有2个，共4个．【解答】解：如图所示：以AB为一边画△ABC，其中是直角三角形的格点C共有4个，故选B．11.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且（a+b）（a-b）=c2，则（）A. ∠A为直角B. ∠C为直角C. ∠B为直角D. 不是直角三角形【答案】A【解析】解：∵（a+b）（a-b）=c2，∴a2-b2=c2，即c2+b2=a2，故此三角形是直角三角形，a为直角三角形的斜边，初二数学下册知识点《勾股定理的逆定理》经典例题和解析∴∠A为直角．故选：A．先把等式化为a2-b2=c2的形式，再根据勾股定理的逆定理判断出此三角形的形状，进而可得出结论．本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．12.如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形ABC，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：A、三角形各边长为、、，（）2+（）2＜（）2，故该三角形不是直角三角形；B、由图可知该三角形为直角三角形；C、各边长、、，（）2+（）2=（）2，故该三角形为直角三角形；D、各边长、2、5，（）2+（2）2=（5）2，故该三角形为直角三角形．故选：A．由图可知B为直角三角形,分别求A、C、D三个选项中各边长，根据勾股定理的逆定理可以判定C、D中三角形为直角三角形，A不是直角三角形，即可解题．本题中考查了勾股定理的逆定理判定直角三角形，勾股定理在直角三角形中的运用，本题中求证B、C、D选项中三角形是直角三角形是解题的关键．13.下列条件：①∠A+∠B=∠C，②∠C=90°，③AC：BC：AB=3：4：5，④∠A：∠B：∠C=3：4：5．⑤a2=（b+c）（b-c）中，能确定△ABC是直角三角形的有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】C【解析】解：①∠A+∠B=∠C时，∠C=90°，是直角三角形；②∠C=90°，是直角三角形；③AC：BC：AB=3：4：5，∴32+42=52，是直角三角形；④∠A：∠B：∠C=3：4：5时，∠C=180°×＜90°，是锐角三角形；⑤a2=（b+c）（b-c），a2=b2-c2，是直角三角形．故能确定△ABC是直角三角形的有4个．故选：C．分别求出最大的角的度数，然后根据直角三角形的定义和勾股定理的逆定理解答．本题考查了直角三角形的性质，关键是掌握勾股定理，以及三角形内角和定理．14.以下各组线段为边不能组成直角三角形的是（）A. 3，4，5B. 6，8，10C. 5，12，13D. 8，15，20【答案】D【解析】解：A、∵32+42=52，∴能构成直角三角形，故本选项错误；B、∵62+82=102，∴能构成直角三角形，故本选项错误；C、∵52+122=132，∴能构成直角三角形，故本选项错误；D、∵82+152≠202，∴不能构成直角三角形，故本选项正确．故选：D．根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一判断即可．本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．15.满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A. b2=c2-a2B. a：b：c=3：4：5C. ∠C=∠A-∠BD. ∠A：∠B：∠C=3：4：5【答案】D【解析】解：A、b2=c2-a2，a2+b2=c2，故能组成直角三角形，不符合题意；B、32+42=52，故能组成直角三角形，不符合题意；C、∠C=∠A-∠B，∠A=∠B+∠C，故能组成直角三角形，不符合题意；D、∠A：∠B：∠C=3：4：5，∠C=180°×=75°，故不能组成直角三角形，符合题意．故选：D．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．16.三角形的三边长a，b，c满足(a+b)2—c2 =2ab,则此三角形是( )A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形【答案】A【解析】【分析】本题考查勾股定理的逆定理，若是两边的平方和等于另一个边的平方，那么这个三角形是直角三角形．因为a、b、c，为三角形的三边长，可化简：（a+b）2-c2=2ab，得到结论．【解答】解：∵（a+b）2-c2=2ab，∴a2+2ab+b2-c2=2ab ,∴a2+b2=c2．所以为直角三角形.故选A.17.下面的三角形中：①△ABC中，∠C=∠A-∠B；②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3；③△ABC中，a：b：c=5：12：13；④△ABC中，三边长分别为，其中，直角三角形的个数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】解：①△ABC中，∠C=∠A-∠B，即∠C+∠B=∠A，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=90°，∴△ABC是直角三角形，故①正确；②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，∵∠A+∠B+∠C=180°，初二数学下册知识点《勾股定理的逆定理》经典例题和解析∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形，故②正确；③∵△ABC中，a：b：c=5：12：13，∴a2+b2=c2，即△ABC是直角三角形，故③正确；④∵△ABC中，三边长分别为，∴（）2+（）2≠（）2，即△ABC不是直角三角形，故④错误；即正确的个数是3个，故选：C．根据三角形内角和定理即可判断②；根据勾股定理的逆定理即可判断③④．本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键．18.如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了三角形的面积以及勾股定理的逆定理，关键在于正确的表示出斜边、直角边的长度，熟练运用勾股定理的逆定理进行分析．过C作CD⊥AB于D，依据AB=6，AC=8，可得CD≤8，进而得到当CD与AC重合时，CD最长为8，此时，∠BAC=90°，△ABC 的面积最大．【解答】解：如图，过C作CD⊥AB于D，∵AB=6，AC=8，∴CD≤8，∴当CD与AC重合时，CD最长为8，此时，∠BAC=90°，△ABC的面积最大，∴BC==10，∴四个三角形中面积最大的三角形的三边长分别为6，8，10，故选C．19.四根小木棒的长分别为5cm，8cm，12cm，13cm，任选三根组成三角形，其中是直角三角形的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【解析】解：∵四根小木棒的长分别为5cm，8cm，12cm，13cm，∴可以组成三角形的有：5cm、8cm、12cm；5cm、12cm、13cm；8cm、12cm、13cm．要组成直角三角形，根据勾股定理两边的平方和等于第三边的平方，则只有5cm、12cm、13cm的一组．∴有1个直角三角形．故选：A．要组成三角形，由三角形的边长关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．根据直角三角形的性质，两个直角边的平方和等于斜边的平方，从四个数中可以得出5cm、12cm、13cm可以满足要求，其中5cm、12cm为直角边，13cm为斜边．本题考查了勾股定理逆定理的运用以及三角形的三边关系，两边的平方和等于第三边的平方．属于比较简单的题目．20.下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（）A. 1，2，2B. 1，1，C. 4，5，6D. 1，，2【答案】D【解析】【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．解答此题根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可.【解答】解：A.∵12+22=5≠22，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项错误；B.∵12+12=2≠（）2，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项错误；C.∵42+52=41≠62，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项错误；D.∵12+（）2=4=22，∴此组数据能作为直角三角形的三边长，故本选项正确．故选D.21.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则满足下列条件但不是直角三角形的是（）A. a2-c2=b2B. a=n2-1，b=2n，c=n2+1 （n＞1）C. ∠A：∠B：∠C=3：4：5D. ∠A=∠B=∠C【答案】C【解析】解：A、a2-c2=b2，那么a2=b2+c2，故△ABC是直角三角形；故不符合题意；B、∵a2+b2=（n2-1）2+（2n）2=（n2+1）2=c2，故△ABC是直角三角形；故不符合题意；C、∠A：∠B：∠C=3：4：5，故△ABC不是直角三角形；故符合题意；D、∵∠A=∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A+∠A+2∠A=180°，∴∠A=45°，初二数学下册知识点《勾股定理的逆定理》经典例题和解析∴∠C=90°，故△ABC是直角三角形；故不符合题意；故选：C．运用直角三角形的判定方法，当一个角是直角时，或两边的平方和等于第三条边的平方，也可得出它是直角三角形．分别判定即可．此题主要考查了直角三角形的判定方法，勾股定理逆定理的实际运用，灵活的应用此定理是解决问题的关键．22.以a，b，c为边的三角形是直角三角形的是（）A. a=2，b=3，c=4B. a=1，b=，c=2C. a=4，b=5，c=6D. a=2，b=2，c=【答案】B【解析】解：A、32+22≠42，故不是直角三角形，故本选项不符合题意；B、12+（）2=22，故是直角三角形，故本选项符合题意；C、42+52≠62，故不是直角三角形，故本选项不符合题意；D、22+22≠（）2，故不是直角三角形，故本选项不符合题意．故选：B．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．本题考查了勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理的逆定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．23.如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，连接AB，BC，CA，则∠ACB的度数为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°【答案】B【解析】解：根据勾股定理可以得到：AC=AB=，BC=，∵，即AC2+AB2=BC2，∴△ABC是等腰直角三角形．∴∠ACB=45°．故选：B．分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，继而可得出∠ABC 的度数．本题考查了勾股定理，判断△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键，注意在格点三角形中利用勾股定理．24.满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了直角三角形的性质，主要利用了三角形的内角和定理，勾股定理逆定理．根据三角形的内角和定理和勾股定理逆定理对各选项分析判断利用排除法求解.【解答】解：A.∵a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理∠C=90°，是直角三角形，故本选项错误；B.∵（3k）2+（4k）2=25k2=（5k）2，∴△ABC是直角三角形，故本选项错误；C.∵∠C=∠A-∠B，∴∠C+∠B=∠A，∴∠A=90°，是直角三角形，故本选项错误；D.∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴最大的角∠C=180°×＜90°，是锐角三角形，故本选项正确.故选D.25.下列给定的三条线段中，不能组成直角三角形的是（）A. 9，12，15B. ，，C. 7，8，9D. 7，24，25【答案】C【解析】【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可.【解答】解：A.92+122=152，故是直角三角形，故不符合题意；B.（0.5）2+（1.2）2=（1.3）2，故是直角三角形，故不符合题意；C.72+82≠92，故不是直角三角形，故符合题意；D.72+242=252，故是直角三角形，故不符合题意.故选C.26.若△ABC的三边长a，b，c满足（a -b）（b-c）＝0 ，则△ABC是（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 等腰或等边三角形【答案】D【解析】【分析】此题主要考查等腰三角形的判断.根据（a-b）（b-c）=0，可知三边关系，即可判断结果. 【解答】解：∵a，b，c是△ABC的三边长，又∵（a-b）（b-c）=0，∴a=b或者b=c或者a=b=c，所以三角形是等腰三角形或等边三角形 .故选D.27.五根小木棒，其长度分别为，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是( )初二数学下册知识点《勾股定理的逆定理》经典例题和解析A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可.【解答】解：A：152+202≠242，72+242=252，故A错误；B：72+242=252，152+202≠242，故B错误；C：72+242=252，152+202=252，故C正确；D：72+202≠252，152+242≠252，故D错误.故选C.28.满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了直角三角形的判定及勾股定理的逆定理，掌握直角三角形的判定及勾股定理的逆定理是解题的关键．依据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理以及直角三角形的性质，即可得到结论．【解答】解：A.由b2-a2=c2得b2=a2+c2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；B.由a：b：c=3：4：5得c2=a2+b2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；C.由三角形三个角度数和是180°及∠C=∠A-∠B解得∠A=90°，故是直角三角形；D.由∠A：∠B：∠C=3：4：5，及∠A+∠B+∠C=180°得∠C=75°≠90°，故不是直角三角形．故选D．29.如图，在△ABC中，AB=10，AC=6，BC=8，将△ABC折叠，使点C落在AB边上的点E处，AD是折痕，则△BDE的周长为（）A. 6B. 8C. 12D. 14【答案】C【解析】解：在Rt△ABC中，∵AC=6，BC=8，∠C=90°，∴AB==10，由翻折的性质可知：AE=AC=6，CD=DE，∴BE=4，∴△BDE的周长=DE+BD+BE=CD+BD+E=BC+BE=8+4=12，故选：C．