第一章 特殊平行四边形专训2 利用特殊四边形的性质巧解动点问题(含答案)
特殊四边形动点问题专题训练及答案解析汇编

特殊四边形动点问题专题训练及答案解析(一)已知,如图,点D是△ABC的边AB的中点,四边形BCED是平行四边形,(1)求证:四边形ADCE是平行四边形;(2)当△ABC满足什么条件时,平行四边形ADCE是矩形?证明:(1)因为四边形BCED是平行四边形,所以BD=CE且BD∥CE,又因为D是△ABC的边AB的中点,所以AD=BD,即DA=CE,又因为CE∥BD,所以四边形ADCE是平行四边形.(2)当△ABC为等腰三角形且AC=BC时,四边形ADCE是矩形理由:∵AC=BC,D是△ABC的边AB的中点∴CD⊥AD,即∠ADC=90°,由(1)可知,四边形ADCE是平行四边形∴四边形ADCE是矩形.(二)如图,已知E是▱ABCD中BC边的中点,连接AE并延长AE交DC的延长线于点F.(1)求证:△ABE≌△FCE.(2)连接AC、BF,若∠AEC=2∠ABC,求证:四边形ABFC为矩形.(三)如图,O为△ABC的边AC上一动点,过点O的直线MN∥BC,设MN分别交∠ACB的内、外角平分线于点E、F。
(1)求证:OE=OF(2)若CE=12,CF=5,求OC的长(3)当点O在AC边上运动到何处时,四边形AECF是矩形?证明你的结论(4)在(3)的条件下,当△ABC满足什么条件时,四边形AECF为正方形,并说明你的理由。
(1)证明:∵CE平分∠ACB∴∠ACE=∠BCE∵MN∥BC∴∠OEC=∠BCE,∴∠ACE=∠OEC,∴OE=OC,同理:OF=OC∴OE=OF(2)∵CE平分∠ACB∴∠ACE=∠ACB/2∵CF平分∠ACD∴∠ACF=∠ACD/2∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=∠ACB/2+∠ACD/2=(∠ACB+∠ACD)/2=180/2=900在Rt△ECF中,EF2= CE2+ CF2= 122+ 52=169∴EF=13由(1)可知OE=OF∴OC=EF/2=13/2(3)、当O运动到AC的中点时,AECF是矩形证明:∵O是AC的中点∴AO=CO∵OE=OF∴四边形AECF是平行四边形由(2)可知∠ECF=900∴四边形AECF是矩形3、△ABC为直角三角形,且∠ACB=90时,四边形AECF是正方形证明:∵∠ACB=900,MN∥BC∴∠AOM=∠ACB=900,由(3)知四边形AECF 是矩形∴四边形AECF 是矩形(四)如图,已知平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,AC=20cm 、BD=12cm ,两动点E 、F 同时分别以2cm/s 的速度从点A 、C 出发在线段AC 相对上运动.(1)求证:当E 、F 运动过程中不与点O 重合时,四边形BEDF 一定为平行四边形; (2)当E 、F 运动时间t 为何值时,四边形BEDF 为矩形?(1)解:连接DE ,EB ,BF ,FD∵两动点E 、F 同时分别以2cm/s 的速度从点A 、C 出发在线段AC 相对上运动. ∴AE=CF在平行四边形ABCD 中,OD=OB ,OA=OC ∴OA-AE=OC-CF 或AE-OA=CF-OC 即OE=OF∴四边形BEDF 为平行四边形.(2)当点E 在OA 上,点F 在OC 上时EF=BD=12cm , 四边形BEDF 为矩形 ∵运动时间为t∴AE=CF=2t ∴EF=20-4t=12 ∴t=2(s )当点E 在OC 上,点F 在OA 上时,EF=BD=12cm EF=4t-20=12 ∴t=8(s )因此当E 、F 运动时间2s 或8s 时,四边形BEDF 为矩形.(五)如图,平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,BD=12cm ,AC=6cm ,点E 在线段BO 上从点B 以1cm/s 的速度运动,点F 在线段OD 上从点O 以2cm/s 的速度运动.(1)若点E 、F 同时运动,设运动时间为t 秒,当t 为何值时,四边形AECF 是平行四边形. (2)在(1)的条件下,①当AB 为何值时,四边形AECF 是菱形;②四边形AECF 可以是矩形吗?为什么?OCDBAEF解:(1)连接DE,EB,BF,FD∵两动点E、F同时分别以2cm/s的速度从点A、C出发在线段AC相对上运动.∴AE=CF∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,∴OD=OB,OA=OC(平行四边形的对角线互相平分)∴OA-AE=OC-CF或AE-OA=CF-OC即OE=OF∴四边形AECF为平行四边形.(对角线互相平分的四边形是平行四边形)(2)当点E在OA上,点F在OC上时EF=BD=12cm,四边形BEDF为矩形∵运动时间为t∴AE=CF=2t∴EF=20-4t=12∴t=2(s)当点E在OC上,点F在OA上时,EF=BD=12cmEF=4t-20=12∴t=8(s)因此当E、F运动时间2s或8s时,四边形AECF为矩形.(六)如图,已知在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm,动点P从A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动,动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/s的速度运动,P、Q别从点A、C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动的时间为t 秒.(1)当t为何值时,四边形PQCD为平行四边形?(2)当t为何值时,四边形ABQP为矩形?(七)(1)设经过xs的时间,四边形PQCD是平行四边形因为四边形PQCD是平行四边形所以DP=CQ由已知得:DP=AD-AP=24-xCQ=3x所以24-x=3xx=6答:经过6s的时间,四边形PQCD是平行四边形(2)设经过xs的时间,四边形PQBA是矩形因为四边形PQBA是矩形所以AP=BQ由已知得:AP=XBQ=BC-CQ=26-3x所以x=26-3xx=13/2答:经过13/2s的时间,四边形PQBA是矩形。
北师版九年级数学上册 第1章 特殊平行四边形中的旋转、最值、动点问题 专题训练 (含答案)

6.解:(1)根据图形的对称性,本来DF和BF相等,但是“在正方形AEFG绕点A旋转的过程中,线段DF与BF始终相等”不正确.例如,当点F旋转到AB上时,BF最短(小于AB),而这时DF大于AD,即DF大于BF
(2)如图②,若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转,连接DG,在旋转的过程中,你能否找到一条线段与DG始终相等,并以图为例说明理由.
