离散时间信号的表示及运算
离散时间信号
单位阶跃序列
定义为1，非奇异信号。
单位阶跃序列和单位序列的关系：
3.单位矩形序列（门序列）
定义：
门序列和单位阶跃序列的关系：
4．斜变序列
5．单边实指数序列
定义：
实数a的取值情况： 发散序列
收敛序列
6．正弦序列
定义：
数字角频率 振幅 初相位
数字角频率与模拟信号角频率的关系：
的单位： rad/s
信号与系统
离散时间信号
1.1 离散信号的时域描述
离散信号：只在某些互相分离的时间上才有定义 的信号，这种信号是离散的时间 tk 的函数，可 表示成 f (tk ) 。
离散信号常由连续时间信号进行抽样得到的。
连续信号的抽样
抽样时间： 抽样序号： 抽样值： 离散时间信号：一组序列值的集合
表示为 简记为
常用离散信号
1.单位序列
定义：
抽样性：
信号时域分解公式：
单位序列和单位冲击信号的区别：
单位冲击信号
宽度无穷小、幅度无穷大、面积为1 的窄脉冲，工程实际中不存在。
单位序列
取有限值1，工程实际中存在。
2.单位阶跃序列
定义：
截取特性:
单位阶跃序列和单位阶跃函数的区别：
单位阶跃函数
跃变，为奇异信号
信号与系统
的单位： 周期信号：
重复周期 重复角频率
正弦序列的周期： 为整数
为有理数 为无理数
且 为使 为最小整数的自然数 正弦序列为非周期序列
1.3 离散信号的基本运算
1．序列的相加
2．序列的相乘
例5.2.1 两离散时间信号
3．序列的移位
4．序列的折叠 5．序列的差分
离散时间信号的基本运算
信号绝对值的积分
总结词
信号绝对值的积分是指将离散时间信号中每个值的绝对值与其对应的权系数相乘，并求和得到的结果 。
详细描述
信号绝对值的积分在处理一些具有正负性质的问题时非常有用，例如计算信号的能量或幅度。对于离散时 间信号 $x(n)$，其绝对值的积分可以表示为 $sum_{n=0}^{N-1} |x(n)| cdot Delta t$。
符号相加主要用于处理具有正负符号 的信号，使得正负符号能够相互抵消， 从而得到一个新的符号较少的信号。
02
离散时间信号的乘法
离散时间信号的乘法 信号相乘
信号相乘
离散时间信号的乘法是指将两个信号对应时刻的数值相乘。当两个信号相乘时，其输出信号的幅度将等于两个输入信 号幅度相乘的结果。
信号的绝对值相乘
04
离散时间信号的微分
信号的微分
信号的微分是指将信号中的每个值都 减去前一个值，得到的结果就是微分 后的信号。在离散时间信号中，微分 运算可以用于分析信号的变化趋势。
例如，如果一个离散时间信号为 [1, 3, 5, 7, 9]，其微分为 [0, 2, 2, 2, 2]，表 示信号在每个时刻的变化量。
信号符号的积分
总结词
信号符号的积分是指将离散时间信号中 每个值的符号与其对应的权系数相乘， 并求和得到的结果。
VS
详细描述
信号符号的积分可以用于处理一些具有正 负性质的问题，例如计算信号的极性或方 向。对于离散时间信号 $x(n)$，其符号的 积分可以表示为 $sum_{n=0}^{N-1} text{sgn}(x(n)) cdot Delta t$，其中 $text{sgn}(x(n))$ 表示 $x(n)$ 的符号函数。
03
信号与系统-离散信号与系统
(1)
y (k + 3) − 2 2 y (k + 2) + y (k + 1) + 0 y (k ) = f (k ) 1 y (k + 2) − y (k + 1) + y (k ) = f (k ) 4
(2)
解：用转移算子法求。
1 (1) H ( E ) = 3 2 E − 2 2E + E 1 = E ( E − 2 − 1)( E − 2 + 1) 1 1 1 2( 2 + 1) 2( 2 − 1) = + − E E − 2 −1 E − 2 + 1
f ( n )= ∑ i=-∞ f(i) ∗ δ (k-i)=f(n) ∗ δ (n)
∞
四 离散信号的卷积和
l 定义
f1 (n) ∗ f2 (n)=∑i=-∞ f1 (i) ∗ f2 (k-i)=∑i=-∞ f2 (i) ∗ f1 (k-i)
∞ ∞
l 上下限范围
– 当f1(n), f2(n)均为因果序列
yh (n) =
l
l
∑
K
N i =1
A iα
n i
i −1 n yh (n) = ∑i =+1 An α1 + ∑i=k +1 Aiαin i N
l l l
将所求得的强迫解和自由解相加，即可得到全响应 将给定的全响应的初始值代入到方程中，已确定待定系数 将所求得的待定系数带入到全响应方程中
例：求下列差分方程所 描述的系统的单位响应 h(k)
1 故h(k) =δ (k −1) +[ ( 2 +1)k−1 − 2( 2 +1) 1 k−1 ( 2 −1) ]U(k −1) 2( 2 −1) 1 k−2 1 k−2 =δ (k −1) +[ ( 2 +1) − ( 2 −1) ]U(k −2) −δ (k −1) 2 2 1 k−2 k−2 = [( 2 +1) −( 2 −1) ]U(k −2) 2
数字信号处理-序列的基本运算
离散时间信号的基本运算离散时间信号（即序列）的基本运算包括移位、反折、求积、乘积、差分运算和尺度变换，下面分别介绍。
1．序列的移位设某一序列为()x n ，若0m >，则()x n m -表示序列()x n 整体右移了m 个样点形成的新序列，也称()x n m -是()x n 的m 个样点的延迟。
此时()x n m +表示序列()x n 整体左移了m 个样点形成的新序列，也称()x n m +是()x n 的m 个样点的超前。
