2017年河北省唐山市高考数学一模试卷(理科)

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河北省唐山市高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题Word版含解析

唐山市2017-2018学年度高三年级第一次模拟考试理科数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. ）B.【答案】A故答案为：A.2. ）D.【答案】C故两个集合相等.故答案为：C.3. ）【答案】B故答案为：B.4. ）【答案】D5. ）【答案】D【解析】根据题意得到有两个1故答案为：D.6. ）B.【答案】D故答案为：D.7. 如图是根据南宋数学家杨辉的“垛积术”设计的程序框图，该程序所能实现的功能是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】根据题意得到：a=0,s=0,i=1,A=1,s=1,i=2,A=4,s=1+4,i=3,A=9,s=1+4+9,i=4,A=16,s=1+4+9+16,i=5,依次写出s的表达式，发现规律，满足C.故答案为：C.8. 的图象，可以将函数）A. 个单位长度B.C.D. 向左平移【答案】A的图象向做平移个单位长度即可.故答案为：A.9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）【答案】A【解析】根据题意得到该几何体是一个三棱柱切下了一个三棱锥，剩下的部分的表面积由一个等腰三角形，两个直角梯形，一个等腰直角三角形，一个长方形构成.面积和为故答案为：A.10. ：，交另一条渐近线于点.若）【答案】Bb得到：AF=b,故OA=a,OF=c,而角AOF 等于角FOB ,又因为三角形AOB为直角三角形，由二倍角公式化简得到c=2b,故答案为：B.11. ）的最小值为【答案】D【解析】A y轴对称；A不正确；B. 在同一坐标系中画出图像，2，2，且不是在同一个x处取得的，故得到两个图像无交点，故B是错误的;其中一个零点为0两个图像的交点，两者的图像只有一个交点，故选项不正确；x值有无数个；或者根据排除法也可得到D.故答案为：D.点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题．研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最值、函数的变化趋势等，根据题目要求，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现。

2016-2017学年河北省唐山市高三(上)第一次摸底数学试卷(理科)(解析版)

2016-2017学年河北省唐山市高三（上）第一次摸底数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A⊆{1，2，3，4，5}，且A∩{1，2，3}＝{1，2}，则满足条件的集合A 的个数是（）A．2B．4C．8D．162．（5分）已知复数满足（1+i）z＝i，则z＝（）A．+i B．﹣i C．+i D．﹣i 3．（5分）某班学生一次数学考试成绩频率分布直方图如图所示，数据分组依次为[70，90），[90，110），[110，130），[130，150]，若成绩大于等于90分的人数为36，则成绩在[110，130）的人数为（）A．12B．9C．15D．184．（5分）设函数y＝f（x），x∈R，“y＝|f（x）|是偶函数”是“y＝f（x）的图象关于原点对称”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）设F1、F2是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积为（）A．B．2C．D．16．（5分）要得到函数f（x）＝2sin x cos x，x∈R的图象，只需将函数g（x）＝2cos2x﹣1，x∈R 的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入a＝1，b＝2，则输出的x＝（）A．1.25B．1.375C．1.40625D．1.43758．（5分）设x0是方程（）x＝的解，则x0所在的范围是（）A．（0，）B．（，）C．（，）D．（，1）9．（5分）某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A．B．C．3D．10．（5分）把长为80cm的铁丝随机截成三段，则每段铁丝长度都不小于20cm的概率是（）A．B．C．D．11．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，P A⊥底面ABCD，P A＝AB＝4，E，F，H分别是棱PB，BC，PD的中点，则过E，F，H的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面面积为（）A．B．C．D．12．（5分）设函数f（x）＝x3﹣3x2+（8﹣a）x﹣5﹣a，若存在唯一的正整数x0，使得f （x0）＜0，则a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量＝（cos15°，sin15°），＝（cos75°，sin75°），则|﹣2|＝．14．（5分）在（2x3﹣）n的展开式中，各二项式系数的和为128，则常数项是．15．（5分）已知抛物线x2＝4y与圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝r2（r＞0）有公共点P，若抛物线在P点处的切线与圆C也相切，则r＝．16．（5分）一艘海监船在某海域实施巡航监视，由A岛向正北方向行驶80海里至M处，然后沿东偏南30°方向行驶50海里至N处，再沿南偏东30°方向行驶30海里至B 岛，则A，B两岛之间距离是海里．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，S10＝110，S15＝240．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n＝+，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥底面ABCD，BC⊥PB，△BCD为等边三角形，P A＝BD＝，AB＝AD，E为PC的中点．（1）求AB；（2）求平面BDE与平面ABP所成二面角的正弦值．19．（12分）甲将要参加某决赛，赛前A，B，C，D四位同学对冠军得主进行竞猜，每人选择一名选手，已知A，B选择甲的概率均为m，C，D选择甲的概率均为n（m＞n），且四人同时选择甲的概率为，四人均未选择甲的概率为．（1）求m，n的值；（2）设四位同学中选择甲的人数为X，求X的分布列和数学期望．20．（12分）如图，过椭圆E：+＝1（a＞b＞0）上一点P向x轴作垂线，垂足为左焦点F，A，B分别为E的右顶点，上顶点，且AB∥OP，|AF|＝+1．（1）求椭圆E的方程；（2）过原点O做斜率为k（k＞0）的直线，交E于C，D两点，求四边形ACBD面积S 的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx+﹣2．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若函数y＝f（x）的两个零点x1，x2（x1＜x2），证明：x1+x2＞2a．四、[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△ABC与△ABD都是以AB为斜边的直角三角形，O为线段AB上一点，BD平分∠ABC，且OD∥BC．（1）证明：A，B，C，D四点共圆，且O为圆心；（2）AC与BD相交于点F，若BC＝2CF＝6，AF＝5，求C，D之间的距离．五、[选修4-4：坐标系与参数方程]23．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程是ρ＝2，矩形ABCD内接于曲线C1，A，B两点的极坐标分别为（2，）和（2，），将曲线C1上所有点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的一半，得到曲线C2．（1）写出C，D的直角坐标及曲线C2的参数方程；（2）设M为C2上任意一点，求|MA|2+|MB|2+|MC|2+|MD|2的取值范围．六、选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）＝|x+1|+|mx﹣1|．（1）若m＝1，求f（x）的最小值，并指出此时x的取值范围；（2）若f（x）≥2x，求m的取值范围．2016-2017学年河北省唐山市高三（上）第一次摸底数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：∵A⊆{1，2，3，4，5}，且A∩{1，2，3}＝{1，2}，∴A＝{1，2}，{1，2，4}，{1，2，5}，}，{1，2，4，5}，即满足题意A的个数是4．故选：B．2．【解答】解：由（1+i）z＝i，则＝＝，故选：C．3．【解答】解：根据频率分布直方图知，成绩大于等于90分的频率为1﹣0.005×20＝0.9，对应人数为36，所以班级人数为＝40；成绩在[110，130）的频率为0.9﹣（0.02+0.01）×20＝0.3，所求的人数为40×0.3＝12．故选：A．4．【解答】解：“y＝f（x）的图象关于原点对称”，x∈R，可得y＝|f（x）|是偶函数．反之不成立，例如f（x）＝x2，满足y＝|f（x）|是偶函数，x∈R．因此，“y＝|f（x）|是偶函数”是“y＝f（x）的图象关于原点对称”的必要不充分条件．故选：B．5．【解答】解：∵双曲线中，a＝2，b＝1∴c＝＝，可得F1（﹣，0）、F2（，0）∵点P在双曲线上，且∠F1PF2＝90°，∴|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2＝20根据双曲线的定义，得||PF1|﹣|PF2||＝2a＝4∴两式联解，得|PF1|•|PF2|＝2因此△F1PF2的面积S＝|PF1|•|PF2|＝1故选：D．6．【解答】解：将函数g（x）＝2cos2x﹣1＝cos2x，x∈R的图象向右平移个单位，可得函数y＝cos2（x﹣）＝sin2x＝2sin x cos x，x∈R的图象，故选：D．7．【解答】解：模拟程序的运行，可得a＝1，b＝2，x＝1.5不满足条件x2﹣2＜0，b＝1.5，不满足条件|a﹣b|＜0.1，x＝1.25，满足条件x2﹣2＜0，a＝1.25，不满足条件|a﹣b|＜0.1，x＝1.375，满足条件x2﹣2＜0，a＝1.375，不满足条件|a﹣b|＜0.1，x＝1.4375，不满足条件x2﹣2＜0，b＝1.4375，满足条件|a﹣b|＜0.1，退出循环，输出x的值为1.4375．故选：D．8．【解答】解：构建函数f（x）＝（）x﹣，则f（）＝＝＞0，f（）＝＜0∴函数的零点所在的区间是（，）∴解x0所在的区间是（，）故选：B．9．【解答】解：由题意，直观图为组合体，上方为三棱锥，下方为直三棱柱，由图中数据，可得几何体的体积为＝，故选：D．10．【解答】解：设把长为80cm的铁丝随机截成三段的长度分别为x，y，80﹣x﹣y，则由题意知，所以包含事件每段铁丝长度都不小于20cm所表示的面积为区域的面积为＝而基本事件所表示的平面80×80＝3200，所以由几何概型的计算公式即可得出每段铁丝长度都不小于20cm的概率为．故选：A．11．【解答】解：取CD的中点G，P A的四等分点I，顺次连接E，F，G，H，I，则平面EFGHI即为过E，F，H的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面，如图所示：∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，P A⊥底面ABCD，P A＝AB＝4，∴EF＝HG＝PC＝2且EF∥HG∥PC，EH＝FG＝BD＝2且EH∥FG∥BD，故四边形EFGH为矩形，面积是4，△EIH中，EI＝HI＝，故EH上的高IJ＝，故△EIH的面积为，即平面EFGHI的面积为5，故选：C．12．【解答】解：设g（x）＝x3﹣3x2+8x﹣5，h（x）＝a（x+1），g'（x）＝x2﹣6x+8＝（x﹣2）（x﹣4），所以x＞4或者x＜2时函数递增，2＜x＜4时递减，并且g（1）＝，g（2）＝，g（3）＝1，g（4）＝，图象如图，函数h（x）经过（﹣1，0），要使存在唯一的正整数x0，使得f（x0）＜0，即g（x）＜h（x）有唯一正整数解，只要a＞0并且即解得；故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【解答】解：向量＝（cos15°，sin15°），＝（cos75°，sin75°），∴＝cos215°+sin215°＝1，||＝1；＝cos275°+sin275°＝1，||＝1；∴•＝cos15°cos75°+sin15°sin75°＝cos60°＝；＝﹣4•+4＝1﹣4×+4＝3，∴|a﹣2b|＝．故答案为：．14．【解答】解：∵在（2x3﹣）n的展开式中，各二项式系数的和为128，∴2n＝128，解得n＝7，∴T r+1＝＝•，由＝0，得r＝1，∴常数项是T2＝＝14．故答案为：14．15．【解答】解：设点P（x0，），则由x2＝4y，求导y′＝x，∴抛物线在P点处的切线的斜率为k＝x0，∵圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝r2（r＞0）的圆心的坐标为C（1，2），∴k PC＝，∴k PC•k＝•x0＝﹣1，解得：x0＝2∴P（2，1），∴r＝丨PC丨＝＝，故答案为：．16．【解答】解：连接AN，则在△AMN中，应用余弦定理可得AN＝＝70，∴cos∠MAN＝＝∴cos∠ANB＝cos（30°+∠MAN）＝∴AB＝＝70，故答案为70．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵S10＝110，S15＝240．∴d＝110，d＝240，联立解得a1＝d＝2．∴a n＝2+2（n﹣1）＝2n．（2）b n＝+＝+＝2+，∴数列{b n}的前n项和T n＝2n++…+＝2n+1﹣．18．【解答】解：（1）连接AC，∵P A⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴P A⊥BC，又∵BC⊥PB，PB∩P A＝P，∴BC⊥平面P AB，又AB⊂平面P AB，∴BC⊥AB．∵△BCD为等边三角形，AB＝AD，∴△ABC≌△ADC，∴∠ACB＝30°，∠CAB＝60°，又BD＝，∴AB＝；（2）由（1）知，AC⊥BD，设AC∩BD＝O，分别以OC、OD所在直线为x、y轴建立空间直角坐标系．则D（0，，0），B（0，﹣，0），E（，0，），A（，0，0），P（﹣，0，）．，，，．设平面BDE的一个法向量为，则，得，取，则；设平面ABP的一个法向量为，则，得，取，则．∴|cos＜＞|＝||＝||＝．平面BDE与平面ABP所成二面角的正弦值为．19．【解答】解：由已知得，解得m＝，n＝．（2）由题意X的可能取值为0，1，2，3，4，P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝×，P（X＝4）＝，∴X的分布列为：E（X）＝＝2.2．20．【解答】解：（1）由题意可得P（﹣c，），∴k OP＝﹣，k AB＝﹣．由AB∥OP，∴﹣＝﹣，解得b＝c，a＝c，由|AF|＝a+c＝+1得b＝c＝1，a＝，故椭圆E的方程为+y2＝1．（2）由题意可设CD：y＝kx，设C（x1，y1），D（x2，y2），到AB的距离分别为d1，d2，将y＝kx代入+y2＝1，得x2＝，则x1＝，x2＝﹣．由A（，0），B（0，1）得|AB|＝，且AB：x+y﹣＝0，d1＝，d2＝﹣，S＝|AB|（d1+d2）＝[（x1﹣x2）+（y1﹣y2）]＝（1+k）（x1﹣x2）＝，S2＝2（1+），∵1+2k2≥2k，当且仅当2k2＝1时取等号，∴当k＝时，四边形ACBD的面积S取得最大值2．21．【解答】解：（1）∵f（x）＝lnx+﹣2，（x＞0），f′（x）＝﹣＝，a≤0时，f′（x）＞0，f（x）递增，a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞a，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜a，∴f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增；（2）证明：由①可知0＜x1＜a，x2＞a，f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增；设h（x）＝f（x）﹣f（2a﹣x）0＜x＜a，∴h（x）＝ln+﹣，（0＜x＜a），h′（x）＝•﹣﹣＝﹣＜0，∴h（x）在（0，a）递减，∴h（x）＞h（a）＝0，∴f（x）＞f（2a﹣x），由x1∈（0，1），∴f（x1）＝f（x2）＞f（2a﹣x1），而x2＞a，2a﹣x1＞a，f（x）在（a，+∞）递增，∴x2＞2a﹣x1，即x1+x2＞2a，∴原不等式成立．四、[选修4-1：几何证明选讲]22．【解答】（1）证明：因为△ABC与△ABD都是以AB为斜边的直角三角形，所以A，B，C，D四点都在以AB为直径的圆上．因为BD平分∠ABC，且OD∥BC，所以∠OBD＝∠CBD＝∠ODB，OB＝OD．又∠OAD+∠OBD＝90°，∠ODA+∠ODB＝90°，所以∠OAD＝∠ODA，OA＝OD．所以OA＝OB，O是AB的中点，O为圆心．…（5分）（2）解：由BC＝2CF＝6，得BF＝3，由Rt△ADF∽Rt△BCF得＝＝2．设AD＝2DF＝2x，则AF＝x，由BD平分∠ABC得＝＝2，所以＝2，解得x＝，即AD＝2．连CD，由（1），CD＝AD＝2．…（10分）五、[选修4-4：坐标系与参数方程]23．【解答】解：（1）曲线C1的极坐标方程是ρ＝2，矩形ABCD内接于曲线C1，A，B两点的极坐标分别为（2，）和（2，），利用对称性可得：C，D，分别化为直角坐标：C，D．曲线C1的极坐标方程是ρ＝2，化为直角坐标方程：x2+y2＝4．设曲线C2．上的任意一点坐标P（x，y），曲线C1的任意一点P′（x′，y′），则，可得．代入（x′）2+（y′）2＝4，得x2+4y2＝4，其参数方程为：．（2）A，B．设M（2cosθ，sinθ）．|MA|2+|MB|2+|MC|2+|MD|2＝++（sinθ﹣1）2++（sinθ+1）2++（sinθ+1）2＝12cos2θ+20∈[20，32]．六、选修4-5：不等式选讲24．【解答】解：（1）f（x）＝|x+1|+|x﹣1|≥|（x+1）﹣（x﹣1）|＝2，当且仅当（x+1）（x﹣1）≤0时取等号．故f（x）的最小值为2，此时x的取值范围是[﹣1，1]．…（5分）（2）x≤0时，f（x）≥2x显然成立，所以此时m∈R；x＞0时，由f（x）＝x+1+|mx﹣1|≥2x得|mx﹣1|≥x﹣1，由y＝|mx﹣1|及y＝x﹣1的性质可得|m|≥1且≤1，解得m≥1，或m≤﹣1．综上所述，m的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．…（10分）。