利用勾股定理求出AB=10，利用翻折不变性可得AE=AC=6，推出BE=4即可解决问题．本题考查翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．30.下列各组数不能构成直角三角形的是A. 12，5，13B. 40，9，41C. 7，24，25D. 10，20，16【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理的运用，判断三条线段能否构成直角三角形，只需看两条短边的平方和是否等于长边的平方，如果等就是直角三角形，不等就不是直角三角形，解答此题根据勾股定理的逆定理进行判断即可.【解答】解：A.∵52+122=132，∴能构成直角三角形；B.∵402+92=412，∴能构成直角三角形；C.∵72+242=252，∴能构成直角三角形；D.∵102+162≠202，∴不能构成直角三角形．故选D.31.以下列各组线段为边作三角形，能构成直角三角形的是（）A. 2，3，4B. 4，4，6C. 6，8，10D. 7，12，13【答案】C【解析】解：A、22+32=13≠42，不能构成直角三角形，故本选项错误；B、42+42=32≠62，不能构成直角三角形，故本选项错误；C、62+82=100=102，能构成直角三角形，故本选项正确；D、122+72=193≠132，不能构成直角三角形，故本选项错误；故选：C．只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可判断是直角三角形．本题考查勾股定理的逆定理的应用，判断三角形是否为直角三角形只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．32.有四条线段，长度分别是4，6，8，10，从中任取三条能构成直角三角形的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：所有的情况有：4，6，8；4，6，10；4，8，10；6，8，10，共4种，其中能构成三角形的有：4，6，8；6，8，10；4，8，10，共3种，所以从中任取三条能构成直角三角形的概率是；故选：D．找出四条线段任取三条的所有等可能的情况数，找出能构成三角形的情况，即可求出所初二数学下册知识点《勾股定理的逆定理》经典例题和解析求的概率．此题考查了列表法与树状图法，以及三角形的三边关系，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．33.若△ABC三边分别是a，b，c，且满足(b－c)(a2＋b2)＝bc2－c3，则△ABC是( )A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰或直角三角形【答案】D【解析】略34.下列选项中，不能判断△ABC为直角三角形的是（）A. ∠A+∠B=∠CB. A：∠B：∠C=1：2：3C. ∠A=∠B=2∠CD. AB2+BC2=AC2【答案】C【解析】解：A、正确，因为∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，故为直角三角形；B、因为∠A：∠B：∠C=1：2：3，所以设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，故x+2x+3x=180°，解得x=30°，3x=30°×3=90°，故为直角三角形；C、因为∠A=∠B=2∠C，∠A+∠B+∠C=180°，则∠A=∠B=72°，∠C=36°，故此三角形是锐角三角形，错误；D、因为AB2+BC2=AC2，故为直角三角形；故选：C．A、根据三角形的内角和为180度，即可计算出∠C的值；B、根据角的比值求出各角的度数，便可判断出三角形的形状；C、根据三角形的内角和为180度，即可计算出∠A、∠B、∠C的值；D、根据勾股定理的逆定理进行判定即可．此题考查了解直角三角形的相关知识，根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理结合解方程是解题的关键．35.在下列条件中：，，，④,⑤中，能确定是直角三角形的条件有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D【解析】【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，能求出每种情况的最大角的度数是解此题的关键，题目比较好，难度适中．根据三角形的内角和定理得出∠A+∠B+∠C=180°，再根据已知的条件逐个求出∠C的度数，即可得出答案．【解答】解：①∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠C=180°，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形，故①正确；②∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=×180°=90°，∴△ABC是直角三角形，故②正确；③∵∠A=90°-∠B，∴∠A+∠B=90°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形，故③正确；④∵∠A=∠B=∠C，设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，∴x+2x+3x=180°，∴x=30º，3x=90º，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形，故④正确，⑤∵∠A=∠B=2∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴5∠C=180°∴∠C=36°∴∠A=∠B=72°∴△ABC不是直角三角形，∴⑤错误.综上所述①②③④4个全部符合题意．故选D．36.在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，③∠A=900－∠B，④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】略37.下列说法中：①如果∠A+∠B﹣∠C＝0，那么△ABC是直角三角形；②如果∠A：∠B：∠C＝5：12：13，则△ABC是直角三角形；③如果三角形三边之比为，则△ABC为直角三角形；④如果三角形三边长分别是n2﹣4、4n、n2+4（n＞2），则△ABC是直角三角形.其中正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】本题考查了直角三角形的判定，勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理.利用三角形内角和定理和勾股定理逆定理逐项进行判断，从而得到答案．【解答】解：①符合题意，由三角形内角和定理可求出∠C为90度；初二数学下册知识点《勾股定理的逆定理》经典例题和解析②不符合题意，根据三角形的内角和定理可以求出三角形的三个内角分别为30°，72°，78°，不是直角三角形；③符合题意，设三边分别为x，x，x，则有7x2+10x2=17x2，则△ABC为直角三角形；④符合题意，因为，则△ABC是直角三角形．所以正确的有①③④．故选C．38.如图，四边形ABCD中，AB=4cm，BC=3cm，CD=12cm，DA=13cm，且∠ABC=90°，则四边形ABCD的面积为（）A. 6cm2B. 30cm2C. 24cm2D. 36cm2【答案】C【解析】解：连接AC，∵∠ABC=90°，AB=4cm，BC=3cm，∴AC=5cm，∵CD=12cm，DA=13cm，AC2+CD2=52+122=169=132=DA2，∴△ADC为直角三角形，∴S四边形ABCD=S△ACD-S△ABC=AC×CD-AB×BC=×5×12-×4×3=30-6=24（cm2）．故四边形ABCD的面积为24cm2．故选：C．连接AC，在Rt△ADC中，已知AB，BC的长，运用勾股定理可求出AC的长，在△ADC 中，已知三边长，运用勾股定理逆定理，可得此三角形为直角三角形，故四边形ABCD 的面积为Rt△ACD与Rt△ABC的面积之差．本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，判断出△ACD的形状是解答此题的关键．39.王老师给出了下列三条线段的长度，其中能首尾相接构成直角三角形的是（）A. 1，2，3B.C. 6，8，9D. 5，12，13【答案】D【解析】解：A、由22+12=5≠32，故本选项错误；B、由（）2+（）2=7≠（）2，故本选项错误；C、由62+82=100≠92，故本选项错误；D、由52+122=169=132，故本项正确．故选：D．根据三边的长，运用勾股定理的逆定理进行分析解答即可．本题主要考查勾股定理的逆定理，关键在于正确的表示出斜边、直角边的长度，熟练运用勾股定理的逆定理进行分析．40.图中三角形的个数是( )A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C【解析】【分析】本题考查了三角形的定义,根据图形找出其中三角形即可得结果.【解答】解：图中三角形有ΔABF、ΔADF、ΔCDF、ΔAEC、ΔACD、ΔABD、ΔAED、ΔBDE，共8个.故选C.41.在下列几组数中，能作为直角三角形三边的是（）.A. 0.9，1.6，2.5B. ，，C. 32，42，52D. ，，【答案】D【解析】解：A、0.92+1.62≠2.52，不符合勾股定理的逆定理，故选项错误；B、（）2+（）2≠（）2，不符合勾股定理的逆定理，故选项错误；C、（32）2+（42）2≠（52）2，不符合勾股定理的逆定理，故选项错误；D、（）2+（）2=（）2，符合勾股定理的逆定理，故选项正确．故选D．根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．42.给出下列四个说法：①由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形不是直角三角形；②由于以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数；③若a，b，c是勾股数，且c最大，则一定有a2+b2=c2；④若三个整数a，b，c是直角三角形的三边长，则2a，2b，2c一定是勾股数，其中正确的是（）A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④【答案】C【解析】【分析】此题考查了勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．注意：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2=c2，但是它们不是正整数，所以初二数学下册知识点《勾股定理的逆定理》经典例题和解析它们不是勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到的三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…．欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【解答】解：①由于0.32+0.42=0.52，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形是直角三角形，但是0.3，0.4，0.5不是整数，所以0.3，0.4，0.5不是勾股数，故①说法错误；②虽然以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，但是0.5，1.2，1.3不是整数，所以0.5，1.2，1.3不是勾股数，故②说法错误；③若a，b，c是勾股数，且c最大，则一定有a2+b2=c2，故③说法正确；④若三个整数a，b，c是直角三角形的三边长，则2a，2b，2c一定是勾股数，故④说法正确．故选：C．43.已知△ABC，三边长AB=8cm，AC=6cm，BC=10cm，则最长边上的高是（）A. 48cmB. 4.8cmC. 0.48cmD. 5cm【答案】B【解析】【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形的面积，是基础知识要熟练掌握．勾股的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形. 首先根据勾股定理的逆定理得出斜边为AB，再利用“面积法”来求AB边上的高.【解答】解：∵Rt△ABC的三边AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，∴AB2=AC2+BC2，∠C=90°，，∴AB边上的高.故选B.44.线段BC上有3个点P1、P2、P3，线段BC外有一点A，把A和B、P1、P2、P3、C连接起来，可以得到的三角形个数为()A. 8个B. 10个C. 12个D. 20个【答案】B【解析】解：从5个点中，任意选2个点组合，显然有10种情况．故选B．45.将下列各组数据中的三个数作为三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是( )。
勾股定理和勾股定理逆定理的经典例题精讲(辅导班、提高班)
勾股定理和勾股定理逆定理的经典例题精讲一题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长。
解析：直接应用勾股定理222a b c +=解：题型二：利用勾股定理测量长度例题1 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？解析：这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。
把实物模型转化为数学模型后，.已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理！例题2 如图（8），水池中离岸边D 点1.5米的C 处，直立长着一根芦苇，出水部分BC 的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点，并求水池的深度AC. 解析：同例题1一样，先将实物模型转化为数学模型，如图2. 由题意可知△ACD 中,∠ACD=90°,在Rt △ACD 中，只知道CD=1.5，这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。
解：题型三：勾股定理和逆定理并用例题3 如图3，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上一点， 且AB FB 41=那么△DEF 是直角三角形吗？为什么？ 解析：这道题把很多条件都隐藏了，乍一看有点摸不着头脑。
仔细读题会意可以发现规律，没有任何条件，我们也可以开创条件，由AB FB 41=可以设AB=4a ，那么BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a,那么在Rt △AFD 、Rt △BEF 和 Rt △CDE 中，分别利用勾股定理求出DF,EF 和DE 的长，反过来再利用勾股定理逆定理去判断△DEF 是否是直角三角形。
详细解题步骤如下：解：.注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。
题型四：利用勾股定理求线段长度例题4 如图4，已知长方形ABCD 中AB=8cm,BC=10cm,在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长.解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。
勾股定理的逆定理(基础)知识讲解