例如，()x n 如图3-2-4（a ）所示，则(2)x n -和(2)x n +分别如图3-2-4（b ）和图3-2-4（c ）所示。
(a)()x n(b)(2)x n -(c)(2)x n +图3-2-4 序列的移位2．序列的反折设某一序列为()x n ，则()x n -是以0n =为对称轴将序列()x n 水平翻转，()x n -称为序列()x n 的反折。
若()x n 如图3-2-5（a ）所示，则()x n -如图3-2-5（b ）所示。
(a)()x n(b)()x n -图3-2-5 序列的反折3．序列的求和()x n 与()y n 两个序列之和是指两个序列同序号（即n 相同）的序列值逐项对就相加构成一个新的序列()z n ，表示为【例1】已知1(),1()20,1n n x n n ⎧≥-⎪=⎨⎪<-⎩，1(),0()21,0n n y n n n ⎧≥⎪=⎨⎪+<⎩，求()()x n y n +解：根据序列求和定义，得11(),02()()()2,11,1n n z n x n y n n n n -⎧≥⎪⎪=+=⎨=-⎪⎪+<-⎩ ()x n 、()y n 和()()x n y n +的图形分别如图3-2-5（a ）、（b ）和（c ）所示。
(a)()x nn图3-2-5 序列的求和4．序列的乘积()x n 与()y n 两个序列的乘积是指两个序列同序号（即n 相同）的序列值逐项对就相乘构成一个新的序列()z n ，表示为【例2】已知1(),1()20,1n n x n n ⎧≥-⎪=⎨⎪<-⎩，1(),0()21,0n n y n n n ⎧≥⎪=⎨⎪+<⎩求()x n 与()y n 的乘积()()x n y n ⋅。
离散时间信号的表示及运算
第2章离散时间信号的表示及运算2.1实验目的学会运用MATLAB表示的常用离散时间信号；学会运用MATLAB实现离散时间信号的基本运算。
2.2实验原理及实例分析221 离散时间信号在 MATLAB 中的表示离散时间信号是指在离散时刻才有定义的信号，简称离散信号，或者序列。
离散序列通常用x(n)来表示，自变量必须是整数。
离散时间信号的波形绘制在MATLAB中一般用Stem函数。
stem函数的基本用法和Plot函数一样，它绘制的波形图的每个样本点上有一个小圆圈，默认是空心的。
如果要实心，需使用参数“fill、"‘filled ,或者参数：”。
由于MATLAB中矩阵元素的个数有限，所以MATLAB 只能表示一定时间范围内有限长度的序列；而对于无限序列，也只能在一定时间范围内表示出来。
类似于连续时间信号，离散时间信号也有一些典型的离散时间信号。
1. 单位取样序列单位取样序列J.(n),也称为单位冲激序列，定义为(n =0)(12-1)(n = 0)要注意，单位冲激序列不是单位冲激函数的简单离散抽样，它在n=0处是取确定的值1。
在MATLAB中，冲激序列可以通过编写以下的impDT.m文件来实现，即function y=impDT(n)y=(n==0); %当参数为0时冲激为1,否则为0调用该函数时n必须为整数或整数向量。
【实例2-1】禾U用MATLAB的impDT函数绘出单位冲激序列的波形图。
解：MATLAB源程序为>>n=-3:3;>>x=impDT(n);>>stem(n,x,'fill'),xlabel('n'),grid on>>title('单位冲激序列’)>>axis([-3 3 -0.1 1.1])程序运行结果如图12-1所示。
2. 单位阶跃序列单位阶跃序列u(n)定义为u(n)(n —O) (n 0)(12-2)在MATLAB 中，冲激序列可以通过编写uDT .m 文件来实现，即function y=uDT(n) y=n>=0;%当参数为非负时输出 1调用该函数时n 也同样必须为整数或整数向量。
离散时间信号的表示与运算
实验一 离散时间信号的表示与运算一 实验目的1、熟悉MATLAB 的绘图函数；2、掌握单位取样序列、单位阶跃序列、矩形序列和正余弦序列的产生方法；3、掌握离散时间信号基本运算的MATLAB 实现；4、掌握离散时间信号线性卷积和运算的MATLAB 实现。
二 实验设备1、计算机2、MA TLAB R2007a 仿真软件三 实验原理1）序列相加和相乘设有序列)(1n x 和)(2n x ，它们相加和相乘如下：)()()()()()(2121n x n x n x n x n x n x ⋅=+=注意，序列相加（相乘）是对应序列值之间的相加（相乘），因此参加运算的两个序列必须具有相同的长度，并且保证位置相对应。
如果不相同，在运算前应采用zeros 函数将序列左右补零使其长度相等并且位置相对应。
在MATLAB 中，设序列用x1和x2表示，序列相加的语句为：x=x1+x2；然而要注意，序列相乘不能直接用x=x1*x2,该式表示两个矩阵的相乘，而不是对应项的相乘。
对应项之间相乘的实现形式是点乘“.*”，实现语句为：x=x1.*x2。
2）序列翻转设有序列：)()(n x n y -=，在翻转运算中，序列的每个值以n=0为中心进行翻转，需要注意的是翻转过程中序列的样值向量翻转的同时，位置向量翻转并取反。
MATLAB 中，翻转运算用fliplr 函数实现。
设序列)(n x 用样值向量x 和位置向量nx 表述，翻转后的序列)(n y 用样值向量y 和位置向量ny 描述。
3）序列的移位移位序列)(n x 的移位序列可表示为：)()(0n n x n y -=，其中，00>n 时代表序列右移0n 个单位；00<n 时代表序列左移0n 个单位。