2017年河北省唐山市高考一模数学试卷(理科)【解析版】

2017年河北省唐山市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项符合题目要求．1．（5分）若复数z满足（3+4i）z＝25，则复平面内表示z的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x＞0}，，则（）A．A∩B＝∅B．A∪B＝R C．B⊆A D．A⊆B3．（5分）若函数，则f（f（2））＝（）A．1B．4C．0D．5﹣e24．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．π+2B．2π+4C．π+4D．2π+25．（5分）在△ABC中，∠B＝90°，，，则λ＝（）A．﹣1B．1C．D．46．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4＝﹣4，S6＝6，则S5＝（）A．1B．0C．﹣2D．47．（5分）已知双曲线的右顶点为A，过右焦点F的直线l与C的一条渐近线平行，交另一条渐近线于点B，则S＝（）△ABFA．B．C．D．8．（5分）二项式（x﹣a）7的展开式中，含x4项的系数为﹣280，则dx＝（）A．ln2B．ln2+1C．1D．9．（5分）一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法可以设计如图所示的程序框图，若输入的n为6时，输出结果为2.45，则m可以是（）A．0.6B．0.1C．0.01D．0.0510．（5分）已知ω＞0，将函数f（x）＝cosωx的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则ω的最小值是（）A．B．3C．D．11．（5分）在一次比赛中某队共有甲，乙，丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场的顺序，则乙、丙都不与甲相邻出场的概率是（）A．B．C．D．12．（5分）已知a＞b＞0，a b＝b a，有如下四个结论：①b＜e；②b＞e；③∃a，b满足a•b＜e2；④a•b＞e2．则正确结论的序号是（）A．①③B．②③C．①④D．②④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．13．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z＝x+y的最小值是．14．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且，若a4＝32，则a1＝．15．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，，抛物线C上的点B满足AB⊥AF，且|BF|＝4，则p＝．16．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，P A，PB，PC两两互相垂直，且AB＝4，AC ＝5，则BC的取值范围是．三、解答题：本大题共70分，其中17-21题为必考题，22、23题为选考题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2+b2＝λab．（1）若，，求sin A；（2）若λ＝4，AB边上的高为，求C．18．（12分）某市春节期间7家超市的广告费支出x i（万元）和销售额y i（万元）数据如下：（1）若用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程；（2）用对数回归模型拟合y与x的关系，可得回归方程：，经计算得出线性回归模型和对数模型的R2分别约为0.75和0.97，请用R2说明选择哪个回归模型更合适，并用此模型预测A超市广告费支出为8万元时的销售额．参数数据及公式：，，，ln2≈0.7．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝CB＝2，M、N分别是AB、A1C的中点．（1）求证：MN∥平面BB1C1C；（2）若平面CMN⊥平面B1MN，求直线AB与平面B1MN所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知点P，M，N为椭圆C上的三点，若四边形OPMN为平行四边形，证明四边形OPMN的面积S为定值，并求该定值．21．（12分）已知函数f（x）＝sin x+tan x﹣2x．（1）证明：函数f（x）在（﹣，）上单调递增；（2）若x∈（0，），f（x）≥mx2，求m的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数，0≤φ＜π），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝1，l与C交于不同的两点P1，P2．（1）求φ的取值范围；（2）以φ为参数，求线段P1P2中点轨迹的参数方程．23．已知x，y∈（0，+∞），x2+y2＝x+y．（1）求的最小值；（2）是否存在x，y，满足（x+1）（y+1）＝5？并说明理由．2017年河北省唐山市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项符合题目要求．1．（5分）若复数z满足（3+4i）z＝25，则复平面内表示z的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：（3+4i）z＝25，∴（3﹣4i）（3+4i）z＝25（3﹣4i），∴z＝3﹣4i．则复平面内表示z的点（3，﹣4）位于第四象限．故选：D．2．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x＞0}，，则（）A．A∩B＝∅B．A∪B＝R C．B⊆A D．A⊆B【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣x＞0}＝{x|x＞1或x＜0}，，∴A∩B＝{x|﹣或1＜x＜}，A∪B＝R．故选：B．3．（5分）若函数，则f（f（2））＝（）A．1B．4C．0D．5﹣e2【解答】解：由题意知，，则f（2）＝5﹣4＝1，f（1）＝e0＝1，所以f（f（2））＝1，故选：A．4．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．π+2B．2π+4C．π+4D．2π+2【解答】解：由三视图可得，直观图是直三棱柱与半圆柱的组合体，体积为+＝π+2，故选：A．5．（5分）在△ABC中，∠B＝90°，，，则λ＝（）A．﹣1B．1C．D．4【解答】解：△ABC中，，，∴＝﹣＝（2，λ+2），又∠B＝90°，∴⊥，∴•＝0，即2﹣2（λ+2）＝0，解得λ＝﹣1．故选：A．6．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4＝﹣4，S6＝6，则S5＝（）A．1B．0C．﹣2D．4【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S4＝﹣4，S6＝6，∴d＝﹣4，d＝6，解得a1＝﹣4，d＝2．则S5＝5×（﹣4）+×2＝0，故选：B．7．（5分）已知双曲线的右顶点为A，过右焦点F的直线l与C的＝（）一条渐近线平行，交另一条渐近线于点B，则S△ABFA．B．C．D．【解答】解：由双曲线，可得a2＝1，b2＝3，故c＝＝2，∴A（1，0），F（2，0），渐近线方程为y＝±x，不妨设BF的方程为y＝（x﹣2），代入方程y＝﹣x，解得：B（1，﹣）．＝|AF|•|y B|＝•1•＝．∴S△AFB故选：B．8．（5分）二项式（x﹣a）7的展开式中，含x4项的系数为﹣280，则dx＝（）A．ln2B．ln2+1C．1D．【解答】解：（x﹣a）7的展开式的通项为（﹣1）r a r C7r x7﹣r，令7﹣r＝4得r＝3，∴展开式中x4项的系数（﹣1）3a3C73＝﹣35a3＝﹣280，∴a＝2，∴dx＝lnx＝1．故选：C．9．（5分）一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法可以设计如图所示的程序框图，若输入的n为6时，输出结果为2.45，则m可以是（）A．0.6B．0.1C．0.01D．0.05【解答】解：模拟程序的运行，可得n＝6，a＝3b＝2.5，不满足条件|b﹣a|＜m，执行循环体，a＝2.5，b＝2.45，由题意，此时应该满足条件|b﹣a|＜m，退出循环，输出b的值为2.45．可得：|2.5﹣3|≥m，且|2.45﹣2.5|＜m，解得：0.05＜m≤0.5，故选：B．10．（5分）已知ω＞0，将函数f（x）＝cosωx的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则ω的最小值是（）A．B．3C．D．【解答】解：由函数f（x）＝cosωx＝sin（ωx）图象向右平移个单位后得到：sin（），由题意可得：，（k∈Z）解得：，∵ω＞0，∴当k＝0时，ω的值最小值为．故选：A．11．（5分）在一次比赛中某队共有甲，乙，丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场的顺序，则乙、丙都不与甲相邻出场的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：在一次比赛中某队共有甲，乙，丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场的顺序，基本事件总数n＝＝120，乙、丙都不与甲相邻出场包含的基本事件个数m＝++＝36，∴乙、丙都不与甲相邻出场的概率p＝＝．故选：D．12．（5分）已知a＞b＞0，a b＝b a，有如下四个结论：①b＜e；②b＞e；③∃a，b满足a•b＜e2；④a•b＞e2．则正确结论的序号是（）A．①③B．②③C．①④D．②④【解答】解：【特殊值法】a＞b＞0，a b＝b a，不妨令a＝4，b＝2，满足条件；则a＝4＞e，b＝2＜e，①正确，②错误；又ab＝2×4＞e2，④正确，③错误；综上，正确的命题是①④．【直接法】a＞b＞0，a b＝b a，∴blna＝alnb，∴＝；设f（x）＝（x＞0），则f′（x）＝，令f′（x）＝0，得1﹣lnx＝0，解得x＝e；∴x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数；∴x＝e时f（x）取得最大值为f（e）＝；由函数的图象知，a、b中a＞e，1＜b＜e，∴①正确，②错误；由＝＝t＞0，∴①﹣②得＝t①+②得lna+lnb＝t（a+b）＝＝lna+lnb﹣2＝﹣2③令u＝，则③式变为lna+lnb﹣2＝﹣2＝（lnu﹣）∵a＞e，1＜b＜e，∴u∈（1，+∞）另f（u）＝lnu﹣∵f′（u）＝﹣＞0，∴f（u）在（1，+∞）上单调递增，f（u）＞0，由∵u﹣1＞0，∴lna﹣lnb＞2∴a•b＞e2，③错误，④正确．综上，正确结论的序号是①④．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．13．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z＝x+y的最小值是﹣2．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，得A（﹣1，﹣1），化目标函数z＝x+y为y＝﹣x+z，由图可知，当直线y＝﹣x+z过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣1﹣1＝﹣2．故答案为：﹣2．14．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且，若a4＝32，则a1＝．【解答】解：∵，a4＝32，∴＝32，∴a1＝，故答案为．15．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，，抛物线C上的点B满足AB⊥AF，且|BF|＝4，则p＝2或6．【解答】解：由题意，k AF＝﹣，∴直线AB的方程为y＝x+，代入y2＝2px，可得p2x2﹣12px+36＝0，∴x＝，∵|BF|＝4，∴+＝4，∴p＝2或6，故答案为2或6．16．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，P A，PB，PC两两互相垂直，且AB＝4，AC ＝5，则BC的取值范围是（3，）．【解答】解：如图设P A、PB、PC的长分别为a、b、c，BC＝m．∵P A，PB，PC两两互相垂直，∴a2+b2＝16，a2+c2＝25，b2+c2＝m2⇒m2＝41﹣2a2，且a2＜16，a2＜25⇒﹣2a2＞﹣32，⇒﹣2a2＞﹣50⇒⇒﹣2a2＞﹣32⇒m2＝41﹣2a2＞9⇒m＞3在△ABC中，⇒3＜m＜故答案为（3，）三、解答题：本大题共70分，其中17-21题为必考题，22、23题为选考题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2+b2＝λab．（1）若，，求sin A；（2）若λ＝4，AB边上的高为，求C．【解答】解：（1）由已知，，结合正弦定理得：，于是．因为，所以，可得．（2）由题意可知，得：．从而有：，即，又因为，所以，．18．（12分）某市春节期间7家超市的广告费支出x i（万元）和销售额y i（万元）数据如下：（1）若用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程；（2）用对数回归模型拟合y与x的关系，可得回归方程：，经计算得出线性回归模型和对数模型的R2分别约为0.75和0.97，请用R2说明选择哪个回归模型更合适，并用此模型预测A超市广告费支出为8万元时的销售额．参数数据及公式：，，，ln2≈0.7．【解答】解：（1），所以，y关于x的线性回归方程是（2）∵0.75＜0.97，∴对数回归模型更合适．当x＝8万元时，预测A超市销售额为47.2万元．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝CB＝2，M、N分别是AB、A1C的中点．（1）求证：MN∥平面BB1C1C；（2）若平面CMN⊥平面B1MN，求直线AB与平面B1MN所成角的正弦值．【解答】（1）证明：连接AC1，BC1，则N∈AC1且N为AC1的中点，又∵M为AB的中点，∴MN∥BC1，又BC1⊂平面BB1C1C，MN⊄平面BB1C1C，故MN∥平面BB1C1C．…（4分）（2）解：由A1A⊥平面ABC，得AC⊥CC1，BC⊥CC1．以C为原点，分别以CB，CC1，CA所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设CC1＝2λ（λ＞0），则M（1，0，1），N（0，λ，1），B 1（2，2λ，0），，＝（﹣1，λ，0），．取平面CMN的一个法向量为，由，得：，令y＝1，得，同理可得平面B 1MN的一个法向量为，∵平面CMN⊥平面B1MN，∴，解得，得，又，设直线AB与平面B1MN所成角为θ，则．所以，直线AB与平面B1MN所成角的正弦值是．20．（12分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知点P，M，N为椭圆C上的三点，若四边形OPMN为平行四边形，证明四边形OPMN的面积S为定值，并求该定值．【解答】解：（1）由椭圆的离心率为，得，∴＝∴，∴a2＝2b2；将Q代入椭圆C的方程，得+＝1，解得b2＝4，∴a2＝8，∴椭圆C的方程为；（2）当直线PN的斜率k不存在时，PN方程为：或，从而有，所以四边形OPMN的面积为；当直线PN的斜率k存在时，设直线PN方程为：y＝kx+m（m≠0），P（x1，y1），N（x2，y2）；将PN的方程代入C整理得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8＝0，所以，，，由得：，将M点坐标代入椭圆C方程得：m2＝1+2k2；点O到直线PN的距离为，，四边形OPMN的面积为．综上，平行四边形OPMN的面积S为定值．21．（12分）已知函数f（x）＝sin x+tan x﹣2x．（1）证明：函数f（x）在（﹣，）上单调递增；（2）若x∈（0，），f（x）≥mx2，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝sin x+tan x﹣2x则，∵，∴cos x∈（0，1]，于是（等号当且仅当x＝0时成立）．故函数f（x）在上单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）在上单调递增，又f（0）＝0，∴f（x）＞0，（ⅰ）当m≤0时，f（x）＞0≥mx2成立．（ⅱ）当m＞0时，令p（x）＝sin x﹣x，则p'（x）＝cos x﹣1，当时，p'（x）＜0，p（x）单调递减，又p（0）＝0，所以p（x）＜0，故时，sin x＜x．（*）由（*）式可得f（x）﹣mx2＝sin x+tan x﹣2x﹣mx2＜tan x﹣x﹣mx2，令g（x）＝tan x﹣x﹣mx2，则g'（x）＝tan2x﹣2mx由（*）式可得，令h（x）＝x﹣2m cos2x，得h（x）在上单调递增，又h（0）＜0，，∴存在使得h（t）＝0，即x∈（0，t）时，h（x）＜0，∴x∈（0，t）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，又∵g（0）＝0，∴g（x）＜0，即x∈（0，t）时，f（x）﹣mx2＜0，与f（x）＞mx2矛盾．综上，满足条件的m的取值范围是（﹣∞，0]．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数，0≤φ＜π），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝1，l与C交于不同的两点P1，P2．（1）求φ的取值范围；（2）以φ为参数，求线段P1P2中点轨迹的参数方程．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ＝1，根据ρ2＝x2+y2可得曲线C的直角坐标方程为x2+y2＝1，将代入x2+y2＝1得t2﹣4t sinφ+3＝0（*）由16sin2φ﹣12＞0，得，又0≤φ≤π，∴所求φ的取值范围是；（Ⅱ）由（1）中的（*）可知，，代入中，整理：得P1P2的中点的轨迹方程为（φ为参数，）．故得线段P1P2中点轨迹的参数方程为为（φ为参数，）．23．已知x，y∈（0，+∞），x2+y2＝x+y．（1）求的最小值；（2）是否存在x，y，满足（x+1）（y+1）＝5？并说明理由．【解答】解：（1），当且仅当x＝y＝1时，等号成立．所以的最小值为2．（2）不存在．因为x2+y2≥2xy，所以（x+y）2≤2（x2+y2）＝2（x+y），∴（x+y）2﹣2（x+y）≤0，又x，y∈（0，+∞），所以x+y≤2．从而有（x+1）（y+1）≤≤＝4，因此不存在x，y，满足（x+1）（y+1）＝5．。

2017届河北省唐山市高三第一次模拟考试试题理科数学试题及答案

唐山市2017学年度高三年级第一次模拟考试理科数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、已知全集{}2U 1x x =>，集合{}2430x x x A =-+<，则U A =ð（） A ．()1,3 B ．()[),13,-∞+∞ C ．()[),13,-∞-+∞ D ．()(),13,-∞-+∞2、221i i ⎛⎫= ⎪-⎝⎭（） A ．2i - B ．4i - C ．2i D ．4i3、已知抛物线的焦点()F ,0a （0a <），则抛物线的标准方程是（） A ．22y ax= B ．24y ax= C ．22y ax =-D ．24y ax =-4、命题:p x ∃∈N ，32x x <；命题:q ()()0,11,a ∀∈+∞ ，函数()()log 1a f x x =-的图象过点()2,0，则（） A ．p 假q 真 B ．p 真q 假 C ．p 假q 假 D ．p 真q 真5、执行右边的程序框图，则输出的A 是（） A ．2912B ．7029C ．2970D ．169706、在直角梯形CD AB 中，//CD AB ，C 90∠AB = ，2C 2CD AB =B =，则cos D C ∠A =（）A ．B ．C ．D ．7、已知2sin 21cos 2αα=+，则tan 2α=（） A ．43- B ．43C ．43-或0D ．43或08、32212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为（）A ．8-B ．12-C ．20-D ．209、函数()sin 2cos f x x x =+的值域为（） A ．⎡⎣ B ．[]1,2 C ．⎡⎣D ．⎤⎦10、F 是双曲线C :22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点，过点F 向C的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ．若2F F A =B，则C 的离心率是（）A ．B ．2C ．D ．311、直线y a =分别与曲线()21y x =+，ln y x x =+交于A ，B ，则AB 的最小值为（）A ．3B ．2C ．4D ．3212、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．4 B ．21C ．12 D 12+ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、已知()1,3a =-，()1,b t = ，若()2a b a -⊥ ，则b = ．14、为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖情况，得如下实验数据，计算得回归直线方程为ˆ0.850.25yx =-．由以上2A ，B ，C ，D ，若C D 2AB =A =A =，则平面CDB 被球所截得图形的面积为．16、已知x ，R y ∈，满足22246x xy y ++=，则224z x y =+的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()11n n q S qa -+=，且()10q q -≠． ()I 求{}n a 的通项公式；()II 若3S ，9S ，6S 成等差数列，求证：2a ，8a ，5a 成等差数列． 18、（本小题满分12分）小王在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个．()I 若小王发放5元的红包2个，求甲恰得1个的概率；()II 若小王发放3个红包，其中5元的2个，10元的1个．记乙所得红包的总钱数为X ，求X 的分布列和期望．19、（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱111C C AB -A B 中，侧面11CC A A 与侧面11C C BB 都是菱形，111CC CC 60∠A =∠B = ，C 2A =． ()I 求证：11CC AB ⊥；()II 若1AB =11C -AB -A ．20、（本小题满分12分）已知圆:O 224x y +=，点)A ，以线段AB 为直径的圆内切于圆O ，记点B 的轨迹为Γ．()I 求曲线Γ的方程；()II 直线AB 交圆O 于C ，D 两点，当B 为CD 的中点时，求直线AB 的方程．21、（本小题满分12分）已知函数()()212xx f x e +=-，()()2ln 1x g x x e -=++．()I ()1,x ∈-+∞时，证明：()0f x >； ()II 0a >，若()1g x ax ≤+，求a 的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，圆周角C ∠BA 的平分线与圆交于点D ，过点D 的切线与弦C A 的延长线交于点E ，D A 交C B 于点F ．()I 求证：C//D B E ；()II 若D ，E ，C ，F 四点共圆，且 C C A =B ，求C ∠BA ．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知椭圆C :22143x y +=，直线:l 3x y t⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．()I 写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程；()II 设()1,0A ，若椭圆C 上的点P 满足到点A 的距离与其到直线l 的距离相等，求点P 的坐标． 24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x a x =-++． ()I 当1a =时，解不等式()3f x <； ()II 若()f x 的最小值为1，求a 的值．参考答案一、选择题：1、C2、A3、B4、A5、B6、B7、D8、C9、A 10、C 11、D 12、C 二、填空题：13、 5 14、6 15、16π 16、[4，12] 三、解答题：17、解：（Ⅰ）当n ＝1时，由(1－q )S 1＋qa 1＝1，a 1＝1．当n ≥2时，由(1－q )S n ＋qa n ＝1，得(1－q )S n －1＋qa n －1＝1，两式相减得a n ＝qa n －1，又q (q －1)≠0，所以{a n }是以1为首项，q 为公比的等比数列，故a n ＝q n －1． …6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知S n ＝1－a n q 1－q ，又S 3＋S 6＝2S 9，得1－a 3q 1－q ＋1－a 6q1－q＝2(1－a 9q )1－q，化简得a 3＋a 6＝2a 9，两边同除以q 得a 2＋a 5＝2a 8．故a 2，a 8，a 5成等差数列． …12分 18、解：（Ⅰ）设“甲恰得一个红包”为事件A ，P (A )＝C 12×1 3× 2 3＝ 4 9． …4分（Ⅱ）X 的所有可能值为0，5，10，15，20．P (X ＝0)＝ ( 2 3)2× 2 3＝827， P (X ＝5)＝C 12× 1 3×( 2 3)2＝827，P(X＝10)＝( 13)2×23＋(23)2×13＝627，P(X＝15)＝C12×( 13)2×23＝427，P(X＝20)＝( 13)3＝127．…10分X的分布列：E(X)＝0×827＋5×827＋10×627＋15×427＋20×127＝203．…12分19、解：（Ⅰ）证明：连AC1，CB1，则△ACC1和△B1CC1皆为正三角形．取CC1中点O，连OA，OB1，则CC1⊥OA，CC1⊥OB1，则CC1⊥平面OAB1，则CC1⊥AB1． (4)分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，OA＝OB1＝3，又AB1＝6，所以OA⊥OB1．如图所示，分别以OB1，OC1，OA为正方向建立空间直角坐标系，则C(0，－1，0)，B1(3，0，0)，A(0，0，3)，…6分设平面CAB1的法向量为m＝(x1，y1，z1)，因为AB1→＝(3，0，－3)，AC→＝(0，－1，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3×x 1＋0×y 1－3×z 1＝0，0×x 1－1×y 1－3×z 1＝0，取m ＝(1，－3，1)．…8分设平面A 1AB 1的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，因为AB 1→＝(3，0，－3)，AA 1→＝ (0，2，0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3×x 2＋0×y 2－3×z 2＝0，0×x 1＋2×y 1＋0×z 1＝0，取n ＝(1，0，1)．…10分则cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝25×2＝105，因为二面角C -AB 1-A 1为钝角，所以二面角C -AB 1-A 1的余弦值为－105．…12分20、解：（Ⅰ）设AB 的中点为M ，切点为N ，连OM ，MN ，则|OM |＋|MN |＝|ON |＝2取A 关于y 轴的对称点A '，连A 'B ，故|A 'B |＋|AB |＝2(|OM |＋|MN |)＝4．所以点B 的轨迹是以A '，A 其中，a ＝2，c ＝3，b ＝1，则曲线Γ的方程为x 24＋y 2＝1．…5分（Ⅱ）因为B 为CD 的中点，所以OB ⊥CD ，则OB →⊥AB →．设B (x 0，y 0)，则x 0(x 0－3)＋y 02＝0． …7分又x024＋y02＝1 解得x0＝23，y0＝±23．则k OB＝±22，k AB＝ 2，…10分则直线AB的方程为y＝±2(x－3)，即x－y－6＝0或2x＋y－6＝0．…12分21、解：（Ⅰ）令p(x)＝f'(x)＝e x－x－1，p'(x)＝e x－1，在(－1，0)内，p'(x)＜0，p(x)单减；在(0，＋∞)内，p'(x) ＞0，p(x)单增．所以p(x)的最小值为p(0)＝0，即f'(x)≥0，所以f(x)在(－1，＋∞)内单调递增，即f(x)＞f(－1)＞0．…4分（Ⅱ）令h(x)＝g(x)－(ax＋1)，则h'(x)＝2x＋1－e－x－a，令q(x)＝2x＋1－e－x－a，q'(x)＝1e x－2(x＋1)2．由（Ⅰ）得q'(x)＜0，则q(x)在(－1，＋∞)上单调递减．…6分（1）当a＝1时，q(0)＝h'(0)＝0且h(0)＝0．在(－1，0)上h'(x)＞0，h(x)单调递增，在(0，＋∞)上h'(x)＜0，h(x)单调递减，所以h(x)的最大值为h(0)，即h(x)≤0恒成立．…7分（2）当a＞1时，h'(0)＜0，x∈(－1，0)时，h'(x)＝2x＋1－e－x－a＜2x＋1－1－a＝0，解得x ＝1－a a ＋1∈(－1，0)．即x ∈(1－a a ＋1，0)时h '(x )＜0，h (x )单调递减，又h (0)＝0，所以此时h (x )＞0，与h (x )≤0恒成立矛盾． …9分（3）当0＜a ＜1时，h '(0)＞0，x ∈(0，＋∞)时，h '(x )＝ 2 x ＋1－e －x －a ＞ 2 x ＋1－1－a ＝0，解得x ＝1－a a ＋1∈(0，＋∞)．即x ∈(0，1－a a ＋1)时h '(x )＞0，h (x )单调递增，又h (0)＝0，所以此时h (x )＞0，与h (x )≤0恒成立矛盾． …11分综上，a 的取值为1． …12分22、解：（Ⅰ）证明：因为∠EDC ＝∠DAC ，∠DAC ＝∠DAB ，∠DAB ＝∠DCB ，所以∠EDC ＝∠DCB ，所以BC ∥DE ． …4分（Ⅱ）解：因为D ，E ，C ，F 四点共圆，所以∠CFA ＝∠CED由（Ⅰ）知∠ACF ＝∠CED ，所以∠CFA ＝∠ACF ．设∠DAC ＝∠DAB ＝x ，因为AC ⌒＝BC ⌒，所以∠CBA ＝∠BAC ＝2x ，所以∠CFA ＝∠FBA ＋∠FAB ＝3x ，在等腰△ACF 中，π＝∠CFA ＋∠ACF ＋∠CAF ＝7x ，则x ＝ π 7，所以∠BAC ＝2x ＝2π7． …10分 A D BF C E23、解：（Ⅰ）C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ（θ为为参数），l ：x －3y＋9＝0． …4分（Ⅱ）设P (2cos θ，3sin θ),则|AP |＝(2cos θ－1)2＋(3sin θ)2＝2－cos θ，P 到直线l 的距离d ＝|2cos θ－3sin θ＋9|2＝2cos θ－3sin θ＋92．由|AP |＝d 得3sin θ－4cos θ＝5，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，得sin θ＝ 3 5， cos θ＝－ 4 5．故P (－ 8 5， 33 5)． …10分24、解：（Ⅰ）因为f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ， x ≤－1；－x ＋2，－1≤x ≤ 1 2；3x ， x ≥ 12 且f (1)＝f (－1)＝3，所以，f (x )＜3的解集为{x |－1＜x ＜1}； …4分（Ⅱ）|2x －a |＋|x ＋1|＝|x － a 2|＋|x ＋1|＋|x － a 2|≥|1＋ a 2|＋0＝|1＋ a 2|当且仅当(x＋1)(x－a2)≤0且x－a2＝0时，取等号．所以|1＋a2|＝1，解得a＝－4或0．…10分。

