2020年辽宁省鞍山市中考数学试卷

2020年辽宁省鞍山市中考数学试卷一、选择题（本题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）12020-的绝对值是( ) A ．2020- B ．12020-C ．12020D ．20202．（3分）如图，该几何体是由5个相同的小正方体搭成的，则这个几何体的主视图是()A ．B ．C ．D ．3．（3分）下列计算结果正确的是( ) A ．224a a a +=B ．325()a a =C ．22(1)1a a +=+D ．2a a a =4．（3分）我市某一周内每天的最高气温如下表所示： 最高气温(C)︒25 26 27 28 天数1123则这组数据的中位数和众数分别是( ) A ．26.5和28B ．27和28C ．1.5和3D ．2和35．（3分）如图，直线12//l l ，点A 在直线1l 上，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线1l ，2l 于B ，C 两点，连接AC ，BC ，若54ABC ∠=︒，则1∠的度数为( )A ．36︒B ．54︒C ．72︒D ．73︒6．（3分）甲、乙两人加工某种机器零件，已知每小时甲比乙少加工6个这种零件，甲加工240个这种零件所用的时间与乙加工300个这种零件所用的时间相等，设甲每小时加工x 个零件，所列方程正确的是( ) A ．2403006x x =- B ．2403006x x =+ C ．2403006x x=- D ．2403006x x=+ 7．（3分）如图，O 是ABC ∆的外接圆，半径为2cm ，若2BC cm =，则A ∠的度数为()A ．30︒B ．25︒C ．15︒D ．10︒8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点1A ，2A ，3A ，4A ，⋯在x 轴正半轴上，点1B ，2B ，3B ，⋯在直线3(0)y x x =上，若1(1,0)A ，且△112A B A ，△223A B A ，△334A B A ，⋯均为等边三角形，则线段20192020B B 的长度为( )A ．23B ．23C ．23D ．23二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）9．（3分）据《光明日报》报道：截至2020年5月31日，全国参与新冠肺炎疫情防控的志愿者约为8810000，将数据8810000科学记数法表示为 ． 10．（3分）分解因式：3222a a b ab -+= ．11．（3分）在一个不透明的袋子中装有6个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀后随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复这一过程，共摸球100次，发现有20次摸到红球，估计袋子中白球的个数约为 ．12．（3分）如果关于x 的一元二次方程230x x k -+=有两个相等的实数根，那么实数k 的值是 ．13．（3分）不等式组21321x x -⎧⎨-<⎩的解集为 ．14．（3分）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是CD 的中点，AE ，BC 的延长线交于点F ．若ECF ∆的面积为1，则四边形ABCE 的面积为 ．15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知(3,6)A ，(2,2)B -，在x 轴上取两点C ，D （点C 在点D 左侧），且始终保持1CD =，线段CD 在x 轴上平移，当AD BC +的值最小时，点C 的坐标为 ．16．（3分）如图，在菱形ABCD 中，60ADC ∠=︒，点E ，F 分别在AD ，CD 上，且AE DF =，AF 与CE 相交于点G ，BG 与AC 相交于点H ．下列结论：①ACF CDE ∆≅∆；②2CG GH BG =；③若2DF CF =，则7CE GF =；④23ABCG S =四边形．其中正确的结论有 ．（只填序号即可）三、解答题（每小题8分，共16分）17．（8分）先化简，再求值：2344(1)11x x x x x ++--÷++，其中22x =-． 18．（8分）如图，在四边形ABCD 中，90B D ∠=∠=︒，点E ，F 分别在AB ，AD 上，AE AF =，CE CF =，求证：CB CD =．四、解答题（每小题10分，共20分）19．（10分）为了解某校学生的睡眠情况，该校数学小组随机调查了部分学生一周的平均每天睡眠时间，设每名学生的平均每天睡眠时间为x 时，共分为四组：A ．67x <，B ．78x <，C ．89x <，D ．