二、最值问题
7.如图,正方形ABCD的面积为16,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为( )
A.2 B.4
∴BD,EG互相平分,∴BO=OD,
∴点O为正方形的角平分线的交点,
∴直线EG必过正方形角平分线的交点
20.解:(1)BG=DE,BG⊥DE,证明如下:
延长BG交DE于点H,
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形,
∴BC=DC,CG=CE,∠BCD=∠ECG=90°,
∴△BCG≌△DCE(SAS),
(2)当点E,F的运动时间t为何值时,四边形BEDF为矩形?
24.已知点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点(不与A,B重合),分别过A,B向直线CP作垂线,垂足分别为点E,F,点Q为斜边AB的中点.
(1)如图①,当点P与点Q重合时,AE与BF的位置关系是,QE与QF的数量关系式是;
(2)如图②,当点P在线段AB上不与点Q重合时,试判断QE与QF的数量关系,并给予证明;
北师大版九年级数学上册 第一章 专题1 利用特殊平行四边形的性质解动点问题

北师大版九年级上册第一章专题1 利用特殊平行四边形的性质解动点问题姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、解答题1 . 在平面直角坐标系中,O为原点,点A(﹣6,0)、点C(0,6),若正方形OABC绕点O顺时针旋转,得正方形OA′B′C′,记旋转角为α:(1)如图①,当α=45°时,求BC与A′B′的交点D的坐标;(2)如图②,当α=60°时,求点B′的坐标;(3)若P为线段BC′的中点,求AP长的取值范围(直接写出结果即可).2 . 已知:矩形OABC的顶点O在平面直角坐标系的原点,边OA、OC分别在x、y轴的正半轴上,且OA=3cm,OC=4cm,点M从点A出发沿AB向终点B运动,点N从点C出发沿CA向终点A运动,点M、N同时出发,且运动的速度均为1cm/秒,当其中一个点到达终点时,另一点即停止运动.设运动的时间为t秒.(1)当点N运动1秒时,求点N的坐标;(提示:过N作x轴y轴垂线,垂足分别为D,ECN:CA=CE:CO=NE:OA) (2)试求出多边形OAMN的面积S与t的函数关系式;(3)t为何值时,以△OAN的一边所在直线为对称轴翻折△OAN,翻折前后的两个三角形所组成的四边形为菱形?3 . 已知:如图,直线y=﹣x+6与坐标轴分别交于A、B两点,点C是线段AB上的一个动点,连接OC,以OC 为边在它的左侧作正方形OCDE连接BE、CE.(1)当点C横坐标为4时,求点E的坐标;(2)若点C横坐标为t,△BCE的面积为S,请求出S关于t的函数解析式;(3)当点C在线段AB上运动时,点E相应随之运动,请求出点E所在的函数解析式.4 . 如图,四边形ABCD是菱形,∠BAD=120°,点E在射线AC上(不包括点A和点C),过点E的直线GH交直线AD于点G,交直线BC于点H,且GH∥DC,点F在BC的延长线上,CF=AG,连接ED,EF,DF.(1)如图1,当点E在线段AC上时,①判断△AEG的形状,并说明理由.②求证:△DEF是等边三角形.(2)如图2,当点E在AC的延长线上时,△DEF是等边三角形吗?如果是,请证明你的结论;如果不是,请说明理由.5 . 如图,点B在线段AF上,分别以AB、BF为边在线段AF的同侧作正方形ABCD和正方形BFGE,连接CF、DE,若E是BC的中点.求证:CF=DE.参考答案一、解答题1、2、3、4、5、。
特殊四边形动点问题专题训练及解析精编版

2015特殊四边形动点问题专题训练及答案解析(一)已知,如图,点D是△ABC的边AB的中点,四边形BCED是平行四边形,(1)求证:四边形ADCE是平行四边形;(2)当△ABC满足什么条件时,平行四边形ADCE是矩形?证明:(1)因为四边形BCED是平行四边形,所以BD=CE且BD∥CE,又因为D是△ABC的边AB的中点,所以AD=BD,即DA=CE,又因为CE∥BD,所以四边形ADCE是平行四边形.(2)当△ABC为等腰三角形且AC=BC时,四边形ADCE是矩形理由:∵AC=BC,D是△ABC的边AB的中点∴CD⊥AD,即∠ADC=90°,由(1)可知,四边形ADCE是平行四边形∴四边形ADCE是矩形.(二)如图,已知E是▱ABCD中BC边的中点,连接AE并延长AE交DC的延长线于点F.(1)求证:△ABE≌△FCE.(2)连接AC、BF,若∠AEC=2∠ABC,求证:四边形ABFC为矩形.(三)如图,O为△ABC的边AC上一动点,过点O的直线MN∥BC,设MN分别交∠ACB的内、外角平分线于点E、F。
(1)求证:OE=OF(2)若CE=12,CF=5,求OC的长(3)当点O在AC边上运动到何处时,四边形AECF是矩形?证明你的结论(4)在(3)的条件下,当△ABC满足什么条件时,四边形AECF为正方形,并说明你的理由。