在移位过程中，序列值未发生任何变化，只是位置向量的增减。
MA TLAB 中没有固定函数实现移位运算。
设序列)(n x 用样值向量x 和位置向量nx 描述移位0n 后的序列)(n y 用样值向量y 和位置向量ny 描述。
离散时间信号的表达及运算规则
06
离散时间信号的应用
在通信系统中的应用
数字信号传输
01
离散时间信号在数字通信系统中用于表示和传输信息，如数字
调制解调、数字信号处理等。
信号压缩与编码
02
离散时间信号在数据压缩和信道编码中用于提高通信系统的传
输效率和可靠性。
无线通信
03
离散时间信号在无线通信中用于处理和传输无线电信号，如数
字音频广播、卫星通信等。
在图像处理中的应用
01
图像数字化
离散时间信号用于将连续的图像 信息转换为离散的数字信号，便 于计算机处理和存储。
图像增强
02
03
图像压缩
离散时间信号在图像增强中用于 改善图像质量，如滤波、锐化等。
离散时间信号在图像压缩中用于 减少图像数据量，提高存储和传 输效率。
在控制系统中的应用
控制算法实现
离散时间信号在控制系统中用于实现控制算法，如PID控制、模 糊控制等。
离散时间信号的图形表示法可以直观地展示信号的幅度和时间变化，有助于理解信号的周期性、趋势 和突变等特征。
数学表示法
离散时间信号的数学表示法通常使用 序列来表示，即使用一串数值来表示 信号在不同时刻的值。
常用的数学表示法包括差分方程、离 散时间函数和离散时间系统等，这些 方法可以用来描述离散时间信号的数 学特征和运算规则。
系统建模与仿真
离散时间信号在控制系统建模和仿真中用于描述系统的动态行为。
故障诊断与预测
离散时间信号在故障诊断和预测中用于分析系统的运行状态和异 常情况。
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THANKS
FIR滤波器的设计
FIR滤波器的定义
FIR（有限冲激响应）滤波器是一种离散时间系统，其 冲激响应有限长，且在有限时间内收敛到零。
离散时间信号的时域描述及基本运算
[例] 画出信号f (t) 的奇、偶分量 画出信号f
解：
f(t) 2 1
-1
0
f(t) 2 1
1
t
-1
0
1
t
3．信号分解为实部分量与虚部分量 信号分解为实部分量 实部分量与
连续时间信号
f (t ) = f r (t ) + j f i (t )
实部分量 虚部分量
f * (t ) = f r (t ) j f i (t )
在序列2点之间插入 个点 在序列 点之间插入M1个点 点之间插入
4. 序列相加
指将若干离散序列序号相同的数值相加
y[k ] = f1[k ] + f 2 [k ] + … + f n [k ]
f1 [ k ]
1 k 0 1
f1[k ] + f 2 [k ]
2
f 2 [k ]
k
1 k
0
0
5. 序列相乘
1 f o (t ) = [ f (t ) f (t )] 2 f o (t ) = f o (t )
离散时间信号
f [k ] = f e [k ] + f o [k ] 1 f o [k ] = { f [k ] f [ k ]} 2
1 f e [k ] = { f [k ] + f [k ]} 2
1. 翻转
f [k] → f [k]
以纵轴为中心作180度翻转 将 f [k] 以纵轴为中心作 度翻转
f [k] 2 1 1 0 1 2 3 k
2 1 0 1
3 2
f [k] 2
3 2 1 2 k
2. 位移 f [k] → f [k±n]
离散时间信号与离散时间系统
§7-1 概述一、 离散时间信号与离散时间系统离散时间信号：只在某些离散的时间点上有值的信号。
离散时间系统：处理离散时间信号的系统。
混合时间系统：既处理离散时间信号，又处理连续时间信号的系统。
二、 连续信号与离散信号连续信号可以转换成离散信号，从而可以用离散时间系统（或数字信号处理系统）进行处理：三、 离散信号的表示方法：1、 时间函数：f(k)<——f(kT)，其中k 为序号，相当于时间。
例如：)1.0sin()(k k f =2、 （有序）数列：将离散信号的数值按顺序排列起来。
例如：f(k)={1,0.5,0.25,0.125,……,}时间函数可以表达任意长（可能是无限长）的离散信号，可以表达单边或双边信号，但是在很多情况下难于得到；数列的方法表示比较简单，直观，但是只能表示有始、有限长度的信号。
四、 典型的离散时间信号1、 单位样值函数：⎩⎨⎧==其它001)(k k δ下图表示了)(n k -δ的波形。
连续信号离散信号 数字信号 取样量化这个函数与连续时间信号中的冲激函数)(t δ相似，也有着与其相似的性质。
例如：)()0()()(k f k k f δδ=， )()()()(000k k k f k k k f -=-δδ。
2、 单位阶跃函数：⎩⎨⎧≥=其它001)(k k ε这个函数与连续时间信号中的阶跃函数)(t ε相似。
用它可以产生（或表示）单边信号（这里称为单边序列）。
3、 单边指数序列：)(k a k ε比较：单边连续指数信号：)()()(t e t e t a at εε=，其底一定大于零，不会出现负数。
4、 单边正弦序列：)()cos(0k k A εφω+(a) 0.9a = (d) 0.9a =-(b) 1a = (e) 1a =-(c) 1.1a = (f) 1.1a =-双边正弦序列：)cos(0φω+k A五、 离散信号的运算1、 加法：)()()(21k f k f k f +=<—相同的k 对应的数相加。