910x ，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：注：学生的平均每天睡眠时间不低于6时且不高于10时．请回答下列问题：（1）本次共调查了 名学生； （2）请补全频数分布直方图；（3）求扇形统计图中C 组所对应的圆心角度数；（4）若该校有1500名学生，根据抽样调查结果，请估计该校有多少名学生平均每天睡眠时间低于7时．20．（10分）甲、乙两人去超市选购奶制品，有两个品牌的奶制品可供选购，其中蒙牛品牌有两个种类的奶制品：A ．纯牛奶，B ．核桃奶；伊利品牌有三个种类的奶制品：C ．纯牛奶，D ．酸奶，E ．核桃奶．（1）甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是 ；（2）若甲喜爱蒙牛品牌的奶制品，乙喜爱伊利品牌的奶制品，甲、乙两人从各自喜爱的品牌中随机选购一种奶制品，请利用画树状图或列表的方法求出两人选购到同一种类奶制品的概率．五、解答题（每小题10分，共20分）21．（10分）图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，MN 为立柱的一部分，灯臂AC ，支架BC 与立柱MN 分别交于A ，B 两点，灯臂AC 与支架BC 交于点C ，已知60MAC ∠=︒，15ACB ∠=︒，40AC cm =，求支架BC 的长．（结果精确到1cm ，参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈，6 2.449)≈22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数1y x =+的图象与x 轴，y 轴的交点分别为点A ，点B ，与反比例函数(0)ky k x=≠的图象交于C ，D 两点，CE x ⊥轴于点E ，连接DE ，32AC = （1）求反比例函数的解析式； （2）求CDE ∆的面积．六、解答题（每小题10分，共20分）23．（10分）如图，AB 是O 的直径，点C ，点D 在O 上，AC CD =，AD 与BC 相交于点E ，AF 与O 相切于点A ，与BC 延长线相交于点F ． （1）求证：AE AF =． （2）若12EF =，3sin 5ABF ∠=，求O 的半径．24．（10分）某工艺品厂设计了一款每件成本为11元的工艺品投放市场进行试销，经过市场调查，得出每天销售量y （件)是每件售价x （元)(x 为正整数）的一次函数，其部分对应数据如下表所示： 每件售价x （元) ⋯15 16 17 18⋯每天销售量y （件)⋯150 140 130 120⋯（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）若用w （元)表示工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润，试求w 关于x 的函数解析式；（3）该工艺品每件售价为多少元时，工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是多少元？七、解答题（满分12分）25．（12分）在矩形ABCD 中，点E 是射线BC 上一动点，连接AE ，过点B 作BF AE ⊥于点G ，交直线CD 于点F ．（1）当矩形ABCD 是正方形时，以点F 为直角顶点在正方形ABCD 的外部作等腰直角三角形CFH ，连接EH ．①如图1，若点E 在线段BC 上，则线段AE 与EH 之间的数量关系是 ，位置关系是 ； ②如图2，若点E 在线段BC 的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；（2）如图3，若点E 在线段BC 上，以BE 和BF 为邻边作平行四边形BEHF ，M 是BH 中点，连接GM ，3AB =，2BC =，求GM 的最小值． 八、解答题（满分14分）26．（14分）在平面直角坐标系中，抛物线22(0)y ax bx a =++≠经过点(2,4)A --和点(2,0)C ，与y 轴交于点D ，与x 轴的另一交点为点B ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接BD ，在抛物线上是否存在点P ，使得2PBC BDO ∠=∠？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，连接AC ，交y 轴于点E ，点M 是线段AD 上的动点（不与点A ，点D 重合），将CME ∆沿ME 所在直线翻折，得到FME ∆，当FME ∆与AME ∆重叠部分的面积是AMC ∆面积的14时，请直接写出线段AM 的长．2020年辽宁省鞍山市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）12020-的绝对值是( ) A ．