《简单的线性规划问题》教案正式版
高二数学人教A版必修5教学教案3-3-2简单的线性规划问题(7)
《简单的线性规划问题》教学设计一、教学内容解析线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，是辅助人们进行科学管理的数学方法，为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出最优决策。
本节的教学重点是线性规划问题的图解法。
数形结合和化归思想是研究线性约束条件下求线性目标函数的最值问题的数学理论和方法，本节课重点体现了这一数学思想，将目标函数与直线的截距、斜率、两点距离联系起来，这样就能使学生对数形结合思想的理解和应用更透彻，为以后解析几何的学习和研究奠定了基础，使学生从更深层次地理解“以形助数”的作用。
二、教学目标设置（1）知识与技能：使学生了解线性规划的意义，利用数形结合及化归的数学方法，理解并掌握非线性目标函数及非线性约束条件下目标函数的最值求法；（2）过程与方法：在实验探究的过程中，培养学生的数据分析能力、探究能力、合情推理能力；在应用图解法解题的过程中，培养学生运用数形结合思想解题的能力；（3）情态、态度与价值观：激发学生动手操作、勇于探索的精神，培养学生发现问题、分析问题及解决问题的能力，体会数学活动充满着探索与创造。
三、教学重点难点教学重点：求非线性目标函数的最值；教学难点：能将代数问题转化为斜率或距离等几何问题；四、学情分析本节课学生在学习了简单线性规划问题的基础上，会画出平面区域，并且会计算简单线性目标函数的最值。
从数学知识上看，学生在此基础上还学习过直线的斜率，两点距离问题，直线与圆的位置关系，具备本节课所需知识要素。
从数学方法上看，学生对图解法的认识还很少，数形结合的思想方法的掌握还需时日，这成了学生学习的困难。
五、教学方法本课以例题为载体，以学生为主体，以数学实验为手段，以问题解决为目的，激发学生动手操作、观察思考、猜想探究的兴趣。
注重引导帮助学生充分体验“从具体到一般”的抽象过程。
应用“数形结合”的思想方法，培养学生学会分析问题，解决问题的能力。
六、教学过程。
高中数学 3.3.3 简单的线性规划问题(第1课时)教案 必修5
3．3.3 简单的线性规划问题第1课时简单的线性规划问题(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；(2)了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念，会根据条件建立线性目标函数；(3)了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大(小)值；(4)培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合、等价转化的数学思想．2.过程与方法(1)本节课是以二元一次不等式(组)表示的平面区域的知识为基础，将实际生活问题通过数学中的线性规划问题来解决；(2)考虑到学生的知识水平和消化能力，教师可通过激励学生探究入手，讲练结合，真正体现数学的工具性，同时，借助计算机的直观演示可使教学更富趣味性和生动性．3．情感、态度与价值观(1)结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新；(2)渗透集合、数形结合、化归的数学思想，培养学生“数形结合”的应用数学的意识，激发学生的学习兴趣.●重点、难点重点：线性规划问题的图解法，寻求线性规划问题的最优解．难点：利用图解法求最优解．为突出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法，将实际问题数学化，代数问题几何化．解决难点的方法是精确作图，利用数形结合的思想将代数问题几何化．(教师用书独具)●教学建议从内容上看，简单的线性规划问题是在学习了不等式、直线方程的基础上展开的，它是对二元一次不等式的深化和再认识、再理解．它是用数学知识解决实际问题，属于数学建模，是初等数学中较抽象的，对学生要求较高，又是必须予以掌握的内容．考虑到学生的认知水平和理解能力，建议教师可以通过激励学生探究入手，讲练结合，培养学生对本节内容的学习兴趣，培养学生数形结合的意识，让学生体味数学的工具性作用．另外，教师还可借助计算机直观演示利用图解法求最优解的过程，增强教学的趣味性和生动性．●教学流程创设问题情境，引导学生了解线性约束条件、线性目标函数、可行域、线性规划问题等概念.⇒结合教材让学生掌握线性规划问题的图解法.⇒通过例1及其变式训练使学生巩固掌握利用图解法求最优解的步骤.⇒通过例2及其变式训练使学生掌握利用线性规划研究字母参数的方法.⇒通过例3及其变式训练使学生掌握求非线性目标函数的最值的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双达达标，巩固所学知识，并进行反馈矫正.(对应学生用书第56页)课标解读1.了解目标函数、约束条件、可行域、最优解等基本概念．2.掌握线性规划问题的求解过程，特别是确定最优解的方法．(重点、难点)可行域约束条件所表示的平面区域，称为可行域.线性规划求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，通常称为线性规划问题，上述只含两个变量的简单线性规划问题可用图解法解决.(对应学生用书第56页)线性规划问题设z ＝3x ＋5y ，式中变量x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥3，7x ＋10y ≥17，x ≥0，y ≥0.求z的最小值．【思路探究】【自主解答】 画出约束条件表示的点(x ，y )的可行域， 如图所示的阴影部分(包括边界直线)．把z ＝3x ＋5y 变形为y ＝－35x ＋z 5，得到斜率为－35，在y 轴上的截距为z5，随z 变化的一族平行直线．作直线l ：3x ＋5y ＝0，把直线向右上方平行移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时l 1：3x ＋5y －z ＝0的纵截距最小，同时z ＝3x ＋5y 取最小值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3，7x ＋10y ＝17，得M (1,1)．故当x ＝1，y ＝1时，z min ＝8.1．由本例可以看出，解线性规划问题时，一定要注意最优解的对应点是最大值点，还是最小值点．对于目标函数z ＝ax ＋by ，当b >0时，直线截距最大时，z 有最大值，截距最小时，z 有最小值；当b <0时，则相反．2．图解法是解决线性规划问题的有效方法，其关键是利用z 的几何意义求解．平移直线ax ＋by ＝0时，看它经过哪个点(哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最优解，最优解一般是在可行域的边界取得．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为多少．【解】 作可行域如图所示，解⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，x ＋y －8＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5，∴A (3,5)．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8＝0，x －5y ＋10＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3，∴B (5,3)．平移直线3x －4y ＝z 可知，直线过A 点时，z 取最小值，过B 点时，z 取最大值． ∴z min ＝3×3－4×5＝－11，z max ＝3×5－4×3＝3.利用线性规划求字母参数的值(或范围)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y ≤25，x ≥1，设z ＝ax ＋y (a ＞0)，若当z 取最大值时，对应的点有无数多个，求a 的值．【思路探究】【自主解答】 作出可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y ＝25，x －4y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，∴点A 的坐标为(5,2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y ＝25，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4.4，∴点C 的坐标为C (1,4.4)．当直线z ＝ax ＋y (a ＞0)平行于直线AC ，且直线经过线段AC 上任意一点时，z 均取得最大值，此时有无数多点使z 取得最大值，而k AC ＝－35，∴－a ＝－35，即a ＝35.1．本题中，z 取最值时对应的点有无数多个，故这无数多个对应点构成平面区域的一段边界．2．解线性规划问题时一般要结合图形(平面区域)及目标函数的几何意义解题．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是________．【解析】 作出可行域，让目标函数所表示的直线过定点，观察斜率的范围，构建不等式求参数范围．如图所示，约束条件所表示的平面区域为三角形，目标函数z ＝ax ＋2y ，即y ＝－a 2x ＋z 2仅在点(1,0)处取得最小值，故其斜率应满足－1＜－a 2＜2，即－4＜a ＜2.故填(－4,2)．【答案】 (－4,2)求非线性目标函数的最值已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(1)求u ＝x 2＋y 2的最大值和最小值； (2)求z ＝yx ＋5的最大值和最小值． 【思路探究】【自主解答】 画出不等式组所表示的平面区域，如图所示．(1)∵u ＝x 2＋y 2，∴u 为点(x ，y )到原点(0,0)的距离，结合不等式组所表示的平面区域可知，点B 到原点的距离最大，而当(x ，y )在原点时，距离为0.由⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23＝0，4x ＋y ＋10＝0得点B 的坐标为(－1，－6)，∴(x 2＋y 2)max ＝(－1)2＋(－6)2＝37，(x 2＋y 2)min ＝0. (2)z ＝yx ＋5＝y －0x －－5，所以求z 的最大值和最小值，即是求可行域内的点(x ，y )与点(－5,0)连线斜率的最大值和最小值．设点M 的坐标为(－5,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋7y －11＝0，4x ＋y ＋10＝0得点C 的坐标为(－3,2)，由(1)知点B 的坐标为(－1，－6)，∴k max ＝k MC ＝2－0－3－－5＝1，k min ＝k MB ＝－6－0－1－－5＝－32，∴yx ＋5的最大值是1，最小值是－32. 1．本题中，(1)x 2＋y 2是平面区域内的点(x ，y )到原点的距离的平方；(2)y x ＋5＝y －0x －－5可看成平面区域内的点(x ，y )与点(－5,0)连线的斜率．2．解决此类问题，应先准确作出线性约束条件表示的平面区域，然后弄清非线性目标函数的几何意义．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0.(1)求z ＝x 2＋y 2＋2x －2y ＋2的最小值； (2)求z ＝|x ＋2y －4|的最大值． 【解】 (1)作出可行域，如图所示， ∵z ＝(x ＋12＋y －12)2，∴z 可看作是可行域内任意一点(x ，y )到点M (－1,1)的距离的平方． 由图可知z min 等于原点到直线x ＋y －4＝0的距离的平方， ∴z min ＝(|－4|2)2＝8.(2)∵z ＝|x ＋2y －4|＝5·|x ＋2y －4|5， ∴z 可看作是可行域内任意一点(x ，y )到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍． 由图可知点C 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0得点C (7,9)，∴z max ＝|7＋2×9－4|5×5＝21.