《数字信号处理》第二章 离散信号和抽样定理
信息。
重要结论
第三节 抽样定理
*带限信号抽样定理:
要想连续信号抽样后能够不失真的还原 出原信号，则抽样频率必须大于或等于两 倍原信号频谱的最高频率(2fm≤ fs)，这就是 奈奎斯特抽样定理。
第三节 抽样定理
二、如何从抽样信号恢复出带限信号x(t)
n
其中
1 g (t)
0
t
2
t
2
Ts
第二节 连续信号的离散化
xa (t)
抽样器
（电子开关） P(t)
T
xa (t)
xˆs (t)
fs
1 T
xˆs (t)
第二节 连续信号的离散化
理想抽样：当τ 趋于零的极限情况时，抽样脉冲
方波p(t)变成了冲激函数序列δT(t)，这些冲击函数 的强度准确地为采样瞬间的xa(t)幅值，这样的抽 样称为理想抽样。
余弦与正弦序列示意图如下：
第一节 离散时间信号
5、 用单位脉冲序列表示任意序列
任意序列x(n)都可用单位脉冲序列δ(n)表示成 加权和的形式，即
x(n) x(m) (n m) m
如:
a n x(n)
可表示为 0
10 n 10 其他
10
x(n) am (n m)
样品集合可以是本来就存在的，也可以是由模拟 信号通过采样得来的或者是用计算机产生的。
第一节 离散时间信号
离散时间信号的时域表示 1） 表示离散时间信号可采用枚举的方式。例如
{x(n)}={…，-1.5，-8.7，2.53，0.0，6，7.2， …}
离散时间信号的表示及运算
实验一 离散时间信号的表示及运算一、实验目的学会运用MATLAB 表示的常用离散时间信号；学会运用MATLAB 实现离散时间信号的基本运算。
二、实验原理(一) 离散时间信号在MATLAB 中的表示离散时间信号是指在离散时刻才有定义的信号，简称离散信号，或者序列。
离散序列通常用)(n x 来表示，自变量必须是整数。
离散时间信号的波形绘制在MATLAB 中一般用stem 函数。
stem 函数的基本用法和plot 函数一样，它绘制的波形图的每个样本点上有一个小圆圈，默认是空心的。
如果要实心，需使用参数“fill ”、“filled ”，或者参数“.”。
由于MATLAB 中矩阵元素的个数有限，所以MATLAB 只能表示一定时间范围内有限长度的序列；而对于无限序列，也只能在一定时间范围内表示出来。
类似于连续时间信号，离散时间信号也有一些典型的离散时间信号。
(二) 离散时间信号的基本运算对离散时间序列实行基本运算可得到新的序列，这些基本运算主要包括加、减、乘、除、移位、反折等。
两个序列的加减乘除是对应离散样点值的加减乘除，因此，可通过MATLAB 的点乘和点除、序列移位和反折来实现，与连续时间信号处理方法基本一样。
三、实验内容（包括代码与产生的图形）1. 试用MATLAB 命令分别绘出下列各序列的波形图。
（1）()()n u n x n⎪⎭⎫⎝⎛=21 （2）()()n u n x n 2=（3）()()n u n x n⎪⎭⎫⎝⎛-=21 （4）()()()n u n x n 2-=（5）()()121-=-n u n x n （6）()()n u n x n 121-⎪⎭⎫⎝⎛=(1)、(2) n=-3:8; a=1/2;x=a.^n.*uDT(n); subplot(221);stem(n,x,'fill','r'),xlabel('n'),grid on title('(1)x(n)=(1/2)^{n}*U(n)') axis([-3 8 -0.1 1.1]) n1=-3:8; b=2;x=b.^n1.*uDT(n1); subplot(222);stem(n1,x,'fill','r'),xlabel('n'),grid on title('(2)x(n)=(2)^{n}*U(n)') axis([-3 4.5 -1.5 18])分析：(1)该信号为指数衰减序列与阶跃序的乘积，当n<0时,U(n)=0，所以该信号为零；当n=0时，U(n)=1,n⎪⎭⎫⎝⎛21=1，该信号为1；当n>0,U(n)=1,该信号呈现指数衰减趋势。
信号与系统 第2章(3-5)
X
n = −∞
∑
k
x[n ]
1 k
n = −∞
∑ x[n]
2 1
k
3
单位阶跃序列可 用单位脉冲序列 的求和表示: 的求和表示:
0
k
k
u[ k ] =
n = −∞
∑ δ [n]
2.5 确定信号的时域分解
X
一、信号分解为直流分量与交流分量 二、信号分解为奇分量与偶分量之和 三、信号分解为实部分量与虚部分量 四、连续信号分解为冲激信号的线性组合 五、离散信号分解为脉冲序列的线性组合 六、信号分解为正交信号集
d
u[k ] =
u( t ) =
∫d ∫
t
−∞
δ (τ ) τ
n =−∞
∑ δ [ n] ∑ u [n]
k
k
u( t ) = d r ( t ) t r (t ) =
−∞
u[k ] = r[k + 1] − r[k ]
u(τ ) τ
d
r [ k + 1] =
n = −∞
2.4 离散时间信号的基本运算
一、序列相加与相乘
2. 序列相乘 序列相乘
x1[ k ]
0 1 k
2 1 y[k]=x1[k]× x2[k] 2 1.5
X
将若干序列同序号的数值相乘。 将若干序列同序号的数值相乘。
y[k ] = x1 [k ] × x2 [k ] × … × xn [k ]
x2 [ k ]
0
k
0
k
2.4.2 序列的相加、相乘、差分与求和
x[k] = x D C [k] + x A C [k]
k = N1
2-3 离散时间信号的表达及运算规则