2020- B ．12020-C ．12020D ．2020【解答】解：11||20202020-=． 故选：C ．2．（3分）如图，该几何体是由5个相同的小正方体搭成的，则这个几何体的主视图是()A ．B ．C ．D ．【解答】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层左边是一个小正方形． 故选：A ．3．（3分）下列计算结果正确的是( ) A ．224a a a +=B ．325()a a =C ．22(1)1a a +=+D ．2a a a =【解答】解：A 、原式22a =，不符合题意；B 、原式6a =，不符合题意；C 、原式221a a =++，不符合题意；D 、原式2a =，符合题意．故选：D ．4．（3分）我市某一周内每天的最高气温如下表所示： 最高气温(C)︒25 26 27 28 天数1123则这组数据的中位数和众数分别是( ) A ．26.5和28B ．27和28C ．1.5和3D ．2和3【解答】解：共7天，中位数应该是排序后的第4天， 则中位数为：27，28C ︒的有3天，最多，所以众数为：28． 故选：B ．5．（3分）如图，直线12//l l ，点A 在直线1l 上，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线1l ，2l 于B ，C 两点，连接AC ，BC ，若54ABC ∠=︒，则1∠的度数为( )A ．36︒B ．54︒C ．72︒D ．73︒【解答】解：12//l l ，54ABC ∠=︒， 254ABC ∴∠=∠=︒，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线1l 、2l 于B 、C 两点， AC AB ∴=，54ACB ABC ∴∠=∠=︒， 12180ACB ∠+∠+∠=︒， 172∴∠=︒．故选：C ．6．（3分）甲、乙两人加工某种机器零件，已知每小时甲比乙少加工6个这种零件，甲加工240个这种零件所用的时间与乙加工300个这种零件所用的时间相等，设甲每小时加工x 个零件，所列方程正确的是( ) A ．2403006x x =- B ．2403006x x =+ C ．2403006x x=- D ．2403006x x=+ 【解答】解：设甲每小时加工x 个零件，根据题意可得： 2403006x x =+． 故选：B ．7．（3分）如图，O 是ABC ∆的外接圆，半径为2cm ，若2BC cm =，则A ∠的度数为()A ．30︒B ．25︒C ．15︒D ．10︒【解答】解：连接OB 和OC ， 圆O 半径为2，2BC =， OB OC BC ∴==， OBC ∴∆为等边三角形， 60BOC ∴∠=︒，1302A BOC ∴∠=∠=︒，故选：A ．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点1A ，2A ，3A ，4A ，⋯在x 轴正半轴上，点1B ，2B ，3B ，⋯在直线3(0)y x x =上，若1(1,0)A ，且△112A B A ，△223A B A ，△334A B A ，⋯均为等边三角形，则线段20192020B B 的长度为( )A ．23B ．23C ．23D ．23【解答】解：设△1n n n B A A +的边长为n a ， 点1B ，2B ，3B ，⋯是直线3y =上的第一象限内的点， 30n n A OB ∴∠=︒，又△1n n n B A A +为等边三角形， 160n n n B A A +∴∠=︒，30n n OB A ∴∠=︒，190n n OB A +∠=︒， 13n n n n B B OB a +∴==，点1A 的坐标为(1,0)，11a ∴=，2112a =+=，31214a a a =++=，412318a a a a =+++=，⋯，12n n a -∴=．201820192020201922B B ∴===故选：D ．二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）9．（3分）据《光明日报》报道：截至2020年5月31日，全国参与新冠肺炎疫情防控的志愿者约为8810000，将数据8810000科学记数法表示为 68.8110⨯ ． 【解答】解：688100008.8110=⨯， 故答案为：68.8110⨯．10．（3分）分解因式：3222a a b ab -+= 2()a a b - ． 【解答】解：3222a a b ab -+，22(2)a a ab b =-+， 2()a a b =-．11．（3分）在一个不透明的袋子中装有6个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀后随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复这一过程，共摸球100次，发现有20次摸到红球，估计袋子中白球的个数约为 24个 ． 