(对应学生用书第58页) 直线的倾斜程度判断不准致误已知⎩⎪⎨⎪⎧11x ＋4y ≤44，7x ＋5y ≤35，6x ＋7y ≤42，x ≥0，y ≥0，求z ＝x ＋y 的最大值．【错解】 作出可行域，如图所示．作出直线l 0：x ＋y ＝0，将它移至点B ，则点B 的坐标是可行域中的最优解，它使z 达到最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧11x ＋4y ＝44，7x ＋5y ＝35，得点B 的坐标为(8027，7727)．所以z max ＝8027＋7727＝15727.【错因分析】 将直线l 0向上移动时，最后离开可行域的点不是点B 而是点A ，这是由于直线倾斜程度不准确引起的，由于三条边界直线的斜率依次是－67，－75，－114，而目标函数z ＝x ＋y 的斜率为－1，它夹在－67与－75之间，故经过点B 时，直线x ＋y ＝z 必在点A 的下方，即点B 不是向上平移直线时最后离开可行域的点，而是点A .【防范措施】 解决线性规划问题时，可行域一定要准确，关键点的位置不能画错，若数据比较大，不易画图，也可用斜率分析法确定关键点或取得最值点．【正解】 作出二元一次不等式组所表示的平面区域如上图．作出直线l ′0：x ＋y ＝0，将它向上平移，当它经过点A 时，z 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋5y ＝35，6x ＋7y ＝42，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3519，y ＝8419，故z max ＝3519＋8419＝119191．基础知识： (1)可行域； (2)线性规划． 2．基本技能： (1)解线性规划问题；(2)利用线性规划求字母参数的值(或范围)； (3)求非线性目标函数的最值． 3．思想方法： (1)数形结合思想； (2)函数思想； (3)转化思想．(对应学生用书第58页)1．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤3，x ＋y ≥0，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为________．【解析】 画出不等式组表示的平面区域，由图可知目标函数在点(3，－3)处取得最小值－3.【答案】 －3图3－3－72．给出平面区域(包含边界)如图3－3－7所示，若使目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0)取得最大值的最优解有无数多个，则a 的值为________．【解析】 由题意知－a ＝k AC ＝－35，∴a ＝35.【答案】 353．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＜0，x ＞1，x ＋y －7＜0，则yx的取值范围是________．【解析】 目标函数y x 是可行域上的动点(x ，y )与原点连线的斜率，最小值是k OC ＝95，最大值是k AO ＝6，又可行域边界取不到，∴95＜yx＜6.【答案】 (95，6)4．已知x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0，求z ＝4x －3y 的最值．【解】 原不等式组表示的平面区域如图所示： 其中A (4,1)、B (－1，－6)、C (－3,2)． 作与4x －3y ＝0平行的直线l ：4x －3y ＝t ， 即y ＝43x －t3，则当l 过C 点时，t 最小； 当l 过B 点时，t 最大．∴z max ＝4×(－1)－3×(－6)＝14，z min ＝4×(－3)－3×2＝－18.(对应学生用书第97页)一、填空题1．(2013·微山高二检测)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，y ≤x ，y ≥－2，则z ＝3x ＋y 的最大值为________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示：把z ＝3x ＋y 变形为y ＝－3x ＋z 得到斜率为－3，在y 轴截距为z 的一族平行直线，由图当直线l ：y ＝－3x ＋z 过可行域内一点M 时，在y 轴截距最大，z 也最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2，即M (3，－2)．∴当x ＝3，y ＝－2时，z max ＝3×3＋(－2)＝7. 【答案】 72．(2013·苏州高二检测)变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥12，2x ＋9y ≥36，2x ＋3y ≥24，x ≥0，y ≥0，则使得z ＝3x ＋2y 的值最小的(x ，y )是________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示：把z ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋z 2，作与直线l 0：y ＝－32x 平行的直线l ，显然当l 经过可行域内点M 时在y 轴上截距最小，z 也最小．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝12，2x ＋3y ＝24，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6，即M (3,6)时，z ＝3x ＋2y 的值最小． 【答案】 (3,6)3．设z ＝2y －2x ＋4，式中的x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1，则z 的取值范围是________．【解析】 作出满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1的可行域(如图所示)，作直线2y －2x ＝0，并将其平移，由图象可知当直线经过点A (0,2)时，z max ＝2×2－2×0＋4＝8； 当直线经过点B (1,1)时，z min ＝2×1－2×1＋4＝4.所以z 的取值范围是[4,8]． 【答案】 [4,8]4．(2013·连云港检测)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，则yx的最大值是________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示： 又y x ＝y －0x －0表示过平面区域内一点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率，由图知(x ，y )在平面区域内A 点处时直线斜率最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2y －3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝32，∴A (1，32)，∴y x 的最大值为32.【答案】 325．(2013·无锡检测)二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，y ＜0，x ＋y ＋4＞0表示的平面区域内，使得x ＋2y 取得最小值的整点坐标为________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示： ∵平面区域不包括边界，∴平面区域内的整点共有(－1，－1)，(－1，－2)，(－2，－1)三个． 代入检验知，整点为(－1，－2)时x ＋2y 取得最小值． 【答案】 (－1，－2)6．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，且u ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8，则u 的最小值为________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示，由已知得(x －2)2＋(y －2)2＝(u )2，则(u )min ＝|2＋2－1|1＋1＝32，u min ＝92.【答案】 927．已知变量x ，y 满足约束条件1≤x ＋y ≤4，－2≤x －y ≤2.若目标函数z ＝ax ＋y (其中a ＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为________．【解析】 由题设知可行域为如图所示的矩形，要使目标函数z ＝ax ＋y 在点(3,1)处取得最大值，结合图形可知a ＞1.【答案】 (1，＋∞)8．如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0内，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么|PQ |的最小值为________．【解析】 首先作出不等式组表示的平面区域和曲线x 2＋(y ＋2)2＝1，如图所示，从而可知点P 到Q 的距离最小值是可行域上的点到(0，－2)的最小值减去圆的半径1，由图可知|PQ |min ＝12＋－22－1＝5－1。
简单的线性规划问题精品教案
利用几何画板强大的动态演示的功能突破教学的难点。
修订总结
提供密码，请学生打开“看看我做的对吗？”订正自己的解答。
阅读，实验验证。
小结归纳
师生共同小结，回顾本课的两个难点：
1．我们可以根据A、B的符号迅速判断二元一次不等式表示的平面区域，“左正右负，上正下负” ；
2．用线性规划方法解实际问题的步骤应该有以下几步：
指导，点评，补充。
学生边操作电脑边回答，进而总结出迅速判断二元一次不等式表示的平面区域的方法：
对于直线 划分的平面区域，若 时，必为“左负右正”，及左边为 ，的区域，右边为 的区域。
学生通过汇报实验结果，并对规律进行总结提炼，提高学生的语言表达能力、归纳总结的能力。
检测巩固
利用评测系统，对已学知识进行测验与回顾。教师进行讲评，学生及时订正、记录。
结合所学，完成“课前复习提纲”
先让学生对已经学过的知识进行梳理、回顾，为复习课作好准备，也节省了课堂复习的时间。
复习回顾
布置自主学习任务：
请学生结合网页上给出的问题及答案，订正“复习提纲”中的相关内容，进行复习、巩固。
学生可以根据自己的实际情况，对自己已经掌握的知识简单浏览，而对自己掌握不好的部分认真复习，订正“复习提纲”。
提示：大家可以画出几种不同的直线，分析直线的正、负区域，再考虑正、负区域与 中参数 的符号的关系。
④求：通过解方程组求出最优解，或分析最优解附近的整数解，得到最优的的整数解。
⑤答：作出答案。
通过对新知识进一步的疏理、概括、归纳和强化，构建更高层次的知识结构。进一步培养学生归纳、总结和概括能力。
拓展任务
到附近的工厂、乡镇企业、商店、学校等作调查研究，了解线性规划在实际中的应用；浏览网页中“资源链接”中资料，了解线性规划的应用；带着思考，提出能用线性规划的知识提高生产效率的实际问题，并作出解答，把实习和研究活动的成果写成实习报告、研究报告或小论文，并互相交流。
《简单的线性规划问题》说课稿(附教学设计)
《简单的线性规划问题》说课稿一、教材分析线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，是辅助人们进行科学管理的数学方法，为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出最优决策.本节课是学生学习了二元一次不等式（组）所表示的平面区域及直线方程和简单函数的最值的基础上，借助二元一次函数与直线方程间的相互转化和数形结合思想的有关知识求二元一次函数的最值，也是对二元一次不等式(组)表示平面区域的知识升华.本节的教学重点是线性规划问题的图解法.数形结合和化归思想是研究线性约束条件下求线性目标函数的最值问题的数学理论和方法,本节教学内容中蕴含了丰富的属性结合素材，具体表现为:(1)不定方程的解与平面内点的坐标的结合，进而产生了直线的方程.(2)线性目标函数解析式与直线的斜截式方程的结合.(3)线性目标函数的函数值与直线的纵截距的结合.(4)二元一次不等式(组)与为平面内点的坐标的结合.(5)线性目标函数在线性约束条件下的最值与直线过可行域内的点时纵截距的最值的结合.这样就能使学生对数形结合思想的理解和应用更透彻,为以后解析几何的学习和研究奠定了基础, 使学生从更深层次地理解“以形助数”的作用。