勾股定理的逆定理（基础）责编：杜少波【学习目标】1.理解勾股定理的逆定理，并能与勾股定理相差别；2.能运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形；3.理解勾股数的含义；4.经过探究直角三角形的判断条件的过程，培育着手操作能力和逻辑推理能力.【重点梳理】【高清讲堂勾股定理逆定理知识重点】重点一、勾股定理的逆定理假如三角形的三条边长a，b，c ，知足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形.重点解说：（ 1）勾股定理的逆定理的作用是判断某一个三角形是不是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是经过计算来判断一个三角形能否为直角三角形 .重点二、怎样判断一个三角形是不是直角三角形（ 1）第一确立最大边（如 c ）.（ 2）考证c2与a2b2能否拥有相等关系. 若c2a2b2，则△ABC是∠ C＝ 90°的直角三角形；若c2a2b2，则△ABC不是直角三角.形重点解说：当 a2b2c2时，此三角形为钝角三角形；当a2b2c2时，此三角形为锐角三角形，此中 c 为三角形的最大边.重点三、勾股数知足不定方程x2y2z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），明显，以 x、y、 z 为三边长的三角形必定是直角三角形.熟习以下勾股数，对解题会很有帮助：①3、 4、 5；② 5、 12、 13；③ 8、 15、 17；④ 7、24、 25；⑤ 9、 40、41假如 a、b、 c 是勾股数，当 t 为正整数时，以 at、bt、 ct 为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形 .重点解说：（ 1）n21，2n， n2 1 （ n1, n 是自然数）是直角三角形的三条边长；（ 2）2n22n, 2n1, 2n22n 1（ n≥ 1，n是自然数）是直角三角形的三条边长；（ 3）m2n2 , m2n2 , 2mn（ m n, m、n 是自然数）是直角三角形的三条边长；【典型例题】种类一、勾股定理的逆定理1、判断由线段 a ， b ，c 构成的三角形是不是直角三角形．（ 1） a ＝ 7， b ＝ 24， c ＝ 25；（ 2） a ＝ 4 ， b ＝ 1， c ＝ 3；34（ 3） am 2n 2 ， bm 2 n 2 ， c 2mn ( mn 0 ) ；【思路点拨】 判断三条线段可否构成直角三角形， 重点是运用勾股定理的逆定理： 看较短的两条线段的平方和能否等于最长线段的平方． 假如，则为直角三角形， 反之， 则不是直角三角形．【答案与分析】解：（ 1）∵ a 2b 2 72 242 625 ，c 2 252 625 ，∴a 2b 2c 2 ．∴ 由线段 a ， b ，c 构成的三角形是直角三角形．29 25 ， a 2216 ，（ 2）∵ ab c ， b 2c 2123 1 4416 1639∴ b 2 c 2a 2 ．∴由线段 a ，b ，c 构成的三角形不是直角三角形．（ 3）∵m n 0 ，∴ m 2 n 2 2mn ， m 2n 2 m 2 n 2 ．∵ a 2c 2(m 2 n 2 )2(2mn)2 m 4 2m 2 n 2n 4 4m 2 n 2m 42m 2n 2 n 4 ，b 2 (m 2 n 2 ) 2 m 4 2m 2n 2n 4 ，∴a 2c 2b 2．∴ 由线段 a ，b ，c 构成的三角形是直角三角形．【总结升华】 解此类题的重点是正确地判断哪一条边最大，而后再利用勾股定理的逆定理进行判断，即第一确立最大边，而后考证c 2 与 a 2 b 2 能否拥有相等关系，再依据结果判断是否为直角三角形．贯通融会：【变式】（ 2015 春?安陆市期中）发现以下几组数据能作为三角形的边：（ 1）8，15，17；（ 2）5，12，13；（3） 12，15，20；（ 4）7，24，25．此中能作为直角三角形的三边长的有（）A.1 组B.2组C.3 组D.4组【答案】 C.解：①∵ 82+152=172，∴能构成直角三角形；222②∵ 5 +12 =13 ，∴能构成直角三角形；222③12 +15≠20，∴不可以构成直角三角形；222，∴能构成直角三角形．④7+24 =25应选 C．2、（ 2016 春?丰城市期末）如图，已知四边形CD＝ 12， AD＝ 13，求四边形 ABCD的面积．ABCD中，∠ B＝∠ 90°， AB＝ 3， BC＝ 4，【思路点拨】由 AB＝ 3，BC＝ 4，∠ B＝ 90°，应想到连结AC，则在 Rt △ ABC中即可求出△ ABC 的面积，也可求出线段AC的长．因此在△ACD中，已知AC， AD，CD三边长，判断这个三角形的形状，从而求得这个三角形的面积．【答案与分析】解：连结AC，在△ ABC中，由于∠ B＝ 90°， AB＝ 3，BC＝ 4，因此 AC2AB 2BC 2324291625，因此 AC＝ 5，在△ ACD中， AD＝ 13， DC＝12， AC＝5，因此 DC2AC 25212225144169132AD2，即DC2AC 2AD2．因此△ ACD是直角三角形，且∠ACD＝ 90°．因此S四边形 ABCD S△ABC S△ACD1AB BC 1AC DC1122 51263036．3422【总结升华】相关四边形的问题往常转变为三角形的问题来解，综合观察．此题是勾股定理及逆定理的种类二、勾股定理逆定理的应用3、已知：a, b, c为ABC 的三边且知足a2b2c2338 10a 24b26c ，试判断 ABC 的形状.【答案与分析】解：∵ a 2b 2c 2338 10a 24b 26c∴ a 2 10ab 2 24bc 226c 338 0(a 5) 2(b12)2 (c13)2∴ a5, b 12, c 13， a 2b 2c 2∴△ ABC 是直角三角形 .【总结升华】 此类问题中要判断的三角形一般都是特别三角形， 必定要擅长把题目中已知的条件等式进行变形， 从而获得三角形的三边关系. 对条件等式进行变形常用的方法有配方法，因式分解法等 .贯通融会：【变式】请阅读以下解题过程：已知 a 、b 、 c 为 △ABC 的三边，且知足2 22 2 4 4a c ﹣bc =a ﹣ b ，试判断 △ABC 的形状．解：2 22 24 4第一步 ∵a c ﹣ bc =a ﹣b ，∴c 2（ a 2﹣ b 2）=（ a 2 +b 2）（a 2﹣ b 2），第二步2 2 2，第三步∴c =a +b∴△ ABC 为直角三角形．第四步问：（ 1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误：_________ ；（ 2）错误的原由是：_________ ； （ 3）此题正确的结论是： _________．【答案】解：（ 1）第三步；（ 2）方程两边同时除以（ a 2﹣b 2）时，没有考虑（ a 2﹣ b 2）的值有可能是 0；（ 3）∵ c 2（ a 2﹣ b 2） =（ a 2+b 2）（ a 2﹣ b 2）222 2 2∴ c =a +b 或 a ﹣ b =022∵ a ﹣b =0∴ a+b=0 或 a ﹣ b=0∵ a+b ≠0222∴ c =a +b 或 a ﹣ b=0222∴ c =a +b 或 a=b∴该三角形是直角三角形或等腰三角形．4、（ 2015?秦皇岛校级模拟）如图，铁路 MN 和铁路 PQ 在 P 点处交汇，点A 处是第九十四中学， AP=160米，点 A 到铁路 MN 的距离为 80 米，倘若火车行驶时，四周 100 米之内会遇到噪音影响．（ 1）火车在铁路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校能否会遇到影响？请说明原由．（ 2）假如遇到影响，已知火车的速度是180 千米 / 时那么学校遇到影响的时间是多久？【思路点拨】（1）过点 A 作 AE⊥MN于点 E，由点 A 到铁路 MN的距离为 80 米可知 AE=80m，再由火车行驶时，四周 100 米之内会遇到噪音影响即可直接得出结论；（2）以点 A 为圆心， 100 米为半径画圆，交直线 MN于 BC两点，连结 AB、AC，则 AB=AC=100m，在 Rt △ ABE中利用勾股定理求出 BE的长，从而可得出 BC的长，依据火车的速度是 180 千米/时求出火车经过 BC是所用的时间即可．【答案与分析】解：（ 1）会遇到影响．过点 A 作 AE⊥ MN于点 E，∵点 A 到铁路 MN的距离为80 米，∴AE=80m，∵四周 100 米之内会遇到噪音影响，80＜100，∴学校会遇到影响；（2）以点 A 为圆心，100 米为半径画圆，交直线 MN于 BC两点，连结 AB、AC，则 AB=AC=100m，在 Rt△ ABE中，∵AB=100m， AE=80m，∴ BE===60m，∴BC=2BE=120m，∵火车的速度是180 千米 / 时 =50m/s，∴ t===2.4s ．答：学校遇到影响的时间是 2.4 秒．【总结升华】题观察的是勾股定理的应用，在解答此类题目时要依据题意作出协助线，结构出直角三角形，再利用勾股定理求解．。
(完整版)勾股定理典型例题详解及练习(附答案)
典型例题知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理例1:如图，在单位正方形组成的网格图中标有 AB CD EF 、GH 四条线段, 其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）1） 题意分析：本题考查勾照定理及勾股定理的逆定理./2） 解题思踏；可利用勾照定理直接求出各也长，再进行判断.卜 解答过程：#ai^AEAF 中，AF=h AE=2,根据勾股定理，得。
跻=J 招己'十』十F = 姊同理 = 2思* QH. = 1 CD = 2^5计算发现（右尸十0招”=（雁沪t 即/费+寥=奇,根据 勾股定理的迎定理得到以AE 、EF 、GH 为也的三角形是直角三角形.故选 B. *解题后B0思考、1.勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角形. 因此，解跑时一定要认真分析题目所蛤条件，看是否可用勾股定理来解n ，L 在运用勾股定理时，要正确分析题目所给的条件，不要习惯性地认为 七”就是斜诳而.固执"地运用公式"二/十舛 其实，同样是四"6 NC 不一定就等于叩幻I 不一定就是斜遮，A ABC 不一定就是直角三痢 形.卜A. CD 、EF 、GH C. AB 、CD GHB. AB 、EF 、GHD. AB 、CD EF3.直角三角形的判定条件与勾股定理是互逆的.区别在于勾股定理的运用是一个从"形胡（一个三角形是直角三角形）到板'3’ =疽十瑟）的辿程，而直角三角形的判定是一个从W〔一个三角形的三满是L = ^+广的条件）到胃形'这个三弟形是直急三甬形）的过程.甘1在应用勾股定理解题时，要全面地毒虑问题.注意m题中存在的多种可能性，避免漏解。
/例2-如图'有一块直角三角形舐板幽G两直角边ACMkm, BWg 现博直甬边AC沿直线AD折叠,庾它落在斜辿AB上,且点C落到点E处, 则CD等于（EC 。
A. 2cmB. 3cm C 4an D 5cm*" iiEMraZJ VI :『n暴意分析，本题考查勾股定理的应用，：）解题思路；本题若直接在△XOQ中运用勾股定理是无法求得® ffi 长的，因为只知道一条迫应。
勾股定理逆定理讲义(经典例题+详解+习题)
22+=b c三边长为a90 ADB=︒，AC分析：（1）根据AB=10，BD=6，AD=8，利用勾股定理的逆定理求证△ABD是直角三角形，再利用勾股定理求出CD的长，然后利用三角形面积公式即可得出答案．（2）本题应分两种情况进行讨论：①当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出；②当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相减即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出．解：（1）∵BD2+AD2=62+82=102=AB2，∴△ABD是直角三角形，∴AD⊥BC，在Rt△ACD中，CD=15，（2）分两种情况：①当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，BD=9，在Rt△ACD中，CD=5，∴BC=5+9=14∴△ABC的周长为：15+13+14=42；②当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD中，BD=9，在Rt△ACD中，CD=4，∴BC=9-5=4．∴△ABC的周长为：15+13+4=32∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32例6：如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC=14BC，求证：AF⊥EF．思路点拨：要证AF⊥EF，需证△AEF是直角三角形，由勾股定理的逆定性，只要证出AF2+EF2=AF2就可以了．基础练习：若△ABC的三边a，b，c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判定△ABC的形状．B A图33220BAA ．∠A ＝∠B －∠C B ．∠A ：∠B ：∠C ＝1：1：2 C ．a ：b ：c ＝4：5：6D ．a 2－c 2＝b26、已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足2(6)8100a b c -+-+-=，则三角形的形状是（ ）A.底与边不相等的等腰三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.直角三角形二、填空题7．若一三角形三边长分别为5、12、13，则这个三角形长是13的边上的高是 .8．若一三角形铁皮余料的三边长为12cm ，16cm ，20cm ，则这块三角形铁皮余料的面积为 cm 2.9.木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm ，宽为60cm ，对角线为100cm ，则这个桌面 （填“合格”或“不合格”）； 10.如图1，一根电线杆高8m.为了安全起见，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离6m 处加一拉线.拉线工人发现所用线长为10.2m （不计捆缚部分），则电线杆与地面 （填“垂直”或“不垂直”）11．一透明的玻璃杯，从内部测得底部半径为6cm ，杯深16cm.今有一根长为22cm 的吸管如图2放入杯中，露在杯口外的长度为2cm ，则这玻璃杯的形状是 体.12.写出一组全是偶数的勾股数是 .13.如图3：是一个高12cm ，底面半径3cm 的圆柱，在圆柱下底的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A 点相对的B 点处的食物，需要沿圆柱侧面爬行的最短路程是____________。
人教版 八年级数学 勾股定理逆定理讲义 (含解析)
第17讲勾股定理逆定理知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初二，基础一般；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习勾股定理的逆定理。
它是初中几何中及其重要的一个定理，是今后判断某三角形是直角三角形的证明方法之一，有着广泛的应用，同时在应用中渗透了利用代数计算的方法证明几何问题的思想，因此本节内容至关重要。