【解答】解：设白球有x 个， 根据题意得：60.26x =+， 解得：24x =，经检验：24x =是分式方程的解， 即白球有24个， 故答案为24个．12．（3分）如果关于x 的一元二次方程230x x k -+=有两个相等的实数根，那么实数k 的值是94． 【解答】解：根据题意得△2(3)40k =--=， 解得94k =． 故答案为94．13．（3分）不等式组21321x x -⎧⎨-<⎩的解集为 12x < ．【解答】解：解不等式213x -，得：2x ， 解不等式21x -<，得：1x >， 则不等式组的解集为12x <， 故答案为：12x <．14．（3分）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是CD 的中点，AE ，BC 的延长线交于点F ．若ECF ∆的面积为1，则四边形ABCE 的面积为 3 ．【解答】解：在ABCD 中，//AB CD ，点E 是CD 中点， EC ∴是ABF ∆的中位线；B DCF ∠=∠，F F ∠=∠（公共角）， ABF ECF ∴∆∆∽，12EC EF CF AB AF BF ===， :1:4ABF CEF S S ∆∆∴=；又ECF ∆的面积为1， 4ABF S ∆∴=，3ABF CEF ABCE S S S ∆∆∴=-=四边形． 故答案为：3．15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知(3,6)A ，(2,2)B -，在x 轴上取两点C ，D （点C 在点D 左侧），且始终保持1CD =，线段CD 在x 轴上平移，当AD BC +的值最小时，点C 的坐标为 (1,0)- ．【解答】解：把(3,6)A 向左平移1得(2,6)A '，作点B 关于x 轴的对称点B '，连接B A ''交x 轴于C ，在x 轴上取点D （点C 在点D 左侧），使1CD =，连接AD ， 则AD BC +的值最小，(2,2)B -， (2,2)B ∴'--，设直线B A ''的解析式为y kx b =+， ∴2226k b k b -+=-⎧⎨+=⎩，解得：22k b =⎧⎨=⎩，∴直线B A ''的解析式为22y x =+，当0y =时，1x =-，(1,0)C ∴-，故答案为：(1,0)-．16．（3分）如图，在菱形ABCD 中，60ADC ∠=︒，点E ，F 分别在AD ，CD 上，且AE DF =，AF 与CE 相交于点G ，BG 与AC 相交于点H ．下列结论：①ACF CDE ∆≅∆；②2CG GH BG =；③若2DF CF =，则7CE GF =；④23ABCG S BG =四边形．其中正确的结论有 ①③④ ．（只填序号即可）【解答】解：ABCD 为菱形，AD CD ∴=，AE DF =，DE CF ∴=， 60ADC ∠=︒， ACD ∴∆为等边三角形，60D ACD ∴∠=∠=︒，AC CD =，()ACF CDE SAS ∴∆≅∆，故①正确；过点F 作//FP AD ，交CE 于P 点． 2DF CF =，::1:3FP DE CF CD ∴==， DE CF =，AD CD =，2AE DE ∴=，:1:6:FP AE FG AG ∴==， 6AG FG ∴=，7CE AF GF ∴==，故③正确；过点B 作BM AG ⊥于M ，BN GC ⊥于N ，60AGE ACG CAF ACG GCF ABC ∠=∠+∠=∠+∠=︒=∠，即180AGC ABC ∠+∠=︒， ∴点A 、B 、C 、G 四点共圆，60AGB ACB ∴∠=∠=︒，60CGB CAB ∠=∠=︒， 60AGB CGB ∴∠=∠=︒， BM BN ∴=，又AB BC =，()ABM CBN HL ∴∆≅∆，ABCG BMGN S S ∴=四边形四边形， 60BGM ∠=︒，12GM BG ∴=，3BM BG =， 233112222BMG BMGN S S BG BG BG ∆∴==⨯⨯⨯=四边形，故④正确；60CGB ACB ∠=∠=︒，CBG HBC ∠=∠， BCH BGC ∴∆∆∽， ∴BC BH CHBG BC CG==， 则2BG BH BC =， 则2()BG BG GH BC -=， 则22BG BG GH BC -=， 则22GH BG BG BC =-，当90BCG ∠=︒时，222BG BC CG -=，此时2GH BG CG =， 而题中BCG ∠未必等于90︒，故②不成立， 故正确的结论有①③④， 故答案为：①③④．三、解答题（每小题8分，共16分）17．（8分）先化简，再求值：2344(1)11x x x x x ++--÷++，其中22x ． 