回归直线方程的三种推导方法

i 1
i 1
i 1
i 1
i 1
合并同类项
n
yi
n
xi
n
n
n
na2 2na i1
n
b i1 n
b2
i 1
xi2
2b
i 1
xi yi
i 1
yi2
以 a，b 的次数为标准整理
nBaidu Nhomakorabea
n
n
na2 2na( y bx) b2 xi2 2b xi yi yi2
i 1
i 1
i 1
n
n
④
实际计算时，通常是分步计算：先求出
x，y
，再分别计算
( xi
i 1
x)( yi
y)
，
( xi
i 1
x)2
或
n
i 1
xi yi
nxy ，
n i 1
xi2
2
nx
的值，最后就可以计算出 a，b
的值．
推导方法二：
总结：这种方法难想到为什么要这样处理，并且计算量很大。还有不足之处是它与必修三给出的公式形 式上还是有所区别，还要对形式进行转化。 推导方法三：
公式（一） i1
i 1
，其中
n
n
∵ (xi x)2 (x1 x)2 (x2 x)2 (xn x)2
证明： i1
x12 x22
xn2
2nx
(x1
x2
n
xn
)
2
nx
(x12 x22
xn2 )
2
2nx
2
nx
(x12
x22
xn2 )
n
xi2
2
nx
i 1
n
∴
(xi x)2
n i1
( xi
x)( yi
n
(xi x)2
i 1
2
y)
n
( yi
i 1
y)2
配方法
在上式中，共有四项，后两项与 a，b 无关，为常数；前两项是两个非负数的和，因此要使得 Q 取 得最小值，当且仅当前两项的值都为 0．所以
因此，
n
xi yi nx y
b
i 1 n
xi2
2
nx
或
i 1
用公式（一）、（二）变形得
n
xi2
2
nx
)
2b(
n
xi yi nx y) (
n
yi2
2
ny )
i 1
i 1
i 1
整理
n
n
n
n[a ( y bx)]2 b2 (xi x)2 2b (xi x)( yi y) ( yi y)2
i 1
i 1
i 1
用公式（一）、（二）变形
(x1 y1 x2 y2 xn yn ) (x1 y y1 x x2 y y2 x xn y yn x) nx y
转化为平均数 x，y
n
n
n
n[a ( y bx)]2 n( y bx)2 b2 xi2 2b xi yi yi2
i 1
i 1
i 1
配方法
n[a
(y
bx)]2
2
ny
2nbx y
nb2
2
x
b2
n
xi2 2b
n
xi yi
n
yi2
i 1
i 1
i 1
展开
n[a ( y bx)]2 b2 (
直线的整体上的接近程度，因而采用 n 个偏差的平方和 Q 来表示 n 个点与相应直线（回归直线）在整体
上的接近程度，即
求出当 Q 取最小值时的 a，b 的值，就求出了回归方程．
下面给出回归方程的推导方法一： 一、先证明两个在变形中用到的公式
n
(xi x)2
n
xi2
2
nx
x x1 x2 xn
两边对 求导得
令 若两边对 求导得
得
（1）
令 将（1）式带入上式得
总结：这种方法应该比以上两种方法都简单，学生在学习过导数及其利用导数求极值之后，度这个方法 的推导能够理解。
上述推导过程是围绕着待定参数 a，b 进行的，只含有 xi，yi 的部分是常数或系数，用到的方法有：
在上式中，后面两项和 无关，前两项为非负数，因此，要使 Q 达到最小值，当且仅当前两项均为 0， 即有
① 配方法，有两次配方，分别是 a 的二次三项式和 b 的二次三项式；
② 形时，用到公式（一）、（二）和整体思想； ③ 用平方的非负性求最小值．
回归直线方程的三种推导方法
巴州二中母润萍
回归直线方程是新课改新增内容之一，在必修数学 3 中对两个具有线性相关关系的变量利用回归分
析的方法进行了研究，书中直接给出了回归直线方程系数的公式，在选修 2-3 中给出了回归直线方程的
截距和斜率的最小二乘法估计公式的另一种形式的推导方法，根据所学知识，我总结了 3 种推导回归直
n i 1
xi yi
n
(
x1
x2
n
xn ) y ( y1 y2 n
yn ) x nx y
n
n
n
n
xi yi 2nx y nx y xi yi nx y ∴ (xi x)( yi y) xi yi nx y
i 1
i 1
， i1
i 1
．
二、推导：将 Q 的表达式的各项先展开，再合并、变形
n
xi2
2
nx
i 1
i 1
．
n
n
(xi x)( yi y) xi yi nx y
公式（二） i1
i 1
n
∵ (xi x)( yi y) (x1 x)( y1 y) (x2 x)( y2 y) (xn x)( yn y)
证明： i1
n
xi yi [(x1 x2 xn ) y ( y1 y2 yn )x] nx y i 1
n
n
( xi
x)( yi
y)
n
n[a ( y bx)]2
i 1
(xi
x)2
b
i 1
n
(xi x)2
i 1
i 1
( yi
y)2
配方
注意到
n a ( y bx)2
n
( xi
i 1
x)2
b
n
(xi x)( yi
i 1
n
(x1 x)2
i 1
y)
2
线方程的方法： 设 x 与 y 是具有线性相关关系的两个变量，且相应于样本的一组观测值的 n 个点的坐标分别是：
(x1，y1)，(x2，y2 )，(x3，y3)， ，(xn，yn ) ，设所求的回归方程为 yi bxi a ， (i 1，2，3， ，n) ．显然，上面的 各个偏差的符号有正、有负，如果将他们相加会相互抵消一部分，因此他们的和不能代表 n 个点与回归
Q ( y1 bx1 a)2 ( y2 bx2 a)2 ( y3 bx3 a)2 ( yn bxn a)2
( y12 y22 yn2 ) [2 y1(bx1 a) 2 y2 (bx2 a)2 ]
展开
n
n
n
n
n
yi2 2b xi yi 2a yi b2 xi2 2ab xi na2