线性规划的实际问题的解决需要数学建模，一个正确数学模型的建立要求建模者熟悉规划问题的具体实际内容.对学生来说，上一节课已初步学习利用表格将文字长、数据多的应用问题中的数据进行整理，设未知数，列出线性约束条件；本节课一方面要让学生经历数据整理过程，准确列出约束条件，还要分析数据写出线性目标函数，尝试运用该模型解决实际问题，在多次数学问题解决的全过程中加深对简单线性规划问题数学模型的理解．通过本节教学还能使学生学会运用已有的认知结构探求新知的方法.这将使学生在以后的学习数学的过程中遇到困难想办法进行转化，例如以后可能会遇到目标函数为22y x z xy z +==或的问题，解决中可以借鉴本节课探索方法. 二、教学目标解析1.教学内容的脉络：本节课首先运用尝试计算比较的方法求目标函数的最值，随着可行域的逐步复杂学生思维产生结点，这样让学生经历问题提出的过程.然后引导学生经历知识探究过程，让他们学会运用已有知识探究新问题的方法，引导学生总结一般性的方法，掌握本节的重点.巩固练习中对两个例题都进行了再剖析,结合例1对数形结合思想的运用进行深入体会；针对例2由于作图的误差可能会带来的错解研究对策，同时用两个例题来培养体验数学在建设节约型社会中的作用，品尝学习数学的乐趣和科学严谨的学习态度.2.使学生学会从实际优化问题中抽象、识别出线性规划模型．会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值. 了解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.3.教学中不但要教教材,还要教教材中的蕴含的方法.在探究如何求目标函数的最值时，让学生领悟到数形结合思想、化归思想在数学中的应用.在例1的反思中深入体会数学结合思想,培养学生在今后的学习中尝试运用数学思想方法进行思考，养成动手实践的探究新问题的习惯.4.在线性规划问题的探究过程中，使学生经历观察、分析、操作、归纳、概括的认知过程，经历知识的形成过程.三、教学分析让学生学会求简单的线性规划问题的方法并不困难，但对该问题的探究过程学生存在如下困难：（1）含两个决策变量的函数问题学生没有接触过，其函数值只能用代入法求得，直接求最大值对学生思维的要求跨度太大；（2）二元一次函数化成直线形式不是学生直接能想到的，也就是化归与数学结合的思想学生并不能熟练地应用. (3)学生对数形结合思想的理解往往停留只在表面化,让学生深入理解其作用及如何结合是本节课的难点之一.另外学生对实际生活中的问题转化为线性规划问题的数学建模意识也比较缺乏.教学难点：使让学生经历用图解法求最优解的探索过程；数形结合思想的理解.教学关键：指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法找到目标函数与直线方程的关系.四、教法分析新课程倡导学生积极主动、勇于探索的学习方式，通过学生动手实践、动脑思考等方法探究数学知识获取直接经验，进而培养学生的思维能力和应用意识等.本节课我以学生为中心，以问题为载体，采用启发、引导、探究相结合的教学方法.（1）设置“问题”情境，激发学生解决问题的欲望，调动学习积极性，在同一游戏背景下，设计富有层次的问题，引领学生思维有条理的深入到问题本质，经历问题的提出、深化变式、解决过程.（2）提供“观察、探索、交流”的机会，引导学生独立思考，有效地调动学生思维，使学生在开放的活动中获取直接经验. 通过设计探究环节和学生合作交流的活动,学生学会怎样利用原有的知识探究新知.使学生学到知识的同时又学会方法,注重知识的形成过程.（3）在本节应用题教学中，让学生经历“学数学、做数学、用数学”的过程；做到数学原理与解决问题的统一，即帮助学生掌握了知识与方法，也培养了应用意识、形成数学思想.《简单的线性规划问题》教学设计一、内容与内容解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第三章《不等式》中3.3.2《简单的线性规划问题》的第一课时. 主要内容是线性规划的相关概念和简单的线性规划问题的解法．线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，广泛地应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出。
简单的线性规划教案
简单的线性规划教案教案标题：简单的线性规划教案教学目标：1. 了解线性规划的基本概念和特点。
2. 理解线性规划问题的求解过程。
3. 能够利用线性规划方法解决简单的实际问题。
所需材料：1. 铅笔、纸张、计算器。
2. 多个线性规划问题的案例。
教学步骤：引入阶段：1. 引导学生思考：什么是线性规划？线性规划有哪些应用场景？2. 提出教学目标，并解释线性规划的定义和特点。
探究阶段：3. 解释线性约束条件和目标函数的概念。
4. 利用一个简单的例子说明线性规划问题的形式和表示方法。
5. 引导学生分析并列出问题的线性约束条件和目标函数。
实践阶段：6. 将学生分成小组，每个小组选择一个实际问题，并将其转化为线性规划问题。
7. 指导学生列出问题的线性约束条件和目标函数。
8. 引导学生运用计算器或手动计算，求解其线性规划问题。
9. 学生分享并讨论解决过程和结果。
巩固阶段：10. 提供更多复杂的线性规划问题案例，让学生独立尝试解答，并讨论解决策略和结果。
11. 简要总结线性规划的基本原理和步骤。
拓展阶段：12. 引导学生思考更高级的线性规划问题，如带有整数约束或非线性目标函数的问题。
13. 推荐相关参考书籍和网上学习资源供学生深入学习。
评估方式：1. 在实践阶段，观察学生的合作和参与情况。
2. 收集学生独立解答的线性规划问题的答案，并进行评估。
教学反思：根据学生的反馈和评估结果，适时调整教学步骤和内容，确保学生能够理解和应用线性规划的基本原理。
《简单的线性规划问题》教学设计
《简洁的线性规划问题》教学设计一、教学内容分析线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支,主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产支配等问题，它是一种重要的数学模型。
简洁的线性规划指的是目标函数含两个变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出。
涉及更多个变量的线性规划问题不能用初等方法解决。
与其它部分学问的联系，表现在：二、学情分析本节课学生在学习了不等式、直线方程的基础上，通过实例，巩固二元一次不等式（组）所表示的平面区域，使学生从实际优化问题中抽象出约束条件和目标函数，理解平面区域的意义，并会画出平面区域，还能初步用数学关系式表示简洁的二元线性规划的限制条件，将实际问题转化为数学问题。
从数学学问上看，问题涉及多个已知数据、多个字母变量，多个不等关系，从数学方法上看，学生对图解法的相识还很少，数形结合的思想方法的驾驭还需时日，这都成了学生学习的困难。
所以，通过这种从点与数对的对应，线与方程的对应，到平面区域与不等式组的对应的过渡和提升，使学生进一步理解数形结合思想方法的实质及其重要性。
三、设计思想本课以问题为载体，以学生为主体，以数学试验为手段，以问题解决为目的，以多媒体课件作为平台，激发他们动手操作、视察思索、猜想探究的爱好。
留意引导帮助学生充分体验“从实际问题到数学问题”的建构过程，“从详细到一般”的抽象思维过程，应用“数形结合”的思想方法，培育学生的学会分析问题、解决问题的实力。
四、教学目标1.使学生了解二元一次不等式表示平面区域；2.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；3.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简洁的实际问题4.培育学生视察、联想以及作图的实力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的实力5.结合教学内容，培育学生学习数学的爱好和“用数学”的意识，激励学生创新五、教学重难点教学重点：用图解法解决简洁的线性规划问题教学难点：精确求得线性规划问题的最优解。
《简单的线性规划问题》教案
《简单的线性规划问题》教学设计（人教A版高中课标教材数学必修5第三章第3.3.2节）祁东二中谭雪峰一、内容与内容解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第三章《不等式》中第3.3.2《简单的线性规划问题》的第一课时. 本课内容是线性规划的相关概念和简单的线性规划问题的解法．线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.本节内容是在学习了不等式和直线方程的基础上，利用不等式和直线方程的有关知识展开的.简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出.简单的线性规划关心的是两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成. 本节内容蕴含了丰富的数学思想方法，突出体现了优化思想、数形结合思想和化归思想.通过这一部分的学习，使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，体验数形结合和转化的思想方法，培养学生学习数学的兴趣、应用数学的意识和解决实际问题的能力.二、教学目标一）、知识目标1.了解线性规划的意义、了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.理解线性规划问题的图解法3. 会用图解法求线性目标函数的最优解.二）、能力目标1.在应用图解法解题的过程中培养学生的观察能力、理解能力.2.在变式训练的过程中，培养学生的分析能力、探索能力.3.培养学生观察、联想、作图和理解实际问题的能力，渗透化归、数形结合的数学思想.三)、情感目标1.让学生体验数学来源于生活，服务于生活，品尝学习数学的乐趣.2.让学生体验数学活动充满着探索与创造，培养学生勤于思考、勇于探索的精神.三、教学重点、难点重点：线性规划问题的图解法；寻求有实际背景的线性规划问题的最优解.难点：借助线性目标函数的几何含义准确理解线性目标函数在y 轴上的截距与z最值之间的关系.四、学习者特征分析1. 已经掌握用平面区域表示二元一次不等式（组）2. 初步学会分析简单的实际应用问题3. 能根据实际数据假设变量，并从中抽象出不等的线性约束条件并用相应的平面区域进行表示本节课学生在学习过程中可能遇到以下疑虑和困难：1.将实际问题抽象成线性规划问题；2.用图解法解线性规划问题中，为什么要将求目标函数最值问题转化为经过可行域的直线在y轴上的截距的最值问题？如何想到要这样转化？3.数形结合思想的深入理解.五、教学与学法分析本节课以学生为中心，以问题为载体，采用启发、引导、探索相结合的教学方法.课堂中应注重创设师生互动、生生互动的和谐氛围，通过学生动手实践、动脑思考等方法探究数学知识获取直接经验，进而培养学生的思维能力和应用意识等.1.设置“问题”情境，激发学生解决问题的欲望；2.提供“观察、探索、交流”的机会，引导学生独立思考，有效地调动学生思维，使学生在开放的活动中获取直接经验.3.在教学中体现“重过程、重情感、重生活”的理念；让学生经历“学数学、做数学、用数学”的过程.指导学生做到“四会”：会疑、会议、会思、会变.4.在教学中重视学生的探索经历和发现新知的体验，使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略.六、文本教学与信息技术整合点分析根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，调动学生的学习兴趣，利用多媒体辅助教学，借助信息技术工具，以“几何画板”软件为平台，将目标函数与直线方程进行转化，通过直线的平行移动的演示，观察纵坐标的变化，直观生动地呈现图解法求最优解的过程，既加大课堂信息量，提高教学效率，同时让学生学会用“数形结合”思想方法建立起代数问题和几何问题间的密切联系．七、教学过程分析数学教学是数学活动的教学，我将整个教学过程分为五个环节：1.复习回顾：[幻灯片第2－4张]1）提问：如何作二元一次不等式表示的平面区域？直线定界；特殊点定域.2）巩固练习：画出下面不等式组所表示的平面区域.【设计意图】复习旧知，为本课的图解法解题热身准备. 2. 分析引例，形成概念，规范解答在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题……1) 将实际生活问题转化为数学问题(数学建模) [幻灯片第5－8张]教师组织学生学习引例.