2017年河北省高考理科数学试题与答案

2017年河北省高考理科数学试题与答案2017年河北省高考理科数学试题与答案本次高考理科数学试卷共分为两部分，选择题和非选择题，考试时间为120分钟，试卷满分为150分。

考生在答卷前需填写自己的姓名、考生号、考场号和座位号，并将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。

非选择题需使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液。

选择题共12小题，每小题5分，共60分。

1.已知集合A={x|x<1}，B={x|3x1}，则B={x|x<1/3}，故选项B为正确答案。

2.根据题意，正方形内切圆的半径为正方形边长的一半，黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，故黑色部分面积为1/2，白色部分面积为1/2，所以此点取自黑色部分的概率为1/2，故选项B为正确答案。

3.命题1和命题4为真命题，故选项B为正确答案。

4.根据等差数列的通项公式和前n项和公式，列出方程组求解可得公差为2，故选项B为正确答案。

5.函数f(x)在(,)单调递减，且为奇函数，所以f(x)=-f(x)，代入f(x-2)，得到-1≤f(x-2)≤1，故x的取值范围为[0,4]，故选项C为正确答案。

6.根据二项式定理，展开式中x^2的系数为C(6,2)=15，故选项A为正确答案。

7.由三视图可得该多面体为六棱柱，故选项D为正确答案。

1.腰直角三角形组成的多面体，俯视图为等腰直角三角形，其中梯形面积之和为C。

14.2.在右侧程序框图中，可以分别填入D。

A≤1000和n=n+2.3.正确的做法是把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π/2个单位长度，得到曲线C2.4.设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为C。

2020届河北省唐山市2017级高三下学期一模考试数学(理)试卷及答案

2020届河北省唐山市2017级高三下学期一模考试数学（理）试卷★祝考试顺利★注意事项：1、答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2、回答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。

3、考试结束后,将本试卷和答题卡一井交回。

一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2,1,0,1-=A ,{}x y y B 2==,B A M I =,则集合M 的子集个数是A ．2B ．3C ．4．D ．82．设i 是虚数单位,复数ii z -+=32,则z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．人口平均预期寿命是综合反映人们健康水平的基本指标．2010 年第六次全国人口普查资料表明,随着我国社会经济的快速发展,人民生活水平的不断提高以及医疗卫生保障体系的逐步完善,我国人口平均预期寿命继续延长,国民整体健康水平有较大幅度的提高．右图体现了我国平均预期寿命变化情况,依据此图,下列结论错误的是A ．男性的平均预期寿命逐渐延长B ．女性的平均预期寿命逐渐延长C ．男性的平均预期寿命延长幅度略高于女性D ．女性的平均预期寿命延长幅度略高于男性4．《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著,书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺,深一丈八尺,问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器,底面圆周长五丈四尺,高一丈八尺,求此容器能放多少斛米”（古制1文=10尺,1斛=1.62立方尺,圆周率π=3）,则该圆柱形容器能放米A ．900 斛B ．2700斛C ．3600斛D ．10800斛。

(全优试卷)河北省唐山市高三年级第一次模拟考试数学(理)试题Word版含答案

唐山市2017-2018学年度高三年级第一次模拟考试理科数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）AC2.）A3.）A4.b=）A5.）A6.）A7. 如图是根据南宋数学家杨辉的“垛积术”设计的程序框图，该程序所能实现的功能是（）ABCD8.）ABCD9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A10.）A11. ）A BC D12.）AC二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.的最小值是．的展开式中，二项式系数最大的项的系数是．（用数字作答）15.16.的取值范围是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）、（23）题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.（1（218..销售宗旨是当天进货当天销售..根据组，得到如图所示的频率分布直方图.（1（2）在频率分布直方图的需求量分组中，以各组区间的中点值代表该组的各个值.（i（ii）19.（1（2.20..（1（2.21.（1（2.（二）选考题：共10分.请考生在（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程以坐标原点为.（1（2.23.选修4-5：不等式选讲（1（2.唐山市2017—2018学年度高三年级第一次模拟考试理科数学参考答案一．选择题：A卷：DCBDA DCCAB DBB卷：ACBDD DCAAB DB二．填空题：（13）－5 （14）－160 （15）32（16）[2，22]三．解答题：（17）解：（Ⅰ）当n＝1时，2S1＝2a1＝a21＋1，所以(a1－1)2＝0，即a1＝1，又{a n}为单调递增数列，所以a n≥1．…2分由2S n＝a2n＋n得2S n＋1＝a2 n＋1＋n＋1，所以2S n＋1－2S n＝a2 n＋1－a2n＋1，整理得2a n ＋1＝a 2 n ＋1－a 2n ＋1，所以a 2n ＝(a n ＋1－1)2．所以a n ＝a n ＋1－1，即a n ＋1－a n ＝1，所以{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列，所以a n ＝n ．…6分（Ⅱ）b n ＝a n ＋22n ＋1·a n ·a n ＋1＝n ＋22n ＋1·n ·(n ＋1)＝12n ·n －12n ＋1·(n ＋1)…9分所以T n ＝(121·1－122·2)＋(122·2－123·3)＋…＋[12n ·n －12n ＋1·(n ＋1)]＝121·1－12n ＋1·(n ＋1)＜ 12． …12分（18）解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，日销售量不低于350公斤的概率为(0.0025＋0.0015)×100＝0.4，则未来连续三天内，有连续两天的日销售量不低于350公斤，而另一天日销售量低于350公斤的概率P ＝0.4×0.4×(1－0.4)＋(1－0.4)×0.4×0.4＝0.192． …3分（Ⅱ）（ⅰ）X 可取100，200，300，400，500，P (X ＝100)＝0.0010×10＝0.1； P (X ＝200)＝0.0020×10＝0.2； P (X ＝300)＝0.0030×10＝0.3； P (X ＝400)＝0.0025×10＝0.25； P (X ＝500)＝0.0015×10＝0.15；所以X 的分布列为：…6分（ⅱ）当每日进货300公斤时，利润Y 1可取－100，700，1500，此时Y 1的分布列为：此时利润的期望值E (Y 1＝1180； …8分当每日进货400公斤时，利润Y 2可取－400，400，1200，2000，此时Y 2的分布列为：此时利润的期望值22000×0.4 ＝1200；…10分因为E (Y 1)＜E (Y 2)，所以该经销商应该选择每日进货400公斤．…12分（19）解：（Ⅰ）过点B 1作A 1C 的垂线，垂足为O ，由平面A 1B 1C ⊥平面AA 1C 1C ，平面A 1B 1C ∩平面AA 1C 1C ＝A 1C ，得B 1O ⊥平面AA 1C 1C ，又AC 平面AA 1C 1C ，得B 1O ⊥AC ．由∠BAC ＝90°，AB ∥A 1B 1，得A 1B 1⊥AC ．又B 1O ∩A 1B 1＝B 1，得AC ⊥平面A 1B 1C ．又CA 1平面A 1B 1C ，得AC ⊥CA 1．…4分（Ⅱ）以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴正方向，|CA →|为单位长，建立空间直角坐标系C -xyz ．由已知可得A (1，0，0)，A 1(0，2，0)，B 1(0，1，3)．所以CA →＝(1，0，0)，AA 1→＝(－1，2，0)，AB →＝A 1B 1→＝(0，－1，3)． …6分全优试卷设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1AB 的法向量，则⎩⎨⎧n ·AA 1→＝0，n ·AB →＝0，即⎩⎨⎧－x ＋2y ＝0，－y ＋3z ＝0．可取n ＝(23，3，1)． …8分设m ＝(x ，y ，z )是平面ABC 的法向量，则⎩⎨⎧m ·AB →＝0，m ·CA →＝0，即⎩⎨⎧－y ＋3z ＝0，x ＝0．可取m ＝(0，3，1)．…10分则cos n ，m ＝n ·m |n ||m |＝ 12．又因为二面角A 1-AB -C 为锐二面角，所以二面角A 1-AB -C 的大小为3． …12分（20）解：（Ⅰ）依题意得A (0，b )，F (－c ，0)，当AB ⊥l 时，B (－3，b )，由AF ⊥BF 得k AF ·k BF ＝ b c · b －3＋c ＝－1，又b 2＋c 2＝6.解得c ＝2，b ＝2．所以，椭圆Γ的方程为x 26＋y 22＝1．…4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得A (0，2)，依题意，显然m ≠0，所以k AM ＝－2m，又AM ⊥BM ，所以k BM ＝m2，所以直线BM 的方程为y ＝m2(x －m )，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．y ＝m2(x －m )与x 26＋y 22＝1联立得(2＋3m 2)x 2－6m 3x ＋3m 4－12＝0，x 1＋x 2＝6m 32＋3m 2，x 1x 2＝3m 4－122＋3m2．…7分|PM |·|QM |＝(1＋m 22)|(x 1－m )(x 2－m )|＝(1＋m 22)|x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2|＝(1＋m 22)·|2m 2－12|2＋3m 2＝(2＋m 2)|m 2－6|2＋3m2， |AM |2＝2＋m 2，…9分由AP ⊥AQ 得，|AM |2＝|PM |·|QM |，所以|m 2－6|2＋3m 2＝1，解得m ＝±1．…12分（21）解：（Ⅰ）F(x )＝(x ＋1)ex －1，当x ＜－1时，F (x )＜0，F (x )单调递减；当x ＞－1时，F(x )＞0，F (x )单调递增，故x ＝－1时，F (x )取得最小值F (－1)＝－1e 2．…4分（Ⅱ）因为f (x )＝ex －1，所以f (x )＝ex －1在点(t ，e t －1)处的切线为y ＝et －1x ＋(1－t )e t －1；…5分因为g(x )＝ 1 x，所以g (x )＝ln x ＋a 在点(m ，ln m ＋a )处的切线为y ＝1mx ＋ln m ＋a －1， …6分由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧e t －1＝ 1 m ，(1－t )e t －1＝ln m ＋a －1，则(t －1)e t －1－t ＋a ＝0．…7分令h (t )＝(t －1)et －1－t ＋a ，则h (t )＝t et －1－1 由（Ⅰ）得t ＜－1时，h (t )单调递减，且h(t )＜0；当t ＞－1时，h(t )单调递增，又h (1)＝0，t ＜1时，h(t )＜0，所以，当t ＜1时，h (t )＜0，h (t )单调递减；当t ＞1时，h(t )＞0，h (t )单调递增．…9分由（Ⅰ）得h (a －1)＝(a －2)e a －2＋1≥－1e＋1＞0， …10分又h (3－a )＝(2－a )e2－a＋2a －3＞(2－a )(3－a )＋2a －3＝(a －32)2＋34＞0， …11分h (1)＝a －1＜0，所以函数y ＝h (t )在(a －1，1)和(1，3－a )内各有一个零点，故当a ＜1时，存在两条直线与曲线f (x )与g (x )都相切．…12分（22）解：（Ⅰ）由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得，C 1：ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ－2ρcos θ＋1＝1，所以ρ＝2cos θ； C 2：ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ－6ρcos θ＋9＝9，所以ρ＝6cos θ．…4分（Ⅱ）依题意得|AB |＝6cos α－2cos α＝4cos α，－2＜α＜2，C 2(3，0)到直线AB 的距离d ＝3|sin α|，所以S △ABC 2＝12×d ×|AB |＝3|sin 2α|，故当α＝±4时，S △ABC 2取得最大值3． …10分（23）解：（Ⅰ）f (x )＝|x ＋1|－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ≤－1，2x ＋1，－1＜x ＜1，1，x ≥1，由f (x )的单调性可知，当x ≥1时，f (x )有最大值1．所以m ＝1．…4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，a ＋b ＝1，a 2b ＋1＋b 2a ＋1＝ 13(a 2b ＋1＋b 2a ＋1)[(b ＋1)＋(a ＋1)] ＝ 13[a 2＋b 2＋a 2(a ＋1)b ＋1＋b 2(b ＋1)a ＋1] ≥ 1 3(a 2＋b 2＋2a 2(a ＋1)b ＋1·b 2(b ＋1)a ＋1) ＝13(a ＋b )2＝13．当且仅当a ＝b ＝12时取等号．即a 2b ＋1＋b 2a ＋1的最小值为 13． …10分。