x[k]→x[-k] x[k]→ x[k-N] x[k]→ x[Mk]
y[k ] = ∑n = −∞ x[n]h[k − n]
例：已知x1[k] ∗ x2[k]= y[k]，试求y1[k]= x1[k−n] ∗ x2[k−m]。
结论： y1[k]= y[k−(m+n)]
例：x[k] 非零范围为 N1≤ k ≤ N2 ， h[k] 的非零范围为 N3≤ k≤ N4
x(n) =
m = −∞
∑
∞
x ( m )δ ( n − m )
2-3离散时间信号的表达及运算规则
序列的表示 序列的产生 序列的运算规则及符号表示 常用序列 序列的周期性 序列的线性组合 序列的能量
离散信号(序列 的表示 离散信号 序列)的表示 序列
1.离散时间信号 1.离散时间信号 离散时间信号是在离散的时间上取 在两个取样间隔内数值为零的信号。 值，在两个取样间隔内数值为零的信号。 又称离散时间信号序列 离散时间信号序列。 又称离散时间信号序列。 2.表示： 2.表示 表示：
实指数序列的定义为
n x(n)=a
其中a为不等于零的任意实数。 图2-18是0＜a＜1的一个实指数 序列的图形。
图2-18 实指数序列
(5) 正弦序列
正弦序列的定义为
x(n)=sin（nω0）
其图形如图2-19所示。
图2-19正弦序列 正弦序列
序列的基本运算
• 翻转(time reversal) • • • • 位移(延迟) 抽取(decimation) 内插(interpolation) 卷积
常用序列
(1) 单位取样序列
单位取样序列的定义为
其图形如图2-15所示。
信号与系统 07离散时间信号离散时间系统
arg ?x?n??? ? 0n
§7.3 离散时间系统的数学 模型—差分方程
?用差分方程描述线性时不变离散系统 ?由实际问题直接得到差分方程 ?由微分方程导出差分方程 ?由系统框图写差分方程 ?差分方程的特点
第
一．用差分方程描述线性时不变离散系统2页7
线性： 均匀性、可加性均成立；
x1 (n )
数值。
离散正弦序列 x?n?? sin?? 0n?是周期序列应满足
x?n ? N ?? x?n?
N称为序列的 周期，为任意 正整数 。
第
正弦序列周期性的判别
23 页
① 2π ? N，N是正整数
?0
sin?? 0 ?n ? N ?? ? sin
正弦序列是周期的
???
?
0
????n
?
2π
?0
????????
3.1
1.5 0.9
o T 2T 3T t
fq ?t ? 4
幅值量化 —— 幅值只能分级变化。
3
2
1
o T 2T 3T t
数字信号： 离散信号在各离散点的幅值被量化的信号。
离散时间系统的优点
第 5
页
?便于实现大规模集成，从而在重量和体积方面显示其优 越性； ?容易作到精度高，模拟元件精度低，而数字系统的精 度取决于位数； ?可靠性好； ?存储器的合理运用使系统具有灵活的功能； ?易消除噪声干扰； ?数字系统容易利用可编程技术，借助于软件控制，大 大改善了系统的灵活性和通用性； ?易处理速率很低的信号。
??
?
?? n? 0
??
第
2．单位阶跃序列
18 页
u(n )
?
信号系统_离散时间信号的基本运算
翻转(x[k] →x[-k])位移(x[k] →x[k±n])内插与抽取序列相加序列相乘差分与求和x [k -n ]表示将x [k ]右移n 个单位。
x [k +n ]表示将x [k ]左移n 个单位。
[]}[{][2=∇∇=∇k x k x k x []}[{][2k x k x k x ==∆∆∆]}[{][1k x k x n n -∇∇=∇]}[{][1k x k x n n -=∆∆∆]1[][][--=∇k x k x k x ][]1[][k x k x k x -+=∆单位脉冲序列可用单位阶跃序列]1[][][--=k u k u k δ1．信号分解为直流分量与交流分量2．信号分解为奇分量与偶分量之和3．信号分解为实部分量与虚部分量4．连续信号分解为冲激函数的线性组合5．离散序列分解为脉冲序列的线性组合)()()(AC DC t x t x t x +=⎰-=b a t t x a b t x d )(1)(DC ][][][AC DC k x k x k x +=∑=+-=21][11][12DC N N k k x N N k x 连续时间信号离散时间信号直流交流)()()(AC DC t x t x t x +=)()()(o e t x t x t x +=)]()([21)(e t x t x t x -+=)]()([21)(o t x t x t x --=)()(e e t x t x -=)()(o o t x t x --=][][][o e k x k x k x +=]}[][{21][e k x k x k x -+=[][{21][o k x k x k x --= 离散时间信号偶分量奇分量解：-)∆uττδτd )()()(-=⎰∞∞-t x t x物理意义：不同的连续信号都可以分解为冲激信号，不同的信号只是它们的系数不同。
实际应用：当求解信号通过系统产生的响应时，只需求解冲激信号通过该系统产生的响应，然后利用线性时不变系统的特性，进行迭加和延时即可求得信号x (t )产生的响应。
实验一离散时间信号的表示与运算
实验一离散时间信号的表示与运算实验一：离散时间信号的表示与运算一、实验目的本实验旨在让学生了解和掌握离散时间信号的基本表示方法，包括时域和频域表示方法，以及基本信号的运算方法，从而为学生进一步学习数字信号处理和通信系统等课程打下坚实的基础。
