第五章习题课04160

b
a
f
( x)dx
lim
b a
f
( x)dx
b
b
f
( x)dx
lim
a a
f
( x)dx
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
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(2)无界函数的广义积分
b
b
a
f
( x)dx
lim
0 a
f
( x)dx
b
f ( x)dx lim
b
f ( x)dx
a
0 a
b
x轴与两条直线x a 、x b所围成.
n
A
lim
0 i1
f (i )xi
b
f ( x)dx
a
3
实例2 （求变速直线运动的路程）
设某物体作直线运动，已知速度v v(t )是时间 间隔[T1 ,T2 ]上t 的一个连续函数，且v(t ) 0 ，求
物体在这段时间内所经过的路程 S.
n
s
a
f
( x)dx
c
a
f
( x)dx
b
c
f
( x)dx
c
b
lim f ( x)dx lim f ( x)dx
0 a
0 c
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
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二、典型例题
例1 求 2 1 sin 2xdx. 0
解 原式 2 sin x cos x dx 0
一、主要内容
问题1:
曲边梯形的面积
问题2:
变速直线运动的路程
存在定理 定积分 广义积分
的定 性积 质分
牛顿-莱布尼茨公式
b
a f ( x)dx F (b) F (a)
计 算 法
定 积 分 的
2
1、问题的提出
实例1 （求曲边梯形的面积A）
曲边梯形由连续曲线 y f ( x)( f ( x) 0)、
lim
0
i 1
v(
i
)ti
T2 v(t)dt
T1
方法:分割、求和、取极限.
4
2、定积分的定义
定义 设函数 f ( x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意
若干若干个分点
a x x x x x b
0
1
2
n1
n
把区间[a, b]分成n 个小区间，
[ x0 , x1],[ x1, x2 ],[ xn1, xn ],
使 b a
f
(
x
)dx
f ( )(b a)
(a b)
积分中值公式
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5、牛顿—莱布尼茨公式
定理1 如果 f ( x)在[a, b]上连续，则积分上限的函数
( x)
x
a
f
(t )dt 在[a,b]上具有导数，且它的导数
是
( x)
dx
dx a
f (t)dt
f (x)
(a x b)
定理2（原函数存在定理）如 果 f ( x) 在[a, b] 上
定理2 设函数 f ( x) 在区间[a, b] 上有界，
且只有有限个间断点，则 f ( x) 在区间 [a, b]上可积.
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4、定积分的性质
性质1
b
b
b
a[ f ( x) g( x)]dx a f ( x)dx a g( x)dx
性质2
b
a kf
(
x)dx
k
b
a
f
(
x)dx
(k 为常数)
性质3 假设a c b
4 (cos x sin x)dx
0
2(sin x cos x)dx
4
2 2 2.
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例2 求 2
sin x
dx.
源自文库
0 sin x cos x
解 由I 2
sin x
dx, 设 J 2
cos x
dx,
0 sin x cos x
0 sin x cos x
则 I J
2
dx
连续，则积分上限的函数( x)
x
a
f
(t )dt
就是
f ( x)在[a, b]上的一个原函数.
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定理 3（微积分基本公式） 如果F ( x) 是连续函数 f ( x)在区间[a, b]上的一个原函数，则
b
a f ( x)dx F (b) F (a)
也可写成
b a
f
(
x)dx
[F
(
x )]ba
.
牛顿—莱布尼茨公式
表明: 一个连续函数在区间[a,b] 上的定积分等于 它的任一原函数在区间[a,b] 上的增量.
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6、定积分的计算法
（1）换元法
b
a f ( x)dx
f [ (t)] (t)dt
（2）分部积分法
换元公式
b udv
a
[uv]ba
b
vdu
a
分部积分公式
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７、广义积分
(1)无穷限的广义积分
,
0
2
I J
2
sin
x
cos
x
dx
2
d
(cos
x
sin
x)
0.
0 sin x cos x
0 sin x cos x
故得 2I , 即 I .
2
4
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例3 求 ln 2 1 e2xdx. 0
x 0 ln2
解 令 ex sin t,
则 x ln sin t, dx cos t dt. t 2 6
sin t
原式
6cos
2
t(
cos t sin t
)dt
2cos2 t
6
sin t
dt
2
dt
6
sin
t
2sin tdt ln(2
6
3) 3 . 2
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例4
求 I 4 ln sin 2xdx.
0
解 令 2x t,
各小区间的长度依次为 xi xi xi1，(i 1,2,)，
在各小区间上任取 一点i （i xi ），
5
n
作乘积 f (i )xi (i 1,2,) 并作和S f (i )xi ，
i 1
记 max{ x1 , x2 ,, xn }，如果不论对[a,b]
怎样的分法，也不论在小区间[ xi1 , xi ]上 点i 怎样
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx
8
性质4
b
a
1
dx
b
a
dx
ba
性质5 如果在区间[a, b]上 f ( x) 0，
则
b
a
f
(
x
)dx
0
(a b)
推论：（1） 如果在区间[a,b]上 f ( x) g( x) ，
则 b a
f
(
x
)dx
b
a g( x)dx
(a b)
（2）
b
b
a f ( x)dx a f ( x)dx
(a b)
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性质6 设M 及m 分别是函数 f ( x) 在区间[a,b]
上的最大值及最小值，
则
m(b
a)
b
a
f
(
x)dx
M
(b
a).
性质7 (定积分中值定理)
如果函数 f ( x)在闭区间[a,b]上连续，
则在积分区间[a,b]上至少存在一个点 ，
的取法，只要当 0时，和S 总趋于确定的极限I ，
我们称这个极限I 为函数 f ( x)在区间[a,b]上的定积分，
记为
b a
f
( x)dx
I
lim 0
n i 1
f (i )xi .
6
3、存在定理 可积的两个充分条件：
定理1 当函数 f ( x)在区间[a, b]上连续时，
称 f ( x)在区间[a,b]上可积.