河北省唐山市2017届高三下学期第一次模拟考试(含答案)word版

唐山市2016—2017学年度高三年级第一次模拟考试理科数学说明：一、本试卷共4页，包括三道大题，24道小题，共150分.其中（1)〜（21)小题为必做题，（22)〜（24)小题为选做题.二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题.三、做选择题时，每小题选出答案后，用2B铅第把答题卡上对应题目的标号涂黑.如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案.四、考试结束后，将本试卷与原答题卡_并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.(1) 复数=(A) 1+2i (B) 1-2i (C) 2-i (D) 2+i(2) 在的展开式中，常数项为(A) 36 (B) -36 (C) 84 (D) -84(3) 已知命题则为(A) (B)(C) (D)(4) 函数的图象可以由函数的图象(A)向左平移个单位得到（B)向右平移-个单位得到(C)向左平移.个单位得到（D)向右平移个单位得到(5) 已知，则=(A) 3 (B) 4 (C) 3.5 (D) 4.5(6) 等比数列{a n }的公比，则=(A) 64 (B) 31 (C) 32 (D) 63(7) 己知某几何体的三视图如图所示，则其表面积为(A) (B)(C) 2 (D) 8(8) 算法如图，若输入m=210,n = 119,则输出的n 为(A) 2 (B) 3 (C) 7 (D) 11 (9) 在中，，则=(A) 10 (B) -10 (C)，4 (D) 4(10) 点A 、B 、C 、D 均在同一球面上，其中是正三角形，AD 平面ABC,AD=2AB=6,则该球的体积为(A)(B)(C) (D)(11) 抛物线的焦点为F ，点A 、B 、C 在此抛物线上，点A 坐标为(1, 2).若点F 恰为的重心，则直线BC 的方程为(A) x+y=0 (B) 2x+y-1=0 (C) x-y=0 (D) 2x-y-1=0 (12) 定义在R 上的奇函数满足，当时，.又,则集合等于(A)(B)(C) (D)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. (13) 设变量x 、y 满足约束条件则的最大值为_______.(14) 函数的值域是______. (15) 在数列中，，则数列的通项=______.(16) 的一个顶点P(7,12)在双曲线上，另外两顶点F1、F2为该双曲线的左、右焦点，则的内心坐标为______.三、解答题：本大-共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟.(17) (本小题满分12分），中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=2B.在(I )若，求的值；(I I)若C 为钝角，求的取值范围.某媒体对“男女同龄退佈”这一公众关注的问题进行了民意调査，右表是在某单位得到的数据（人数)：(I)能否有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关？(II)进一步调查：(I)从赞同“男女同龄退休”16人中选出3人进行陈述发言，求事件“男士和女士各至少有1人发言”的概率；(II )从反对“男女同龄退休”的9人中选出3人进行座谈，设参加调査的女士人数为X,求X的分布列和均值.附：(19) (本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC-A1B l C1中，CC1丄底面ABC,底面是边长为2的正三角形，M, N分别是棱CC1、AB的中点.(I)求证：CN//平面 AMB1;(II)若二面角A-MB1-C为45°,求CC1的长.(20)(本小题满分12分）中心在原点O,焦点F1、F2在x轴上的椭圆E经过点C(2, 2),且(I )求椭圆E的方程；(II)垂直于OC的直线l与椭圆E交于A、B两点，当以AB为直径的圆P与y轴相切时，求直线l的方程和圆P的方程.(21) (本小题满分12分)设函数.(I )讨论f(x)的单调性；(I I)( i )若证明：当x>6 时，(ii)若方程f(x)=a有3个不同的实数解，求a的取值范围.请考生在第（22)、（23)、(24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.(22) (本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲如图，AB是圆O的直径，以B为圆心的圆B与圆O的一个交点为P.过点A作直线交圆O于点Q,交圆B于点M、N.(I )求证：QM=QN;(I I)设圆O的半径为2,圆B的半径为1,当AM=时，求MN的长.(23) (本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l 的参数方程为（t 为参数，），曲线C的极坐标方程为，(I )求曲线C的直角坐标方程：(II)设直线l与曲线C相交于A、B两点，当a变化时，求|AB|的最小值.(24) (本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲设.(I)求不等式的解集S:(II )若关于X 不等式有解，求参数T的取值范围.唐山市2016—2017学年度高三年级第一次模拟考试理科数学参考答案一、选择题： A 卷：ADCDC DACBA BB B 卷：BCDAB DDCABCA二、填空题：（13）5（14）(－1，1) （15）n 2（16）(1， 32)三、解答题：（17）解：（Ⅰ）∵B ＝ A 2∈(0， π 2)，∴cosB ＝1－sin 2B ＝255， …1分∵A ＝2B ，∴sinA ＝2sinBcosB ＝ 4 5，cosA ＝cos2B ＝1－2sin 2B ＝ 3 5， …3分∴cosC ＝cos[π－(A ＋B)]＝－cos(A ＋B)＝sinAsinB －cosAcosB ＝－2525．…5分（Ⅱ）∵A ＝2B ，∴C ＝π－3B ，又 π 2＜C ＜π，∴ π 2＜π－3B ＜π，0＜B ＜ π 6． …7分由正弦定理，得c b ＝sinC sinB ＝sin(π－3B)sinB ＝sin3B sinB ＝sin(2B ＋B)sinB ＝sin2BcosB ＋cos2BsinB sinB＝2sinBcos 2B ＋cos2BsinB sinB ＝2cos 2B ＋cos2B ＝4cos 2B －1， …10分∵32＜cosB ＜1，∴2＜ cb ＜3，故 cb的取值范围是(2，3)． …12分（18）解：（Ⅰ）K 2＝25×(5×3－6×11)216×9×11×14≈2.932＞2.706，由此可知，有90%的把握认为对这一问题的看法与性别有关． …3分（Ⅱ）（ⅰ）记题设事件为A ，则所求概率为P(A)＝C 15C 211＋C 25C 111C 16＝1116． …7分（ⅱ）根据题意，X 服从超几何分布，P(X ＝k)＝C k 3C 3－k 6C 39，k ＝0，1，2，3．X 的分布列为…10分 X 的均值E(X)＝0×21＋1×28＋2×14＋3×84＝1． …12分（19）解：（Ⅰ）设AB 1的中点为P ，连结NP 、MP ．∵CM ∥＝ 1 2AA 1，NP ∥＝ 12AA 1，∴CM ∥＝NP ，∴CNPM 是平行四边形，∴CN ∥MP ． ∵CN ⊄平面AMB 1，MP ⊂平面AMB 1，∴CN ∥平面AMB 1． …4分（Ⅱ）如图，以C 为原点，建立空间直角坐标系C —xyz ，使x 轴、y 轴、z 轴分别与NA →、CN →、CC1→同向．则C(0，0，0)，A(1，3，0)，B(－1，3，0)，设M(0，0，a)（a ＞0），则B 1(－1，3，2a)， MA→＝(1，3，－a)，MB 1→＝(－1，3，a)， CM→＝(0，0，a)，…6分设平面AMB 1的法向量n ＝(x ，y ，z)，则n ·MA →＝0，n ·MB 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －az ＝0，－x ＋3y ＋az ＝0，则y ＝0，令x ＝a ，则z ＝1，即n ＝(a ，0，1)． …8分设平面MB 1C 的一个法向量是m ＝(u ，v ，w)，则m ·MB 1→＝0，m ·CM →＝0，即⎩⎨⎧－u ＋3v ＋aw ＝0，aw ＝0，则w ＝0，令v ＝1，则u ＝3，即m ＝(3，1，0)．…10分所以cos 〈m ，n 〉＝3a2a 2＋1，依题意，〈m ，n 〉＝45︒，则3a 2a 2＋1＝22，解得a ＝2，所以CC 1的长为22．…12分（20）解：（Ⅰ）设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y2b2＝1（a ＞b ＞0），则4a 2＋4b2＝1，① …1分记c ＝a 2－b 2，不妨设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，则 CF1→＝(－c －2，－2)，CF 2→＝(c －2，－2)，则CF 1→·CF 2→＝8－c 2＝2，c 2＝6，即 a 2－b 2＝6．② 由①、②得a 2＝12，b 2＝6．所以椭圆E 的方程为x 212＋y26＝1．…4分（也可通过2a ＝|CF1→|＋|CF 2→|求出a ）（Ⅱ）依题意，直线OC 斜率为1，由此设直线l 的方程为y ＝－x ＋m ，代入椭圆E 方程，得3x 2－4mx ＋2m 2－12＝0．由Δ＝16m 2－12(2m 2－12)＝8(18－m 2)，得m 2＜18．记A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4m 3，x 1x 2＝2m 2－123．…6分圆P 的圆心为(x 1＋x 2 2，y 1＋y 2 2)，半径r ＝22|x 1－x 2|＝22(x 1＋x 2)2－4x 1x 21当圆P 与y 轴相切时，r ＝|x 1＋x 2 2|，则2x 1x 2＝(x 1＋x 2)24，即2(2m 2－12)3＝4m 29，m 2＝9＜18． …9分当m ＝3时，直线l 方程为y ＝－x ＋3，此时，x 1＋x 2＝4，圆心为(2，1)，半径为2，圆P 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4；同理，当m ＝－3时，直线l 方程为y ＝－x －3，圆P 的方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4．…12分（21）解：（Ⅰ）f '(x)＝－e －x [x 2－(a ＋2)x ＋2a]＝－e －x(x －2)(x －a)． …1分（1）若a ＝2，则f '(x)≤0，f(x)在(－∞，＋∞)单调递减． …2分（（（Ⅱ）（ⅰ）若a ＝0，则f(x)＝x 2e －x ，f(x)＜ 1 x即x 3＜e x．当x ＞6时，所证不等式等价于x ＞3lnx ，设g(x)＝x －3lnx ，当x ＞6时，g '(x)＝1－ 3x＞0，g(x)单调递增，有g(x)＞g(6)＝3(2－ln6)＞0，即x ＞3lnx ．故当x ＞6时，f(x)＜ 1x． …6分（ⅱ）根据（Ⅰ），（1）若a ＝2，方程f(x)＝a 不可能有3个不同的实数解． …7分（2）若0≤a ＜2，令⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ＜2，ae －a＜a ，(4－a)e －2＞a ，解得0＜a ＜4e 2＋1．……………………8分当x ＞6时，f(x)＝e －x (x 2－ax ＋a)＝e －x [x 2－a(x －1)]＜x 2e －x＜ 1 x，则当x ＞6且x ＞ 1a时，f(x)＜a ．又f(0)＝a ，所以当0＜a ＜4e 2＋1时，方程f(x)＝a 有3个不同的实数解．10分（3）若a ＞2时，由于f(a)＝ae －a＜a ，方程f(x)＝a 不可能有3个不同的实数解．…11分综上，a 的取值范围是(0，4e 2＋1)． …12分（22）解：（Ⅰ）连结BM 、BN 、BQ 、BP ． ∵B 为小圆的圆心，∴BM ＝BN ，又∵AB 为大圆的直径，∴BQ ⊥MN ，∴QM ＝QN ． …4分（Ⅱ）∵AB 为大圆的直径，∴∠APB ＝90︒，∴AP 为圆B 的切线，∴AP 2＝AM ·AN ， …6分由已知AB ＝4，PB ＝1，AP 2＝AB 2－PB 2＝15，又AM ＝103，∴15＝103×(103＋MN)，∴MN ＝ 76． …10分（23）解：（Ⅰ）由ρ＝2cos θsin 2θ，得(ρsin θ)2＝2ρcos θ，所以曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2x ． …4分（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入y 2＝2x ，得t 2sin 2α－2tcos α－1＝0．设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2，则t 1＋t 2＝2cos αsin 2α，t 1t 2＝－1sin 2α， …7分 ∴|AB|＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝√____________4cos 2αsin 4α＋4sin 2α＝2sin 2α，当α＝ π2时，|AB|取最小值2． …10分（24）解：（Ⅰ）f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3，x ＜－3，－3x －3，－3≤x ≤0，x －3，x ＞0．如图，函数y ＝f(x)的图象与直线y ＝7相交于横坐标为x 1＝－4，x 2＝10的两点，由此得S ＝[－4，10]． …6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)的最小值为－3，则不等式f(x)＋|2t －3|≤0有解必须且只需－3＋|2t －3|≤0，解得0≤t ≤3，所以t 的取值范围是[0，3]． …10分。