(1)证明:∵CE平分∠ACB∴∠ACE=∠BCE∵MN∥BC∴∠OEC=∠BCE,∴∠ACE=∠OEC,∴OE=OC,同理:OF=OC∴OE=OF(2)∵CE平分∠ACB∴∠ACE=∠ACB/2∵CF平分∠ACD∴∠ACF=∠ACD/2∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=∠ACB/2+∠ACD/2=(∠ACB+∠ACD)/2=180/2=900在Rt△ECF中,EF2= CE2+ CF2= 122+ 52=169∴EF=13由(1)可知OE=OF∴OC=EF/2=13/2(3)、当O运动到AC的中点时,AECF是矩形证明:∵O是AC的中点∴AO=CO∵OE=OF∴四边形AECF是平行四边形由(2)可知∠ECF=900∴四边形AECF是矩形3、△ABC为直角三角形,且∠ACB=90时,四边形AECF是正方形证明:∵∠ACB=900,MN∥BC∴∠AOM=∠ACB=900,由(3)知四边形AECF是矩形∴四边形AECF 是矩形(四)如图,已知平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,AC=20cm 、BD=12cm ,两动点E 、F 同时分别以2cm/s 的速度从点A 、C 出发在线段AC 相对上运动.(1)求证:当E 、F 运动过程中不与点O 重合时,四边形BEDF 一定为平行四边形; (2)当E 、F 运动时间t 为何值时,四边形BEDF 为矩形?(1)解:连接DE ,EB ,BF ,FD∵两动点E 、F 同时分别以2cm/s 的速度从点A 、C 出发在线段AC 相对上运动. ∴AE=CF在平行四边形ABCD 中,OD=OB ,OA=OC ∴OA-AE=OC-CF 或AE-OA=CF-OC 即OE=OF∴四边形BEDF 为平行四边形.(2)当点E 在OA 上,点F 在OC 上时EF=BD=12cm , 四边形BEDF 为矩形 ∵运动时间为t∴AE=CF=2t ∴EF=20-4t=12 ∴t=2(s )当点E 在OC 上,点F 在OA 上时,EF=BD=12cm EF=4t-20=12 ∴t=8(s )因此当E 、F 运动时间2s 或8s 时,四边形BEDF 为矩形.(五)如图,平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,BD=12cm ,AC=6cm ,点E 在线段BO 上从点B 以1cm/s 的速度运动,点F 在线段OD 上从点O 以2cm/s 的速度运动.(1)若点E 、F 同时运动,设运动时间为t 秒,当t 为何值时,四边形AECF 是平行四边形. (2)在(1)的条件下,①当AB 为何值时,四边形AECF 是菱形;②四边形AECF 可以是矩形吗?为什么?解:(1)连接DE ,EB ,BF ,FD∵两动点E 、F 同时分别以2cm/s 的速度从点A 、C 出发在线段AC 相对上运动. ∴AE=CFOCDBAEF∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,∴OD=OB,OA=OC(平行四边形的对角线互相平分)∴OA-AE=OC-CF或AE-OA=CF-OC即OE=OF∴四边形AECF为平行四边形.(对角线互相平分的四边形是平行四边形)(2)当点E在OA上,点F在OC上时EF=BD=12cm,四边形BEDF为矩形∵运动时间为t∴AE=CF=2t∴EF=20-4t=12∴t=2(s)当点E在OC上,点F在OA上时,EF=BD=12cmEF=4t-20=12∴t=8(s)因此当E、F运动时间2s或8s时,四边形AECF为矩形.(六)如图,已知在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=24cm ,AB=8cm,BC=26cm,动点P从A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动,动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/s的速度运动,P、Q别从点A、C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动的时间为t 秒.(1)当t为何值时,四边形PQCD为平行四边形?(2)当t为何值时,四边形ABQP为矩形?(七)(1)设经过xs的时间,四边形PQCD是平行四边形因为四边形PQCD是平行四边形所以DP=CQ由已知得:DP=AD-AP=24-xCQ=3x所以24-x=3xx=6答:经过6s的时间,四边形PQCD是平行四边形(2)设经过xs的时间,四边形PQBA是矩形因为四边形PQBA是矩形所以AP=BQ由已知得:AP=XBQ=BC-CQ=26-3x所以x=26-3xx=13/2答:经过13/2s的时间,四边形PQBA是矩形。
专题 利用特殊四边形的性质巧解动点问题(原卷版)