[引例]：某工厂有A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时1h ，每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？师生活动：通过教师引导，让学生正确理解题意，用不等式组表示问题中的5003x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩≥≥≤限制条件及作出相应的平面区域，将实际问题转化为数学问题.（1）、教师提问：同学们，你们能用不等式组表示问题中的限制条件吗？引导学生设定未知数（设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件）， 分析已知条件得到二元一次方程组：（2）、让学生画出不等式组所表示的平面区域.【设计意图】数学是现实世界的反映.通过引入学生感兴趣的实际生活问题，激发学生兴趣，使学生产生急于解决问题的内驱力，引发了学生的思考，同时师生之间通过互动复习旧知，培养学生从实际问题抽象出数学模型的能力.（3）、教师进一步提出新问题：若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？引导学生若设定工厂获得的利润为z ，则易得z = 2x + 3y ，此时问题转化为即求z 的最大值的问题了.【设计意图】添加优化问题，定义目标函数，引出新问题.2）分析问题，形成概念[幻灯片第9－17张]师生活动：教师根据引题得出线性规划问题相关概念.（1）、就在学生兴趣顿起的时候，教师就此给出了相关概念：① 上述问题中，不等式组是一组对变量 x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又叫线性约束条件. 线性约束条件除了用一次不等式表示外，有时也用一次方程表示.② 欲求最大值或最小值的函数z=2x+3y 叫做目标函数. 由于 z=2x+y 又是x 、y 的一次解析式，所以又叫线性目标函数.③ 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.④ 满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解.2841641200x y x y x y +≤⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩⑤ 由所有可行解组成的集合叫做可行域.⑥ 使目标函数取得最大值或最小值的可行解，它们都叫做这个问题的最优解.（2）、 引导学生理解，引题的问题就是一个线性规划问题. 图中阴影部分（即可行域）的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排. 于是问题就转化为当点（x,y ）在可行域运动时如何求z=2x+3y 的最大值问题.3）探究交流，解决问题[幻灯片第18－20张]（1）、教师提问：如何求z=2x+3y 的最大值问题？先让学生自主探究，再分组讨论交流，然后试着这样引导学生：由于已经将x ,y 所满足的条件几何化了，你能否将式子z=2x+3y 作某种几何解释？学生自然地想到它在几何上表示直线2x+3y-z=0. 当z 取不同的值时可得到一族平行直线.于是问题又转化为当这族直线与可行域有公共交点时，如何求z=2x+3y 的最大值.（2）、这一问题对于部分学生仍有一定难度，教师再次提问：在直线2x+3y-z=0中，z 是否与这直线的某种几何意义有关？学生讨论交流后得出：将直线2x+3y-z=0改写成斜截式233z y x =-+，学生此时会明白直线2,33z y x =-+它表示为斜率为2,3k =-截距3z b =的直线，当z 变化时，可以得到一组互相平行的直线，而且当截距3z 最大时，z 取最大值. 于是问题又转化为当2x+3y-z=0这族直线与可行域有公共交点时，在可行域内找一个点，使直线经过此点时在y 轴上的截距最大. 接着让学生动手实践，用作图法找到点E 并求出点E 的坐标（4，2），而求出z 的最大值为14，所以每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元 .师生活动：教师引发学生思考变形目标函数，将z=2x+3y 化成233z y x =-+的形式，挖掘几何含义，作过原点直线23y x =-并进行平移，观察纵截距的最大值，教师利用多媒体辅助教学工具作动态演示平移确定最值，并有意强调解题步骤:画、作、移、求.【设计意图】：让学生自主探究，体验数学知识的发生、发展过程，体验转化和数形结合的思想方法，通过目标函数的不同变式，让学生熟悉求最值的方法，从而让学生更好地理解数学概念和方法，突出了重点，化解了难点.3.反思过程，提练方法[幻灯片第21张]教师引导学生归纳、提炼求解步骤：第一步：画——根据约束条件画出可行域；第二步：作——过原点作目标函数直线的平行直线0l ；第三步： 移——平移直线0l 找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线，确定可行域内最优解的位置；第四步：求——解有关方程组求出最优解，将最优解代入目标函数求最值.4.模仿练习，强化方法，拓展题型[幻灯片第22－26张]为了更好地理解图解法解线性规划问题的内在规律，同时让学生掌握解决简单线性规划问题的基本步骤，让学生做下面这个练习：练习（教材例5）、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg 的蛋白质，0.06kg 的脂肪，1kg 食物A 含有0.105kg 碳水化合物，0.07kg 蛋白质，0.14kg 脂肪，花费28元；而1食物B 含有0.105kg 碳水化合物，0.14kg 蛋白质，0.07kg 脂肪，花费21元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物B 多少kg ？师生活动：教师引领学生理解题意，让学生领会用表格形式描述数据的直观性.让学生独立建立线性规划的数学模型，并正确设出变量，找好目标函数及约束条件后自行完成此题. 由一位同学生展示自己的解题过程和结果. 教师规范解题步骤和格式.1.分析：将已知数据列成表格解：设每天食用x （kg ）食物A ，y （kg ）食物B ，总成本为z ，那么 0.1050.1050.075,0.070.140.06,0.140.070.06,0,0.x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎪+≥⎨⎪≥⎪≥⎪⎩①目标函数为2821z x y =+.二元一次不等式组①等价于775,7146,1476,0,0.x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎪+≥⎨⎪≥⎪≥⎪⎩ ②二元一次不等式组所表示的平面区域（图1），即可行域．考虑2821z x y =+，将它变形为4321z y x =-+.这里4321z y x =-+是斜率为43-，随z 变化的一组平行直线，21z 是直线在y 轴上的截距，当21z 取最小值时，z 的值最小．当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数2821z x y =+取得最小值．由图1可见，当直线2821z x y =+经过可行域上的点M 时，截距21z 最小，即z 最小． 解方程组775,147 6.x y x y +=⎧⎨+=⎩ 得M 的坐标为17x =,47y =. 所以282116z x y =+=．答：每天食用食物A 为17kg ，食物B 为47kg ，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元.【设计意图】1）. 通过一道完整的简单线性规划问题，让学生掌握解决简单线性规划问题的基本步骤，培养学生的数学建模意识.同时进一步加深对图解法的认识.2）.通过此题检测学生对已学知识的掌握情况，进一步培养学生的运算能力和准确作图的能力.3）.展现线性规划的另一类型题（可行域不封闭、最优解为最小值），并与引例相比较，对比可行域封闭与不封闭、最优解为最大值与最小值两种情况的线性规划问题.师生活动:由教师帮助学生分析错解的原因,并提出问题.学生意识到可以把所有可能的解都求出来,进行比较即可.师生一起反思练习的求解过程.教师通过巡视发现错解的学生，帮助学生找到错误的原因.并提出问题：有时若由于不可避免的误差带来错解，你如何解决?【设计意图】通过反思及寻求问题答案，让学生深入思考,培养学生科学严谨的学习态度和解决问题的能力.5.变式演练，深入探究，开阔视野[幻灯片第27张]师生活动:让学生自己动手解决问题，教师可用几何画板演示。
简单的线性规划问题 教学设计
简单的线性规划问题（第1课时）湖北省公安县第二中学袁泽军教材：人教A版数学必修5第三章第3.3.2节第87页教学目标：1.了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、线性规划问题、可行解、可行域、最优解等基本概念．2.掌握线性规划问题的图解法，会借助几何直观解决简单线性规划问题．3.充分借助信息技术，经历探索线性规划最优解的过程，体会线性规划的基本思想，逐步建立数形结合的思想，初步发展学生识图、读图和画图的能力．教学重点：线性规划问题的图解法教学难点：如何寻找线性规划问题的最优解教学方法：启发引导探究式教学方法教学手段：多媒体辅助教学教学过程：一、复习引入导出新课〖问题〗某工厂生产甲、乙两种产品．已知生产甲种产品1t需耗A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t；生产乙种产品1t需耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t；每1t甲种产品的利润是600元，每1t乙种产品的利润是1 000元．现库存的A种矿石有300t、B种矿石有200t、煤有360t．问甲、乙两种产品各生产多少吨时，能使利润总额达到最大？（1）列出二维表格表示图中的数据信息．（2）用不等式表示上述问题中的不等关系．设生产甲、乙两种产品分别为xt 、yt ，则：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+.0,0,36094,20045,300410y x y x y x y x（3）画出上述不等式组表示的平面区域．（线定界，点定域）（4）如果用z （元）表示利润总额，你能用x 、y 表示z 吗？（z ＝600x ＋1 000y ．）（5）如何求z 的最大值呢？（引入新课）二、师生互动 概括总结（1）引导学生探索线性目标函数z 何时取得最大值．将目标函数z ＝600x ＋1 000y 变形为z x y 001.06.0+-=，它表示一组斜率为－0.6的平行直线，0.001z 为y 轴上的截距，当截距0.001z 最大时，目标函数z 取得最大值．故只需作出z x y 001.06.0+-=的一个初始位置x y 6.0-=，再将这条直线上述平面区域内平移，容易知道在点⎪⎭⎫ ⎝⎛291000,29360处（大约在点（12.4，34.4）处）取得最大值，此时291216000max =z ≈41931（元）． （2）指导学生阅读自学线性规划相关概念（教材第99页最后一段：约束条件、线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线性规划问题、可行域、可行解、最优解等）．（3）借助几何画板直观理解最优解及求解线性规划问题的过程．（4）求解线性规划问题的主要步骤概括：○设——设立未知数 ○列——列出线性约束条件及线性目标函数 ○画——画出可行域 ○移——平行移动目标函数表示的直线 ○求——求出目标函数的最值及最优解 ○答——回答题目的结论 （5）学法指导：代数问题用几何图形求解，体现了什么数学思想方法？（数形结合）三、整合技术 如虎添翼（1）用计算机中的Excel 解决线性规划问题．（2）用专门的软件求解线性规划问题．借助“简单线性规划解题系统”（江西省景德镇市教研所严剑老师开发）求解线性规划问题，让学生看到现代技术的功能．四、深入探究 拓展思维〖问题变式〗（1）在〖问题〗中，若每1t 甲种产品的利润是1 000元，每1t 乙种产品的利润是600元，问甲、乙两种产品各生产多少吨时，能使利润总额达到最大？（2）在〖问题〗中，若每1t 甲种产品的利润是1 000元，每1t 乙种产品的利润是800元，问甲、乙两种产品各生产多少吨时，能使利润总额达到最大？（3）在〖问题〗的数学模型中，若将线性目标函数改为y x z 1000600-=，则线性规划问题的最优解是多少？