【解答】解：2344(1)11x x x x x ++--÷++， 2131()11(2)x x x x -+=-++，221311(2)x x x x --+=++，22x x -=+，当22x =-时，原式222242421222222----====--+． 18．（8分）如图，在四边形ABCD 中，90B D ∠=∠=︒，点E ，F 分别在AB ，AD 上，AE AF =，CE CF =，求证：CB CD =．【解答】证明：连接AC ，在AEC ∆与AFC ∆中 AC AC CE CF AE AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ()AEC AFC SSS ∴∆≅∆，CAE CAF ∴∠=∠， 90B D ∠=∠=︒， CB CD ∴=．四、解答题（每小题10分，共20分）19．（10分）为了解某校学生的睡眠情况，该校数学小组随机调查了部分学生一周的平均每天睡眠时间，设每名学生的平均每天睡眠时间为x 时，共分为四组：A ．67x <，B ．78x <，C ．89x <，D ．910x ，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：注：学生的平均每天睡眠时间不低于6时且不高于10时．请回答下列问题：（1）本次共调查了50名学生；（2）请补全频数分布直方图；（3）求扇形统计图中C组所对应的圆心角度数；（4）若该校有1500名学生，根据抽样调查结果，请估计该校有多少名学生平均每天睡眠时间低于7时．【解答】解：（1）本次共调查了1734%50÷=名学生，故答案为：50；（2）C组学生有505181710---=（名)，补全的频数分布直方图如右图所示；（3）扇形统计图中C组所对应的圆心角度数是：103607250︒⨯=︒，即扇形统计图中C组所对应的圆心角度数是72︒；（4）5150015050⨯=（名)，答：该校有150名学生平均每天睡眠时间低于7时．20．（10分）甲、乙两人去超市选购奶制品，有两个品牌的奶制品可供选购，其中蒙牛品牌有两个种类的奶制品：A．纯牛奶，B．核桃奶；伊利品牌有三个种类的奶制品：C．纯牛奶，D．酸奶，E．核桃奶．（1）甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是25；（2）若甲喜爱蒙牛品牌的奶制品，乙喜爱伊利品牌的奶制品，甲、乙两人从各自喜爱的品牌中随机选购一种奶制品，请利用画树状图或列表的方法求出两人选购到同一种类奶制品的概率．【解答】解：（1）蒙牛品牌有两个种类的奶制品：A．纯牛奶，B．核桃奶；伊利品牌有三个种类的奶制品：C．纯牛奶，D．酸奶，E．核桃奶，∴甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是：25；故答案为：25；（2）根据题意画树状图如下：共有6种等可能的情况数，其中两人选购到同一种类奶制品的有2种，则两人选购到同一种类奶制品的概率是21 63 =．五、解答题（每小题10分，共20分）21．（10分）图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，MN为立柱的一部分，灯臂AC，支架BC与立柱MN分别交于A，B两点，灯臂AC与支架BC交于点C，已知60MAC∠=︒，15ACB∠=︒，40AC cm=，求支架BC的长．（结果精确到1cm，参考数2 1.414≈3 1.732≈6 2.449)【解答】解：如图2，过C 作CD MN ⊥于D ，则90CDB ∠=︒，60CAD ∠=︒，40()AC cm =， 3sin 40sin 6040203()CD AC CAD cm ∴=∠=⨯︒=⨯=， 15ACB ∠=︒，45CBD CAD ACB ∴∠=∠-∠=︒，220649()BC CD cm ∴==≈， 答：支架BC 的长约为49cm ．22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数1y x =+的图象与x 轴，y 轴的交点分别为点A ，点B ，与反比例函数(0)k y k x=≠的图象交于C ，D 两点，CE x ⊥轴于点E ，连接DE ，32AC =（1）求反比例函数的解析式；（2）求CDE ∆的面积．【解答】解：（1）一次函数1y x =+与x 轴和y 轴分别交于点A 和点B ，45CAE ∴∠=︒，即CAE ∆为等腰直角三角形，AE CE ∴=， 32AC =，即222(32)AE CE +=，解得：3AE CE ==，在1y x =+中，令0y =，则1x =-，(1,0)A ∴-，2OE ∴=，3CE =，(2,3)C ∴，236k ∴=⨯=，∴反比例函数表达式为：6y x=， （2）联立：16y x y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩， 解得：2x =或3-，当3x =-时，2y =-，∴点D 的坐标为(3,2)--，1153[2(3)]22CDE S ∆∴=⨯⨯--=． 