知识梳理讲解用时：20分钟勾股定理逆定理1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2.2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2＋b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角.勾股定理与勾股定理逆定理是互逆的关系3.定理：经过证明被确认正确的命题叫做定理.4.我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.（例：勾股定理与勾股定理逆定理）5.勾股数：勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数.熟记几组常见的勾股数：（3，4，5）、（6，8，10）、（5，12，13）（7，24，25）、（9、40、41）等等.注意：一组勾股数同时扩大或缩小相应的倍数，仍满足勾股定理的逆定理.课堂精讲精练【例题1】在以下列三个数为边长的三角形中，不能组成直角三角形的是（）A．4、7、9 B．5、12、13 C．6、8、10 D．7、24、25【答案】A【解析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．解：A、42+72≠92，故不是直角三角形，故此选项符合题意；B、52+122=132，故是直角三角形，故此选项不符合题意；C、82+62=102，故是直角三角形，故此选项不符合题意；D、72+242=252，故是直角三角形，故此选项不符合题意．故选：A．讲解用时：2分钟解题思路：本题考查勾股定理的逆定理．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．教学建议：掌握勾股定理的逆定理，只要满足最长的边的平方等于另外两边的平方和即可.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习1.1】满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．b2﹣c2=a2 B．a：b：c=3：4：5C．∠A：∠B：∠C=9：12：15 D．∠C=∠A﹣∠B【答案】C【解析】依据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理以及直角三角形的性质，即可得到结论．解：A、由b2﹣a2=c2得b2=a2+c2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；B、由a：b：c=3：4：5得c2=a2+b2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；C、由∠A：∠B：∠C=9：12：15，及∠A+∠B+∠C=180°得∠C=75°≠90°，故不是直角三角形．D、由三角形三个角度数和是180°及∠C=∠A﹣∠B解得∠A=90°，故是直角三角形；故选：C．讲解用时：2分钟解题思路：本题考查了直角三角形的判定及勾股定理的逆定理，掌握直角三角形的判定及勾股定理的逆定理是解题的关键．教学建议：通过勾股定理逆定理或者三角形内角和判断出直角即可.难度： 2 适应场景：当堂练习例题来源：金堂县期末年份：2017【练习1.2】下列各组数中，是勾股数的为（）A．1，1，2 B．1.5，2，2.5 C．7，24，25 D．6，12，13【答案】C【解析】根据勾股定理的逆定理分别对各组数据进行检验即可．解：A、∵12+12≠22，∴不是勾股数，此选项错误；B、1.5和2.5不是整数，此选项错误；C、∵72+242=252，∴是勾股数，此选项正确；D、∵62+122≠132，∴不是勾股数，此选项错误．故选：C．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了勾股数，说明：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2=c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…教学建议：熟记基本的勾股数同时扩大或缩小相应的倍数仍然满足勾股定理的逆定理.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2017【例题2】已知三角形三边长分别是6，8，10，则此三角形的面积为．【答案】24【解析】根据三角形三边长，利用勾股定理逆定理求证此三角形是直角三角形，然后即可求得面积．解：∵62+82=102，∴此三角形为直角三角形，∴此三角形的面积为：×6×8=24．故答案为：24．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查学生对勾股定理逆定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用勾股定理逆定理求证此三角形是直角三角形．教学建议：通过勾股定理逆定理判断出直角三角形，然后求面积.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：牡丹区期末年份：2017【练习2.1】三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形的形状是三角形．【答案】直角【解析】根据题目中的式子和勾股定理的逆定理可以解答本题．解：∵2ab=（a+b）2﹣c2，∴2ab=a2+2ab+b2﹣c2，∴a2+b2=c2，∵三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，∴此三角形是直角三角形，故答案为：直角．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查勾股定理的逆定理、完全平方公式，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．教学建议：化简之后通过勾股定理的逆定理证明直角.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题3】探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…可发现，4=，12=，24=…请写出第5个数组：．【答案】11，60，61【解析】先找出每组勾股数与其组数的关系，找出规律，再根据此规律进行解答．解：∵①3=2×1+1，4=2×12+2×1，5=2×12+2×1+1；②5=2×2+1，12=2×22+2×2，13=2×22+2×2+1；③7=2×3+1，24=2×32+2×3，25=2×32+2×3+1；④9=2×4+1，40=2×42+2×4，41=2×42+2×4+1；⑤11=2×5+1，60=2×52+2×5，61=2×52+2×5+1，故答案为：11，60，61．讲解用时：4分钟解题思路：本题考查的是勾股数，根据所给的每组勾股数找出各数与组数的规律是解答此题的关键．教学建议：学会探索勾股数的规律.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：永城市期中年份：2017【练习3.1】若8，a，17是一组勾股数，则a= ．【答案】【解析】分a为最长边，17为最长边两种情况讨论，根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．解：①a为最长边，a=，不是正整数，不符合题意；②17为最长边，a==15，三边是整数，能构成勾股数，符合题意．故答案为：15．讲解用时：3分钟解题思路：考查了勾股数的定义，解答此题要用到勾股数的定义及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．教学建议：本题要分两种情况考虑，熟记勾股数都是正整数.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：通州区校级期中年份：2017【例题4】如图，△ABC的三个顶点在正方形网格的格点上，网格中的每个小正方形的边长均为单位1．（1）求证：△ABC为直角三角形；（2）求点B到AC的距离．【答案】（1）△ABC为直角三角形；（2）【解析】（1）根据勾股定理以及逆定理解答即可；（2）根据三角形的面积公式解答即可．解：（1）由勾股定理得，AB=，BC=2，AC=AB2+BC2=65=AC2△ABC为直角三角形；（2）作高BD，由得，解得，BD=点B到AC的距离为．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查勾股定理问题，关键是根据勾股定理以及逆定理解答．教学建议：熟练掌握并应用勾股定理的逆定理.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习4.1】计算图中四边形ABCD的面积．【答案】246【解析】首先利用勾股定理求出BD的长，再利用勾股定理的逆定理证明三角形BDC是直角三角形，最后利用三角形的面积公式求出答案．解：∵∠A=90°，∴BD2=AD2+AB2=400，∴BD2+CD2=625=BC2，∴△BCD为直角三角形，∴S四边形ABCD=AD•AB+CD•BD=246．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了勾股定理的逆定理以及勾股定理的知识，解题的关键是证明△BCD为直角三角形，此题难度不大．教学建议：灵活应用勾股定理和勾股定理逆定理.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：阜宁县期末年份：2017【例题5】如图，已知在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=2cm，AD=cm，CD=5cm，BC=4cm，求四边形ABCD的面积．【答案】+6【解析】连接BD，根据勾股定理求得BD的长，再根据勾股定理的逆定理证明△BCD是直角三角形，则四边形ABCD的面积是两个直角三角形的面积和．解：连接BD．∵∠A=90°，AB=2cm，AD=，∴根据勾股定理可得BD=3，又∵CD=5，BC=4，∴CD2=BC2+BD2，∴△BCD是直角三角形，∴∠CBD=90°，∴S四边形ABCD =S△ABD+S△BCD=AB•AD+BC•BD=×2×+×4×3=+6（cm2）．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，辅助线的作法是关键．解题时注意：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．教学建议：灵活应用勾股定理和勾股定理逆定理.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习5.1】如图，四边形ABCD中，AB=AD=2，BC=3，CD=1，∠A=90°，求四边形ABCD的面积．【答案】2+【解析】首先在Rt△BAD中，利用勾股定理求出BD的长，再根据勾股定理逆定理在△BCD中，证明△BCD是直角三角形，再根据四边形ABCD的面积=三角形BAD的面积+三角形BDC的面积即可求出答案．解：连接BD，在Rt△BAD中，∵AB=AD=2，∴BD==2，在△BCD中，DB2+CD2=（2）2+12=9=CB2，∴△BCD是直角三角形，∴∠BDC=90°，∴四边形ABCD的面积=三角形BAD的面积+三角形BDC的面积=2×2÷2+1×2÷2=2+．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解本题的关键．教学建议：灵活应用勾股定理和勾股定理逆定理.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题6】如图，AD是△ABC的中线，AD=12，AB=13，BC=10，求AC长．【答案】13【解析】首先利用勾股定理逆定理证明∠ADB=90°，再利用勾股定理计算出AC 的长即可．解：∵AD是△ABC的中线，且BC=10，∴BD=BC=5．∵52+122=132，即BD2+AD2=AB2，∴△ABD是直角三角形，则AD⊥BC，又∵CD=BD，∴AC=AB=13．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了勾股定理，以及勾股定理逆定理，根据题意证明∠ADB=90°是解决问题的关键．教学建议：熟练运用并掌握勾股定理及其逆定理.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：滨海县期末年份：2017【练习6.1】如图，有一块耕地ACBD，已知AD=24m，BD=26m，AC⊥BC，且AC=6m，BC=8m．求这块耕地的面积．【答案】96m2【解析】连接AB，先根据勾股定理求出AB的长，再由勾股定理的逆定理，判断出△ABD的形状，根据S四边形ADBC =S△ABD﹣S△ABC即可得出结论．解：连接AB，∵AC⊥BC，AC=6m，BC=8m，∴Rt△ABC中，AB==10m，∵AD=24m，BD=26m，∴AD2=242=576，BD2=262=676，AB2=102=100，∴AB2+AD2=BD2，∴△ABD是直角三角形，∴S四边形ADBC =S△ABD﹣S△ABC=AB•AD﹣AC•BC=×10×24﹣×8×6=120﹣24=96m2．答：这块土地的面积是96m2．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查的是勾股定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．教学建议：熟练运用并掌握勾股定理及其逆定理.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习6.2】如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．若一只小鸟从一棵树的树梢A飞到另一棵树的树梢B，小鸟至少需飞行多少米？【答案】10【解析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．解：如图，设大树高为AB=10m，小树高为CD=4m，过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，∴EB=4m，EC=8m，AE=AB﹣EB=10﹣4=6m，在Rt△AEC中，AC==10m，故小鸟至少飞行10m．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．教学建议：将实际问题转化为具体的几何问题，通过勾股定理进行计算.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：高安市期中年份：2018【例题7】如图，小明的家位于一条南北走向的河流MN的东侧A处，某一天小明从家出发沿南偏西30°方向走60m到达河边B处取水，然后沿另一方向走80m到达菜地C 处浇水，最后沿第三方向走100m回到家A处．问小明在河边B处取水后是沿哪个方向行走的？并说明理由．【答案】沿南偏东60°方向【解析】首先根据勾股定理逆定理得出∠ABC=90°，然后再判断AD∥NM，可得∠NBA=∠BAD=30°，再根据平角定义可得∠MBC=180°﹣90°﹣30°=60°，进而得到答案．解：∵AB=60，BC=80，AC=100，∴AB2+BC2=AC2，∴∠ABC=90°，∴AD∥NM，∴∠NBA=∠BAD=30°，∴∠MBC=180°﹣90°﹣30°=60°，∴小明在河边B处取水后是沿南偏东60°方向行走的．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．教学建议：熟练掌握并应用勾股定理的逆定理.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：灵石县期中年份：2018【练习7.1】某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？【答案】沿西北方向航行【解析】根据路程=速度×时间分别求得PQ、PR的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形PQR是直角三角形，从而求解．