（线性约束条件不变，但目标函数发生了变化，引导学生观察最优解的变化．）五、回顾反思 课堂小结1. 本节课我们学到了哪些知识？（线性规划问题有关的概念；线性规划问题的图解法及解题步骤；线性目标函数和线性约束条件的改变对最优解的影响；计算机在求解线性规划问题中的辅助作用．）2.在求解线性规划问题过程中，运用了什么数学思想方法？（数形结合的思想方法）六、布置作业拓展延伸1.教材第91页练习第2题，第93页习题3.3A组第3题2.思考题：（1）（规划迟到引起的焦虑）假若A君和B君互订以下的约会协议：（1）双方必须在约会时间过后的30分钟内到达约会地点；（2）若一方到达时不见对方，最多只会等候10分钟．若x、y（分钟）分别表示A和B在约会时间后到达约会地点所需的时间，焦虑指标I＝2x＋3y表示两人共同承担的焦虑，问x、y分别为多少时，两人承担的焦虑最大？（2）如果不用图解法，你能求出线性规划问题的最优解吗？附：教学设计几点简要说明1.本节课的重点是用图解法求解线性规划问题，难点是如何寻找线性规划问题的最优解．因此，我想借助一个简单的例子作为载体，让学生理解求解线性规划问题的步骤及要点．简单的含义有两层：一是可行域最好为封闭的图形；二是不涉及到整数解问题．教材中所有的例习题均不符合这个要求，我只好撇开教材另外取材．一开始，我选取了“规划焦虑”（选自上海远东出版社出版、罗浩源编著的《生活中的数学》第49页）作为引例，但其中的焦虑指标不好理解，而且不适合后面教学的继续使用．最终，我将它作为课后思考（因为有趣），而选取了一个普通的产品安排问题作为引例和贯穿整个课堂的母例（因为恰当）．2.高中阶段所研究的线性规划问题仅限于二元线性规划问题，多元线性规划问题便无法用图解法求解了．较为复杂的线性规划问题常常需要工具、软件的辅助．本节课我充分借助现代信息技术整合课堂教学（用几何画板动态演示目标函数值的变化过程，用Excel解决线性规划问题，用专门的软件求解线性规划问题），目的是让学生增强用现代信息技术的意识，培养学生初步的用现代信息技术的能力．3.线性规划问题的最优解因线性约束条件的不同而不变，随线性目标函数的改变而改变，因此，我设计了一组变式问题，在线性约束条件相同的情况下改变线性目标函数，看最优解的求解过程究竟发生了哪些变化．从而让学生了解求解线性规划问题最优解应注意的两个关键点：一是随着线性目标函数的直线从原点向右上方平移，其函数值是逐渐变大还是逐渐变小；二是线性目标函数何时取得最大值或最小值，尤其要注意其斜率与边界直线的斜率之间的关系．4.新课程改革要求教师的教学方式和学生的学习方式也要发生相应的变革．课标指出：“丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念．学生的数学学习活动不应只限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，……，阅读自学等都是学习数学的重要方式．”课标还指出：“在高中数学教学中，教师的讲授仍然是重要的教学方式之一，但要注意的是必须关注学生的主体参与、师生互动．”因此，我采用启发引导探究式教学方法，在教学中努力启迪学生思维、引导学生思考、指导学生阅读，让学生养成良好的学习习惯和一点终生有用的学习方法．。
《简单的线性规划问题》教案正式版
《简单的线性规划问题》教案正式版《简单的线性规划问题》教案第三课时（1）教学目标(a) 知识和技能：了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大（小）值(b)过程与方法：本节课是以二元一次不等式表示的平面区域的知识为基础，将实际生活问题通过数学中的线性规划问题来解决。
考虑到学生的知识水平和消化能力，教师可通过激励学生探究入手，讲练结合，真正体现数学的工具性。
同时，可借助计算机的直观演示可使教学更富趣味性和生动性(c)情感与价值：渗透集合、数形结合、化归的数学思想，培养学生“数形结合”的应用数学的意识；激发学生的学习兴趣（2）教学重点、教学难点—教学重点：线性规划的图解法教学难点：寻求线性规划问题的最优解（3）学法与教学用具通过让学生观察、讨论、辨析、画图，亲身实践，调动多感官去体验数学建模的思想；学生要学会用“数形结合”的方法建立起代数问题和几何问题间的密切联系直角板、投影仪，计算机辅助教材（4）教学设想 1、设置情境师：在生活、生产中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排的等问题，如教材第98页所例（投影） /（板书）设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件，由已知条件可的二元一次不等式组：※ 28,416,412,00x y x y x y +≤??≤??≤??≥?≥??将上述不等式组表示成平面上的区域，如图中阴影部分的整点。
2、新课讲授（1）尝试若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大设生产甲产品x 乙产品y 件时，工厂获得的利润为z,则z=2x+3y.这样，上述问题就转化为：当x 、y 满足不等式※并且为非负整数时，z 的最大值是多少① 变形——把22333zz x y y x =+=-+转变为，这是斜率为23-z，在y 轴上的截距为的直线3；当z 变化时，可以得到一组互相平行的直线；233zy x =-+当直线与不等式组确定的平面区域内有公共点时，在区域内找一个点P ，使直线经点P 时截距3z最大② 】③ 平移——通过平移找到满足上述条件的直线④ 表述——找到给M （4，2）后，求出对应的截距及z 的值（2）概念引入（学生阅读并填空）28,416,412,00x y x y x y +≤??≤??≤??≥?≥??若23z x y =+，式中变量x 、y 满足上面不等式组，则不等式组叫做变量x 、y 的约束条件，23z x y =+叫做目标函数；又因为这里的23z x y =+是关于变量x 、y 的一次解析式，所以又称为线性目标函数。
《简单的线性规划问题》参考教案
课题: §3.3.2简单的线性规划第1课时授课类型：新授课【教学目标】1．知识与技能：使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；3．情态与价值：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力。
【教学重点】用图解法解决简单的线性规划问题【教学难点】准确求得线性规划问题的最优解【教学过程】1.课题导入[复习提问]1、二元一次不等式在平面直角坐标系中表示什么图形？2、怎样画二元一次不等式（组）所表示的平面区域？应注意哪些事项？3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。
2.讲授新课在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。
1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：引例：某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？（1）用不等式组表示问题中的限制条件：设甲、乙两种产品分别生产x、y件，又已知条件可得二元一次不等式组： (1)（2）画出不等式组所表示的平面区域：如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。
（3）提出新问题：进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？（4）尝试解答：设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得的利润为z,则z=2x+3y.这样，上述问题就转化为：当x,y满足不等式（1）并且为非负整数时，z的最大值是多少？把z=2x+3y变形为，这是斜率为，在y轴上的截距为的直线。
教案：简单的线性规划问题
必修5 3.3.2 简单的线性规划问题（教案）（第1课时）【教学目标】1．知识与技能：使学生了解线性规划的意义及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；3．情态与价值：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力． 【重点】用图解法解决简单的线性规划问题． 【难点】准确求得线性规划问题的最优解．【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第87页～第89页）1．在教材第87页引例中，约束条件是⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤≤≤+.0,0,124,164,82y x y x y x 为什么又叫线性约束条件？（约束条件都是关于y x ,的一次不等式）目标函数是y x z 32+=，为什么又叫线性目标函数？（目标函数是关于y x ,的一次解析式）２．在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题称为线性规划问题； ３．满足线性约束条件的解),(y x 叫做可行解；由所有可行解组成的集合叫做可行域；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解．【基础练习】1．给定下列命题：在线性规划问题中，①最优解指的是目标函数的最大值或最小值；②最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的变量y x 或；③最优解指的是目标函数取得最大值或最小值的可行域；④最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解．其中真命题的序号是 ④ ．２．在教材第87页引例中，当直线332,32zx y y x z +-=+=即经过可行域时，直线越向 上 （上，下）z 越大，直线越向 下 （上，下）z 越小，为什么？（由z 的几何意义决定的）z 的几何意义是3z是直线在y 轴上的截距．３.解下列线性规划问题：（１）求y x z +=2的最大值，使y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤.1,1,y y x x y（２）求y x z 523+=的最大值和最小值，使y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤≤+.35,1,1535y x x y y x答案：（１）3max =z ． （２）11,17min max -==z z ． 【典型例题】例1 已知y x ,满足不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0025023002y x y x y x ，试求y x z 900300+=的最大值时点的坐标，及相应的z 的最大值【审题要津】先画出平面区域，然后在平面区域内寻找使y x z 900300+=取最大值时的点并求最大值解：如图所示平面区域AOBC ，点A(0,125)，点B(150,0)，点C 的坐标由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+3200335025023002y x y x y x 得C （3200,3350）， 由yx z 900300+=，得y =-90031z x +, 欲求y x z 900300+=的最大值，即转化为求截距900z的最大值，从而可求z 的最大值，因直线y =-90031zx +与直线y =-31x 平行，故作与y =-31x 的平行线，当过点A （0，125）时，对应直线的截距最大，所以此时整点A 使z 取最大值，m ax z =300×0+900×125=112500 ．【方法总结】１.在线性约束条件下，求c by ax z ++=的最值时，作图需准确，要区别目标函数所对应直线的斜率与可行域的边界直线的斜率的大小关系，分清目标函数所对应直线在y 轴上的截距与z 的关系．２.用图解法求最优解的步骤可概括为“画、移、求、答”． 变式训练：已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,2502,3003y x y x y x 求目标函数y x z 300600+=的最大值，并求整点最优解．