分数-百分数应用题的基本数量关系笔记

人教版六年级上册分数、百分数应用题的数量关系及解题方法
一.分数加、减法应用题
分数加、减法应用题中的已知分数有两种情况：一种是表示具体的数量，另一种是表示两个量的比。

譬如：
①食堂第一天烧煤吨，第二天烧煤吨，两天共烧煤多少吨？
题中已知的分数，都表示具体的数量，跟整数里求和应用题的数量关系是一致的，要求学生知道这是求两个相同单位的量的和。

②食堂有一批煤，第一天烧去这批煤的，第二天烧去这批煤的，两天共烧去这批
煤的几分之几？
题中已知的分数，都是两个量的比，而不是具体的数量。

数量关系虽然跟整数里求和应
用题是一致的，这是共性；但是，学生要理解题中的、以及求出的和，都是对这批煤而言的，不是具体的量。

③地球表面积的是海洋，剩下的是陆地，陆地占地球表面积的几分之几？
这一题的数量关系跟整数里求剩余数，用减法计算是一致的，可是题中只给出一个已知
条件是，另一个条件要想象整个地球表面积看作“１”，然后用１－＝，这就是与整数应用题不同的特殊性。

二.分数、百分数乘、除法应用题
（一）分数与整数数量关系的联系
分数乘、除法应用题，既含有整数乘、除法应用题的数量关系，又具有新的数量关系，要求学生能够辨析清楚。

①一辆汽车平均每分钟行千米，３０分钟行多少千米？
这种题的数量关系跟整数里求相同加数的和，或者说求的３０倍是一致的。

②１０个鸡蛋重千克，平均每个鸡蛋重多少千克？
这种题的数量关系跟整数除法题是一致的。

（二）分数的三种基本应用题
分数乘、除法应用题，既含有整数乘、除法应用题的数量关系，又具有新的数量关系，通常分为三种情况，或者叫做分数的三种基本应用题：
1、求一个数是另一个数的几分之几或百分之几的除法应用题。

（1）简单的求分率或百分率的应用题
基本数量关系：对应量÷单位“1”的量=对应分率（百分率）
或部分量÷标准量 = 对应分率（百分率）
在实际生活中，经常需要比较两个数量的倍数关系，当它们的倍数等于１或大于１的时候，通常称为“几倍”；当它们的倍数小于１的时候，通常称为“几分之几”。

学习整数应用题的时候，只知道一个数是另一个数几倍。

如：白兔１６只，黑兔４只，白兔只数是黑兔的１６÷４＝４（倍）。

到了学习分数以后，黑兔的只数也可以与白兔去比较，即黑兔的只
数是白兔的４÷１６＝。

当学习了百分数以后，数是另一个数的几倍或几分之几，就统一
为一个数是另一个数的百分之几了。

即：4÷16=25%
这类问题的数量关系跟整数里求两个数的倍数是一致的，要求掌握谁与谁相比较。

如，甲是乙的几分之几，是用甲与乙相比较，那么乙是标准的量，甲是比较的量。

并且知道用标准的量作除数。

可是，百分数在实际应用上，还有一些特殊性。

求一个数是另一个数的百分之几，也叫做两个数的百分比或百分率。

例如，产品合格率，种子发芽率，工人出勤率，存款的利息率，向国家交税的纳税率等。

所求的这些“率”，都是用百分数表示的，所以，在这些百分率的公式里，添上乘以１００％，表示求得的结果必须用百分数表示。

求常见的百分率如：达标率、及格率、成活率、发芽率、出勤率等
a率=a的数量÷总量×100%
如， 小麦出粉率＝×１００％
在百分数里，经常会遇到除不尽的情况，除了指定精确度的以外，一般除到小数第四位，即万分位，然后四舍五入取三位小数，化成百分数后，百分号前面的数保留一位小数。

（2）稍复杂的求一个数比另一个数多（或少）百分之几
实际生活中，人们常用增加了百分之几、减少了百分之几、节约了百分之几等来表示增加、或减少的幅度。

六年上册百分数89页例3：原计划造林12公顷，实际造林14公顷。

实际比原计划增加了百分之几？
口诀：“一减一除”（大的减小的除以比后面的）
基本数量关系：
求甲比乙多百分之几 （甲－乙）÷乙×100% 或 甲÷乙-100%
求乙比甲少百分之几 （甲－乙）÷甲×100% 或 100%-乙÷甲
2、求一个数的几分之几或百分之几是多少的乘法应用题。