河北省唐山市高考数学一模试卷(理科)Word版含解析

2017年河北省唐山市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项符合题目要求．1．若复数z满足（3+4i）z=25，则复平面内表示z的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合A={x|x2﹣x＞0}，，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B3．若函数，则f（f（2））=（）A．1 B．4 C．0 D．5﹣e24．一个几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．π+2 B．2π+4 C．π+4 D．2π+25．在△ABC中，∠B=90°，，，则λ=（）A．﹣1 B．1 C．D．46．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4=﹣4，S6=6，则S5=（）A．1 B．0 C．﹣2 D．47．已知双曲线的右顶点为A，过右焦点F的直线l与C的一条渐=（）近线平行，交另一条渐近线于点B，则S△ABFA．B．C．D．8．二项式（x﹣a）7的展开式中，含x4项的系数为﹣280，则dx=（）A．ln2 B．ln2+1 C．1 D．9．一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法可以设计如图所示的程序框图，若输入的n为6时，输出结果为2.45，则m可以是（）A．0.6 B．0.1 C．0.01 D．0.0510．已知ω＞0，将函数f（x）=cosωx的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则ω的最小值是（）A．B．3 C．D．11．在一次比赛中某队共有甲，乙，丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场的顺序，则乙、丙都不与甲相邻出场的概率是（）A．B．C．D．12．已知a＞b＞0，a b=b a，有如下四个结论：①b＜e；②b＞e；③∃a，b满足a•b＜e2；④a•b＞e2．则正确结论的序号是（）A．①③B．②③C．①④D．②④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．13．若变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最小值是．14．设数列{a n}的前n项和为S n，且，若a4=32，则a1=．15．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，，抛物线C上的点B满足AB⊥AF，且|BF|=4，则p=．16．在三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，且AB=4，AC=5，则BC的取值范围是．三、解答题：本大题共70分，其中17-21题为必考题，22、23题为选考题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2+b2=λab．（1）若，，求sinA；（2）若λ=4，AB边上的高为，求C．18．（12分）某市春节期间7家超市的广告费支出x i（万元）和销售额y i（万元）数据如下：（1）若用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程；（2）用对数回归模型拟合y与x的关系，可得回归方程：，经计算得出线性回归模型和对数模型的R2分别约为0.75和0.97，请用R2说明选择哪个回归模型更合适，并用此模型预测A超市广告费支出为8万元时的销售额．参数数据及公式：，，，ln2≈0.7．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠ACB=90°，AC=CB=2，M、N分别是AB、A1C的中点．（1）求证：MN∥平面BB1C1C；（2）若平面CMN⊥平面B1MN，求直线AB与平面B1MN所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知点P，M，N为椭圆C上的三点，若四边形OPMN为平行四边形，证明四边形OPMN的面积S为定值，并求该定值．21．（12分）已知函数f（x）=sinx+tanx﹣2x．（1）证明：函数f（x）在（﹣，）上单调递增；（2）若x∈（0，），f（x）≥mx2，求m的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数，0≤φ＜π），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=1，l与C交于不同的两点P1，P2．（1）求φ的取值范围；（2）以φ为参数，求线段P1P2中点轨迹的参数方程．23．已知x，y∈（0，+∞），x2+y2=x+y．（1）求的最小值；（2）是否存在x，y，满足（x+1）（y+1）=5？并说明理由．2017年河北省唐山市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项符合题目要求．1．若复数z满足（3+4i）z=25，则复平面内表示z的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：（3+4i）z=25，∴（3﹣4i）（3+4i）z=25（3﹣4i），∴z=3﹣4i．则复平面内表示z的点（3，﹣4）位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．已知集合A={x|x2﹣x＞0}，，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B【考点】集合的表示法．【分析】先分别求出集合A和B，由此得到A∪B=R．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣x＞0}={x|x＞1或x＜0}，，∴A∩B={x|﹣或1＜x＜}，A∪B=R．故选：B．【点评】本题考查并集、交集的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意并集、交集定义的合理运用．3．若函数，则f（f（2））=（）A．1 B．4 C．0 D．5﹣e2【考点】函数的值．【分析】由函数的解析式先求出f（2）的值，再求出f（f（2））的值．【解答】解：由题意知，，则f（2）=5﹣4=1，f（1）=e0=1，所以f（f（2））=1，故选A．【点评】本题考查分段函数的函数值，对于多层函数值应从内到外依次求值，注意自变量的范围，属于基础题．4．一个几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．π+2 B．2π+4 C．π+4 D．2π+2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可得，直观图是直三棱柱与半圆柱的组合体，由图中数据，可得体积．【解答】解：由三视图可得，直观图是直三棱柱与半圆柱的组合体，体积为+=π+2，故选A．【点评】本题考查由三视图求体积，考查学生的计算能力，确定直观图的形状是关键．5．在△ABC中，∠B=90°，，，则λ=（）A．﹣1 B．1 C．D．4【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的三角形法则求出，再由⊥得出•=0，列出方程求出λ的值．【解答】解：△ABC中，，，∴=﹣=（2，λ+2），又∠B=90°，∴⊥，∴•=0，即2﹣2（λ+2）=0，解得λ=﹣1．故选：A．【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是基础题目．6．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4=﹣4，S6=6，则S5=（）A．1 B．0 C．﹣2 D．4【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S4=﹣4，S6=6，∴d=﹣4，d=6，解得a1=﹣4，d=2．则S5=5×（﹣4）+×2=0，故选：B．【点评】本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．已知双曲线的右顶点为A，过右焦点F的直线l与C的一条渐=（）近线平行，交另一条渐近线于点B，则S△ABFA．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的方程可得a、b的值，进而可得c的值，可以确定A、F的坐标，设BF的方程为y=（x﹣2），代入y=﹣x，解得B的坐标，由三角形的面积公式，计算可得答案．【解答】解：由双曲线，可得a2=1，b2=3，故c==2，∴A（1，0），F（2，0），渐近线方程为y=±x，不妨设BF的方程为y=（x﹣2），代入方程y=﹣x，解得：B（1，﹣）．=|AF|•|y B|=•1•=．∴S△AFB故选：B．【点评】本题考查双曲线方程的运用，注意运用渐近线方程，关键求出B的坐标；解此类面积的题目时，注意要使三角形的底或高与坐标轴平行或重合，以简化计算．8．二项式（x﹣a）7的展开式中，含x4项的系数为﹣280，则dx=（）A．ln2 B．ln2+1 C．1 D．【考点】二项式系数的性质．【分析】在（x﹣a）7的展开式的通项中，令x的指数为4，求出r值，再表示出x4项的系数，解关于a的方程即可求出a，利用定积分可得结论．【解答】解：（x﹣a）7的展开式的通项为（﹣1）r a r C7r x7﹣r，令7﹣r=4得r=3，∴展开式中x4项的系数（﹣1）3 a3C73=﹣35a3=﹣280，∴a=2，∴dx=lnx=1．故选：C．【点评】本题考查二项式定理的应用，解决指定项的系数问题．牢记定理是前提，准确计算是关键．9．一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法可以设计如图所示的程序框图，若输入的n为6时，输出结果为2.45，则m可以是（）A．0.6 B．0.1 C．0.01 D．0.05【考点】程序框图．【分析】根据已知中的流程图，我们模拟程序的运行，可得：|2.5﹣3|≥m，且|2.45﹣2.5|＜m，解得m的取值范围，比较各个选项即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=6，a=3b=2.5，不满足条件|b﹣a|＜m，执行循环体，a=2.5，b=2.45，由题意，此时应该满足条件|b﹣a|＜m，退出循环，输出b的值为2.45．可得：|2.5﹣3|≥m，且|2.45﹣2.5|＜m，解得：0.05＜m≤0.5，故选：B．【点评】本题主要考查的知识点是程序框图，模拟循环的执行过程是解答此类问题常用的办法，属于基础题．10．已知ω＞0，将函数f（x）=cosωx的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则ω的最小值是（）A．B．3 C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用诱导公式化简和同名函数，根据三角函数平移变换规律，建立关系．即可求ω的最小值．【解答】解：由函数f（x）=cosωx=sin（ωx）图象向右平移个单位后得到：sin（），由题意可得：，（k∈Z）解得：，∵ω＞0，∴当k=0时，ω的值最小值为．故选A【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．11．在一次比赛中某队共有甲，乙，丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场的顺序，则乙、丙都不与甲相邻出场的概率是（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数n==120，再求出乙、丙都不与甲相邻出场包含的基本事件个数m=++=36，由此能求出乙、丙都不与甲相邻出场的概率．【解答】解：在一次比赛中某队共有甲，乙，丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场的顺序，基本事件总数n==120，乙、丙都不与甲相邻出场包含的基本事件个数m=++=36，∴乙、丙都不与甲相邻出场的概率p==．故选：D．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．12．已知a＞b＞0，a b=b a，有如下四个结论：①b＜e；②b＞e；③∃a，b满足a•b＜e2；④a•b＞e2．则正确结论的序号是（）A．①③B．②③C．①④D．②④【考点】有理数指数幂的化简求值．【分析】根据题意，得出=，f（x）=，x＞0，利用导数判断0＜x＜e时f（x）增，x＞e时f（x）减；x=e时f（x）取得最大值；根据f（a）=f（b）得出a＞e＞b，判断①正确②错误；由＞e＞b得出f（b）＜f（）且f（a）＜f（），即ab＞e2，判断④正确③错误．【解答】解：∵a＞b＞0，a b=b a，∴blna=alnb，∴=，设f（x）=，x＞0，∴f′（x）=，当0＜x＜e时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x＞e时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x=e时，f（x）max=f（e）=；∵f（a）=f（b），∴a＞e＞b＞0，∴①正确，②错误；∴＞e＞b，∴f（b）＜f（），∴f（a）＜f（），∴a＞＞e，∴ab＞e2，④正确，③错误；综上，正确的命题是①④．故选：C．【点评】本题考查了利用构造函数的方法判断数值大小的应用问题，是综合性题目．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．13．若变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最小值是﹣2．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合定点最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，得A（﹣1，﹣1），化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，由图可知，当直线y=﹣x+z过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣1﹣1=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．14．设数列{a n}的前n项和为S n，且，若a4=32，则a1=．【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】利用，a4=32，可得=32，即可得出结论．【解答】解：∵，a4=32，∴=32，∴a1=，故答案为．【点评】本题考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，比较基础．15．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，，抛物线C上的点B满足AB⊥AF，且|BF|=4，则p=2或6．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出直线AB的方程，与抛物线方程联立，求出B的横坐标，利用抛物线的定义，即可得出结论．【解答】解：由题意，k AF=﹣，∴直线AB的方程为y=x+，代入y2=2px，可得p2x2﹣12px+36=0，∴x=，∵|BF|=4，∴+=4，∴p=2或6，故答案为2或6．【点评】本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线位置关系的运用，属于中档题．16．在三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，且AB=4，AC=5，则BC的取值范围是（1，）．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】如图设PA、PB、PC的长分别为a、b、c，BC=m．由PA，PB，PC两两互相垂直，得a2+b2=16，a2+c2=25，b2+c2=m2⇒m2=41﹣2a2，在△ABC中，⇒1＜m＜．【解答】解：如图设PA、PB、PC的长分别为a、b、c，BC=m．∵PA，PB，PC 两两互相垂直，∴a2+b2=16，a2+c2=25，b2+c2=m2⇒m2=41﹣2a2在△ABC中，⇒1＜m＜故答案为（1，）【点评】本题考查了空间位置关系，关键是把空间问题转化为平面问题，属于中档题．三、解答题：本大题共70分，其中17-21题为必考题，22、23题为选考题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2017•唐山一模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2+b2=λab．（1）若，，求sinA；（2）若λ=4，AB边上的高为，求C．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由已知结合正弦定理得：，结合范围可求，即可得解sinA的值．（2）由题意及三角形面积公式可求，由余弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得，结合范围，可求C的值．【解答】解：（1）由已知，，结合正弦定理得：，于是．因为，所以，可得．（2）由题意可知，得：．从而有：，即，又因为，所以，．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．（12分）（2017•唐山一模）某市春节期间7家超市的广告费支出x i（万元）和销售额y i（万元）数据如下：（1）若用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程；（2）用对数回归模型拟合y与x的关系，可得回归方程：，经计算得出线性回归模型和对数模型的R2分别约为0.75和0.97，请用R2说明选择哪个回归模型更合适，并用此模型预测A超市广告费支出为8万元时的销售额．参数数据及公式：，，，ln2≈0.7．【考点】线性回归方程．【分析】（1）求出回归系数，可得y关于x的线性回归方程；（2）对数回归模型更合适．当x=8万元时，预测A超市销售额为47.2万元．【解答】解：（1），所以，y关于x的线性回归方程是（2）∵0.75＜0.97，∴对数回归模型更合适．当x=8万元时，预测A超市销售额为47.2万元．【点评】本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，比较基础．19．（12分）（2017•唐山一模）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠ACB=90°，AC=CB=2，M、N分别是AB、A1C的中点．（1）求证：MN∥平面BB1C1C；（2）若平面CMN⊥平面B1MN，求直线AB与平面B1MN所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连接AC1，BC1，则N∈AC1且N为AC1的中点，证明：MN∥BC1，即可证明MN∥平面BB1C1C；（2）以C为原点，分别以CB，CC1，CA所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面B1MN，即可求直线AB与平面B1MN所成角的正弦值．【解答】（1）证明：连接AC1，BC1，则N∈AC1且N为AC1的中点，又∵M为AB的中点，∴MN∥BC1，又BC1⊂平面BB1C1C，MN⊄平面BB1C1C，故MN∥平面BB1C1C．…（4分）（2）解：由A1A⊥平面ABC，得AC⊥CC1，BC⊥CC1．以C为原点，分别以CB，CC1，CA所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设CC1=2λ（λ＞0），则M（1，0，1），N（0，λ，1），B1（2，2λ，0），，=（﹣1，λ，0），．取平面CMN的一个法向量为，由，得：，令y=1，得，同理可得平面B1MN的一个法向量为，∵平面CMN⊥平面B1MN，∴，解得，得，又，设直线AB与平面B1MN所成角为θ，则．所以，直线AB与平面B1MN所成角的正弦值是．【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角，考查向量方法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（12分）（2017•唐山一模）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知点P，M，N为椭圆C上的三点，若四边形OPMN为平行四边形，证明四边形OPMN的面积S为定值，并求该定值．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由椭圆的离心率得出a、c的关系，再由a、b、c的平方关系，把点Q的坐标代入椭圆C的方程，求出b、a的值，写出椭圆C的方程；（2）讨论直线PN的斜率k不存在和斜率k存在时，分别计算四边形OPMN的面积S，即可得出四边形OPMN的面积为定值．【解答】解：（1）由椭圆的离心率为，得，∴=∴，∴a2=2b2；将Q代入椭圆C的方程，得+=1，解得b2=4，∴a2=8，∴椭圆C的方程为；（2）当直线PN的斜率k不存在时，PN方程为：或，从而有，所以四边形OPMN的面积为；当直线PN的斜率k存在时，设直线PN方程为：y=kx+m（m≠0），P（x1，y1），N（x2，y2）；将PN的方程代入C整理得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，所以，，，由得：，将M点坐标代入椭圆C方程得：m2=1+2k2；点O到直线PN的距离为，，四边形OPMN的面积为．综上，平行四边形OPMN的面积S为定值．【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，考查了转化法与方程组以及根与系数关系的应用问题，是综合性题目．21．（12分）（2017•唐山一模）已知函数f（x）=sinx+tanx﹣2x．（1）证明：函数f（x）在（﹣，）上单调递增；（2）若x∈（0，），f（x）≥mx2，求m的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）利用导函数的性质证明即可．（2）利用导函数求解x∈（0，），对m进行讨论，构造函数思想，结合导函数的单调性，求解m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=sinx+tanx﹣2x则，∵，∴cosx∈（0，1]，于是（等号当且仅当x=0时成立）．故函数f（x）在上单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）在上单调递增，又f（0）=0，∴f（x）＞0，（ⅰ）当m≤0时，f（x）＞0≥mx2成立．（ⅱ）当m＞0时，令p（x）=sinx﹣x，则p'（x）=cosx﹣1，当时，p'（x）＜0，p（x）单调递减，又p（0）=0，所以p（x）＜0，故时，sinx＜x．（*）由（*）式可得f（x）﹣mx2=sinx+tanx﹣2x﹣mx2＜tanx﹣x﹣mx2，令g（x）=tanx﹣x﹣mx2，则g'（x）=tan2x﹣2mx由（*）式可得，令h（x）=x﹣2mcos2x，得h（x）在上单调递增，又h（0）＜0，，∴存在使得h（t）=0，即x∈（0，t）时，h（x）＜0，∴x∈（0，t）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，又∵g（0）=0，∴g（x）＜0，即x∈（0，t）时，f（x）﹣mx2＜0，与f（x）＞mx2矛盾．综上，满足条件的m的取值范围是（﹣∞，0]．【点评】本题主要考查导函数的性质来解决三角函数的问题，构造函数，利用导函数求单调性讨论m解决本题的关键．属于难题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（10分）（2017•唐山一模）已知直线l的参数方程为（t为参数，0≤φ＜π），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=1，l与C交于不同的两点P1，P2．（1）求φ的取值范围；（2）以φ为参数，求线段P1P2中点轨迹的参数方程．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）求解曲线C的直角坐标方程，将直线l的参数方程（t为参数，0≤φ＜π），带入，得到关于t的一元二次方程的关系式，由题意判别式大于0，可得φ的取值范围．（2）利用参数的几何意义即可求线段P1P2中点轨迹的参数方程．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=1，根据ρ2=x2+y2可得曲线C的直角坐标方程为x2+y2=1，将代入x2+y2=1得t2﹣4tsinφ+3=0（*）由16sin2φ﹣12＞0，得，又0≤φ≤π，∴所求φ的取值范围是；（Ⅱ）由（1）中的（*）可知，，代入中，整理：得P1P2的中点的轨迹方程为（φ为参数，）．故得线段P1P2中点轨迹的参数方程为为（φ为参数，）．【点评】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互换和参数方程的几何意义的运用．23．（2017•唐山一模）已知x，y∈（0，+∞），x2+y2=x+y．（1）求的最小值；（2）是否存在x，y，满足（x+1）（y+1）=5？并说明理由．【考点】基本不等式．【分析】（1）根据基本不等式的性质求出的最小值即可；（2）根据基本不等式的性质得到（x+1）（y+1）的最大值是4，从而判断出结论即可．【解答】解：（1），当且仅当x=y=1时，等号成立．所以的最小值为2．（2）不存在．因为x2+y2≥2xy，所以（x+y）2≤2（x2+y2）=2（x+y），∴（x+y）2﹣2（x+y）≤0，又x，y∈（0，+∞），所以x+y≤2．从而有（x+1）（y+1）≤≤=4，因此不存在x，y，满足（x+1）（y+1）=5．【点评】本题考查了基本不等式的性质，注意应用性质的条件，本题是一道中档题．。

【全国市级联考】河北省唐山市2017届高三上学期第一次调研统考理数(原卷版)

河北省唐山市2017届高三上学期第一次调研统考理科数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}5,4,3,2,1⊆A ，且{}{}2,13,2,1= A ，则满足条件的集合A 的个数是（）A ．2B ．4C ．8D ．162.已知复数z 满足i z i 3)31(=+，则=z （）A ．i 2323+B ．i 2323-C ．i 4343+D ．i 4343- 3.某班学生一次数学考试成绩频率分布直方图如图所示，数据分组依次为]150,130[),130,110[),110,90[),90,70[，若成绩大于等于90分的人数为36，则成绩在)130,110[的人数为（）A ．12B ．9C ．15D ．184.设函数R x x f y ∈=),(，“)(x f y =是偶函数”是“)(x f y =的图像关于原点对称”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.设21,F F 是双曲线1422=-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，且 9021=∠PF F ，则21PF F ∆的面积为（）A ．1B ．2C ．25 D ．5 6.要得到函数R x x x x f ∈=,cos sin 2)(，只需将函数R x x x g ∈-=,1cos 2)(2的图像（）A ．向左平移2π个单位B ．向右平移2π个单位C ．向左平移4π个单位D ．向右平移4π个单位7.执行如图所示的程序框图，若输入2,1==b a ，则输出的=x （）A ．25.1B ．375.1C ．4375.1 D．40625.18.设0x 是方程x x=)31(的解，则0x 所在的范围是（）A ．)31,0( B ．)21,31( C ．)32,21( D ．)1,32( 9.某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A ．6226++B ．226+C ．3D ．3810.把长为cm 80的铁丝随机截成三段，则每段铁丝长度都不小于cm 20的概率是（）A ．161B ．81C ．41D ．163 11.在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，⊥PA 底面ABCD ，H F E AB PA ,,,4== 分别是棱PD BC PB ,,的中点，则过H F E ,,的平面截四棱锥ABCD P -所得截面面积为（）A ．62B ．64C ．65D ．6432+12.设函数a x a x x x f ---+-=5)8(331)(23，若存在唯一的正整数0x ，使得0)(0<x f ，则a 的取值范围是（）A ．]61,151(B ．]41,151(C ．]41,61(D ．]158,41( 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知向量)75sin ,75(cos ),15sin ,15(cos ==14.在n xx )12(3-的展开式中，各二项式系数的和为128，则常数项是_______. 15.已知抛物线y x 42=与圆)0()2()1(:222>=-+-r r y x C 有公共点P ，若抛物线在P 点处的切线与圆C 也相切，则=r ______.16.一艘海监船在某海域实施巡航监视，由A 岛向正北方向行驶80海里至M 处，然后沿东偏南 30方向行驶50海里至N 处，再沿南偏东 30方向行驶330海里至B 岛，则B A ,两岛之间距离是_____海里.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，240,1101510==S S .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令11+++=n n n n n a a a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ，PB BC ⊥，BCD ∆为等边三角形，3==BD PA ， AD AB =，E 为PC 的中点.（1）求AB ；（2）求平面BDE 与平面ABP 所成二面角的正弦值.19.（本小题满分12分）甲将要参加某决赛，赛前D C B A ,,,四位同学对冠军得主进行竞猜，每人选择一名选手，已知B A ,选择甲的概率均为m ，D C ,选择甲的概率均为)(n m n >，且四人同时选择甲的概率为1009，四人均未选择甲的概率为251. （1）求n m ,的值；（2）设四位同学中选择甲的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.20.（本小题满分12分）如图，过椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 上一点P 向x 轴作垂线，垂足为左焦点F ，B A ,分别为E 的右顶点，上顶点，且OP AB ∥，12+=AF .（1）求椭圆E 的方程；（2）过原点O 做斜率为)0(>k k 的直线，交E 于D C ,两点，求四边形ACBD 面积S 的最大值.21.（本小题满分12分）已知函数2ln )(-+=xa x x f . （1）讨论)(x f 的单调性；（2）若函数)(x f y =的两个零点为)(,2121x x x x <，证明：a x x 221>+.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，ABC ∆与ABD ∆都是以AB 为斜边的直角三角形，O 为线段AB 上一点，BD 平分ABC ∠，且 BC OD ∥.（1）证明：D C B A ,,,四点共圆，且O 为圆心；（2）AC 与BD 相交于点F ，若62==CF BC ，求D C ,之间的距离.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程是2=ρ.矩形ABCD 内接于曲线1C ，B A ,两点的极坐标分别为)6,2(π和)65,2(π.将曲线1C 上所有点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的一半，得到曲线2C .（1）写出D C ,的直角坐标及曲线2C 的参数方程；（2）设M 为2C 上任意一点，求2222MD MC MB MA +++的取值范围.24.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲已知函数11)(-++=mx x x f .（1）若1=m ，求)(x f 的最小值，并指出此时x 的取值范围；（2）若x x f 2)(≥，求m 的取值范围.：。

河北省唐山市2017届高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题扫描版

唐山市2016—2017学年度高三年级第一次模拟考试理科数学参考答案一．选择题：A 卷：DBACA BACBA DCB 卷：DBCAA BABCA DC 二．填空题：（13）－2 （14） 12（15）2或6 （16）(3，41)三．解答题：（17）解：（Ⅰ）由已知B ＝5π6，a 2＋b 2＝6ab 结合正弦定理得： 4sin 2A －26sin A ＋1＝0，于是sin A ＝6±24．…4分因为0＜A ＜ π 6，所以sin A ＜ 12，取sin A ＝6－24…6分（Ⅱ）由题意可知S △ABC ＝ 1 2ab sin C ＝312c 2，得：1 2ab sin C ＝312(a 2＋b 2－2ab cos C )＝312(4ab －2ab cos C )．从而有：3sin C ＋cos C ＝2，即sin (C ＋ π6)＝1又 π 6＜C ＋ π 6＜7π6，所以，C ＝ π3． …12分（18）解：（Ⅰ）b ˆ＝ni＝1∑x i y i －n ·x -y-n i ＝1∑x 2i －nx-2＝2794－7×8×42708－7×82＝1.7 …3分a ˆ＝y -－b ˆx -＝28.4所以，y 关于x 的线性回归方程是yˆ＝1.7x ＋28.4 …6分（Ⅱ）∵0.75＜0.97，∴对数回归模型更合适. …9分当x ＝8万元时，预测A 超市销售额为47.2万元．…12分（19）解：（Ⅰ）连接AC 1，BC 1，则N ∈AC 1且N 为AC 1的中点，又∵M 为AB 的中点，∴MN ∥BC 1，又BC 1⊂平面BB 1C 1C ，MN ⊄平面BB 1C 1C ，故MN ∥平面BB 1C 1C ． …4分（Ⅱ）由A 1A ⊥平面ABC ，得AC ⊥CC 1，BC ⊥CC 1．以C 为原点，分别以CB ，CC 1，CA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设CC 1＝2λ（λ＞0），则M (1，0，1)，N (0，λ，1)，B 1(2，2λ，0)，CM →＝(1，0，1)，MN →＝(－1，λ，0)，NB 1→＝(2，λ，－1)．取平面CMN 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，由CM →·m ＝0，MN →·m ＝0得：⎩⎨⎧x ＋z ＝0，－x ＋λy ＝0，令y ＝1，得m ＝(λ，1，－λ) 同理可得平面B 1MN 的一个法向量为n ＝(λ，1，3λ) …8分∵平面CMN ⊥平面B 1MN ，∴ m ·n ＝λ2＋1－3λ2＝0解得λ＝22，得n ＝(22，1，322)，又AB →＝(2，0，－2)，设直线AB 与平面B 1MN 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，AB →〉|＝|n ·AB →||n ||AB →|＝66．所以，直线AB 与平面B 1MN 所成角的正弦值是66． …12分（20）解：（Ⅰ）由e 2＝c 2a 2＝ 1 2，得b 2a 2＝ 12，将Q 代入椭圆C 的方程可得b 2＝4，所以a 2＝8，故椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1．…4分（Ⅱ）当直线PN 的斜率k 不存在时，PN 方程为：x ＝2或x ＝－2，从而有|PN |＝23，所以S ＝ 1 2|PN |·|OM |＝ 12×23×22＝26．…5分当直线PN 的斜率k 存在时，设直线PN 方程为：y ＝kx ＋m （m ≠0），P (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将PN 的方程代入C 整理得：(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0，所以x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1·x 2＝2m 2－81＋2k 2，…6分y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m1＋2k 2，由OM →＝OP →＋ON →得：M(－4km 1＋2k 2，2m1＋2k2)，将M 点坐标代入椭圆C 方程得：m 2＝1＋2k 2．…8分点O 到直线PN 的距离d ＝|m |1＋k 2，|PN |＝1＋k 2|x 1－x 2|，S ＝d ·|PN |＝|m |·|x 1－x 2|＝1＋2k 2·|x 1－x 2|＝16k 2－8m 2＋32＝26．综上，平行四边形OPMN 的面积S 为定值26． …12分（21）解：（Ⅰ）f '(x )＝cos x ＋1cos 2x －2…2分因为x ∈(－ π 2， π2)，所以cos x ∈(0，1]，于是f '(x )＝cos x ＋1cos 2x －2≥cos 2x ＋1cos 2x －2≥0（等号当且仅当x ＝0时成立）．故函数f (x )在(－ π2， π2)上单调递增．…4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得f (x )在(0， π2)上单调递增，又f (0)＝0，所以f (x )＞0，（ⅰ）当m ≤0时，f (x )＞0≥mx 2成立． …5分（ⅱ）当m ＞0时，令p (x )＝sin x －x ，则p '(x )＝cos x －1，当x ∈(0， π2)时，p '(x )＜0，p (x )单调递减，又p (0)＝0，所以p (x )＜0，故x ∈(0，π2)时，sin x ＜x ．（*）…7分由（*）式可得f (x )－mx 2＝sin x ＋tan x －2x －mx 2＜tan x －x －mx 2，令g (x )＝tan x －x －mx 2，则g '(x )＝tan 2x －2mx由（*）式可得g '(x )＜x 2cos 2x －2mx ＝xcos 2x (x －2m cos 2x )，…9分令h (x )＝x －2m cos 2x ，得h (x )在(0， π2)上单调递增，又h (0)＜0，h (π 2)＞0，所以存在t ∈(0， π2)使得h (t )＝0，即x ∈(0，t )时，h (x )＜0，所以x ∈(0，t )时，g '(x )＜0，g (x )单调递减，又g (0)＝0，所以g (x )＜0，即x ∈(0，t )时，f (x )－mx 2＜0，与f (x )＞mx 2矛盾．综上，满足条件的m 的取值范围是(－∞，0]． …12分（22）解：（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1，将⎩⎨⎧x ＝t cos φ，y ＝－2＋t sin φ代入x 2＋y 2＝1得t 2－4t sin φ＋3＝0（*）由16sin 2φ－12＞0，得|sin φ|＞32，又0≤φ＜π，所以，φ的取值范围是(π3，2π3)； …5分（Ⅱ）由（*）可知，t 1＋t 22＝2sin φ，代入⎩⎨⎧x ＝t cos φ，y ＝－2＋t sin φ中，整理得P 1P 2的中点的轨迹方程为⎩⎨⎧x ＝sin 2φ，y ＝－1－cos 2φ(φ为参数， π 3＜φ＜2π3)…10分（23）解：（Ⅰ）1x ＋1y ＝x ＋yxy ＝x 2＋y2xy ≥2xyxy ＝2，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立．所以1x ＋1y 的最小值为2． …5分（Ⅱ）不存在．因为x 2＋y 2≥2xy ，所以(x ＋y )2≤2(x 2＋y 2)＝2(x ＋y )，又x ，y ∈(0，＋∞)，所以x ＋y ≤2．从而有(x ＋1)(y ＋1)≤[(x ＋1)＋(y ＋1)2]2＝4，因此不存在x ，y ，满足(x ＋1)(y ＋1)＝5．…10分。