二、实验原理离散时间信号是在时间轴上离散出现的信号，与连续时间信号不同，它只能在离散的时间点上采样观察。
离散时间信号的表示方法包括时域和频域表示方法，其中时域表示方法是最基本和直观的表示方法。
离散时间信号的运算包括加法、减法、乘法和除法等基本运算，通过这些基本运算可以实现对离散时间信号的基本处理。
此外，离散时间信号的变换也成为频域分析，将信号从时域转化为频域，可以对信号的频率特性进行分析。
三、实验步骤1.准备阶段：在进行实验之前，需要准备好实验所需的器材和软件，包括计算机、信号发生器和数字示波器等。
同时，学生应该对离散时间信号的基本概念和表示方法进行预习，以便更好地进行实验。
2.时域表示：首先，通过计算机生成一组离散时间信号，例如矩形波信号、正弦波信号和余弦波信号等。
然后，将所生成的离散时间信号在数字示波器中进行观察和记录，并对这些信号进行简单的处理，例如加减乘除等基本运算。
3.频域表示：通过使用离散傅里叶变换（DFT）将所生成的离散时间信号从时域转化到频域，并对信号的频谱进行分析。
通过观察信号的频谱，可以了解信号的频率成分和幅度分布等情况。
4.实验总结：在完成实验观察和记录后，学生应该对实验结果进行分析和总结，并对实验过程中遇到的问题进行思考和解决。
同时，学生应该了解并掌握离散时间信号的表示与运算的基本原理和方法。
四、实验结果及分析通过本次实验，学生应该得到以下实验结果：1.了解并掌握离散时间信号的基本概念和表示方法；2.学会使用简单的离散时间信号处理算法对信号进行处理；3.掌握将离散时间信号从时域转化为频域的方法，并对信号的频谱进行分析；4.学会使用MATLAB等软件对离散时间信号进行处理和分析。
离散信号的时域运算
离散信号的时域运算离散信号的时域运算是数字信号处理中一项非常重要的操作，通过对信号在时域上的运算，可以实现信号的加减、乘除、卷积等操作，进而实现对信号的滤波、特征提取等处理。
本文将从离散信号的时域运算的定义、加法、乘法、卷积等方面进行详细介绍。
一、离散信号的时域运算定义离散信号的时域运算是指对离散时间序列信号进行加、减、乘、除、卷积等操作，在时域上对信号进行处理。
时域运算可以表示为以下公式：y(n) = f(x1(n), x2(n), ..., xn(n))其中，y(n)为输出的离散信号，x1(n)、x2(n)、...、xn(n)为输入的离散信号，f为时域运算函数。
二、离散信号的加法离散信号的加法是指对两个离散信号在时域上进行加法运算。
假设有两个离散信号x1(n)和x2(n)，它们的和为：y(n) = x1(n) + x2(n)加法运算可以实现信号的叠加，例如在音频处理中，可以将两个音频信号进行叠加，实现混音的效果。
三、离散信号的乘法离散信号的乘法是指对两个离散信号在时域上进行乘法运算。
假设有两个离散信号x1(n)和x2(n)，它们的积为：y(n) = x1(n) * x2(n)乘法运算可以实现信号的放大或缩小，例如在音频处理中，可以将音频信号乘以一个系数，实现音量的调节效果。
四、离散信号的卷积离散信号的卷积是指对两个离散信号在时域上进行卷积运算。
假设有两个离散信号x1(n)和x2(n)，它们的卷积为：y(n) = x1(n) * x2(n) = ∑(k=-∞)^(∞) x1(k) * x2(n-k)卷积运算可以实现信号的滤波、特征提取等操作，例如在图像处理中，可以通过卷积运算实现边缘检测、模糊等效果。
五、离散信号的除法离散信号的除法是指对两个离散信号在时域上进行除法运算。
假设有两个离散信号x1(n)和x2(n)，它们的商为：y(n) = x1(n) / x2(n)除法运算在信号处理中较为少用，但在某些特殊场合下仍然有一定的应用。
信号与系统
这就是迭代法求解差分方程
例如 差分方程 y(n) a y(n 1) x(n) 已知 x(n) (n)，y(1) 0 可以求得
y(0) a y(1) 1 1
y(1) a y(0) 0 a
dy( t ) y[(n 1)T ] y( nT ) dt T 因此，微分方程式可以写作 y(n 1) y(n) Ay(n) x(n) T
y(n 1) (1 AT ) y(n) Tx(n) 经整理后得 上式与差分方程式具有相同的形式。必须注意 ，微分方程近似写作差分方程的条件是样值间 隔 T 要足够小，T 越小，近似程度越好。
n — 序号 取整数
二、离散时间信号的运算
1. 序列相加和相乘
2. 移位运算
3. 反褶运算 4. 尺度展缩 5. 差分
6. 累加
7. 序列的能量
1. 序列相加和相乘 序列 x(n) 与 y(n) 相加是指两序列同序号 的数值逐项对应相加构成一个新序列 z(n) z(n) = x(n) + y(n) 类似地，二者相乘表示同序号样值逐项 对应相乘构成一个新的序列z(n) z(n) = x(n) y(n)
这是一个一阶前向差分方程式。
3. 差分方程的迭代求解法
y(n) a y(n 1) x(n)
假定在 n 0 时刻，输入 x(n) 的样值 x(0) 进入 那么，y(n) 寄存器的起始值为 y(1) 。
y(0) a y(1) x(0) 求得 y(0) 把 y(0) 作为下一次迭代的起始值依次给出
时不变性 — 响应与激励施加与系统的时刻 无关。
离散时间信号的表示及运算
第2章 离散时间信号的表示及运算2.1 实验目的● 学会运用MATLAB 表示的常用离散时间信号；● 学会运用MATLAB 实现离散时间信号的基本运算。