解：根据题意，得PQ=16×1.5=24（海里），PR=12×1.5=18（海里），QR=30（海里），∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，∴∠QPR=90°．由“远洋号”沿东北方向航行可知，∠QPS=45°，则∠SPR=45°，即“海天”号沿西北方向航行．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查路程、速度、时间之间的关系，勾股定理的逆定理、方位角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．教学建议：熟练掌握并应用勾股定理的逆定理.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018课后作业【作业1】如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AD=9，BD=16，CD=12．（1）求△ABC的周长；（2）△ABC是直角三角形吗？请说明理由．【答案】（1）60；（2）是【解析】（1）由勾股定理求出BC、AC，即可得出结果；（2）由勾股定理的逆定理即可得出结论．解：（1）∵CD⊥AB，∴∠BDC=∠ADC=90°，∴BC==20，AC==15，∵AB=AD+BD=25，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=25+20+15=60；（2）△ABC是直角三角形；理由如下：∵BC2+AC2=202+152=252=AB2，∴△ABC是直角三角形．难度： 3 适应场景：练习题例题来源：东海县校级期中年份：2017【作业2】如图，四边形ABCD中，∠ADC=90°，AD=12，CD=9，AB=25，BC=20，求四边形ABCD的面积．【答案】204【解析】连接AC，根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出△ACB是直角三角形，分别求出△ABC和△ACD的面积，即可得出答案．解：连结AC，在△ADC中，∵∠D=90°，AD=12，CD=9，∴AC==15，S△ABC=AD•CD=×12×9=54，在△ABC中，∵AC=15，AB=25，BC=20，∴BC2+AC2=AB2，∴△ACB是直角三角形，∴S△ACB=AC•BC=×15×20=150．∴四边形ABCD的面积=S△ABC +S△ACD=150+54=204．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：岱岳区期中年份：2017【作业3】如图，每个小方格都是边长为1的小正方形，△ABC的位置如图所示，你能判断△ABC是什么三角形吗？请说明理由．【答案】直角三角形【解析】根据勾股定理即可求得△ABC的三边的长，再由勾股定理的逆定理即可作出判断．解：△ABC是直角三角形．在直角△ABF、直角△BCD、直角△ACE中，根据勾股定理即可得到：AB==；BC==；AC==5；则AC2=BC2+AB2∴△ABC是直角三角形．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：成都期中年份：2017【作业4】如图，在四边形ABCD中，AB=BC=3，CD=，AD=，且∠B=90°，∠D=60°，求∠BCD的度数．【答案】75°【解析】连接AC，由于∠B=90°，AB=BC=3，利用勾股定理可求AC，并可求∠BAC=45°，而CD=，AD=，易得AC2+AD2=CD2，可证△ACD是直角三角形，于是有∠CAD=90°，根据直角三角形的性质可求∠DCA，从而易求∠BCD．解：连接AC，∵∠B=90°，AB=BC=3，∴AC===3，∠BAC=∠BCA=45°，又∵CD=，AD=∴AC2+AD2=18+6=24，CD2=24，∴AC2+AD2=CD2，∴△ACD是直角三角形，∴∠CAD=90°，∴∠DCA=90°﹣∠D=30°，∴∠BCD=∠BCA+∠DCA=75°．讲解用时：4分钟难度： 4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业5】已知△ABC的三边长为a、b、c，满足a+b=10，ab=18，c=8，则此三角形为三角形．【答案】直角【解析】对原式进行变形，发现三边的关系符合勾股定理的逆定理，从而可判定其形状．解：∵a+b=10，ab=18，c=8，∴（a+b）2﹣2ab=100﹣36=64，c2=64，∴a2+b2=c2，∴此三角形是直角三角形．故答案为：直角．讲解用时：3分钟难度：4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018。
勾股定理经典例题(含答案)
经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法 1.在Rt△ABC中,∠C=90°(1)已知a=6, c=10,求b,(2)已知a=40,b=9,求c;(3)已知c=25,b=15,求 a. 思绪点拨:写解的进程中,必定要先写上在哪个直角三角形中,留意勾股定理的变形运用. 解析：(1) 在△ABC中,∠C=90°,a=6,c=10,b=(2) 在△ABC中,∠C=90°,a=40,b=9,c=(3) 在△ABC中,∠C=90°,c=25,b=15,a=触类旁通【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是若干?【答案】∵∠ACD=90°AD=13, CD=12∴AC2 =AD2－CD2=132－122=25∴AC=5又∵∠ABC=90°且BC=3∴由勾股定理可得AB2=AC2－BC2=52－32=16∴AB= 4∴AB的长是 4. 类型二：勾股定理的结构运用 2.如图,已知：在中,,,. 求：BC的长.思绪点拨：由前提,想到结构含角的直角三角形,为此作于D,则有,,再由勾股定理盘算出AD.DC的长,进而求出BC的长. 解析：作于D,则因, ∴（的两个锐角互余）∴（在中,假如一个锐角等于, 那么它所对的直角边等于斜边的一半）.依据勾股定理,在中,. 依据勾股定理,在中,. ∴.触类旁通【变式1】如图,已知：,,于P. 求证：.解析：贯穿连接BM,依据勾股定理,在中,. 而在中,则依据勾股定理有. ∴又∵（已知）, ∴. 在中,依据勾股定理有, ∴. 【变式2】已知：如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2.求：四边形ABCD的面积.剖析：若何结构直角三角形是解本题的症结,可以贯穿连接AC,或延伸AB.DC交于F,或延伸AD.BC交于点E,依据本题给定的角应选后两种,进一步依据本题给定的边选第三种较为简略. 解析：延伸AD.BC交于 E.∵∠A=∠60°,∠B=90°,∴∠E=30°.∴AE=2AB=8,CE=2CD=4,∴BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE==.∵DE2= CE2-CD2=42-22=12,∴DE==. ∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·BE-CD·DE=类型三：勾股定理的现实运用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题 3.如图所示,在一次夏令营运动中,小明从营地A点动身,沿北偏东60°偏向走了到达B点,然后再沿北偏西30°偏向走了500m到达目标地C点. （1）求A.C两点之间的距离.（2）肯定目标地C在营地A的什么偏向.解析：（1）过B点作BE//AD∴∠DAB=∠ABE=60°∵30°+∠CBA+∠ABE=180°∴∠CBA=90°即△ABC为直角三角形由已知可得：BC=500m,AB=由勾股定理可得：所以（2）在Rt△ABC中, ∵BC=500m,AC=1000m ∴∠CAB=30°∵∠DAB=60°∴∠DAC=30°即点C在点A的北偏东30°的偏向触类旁通【变式】一辆装满货色的卡车,其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门外形如图的某工场,问这辆卡车可否经由过程该工场的厂门?【答案】因为厂门宽度是否足够卡车经由过程,只要看当卡车位于厂门正中央时其高度是否小于CH．如图所示,点D在离厂门中线0.8米处,且CD⊥ＡＢ, 与地面交于H．解：OC＝1米(大门宽度一半), OD＝0.8米（卡车宽度一半）在Rt△OCD中,由勾股定理得：CD＝＝＝０.６米, CＨ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５（米）．是以高度上有0.4米的余量,所以卡车能经由过程厂门．（二）用勾股定理求最短问题4.国度电力总公司为了改良农村用电电费过高的近况,今朝正在全国各地农村进行电网改革,某地有四个村庄A.B.C.D,且正好位于一个正方形的四个极点,现筹划在四个村庄结合架设一条线路,他们设计了四种架设筹划,如图实线部分．请你关心盘算一下,哪种架设筹划最省电线．思绪点拨：解答本题的思绪是：最省电线就是线路长最短,经由过程运用勾股定理盘算线路长,然落后行比较,得出结论．解析：设正方形的边长为1,则图（1）.图（2）中的总线路长分离为AB+BC+CD＝3,AB+BC+CD＝ 3 图（3）中,在Rt△ABC中同理∴图（3）中的路线长为图（4）中,延伸EF交BC于H,则FH ⊥BC,BH＝CH由∠FBH＝及勾股定理得：EA＝ED＝FB＝FC＝∴EF＝1－2FH＝1－∴此图中总线路的长为4EA+EF＝3＞ 2.828>2.732 ∴图（4）的衔接线路最短,即图（4）的架设筹划最省电线．触类旁通【变式】如图,一圆柱体的底面周长为20cm,高ＡＢ为4cm,ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A动身,沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短旅程．解：如图,在Rt△ＡＢＣ中,ＢＣ＝底面周长的一半＝１０cm,依据勾股定理得（提问：勾股定理）∴ AC＝＝＝≈１０．７７（cm）（勾股定理）．答：最短旅程约为１０．７７cm．类型四：运用勾股定理作长为的线段5.作长为..的线段.思绪点拨：由勾股定理得,直角边为1的等腰直角三角形,斜边长就等于,直角边为和1的直角三角形斜边长就是,相似地可作.作法：如图所示（1）作直角边为1（单位长）的等腰直角△ACB,使AB为斜边;（2）以AB为一条直角边,作另一向角边为1的直角.斜边为;（3）按序如许做下去,最后做到直角三角形,如许斜边...的长度就是....触类旁通【变式】在数轴上表示的点.解析：可以把看作是直角三角形的斜边,,为了有利于绘图让其他双方的长为整数,而10又是9和1这两个完整平方数的和,得别的双方分离是3和1.作法：如图所示在数轴上找到A点,使OA=3,作AC⊥OA且截取AC=1,以OC为半径,以O为圆心做弧,弧与数轴的交点B即为.类型五：逆命题与勾股定理逆定理6.写出下列原命题的逆命题并断定是否准确1．原命题：猫有四只脚．（准确）2．原命题：对顶角相等（准确）3．原命题：线段垂直等分线上的点,到这条线段两头距离相等．（准确）4．原命题：角等分线上的点,到这个角的双方距离相等．（准确）思绪点拨：控制原命题与逆命题的关系.解析：1. 逆命题：有四只脚的是猫（不准确）2. 逆命题：相等的角是对顶角（不准确）3. 逆命题：到线段两头距离相等的点,在这条线段的垂直等分线上．•（准确）4. 逆命题：到角双方距离相等的点,在这个角的等分线上．（准确）总结升华：本题是为了进修勾股定理的逆命题做预备.7.假如ΔABC的三边分离为a.b.c,且知足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,断定ΔABC的外形.思绪点拨：要断定ΔABC的外形,须要找到a.b.c的关系,而标题中只有前提a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,故只有从该前提入手,解决问题.解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,得：a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,∴ (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0.∵ (a-3)2≥0, (b-4)2≥0, (c-5)2≥0.∴ a=3,b=4,c=5.∵ 32+42=52,∴ a2+b2=c2.由勾股定理的逆定理,得ΔABC是直角三角形.总结升华：勾股定理的逆定理是经由过程数目关系来研讨图形的地位关系的,在证实中也常要用到.触类旁通【变式1】四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积.【答案】：贯穿连接AC∵∠B=90°,AB=3,BC=4∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）∴AC=5∵AC2+CD2=169,AD2=169∴AC2+CD2=AD2∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）【变式2】已知:△ABC的三边分离为m2－n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m＞n),断定△ABC是否为直角三角形.剖析:本题是运用勾股定理的的逆定理, 只要证实:a2+b2=c2即可证实：所以△ABC是直角三角形.【变式3】如图正方形ABCD,E为BC中点,F为AB上一点,且BF=AB.请问FE与DE是否垂直?请解释.【答案】答：DE⊥EF.证实：设BF=a,则BE=EC=2a, AF=3a,AB=4a,∴ EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2;DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2.衔接DF（如图）DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2.∴ DF2=EF2+DE2,∴ FE⊥DE.经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的根本用法 1.若直角三角形两直角边的比是3：4,斜边长是20,求此直角三角形的面积.思绪点拨：在直角三角形中知道双方的比值和第三边的长度,求面积,可以先经由过程比值设未知数,再依据勾股定理列出方程,求出未知数的值进而求面积.解析：设此直角三角形两直角边分离是3x,4x,依据题意得：（3x）2+（4x）2＝202化简得x2＝16; ∴直角三角形的面积＝×3x×4x＝6x2＝96 总结升华：直角三角形边的有关盘算中,常常要设未知数,然后用勾股定理列方程（组）求解. 触类旁通【变式1】等边三角形的边长为2,求它的面积.【答案】如图,等边△ABC,作AD⊥BC于 D 则：BD＝BC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）∵AB＝AC＝BC＝2（等边三角形各边都相等）∴BD＝ 1 在直角三角形ABD中,AB2＝AD2+BD2,即：AD2＝AB2－BD2＝4－1＝ 3 ∴AD＝S△ABC＝BC·AD＝注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a,则其面积为 a.【变式2】直角三角形周长为12cm,斜边长为5cm,求直角三角形的面积. 【答案】设此直角三角形两直角边长分离是x,y,依据题意得：由（1）得：x+y＝7, （x+y）2＝49,x2+2xy+y2＝49 (3) (3)－(2),得：xy＝12∴直角三角形的面积是xy＝×12＝6（cm2）【变式3】若直角三角形的三边长分离是n+1,n+2,n+3,求n. 思绪点拨：起首要肯定斜边（最长的边）长n+3,然后运用勾股定理列方程求解. 