2017届河北唐山市高三年级第一次模拟考试数学(理)试题(解析版)

2017届河北唐山市高三年级第一次模拟考试数学（理）试题一、单选题1．若复数z 满足()3425i z +=，则复平面内表示z 的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D【解析】由题意， ()()()()253425342534343434i i z z i i i i ⋅-+=∴===-++⋅- ，故复平面内表示z 的点位于第四象限，选D2．已知集合{}2|20A x x x =->，{|B x x =<<，则（） A ．AB =∅B ．A B R ⋃=C ．B A ⊆D ．A B ⊆【答案】B 【解析】{}{}{220|02|A x x x x x x B x x =-==<或，A B R ∴⋃= ，选B3．若函数，则（）A ．1B ．4C ．0D ．【答案】A 【解析】。

故选A 。

4．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A ．2π+B ．24π+C ．4π+D ．22π+【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是一个底面为曲边形，（底面2个弓形组成，如图所示），侧棱垂直于底面的柱体，曲边形的面积为121242S ππ=⨯⨯⨯=+，故此柱体的体积2242V ππ⎛⎫=+⨯=+ ⎪⎝⎭，选C点睛：本题考查三视图及柱体的体积公式，解题的关键是根据左视图得到底面曲边形的构成5．在ABC △中，90B ∠=︒，()12AB =-，，()3AC λ=，，则λ=（） A ．1- B ．1C ．32D ．4【答案】A【解析】由题ABC △ 中，(1? 2)(3? )?22AB AC BC AC AB λλ-∴=-=+＝，，＝，，（，），又90?0B AB BC AB BC ，，∠=︒∴⊥∴⋅=即2220λ-+=（），解得1λ=-．故选A ．点睛：本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，属基础题． 6．设等差数列的前项和为，若，，则（）A ．1B ．0C ．D ．4【答案】B 【解析】由已知及可得，故选B ． 7．已知双曲线的右顶点为，过右焦点的直线与的一条渐近线平行，交另一条渐近线于点，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由双曲线，可得故，渐近线方程为不妨设的方程为代入方程解得.故选B ．点睛：本题考查双曲线方程的运用，注意运用渐近线方程，关键求出的坐标；解此类面积的题目时，注意要使三角形的底或高与坐标轴平行或重合，以简化计算．8．二项式()7x a -的展开式中，含4x 项的系数为280-，则21eadx x=⎰（） A ．ln 2 B ．ln21+C ．1D ．2214e e- 【答案】C【解析】二项式()7x a - 的展开式的通项为()717rr rr T C x a -+=- ，令74,3r r -=∴= ，根据题意，含4x 项的系数()337280,2C a a -=-∴=，()2222211ln |ln 2ln 2ln 2ln ln 21eeeadx dx x e e x x ===-=+-=⎰⎰ .选C 9．一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法可以设计如图所示的程序框图，若输入的n 为6时，输出结果为2.45，则m 可以是（）A ．0.6B ．0.1C ．0.01D ．0.05【答案】B【解析】模拟程序的运行，可得63, 2.5n a b ===，，不满足条件b a m -＜，执行循环体， 2.5 2.45a b ==，，由题意，此时满足条件b a m -＜，退出循环，输出b 的值为2.45．可得：2.53m -≥ ，且2.45 2.5m -＜，解得0.050.5m ≤＜，故选B ．点睛：本题主要考查的知识点是程序框图，模拟循环的执行过程是解答此类问题常用的办法，属基础题．10．已知0>ω，将函数()cos f x x ω=的图象向右平移2π个单位后得到函数()sin 4g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，则ω的最小值是（）A ．32B ．3C ．43D ．23【答案】A【解析】由函数2f x cos x sin x πωω==+（）（）图象向右平移 2π个单位后得到22sin x ωππω-+（），由题意可得：2,224x k k Z ωπππωπ-+=-∈解得：3402k ωω-＝，＞，∴当0k = 时，ω 的值最小值为32.故选A 11．在一次比赛中某队共有甲，乙，丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场的顺序，则乙、丙都不与甲相邻出场的概率是（） A ．110B ．15C ．25D ．310【答案】D【解析】在一次比赛中某队共有甲，乙，丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场的顺序，基本事件总数55120n A ==，乙、丙都不与甲相邻出场包含的基本事件个数2322232324m A A A A ，=+=∴乙、丙都不与甲相邻出场的概率2411205m p n ==＝．故选B ．点睛：本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．12．已知0a b >>，b a a b =，有如下四个结论：①e b <；②b e >；③a b ∃，满足2a b e ⋅<；④2a b e ⋅>．则正确结论的序号是（） A ．①③ B ．②③C ．①④D ．②④【答案】C【解析】0,,b a a b a b >>= 则ln ln ln ln a b b a a b a b =⇒=，设函数ln ,0x y x x=>， 1ln ,0x y x x ='->，可知函数ln ,0x y x x=>在()0,e 单调递增，在(),e +∞上单调递减，如图所示，可知0b e << ，显然2ln ln 1ln ln 22a ba b a b e +>⇒+>⇒⋅> ，故选C点睛：本题考查不等式的性质以及函数ln ,0xy x x=>的性质，解题时根据已知构造函数是解题的关键二、填空题13．若变量,x y 满足约束条件0{2143y x y x y ≤-≥-≤，则z x y =+的最小值是__________．【答案】2-【解析】不等式组表示的平面区域如图所示，当z x y =+ 过点()1,1A -- 时z 有最小值，为2- 。

河北省唐山市高考数学一模试卷(理科)

高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2-x-6≤0}，B={x|y=lg（x-2）}，则A∩B=（）A. ∅B. [-2，2）C. （2，3]D. （3，+∞）2.设复数z满足（1+i）z=2i（其中i为虚数单位），则下列结论正确的是（）A. |z|=2B. z的虚部为iC. z2=2D. z的共轭复数为1-i3.若函数f（x）=，则f（f（10））=（）A. 9B. 1C.D. 04.《算法统宗》中有一图形称为“方五斜七图”，注曰：方五斜七者此乃言其大略矣，内方五尺外方七尺有奇．实际上，这是一种开平方的近似计算，即用7近似表示5，当内方的边长为5时，外方的边长为5，略大于7．如图所示，在外方内随机取一点，则此点取自内方的概率为（）A. B. C. D.5.在等比数列{a n}中，若a6=8a3=8a22，则a n=（）A. a n=2n-1B. a n=2nC. a n=3n-1D. a n=3n6.为计算T=×，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（）A. W=W×iB. W=W×（i+1）C. W=W×（i+2）D. W=W×（i+3）7.椭圆C：的左、右焦点为F1，F2，过F2垂直于x轴的直线交C于A，B两点，若△AF1B为等边三角形，则椭圆C的离心率为（）A. B. C. D.8.二项式（-3x）6的展开式中的常数项为（）A. -540B. 135C. 270D. 5409.如图，直线2x＋2y－3＝0 经过函数f (x)＝sin(ωx＋φ)（ω＞0，|φ|＜π）图象的最高点M和最低点N，则（）A. ω＝，φ＝B. ω＝π，φ＝0C. ω＝，φ＝－D. ω＝π，φ＝10.已知双曲线C：=1（b＞0），F1，F2分别为C的左、右焦点，过F2的直线l交C的左、右支分别于A，B，且|AF1|=|BF1|，则|AB|=（）A. 4B. 8C. 16D. 3211.设函数f (x)＝ae x－2sin x，x∈ [0，π]有且仅有一个零点，则实数a的值为（）A. B. C. D.12.一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体任意旋转，则容器里水面的最大高度为（）A. 1B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量=（1，-3），=（m，2），若⊥（+），则m=______．14.若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为______．15.在四面体ABCD中，AB=BC=1，AC=，且AD⊥CD，该四面体外接球的表面积为______．16.已知O为坐标原点，圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x-2）2+y2=4．A，B分别为圆M和圆N上的动点，则S△OAB的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1+=n+1．（1）求S n，a n；（2）若b n=（-1）n-1•，{b n}的前n项和为T n，求T n．18.如图，△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=90°，E，F分别为AB，AC边的中点，以EF为折痕把△AEF折起，使点A到达点P的位置，且PB=BE．（1）证明：BC⊥平面PBE；（2）求平面PBE与平面PCF所成锐二面角的余弦值．19.抛物线C：y2=2px（p＞0），斜率为k的直线l经过点P（-4，0），l与C有公共点A，B，当k=时，A与B重合．（1）求C的方程；（2）若A为PB的中点，求|AB|．20.为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏，从中部选择河北、湖北，从西部选择宁夏，从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区．在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记．由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，这为正式普查提供了宝贵的试点经验．在某普查小区，共有50家企事业单位，150家个体经营户，普查情况如表所示：（1）写出选择5个国家综合试点地区采用的抽样方法；（2）根据列联表判断是否有90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”；（3）以频率作为概率，某普查小组从该小区随机选择1家企事业单位，3家个体经营户作为普查对象，入户登记顺利的对象数记为X，写出X的分布列，并求X的期望值．附：K2=21.已知函数f（x）=ax-，a∈R．（1）若f（x）≥0，求a的取值范围；（2）若y=f（x）的图象与y=a相切，求a的值．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（其中t为参数，0＜α＜π）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（1）求l和C的直角坐标方程；（2）若l与C相交于A，B两点，且|AB|=8，求α．23.已知a，b是正实数，且a+b=2，证明：（1）+≤2；（2）（a+b3）（a3+b）≥4．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A={x|-2≤x≤3}，B={x|x＞2}；∴A∩B=（2，3]．故选：C．可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的定义域，以及交集的运算．2.【答案】D【解析】解：由（1+i）z=2i，得z=，∴|z|=，z的虚部为1，z2=（1+i）2=2i，z的共轭复数为1-i．∴正确的是D．故选：D．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】B【解析】解：∵函数f（x）=，∴f（10）=lg10=1，f（f（10））=f（1）=101-1=1．故选：B．推导出f（10）=lg10=1，从而f（f（10））=f（1），由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4.【答案】A【解析】解：由题意可得S内方=25，S外方=50，则外方内随机取一点，则此点取自内方的概率为=，故选：A．由题意可得S内方=25，S外方=50，根据概率公式计算即可．本题考查了几何概型的概率公式，属于基础题．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查了等比数列通项公式，考查了运算能力，属于基础题．根据等比数列的通项公式即可求出．【解答】解：若a6=8a3=8a22，∴a2q4=8a2q=8a22，∴a2=q，q3=8，即q=2，a1=1，∴a n=1×2n-1=2n-1，故选：A．6.【答案】C【解析】解：每个分式的分母比分子多2，即W=W×（i+2），故选：C．根据程序的功能，寻找分子与分母之间的关系进行求解即可．本题主要考查程序框图的识别和应用，根据分式特点是解决本题的关键．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．【解答】解：椭圆C：的左、右焦点为F1，F2，过F2垂直于x轴的直线交C于A，B两点，若△AF1B为等边三角形，可得2c=，所以：2ac=（a2-c2），即：e2+2e-=0，∵e∈（0，1），解得e=．故选：D．8.【答案】B【解析】解：二项式（-3x）6的展开式的通项公式为T r+1=•（-3）r•，令=0，求得r=2，可得展开式中的常数项为•9=135，故选：B．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．9.【答案】A【解析】【分析】本题着重考查了由y=A sin（ωx+φ）的部分图象信息确定其解析式，属于中档题．由M．N 分别是图象的最高点和最低点得M．N的纵坐标为1和-1，带入直线得横坐标，就可以得到f（x）的半个周期长，从而得到ω的值．把M点代入f（x）得到φ的值．【解答】解：因为M．N分别是图象的最高点和最低点得M．N的纵坐标为1和-1，带入直线2x+2y-3=0得M．N横坐标为和，故M（，1）．N（，-1）．得==2，故T=4=，故ω=．M代入f（x）得1=sin（φ），故φ=2kπ+，所以φ=2kπ+，k∈Z．因为|φ|＜π，所以φ=，故选A．10.【答案】C【解析】解：由双曲线C：=1（b＞0）可得a=4，设|AF1|=|BF1|=m，由双曲线的定义可得|AF2|=|AF1|+2a=2a+m，|BF2|=|BF1|-2a=m-2a，可得|AB|=|AF2|-|BF2|=2a+m-（m-2a）=4a=16．故选：C．求得双曲线的a=4，设|AF1|=|BF1|=m，运用双曲线的定义可得|AB|=4a，即可得到所求值．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查定义法的运用，以及数形结合思想，考查运算能力，属于基础题．11.【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数的零点与函数图象的交点问题及利用导数研究函数的图象，属中档题. 函数f（x）=ae x-2sin x，x∈[0，π]有且仅有一个零点等价于a=，x∈[0，π]有且仅有一个解，即直线y=a与g（x）=，x∈[0，π]的图象只有一个交点．【解答】解：函数f（x）=ae x-2sin x，x∈[0，π]有且仅有一个零点等价于a=，x∈[0，π]有且仅有一个解，即直线y=a与g（x）=，x∈[0，π]的图象只有一个交点，设g（x）=，x∈[0，π]，则g′（x）=，当0≤x时，g′（x）＞0，当＜x≤π时，g′（x）＜0，即g（x）在[0，）为增函数，在（，π]为减函数，又g（0）=0，g（π）=0，g（）=，则可得实数a的值为，故选B．12.【答案】C【解析】解：正方体的对角线长为2，故当正方体旋转的新位置的最大高度为2，又因为水的体积是正方体体积的一半，∴容器里水面的最大高度为对角线的一半，即最大液面高度为．故选：C．根据水的体积为容器体积的一半可知液面高度为物体新位置高度的一半．本题考查了几何体的体积计算，属于基础题．13.【答案】-4【解析】解：；∵；∴；∴m=-4．故答案为：-4．可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出m的值．考查向量垂直的充要条件，以及向量加法和数量积的坐标运算．14.【答案】7【解析】解：画出x，y满足约束条件的平面区域，如图示：由，解得A（2，3），由z=2x+y得：y=-2x+z，平移直线y=-2x，显然直线过A（2，3）时，z最大，z的最大值是7，故答案为：7．画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数图象求出z的最大值即可．本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．15.【答案】2π【解析】解：如图，∵AB=BC=1，AC=，∴AB⊥BC，又AD⊥CD，∴AC中点即为外接球球心，半径为，∴=2π．故答案为：2π．易得∠ABC，∠ADC为直角，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得外接球半径．此题考查了三棱锥外接球问题，难度不大．16.【答案】【解析】解：如图以ON为直径画圆，延长AO交新圆于E，BO交新圆于F点，连接FE，NF，则NF与OB垂直，又NB=NO，F为BO的中点，由对称性可得OA=OE，由S△ABO=OA•OB sin∠AOB，S△EBO=OE•OB sin（π-∠AOB）=OE•OB sin∠AOB，可得S△ABO=S△EAO=2S△EFO，当S△EFO最大时，S△ABO最大，故转化为在半径为1的圆内接三角形OEF的面积的最大值，由圆内接三角形A'B'C'的面积S=a'b'sin C'，a'=2sin A'，b'=2sin B'，S=2sin A'sin B'sin C'≤2（）3，由f（x）=sin x，x∈[0，π]，为凸函数，可得≤sin=sin=，当且仅当A'=B'=C'=时，取得等号，可得2（）3≤2•=．即三角形OEF的面积的最大值为．进而得到S△ABO最大值为2•=，故答案为：．以ON为直径画圆，延长AO交新圆于E，BO交新圆于F点，连接FE，NF，推得F为BO的中点，由对称性可得OA=OE，由三角形的面积公式推得，可得S△ABO=S△EAO=2S△EFO，当S△EFO最大时，S△ABO最大，故转化为在半径为1的圆内接三角形OEF的面积的最大值，运用三角形的面积公式和凸函数的性质，计算可得所求最大值．本题主要考查了圆内接三角形面积最大值的求法，考查了解析几何中的对称思想以及等价转化思想，用不等式求最值是难点，属于难题．17.【答案】解：（1）令n=1，得a1+=2，（+2）（-1）=0，得a1=1，所以=n，即S n=n2．当n≥2时，a n=S n-S n-1=2n-1，当n=1时，a1=1适合上式，所以a n=2n-1．（2）b n=（-1）n-1•=（-1）n-1•=（-1）n-1•（+）当n为偶数时，T n=b1+b2+…+b n=（+）-（+）+（+）-（+）+…-（+）=1-=，当n为奇数时，T n=b1+b2+…+b n=（+）-（+）+（+）-（+）+…+（+）=1+=，综上所述，T n=另解：T n=b1+b2+…+b n=（+）-（+）+（+）-（+）+…+（-1）n-1•（+）=1+（-1）n-1•=．【解析】本题考查数列的递推关系式以及数列求和的方法，考查转化思想以及计算能力,属于一般题.（1）利用数列的递推关系式，通过a n=S n-S n-1求解数列的通项公式．（2）化简b n=（-1）n-1•（+），通过当n为偶数时，当n为奇数时，分别求解数列的和即可．另解：T n=b1+b2+…+b n通过裂项消项法，求解即可．18.【答案】（1）证明：∵E，F分别为AB，AC边的中点，∴EF∥BC，∵∠ABC=90°，∴EF⊥BE，EF⊥PE，又∵BE∩PE=E，BE、PE平面PBE，∴EF⊥平面PBE，∴BC⊥平面PBE；（2）解：取BE的中点O，连接PO，由（1）知BC⊥平面PBE，BC⊂平面BCFE，∴平面PBE⊥平面BCFE，∵PB=BE=PE，∴PO⊥BE，又∵PO⊂平面PBE，平面PBE∩平面BCFE=BE，∴PO⊥平面BCFE，过O作OM∥BC交CF于M，分别以OB，OM，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P（0，0，），C（1，4，0），F（-1，2，0）．=（1，4，-），=（-1，2，-），设平面PCF的法向量为=（x，y，z），由，取y=1，得=（-1，1，），由图可知=（0，1，0）为平面PBE的一个法向量，∴cos⟨⟩=，∴平面PBE与平面PCF所成锐二面角的余弦值．【解析】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角，是中档题．（1）由E，F分别为AB，AC边的中点，可得EF∥BC，由已知结合线面垂直的判定可得EF⊥平面PBE，从而得到BC⊥平面PBE；（2）取BE的中点O，连接PO，由已知证明PO⊥平面BCFE，过O作OM∥BC交CF 于M，分别以OB，OM，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面PCF与平面PBE的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面PBE与平面PCF所成锐二面角的余弦值．19.【答案】解：（1）当k=时，直线l：y=（x+4）即x-2y+4=0，此时直线l与抛物线C相切，由，得y2-4py+8p=0，由△=0即16p2-32p=0，解得p=2，∴C的方程为y2=4x，（2）直线l：y=k（x+4），k≠0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由可得y2-y+16=0，∴y1+y2=，y1y2=16，又A为PB的中点，可得y1=y2，解得k2=，∴|AB|=•==2．【解析】（1）当k=时，可得直线l的方程，联立方程组，根据判别式即可求出p的值，可得抛物线的方程，（2）直线l：y=k（x+4），k≠0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由可得y2-y+16=0，根据韦达定理和弦长公式即可求出．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，韦达定理和弦长公式，转化思想以及计算能力是，属于中档题．20.【答案】解：（1）分层抽样，简单随机抽样（抽签亦可）．…（2分）（2）将列联表中的数据代入公式计算得K2==≈3.175＞2.706，所以，有90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”．…（6分）（3）以频率作为概率，从该小区随机选择1家企事业单位作为普查对象，入户登记顺利的概率为，随机选择1家个体经营户作为普查对象，入户登记顺利的概率为．X可取0，1，2，3，4．P（X=0）=×（）3=，P（X=1）=×（）3+×C31××（）2=，P（X=2）=×C31××（）2+×C32×（）2×=，P（X=3）=×C32×（）2×+×（）3=，P（X=4）=×（）3=．E（X）=0×+1×+2×+3×+4×=．…（12分）【解析】（1）真假判断抽样的方法即可．（2）利用联列表求出k2，然后判断即可．（3）推出X可取0，1，2，3，4．求解概率，然后求解分布列，得到期望即可．本题考查离散型随机变量的期望以及分布列，独立检验思想的应用，考查计算能力．21.【答案】解：（1）由f（x）≥0得ax-≥0，从而ax≥，即a≥，设g（x）=，则g′（x）=，（x＞0）所以0＜x＜时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；x＞时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以当x=时，g（x）取得最大值g（）=，故a的取值范围是a≥；（2）设y=f（x）的图象与y=a相切于点（t，a），依题意可得因为f′（x）=a-，所以，消去a可得t-1-（2t-1）ln t=0．令h（t）=t-1-（2t-1）ln t，则h′（t）=1-（2t-1）•-2ln t=-2ln t-1，显然h′（t）在（0，+∞）上单调递减，且h′（1）=0，所以0＜t＜1时，h′（t）＞0，h（t）单调递增；t＞1时，h′（t）＜0，h（t）单调递减，所以当且仅当t=1时h（t）=0．故a=1．【解析】（1）由题意可得a≥，设g（x）=，求得导数和单调性、极值和最值，即可得到所求范围；（2）设y=f（x）的图象与y=a相切于点（t，a），求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点满足曲线方程，解方程即可得到所求值．本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．22.【答案】解：（ 1）直线l的参数方程为（其中t为参数，0＜α＜π）．①当时，直线的方程为x=1．②当α≠时，直线的方程为：y=tan α（x-1）．曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，转换为直角坐标方程为：y2=4x．（ 2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得：sin2αt2=4（1+t cosα），整理得：sin2αt2-4cosαt-4=0，（t1和t2为A、B对应的参数）所以：，．由于|AB|==8解得：因为 0＜α＜π，所以：．【解析】（1）直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果．（2）利用直线和曲线的位置关系的应用建立一元二次方程根和系数关系的应用求出三角函数的值，进一步求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.【答案】证明：（1）∵a，b是正实数，∴a+b≥2，∴≤1，∴（+）2=a+b+2≤4，∴+≤2，当且仅当a=b=1时，取“=”．（2）∵a2+b2≥2ab，∴2（a2+b2）≥a2+b2+2ab=（a+b）2=4，∴a2+b2≥2，∴（a+b3）（a3+b）=a4+b4+a3b3+ab≥a4+b4+2a2b2=（a2+b2） 2≥4，当且仅当a=b=1时，取“=”.【解析】本题考查不等式的证明，综合法的应用，基本不等式的应用，是基本知识的考查．（1）利用基本不等式证明即可．（2）利用综合法，通过基本不等式证明即可．。