2.2 实验原理及实例分析2.2.1 离散时间信号在MATLAB 中的表示离散时间信号是指在离散时刻才有定义的信号，简称离散信号，或者序列。
离散序列通常用)(n x 来表示，自变量必须是整数。
离散时间信号的波形绘制在MATLAB 中一般用stem 函数。
stem 函数的基本用法和plot 函数一样，它绘制的波形图的每个样本点上有一个小圆圈，默认是空心的。
如果要实心，需使用参数“fill ”、“filled ”，或者参数“.”。
由于MATLAB 中矩阵元素的个数有限，所以MATLAB 只能表示一定时间范围内有限长度的序列；而对于无限序列，也只能在一定时间范围内表示出来。
类似于连续时间信号，离散时间信号也有一些典型的离散时间信号。
1. 单位取样序列单位取样序列)(n δ，也称为单位冲激序列，定义为)0()0(01)(≠=⎩⎨⎧=n n n δ （12-1）要注意，单位冲激序列不是单位冲激函数的简单离散抽样，它在n =0处是取确定的值1。
在MATLAB 中，冲激序列可以通过编写以下的impDT .m 文件来实现，即function y=impDT(n)y=(n==0); %当参数为0时冲激为1,否则为0调用该函数时n 必须为整数或整数向量。
【实例2-1】 利用MATLAB 的impDT 函数绘出单位冲激序列的波形图。
解：MATLAB 源程序为>>n=-3:3;>>x=impDT(n);>>stem(n,x,'fill'),xlabel('n'),grid on>>title('单位冲激序列')>>axis([-3 3 -0.1 1.1])程序运行结果如图12-1所示。
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第2章 离散时间信号的表示及运算2.1 实验目的● 学会运用MATLAB 表示的常用离散时间信号；● 学会运用MATLAB 实现离散时间信号的基本运算。
2.2 实验原理及实例分析2.2.1 离散时间信号在MATLAB 中的表示离散时间信号是指在离散时刻才有定义的信号，简称离散信号，或者序列。
离散序列通常用)(n x 来表示，自变量必须是整数。
离散时间信号的波形绘制在MATLAB 中一般用stem 函数。
stem 函数的基本用法和plot 函数一样，它绘制的波形图的每个样本点上有一个小圆圈，默认是空心的。
如果要实心，需使用参数“fill ”、“filled ”，或者参数“.”。
由于MATLAB 中矩阵元素的个数有限，所以MATLAB 只能表示一定时间范围内有限长度的序列；而对于无限序列，也只能在一定时间范围内表示出来。
类似于连续时间信号，离散时间信号也有一些典型的离散时间信号。
1. 单位取样序列单位取样序列)(n δ，也称为单位冲激序列，定义为)0()0(01)(≠=⎩⎨⎧=n n n δ （12-1）要注意，单位冲激序列不是单位冲激函数的简单离散抽样，它在n =0处是取确定的值1。
在MATLAB 中，冲激序列可以通过编写以下的impDT .m 文件来实现，即function y=impDT(n)y=(n==0); %当参数为0时冲激为1,否则为0调用该函数时n 必须为整数或整数向量。
【实例2-1】 利用MATLAB 的impDT 函数绘出单位冲激序列的波形图。
解：MATLAB 源程序为>>n=-3:3;>>x=impDT(n);>>stem(n,x,'fill'),xlabel('n'),grid on>>title('单位冲激序列')>>axis([-3 3 -0.1 1.1])程序运行结果如图12-1所示。
2. 单位阶跃序列单位阶跃序列)(n u 定义为)0()0(01)(<≥⎩⎨⎧=n n n u（12-2） 在MATLAB 中，冲激序列可以通过编写uDT .m 文件来实现，即function y=uDT(n)y=n>=0; %当参数为非负时输出1调用该函数时n 也同样必须为整数或整数向量。
【实例2-2】 利用MATLAB 的uDT 函数绘出单位阶跃序列的波形图。
解：MATLAB 源程序为>>n=-3:5;>>x=uDT(n);>>stem(n,x,'fill'),xlabel('n'),grid on>>title('单位阶跃序列')>>axis([-3 5 -0.1 1.1])程序运行结果如图12-2所示。
图2-1 单位冲激序列3. 矩形序列矩形序列)(n R N 定义为),0()10(01)(N n n N n n R N ≥<-≤≤⎩⎨⎧= （12-3）矩形序列有一个重要的参数，就是序列宽度N 。
)(n R N 与)(n u 之间的关系为)()()(N n u n u n R N --=因此，用MATLAB 表示矩形序列可利用上面所讲的uDT 函数。
【实例2-3】 利用MATLAB 命令绘出矩形序列)(5n R 的波形图。
解：MATLAB 源程序为>>n=-3:8;>>x=uDT(n)-uDT(n-5);>>stem(n,x,'fill'),xlabel('n'),grid on>>title('矩形序列')>>axis([-3 8 -0.1 1.1])程序运行结果如图2-3所示。
4. 单边指数序列单边指数序列定义为)()(n u a n x n = （12-4）【实例2-4】 试用MATLAB 命令分别绘制单边指数序列)(2.1)(1n u n x n=、)()2.1()(2n u n x n -=、)()8.0()(3n u n x n =、)()8.0()(4n u n x n -=的波形图。