八年级下册数学《第十八章 平行四边形》专题 利用特殊四边形的性质巧解动点问题【例题1】(2021春•费县期中)如图所示,在四边形ABCD 中,AD ∥BC ,AD =27cm ,BC =36cm ,点P 从A 向点D 以1cm /s 的速度运动,到点D 即停止.点Q 从点C 向点B 以2cm /s 的速度运动,到点B 即停止.直线PQ 将四边形ABCD 截成两个四边形,分别为四边形ABQP 和四边形PQCD ,则当P ,Q两点同时出发,几秒后所截得两个四边形中,其中一个四边形为平行四边形?Q分别从点D,B同时出发,点P以1cm/s的速度向点A方向运动,点Q以2cm/s的速度向点C运动,几秒后四边形CDPQ是平行四边形( )A.1 B.2 C.3 D.4【变式1-2】(2021秋•抚州期末)如图,在▱ABCD中,对角线BD⊥AD,AB=16,∠A=60°,O为BD的中点,E为边AB上一动点,以2cm/s的速度从A点向B点运动,运动时间为ts,连接EO并延长交CD于点F,连接DE、BF,下列结论不成立的是( )A.四边形DEBF为平行四边形B.若t=4,则四边形DEBF为菱形C.若t=2,则四边形DEBF为矩形D.若t=6,则四边形DEBF为正方形【变式1-3】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC且AD=9cm,BC=6cm,点P、Q分别从点A、C同时出发,点P以1cm/s的速度由A向D运动,点Q以2cm/s的速度由C向B运动.问几秒后直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形?自点A向D以1cm/s的速度运动,到D点即停止.点Q自点C向B以2cm/s的速度运动,到B点即停止,则当P,Q同时出发,设运动时间为t(s).(1)当t为何值时,四边形APQB为平行四边形?(2)当t为何值时,四边形PDCQ为平行四边形?【变式1-5】(2022春•滨湖区期末)如图,∠ABC=45°,AB=2,BC=P为BC上一动点,AQ ∥BC,CQ∥AP,AQ、CQ交于点Q,则四边形APCQ的形状是 ,连接PQ,当PQ取得最小值时,四边形APCQ的周长为 .【变式1-6】如图,在△ABC中,∠BAC=90°,∠B=45°,BC=10,过点A作AD∥BC,且点D在点A的右侧.点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1个单位的速度运动,同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2个单位的速度运动,在线段QC上取点E,使得QE=2,连接PE,设点P的运动时间为t秒.(1)若PE⊥BC,求BQ的长;(2)请问是否存在t的值,使以A,B,E,P为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.【变式1-7】如图,等边△ABC的边长为10cm,动点M从点B出发,沿B→A→C→B的方向以4cm/s的速度运动,动点N从点C出发,沿C→A→B→C方向以3cm/s的速度运动.(1)若动点M、N同时出发,经过几秒钟两点第一次相遇?(2)若动点M、N同时出发,且其中一点到达终点时,另一点即停止运动.那么运动到第几秒钟时,点A、M、N以及△ABC的边上一点D恰能构成一个平行四边形?求出时间t并请指出此时点D的具体位置.【变式1-8】(2021春•惠来县期末)如图,在△ABC中,AB=AC=20cm,BD⊥AC于点D,且BD=16cm.点M从点A出发,沿AC方向匀速运动,速度为4cm/s;同时点P由B点出发,沿BA方向匀速运动,速度为1cm/s,过点P的直线PQ∥AC,交BC于点Q,连接PM,设运动时间为t(s)(0<t<5),解答下列问题:(1)线段AD= cm;(2)求证:PB=PQ;(3)当t为何值时,以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形?【例题2】(2021秋•迁安市期末)如图,在长方形ABCD中,AB=CD=8cm,BC=12cm,点P从点B 出发,以2cm/秒的速度沿BC向点C运动,同时,点Q由点C出发,以相同的速度沿CD向点D运动,设点P的运动时间为t秒,当△ABP≌△PCQ时,t的值为( )A.1或3B.2C.2或4D.1或2【变式2-1】(2022春•玄武区校级期中)如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,点E在BC边上,且BE=3,F为AB边上的一个动点,连接EF,以EF为边作正方形EFGH,且点H在矩形ABCD内,连接CH,则CH的最小值为( )A.3B.4CD【变式2-2】(2022春•新洲区期中)如图,矩形ABCD中,AB=8,AD=2,点E从D向C以每秒1个单位的速度运动,以AE为一边在AE的左上方作正方形AEFG,同时垂直于CD的直线MN也从C向D以每秒2个单位的速度运动,当点F落在直线MN上,设运动的时间为t,则t的值为( )A.1B.4C.103D.143【变式2-3】如图,矩形ACBE中,AC=12,BC=5,点M在边AB上,且AM=6,动点D在矩形边上运动一周,能使△ADM是以∠AMD为顶角的等腰三角形共有( )A.3个B.4个C.5个D.6个【变式2-4】如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,点P,Q分别是边BC和CD上的两个动点(可以与线段的端点重合,但P,Q两点不重合),点E、F分别是PA和PQ的中点,在两个动点的移动过程中,线段EF的长度取值范围是 .【变式2-5】如图,在长方形ABCD中,AB=5cm,AD=3cm.点E从点A出发,以每秒2cm的速度沿折线ABC方向运动,点F从点C出发,以每秒1cm的速度沿线段CD方向向点D运动.已知动点E、F同时发,当点E运动到点C时,E、F停止运动,设运动时间为t.(1)当E运动到B点时,求出t的值;(2)在点E、点F的运动过程中,是否存在某一时刻,使得EF=3cm?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.