解：此直角三角形的斜边长为n+3,由勾股定理可得：（n+1）2+（n+2）2＝（n+3）2化简得：n2＝ 4 ∴n＝±2,但当n＝－2时,n+1＝－1<0,∴n＝ 2 总结升华：留意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方,在标题没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情形下,起首要先肯定斜边,直角边. 【变式4】以下列各组数为边长,能构成直角三角形的是（）A.8,15,17 B.4,5,6 C.5,8,10 D.8,39,40 解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行断定, 对数据较大的可以用c2＝a2+b2的变形：b2＝c2－a2＝（c－a）（c+a）来断定. 例如：对于选择D, ∵82≠（40+39）×（40－39）, ∴以8,39,40为边长不能构成直角三角形. 同理可以断定其它选项.【答案】：A【变式5】四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积.解：贯穿连接AC∵∠B=90°,AB=3,BC=4∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）∴AC=5∵AC2+CD2=169,AD2=169 ∴AC2+CD2=AD2∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB·BC+AC·CD=36类型二：勾股定理的运用2.如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠QPN＝30°,点A处有一所中学,AP＝160m.假设拖沓机行驶时,四周100m以内会受到噪音的影响,那么拖沓机在公路MN上沿PN偏向行驶时,黉舍是否会受到噪声影响？请解释来由,假如受影响,已知拖沓机的速度为18km/h,那么黉舍受影响的时光为若干秒？思绪点拨：（1）要断定拖沓机的噪音是否影响黉舍A,本质上是看A到公路的距离是否小于100m, 小于100m则受影响,大于100m则不受影响,故作垂线段AB并盘算其长度.（2）请求出黉舍受影响的时光,本质是请求拖沓机对黉舍A的影响所行驶的旅程.是以必须找到拖沓机行至哪一点开端影响黉舍,行至哪一点后停止影响黉舍. 解析：作AB⊥MN,垂足为 B. 在RtΔABP中,∵∠ABP＝90°,∠APB＝30°, AP＝160,∴AB＝AP＝80. （在直角三角形中,30°所对的直角边等于斜边的一半）∵点A到直线MN的距离小于100m, ∴这所中学会受到噪声的影响. 如图,假设拖沓机在公路MN上沿PN偏向行驶到点C处黉舍开端受到影响,那么AC＝100(m), 由勾股定理得：BC2＝1002-802＝3600,∴BC＝60.同理,拖沓机行驶到点D处黉舍开端离开影响,那么,AD＝100(m),BD＝60(m), ∴CD＝120(m). 拖沓机行驶的速度为: 18km/h＝5m/s t＝120m÷5m/s＝24s.答：拖沓机在公路MN上沿PN偏向行驶时,黉舍会受到噪声影响,黉舍受影响的时光为24秒. 总结升华:勾股定理是求线段的长度的很主要的办法,若图形缺乏直角前提,则可以经由过程作关心垂线的办法,结构直角三角形以便运用勾股定理.触类旁通【变式1】如图黉舍有一块长方形花圃,有少少数工资了避开拐角而走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”.他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m）,却踩伤了花卉.解析：他们本来走的路为3+4＝7(m) 设走“捷径”的路长为xm,则故少走的路长为7－5＝2(m) 又因为2步为1m,所以他们仅仅少走了4步路.【答案】4【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格,它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形,如许的三角形称为单位正三角形. （1）直接写出单位正三角形的高与面积. （2）图中的平行四边形ABCD含有若干个单位正三角形？平行四边形ABCD的面积是若干？（3）求出图中线段AC的长（可作关心线）.【答案】（1）单位正三角形的高为,面积是. （2）如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形,是以其面积. （3）过A作AK⊥BC于点K（如图所示）,则在Rt△ACK中,,,故类型三：数学思惟办法（一）转化的思惟办法我们在求三角形的边或角,或进行推理论证时,常常作垂线,结构直角三角形,将问题转化为直角三角形问题来解决．3.如图所示,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E.F分离是AB.AC边上的点,且DE⊥DF,若BE=12,CF=5．求线段EF的长.思绪点拨：现已知BE.CF,请求EF,但这三条线段不在统一三角形中,所以症结是线段的转化,依据直角三角形的特点,三角形的中线有特别的性质,不妨先衔接AD．解：衔接AD．因为∠BAC=90°,AB=AC．又因为AD为△ABC的中线, 所以AD=DC=DB．AD⊥BC．且∠BAD=∠C=45°．因为∠EDA+∠ADF=90°．又因为∠CDF+∠ADF=90°．所以∠EDA=∠CDF．所以△AED≌△CFD（ASA）．所以AE=FC=5．同理：AF=BE=12．在Rt△AEF中,依据勾股定理得：,所以EF=13.总结升华：此题考核了等腰直角三角形的性质及勾股定理等常识.经由过程此题,我们可以懂得：当已知的线段和所求的线段不在统一三角形中时,应经由过程恰当的转化把它们放在统一向角三角形中求解.（二）方程的思惟办法4.如图所示,已知△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,,求..的值.思绪点拨：由,再找出.的关系即可求出和的值. 解：在Rt△ABC中,∠A=60°,∠B=90°-∠A=30°, 则,由勾股定理,得. 因为,所以,,,. 总结升华：在直角三角形中,30°的锐角的所对的直角边是斜边的一半. 触类旁通：【变式】如图所示,折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,求EF的长. 解：因为△ADE与△AFE关于AE对称,所以AD=AF,DE=EF. 因为四边形ABCD是矩形,所以∠B=∠C=90°, 在Rt△ABF中,AF=AD=BC=10cm,AB=8cm,所以.所以. 设,则. 在Rt△ECF中,,即,解得.即EF的长为5cm.。
(word完整版)初二数学--勾股定理讲义(经典)
第一章 勾股定理【知识点归纳】123456⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩1、已知直角三角形的两边，求第三边勾股定理2、求直角三角形周长、面积等问题3、验证勾股定理成立1、勾股数的应用勾股定理勾股定理的逆定理2、判断三角形的形状3、求最大、最小角的问题、面积问题、求长度问题、最短距离问题勾股定理的应用、航海问题、网格问题、图形问题 考点一：勾股定理（1）对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么一定有222c b a =+ 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
（2）结论：①有一个角是30°的直角三角形，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
②有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。
③直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
（3）勾股定理的验证abcab cab cabcababa bba例题：例1：已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。
（1）在Rt △ABC 中，∠C=90°①若a=5，b=12，则c=___________； ②若a=15，c=25，则b=___________； ③若c=61，b=60，则a=__________；④若a ∶b=3∶4，c=10则Rt △ABC 的面积是=________。
（2）如果直角三角形的两直角边长分别为1n 2-，2n （n>1），那么它的斜边长是（ ） A 、2nB 、n+1C 、n 2－1D 、1n 2+（3）在Rt △ABC 中，a,b,c 为三边长，则下列关系中正确的是（ ）A.222a b c +=B. 222a c b +=C. 222c b a +=D.以上都有可能（4）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）A 、25B 、14C 、7D 、7或25例2：已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。
勾股定理及其逆定理 (习题及答案)
勾股定理及其逆定理（习题）例题示范例1：如图，强大的台风使得一棵树在离地面3m处折断倒下，树的顶部落在离树的底部4m处，这棵树折断之前有多高？解：如图，由题意得，AC=3，BC=4，∠ACB=90°在Rt△ABC中，∠ACB=90°由勾股定理，得AC2+BC2=AB2∴32+42=AB2∴AB=5∴AB+AC=5+3=8答：这棵树折断之前高8m．例2：如图，在△ABC中，AB=13cm，AC=5cm，BC=12cm．求证：∠C=90°．证明：如图在△ABC中，AB=13，AC=5，BC=12∵52+122=132∴AC2+BC2=AB2∴△ABC为直角三角形，且∠C=90°．巩固练习1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=8，AB=17，则AC的长为________．2.已知甲、乙两人从同一地点出发，甲往东走了12km，乙往南走了5km，这时甲、乙两人之间的距离为___________．3.如图，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，三个半圆的面积从小到大依次记为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是（）A．S l+S2>S3B．S l+S2<S3C．S1+S2=S3D．S12+S22=S32第3题图第4题图4.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若其中最大正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2．5.如图1是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c．图2是以c为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．（1）画出拼成的这个图形的示意图，并利用这个图形证明勾股定理；（2）假设图1中的直角三角形有若干个，你能运用图1中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼成的图形的示意图，并利用该图形证明勾股定理．6.以下列长度的三条线段为边，不能组成直角三角形的是（）A ．1.5，2，2.5B ．9，12，15C ．7，24，25D ．1，1，27.已知三条线段的长是：①5k ，12k ，13k （k >0）；②111345，，；③32，42，52；④11，60，61；⑤22()12()()1m n m n m n +-+++，，（m ，n 为正整数）．其中能构成直角三角形的有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个8.如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在AD ，CD 边上，若AB =4，AE =2，DF =1，则图中的直角三角形共有____个．9.如图，求出下列直角三角形中未知边的长度：b=_______，c=________．10.下列各命题都成立，写出它们的逆命题．这些逆命题成立吗？（1）同旁内角互补，两直线平行；（2）如果两个角是直角，那么它们相等；（3）全等三角形的对应边相等；（4）如果两个实数相等，那么它们的平方相等．11.如图，一架长25米的云梯斜靠在一面墙上，梯子底端与墙根之间的距离为7米．（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向上滑动了几米？12.在△ABC 中，AB =10，BC =12，BC 边上的中线AD =8，求AC的长．13.在△ABC 中，点D 是线段BC 上的一点，已知AB =15，AD =12，AC =13，BD =9．求BC 的长．思考小结1.赵爽弦图和毕达哥拉斯弦图都是由四个全等的__________三角形拼成的，但是在拼的过程中有区别，赵爽弦图的弦在____（填“内”或“外”），毕达哥拉斯弦图的弦在____（填“内”或“外”），请你画出对应的弦图．赵爽弦图毕达哥拉斯弦图2.我们知道3，4，5是一组勾股数，那么3k，4k，5k（k是正整数）____（填“是”或“不是”）一组勾股数；一般地，如果a，b，c（a b c<<）是一组勾股数，那么ak，bk，ck（k 是正整数）是一组勾股数吗？若是，请证明；若不是，请说明理由．解：ak，bk，ck（k是正整数）______一组勾股数，理由如下：∵a，b，c是一组勾股数∴___________________∵k≠0∴k2a2+k2b2______k2c2∴(ak)2+(bk)2_____(ck)2∵k为正整数∴ak，bk，ck也是________∴ak，bk，ck（k是正整数）_______一组勾股数【参考答案】巩固练习1.152.13km3.C4.495.略6.D7.B8.49.12，2610.（1）逆命题为两直线平行，同旁内角互补．逆命题成立．（2）逆命题为如果两个角相等，那么这两个角是直角．逆命题不成立．（3）逆命题为对应边相等的两个三角形是全等三角形．逆命题成立．（4）逆命题为如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等．逆命题不成立．11.（1）24米（2）8米12.AC的长为1013.BC的长为14思考小结1.直角，外，内图略2.是，是，222+=，=，=，正整数，是a b c。
专题02 勾股定理逆定理(解析版)
