ch14 静不定问题分析(3rd)

i
1
a
2
a
3
a
4
a
5
1
FN5
由此得
代入协调条件
得
14-6图示小曲率圆环，承受载荷F作用。设弯曲刚度EI为常数，试求截面A与C的弯矩以及截面A与B的相对线位移。
题14-6图
解：1．求 和
此为三度静不定问题。有双对称性可利用。
由对称条件可得（图14-6a）
图14-6
由双对称性可知，
，
据此可方便地求出MC。求C的载荷状态及单位状态如图（b）和（c）所示。
进而求得
， （↓）， （）
求 的载荷状态及单位状态如图（3）和（4）所示。
弯矩方程为
将其代入
积分后，得到
（←）
14-4图a所示圆弧形小曲率杆，轴线半径为R，承受集度为q的均布剪切载荷作用。设弯曲刚度EI为常数，试计算截面B的水平位移。
题14-4图
解：1.解静不定
图示曲杆属于一度静不定。设将铰支座B作为多余约束，则相当系统如图b所示，变形协调条件为横截面B的铅垂位移为零，即
(a)
由图b可以看出，作用在微段Rd上的切向微外力qRd，在横截面引起的弯矩为
所以，在切向载荷q与多余未知力FBy作用下，截面的弯矩为
(b)
在图c所示铅垂单位载荷作用下，截面的弯矩则为
根据单位载荷法，得相当系统横截面B的铅垂位移为
由此得
代入式（a），得补充方程为
由此得
2.计算水平位移
多余未知力确定后，将其代入式（b），得曲杆的弯矩方程为
题14-8图
解：1.求解静不定
选FN1为多余力，相当系统如图b所示。
设各杆轴力均为拉力，并以刚性杆BC与DG为研究对象，则由平衡方程
得
单位载荷系统如图c所示，由上式并令F=0与FN1=1，得相应内力为
根据变形协调条件m/m’=0，并利用单位载荷法，得补充方程为
得
由此得
2.角位移计算
施加单位力偶如图d所示，并同样以刚性杆BC与DG为研究对象，则由平衡方程
第14章 静不定问题分析
14-1试判断图示各结构的静不定度。
题14-1图
解：（a）在平面受力Hale Waihona Puke Baidu，一个封闭框具有三个多余内约束，此问题又具有一个多余外约束，故为四度静不定。
（b）若无中间铰，两边的刚架分开，二者均为静定刚架。安装此中间铰，使相连处在x、y两个方向的相对位移均受到约束，故为二度静不定。
（c）在平面受力时，一个封闭圆环有三个多余内约束，安装一个中间铰，减少一个约束，现安装两个中间铰，故为一度静不定。
弯矩方程为
将其代入
积分后，代入协调条件
可得
进而可求得
2．求A/B
令原题图中的F=1，即为求A/B的单位状态。
依据图（a），可以写出弯矩方程如下：
将其代入
积分后，得到
（←→）
14-8图a所示结构，杆BC与DG为刚性杆，杆1、杆2与杆3为弹性杆，结构承受铅垂载荷F作用。设弹性杆各截面的拉压刚度均为EA，试求各杆的轴力与刚性杆BC的转角。
（d）在平面受力时，一个封闭框有三个多余内约束，此框在左上角和右下角各有一个中间铰，减去两个约束，故为一度静不定。
14-2图示各刚架，弯曲刚度EI均为常数。试求支反力，并画弯矩图。
题14-2图
（a）解：方法1，常规解法
此为一度静不定问题。
如图14-2(a)之(1)所示，解除B处水平约束，代以多余反力FBx。
（b）解：此为一度静不定问题。
载荷状态及单位状态如图14-2(b)所示。
图14-2(b)
弯矩方程为
，
，
将其代入
积分后，得
代入协调条件
得
弯矩图如图（3）所示。
14-3图示圆弧形小曲率杆，弯曲刚度EI为常数。试求支反力，对于题(b)，并计算截面A的水平位移。
题14-3图
（a）解：此为一度静不定问题。
由对称性可得
将其代入
积分后，得
代入协调条件
得
（↑）
弯矩图如图（3）所示，最大弯矩为
14-10图示各刚架，弯曲刚度EI均为常数，试画刚架的弯矩图，并计算截面A与B沿AB连线方向的相对线位移。
题14-10图
提示：本题（a）~（d）均为三度静不定问题。其中，（a）、（b）均为双对称问题。对称面上 ，FN可由静力平衡条件求出，只剩下一个未知内力待求，依据协调条件（切口两边相对转角为零）即可求出。（c）、（d）均为双反对称问题，结构对称面上只有 待求，而且可由静力平衡条件求出。
图14-2(a)
由 ，得
据图（1）与（2），列弯矩方程如下：
，
，
将其代入
并利用协调条件 ，可得
（←）
依据平衡条件，进而可得
（↑）， （→）， （↓）
方法2，利用反对称性求解
刚架受力如图（3）所示，由平衡方程 ，可直接求得合支反力F，其值为
将其分解，所得结果与方法1所得解完全相同。
弯矩图如图（4）所示。
在图d所示水平单位载荷作用下，截面的弯矩则为
于是，得截面B的水平位移为
14-5图示桁架，各杆各截面的拉压刚度均为EA，试求杆BC的轴力。
题14-5图
解：此为一度静不定问题。
选杆BC为多余杆，求切口处相对位移 的载荷状态及单位状态分别如图14-5（a）和（b）所示。
图14-5
求相对位移 的过程列于下表：
（↑）
又由于对称性（θA=0），求ΔCx的载荷状态及单位状态如图14-3（a）所示。
图14-3(a)
弯矩方程为
将其代入
积分后，得
代入协调条件
得
（←）
进而求得
（→）
（b）解：此为一度静不定问题。
求 的载荷状态及单位状态如图14-3（b）所示。
图14-3(b)
弯矩方程为
将其代入
积分后，得
代入协调条件
得
（↑）
由于问题比较简单，这里拟直接给出结果。
（a）
， （←→）
（b）
， （←→）
（c）
，
（d）
，
弯矩图见图14-10。
图14-10
14-12图示小曲率圆环，承受载荷F作用。设弯曲刚度EI为常数，试计算支反力。
题14-12图
解：此为四度静不定问题。有双对称条件可以利用。
得
于是得杆BC的转角为
（）
14-9图示各刚架，弯曲刚度EI均为常数，试画弯矩图。
题14-9图
（a）解：此为二度静不定问题。有对称性可利用。
如图14-9(a)所示，由于C处有铰，所以 ；又由于C处在对称位置，故知其 。铰C左右两边各受切向载荷F/2。相当系统（取左边一半）如图（1）所示，待求未知力仅有FNC一个。
图14-9(a)
根据对称条件，截面C的水平位移 为零，即
由此得到
（→）
弯矩图如图（2）所示，最大弯矩为
（b）解：此为三度静不定问题。有反对称性可利用。
在结构对称面C处假想切开，由于反对称，故有
，
待求未知内力仅有FSC一个。
求 的载荷状态及单位状态如图14-9(b)所示。
图14-9(b)
弯矩方程为
，
，