【变式2-6】如图,在长方形ABCD中,AB=8cm,BC=12cm,点P从点B出发,以2cm/秒的速度沿BC向点C运动,设点P的运动时间为t秒.= .(用t的代数式表示)(1)如图1,S△DCP(2)如图1,当t=3时,试说明:△ABP≌△DCP.(3)如图2,当点P从点B开始运动的同时,点Q从点C出发,以vcm/秒的速度沿CD向点D运动,是否存在这样v的值,使得△ABP与△PQC全等?若存在,请求出v的值;若不存在,请说明理由.【变式2-7】(2022春•黄州区校级期中)如图,在矩形ABCD中,AB=3cm,BC=4cm,E,F是对角线AC上的两个动点,分别从A,C同时出发相向而行,速度均为1cm/s,运动时间为ts(0≤t≤5).(1)AE=t,EF= .(2)若G,H分别是AB,DC的中点,求证:四边形EGFH是平行四边形.(3)在(2)的条件下,当t为何值时,四边形EGFH为矩形?【变式2-8】(2021•合川区校级模拟)如图,在四边形ABCD 中,∠A =∠B =∠BCD =90°,AB =DC =4,AD =BC =8.延长BC 到E ,使CE =3,连接DE ,由直角三角形的性质可知DE =5.动点P 从点B 出发,以每秒2个单位的速度沿BC ﹣CD ﹣DA 向终点A 运动,设点P 运动的时间为t 秒.(t >0)(1)当t =3时,BP = ;(2)当t = 时,点P 运动到∠B 的角平分线上;(3)请用含t 的代数式表示△ABP 的面积S ;(4)当0<t <6时,直接写出点P 到四边形ABED 相邻两边距离相等时t 的值.【例题3】如图,在菱形ABCD 中,∠A =60°,E ,F 分别为AD ,DC 上的动点,∠EBF =60°,点E 从点A 向点D 运动的过程中,AE +CF 的长度( )A .逐渐增加B .保持不变且与EF 的长度相等C .逐渐减小D .保持不变且与AB的长度相等【变式3-1】(2022春•西湖区期末)如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,点P从点B出发,沿折线B 一C一D方向移动,移动到点D停止,连结AP,DP.在△DAP形状的变化过程中,出现的特殊三角形有:①等腰三角形;②等边三角形;③直角三角形,以下排序正确的是( )A.①③②③B.③②①③C.①③②①D.③②③①【变式3-2】(2022•槐荫区一模)如图,菱形ABCD中对角线AC与BD相交于点F,且AC=8,BD=P是对角线BD上一动点,连接AP,将AP绕点A逆时针旋转使得∠PAE=∠BAD,连接PE,取AD的中点O,连接OE,则在点P的运动过程中,线段OE的最小值为( )A.2B.4C.D.【变式3-3】(2021春•仙桃期末)如图,在菱形ABCD中,AB=5cm,∠ADC=120°,点E、F同时由A、C两点出发,分别沿AB、CB方向向点B匀速移动(到点B为止),点E的速度为1cm/s,点F的速度为2cm/s,经过t秒△DEF为等边三角形,则t的值为( )A.34B.43C.32D.53【变式3-4】如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O.AC=8cm,BD=6cm,点P为AC上一动点,点P以1cm/s的速度从点A出发沿AC向点C运动.设运动时间为ts,当t= s时,△PAB为等腰三角形.【变式3-5】(2021•江西模拟)如图,在菱形ABCD中,AB=ABC=60°,AE⊥BC于点E,交BD于点F.若P是菱形ABCD边上的一动点,当△AFP的面积是DP的长为 .【变式3-6】如图,矩形ABCD中,点P是线段AD上一动点,O为BD的中点,PO的延长线交BC于Q.(1)求证:四边形PBQD是平行四边形;(2)若AD=8cm,AB=6cm,P从点A出发,以1cm/秒的速度向D运动(不与D重合),设点P运动时间为t秒.①请用t表示PD的长;②求t为何值时,四边形PBQD是菱形.【变式3-7】(2022春•桥西区校级期中)如图所示,在菱形ABCD中,AB=8,∠BAD=120°,△AEF 为等边三角形,点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动,且E、F不与B、C、D重合.(1)证明不论E、F在BC、CD上如何滑动,总有BE=CF.(2)当点E、F在BC、CD上滑动时,分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化?如果不变,求出这个定值;如果变化,求出最大(或最小)值.【变式3-8】如图,在菱形ABCD中,AB=2cm,∠ADC=120°.动点E、F分别从点B、D同时出发,都以0.5cm/s的速度向点A、C运动,连接AF、CE,分别取AF、CE的中点G、H.设运动的时间为ts (0<t<4).(1)求证:AF∥CE;(2)当t为何值时,△ADF2;(3)连接GE、FH.当t为何值时,四边形EHFG为菱形.【例题4】如图,点P是正方形ABCD的BC边上一动点,PE⊥BD于E,PF⊥AC于F,若AC=12,则PE+PF的值是( )A.6B.10C.D.12【变式4-1】正方形ABCD的边AB上有一动点E,以EC为边作矩形ECFG,且边FG过点D.在点E 从点A移动到点B的过程中,矩形ECFG的面积( )A.先变大后变小B.先变小后变大C.一直变大D.