六、解答题（每小题10分，共20分）23．（10分）如图，AB 是O 的直径，点C ，点D 在O 上，AC CD =，AD 与BC 相交于点E ，AF 与O 相切于点A ，与BC 延长线相交于点F ．（1）求证：AE AF =．（2）若12EF =，3sin 5ABF ∠=，求O 的半径．【解答】（1）证明：AF 与O 相切于点A ，FA AB ∴⊥，90FAB ∴∠=︒， 90F B ∴∠+∠=︒，AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒，90CAE CEA ∴∠+∠=︒，AC CD =，CAE D ∴∠=∠，90D CEA ∴∠+∠=︒，D B ∠=∠，90B CEA ∴∠+∠=︒，F CEA ∴∠=∠，AE AF ∴=．（2）解：AE AF =，90ACB ∠=︒， 162CF CE EF ∴===， ABF D CAE ∠=∠=∠，3sin sin 5ABF CAE ∴∠=∠=， ∴635CE AE AE ==， 10AE ∴=，22221068AC AE CE ∴=--=，83sin 5AC ABC AB AB ∠===， 403AB ∴=， 12023OA AB ∴==． 即O 的半径为203． 24．（10分）某工艺品厂设计了一款每件成本为11元的工艺品投放市场进行试销，经过市场调查，得出每天销售量y （件)是每件售价x （元)(x 为正整数）的一次函数，其部分对应数据如下表所示：（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）若用w （元)表示工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润，试求w 关于x 的函数解析式；（3）该工艺品每件售价为多少元时，工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是多少元？【解答】解：（1）设y kx b =+，由表可知：当15x =时，150y =，当16x =时，140y =，则1501514016k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：10300k b =-⎧⎨=⎩， y ∴关于x 的函数解析式为：10300y x =-+；（2）由题意可得：2(10300)(11)104103300w x x x x =-+-=-+-，w ∴关于x 的函数解析式为：2104103300w x x =-+-；（3）对称轴41020.52(10)x ==-⨯-，100a =-<，x 是整数， 20x ∴=或21时，w 有最大值，当20x =或21时，代入，可得：900w =，∴该工艺品每件售价为20元或21元时，工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是900元．七、解答题（满分12分）25．（12分）在矩形ABCD中，点E是射线BC上一动点，连接AE，过点B作BF AE⊥于点G，交直线CD于点F．（1）当矩形ABCD是正方形时，以点F为直角顶点在正方形ABCD的外部作等腰直角三角形CFH，连接EH．①如图1，若点E在线段BC上，则线段AE与EH之间的数量关系是相等，位置关系是；②如图2，若点E在线段BC的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；（2）如图3，若点E在线段BC上，以BE和BF为邻边作平行四边形BEHF，M是BH中点，连接GM，3BC=，求GM的最小值．AB=，2【解答】解：（1）①四边形ABCD为正方形，BAE AEB∠=∠=︒，即90∠+∠=︒，AB BCABC BCD∴=，90⊥，AE BF90∴∠+∠=︒，CBF AEB∠=∠=︒，ABE BCF=，90CBF BAE∴∠=∠，又AB BC∴∆≅∆，()ABE BCF ASA=，BE CF∴=，AE BF∆为等腰直角三角形，FCH⊥，⊥，而CD BC∴==，FH FCFC FH BE∴，//FH BC∴四边形BEHF为平行四边形，//BF EH ∴且BF EH =，AE EH ∴=，AE EH ⊥，故答案为：相等；垂直；②成立，理由是：当点E 在线段BC 的延长线上时，同理可得：()ABE BCF ASA ∆≅∆，BE CF ∴=，AE BF =，FCH ∆为等腰直角三角形，FC FH BE ∴==，FH FC ⊥，而CD BC ⊥，//FH BC ∴，∴四边形BEHF 为平行四边形，//BF EH ∴且BF EH =，AE EH ∴=，AE EH ⊥；（2）90EGF BCD ∠=∠=︒，C ∴、E 、G 、F 四点共圆，四边形BEHF 是平行四边形，M 为BH 中点，M ∴也是EF 中点，M ∴是四边形GECF 外接圆圆心，则GM 的最小值为圆M 半径的最小值，3AB =，2BC =，设BE x =，则2CE x =-，同（1）可得：CBF BAE ∠=∠，又90ABE BCF ∠=∠=︒，ABE BCF ∴∆∆∽， ∴AB BE BC CF =，即32x CF=， 23x CF ∴=，EF ∴==设213449y x x =-+，当1813x =时，y 取最小值1613， EF ∴的最小值为413， 故GM 的最小值为213．