第12章2自感和互感 磁场能量解析

4
3.自感电动势
d 由法拉第电磁感应定律 可知： dt d dI 负号表明自感电动势的方向总是 自感电动势： L L dt dt 要阻碍回路本身电流的变化。
注意: L与i 符合右手螺旋关系 , 即i与 i 方向一致
dI 由 L L dt 数
知，要求自感电动势，应先求自感系
0
LIdI RI dt
2 0
t
t 1 2 LI 0 RI 2dt 0 2
19
t 1 2 2 0 Idt 2 LI 0 0 RI dt t
Idt :
0
t
电源所做的功
消耗在电阻上的焦耳热

t
0
RI dt :
2
1 2 电源反抗自感电动势作的功,转化为磁场的 LI 0 : 能量. 2 1 2 磁场的能量： Wm LI 2
d12 dI 2 dI 2 12 M M 12 dt dt dt
互感系数的计算：
①假设线圈中的电流 I ； ②求另一个线圈中的磁通量m （或 磁链）；
③由定义求出互感系数 M。
10
例1、长为 l、横截面积为 S 的长直螺线管，插有磁导 率为 的磁介质，绕两个线圈，两线圈的线圈密度分 别为 n1 、n2，两线圈完全耦合，求两线圈的互感系数。 解：设线圈 1 中的电流为 I1， l 线圈 1 在线圈 2 中产生的磁链：
2
2 2 2 L1 L 2 2 n12 n 2 lS L1 L 2 n1n 2lS M 证毕。
2 线圈 2 的自感系数为： L 2 n 2 lS
对于两线圈不完全耦合时
M k L1 L 2 其中 k 为耦合系数,（0Biblioteka Baiduk≤1）
13
例3 、在长直导线旁距 a 放置一长为 l、宽为 b 的矩 形导线框，求两导体的互感系数。 解：设直导线中通有电流 I ， 载流直导线在矩形线圈内产生的 I 磁通量为： a b m B dS Bl dx x
2 1 B2 B lS V体 2 2
B2 Wm V体 2
由B
l n I
S
H 上式还可以写成：
1 1 2 Wm H V体 BHV 体 2 2
磁场的能量只与磁场和磁场分布的空间有关。
22
例1.矩形截面的细螺绕环，绕有N＝2000匝的线圈，通以 I＝2.5A 的电流，测得通过环截面的磁通m＝0.5mWb，求环中储存的磁场 能量。 解法1：
例4、一长直螺线管,单位长度上的匝数为n，有一半径为r 的圆环放在螺线管内，环平面与管轴垂直，求螺线管与圆 环的互感系数。 解：设螺线管中通有电流I，则管内的磁感应强度 B=μ0nI 通过圆环的磁链为=Φm=Bπr2=μ0nIπr2 由定义得互感系数为 l
M r 2 0 n I
S
b m 注1：由以上结果可求出 L L 2W ln 2 I 2
25
a
注2 ： 也可以先求出 L ，再求 Wm
m
b a
I I b ldr ln 2r 2r a
I 2 b 1 2 Wm LI ln 2 4 a
说明：
L ln b 2 a
① 回路在通电时，电源克服线圈上的自感电动势作功， 继而转换成磁能储存在线圈中。
L L1 L2 2M
B1 B2 L1 M
L2
I
17
第四节 磁场能量
18
一、自感磁能
R dI 自感电动势： L L dt I dI S 回路方程： L RI dt 两边乘以Idt Idt LIdI RI 2dt
L
Idt
0
t
I0
23
解法3：设截面高h，则通过截面的磁通量
I
r
0 N I B dl B 2 r 0 N I B 2 r (l ) r1 m B dS Bhdr
(S )

r2
dr
r
0 N I h r1 dr 0 N I h r1 ln 2 r2 2 r2 r
2r
2 I 1 磁场能量密度为 wm H 2 2 2 2 8 r
a
选单位长度的体积元 dV 2rdr
b
dWm wmdV
b
Wm wmdV
a
b
2 b I dr I2 I 2 b ln Wm 2rdr 2 2 a 4 r a 8 r 4 a
20
二、磁场的能量
由于载流线圈中具有磁场，所以线圈的能量也可以 说是磁场的能量。
l
以载流长直螺线管为例： 长直螺线管内磁感应强度为：
S I
n
B nI
B 则 I n
长直螺线管的自感系数为： L n 2lS
21
磁场能量为：
2 1 2 1 B 2 Wm LI n lS 2 2 2 2 n
② 建立电流的过程，是建立磁场的过程，也是储存磁 能的过程。 ③ 回路在断电时，自感电动势作功，消耗储存在线圈 中的磁能。
26
例3.计算半径为 R、长为 l、通有电流 I 、磁导率为 的均匀载流圆柱导体内磁场能量。 解：由介质中安培环路定理确定导体内的磁感应强度 B
导体内沿磁力线作半径为 r 的环路， I
自感系数的计算：
①假设线圈中的电流 I ； ②求线圈中的磁通量 m （或 磁链）；
③由定义求出自感系数 L。 对于上述的由一个线圈构成的电子元件称为电感。
5
例1一长直螺线管，线圈密度为 n，长度为 l，横截面 积为 S，插有磁导率为 的磁介质，求线圈的自感 系数 L 。 l 解： 设线圈中通有电流 I ， 线圈中的磁通量为：
1 1 2 1 Wm LI I N m I 1.25 2 2 2
解法2：设细螺绕环的截面积为S，螺管长为l
J
1 1 2 1 2 Bl Wm BV B lS 2 2 2
N B nI I l
Bl NI
1 代入上式 Wm m NI 1.25 J 2
第三节 自感和互感
1
一、自感 自感系数
1.自感现象
当线圈中电流变化时，它所 激发的磁场通过线圈自身的磁通 量也在变化，使线圈自身产生感 应电动势的现象叫自感现象。该 电动势称为自感电动势。 演示实验： 在实验中，两并联支路中的电阻与电感 的纯电阻相同，当电键 K闭合时，灯泡 1 立刻点亮， 而灯泡 2 为渐亮过程。 这是由于电键 K 闭合瞬间，电路中电流发生变 化，在线圈 L 中产生自感电动势，阻止支路中的电流 2 变化，电流是渐变的。
l 考虑 l长电缆通过面元 ldr 的磁通量为 I I 0 I d m B dr l l dr 2r R2 I 0 Il R2 0 m ldr ln 该面积的磁通链 R1 2r 2 R1 m 0 R2 电缆单位长度的自感: L l I 2 ln R 1
8
m 21由“1”产生穿过“2”的磁通； 线圈2所激发的磁场通过线圈1的磁通链数为 12 12 N1 m12 , m12由“2”产生穿过“1”的磁通；
21 N2m21 ,
21 I1 , 12 I 2
写成等式：21
M 21 I1 , 12 M12 I 2
21 N2m21 ln 2 B1S
ln 2 n1 I 1S
S
n
1
n2
线圈 1 在线圈 2 中产生的互感系数：
M 21
21 n1n 2lS I1
11
设线圈 2 中的电流为 I2， 线圈 2 在线圈 1 中产生的磁链：
12 N1m12 ln 1 B 2 S ln 1 n 2 I 2 S
L总 L1 L2 2M
由一对互感线圈构成的 元件常称为变压器。
16
I
解：1）顺串：
假设线圈通电I 则通过两线圈的磁通链分别为： 11
21
22
12
11 21 22 12
L1I1 MI1 L2 I 2 MI 2 L1 L 2 2 M I
a b
l x