（1）基本题型：例题有六年级上册第一单元“分数乘法应用题例3、4、5、8”第六单元“百分数”85页例2。

如：春蕾小学有牙病的学生人数占全校的20%。

春蕾小学共有750名学生，有牙病的学生有多少人？
基本数量关系：单位“1”的量×对应分率（百分率）=对应量
或 标准量 ×对应分率（百分率）=部分量
750×20%=150（人）
（2）连续求一个数的几（百）分之几是多少，就是连乘。

书13页例8
（3）求比一个数多或少几分之几或百分之几是多少的应用题。

（借助线段图）例题是多几分之几或百分之几，做一做是少几分之几或百分之几。

书14页例9青少年心跳每分钟约75次，婴儿每分钟心跳的次数比青少年多54。

婴儿每分钟心跳多少次？
书 90页例4 学校原有图书1400册，今年图书册数增加了12%。

现在图书室有多少册图书？
①求比一个数多几分之几或百分之几是多少的应用题。

基本数量关系：单位“1”的量+单位“1”的量×多的分率（百分率） = 对应量
或单位“1”的量×（1+多的分率（百分率））= 对应量
1400+1400×12% 或 1400×（1+12%）
②求比一个数少几分之几或百分之几是多少的应用题。

基本数量关系：单位“1”的量—单位“1”的量×少的分率（百分率） = 对应量
或单位“1”的量×（1—少的分率（百分率））= 对应量
（4）单位“1”变化的百分数应用题。

六年上册90页例5：某种商品4月的价格比3月降了20%，5月的价格比4月又涨了20%。

5月的价格和3月比，是涨了还是降了？变化幅度是多少？
解题关键：利用单位“1”的量-单位“1”的量×少的分率（百分率） = 对应量
对应量成为下一个单位“1”的量
假设法和推算法假设此商品3月份的价格是100元，或者直接假设此商品3月份地价格是1.
假设法：100-100×20%=80(元) 推算法： 1 ×（1-20%）×（1+20%）=0.96
80×（1+20%）=96（元）（ 1-0.96）÷1=4%
96÷100=96%
100%-96%=4%
（3）已知一个数的几分之几或百分之几是多少，求这个数的除法应用题。

①简单的求单位“1”的量,
这是分数乘法的逆向题，也是容易与分数乘法相混淆的问题，在分数四则计算的前面要学习简易方程，到这里用列方程解答，可避免乘、除法混淆。

因此，运用求一个数的几分之几是多少，可以用乘法计算的思考方法列方程去解题。

例如，六年上册分数除法37页例4，小明体内有水分28千克，是小明体重的
54，小明体重是多少千克？
思考： 单位“1”的量×对应分率（百分率）=对应量 小明体重的×
54＝2８（千克）， 列方程解答：
解：设小明体重x 千克，即：
5
4X ＝2８ X ＝35 算术方法的数量关系：对应量÷对应分率（百分率）=单位“1”的量
28÷54
=35（千克）
②稍复杂的求单位“1”的量
已知一个数比另一个数（单位“1”的量）多或少百分之几，求另一个数（单位“1”
的量）。

例如，六年级上册38页例5：小明的体重是35千克，他的体重比爸爸的体重轻
158，小明爸爸的体重是多少千克？
算术方法的数量关系： 对应量÷（1+多的分率（百分率））=单位“1”的量
对应量÷（1-少的分率（百分率））=单位“1”的量
公式：a ÷（1±b%）要记住。

35÷（1-
158） 列方程解答:设单位“1”的量为X
基本数量关系：X+X ×多的分率（百分率） = 对应量
或 X ×（1+多的分率（百分率））= 对应量
X —X ×少的分率（百分率） = 对应量
或 X ×（1—少的分率（百分率））= 对应量
解：设小明爸爸的体重是X 千克。

（1- 158）X = 35 X- 158
X = 35
比多（或提高、增加.....）括号内就“＋”，比少（降低、减少.....）括号内就“－” 要记住：算术方法：求单位“1”的量用除法。

③和倍和差倍应用题
书41页例6；篮球比赛全场得42分，下半场得分只有上半场的一半，上下半场各得多少分？列方程解答。

两种列法。

.
方法一： 方法二:
解：上半场得X 分 解:设下半场得 X 分 X+2
1X=42 X=28 2X+X=42 X=14 （三）分数应用题的特殊类型题：工程问题。

工作总量÷工作效率和=合干时间 把工作总量看成整体1，
列式： 1÷（
a 1 +
b 1 ） 备注：下学期的折扣和利率是百分数应用题在实际生活中的应用。

以上是分数、百分数应用题中最基础的内容，要理解并掌握。