保持不变【变式4-2】(2022•乐陵市模拟)如图,在正方形ABCD中,已知边长AB=5,点E是BC边上一动点(点E不与B、C重合),连接AE,作点B关于直线AE的对称点F,则线段CF的最小值为( )A.54B.CD.5 2【变式4-3】(2021春•金寨县期末)如图,在边长为2的正方形ABCD中,点M为对角线BD上一动点,ME⊥BC于点E,MF⊥CD于点F,连接EF,则EF的最小值为( )A.1B.C D【变式4-4】(2021•东阿县三模)如图,正方形ABCD的边长为2,E为AB边的中点,点F在BC边上,点B关于直线EF的对称点记为B',连接B'D,B'E,B'F.当点F在BC边上移动使得四边形BEB'F成为正方形时,B'D的长为( )A B C.D.3【变式4-5】如图,在边长为8的正方形ABCD中,E、F分别是边AB、BC上的动点,且EF=6,M为EF中点,P是边AD上的一个动点,则CP+PM的最小值是( )A.10B.3C.+3D.+5【变式4-6】(2021春•潼南区期末)如图,在正方形ABCD中,E、F分别为BC、CD上的点,且AE平分∠BAC,BE=CF,P为线段AC上的动点,记PD+PF的最小值为m m2的值为( )A.6﹣B.8﹣C.D.【变式4-7】如图,点E是边长为12的正方形ABCD边BC上的一点,BE=5,点F在该正方形的边上运动,当BF=AE时,设线段AE与线段BF相交于点H,则BH的长等于 .【变式4-8】如图,E是正方形ABCD一边CD上的中点,AB=4,动点P从A→B→C→D在正方形的边上运动,当△PAE为等腰三角形时,则AP的长为 .。
第一章特殊平行四边形——动点问题专题训练2022-2023学年北师大版数学九年级上册

北师大版数学九年级上册第一章特殊平行四边形——动点问题专题训练1.如图1,△ABC为等腰三角形,AB=AC=a,点P是底边BC上的一个动点,PD//AC,PE//AB.(1)用a表示四边形ADPE的周长为.(2)点P运动到什么位置时,四边形ADPE是菱形,请说明理由.(3)如图2,如果△ABC不是等腰三角形,其他条件不变,点P运动到什么位置时,四边形ADPE是菱形(不必说明理由).2.如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN//BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交△ACB的外角平分线于点F.(1)求证:OE=OF;(2)若CE=8,CF=6,求OC的长;(3)若点O为AC中点,当△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形?并说明理由.3.阅读以下材料,并按要求完成相应的任务,如图(1),已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,点M是BC边的中点,过点M作ME//AC交BD于点E,作MF//AC交AC于点F,我们称四边形OEMF为四边形ABCD的“伴随四边形”.(1)若四边形ABCD是菱形,则其“伴随四边形”是______,若四边形ABCD是矩形,则其“伴随四边形”是______(在横线上填特殊平行四边形的名称);(2)如图(2),若四边形ABCD是矩形,M是BC延长线上的一个动点,其他条件不变,点F落在AC的延长线上,请写出线段OB、ME、MF之间的数量关系,并说明理由.4.如图1,四边形ABCD是正方形,G是CD边上的一动点,(点G不与C、D重合)以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG,连接BG,DE.我们探究下列图中线段BG、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系;(1)猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系;并证明你的结论.(2)将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转一定角度,得到如图2情形.请你判断(1)中得到的结论是否仍然成立,并说明理由.5.如图:正方形OABC置于坐标系中,B的坐标是(−4,4),点D是边OA上一动点,以OD为边在第一象限内作正方形ODEF.(1)CD与AF有怎样的位置关系,猜想并证明;(2)当OD=______时,直线CD平分线段AF;(3)在OD=2时,将正方形ODEF绕点O逆时针旋转α°(0°<α°<180°),求当C、D、E共线时D的坐标.6.如图在正方形ABCD中,边长为3,点P是射线DC上的动点,DM⊥AP于M,BN⊥AP于N.(1)当点P与C、D重合时,DM2+BN2的值分别为______、______;(2)当点P不与D、C重合时,试猜想DM2+BN2的值,并对你的猜想加以证明.7.如图①,在△ABC中,∠ACB为锐角.点D为射线BC上一动点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.解答下面的问题:(1)如果AB=AC,∠BAC=90°.当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图②,线段CF、BD之间的数量关系为______,位置关系为______.