解：可行域如图所示：四边形AOBC 易求点A （0，126），B （100，0）由方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+5191536925223003y x y x y x 得点C 的坐标为（6953,9151) 因题设条件要求整点),(y x 使y x z 300600+=取最大值，将点（69，91），（70，90）代入y x z 300600+=，可知当⎩⎨⎧==9070y x 时，z 取最大值为m ax z =600×70+300×900=69000，最优解为)90,70(．例 2 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供kg 0750．的碳水化合物，kg 060．的蛋白质，kg 060．的脂肪，kg 1食物A 含有kg 1050．碳水化合物，kg 070．蛋白质，kg 140．脂肪，花费28元；而kg 1食物B 含有kg 1050．碳水化合物，kg 140．蛋白质，kg070．脂肪，花费21元．为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物B 多少kg ？解：设每天食用x 千克食物A ，y 千克食物B ，总成本为z ．那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+．， ，．．．，．．．，．．．00060070140060140070075010501050y x y x y x y x ① 目标函数为 y x z 2128+=．二元一次不等式组①等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+．， ，，，0067146147577y x y x y x y x ② 作出二元一次不等式组②所表示的平面区域，即可行域．考虑y x z 2128+=，将它变形为，这是斜率为34,2134-+-=z x y 随z 变化的一族平行直线．21z是直线在y 轴上的截距，当21z取最小值时，z的值最小．当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数y x z 2128+=取得最小值．由图可见，当直线y x z 2128+=经过可行域上的点M 时，截距21z最小，即z 最小．解方程组 ⎩⎨⎧=+=+,6714,577y x y x得M 点的坐标为 ．， 7471==y x 所以162128min =+=y x z ．答：每天食用食物A 约g 143，食物B 约g 571，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为１６元．【方法总结】线性规划解决实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数．然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解，最后，要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解．变式训练：某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲产品1吨，需要煤9吨，需电4瓦，工作日3个（一个2人劳动一天等于一个工作日），生产乙种产品1吨，需要用煤4吨，需电5瓦，工作日12个，又知甲产品每吨售价7万元，乙产品每吨售价12万元，且每天供煤最多360吨，供电最多200瓦，全员劳动人数最多300人，问每天安排生产两种产品各多少吨；才能使日产值最大，最大产值是多少？解：设每天生产甲种产品x 吨，乙种产品y 吨，日产值为z 万元。
《3.3.2简单的线性规划问题》教案
简单的线性规划学习内容总析线性规划位于不等式和直线方程的结合点上，是培养学生转化能力和熟练运用数形结合能力的重要内容。
这一节的知识内容形成了一条结构紧密的知识链条：以二元一次不等式（组）表示的平面区域为基础，根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法解决简单的线性规划问题。
学情总析本节内容是在学习了直线方程、二元一次不等式（组）所表示的平面区域的基础上，强调应用转化思想和数形结合思想来解决线性规划问题。
三维教学目标知识与技能：①了解线性规划的意义以及约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等相关的基本概念；②在巩固二元一次不等式（组）所表示的平面区域的基础上，能从实际优化问题中抽象出约束条件和目标函数，并依据目标函数的几何含义直观地运用图解法求出最优解；③掌握对一些实际优化问题建立线性规划数学模型并运用图解法进行求解的基本方法和步骤。
过程与方法：①培养学生的形象思维能力、绘图能力和探究能力；②强化数形结合的数学思想方法；③提高学生构建（不等关系）数学模型、解决简单实际优化问题的能力。
情感、态度与价值观：①在感受现实生产、生活中的各种优化、决策问题中体验应用数学的快乐；②在运用求解线性规划问题的图解方法中，感受动态几何的魅力；③在探究性练习中，感受多角度思考、探究问题并收获探究成果的乐趣。
教学重点及应对策略1、教学重点：根据实际优化问题准确建立目标函数，并依据目标函数的几何含义直观地运用图解法求出最优解；2、应对策略：将求目标函数最值问题转化为经过可行域的直线在y轴上的截距的最值问题，然后借助直线方程的知识进行解决。
教学难点及应对策略1、教学难点：①借助线性目标函数的几何含义准确理解线性目标函数在y轴上的截距与z最值之间的关系；②用数学语言表述运用图解法求解线性规划问题的过程。
2、应对策略：在理论解释的同时，可用动画进行演示辅助理解。
教学过程设计。
简单的线性规划问题 教案
2009级本科学生试讲教案课题简单的线性规划院系数学与信息科学学院专业数学与应用数学指导教师曾德强班级2009级2班姓名贾晓玉学号200902410402012年5月20日课题§3.2简单的线性规划问题教学目标(一)知识目标1、了解线性规划的意义；理解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；2、掌握线性规划的图解法；3、会利用图解法求线性目标函数的最大（小）值.(二) 能力目标1、在应用图解法解题的过程中培养学生的观察能力、理解能力、分析能力以及探索能力；2、在对具体事例的感性认识上升到对线性规划的理性认识过程中，培养学生运用数形结合思想解题的能力和化归能力.(三) 情感目标1、让学生体验数学来源于生活又服务于生活，体验数学在建设节约型社会中的作用，品尝学习数学的乐趣.2、让学生体验数学活动充满着探索与创造，培养学生勤于思考、勇于探索的精神.教学重点让学生经历用图解法求最优解的探索过程,体会数形结合思想在解决数学问题时的优越性.教学难点将实际问题抽象转化为线性规划问题，在可行域内用图解法准确求得线性规划问题的最优解.教学方法(一) 教法分析讲解法，变式教学法等．(二) 学法指导讨论，思考，练习等．(三) 教学活动1、在引入时让学生思考怎样求解最大利润Z，然后请同学发表自己的看法；2、在探究题中让学生探索最优解在哪一点取得，老师检查讲解.教学用具彩色粉笔，多媒体.课型新知课．课时安排第一课时．教学过程（一）创设情境，提出问题设计一个场景：20年后的你,坐在宽敞的办公室里，思考着如何安排公司的生产，你会考虑些什么？ 1、计划可行，2、效益最大，3、资源最优……我们今天就来解决你们经常会碰到的资源利用、人力调配、生产安排等问题，这就是我们今天要学习的内容---简单的线性规划问题.例如，某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算.又知每件甲产品可获利2万元，每件乙产品可获利3万元，问该厂每天最多可获利多少万元?（二）分析问题，构建新知1、分析问题对于以上问题我们可以从以下几步来进行分析：(1) 设该工厂每天生产甲产品x件，乙产品y件，获利Z万元，由题意可得下列式子：23z x y=+①28 416412x yxyxy+≤⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩②（2）我们可以将不等式组②表示成平面上的区域（3）我们可以把23z x y =+变形为233z y x =-+，这是斜率为23-,在y 轴上的截距为3z的直线.当z 变化时,可以得到一组相互平行的直线（如图2所示）,由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点（例如（1，2）），就能确定一条直线.这说明,截距3z可以有平面内的一个点唯一确定.可以看到，直线233zy x =-+与表示不等式组②的区域的交点坐标满足不等式组②，而且当截距3z 最大时，Z 取最大值.因此，上述问题可以转化为当直线233zy x =-+与不等式组②确定的平面有公共交点时，在区域内找一点P ，使直线经过点P 时截距3z最大.2、概念引入（1）在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题.（2）满足线性约束条件的解叫做可行解. （3）由所有可行解组成的集合叫做可行域. （三）、变式演练、深入探究在上述问题中，如果每生产一件甲产品获利1万元，每生产一件乙产品获利3万元，问该工厂每天又可最多获利多少万元？解：由题意可得目标函数为：3z x y =+；将目标函数变形为1133y x z =-+.则利润Z 的几何意义就是直线1133y x z =-+在Y 轴上截距的3倍，所以当直线在Y 轴上的截距最大时，利润Z 最大.如图3所示可得，当直线1133y x z =-+经过点N （2,3）时截距3z最大，所以Z 最大，并且23311z =+⨯=.(四）归纳小结，强化思想解答线性规划问题的步骤：◆ 第一步：根据约束条件画出可行域； ◆ 第二步：令z ＝0，画直线l 0；◆ 第三步：观察，分析，平移直线l 0， 从而找到最优解； ◆ 第四步：求出目标函数的最大值或最小值. (五）作业布置，升华知识书面题：P91 T1, 2思考题：在上述探究题中，将甲、乙产品的获利从新换几组你喜欢的数据，求该工厂可获的最大利润；在这过程中你能得出最优解和可行域之间的关系吗？板书设计。
【教学设计】《简单的线性规划问题》(人教)
《简单的线性规划问题》1、知识与技能（1）了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；（2）了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大（小）值。
2、过程与方法本节课是以二元一次不等式表示的平面区域的知识为基础，将实际生活问题通过数学中的线性规划问题来解决。
考虑到学生的知识水平和消化能力，教师可通过激励学生探究入手，讲练结合，真正体现数学的工具性。
同时，可借助计算机的直观演示可使教学更富趣味性和生动性。
3、情感态度与价值观渗透集合、数形结合、化归的数学思想，培养学生“数形结合”的应用数学的意识；激发学生的学习兴趣。
【教学重点】线性规划的图解法。
【教学难点】寻求线性规划问题的最优解。
（一）新课导入某工厂用A，B两种配件生产甲，乙两种产品，每生产一件甲种产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙种产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么?若生产1件甲种产品获利2万元，生产1 件乙种产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大?把问题1的有关数据列表表示如下:设甲，乙两种产品分别生产x，y件，由己知条件可得到哪些不等式呢？（二）新课讲授设甲，乙两种产品分别生产x，y件，由己知条件可得:⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y≤8，4x≤16，4y≤12，x≥0，y≥0，将上面不等式组表示成平面上的区域，区域内所有坐标为整数的点P(x，y)，安排生产任务x，y都是有意义的。
问题：求利润2x+3y的最大值。
若设利润为z ，则z=2x+3y ，这样上述问题转化为:当x ，y 在满足上述约束条件时，z 的最大值为多少?把z ＝2x ＋3y 变形为y ＝－23x ＋z 3，在y 轴上的截距为z3，当点P 在可允许的取值范围变化时，求截距z3的最值，即可得z 的最值。
如图：由图可以看出，当直线y ＝－23x ＋z 3经过直线x ＝4与直线x ＋2y －8＝0的交点M (4，2)时，截距z3的值最大，此时2x ＋3y ＝14。
简单的线性规划问题精品教案
加强学生对“数形结合”思想方法的认识.