八、解答题（满分14分）26．（14分）在平面直角坐标系中，抛物线22(0)y ax bx a =++≠经过点(2,4)A --和点(2,0)C ，与y 轴交于点D ，与x 轴的另一交点为点B ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接BD ，在抛物线上是否存在点P ，使得2PBC BDO ∠=∠？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，连接AC ，交y 轴于点E ，点M 是线段AD 上的动点（不与点A ，点D 重合），将CME ∆沿ME 所在直线翻折，得到FME ∆，当FME ∆与AME ∆重叠部分的面积是AMC ∆面积的14时，请直接写出线段AM 的长．【解答】解：（1）抛物线22y ax bx =++经过点(2,4)A --和点(2,0)C ， 则44220422a b a b -=-+⎧⎨=++⎩，解得：11a b =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为22y x x =-++；（2）存在，理由是：在x 轴正半轴上取点E ，使OB OE =，过点E 作EF BD ⊥，垂足为F ， 在22y x x =-++中，令0y =，解得：2x =或1-，∴点B 坐标为(1,0)-，∴点E 坐标为(1,0)，可知：点B 和点E 关于y 轴对称，BDO EDO ∴∠=∠，即2BDE BDO ∠=∠，(0,2)D ，DE BD ∴===，在BDE ∆中，1122BE OD BD EF ⨯⨯=⨯⨯，即22EF ⨯，解得：EFDF ∴=，4tan 3EF BDE DF ∴∠===， 若2PBC BDO ∠=∠，则PBC BDE ∠=∠，BD DE =2BE =，则222BD DE BE +>，BDE ∴∠为锐角，当点P 在第三象限时，PBC ∠为钝角，不符合；当点P 在x 轴上方时，PBC BDE ∠=∠，设点P 坐标为2(,2)c c c -++，过点P 作x 轴的垂线，垂足为G ， 则1BG c =+，22PG c c =-++，224tan 13PG c c PBC BG c -++∴∠===+， 解得：23c =， 22029c c ∴-++=， ∴点P 的坐标为2(3，20)9；当点P 在第四象限时，同理可得：22PG c c =--，1BG c =+，224tan 13PG c c PBC BG c --∠===+， 解得：103c =， ∴25229c c -++=-， ∴点P 的坐标为10(3，52)9-， 综上：点P 的坐标为2(3，20)9或10(3，52)9-；（3）设EF 与AD 交于点N ， (2,4)A --，(0,2)D ，设直线AD 表达式为y mx n =+， 则422m n n -=-+⎧⎨=⎩，解得：32m n =⎧⎨=⎩， ∴直线AD 表达式为32y x =+， 设点M 的坐标为(,32)s s +， (2,4)A --，(2,0)C ，设直线AC 表达式为11y m x n =+， 则11114202m n m n -=-+⎧⎨=+⎩，解得：1112m n =⎧⎨=-⎩， ∴直线AC 表达式为2y x =-， 令0x =，则2y =-， ∴点E 坐标为(0,2)-， 可得：点E 是线段AC 中点， AME ∴∆和CME ∆的面积相等， 由于折叠，CME FME ∴∆≅∆，即CME FME S S ∆∆=， 由题意可得：当点F 在直线AC 上方时，第1页（共1页） 111422MNE AMC AME FME S S S S∆∆∆∆∴===， 即MNE ANE MNF S S S ∆∆∆==，MN AN ∴=，FN NE =，∴四边形FMEA 为平行四边形，2211442222CM FM AE AC ∴====⨯+=， (,32)M s s +，∴22(2)(32)22s s -++=，解得：45s =-或0（舍)， 4(5M ∴-，2)5-， 2242610(2)(4)55AM ∴=-++-+=，当点F 在直线AC 下方时，如图，同理可得：四边形AFEM 为平行四边形， AM EF ∴=，由于折叠可得：CE EF =，22AM EF CE ∴===综上：AM 61022第1页（共1页）。