2020届河北省唐山市2017级高三一模考试数学(理)试卷及解析

2020届河北省唐山市2017级高三一模考试数学（理）试卷★祝考试顺利★ (解析版)注意事项：1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题.在每小题给出的四个选项中,有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,0,1,2A =-,{}2xB y y ==,M A B =I ,则集合M 的子集个数是（）A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】C 【解析】求出集合M ,由此可计算出集合M 的子集个数.【详解】{}{}20xB y y y y ===>Q ,{}1,0,1,2A =-,{}1,2M A B ∴=⋂=,因此,集合M 的子集个数是224=. 故选：C.2.设i 是虚数单位,复数23iz i+=-,则z 在复平面内对应的点位于（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D 【解析】 ………利用复数的除法法则将复数z 化为一般形式,可得出复数z ,进而可判断出复数z 在复平面内对应的点所在的象限. 【详解】()()()()23255113331022i i i i z i i i i ++++====+--+Q ,1122z i ∴=-.因此,复数z在复平面内对应的点位第四象限.故选：D. ……..3.人口平均预期寿命是综合反映人们健康水平的基本指标.2010年第六次全国人口普查资料表明,随着我国社会经济的快速发展,人民生活水平的不断提高以及医疗卫生保障体系的逐步完善,我国人口平均预期寿命继续延长,国民整体健康水平有较大幅度的提高.下图体现了我国平均预期寿命变化情况,依据此图,下列结论错误的是（）A. 男性的平均预期寿命逐渐延长B. 女性的平均预期寿命逐渐延长C. 男性的平均预期寿命延长幅度略高于女性D. 女性的平均预期寿命延长幅度略高于男性【答案】C【解析】从图形中的数据变化可判断A、B选项的正误；计算出男性和女性平均预期寿命延长幅度,可判断C、D选项的正误,综合可得出结论.【详解】由图形可知,男性的平均预期寿命逐渐延长,女性的平均预期寿命也在逐渐延长,A、B 选项均正确；-=,女性的平均预期寿命的从1981年到2010年,男性的平均预期寿命的增幅为72.3866.28 6.1-=,增幅为77.3769.278.1所以,女性的平均预期寿命延长幅度略高于男性,C选项错误,D选项正确.故选：C. ………..4.《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著,书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺,深一丈八尺,问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器,底面圆周长五丈四尺,高一丈八尺,求此容器能放多少斛米”（古制1丈10=尺,1斛 1.62=立方尺,圆周率3π=）,则该圆柱形容器能放米（） A. 900斛 B. 2700斛C. 3600斛D. 10800斛【答案】B【解析】 ………..计算出圆柱形容器的底面圆半径,由此计算出圆柱形容器的体积,由此可得出结果. 【详解】设圆柱形容器的底面圆半径为r ,则5454926r π===（尺）, 所以,该圆柱形容器的体积为221839184374V r π=⨯=⨯⨯=（立方尺）,因此,该圆柱形容器能放米437427001.62=（斛）. 故选：B. …..5.已知向量a r 、b r 满足a b b +=r r r ,且2a =r ,则b r 在a r 方向上的投影是（） A. 2 B. 2-C. 1D. 1-【答案】D 【解析】在等式a b b +=r r r 两边同时平方,求出a b ⋅r r 的值,进而可得出b r 在a r 方向上的投影为a b a⋅r rr .【详解】2a =r Q ,在等式a b b +=r r r 两边平方并化简得220a a b +⋅=r r r,222a ab ∴⋅=-=-r r r ,因此,b r 在a r方向上的投影为1a b a ⋅=-r r r .故选：D.6.已知数列{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,22a b m ==,33a b n ==,若m 、n 为正数,且m n ≠,则（） A. 11a b < B. 11a b >C. 11a b =D. 1a 、1b 的大小关系不确定【答案】A 【解析】用m 、n 表示1a 、1b ,然后利用作差法可得出1a 与1b 的大小关系.【详解】由于1a 、2a 、3a 成等差数列,则2132a a a =+,则12322a a a m n =-=-,由于1b 、2b 、3b 成等比数列,则2213b b b =,则22213b m b b n==,所以,()22221122m n m mn n m a b m n n n n----=--==-, m Q 、n 为正数,且m n ≠,因此,()2110m n ab n--=-<,即11a b <.故选：A.7.已知随机变量X 服从正态分布()0,1N ,随机变量Y 服从正态分布()1,1N ,且()10.1587P X >=,则()12P Y <<=（） A. 0.1587 B. 0.3413C. 0.8413D. 0.6587【答案】B 【解析】设1Z Y =-,可知()0,1Z N :,进而可得出()()1201P Y P Z <<=<<,利用正态密度曲线的对称性可求得结果.【详解】设1Z Y =-,()1,1Y N Q :,则()0,1Z N :,()()()12010.510.50.15870.3413P Y P Z P Z ∴<<=<<=->=-=. 故选：B.8.函数()2tan f x x x =-在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】分析函数()y f x =的奇偶性以及函数()y f x =在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数值符号,结合排除法可得出合适的选项. 【详解】当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,()()()22tan tan f x x x x x -=---=--,则()()f x f x -≠,()()f x f x -≠-,所以,函数()y f x =为非奇非偶函数,排除B 、D 选项；当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,设()sin tan cos x g x x x x x =-=-,则()2110cos g x x '=->, 所以,函数()y g x =在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,则()()00g x g >=,所以,当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,tan 0x x ->,则2tan x x x >>,即()0f x >,排除C 选项.故选：A.9.设函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则下列结论中正确的是（）A. ()y f x =的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称B. ()y f x =的图象关于直线3x π=对称C. ()f x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D. ()f x 在,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为0【答案】C 【解析】计算3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值,可判断A 、B 选项的正误；由0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦计算223x π+的取值范围,利用正弦函数的单调性可判断C 选项的正误；由,06x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦计算223x π+的取值范围,利用正弦函数的基本性质可判断D 选项的正误.进而可得出合适的选项.【详解】()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭Q ,4sin 332f ππ⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭所以,A 、B选项均错误；当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,2242,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,所以,函数()y f x =在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,C 选项正确；当,06x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,222,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,则()min sin 3f x π==选项错误. 故选：C.10.已知四棱锥P ABCD -的顶点都在球O 的球面上,PA ⊥底面ABCD ,1AB AD ==,2BC CD ==,若球O 的表面积为36π,则直线PC 与底面ABCD 所成角的余弦值为（） A.6B.6C.3D.3【答案】B 【解析】推导出90ABC ADC ∠=∠=o ,可得出四边形ABCD 的外接圆直径为AC =并计算出四棱锥的外接球直径为26PC R ==,结合PA ⊥底面ABCD 可得出直线PC 与底面ABCD 所成角为ACP ∠,进而可求得cos ACP ∠的值.【详解】如下图所示：AB AD =Q ,BC BD =,AC AC =,ABC ADC ≅∴V V ,ABC ADC ∠=∠∴, 易知A 、B 、C 、D 四点共圆,则180ABC ADC ∠+∠=o ,90ABC ADC ∴∠=∠=o , 所以,四边形ABCD 的外接圆直径为225AC AB BC +设四棱锥P ABCD -的外接球半径为R ,则2436R ππ=,解得3R =,PA ⊥Q 平面ABCD ,()22231PA R AC ∴=-=且26PC R ==,直线PC 与底面ABCD 所成的角为ACP ∠, 在Rt PAC △中,5cos AC ACP PC ∠==. 故选：B. ……..11.已知F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点,M 是C 的渐近线上一点,且MF x ⊥轴,过F 作直线OM 的平行线交C 的渐近线于点N （O 为坐标原点）,若MN ON ⊥,则双曲线C 的离心率是（） 2336 D. 2【答案】A【解析】设点M 为双曲线C 的渐近线by x a=上的一点,根据MF x ⊥轴求出点M 的坐标,结合题意求得点N 的坐标,由MN ON ⊥得出直线MN 和ON 的斜率之积为1-,可得出关于a 、b 、c 的齐次等式,进而可求得双曲线C 的离心率的值. 【详解】设点M 为双曲线C 的渐近线b y x a =上的一点,易知点(),0F c ,所以点,bc M c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 直线FN 的方程为()b y x c a =-,联立()b y x c a b y x a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,解得22c x bcy a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,则点,22c bc N a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,MN ON ⊥Q ,且322MNbc bcb a a kc a c +==-,ON b k a =-,2231MN ON b k k a ∴⋅=-=-, 2213b a ∴=,因此,双曲线C的离心率为c e a ====故选：A.12.已知2a >,()()xf x e x a x a =-++,有如下结论：①()f x 有两个极值点； ②()f x 有3个零点；③()f x 的所有零点之和等于零. 则正确结论的个数是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】D 【解析】利用导数分析函数()y f x '=的单调性,结合零点存在定理可判断命题①的正误；利用导数分析函数()y f x =的单调性,结合零点存在定理可判断命题②的正误；由()0f x =得出xa xe a x+=-,设()xa xx e a xϕ+=--,由()0x ϕ=推导出()0x ϕ-=,由此可判断出命题③的正误.综合可得出结论.【详解】()()x f x e x a x a =-++Q ,则()()11x f x x a e '=-++,()()2xf x x a e ''=-+.当2x a <-时,()0f x ''<,此时函数()y f x '=单调递减；当2x a >-时,()0f x ''>,此时函数()y f x '=单调递增.所以,函数()y f x '=的最小值为()()2min 21a f x f a e -''=-=-.2a >Q ,()()2min 210a f x f a e-''∴=-=-<.令()1x g x e x =--,当0x >时,()10xg x e '=->,则函数()y g x =在()0,∞+上单调递增,则()()00g x g >=,所以,当0x >时,1x e x >+.()()1222111101a aa a af a e e e e a +'--=-=->->⋅+Q ,()10a f a e '=+>, 由零点存在定理可知,函数()y f x '=在(),2-∞-a 和()2,a -+∞上各有一个零点, 所以,函数()y f x =有两个极值点,命题①正确；设函数()y f x =的极大值点为1x ,极小值点为2x ,则122x a x <-<,则()()()()121122110110xx f x x a e f x x a e ⎧=-++=⎪⎨=-++=''⎪⎩,所以121211x x x a e x a e --⎧-=--⎨-=--⎩, 函数()y f x =的极大值为()()()()111111112x x f x e x a x a e x a x a x =-++=---+()()11111111122x x x x x e e e x e e x ---=-----+=-+,构造函数()2x xh x e e x -=-+,则()()220x x h x e e -'=-+≤-=,所以,函数()y h x =在R 上单调递减,当0x <时,()()00h x h >=；当0x >时,()()00h x h <=.()020f a '=-<Q ,()10f x '=,10x ∴<,则()10h x >,即()10f x >.同理可知,函数()y f x =的极小值为()222220x xf x e e x -=-+<.()121110aa f a e++--=--<Q ,()20f a a =>. 由零点存在定理可知,函数()y f x =在区间()11,a x --、()12,x x 、()2,x a 上各存在一个零点, 所以,函数()y f x =有3个零点,命题②正确；令()0f x =,得xa x e a x +=-,()xa x x e a xϕ+=--,则()00ϕ=, 令()0xa x x e a x ϕ+=-=-,则()10x x a x a xx e a x e a xϕ----=-=-=++, 所以,函数()y f x =所有零点之和等于零,命题③正确. 故选：D.二、填空题：本题共4小题.13.若x 、y 满足约束条件1030310x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩,则2z x y =-的最小值为______.【答案】2- 【解析】作出不等式组所表示的可行域,利用平移直线的方法找出使得2z x y =-取得最小值时对应的最优解,代入目标函数计算即可.【详解】作出不等式组1030310x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩所表示的可行域如下图所示：联立10310x y x y -+=⎧⎨-+=⎩,解得10x y =-⎧⎨=⎩,即点()1,0A -,平移直线2z x y =-,当该直线经过可行域的顶点A 时,直线2z x y =-在x 轴上的截距最小,此时z 取最小值,即()min 2102z =⨯--=-. 故答案为：2-.14.中国古代的四书是指：《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》,甲、乙、丙、丁4名同学从中各选一书进行研读,已知四人选取的书恰好互不相同,且甲没有选《中庸》,乙和丙都没有选《论语》,则4名同学所有可能的选择有______种. 【答案】10 【解析】分两种情况讨论：（1）乙、丙两人中没有一人选《中庸》；（2）乙、丙两人中有一人选《中庸》,利用排列组合思想计算出每种情况下选法种数,利用分类加法计数原理可求得结果. 【详解】分以下两种情况讨论：（1）乙、丙两人中没有一人选《中庸》,则乙、丙两人在《大学》、《孟子》中各选一书,则甲只能选《大学》,丁只能选《论语》,此时选法种数为22A 种；（2）乙、丙两人中有一人选《中庸》,则另一人可在《大学》、《孟子》选择一书,甲、丁两人选书时没有限制,此时选法种数为112222C C A .综上所述,4名同学所有可能的选择种数为2112222210A C C A +=.故答案为：10.15.在数列{}n a 中,已知11a =,1n n a a tn +=+（*n N ∈,t 为非零常数）,且1a 、2a 、3a 成等比数列,则n a =______.【答案】222n n -+【解析】【分析】由1a 、2a 、3a 成等比数列求出非零实数t 的值,再利用累加法可求得n a .【详解】11a =Q ,1n n a a tn +=+（*n N ∈,t 为非零常数）,则211a a t t =+=+,32231a a t t =+=+,由于1a 、2a 、3a 成等比数列,则2213a a a =,即()()21131t t +=⨯+,整理得20t t -=,0t ≠Q ,解得1t =,1n n a a n +∴-=,()()()()()()121321*********n n n n n a a a a a a a a n -+--∴=+-+-++-=++++-=+L L 222n n -+=. 故答案为：222n n -+.16.已知F 为抛物线()2:20C y px p =>的焦点,K 为C 的准线与x 轴的交点,点P 在抛物线C 上,设KPF α∠=,PKF β∠=,PFK θ∠=,有以下3个结论：①β的最大值是4π；②tan sin βθ=；③存在点P ,满足2αβ=.其中正确结论的序号是______. 【答案】①②③ 【解析】由直线PK 与抛物线相切可求得β的最大值,可判断命题①的正误；利用弦化切的思想和正弦定理边角互化思想可判断命题②的正误；由tan sin βθ=结合2αβ=化简得出34cos cos 10ββ--=,判断该方程在0,3πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时是否有根,由此可判断命题③的正误,综合可得出结论.【详解】如下图所示：易知点,02p K ⎛⎫- ⎪⎝⎭,可设直线KP 的方程为2p x my =-,由图形可知,当直线PK 与抛物线相切时,β取最大值,联立222p x my y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩,消去x 得2220y mpy p -+=,222440m p p ∆=-=,得1m =±, 此时,直线KP 的斜率为±1,所以,β的最大值为4π,命题①正确；过点P 作抛物线准线l 的垂线PA ,垂足为点A ,则APK β∠=, 由抛物线的定义可知PA PF =,则cos PA PF PKPKβ==,在KPF V 中,由正弦定理得sin cos sin PF PKββθ==,所以tan sin βθ=,命题②正确；若存在点P ,使得2αβ=,则3APF βπ∠=<,可得03πβ<<,则1cos 12β<<. 