法的掌握、对思想的应用.最后，学生通过对高考真题的完成建立了学习数学的信心，提
高了对数学学习的热情.
解决解线性规划问题的一般步骤：
1、画：画出线性约束条件所表示的可行域；
3.3.2 简单的线性规划问题
2、移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点并且在 板
四、课堂小结： 1、 线性规划问题的一般步骤：画、移、求、答. 2、 解题时应注意：“斜率”、“截距”对 z 最值的影响. 3、 突出“数形结合”思想方法的运用.
【总结 1】注意线性目标函数的“斜率”对最优解的影响.
五、课后作业：【课后训练案】
变式 4.若目标函数为 z x y ，求 z 的最大值.
教学设计
授课题目
简单的线性规划问题
授课教师
学科
数学 授课班级
二、概念引入
教学目标
知识与技能：了解线性规划的相关概念，理解线性规划问题中 z 的几何 问题 3.若生产每吨 A 产品可收益 1 万元，每吨 B 产品可收益 1 万元，问如何规划 A、B
意义，会用图解法求线性目标函数的最优解；
的生产数量可以使得公司获利最大？
最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解.
品，而现在可供使用的石油原料只有 12t.设 A、B 两种产品分别生产 x、y t.回答下列问题： 练习 1．给定下列命题：在线性规划中，
问题 1.列出有序实数对 (x, y) 满足的二元一次不等式组.
① 最优解指的是使目标函数取得最大值的变量 x 或 y 的值；
过程与方法：在解决实际问题时培养学生数学建模的意识，在应用图解 方法 1：几何画板演示.
简单的线性规划问题-教案
《简单的线性规划问题》教案教学内容分析：不等式是刻画现实世界中不等关系的数学工具，它是描述优化问题的一种数学模型.在这一章里，介绍了三种不等式模型.本节内容位于必修五第三章不等式的第三节，是借助第二种模型二元一次不等式（组）的几何意义求解简单的线性规划问题，它是继学习了二元一次不等式（组）表示的平面区域基础上，利用直线方程和二元一次不等式（组）的知识展开的，是对二元一次不等式（组）的深化和应用.通过具体情境中对目标函数最值求法的探索，培养和发展学生的观察、理解能力，提高学生的探索、归纳能力，在这一过程中，进一步渗透数形结合和转化化归的数学思想，体验二元一次不等式（组）模型的应用价值.教学目的：1、通过这节课的教学，让学生理解和掌握可行解、可行域、最优解等概念，掌握求解线性规划问题的图解法；2、通过学生对图解法最优解的探究过程，将目标函数转化为斜截式直线，培养学生观察、概括的能力，以及转化化归、数形结合的数学思想方法；3、通过师生交流将解决问题的层次逐步深化，培养学生的理性精神、严谨的逻辑思维能力及意识.教学重点：应用二元一次不等式（组）模型解决一类特殊的优化问题，即利用图解法求最优解.教学难点：让学生理解与把握特殊目标函数转化为斜截式直线方程的几何意义及操作要领.教学准备：《简单的线性规划问题》学案、多媒体课件、作图工具.计时间（分）学内容2分钟一、回顾问题1、在课堂教学的开始，用多媒体回顾演示了位于3.3节开篇的引例中提出来的问题：在约束条件410,4320,0,x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩下，如何探求目标函数P=2x+y 的最大值？2、经过上一节课的学习，我们已经掌握了如何将二元一次不等式组转化为直角坐标系中的平面区域.请同学们作图，教师投影展示.学生作出约束条件所表示的平面区域.410,4320,0,x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩所表示的平面区域.本节开门见山，回顾问题，引导学生迅速进入学习情境.让学生进一步感受在不等式组和平面区域之间建立的一一对应关系，以及其中蕴含的数形结合的思想.二、问题解决讲授：求目标函数P=2x+y的最大值，对我们来说十分陌生.我们已经能理解目标函数P=2x+y 的中的x,y分别是平面区域内点的横坐标、纵坐标，平面区域内的每一个点的坐标都会对应着一个P值.问题的关键就在于如何将目标函数转化为直角坐标系中的直线方程.这既是本节课的重点也是本节课的难点，如何突破本节课的重难点呢？3分钟问题1、P=2x+y中的x,y可以取怎样的值？教师抽取其中(3,1),(1,1),(1,2),(1,3)，并在坐标系内描出它们的位置，请学生观察这些点的学生自主体验，通过作图、观察、归纳. 使学生深刻理解目标函数的x、y与平面区域的点的坐标之位置特点.可行解：满足线性约束条件的解（x,y）叫做可行解.可行域：由所有可行解组成的集合叫做可行域. 间的对应关系，更体会概念形成的的合理性.1分钟问题2、请学生计算出这三组可行解所对应的目标函数P的结果，并观察可行解有何特点？学生计算出(1,1),(1,2),(1,3)对应的P值分别为3、4、5，发现这些值有大有小，从而了解P值的变化特点，并试图寻求最大值.让学生初步体验到P值的变化特点,引发学生思考.3分钟问题3、点（1,1）对应的P值为3？还有哪些点所对应的P值也等于3？在图中标出这些点的位置，观察这些点的位置特点.学生在问题引导下，迅速写出P值等于3的其他点的坐标，填在学案上的表格里，并在坐标系中标出这些点的位置，观察它们的位置特点.答：这些点位于一条直线上，由于可行域的限制，应该在该直线位于可行域内的部分上.让学生在这里得到P=3时等式3=2x+y的几何图形是一条位于可行域内的线段，同时注意到3就是这条线段所在直线的纵截距.4分钟问题4、如果P=4或者5呢？会不会有类似的情况？三个不同P值对应的几何图形相互之间有联系吗？教师动画演示了等式P=2x+y转化为y=-2x+P的过程，使学生更明确了这个方程表示的几何图形是一组平行直线位于可行域内的部分，P的意义是这组平行直线的纵截距.学生继续完成4和5两种情况，使学生发现这两种情况与之前P=3的时候类似，还请学生继续尝试了P=8的情况，让学生发现此时直线上的点都不在可行域内. 当P值不同时，各直线之间是平行的关系.让学生明白当P值固定时，所对应的点都分布在同一条直线上，加之可行域的限制，都在该直线位于可行域内的线段上，同时发现此时的P值就是这条直线的纵截距.当P值不同时，直线的位置也不同. 体验从目标函数到斜截式直线方程的转化过程，通过观察，归纳，探索，体验数形结合和转化化归的思想，融入从特殊到一般的合情推理意识.目的是突出重点，化解难点.3分钟问题5、如何求出P的最大值？经过学生的探究和直观观察形成了通过平移找到最大值的方法.学生联立方程组求解，得到了点A的坐标为（1.25,5）.并回答了引例中的问题.学生体悟到函数最值的运动变化特性，初步了解线性规划问题的本借用多媒体让学生逐步感受直线在不同位置时p 的变化情况，用渐近的思想得到点A的位置.教师给出最优解的概念. 引例中的问题也得到了解决. 质：将目标函数转化为直角坐标系中的斜截式直线方程，应用二元一次不等式（组）模型解决一类特殊的优化问题，深化数形结合的数学思想.十分钟三、运用拓展运用1、若实数x,y满足不等式组，分别求下列函数的最大值.1,0,0.x yxy+≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩1）z= 2x+y；2）z= x-y ；3）z= x+y请学生到展台展示自己的答案并讲解解答过程教师请学生们独立思考，充分参与，展开争论，分析错误产生的原因.答：1)当直线的纵截距最大时，目标函数也最大.作出平行直线y=-2x+z，平移至点（1,0）时，z取得最大值为2.2）学生作出平行直线y=x-z后，部分学生将直线y=x-z平移至点（0,1）时，得出z取得最大值为-1；还有部分学生将直线y=x-z平移至点（1,0）时，得出z取得最大值为1.产生不同答案之后，引发争论.请学生得出结论：这道题将直线y=x-z平移至点（0,1）时，得出z取得的是最小值为-1，将直线y=x-z平移至点（1,0）时，得出z取得最大值为1.因为纵截距-z越小时，目标函数值z越大.目标函数的函数值是与直线方程的纵截距有关的量.3) 学生作出平行直线y=-x+z，并平移，大部分学生能够发现当直线平移到与直线x+y=1重合时，z取得最大值为1.答：某些情况下，最优解的个数可能有多个，有时候可能有无数个.使学生理解和掌握利用图解法求最优解的一般思路和方法.通过作图、观察，加深学生对图解法的认识和对最优解概念的理解.教师设问引发思考：这时的最优解有多少个？8分钟运用2、已知实数x,y满足约束条件10,4530,08,04,,.x yx yxyx y Z+⎧⎪+⎪⎪⎨⎪⎪∈⎪⎩＜＞＜＜＜＜求z=x+y最大值和最小值.师生在共同探究的过程中，通过观察探索最学生画出可行域，将目标函数z=x+y转化为y=-x+z并作出此直线，在图中的可行域上平移.当直线平移至经过点（4,3）时，z有最小值7，当直线平移至经过点（6,3），（7,2）时，z有最大值9.一、使学生进一步理解蕴含在图解法中的数形结合数学思维方法；二、加深理解“满足约束条件的点都在可行域内，可行域内的每个点的坐终找到正解.教师补充介绍了网格平移法.标都受约束条件的制约”；三、培养严谨的逻辑思维习惯.5分钟运用3、已知实数x,y满足不等式组13,11,x yx y≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩求4x+2y的取值范围.答：设z=4x+2y,转化为直线y=-2x+2z,平移直线求解得出2≤4x+2y≤10的范围.一、引导学生运用观察、转化和化归的数学思想，通过设4x+2y=z将问题转化为线性规划问题；二、进一步深刻理解“约束条件”中量与量的相互制约关系；三、增强学生的数学应用意识.5分钟四、寻求规律请学生们自己小结，师生一起交流整理提炼和归纳出求线性规划问题最优解的步骤.答：1、作出可行域；2目标函数z=Ax+By(B≠0)变形为A zy xB B=-+3、作斜率为AB-的一组平行线，结合zB的几何意义找到最优解(当x,y为整数时利用网格平移法)；4、解方程组求出最优解，并回答问题.让学生养成及时总结的习惯，进行自我反馈，学会用所提炼方法指导解题，学会理性思考问题，同时也培养数学交流和表达的能力.1分钟五、课后作业布置课后作业，让学生巩固所学内容并进行自我检测与评价：1、课本第84页第4题：求z=2x+y的最大值和最小值，其中实数x,y满足课后完成学案. 1、对图解法解决线性规划问题的巩固加强.2促使学生思考，并去发现目标函数直线的斜率与。