八年级数学上册北师大版版链接教材精准变式练专题02 勾股定理的逆定理【典例1】判断由线段a b c ，，组成的三角形是不是直角三角形．（1）a ＝7，b ＝24，c ＝25；（2）a ＝43，b ＝1，c ＝34； （3）22a m n =-，22b m n =+，2c mn =(0m n >>)；【点拨】判断三条线段能否组成直角三角形，关键是运用勾股定理的逆定理：看较短的两条线段的平方和是否等于最长线段的平方．若是，则为直角三角形，反之，则不是直角三角形．【解析】解：（1）∵ 2222724625a b +=+=，2225625c ==，∴ 222a b c +=．∴ 由线段a b c ，，组成的三角形是直角三角形． （2）∵ a b c >>，222239251141616b c ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭，2241639a ⎛⎫== ⎪⎝⎭， ∴ 222b c a +≠．∴ 由线段a b c ，，组成的三角形不是直角三角形．（3）∵ 0m n >>，∴ 222m n mn +>，2222m n m n +>-．∵2222224224224224()(2)242a c m n mn m m n n m n m m n n +=-+=-++=++， 22224224()2b m n m m n n =+=++，∴ 222a cb +=．∴ 由线段a b c ，，组成的三角形是直角三角形． 典例解读【总结】解此类题的关键是准确地判断哪一条边最大，然后再利用勾股定理的逆定理进行判断，即首先确定最大边，然后验证2c 与22a b 是否具有相等关系，再根据结果判断是否为直角三角形．【典例2】如图，点D 是△ABC 内一点，把△ABD 绕点B 顺时针方向旋转60°得到△CBE ，若AD=4，BD=3，CD=5．（1）判断△DEC 的形状，并说明理由；（2）求∠ADB 的度数．【点拨】把△ABD 绕点B 顺时针方向旋转60°，注意旋转只是三角形的位置变了，三角形的边长和角度并没有变，并且旋转的角度60°，因此出现等边△BDE ，从而才能更有利的判断三角形的形状和求∠ADB 的度数．【解析】解：（1）根据图形的旋转不变性，AD=EC ，BD=BE ，又∵∠DBE=∠ABC=60°，∴△ABC 和△DBE 均为等边三角形，于是DE=BD=3，EC=AD=4，又∵CD=5，∴DE 2+EC 2=32+42=52=CD 2；故△DEC 为直角三角形．（2）∵△DEC 为直角三角形，∴∠DEC=90°，又∵△BDE 为等边三角形，∴∠BED=60°，∴∠BEC=90°+60°=150°，即∠ADB=150°．【总结】此题考查了旋转后图形的不变性、全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理等知识，综合性较强，是一道好题．解答（2）时要注意运用（1）的结论．【典例3】已知：,,a b c 为ABC ∆的三边且满足222338102426a b c a b c +++=++，试判断ABC ∆的形状.【解析】解：∵222338102426a b c a b c +++=++∴0338262410222=+-+-+-c c b b a a 0)13()12()5(222=-+-+-c b a∴5,12,13a b c ===，222c b a =+∴△ABC 是直角三角形.【总结】此类问题中要判断的三角形一般都是特殊三角形，一定要善于把题目中已知的条件等式进行变形，从而得到三角形的三边关系.对条件等式进行变形常用的方法有配方法，因式分解法等.【典例4】如图，铁路MN 和铁路PQ 在P 点处交汇，点A 处是第九十四中学，AP=160米，点A 到铁路MN 的距离为80米，假使火车行驶时，周围100米以内会受到噪音影响．（1）火车在铁路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由．（2）如果受到影响，已知火车的速度是180千米/时那么学校受到影响的时间是多久？【点拨】（1）过点A 作AE ⊥MN 于点E ，由点A 到铁路MN 的距离为80米可知AE=80m ，再由火车行驶时，周围100米以内会受到噪音影响即可直接得出结论；（2）以点A 为圆心，100米为半径画圆，交直线MN 于BC 两点，连接AB 、AC ，则AB=AC=100m ，在Rt △ABE 中利用勾股定理求出BE 的长，进而可得出BC 的长，根据火车的速度是180千米/时求出火车经过BC 是所用的时间即可．【解析】解：（1）会受到影响．过点A 作AE ⊥MN 于点E ，∵点A到铁路MN的距离为80米，∴AE=80m，∵周围100米以内会受到噪音影响，80＜100，∴学校会受到影响；（2）以点A为圆心，100米为半径画圆，交直线MN于BC两点，连接AB、AC，则AB=AC=100m，在Rt△ABE中，∵AB=100m，AE=80m，∴BE===60m，∴BC=2BE=120m，∵火车的速度是180千米/时=50m/s，∴t===2.4s．答：学校受到影响的时间是2.4秒．【总结】题考查的是勾股定理的应用，在解答此类题目时要根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，再利用勾股定理求解．【典例5】已知a、b、c是△ABC的三边，且满足438324a b c+++==，且a+b+c=12，请你探索△ABC的形状．【解析】解：令438 324a b c+++===k．∴a+4=3k，b+3=2k，c+8=4k，∴a=3k﹣4，b=2k﹣3，c=4k﹣8．又∵a+b+c=12，∴（3k﹣4）+（2k﹣3）+（4k﹣8）=12，∴k=3．∴a=5，b=3，c=4．∴△ABC 是直角三角形．【总结】此题借用设比例系数k 的方法，进一步求得三角形的三边长，根据勾股定理的逆定理判定三角形的形状．【典例6】如图所示，MN 以左为我国领海，以右为公海，上午9时50分我国缉私艇A 发现在其正东方向有一走私艇C 并以每小时13海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其5海里，并在MN 线上巡逻的缉私艇B 密切注意，并告知A 和C 两艇的距离是13海里，缉私艇B 测得C 与其距离为12海里，若走私艇C 的速度不变，最早在什么时间进入我国海域？【解析】解：∵ 22222251216913AB BC AC +=+===，∴ △ABC 为直角三角形．∴ ∠ABC ＝90°．又BD ⊥AC ，可设CD ＝x ，∴ 22222212,(13)5,x BD x BD ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩①②①－②得2216926119x x x -+-=， 解得14413x =．∴ 1441441313169÷=≈0.85(h)＝51(分)． 所以走私艇最早在10时41分进入我国领海．【总结】（1）本题用勾股定理作相等关系列方程解决问题，（2）用勾股定理的逆定理判定直角三角形，为勾股定理的运用提供了条件．【教材知识必背】一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长a b c ，，，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 教材知识链接要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1） 首先确定最大边（如c ）.（2） 验证2c 与22a b +是否具有相等关系.若222c a b =+，则△ABC 是∠C ＝90°的直角三角形；若222c a b ≠+，则△ABC 不是直角三角形.要点诠释：当222a b c +<时，此三角形为钝角三角形；当222a b c +>时，此三角形为锐角三角形，其中c 为三角形的最大边.三、勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：① 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果a b c 、、是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.要点诠释：（1）22121n n n -+，，（1,n n >是自然数）是直角三角形的三条边长；（2）2222,21,221n n n n n ++++（n 是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）2222,,2m n m n mn -+ （,m n m n >、是自然数）是直角三角形的三条边长；【变式1】发现下列几组数据能作为三角形的边：（1）8，15，17；（2）5，12，13；（3）12，15，20；（4）7，24，25．其中能作为直角三角形的三边长的有（ ）A.1组B.2组C.3组D.4组【答案】C.解：①∵82+152=172，∴能组成直角三角形； 精准变式题②∵52+122=132，∴能组成直角三角形；③122+152≠202，∴不能组成直角三角形；④72+242=252，∴能组成直角三角形．故选C ．【变式2】如图所示，在△ABC 中，已知∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，P 是△ABC 内一点，且PA ＝3，PB ＝1，PC ＝CD ＝2，CD ⊥CP ，求∠BPC 的度数．【答案】解：连接BD ．∵ CD ⊥CP ，且CD ＝CP ＝2，∴ △CPD 为等腰直角三角形，即∠CPD ＝45°．∵ ∠ACP+∠BCP ＝∠BCP+∠BCD ＝90°，∴ ∠ACP ＝∠BCD ．∵ CA ＝CB ，∴ △CAP ≌△CBD(SAS)，∴ DB ＝PA ＝3．在Rt △CPD 中，22222228DP CP CD =+=+=．又∵ PB ＝1，则21PB =．∵ 29DB =，∴ 22819DB DP PB =+=+=，∴ △DPB 为直角三角形，且∠DPB ＝90°，∴ ∠CPB ＝∠CPD+∠DPB ＝45°+90°＝135°．【变式3】请阅读下列解题过程：已知a 、b 、c 为△ABC 的三边，且满足a 2c 2﹣b 2c 2=a 4﹣b 4，试判断△ABC 的形状．解：∵a 2c 2﹣b 2c 2=a 4﹣b 4， 第一步∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2），第二步∴c2=a2+b2，第三步∴△ABC为直角三角形．第四步问：（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误：_________ ；（2）错误的原因是：_________ ；（3）本题正确的结论是：_________ ．【答案】解：（1）第三步；（2）方程两边同时除以（a2﹣b2）时，没有考虑（a2﹣b2）的值有可能是0；（3）∵c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）∴c2=a2+b2或a2﹣b2=0∵a2﹣b2=0∴a+b=0或a﹣b=0∵a+b≠0∴c2=a2+b2或a﹣b=0∴c2=a2+b2或a=b∴该三角形是直角三角形或等腰三角形．【变式4】△ABC的三边a、b、c满足|a+b﹣50|++（c﹣40）2=0．试判断△ABC的形状是．【答案】直角三角形．解：∵|a+b﹣50|++（c﹣40）2=0，∴，解得，∵92+402=412，∴△ABC是直角三角形．1．下列各组数中，可以构成勾股数的是（ ）A ．13，16，19B ．31，41，51 C ．18，24，36 D ．12，35，37 【答案】D【解析】判断一组数是不是勾股数时，应先判断他们是否都是正整数，在验证他们平方间的关系，所以只有D 项满足．2．△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别是a ，b ，c ，满足下列条件的△ABC ，不是直角三角形的是（ ）A.a ：b ：c=1：2：1B.∠A ：∠B ：∠C=3：4：5C.（a+b ）（a ﹣b ）=c 2D.∠A ：∠B ：∠C=1：2：3【答案】B3． 已知△ABC 三边长分别为2n +1，2n 2+2n ，2n 2+2n +1，（n 为正整数），则△ABC 为（ ）A ．直角三角形 B ． 等腰三角形 C ． 锐角三角形 D ． 钝角三角形 【答案】A ；【解析】由2n 2+2n+1＞2n 2+2n ，且2n 2+2n+1＞2n+1，得到2n 2+2n+1为最长的边，∵（2n+1）2+（2n 2+2n ）2=1+4n+8n 2+8n 3+4n 4，（2n 2+2n+1）2=1+4n+8n 2+8n 3+4n 4∴（2n+1）2+（2n 2+2n ）2=（2n 2+2n+1）2∴△ABC 为直角三角形．4． 有下面的判断：①△ABC 中，a 2+b 2≠c 2，则△ABC 不是直角三角形．②△ABC 是直角三角形，∠C=90°，则a 2+b 2=c 2．③若△ABC 中，a 2﹣b 2=c 2，则△ABC 是直角三角形．④若△ABC 是直角三角形，则（a +b ）（a ﹣b ）=c 2．以上判断正确的有（ ）A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个 【答案】C ；【解析】①c 不一定是斜边，故错误；④若△ABC 是直角三角形，c 不是斜边，则（a+b ）（a ﹣b ）≠c 2，故错误．5． c b a ,,为直角三角形的三边，且c 为斜边，h 为斜边上的高，下列说法：①222,,c b a 能组成一个三角形 ②222111,,a b c能组成直角三角形 综合提升变式练③h b a 1,1,1能组成直角三角形 ④三个内角的度数之比为3：4:5能组成一个三角形 其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B ；【解析】因为222a b c +=，两边之和等于第三边，故222,,c b a 不能组成一个三角形，①错误；因为ab ch =，所以ab c h =．又因为222a b c +=．得22222a b a b h+=．两边同除以22a b ，得222111a b h +=②正确；因为2222222222222111a b c c a b a b a b c h h +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以③正确，360°×512=150°，最大角并不是90°，所以④错误．6. 如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB 、CD 、EF 、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）．A. CD 、EF 、GHB.AB 、EF 、GHC.AB 、CF 、EFD.GH 、AB 、CD 【答案】B【解析】AB 2=22+22=8，CD 2=42+22=20，EF 2=12+22=5，GH 2=32+22=13，所以AB 2+EF 2=GH 2．7. 下列说法：（1）在△ABC 中，若a 2+b 2≠c 2，则△ABC 不是直角三角形；（2）若△ABC 是直角三角形，∠C=90°，则a 2+b 2=c 2；（3）在△ABC 中，若a 2+b 2=c 2，则∠C=90°；（4）直角三角形的两条直角边的长分别为5和12，则斜边上的高为1360．其中说法正确的有（ ）． A.4个 B.3个 C.2个D.1个 【答案】B【解析】（1）根据勾股定理的逆定理，若a 2+c 2=b 2，则△ABC 也为直角三角形，故错误；（2）符合勾股定理，故正确；（3）符合勾股定理的逆定理，故正确；（4）首先根据勾股定理计算其斜边是13，再根据面积计算其斜边上的高，该高等于两条直角边的乘积除以斜边，故正确．8．已知三角形的三边长为1n n m +、、(其中221m n =+)，则此三角形( )．A.一定是等边三角形B.一定是等腰三角形C.一定是直角三角形D.形状无法确定【答案】C 【解析】()()222221,211n m n n n n +=+++=+，满足勾股定理的逆定理. 9．三角形的三边长分别为 22a b +、2ab 、22a b -（a b 、都是正整数），则这个三角形是（ ）．A ．直角三角形B ． 钝角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定【答案】A【解析】()2222222()2()a b ab a b -+=+，满足勾股定理的逆定理. 10．在某港口有甲乙两艘渔船，若甲沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，同时，乙船沿南偏东角度以每小时15海里速度前进，2小时后，甲乙两船相距34海里，那么，乙船航行的方向是南偏东___________度．【答案】30；【解析】解：由题意得：甲船的路程：AO=8×2=16，乙船的路程：BO=15×2=30，∵302+162=342，∴∠AOB=90°，∵AO 是北偏东60°方向，∴BO 是南偏东30°．故答案为：30．11． 如果线段a b c ，，能组成一个直角三角形，那么2,2,2c b a ________组成直角三角形．(填“能”或“不能”)．