a
0 Il a b 0 I ln ldx 2 a 2 x
a
o
a
b I
21 m 0 lI a b M 21 ln I I1 2I a 0 l a b ln 2 a 14
互感系数：
考虑：当导线放 在矩形导线框中 部，互感系数为 多大？
2.自感系数 L
由毕－萨定理知： BI 又由磁通量的定义知 B
写成等式：
,
I
LI
L称为自感系数简称自感。 单位：“亨利”（H）
1 H 1 Wb A
3
1
6
1H 10 mH 10 μH
自感系数 L 取决于回路线圈自身的性质（回路大 小、形状、周围介质等） 。
3
从能量观点可以证明两个给定的线圈有：
M 21 M12 M
M 就叫做这两个线圈的互感系数，简称为互感。
21 12 M I1 I2
单位：亨利（H） 2
要求 : 与对应的I 符合右手螺旋关系
互感系数与两线圈的大小、形状、磁介质和相对位置有关。
9
3.互感电动势 由法拉第电磁感应定律可知： 线圈1电流变化在线圈2中产生的互感电动势: dI 1 dI1 d21 M M 21 21 dt dt dt 线圈2电流变化在线圈1中产生的互感电动势:
d d( LI ) dI dL L ( L I ) dt dt dt dt
如果回路自身性质不随时间变化，则：
dI L L dt
结论 ： 回路中的自感系数，在量值上等于电流随时 间的变化率为一个单位时，在回路中产生自感电动势 的绝对值。 式中负号（-）表示：自感电动势的方向总是阻碍本身 回路电流的变化 。 自感 L有维持原电路状态的能力，L就是这种能力 大小的量度，它表征回路电磁惯性的大小。
思考题：
如果螺线管半径为R，圆环套在螺线 管外，结果如何？ M R 2 0 n I
15
n
例6、设两线圈的自感系数分别为L1、L2，两线圈的互 感系数为M。求两线圈顺串后/反串后的总自感量。 解：1）顺串：两个线圈中的磁场互相加强。
L1 M
L2
L总 L1 L2 2M
I
2）反串：两个线圈中的磁场互相减弱。 L1 M L2
1 2 Wm B dV a 2
b
2r2 2r1
h
2 2 N I b 1 NI 2 h ln ( ) 2 rhdr 4 a 2 2 r
24
NI b 1 m h ln Wm m NI 1.25 J 2 a 2
例2.求单位长度同轴电缆的磁场能量。 解：磁场只存在于两筒之间，由安培环路定律得 磁场强度为 H I
线圈 2 在线圈 1 中产生的互感系数：
l S
n1
12 n1n2lS , M 12 I2
I2
n2
由此可看出，两线圈的互感系数相等。
M 21 M 12 M n1n 2lS
12
M L1 L 2 例2、证明上例中两线圈的互感系数为：
证明： 线圈1的自感系数为： L1 n 1 lS
7
二、互感 互感系数
1.互感现象
当线圈 1中的电流变化时,所激发 的磁场会在它邻近的另一个线圈 2 中产生感应电动势。 这种现象称为互感现象。该电动势叫互感电动势。
2
互感电动势与线圈电流变化快慢有关；与两个线圈结构以及它 们之间的相对位置和磁介质的分布有关。
2.互感系数
线圈 1所激发的磁场通过线圈 2的磁通链数 21
m BS nIS
线圈中的自感系数L为：
S
n
I
N m N nIS L I I I
其中匝数：N
ln
NnIS 则自感系数 L I
6
lnnIS 2 n lS I
例2一电缆由内外半径分别为R1、R2的两个无限长同轴 圆筒状导体构成。两圆筒电流大小相等方向相反。计 算电缆单位长度的自感。 解：根据对称性和安培环路定理，在内圆筒和外圆筒 外的空间磁场为零。两圆筒间磁场为: R2 0 I ( R1 r R2 ) B R1 2r