解：MATLAB 源程序为图2-3 矩形序列>>n=0:10;>>a1=1.2;a2=-1.2;a3=0.8;a4=-0.8;>>x1=a1.^n;x2=a2.^n;x3=a3.^n;x4=a4.^n;>>subplot(221)>>stem(n,x1,'fill'),grid on>>xlabel('n'),title('x(n)=1.2^{n}')>>subplot(222)>>stem(n,x2,'fill'),grid on>>xlabel('n'),title('x(n)=(-1.2)^{n}')>>subplot(223)>>stem(n,x3,'fill'),grid on>>xlabel('n'),title('x(n)=0.8^{n}')>>subplot(224)>>stem(n,x4,'fill'),grid on>>xlabel('n'),title('x(n)=(-0.8)^{n}')单边指数序列n 的取值范围为0≥n 。
程序运行结果如图12-4所示。
从图可知，当1||>a 时，单边指数序列发散；当1||<a 时，该序列收敛。
当0>a 时，该序列均取正值；当0<a 时，序列在正负摆动。
5. 正弦序列正弦序列定义为)sin()(0ϕω+=n n x （12-5）图2-4 单边指数序列其中，0ω是正弦序列的数字域频率；ϕ为初相。
与连续的正弦信号不同，正弦序列的自变量n 必须为整数。
可以证明，只有当02ωπ为有理数时，正弦序列具有周期性。
【实例2-5】 试用MATLAB 命令绘制正弦序列)6sin()(πn n x =的波形图。
解：MATLAB 源程序为>>n=0:39;>>x=sin(pi/6*n);>>stem(n,x,'fill'),xlabel('n'),grid on>>title('正弦序列')>>axis([0,40,-1.5,1.5]); 程序运行结果如图2-5所示。
6. 复指数序列复指数序列定义为n j a e n x )(0)(ω+= （2-6）当0=a 时，得到虚指数序列n j en x 0)(ω=，式中0ω是正弦序列的数字域频率。
由欧拉公式知，复指数序列可进一步表示为 )]sin()[cos()(00)(00ωωωωn j n e e e e n x an n j an n j a +===+ （2-7）与连续复指数信号一样，我们将复指数序列实部和虚部的波形分开讨论，得出如下结论：（1）当0>a 时，复指数序列)(n x 的实部和虚部分别是按指数规律增长的正弦振荡序列；（2）当0<a 时，复指数序列)(n x的实部和虚部分别是按指数规律衰减的正弦振荡序图2-5 正弦序列列；（3）当0=a 时，复指数序列)(n x 即为虚指数序列，其实部和虚部分别是等幅的正弦振荡序列。
【实例2-6】 用MATLAB 命令画出复指数序列n j en x )6101(2)(π+-=的实部、虚部、模及相角随时间变化的曲线，并观察其时域特性。
解：MATLAB 源程序为>>n=0:30;>>A=2;a=-1/10;b=pi/6;>>x=A*exp((a+i*b)*n);>>subplot(2,2,1)>>stem(n,real(x),'fill'),grid on>>title('实部'),axis([0,30,-2,2]),xlabel('n')>>subplot(2,2,2)>>stem(n,imag(x),'fill'),grid on>>title('虚部'),axis([0,30,-2,2]) ,xlabel('n')>>subplot(2,2,3)>>stem(n,abs(x),'fill'),grid on>>title('模'),axis([0,30,0,2]) ,xlabel('n')>>subplot(2,2,4)>>stem(n,angle(x),'fill'),grid on>>title('相角'),axis([0,30,-4,4]) ,xlabel('n') 程序运行后，产生如图2-6所示的波形。
图2-6 复指数序列2.2.2 离散时间信号的基本运算对离散时间序列实行基本运算可得到新的序列，这些基本运算主要包括加、减、乘、除、移位、反折等。
两个序列的加减乘除是对应离散样点值的加减乘除，因此，可通过MATLAB 的点乘和点除、序列移位和反折来实现，与连续时间信号处理方法基本一样。
【实例2-7】 用MATLAB 命令画出下列离散时间信号的波形图。
（1）()()()[]N n u n u a n x n --=1； （2）()()312+=n x n x（3）()()213-=n x n x ；（4）()()n x n x -=14 解：设8.0=a ，8=N ，MATLAB 源程序为>>a=0.8;N=8;n=-12:12;>>x=a.^n.*(uDT(n)-uDT(n-N));>>n1=n;n2=n1-3;n3=n1+2;n4=-n1;>>subplot(411)>>stem(n1,x,'fill'),grid on>>title('x1(n)'),axis([-15 15 0 1])>>subplot(412)>>stem(n2,x,'fill'),grid on>>title('x2(n)'),axis([-15 15 0 1])>>subplot(413)>>stem(n3,x,'fill'),grid on>>title('x3(n)'),axis([-15 15 0 1])>>subplot(414)>>stem(n4,x,'fill'),grid on>>title('x4(n)'),axis([-15 15 0 1])其波形如图2-7所示。