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《简单的线性规划问题》教案
第三课时
（1）教学目标
(a) 知识和技能：了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、 最优解等概念；了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大（小）值 (b)过程与方法：本节课是以二元一次不等式表示的平面区域的知识为基础，将实际生活问题通过数学中的线性规划问题来解决。
考虑到学生的知识水平和消化能力，教师可通过激励学生探究入手，讲练结合，真正体现数学的工具性。
同时，可借助计算机的直观演示可使教学更富趣味性和生动性
(c)情感与价值：渗透集合、数形结合、化归的数学思想，培养学生“数形结合”的应用数学的意识；激发学生的学习兴趣 （2）教学重点、教学难点 —
教学重点：线性规划的图解法
教学难点：寻求线性规划问题的最优解 （3）学法与教学用具
通过让学生观察、讨论、辨析、画图，亲身实践，调动多感官去体验数学建模的思想；学生要学会用“数形结合”的方法建立起代数问题和几何问题间的密切联系 直角板、投影仪，计算机辅助教材 （4）教学设想 1、 设置情境
师：在生活、生产中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排的等问题，如教材第98页所例（投影） /
（板书）设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件，由已知条件可的二元一次不等式组：
※ 28,416,412,00
x y x y x y +≤⎧⎪≤⎪⎪
≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩将上述不等式组表示成平面上的区域，如图中阴影部分的整点。
2、 新课讲授
（1）尝试
若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大 设生产甲产品x 乙产品y 件时，工厂获得的利润为z,则z=2x+3y.这样，上述问题就转化为： 当x 、y 满足不等式※并且为非负整数时，z 的最大值是多少 ① 变
形
—
—
把
22333
z
z x y y x =+=-+转变为，这是斜率为
23-z
，在y 轴上的截距为的直线3
；当z 变化时，可以得到一组互相平行的直线；233
z
y x =-+当直线与不等式组确定的平面区域内有公共点时，
在区域内找一个点P ，
使直线经点P 时截距
3
z
最大 ② 】 ③ 平移——通过平移找到满足上述条件的直线
④ 表述——找到给M （4，2）后，求出对应的截距及z 的值 （2）概念引入 （学生阅读并填空）
28,416,412,00
x y x y x y +≤⎧⎪≤⎪⎪
≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩若23z x y =+，式中变量x 、y 满足上面不等式组，则不等式组叫做变量x 、y 的约束条件 ，23z x y =+叫做目标函数；又因为这里的23z x y =+是关于变量x 、y 的一次解析式，所以又称为线性目标函数。
满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域；其中使目标函数取得最大值的可行解（4，2）叫做最优解， （3）变式
若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利2万元，问如何安排生产才能获得最大利润
（4）例1、设2z x y =+，式中变量x 、y 满足下列条件43
35251x y x y x -≤-⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，求z 的最大值和最
小值
① %
② 指出线性约束条件和线性目标函数 ③ 画出可行域的图形
④ 平移直线2y x z =-+，在可行域内找到最优解
（5）提问：由此看出，你能找出最优解和可行域之间的关系吗 3、 课堂练习
课本第103页练习第1题 4、归纳总结
了解线性规划问题的有关概念，掌握线性规划问题的图解法，懂得寻求实际问题的最优解 &
（5）评价设计
1、课本第105页习题第1、2题
2、思考题：若将例1中的z 的目标函数改为2
2
y x z +=,求z 的最大值和最小值
）
简单的线性规划问题
第四课时
（1）教学目标
(a)知识和技能：能够运用线性规划的图解法解决一些生活中的简单最优问题
(b)过程与方法：将实际问题中错综复杂的条件列出目标函数和约束条件对学生而言是一个难点，若要突破这个难点，教师在讲授中要根据学生的认知情况，引导学生建立数学模型；同时，要给学生正确的示范，利用精确的图形并结合推理计算求解
)
(c)情感与价值：培养学生学数学、用数学的意识，并进一步提高解决问题的的能力
（2）教学重点、教学难点
教学重点：把实际问题转化成线性规划问题，即建立数学模型，并相应给出正确的解答
教学难点：建立数学模型，并利用图解法找最优解
（3）学法与教学用具
学生在建立数学模型中，应主要分清已知条件中，哪些属于约束条件，哪些与目标函数有关，列出正确的不等式组。
可采用分组讨论，各组竞争，自主总结，部分同学示范画图等方式，让学生更切身地在活动中探索出建模的一般规律，并在交流中找到自己的思维漏洞
直角板、投影仪
（4）教学设想
4、;
5、设置情境
前面我们已经学习了线性规划问题的有关概念和解法，现在让我们一起来复习一下
6、新课讲授
例1、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物,0.06kg的蛋白质,0.06kg的脂肪.1kg的食物A含有0.105kg的碳水化合物,0.07kg蛋白质,0.14kg脂肪,花费28元;而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物,0.14kg蛋白质,0.07kg脂肪,花费21元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时花费最低,需要同时食用食物A和食物B多少kg
/
分析:①先将数据整理列表, 请学生回答总成本与A、B食物的含量之间的关系，进一步确立变量和目标函数
②分析约束条件，请学生回答总成本与A、B食物的含量变化而变化，这两者的含量是否任意变化，受什么因素制约列出约束条件
③图解法求解
④老师引导，学生分组讨论后，交流心得，总结出解线性规划应用题的一般步骤
例2、在上一节例3中，若根据有关部门的规定，初中每人每年可收取1600元，高中每人每年可收取学费2700元。
那么开设初中班和高中班各多少个，每年收取的学费总额最多 解：设开设初中班x 个，高中班y 个，收取的学费总额为z 万元。
此时，目标函数为0.16450.2740,z x y =⨯+⨯画出可行域。
把7.210.8z x y =+变形
为25354y x z =-
+，得到斜率为23-，在y 轴上的截距为5
54
z ，随z 变化的一组平行直线。
由此观察出，当直线7.210.8z x y =+经过可行域上的点M 时，截距为5
54
z 最大，
即z 最大。
）
解方程组 30,
240x y x y +=⎧⎨
+=⎩
得M 的坐标为
max 20,10,
7.210.8252
x y z x y ===+=所以，
由此可知，开设20个初中班和10个高中班，收取的学费最多，为252万元。
例3、在上一节例4中，若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5000元。
那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润 解：设生产甲种肥料x 车皮、乙种肥料y 车皮，能够产生利润z 万元。
目标函数为0.5,z x y =+画出可行域。
把0.5z x y =+变形为22y x z =-+，得到斜率为2-，在y 轴上的截距为2z ，随z 变化的一组平行直线。
由此观察出，当直线22y x z =-+经过可行域上的点M 时，截距2z 为最大，即z 最大。
解方程组181566,
410
x y x y +=⎧⎨
+=⎩ 得M 的坐标为
max 2,2,
0.53
x y z x y ===+=所以，
%
由此可知，生产甲、乙两种肥料各2车皮，能够产生最大的利润，最大利润为3万元。
小结：这两道例题在前面的内容中已经研究过约束条件以及相应的图象，于是在复习原有知识的基础上再列出目标函数，利用直线平移法求出最大（最小）截距，进而求解 7、 课堂练习
课本第103页第2题 4、归纳总结
解线性规划应用题的一般步骤：设出所求的未知数；列出约束条件；建立目标函数；作出可行域；运用平移法求出最优解。
（5）评价设计
1、课本第105页第3、4题
2、某家具厂有方木材902m ,五合板6002
m ，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌需要方木材2m 、五合板22m ，生产每个书橱需要方木料2m 、五合板12
m ,出售一张书桌可获利润80元,出售一个书橱可获利润120元,如果只安排生产书桌,可获利润多少如果只安排生产书橱,可获利润多少怎样安排生产可使得利润最大 答:24000元,54000元,56000元。