由②知()tan sin sin 3sin3sin cos2cos sin 2βθπββββββ==-==+即()()22sin sin cos 22cos sin 4cos 1cos βββββββ=+=-, sin 0β>Q ,则34cos cos 10ββ--=,构造函数()341f x x x =--,则1102f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭,()120f =>,由零点存在定理可知,函数()y f x =在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上有零点,所以,关于β的方程34cos cos 10ββ--=在0,3πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时有实数解,命题③正确.因此,正确结论的序号为①②③. 故答案为：①②③.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答. （一）必考题：17.ABC V 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知4a =,ABC V 的面积为（1）若3A π=,求ABC V 的周长；（2）求sin sin B C 的最大值.【答案】（1）4+（2【解析】（1）利用三角形的面积公式求出bc 的值,然后利用余弦定理求出b c +的值,由此可得出ABC V 的周长；（2）由正弦定理得出22sin sin sin bc A B C a⋅=,再利用三角形的面积公式结合4a =得出sin sin 4AB C ⋅=,进而可求得sin sin B C 的最大值.【详解】（1）因为1sin 2ABC S bc A ===△所以8bc =,由余弦定理得222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-,所以()223b c a bc +=+,又4a =,8bc =,所以()240b c +=,即b c +=,故ABC V 的周长为4+ （2）由正弦定理得sin sin sin a b c A B C==,所以22sin sin sin bc AB C a ⋅=,又1sin 232ABCS bc A ==V ,4a =, 所以3sin 3sin sin 44A B C ⋅=≤. 当sin 1A =时,2A π=,此时22216b c a +==,43bc =,即23b =,2c =；或2b =,23c =. 故2A π=时,sin sin B C ⋅取得最大值3. 18.如图,直三棱柱111ABC A B C -的底面为等边三角形,D 、E 分别为AC 、11A C 的中点,点F 在棱1CC 上,且EF BF ⊥.（1）证明：平面BEF ⊥平面BDF ；（2）若4AB =,12C F FC =,求二面角D BE F --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）23. 【解析】（1）推导出BD ⊥平面11ACC A ,可得出BD EF ⊥,结合EF BF ⊥,利用线面垂直的判定定理可得出EF ⊥平面BDF ,再由面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）由EF ⊥平面BDF 得出EF DF ⊥,利用勾股定理计算出CF 的长,然后以点D 为坐标原点,DB 、DC 、DE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系D xyz -,利用空间向量法可求出二面角D BE F --的余弦值.【详解】（1）因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱,所以1A A ⊥平面ABC ,BD ⊂Q 平面ABC ,1A A BD ∴⊥,因为ABC V 为等边三角形,D 为AC 的中点,所以BD AC ⊥. 又1A A AC A =I ,所以BD ⊥平面11ACC A ,EF ⊂Q 平面11ACC A ,所以BD EF ⊥.又因为EF BF ⊥,BD BF B =I ,所以EF ⊥平面BDF . 又因为EF ⊂平面BEF ,所以平面BEF ⊥平面BDF ；（2）由（1）可知EF ⊥平面BDF ,所以EF DF ⊥.设CF m =,则有2224449m m m +++=,即248m =,得2m =.以D 为坐标原点,DB 、DC 、DE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系D xyz -,则()0,0,0D ,()23,0,0B ,()0,2,0C ,(0,0,32E ,(0,2F ,设平面BEF 的法向量为(),,m x y z =u r,(23,0,32BE =-u u u r ,(0,2,22EF =-u u u r ,由3320220BE m x z EF m y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u u v vu u u v v ,令3x =可得2z =,2y =,则(3,2,2m =u r , 因为DC ⊥平面BDE ,所以平面BDE 的一个法向量为()0,2,0DC =u u u r,2cos ,329m DC m DC m DC ⋅<>===⨯u r u u u ru r u u u r u r u u u r , 由图形可知,二面角D BE F --的平面角为锐角,所以二面角D BE F --的余弦值为23.19.甲、乙二人进行一场比赛,该比赛采用三局两胜制,即先获得两局胜利者获得该场比赛胜利.在每一局比赛中,都不会出现平局,甲获胜的概率都为()01p p <<. （1）求甲在第一局失利的情况下,反败为胜的概率；（2）若12p =,比赛结束时,设甲获胜局数为X ,求其分布列和期望()E X ；（3）若甲获得该场比赛胜利的概率大于甲每局获胜的概率,求p 的取值范围.【答案】（1）2p ；（2）详见解析；（3）1,12⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】（1）设:A 甲在第一局失利,:B 甲获得了比赛的胜利,利用条件概率的概率公式可求得所求事件的概率；（2）根据题意可知随机变量X 的可能取值为0、1、2,计算出随机变量X 在不同取值下的概率,列出分布列,进而可计算出随机变量X 的数学期望；（3）计算出甲获得该场比赛的概率,根据题意得出关于p 的不等式,即可解得p 的取值范围. 【详解】（1）设:A 甲在第一局失利,:B 甲获得了比赛的胜利,则()()()()2211P AB p p P B A p P A p-===-；（2）由题意可知,随机变量X 的可能取值为0、1、2, 则()()21014P X p ==-=,()()2121114P X C p p ==-=,()()21221212P X p C p p ==+-=.随机变量X 的分布列如下：则()11150124424E X =⨯+⨯+⨯=；（3）甲获得该场比赛胜利的概率为()21221p C p p +-,则()21221p C p p p +->.即22310p p -+<,解得112p <<,所以p 的取值范围是1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.20.已知P 是x 轴上的动点（异于原点O ）,点Q 在圆22:4O x y +=上,且2PQ =.设线段PQ 的中点为M ,当点P 移动时,记点M 的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的方程；（2）当直线PQ 与圆O 相切于点Q ,且点Q 在第一象限. （ⅰ）求直线OM 的斜率；（ⅱ）直线l 平行OM ,交曲线E 于不同的两点A 、B .线段AB 的中点为N ,直线ON 与曲线E 交于两点C 、D ,证明：NA NB NC ND ⋅=⋅.【答案】（1）()22109x y x +=≠；（2）（ⅰ）13；（ⅱ）证明见解析.【解析】（1）连接OQ ,设()(),0M x y x ≠,求出点Q 的坐标,然后将点Q 的坐标代入圆O 的方程,化简后可得出曲线E 的方程；（2）（i ）由题意可得出OQ PQ ⊥,再由2OQ PQ ==可判断出OPQ △为等腰直角三角形,可求出点P 、Q 的坐标,并求出点M 的坐标,由此可求出直线OM 的斜率；（ii ）设()11,A x y ,()22,B x y ,直线1:3l y x t =+,将直线l 的方程与曲线E 的方程联立,列出韦达定理,求出点N 的坐标,进而可求得直线ON 的方程,由此可求得点C 、D 的坐标,再利用弦长公式化简可证得结论成立.【详解】（1）连接OQ ,设()(),0M x y x ≠,由2OQ PQ ==,可得2P Q x x =, 由M 为PQ 的中点,则322P QQ x x x x +==,23Q x x ∴=,43P xx =, 4,03x P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭,则2,23x Q y ⎛⎫⎪⎝⎭,把2,23xQ y⎛⎫⎪⎝⎭代入224x y+=,整理得2219xy+=,所以曲线E的方程为()22109xy x+=≠；（2）（ⅰ）当直线PQ与圆O相切于点Q,则OQ PQ⊥,2OQ PQ==Q,则22OP=,所以,OPQ△是等腰直角三角形,且4POQπ∠=, 又点Q在第一象限,得()22,0P,2,2Q.由M为PQ的中点,得32222M⎛⎝⎭,所以直线OM的斜率为13；（ⅱ）设()11,A x y,()22,B x y,直线1:3l y x t=+,由221319y x txy⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,整理得2226990x tx t++-=,由韦达定理得123x x t+=-,212992tx x-=.所以N点坐标为3,22t t⎛⎫-⎪⎝⎭,则直线ON方程为13y x=-.由方程组221319y xxy⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,得322,22C⎛-⎝⎭,32222D⎛⎫-⎪⎪⎝⎭,所以()233523223222t t NC ND t ⎛⎫⎫⋅=-⋅+=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 又()22121211104449NA NB AB x x x x ⎡⎤⋅==⨯⨯+-⎣⎦()()2225592992182t t t ⎡⎤=--=-⎣⎦, 所以NA NB NC ND ⋅=⋅ 21.已知函数()ln 11x f x x +=-,()f x '为()f x 的导函数,()()12f x f x =且12x x <. 证明：（1）()0f x '<；（2）211x x ->.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）求得()()21ln 1x x f x x ---'=,令()1ln g x x x =--,利用导数证明出()0g x <,即可证得结论；（2）由（1）可知函数()y f x =在()0,1,()1,+∞上单调递减,可得1201x x <<<,考查当01x <<时,()()10f x f x +->,可得出()()()1121f x f x f x +>=,再由函数()y f x =在区间()1,+∞上的单调性可证得结论.【详解】（1）()ln 11x f x x +=-Q ,定义域为()()0,11,⋃+∞,且()()21ln 1x x f x x ---'=,令()1ln g x x x =--,则()22111xg x x x x-=-='. 所以当01x <<时,()0g x '>；当1x >时,()0g x '<.所以,函数()y g x =在区间()0,1上单调递增,在区间()1,+∞上单调递减. 所以()()110g x g ≤=-<,对于函数()y f x =,1x ≠,因此()0f x '<；（2）由（1）得,函数()y f x =在()0,1,()1,+∞上单调递减,所以1201x x <<<.()()()()()()ln 11ln 1ln 1ln 1ln 1111x x x x x x x f x f x x x x x +++---+++-=-=--()()11ln 1ln 111x x x x x x ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭=+--,01x <<. 由（1）得()1ln 1g x x x=--≤-,等号当且仅当1x =时成立, 从而11ln 1x x≤-,即ln 1x x ≤-,等号当且仅当1x =时成立, 又0x >时,111x +>,因此11ln 1x x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭, 所以当01x <<时,11ln 101x x x⎛⎫-+ ⎪⎝⎭>-,又()()ln 101x x x +>-, 所以()()()1121f x f x f x +>=,由于函数()y f x =在()1,+∞上单调递减,且111x +>,21>x ,所以211x x >+,故211x x ->.（二）选考题：请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4—4：坐标系与参数方程]22.在极坐标系中,圆:4sin C ρθ=,直线:cos 2l ρθ=.以极点O 为坐标原点,以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系.（1）求圆C 的参数方程,直线l 的直角坐标方程；（2）点A 在圆C 上,AB l ⊥于B ,记OAB V的面积为S ,求S 的最大值. 【答案】（1）2cos :22sin x C y αα=⎧⎨=+⎩（α参数）,:2l x =；（2）3+【解析】（1）利用极坐标方程与普通方程之间的转换关系可将直线l 的极坐标方程转化为直角坐标方程,将圆C 的极坐标方程化为普通方程后,确定圆心和半径,即可得出圆C 的参数方程；（2）设点()2cos ,22sin A αα+,可得点()2,22sin B α+,利用三角恒等变换思想化简三角形的面积公式,再利用正弦函数的有界性可得出S 的最大值.【详解】（1）由题意得cos x ρθ=,所以:2l x =,将圆C 的极坐标方程化为24sin ρρθ=,由222x y ρ=+,sin y ρθ=,所以C 的普通方程为224x y y +=,即()2224x y +-=. 从而C 的参数方程为2cos :22sin x C y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）；（2）设()2cos ,22sin A αα+,02απ<<,则()2,22sin B α+. 所以()()()122sin 21cos 1sin 2S AB ααα=⋅+=-+ ()()2sin 2cos 2cos sin 212sin cos 2sin cos 1αααααααα=--+=-+-+()()()222sin cos 2sin cos 1sin cos 114πααααααα⎤⎛⎫=-+-+=-+=-+ ⎪⎥⎝⎭⎦. 02απ<<Q ,7444πππα-<-<,当42ππα-=,即34πα=时,S 取得最大值3+【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程与普通方程之间的相互转化,同时也考查了利用圆的参数方程求解三角形面积的最值问题,考查三角恒等变换思想以及正弦函数有界性的应用,考查计算能力,属于中等题.[选修4—5：不等式选讲]23.已知函数()211f x x a x =+---.（1）当1a =时,求不等式()0f x >的解集；（2）是否存在实数a ,使得()f x 的图象与x 轴有唯一的交点？若存在,求a 的值；若不存在,说明理由.【答案】（1）223x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；（2）存在,实数0a =或2a =-. 【解析】（1）当1a =时,由()0f x >得出12110x x +--->,然后分1x ≤-、11x -<<、1x ≥三种情况解不等式12110x x +--->,综合可得出该不等式的解集；（2）分1a >-、1a <-和1a =-三种情况讨论,将函数()y f x =的解析式表示为分段函数的形式,求出该函数的最小值()max f x ,根据题意得出()max 0f x =,由此可求得实数a 的值.【详解】（1）当1a =时,()0f x >化为12110x x +--->. 当1x ≤-时,不等式化为40x ->,无解；当11x -<<时,不等式化为320x ->,解得213x <<；当1x ≥时,不等式化为20x -+>,解得12x ≤<.所以()0f x >的解集为223x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；（2）存在.若1a >-,则()3,33,11,1x a x a f x x a a x x a x --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩.此时函数()y f x =的最大值()1f a =,所以0a =时满足题设；若1a <-,则()3,131,11,x a x f x x a x a x a x a --<⎧⎪=--+≤≤-⎨⎪-++>-⎩.此时函数()y f x =的最大值()12f a =--,所以2a =-时满足题设；若1a =-,则()110f x x =---<,所以1a =-时不满足题设. 综上所述,存在实数0a =或2a =-满足题设.……….………..….. .。

河北省唐山一中2017届高三高考仿真(四)(数学理)(含答案)word版

唐山一中2017年高考模拟试卷（四）数学(理科)说明：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页。

全卷150分，考试时间120分钟。

2. 将Ⅰ卷答案用2B 铅笔涂在答题卡上，卷Ⅱ用蓝黑钢笔或圆珠笔答在试卷上。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分．) 1．设复数2221,z i z z =-+则等于A ．1i -+B ．1i +C ．12i -+D ．12i +2．已知0m >,命题:p 函数()log m f x x =是()0,+∞的增函数,命题2:()ln(q g x mx =-2)3x m +的值域为R ,且p q ∧是假命题,p q ∨是真命题,则实数m 的范围是A ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．103m <≤C.()10,1,3⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦D ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭3．“1a =-”是“直线260a x y -+=与直线4(3)90x a y --+=互相垂直”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4. 函数ln xy x=的图像大致是A B C D 5.函数1ln(1),(1)2x y x -+-=>的反函数是（）A ．211(0)x y e x +=->B ．211(0)x y e x +=+>C ．211(R)x y e x +=-∈ Ｄ．211(R)x y e x +=+∈6. 已知P 是双曲线22143x y -=上的动点，12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，Q 是21PF F ∠的平分线上的一点，且20F Q QP ⋅=，O 为坐标原点，则||OQ =A ．1B ．3C ．2D 7. 设(132)n x y -+的展开式中含y 的一次项为01(),n n a a x a x y +++则01a a +n a ++=A ．(2)n n --B ．(2)n n -C ．12--n n D ．1(2)n n ---8．已知非零向量,,a b c 满足++=a b c ０，向量,a b 的夹角为120，且||2||=b a ，则向量a 与c 的夹角为A ．︒60 B ．︒90 C ．︒120D ． ︒1509．直线20x y m -+=与圆225x y +=交于A 、B ，O 为坐标原点，若OB OA ⊥，则m 的值A ．5±B ．52±C ．±D ．10．某运输公司有7个车队，每个车队的车多于4辆，先从这7个车队中抽取10辆，且每个车队至少抽一辆组成运输队，则不同的抽法有A. 84种B. 120种C. 63种D. 301种11. 如图，将45°直角三角板和30°直角三角板拼在一起，其中45°直角三角板的斜边与30°直角三角板的30°角所对的直角边重合．若DB x DC y DA =⋅+⋅，则x ，y 等于A ．1x y =B ．1x y =C ．2,x y =D ．1x y ==12．已知抛物线)0(2:2>=p px y C 过点)0,(p A 的直线与抛物线C 交于M ，N 两点，且AN MA 2=，过点M ，N 向直线x p =-作垂线，垂足分别为Q P ,，,MAP NAQ ∆∆的面积分别为记为1S 与2S ，A ．21:S S =2：1B ．21:S S =5：2C ．21:S S =4：1D ．21:S S =7：1第Ⅱ卷注意事项：1. 用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。