【答案】能；【解析】设c 为斜边，则222c b a =+，两边同乘以41，得222414141c b a =+，即222)2()2()2(c b a =+ ． 12. 已知0435=-+-+-Z y x ,则由此x y z ，，为边的三角形是 三角形.【答案】直角13．在△ABC 中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是 ．【答案】108【解析】△ABC 是直角三角形.14．已知：如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为CB 的四等分点且CE ＝CB 41，求证：AF ⊥FE ．【解析】解：连结AE ，设正方形的边长为4a ，则DF ＝CF ＝2a ，CE ＝a ，BE ＝3a ，在Rt △ADF 中，22222216420AF AD DF a a a =+=+=，在Rt △CEF 中，22222245EF CE CF a a a =+=+=，在Rt △ABE 中，22222216925AE AB BE a a a =+=+=，因为222AE AF EF =+，所以三角形AEF 为直角三角形，AF ⊥FE ．15．观察下列各式：322345+=，2228610+=，22215817+=，222241026+=，…，你有没有发现其中的规律?请用含n 的代数式表示此规律，再根据规律写出接下来的式子．【解析】解：222351237+=， ()()()22222112111n n n ⎡⎤⎡⎤+-++=++⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦．(n ≥1且n 为整数) 16． 我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称正方形、长方形、直角梯形（任选两个均可）；（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；（3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，∠DCB=30度．求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．【解析】（1）解：正方形、长方形、直角梯形．（任选两个均可）（2）解：答案如图所示．（3）证明：连接EC，∵△ABC≌△DBE，∴AC=DE，BC=BE，∵∠CBE=60°，∴EC=BC，∠BCE=60°，∵∠DCB=30°，∴∠DCE=90°，∴DC2+EC2=DE2，∴DC2+BC2=AC2．即四边形ABCD是勾股四边形．。
勾股定理经典例题(全解版)
类型一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15，求a.思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。
解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=(2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=(3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=举一反三【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?【答案】∵∠ACD=90°AD=13, CD=12∴AC2 =AD2－CD2=132－122=25∴AC=5又∵∠ABC=90°且BC=3∴由勾股定理可得AB2=AC2－BC2=52－32=16∴AB= 4∴AB的长是4.类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.解析：作于D，则因，∴（的两个锐角互余）∴（在中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.根据勾股定理，在中，.根据勾股定理，在中，.∴.举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：.解析：连结BM，根据勾股定理，在中，.而在中，则根据勾股定理有.∴又∵（已知），∴.在中，根据勾股定理有，∴.【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。
求：四边形ABCD的面积。
分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。
解析：延长AD、BC交于E。
(完整版)勾股定理及其逆定理复习典型例题
勾股定理及其逆定理复习典型例题1.勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a 2+b 2=c 2） 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a 、b 、c 有关系a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。
2.勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
3.如果用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形 （1）首先确定最大边（如：C ，但不要认为最大边一定是C ）（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2=a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形。
（若c 2>a 2+b 2则△ABC 是以∠C 为钝角的三角形，若c 2<a 2+b 2则△ABC 是以∠C 为锐角三角形）二、例题分析例1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。
解：设此直角三角形两直角边分别是3x ，4x ，根据题意得： （3x ）2+（4x ）2=202 化简得x 2=16； ∴直角三角形的面积=21×3x ×4x =6x 2=96注：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。
例2、等边三角形的边长为2，求它的面积。
解：如图，等边△ABC ，作AD ⊥BC 于D 则：BD=21BC （等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）∵AB=AC=BC=2（等边三角形各边都相等） ∴BD=1在直角三角形ABD 中AB 2=AD 2+BD 2，即：AD 2=AB 2－BD 2=4－1=3 ∴AD=3 S △ABC =21BC·AD=3 ABCD注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a ，则其面积为43a 例3、直角三角形周长为12cm ，斜边长为5cm ，求直角三角形的面积。
第02讲 勾股定理逆定理(3个知识点+5类热点题型+习题巩固)(解析版)
第02讲勾股定理逆定理课程标准学习目标①勾股定理逆定理②勾股数③勾股定理的应用1.掌握勾股定理的逆定理内容，并能够熟练的运用它来判断直角三角形。
2.掌握勾股数并能够判断勾股数。
3.能够在各类实际问题中熟练应用勾股定理。
知识点01勾股定理逆定理1.勾股定理逆定理内容：在△ABC 中，如果三角形的三边分别是c b a ，，且满足222c b a =+，则该三角形一定是有一个直角三角形且∠C 是直角。
勾股定理的逆定理用于判断一个三角形是不是直角三角形。
2.直角三角形的判定①勾股定理逆定理②三角形中有一个角是90°。
③三角形中有两个角之和为90°。
【即学即练1】1．以下列数据为长度的线段中，可以构成直角三角形的是（）A．1，2，3B．2，3，4C．1，，D．，3，5【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意；B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意；C、12+（）2＝（）2，能构成直角三角形，故符合题意；D、（）2+32≠52，不能构成直角三角形，故不符合题意．故选：C．【即学即练2】2．如图，在△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E．（1）试说明△ABC为直角三角形．（2）求CE的长．【分析】（1）先计算AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100，再利用勾股定理的逆定理可得结论；（2）设CE长为x cm，则BE＝（8﹣x）cm．由DE垂直平分AB，可得AE＝BE＝8﹣x．再利用勾股定理建立方程即可．【解答】（1）证明：∵AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形．（2）解：设CE长为x cm，则BE＝（8﹣x）cm．∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE＝8﹣x．在Rt△ACE中，由勾股定理得x2+62＝（8﹣x）2，解得，所以CE的长为．知识点02勾股数1.勾股数的定义：满足勾股定理：即222cba=+的三个正整数称为勾股数。
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看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方。
解：①a2 b2 1.52 22 6.25 ， c2 2.52 6.25
ABC 是直角三角形且 C 90
②b2 c2 13 ， a2 25 ， b2 c2 a2 ABC 不是直角三角形
9
16
例 2.三边长为 a ， b ， c 满足 a b 10 ， ab 18 ， c 8 的三角形是什么形状？ 解：此三角形是直角三角形
②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如 3,4,5 ；6,8,10 ；5,12,13 ； 7,24,25 等
③用含字母的代数式表示 n 组勾股数：
n2 1,2n,n2 1 （ n 2, n 为正整数）；
2n 1,2n2 2n,2n2 2n 1 （ n 为正整数）
m2 n2, 2mn, m2 n2 （ m n, m ， n 为正整数）
3/17
A
D
C
例 5.（ 1） 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， D 是 BC 上 一 点 ， AB=10， BD=6， AD=8， AC=17，求△ABC 的面积． （2）在△ABC 中，若 AB=15，AC=13，高 AD=12，求△ABC 的周长．
分析：（1）根据 AB=10，BD=6，AD=8，利用勾股定理的逆定理求证△ABD 是直角三角 形，再利用勾股定理求出 CD 的长，然后利用三角形面积公式即可得出答案． （ 2） 本 题 应 分 两 种 情 况 进 行 讨 论 ： ① 当 △ ABC 为 锐 角 三 角 形 时 ，在 Rt△ ABD 和 Rt△ ACD 中 ，运 用 勾 股 定 理 可 将 BD 和 CD 的 长 求 出 ，两 者 相 加 即 为 BC 的 长 ，从 而 可 将 △ ABC 的 周 长 求 出 ； ② 当 △ ABC 为 钝 角 三 角 形 时 ，在 Rt△ ABD 和 Rt△ ACD 中 ，运 用 勾 股 定 理 可 将 BD 和 CD 的 长求出，两者相减即为 BC 的长，从而可将△ABC 的周长求出． 解 ： （ 1） ∵BD2+AD2=62+82=102=AB2， ∴△ABD 是直角三角形， ∴AD⊥BC， 在 Rt△ACD 中，CD=15，
突
三角形，但是 b 为斜边。
出
③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直
教
角边的平方和时，这个三角形是直角三角形。
学
2、勾股数
方
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 a2 b2 c2 中，
法
a ， b ， c 为正整数时，称 a ， b ， c 为一组勾股数
2/17
题型一：应用勾股定理逆形的三边长为 a ， b ， c ，判定 ABC 是否为 Rt
① a 1.5 ， b 2 ， c 2.5 ② a 5 ， b 1， c 2
4
3
分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要
理由：a2 b2 (a b)2 2ab 64 ，且 c2 64 a2 b2 c2 所以此三角形是直角三角形
例3. 如果△ABC的三边长分别为 a,b,c,且a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(m>n,m,n是正 整数），则△ABC是直角三角形吗？ 分析：先来判断a,b,c 三边哪条最长，可以代m,n 为满足条件的特殊值来试， m=5,n=4.则a=9,b=40,c=41,c最大。 解 ： ∵ （ m2-n2）2+（ 2mn）2=m4+n4-2m2n2+4m2n2=m4+n4+2m2n2=（ m2+n2）2，
1、勾股定理的逆定理
如果三角形三边长 a ， b ， c 满足 a2 b2 c2 ，那么这个三角形是直角三角形，
其中 c 为斜边。
①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它
通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小
教
边的平方和 a2 b2 与较长边的平方 c2 作比较，若它们相等时，以 a ， b ， c 为三
勾股定理逆定理讲义(经典例题 +详解+习题)
XX 教育一对一个性化教案
授课日期： 2014 年 月 日
学生姓名 许 XX
教师姓名
授课时段
2h
年级
8
学科
数学
课型
VIP
教学内容
勾股定理及逆定理
教学 重、难点
重点：运用勾股定理判定一个三角形是否为直角三角形。 难点：运用用勾股定理和勾股定理逆定理解决实际问题。 一、知识归纳
（2）分 两 种 情 况 ：
①当△ABC 为锐角三角形时，在 Rt△ABD 中，BD=9，在 Rt△ACD 中，CD=5， ∴BC=5+9=14 ∴△ABC 的周长为：15+13+14=42； ②当△ABC 为钝角三角形时， 在 Rt△ABD 中，BD=9 ，在 Rt△ACD 中，CD=4 ，∴BC=9-5=4． ∴△ABC 的周长为：15+13+4=32 ∴当△ABC 为锐角三角形时，△ABC 的周长为 42；当△ABC 为钝角三角形时，△ABC 的周 长为 32
学
边的三角形是直角三角形；若 a2 b2 c2 ，时，以 a ， b ， c 为三边的三角形是钝
步
角三角形；若 a2 b2 c2 ，时，以 a ， b ， c 为三边的三角形是锐角三角形；
骤
②定理中 a ， b ， c 及 a2 b2 c2 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若
及
三角形三边长 a ， b ， c 满足 a2 c2 b2 ，那么以 a ， b ， c 为三边的三角形是直角
∴ a2+b2=c2， ∴能成为直角三角形的三边长．
题型二：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用
例 4. 已知 ABC 中， AB 13 cm ， BC 10 cm ， BC 边上的 中线 AD 12 cm ，求证A：B AC
B
证明： AD 为中线， BD DC 5 cm 在 ABD 中， AD2 BD2 169 ， AB2 169 AD2 BD2 AB2 ， ADB 90 ， AC2 AD2 DC2 169 ， AC 13 cm ， AB AC