(写出证明过程)(2)如图③,线段CF、BD之间的数量,位置关系是否成立?______(填“是”或“否”).8.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点P为线段AB上不与A,B重合的一个动点,过点P作PQ⊥BC于点Q,将△BPQ绕点B逆时针旋转,连接CP,点D为CP中点,连接AD,AQ,DQ,已知AC=3,AB=6.(1)当旋转角为0°时,如图1,线段AD与线段QD的数量关系为______ ;(2)如图2,当点P,Q,C第一次旋转到一条直线上时,试找出线段CQ、PQ,AD的数量关系并说明理由;(3)旋转过程中,当点P为边AB的三等分点时,直接写出线段AD的最大值.9.如图,四边形ABCD是正方形,G是CD边上的一个动点(点G与C,D不重合),以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG,连接BG,DE。
北师大版九年级上册第一章专题1利用特殊平行四边形的性质解动点问题

北师大版九年级上册第一章专题1利用特殊平行四边形的性质解动点问题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、解答题1.如图,在平行四边形ABCD 中,E 、F 是对角线BD 上的两点,且BE=DF ,连接AE 、CF ,请你猜想:AE 与CF 有怎样的数量关系?并对你的猜想加以证明.2.已知,在矩形ABCD 中,4cm AB =,8cm BC =,AC 的垂直平分线EF 分别交AD BC ,于点E F ,,垂足为O .(1)如图1,连接AF CE ,.试说明四边形AFCE 为菱形,并求AF 的长; (2)如图2,动点P Q ,分别从A C ,两点同时出发,沿AFB ∆和CDE ∆各边匀速运动一周,即点P 自A F B A →→→停止,点Q 自C D E C →→→停止,在运动过程中,已知点P 的速度为5cm /s ,点Q 的速度为4cm /s ,运动时间为 s t ,当以A C P Q ,,,四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t 的值.3.如图,点E 是矩形ABCD 的对角线BD 上的一点,且BE BC =,3AB =,4BC =,点P 是EC 上的一动点,且PQ BC ⊥于点Q ,PR BD ⊥于点R .(1)如图1,当点P 为线段EC 的中点时,求证:125PR PQ +=;(2)如图2,当点P为线段EC上任意一点(不与点E,点C重合)时,其他条件不变,则(1)中的结论是否仍成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;(3)如图3,当点P为线段EC延长线上任意一点时,其他条件不变,则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想.4.如图,在边长为10的菱形ABCD中,对角线BD=16,对角线AC,BD相交于点G,点O是直线BD上的动点,OE⊥AB于E,OF⊥AD于F.(1)求对角线AC的长及菱形ABCD的面积.(2)如图①,当点O在对角线BD上运动时,OE+OF的值是否发生变化?请说明理由.(3)如图②,当点O在对角线BD的延长线上时,OE+OF的值是否发生变化?若不变,请说明理由;若变化,请探究OE,OF之间的数量关系.5.如图,正方形ABCD的边长为8 cm,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的动点,且AE=BF=CG=DH.(1)求证:四边形EFGH是正方形;(2)判断直线EG是否经过某一定点,并说明理由.参考答案1.AE=CF,证明见解析【分析】由四边形ABCD 是平行四边形,即可得AB ∥CD ,AB=CD ,然后利用平行线的性质,求得∠ABE=∠CDF ,又由BE=DF ,即可由SAS 证得△ABE ≌△CDF ,从而可得AE=CF.【详解】猜想:AE=CF. 证明如下:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB ∥CD ,AB=CD. ∴∠ABE=∠CDF.在△ABE 和△CDF 中,AB=CD ,∠ABE=∠CDF ,BE=DF ,∴△ABE ≌△CDF (SAS ),∴AE=CF【点睛】本题考查平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质,证明线段相等,常用全等三角形. 2.(1)5cm AF =;(2)43t =. 【解析】【分析】(1)根据全等推出OE=OF ,得出平行四边形AFCE ,根据菱形判定推出即可,根据菱形性质得出AF=CF ,根据勾股定理得出方程,求出方程的解即可;(2)分情况讨论可知,当P 点在BF 上、Q 点在ED 上时,才能构成平行四边形,根据平行四边形的性质列出方程求解即可.【详解】(1)∵四边形ABCD 是矩形,∴//AD BC .∴CAD ACB ∠=∠,AEF CFE ∠=∠.∵EF 垂直平分AC ,垂足为O ,∴OA OC =.∴(AAS)AOE COF ∆∆≌.∴OE OF =.∴四边形AFCE 为平行四边形.又∵EF AC ⊥,∴平行四边形AFCE 为菱形.设cm AF CF x ==,则(8)cm BF x =-,在Rt ABF ∆中,4cm AB =,由勾股定理,得2224(8)x x +-=,解得5x =.∴5cm AF =.(2)当P 点在AF 上时,Q 点在CD 上,此时A 、C 、P 、Q 四点不可能构成平行四边形; 同理P 点在AB 上时,Q 点在DE 或CE 上或P 在BF ,Q 在CD 时不构成平行四边形,也不能构成平行四边形.因此只有当P 点在BF 上、Q 点在ED 上时,才能构成平行四边形,当以AC P Q ,,,四点为顶点的四边形是平行四边形时,PC QA =. ∵点P 的速度为5cm /s ,点Q 的速度为4cm /s ,运动时间为 s t ,∴5cm PC t =,(124)cm QA t =-.∴5124t t =-,解得43t =. ∴以AC P Q ,,,四点为顶点的四边形是平行四边形时,43t =. 【点睛】本题考查的是四边形综合题型,主要考查了矩形的性质,全等三角形的判定与性质,翻折变换的性质,菱形的判定与性质,平行四边形的性质.3.(1)见解析;(2)125PR PQ +=仍成立,见解析;(3)125PR PQ -=. 【分析】(1)连接BP ,过C 点作CH BD ⊥于点H ,根据矩形的性质及勾股定理求出BD 的长,根据三角形BCF 的面积=三角形AFP 的面积+三角形BPC 的面积,通过面积计算公式及等量代换即可证明.(2)连接BP ,过C 点作CK ⊥BD 于点K .根据矩形的性质及勾股定理求出BD 的长,根据三角形面积相等可求出CK 的长,最后通过等量代换即可证明;(3)图3中的结论是125PR PQ -=, 【详解】(1)连接BP ,作CH BD ⊥于点H ,如图1.∵BE BC =,点P 为CE 的中点,∴BP 是EBC ∠的平分线.∵PR BE ⊥,PQ BC ⊥,∴PR PQ =.在矩形ABCD 中,90BCD ︒∠=,4BC =,3CD AB ==,∴5BD ===. 由1122BCD S BC CD BD CH ∆==, 得431255BC CD CH BD ⋅⨯===. ∵=PBE PBC BCE S S S ∆∆∆+,∴111222BE PR BC PQ BE CH ⋅+⋅=⋅. 又∵BE BC =, ∴125PR PQ CH +==.(2)(1)中结论125PR PQ +=仍成立. 证明:连接BP ,作CH BD ⊥于点H ,如图2.∵PBE PBC BCE S S S ∆∆∆+=,∴111222BE PR BC PQ BE CH ⋅+⋅=⋅. 又∵BE BC =,∴PR PQ CH +=.∵125CH =, ∴125PR PQ +=. (3过C 点作CH BD ⊥于点H ,如图3∵S △BPE -S △BCP =S △BEC , ∴111222BE PR BC PQ BE CH ⋅-⋅=⋅ 又∵BE BC =,∴PR PQ CH -=. ∵125CH =, ∴125PR PQ -=. 【点睛】本题考查了矩形的性质及勾股定理,难度适中,关键是掌握好矩形的性质及面积法的运用. 4.(1)12;96 (2)答案见解析 (3)答案见解析【解析】【分析】(1)根据菱形的对角线互相垂直平分求出BG ,再利用勾股定理列式求出AG ,然后根据AC=2AG 计算即可得解;再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解; (2)连接AO ,根据S △ABD =S △ABO +S △ADO 列式计算即可得解;(3)连接AO ,根据S △ABD =S △ABO -S △ADO 列式整理即可得解.【详解】解:(1)在菱形ABCD 中,AG =CG ,AC ⊥BD ,BG =12BD =12×16=8,由勾股定理得AG 6==,所以AC =2AG =2×6=12. 所以菱形ABCD 的面积=12AC·BD =12×12×16=96. (2)不发生变化.理由如下:如图①,连接AO ,则S △ABD =S △ABO +S △AOD , 所以12BD·AG =12AB·OE +12AD·OF ,即12×16×6=12×10·OE +12×10·OF. 解得OE +OF =9.6,是定值,不变.(3)发生变化.如图②,连接AO ,则S △ABD =S △ABO -S △AOD , 所以12BD·AG =12AB·OE -12AD·OF. 即12×16×6=12×10·OE -12×10·OF. 解得OE -OF =9.6,是定值,不变.所以OE +OF 的值发生变化,OE ,OF 之间的数量关系为OE -OF =9.6.【点睛】本题主要考查了菱形的性质,主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质,(2)(3)作辅助线构造出两个三角形是解题的关键.5.(1)证明见解析;(2)EG 必过BD 中点这个点,理由见解析.【解析】试题分析:(1)由正方形的性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=DA ,证出AH=BE=CF=DG ,由SAS 证明△AEH ≌△BFE ≌△CGF ≌△DHG ,得出EH=FE=GF=GH ,∠AEH=∠BFE ,证出四边形EFGH 是菱形,再证出∠HEF=90°,即可得出结论;(2)直线EG 经过正方形ABCD 的中心, 连接BD 交EG 于点O ,易证△EOB ≌△GOD .可得BO=DO 即点O 为BD 的中点.所以直线EG 经过正方形ABCD 的中心.试题解析:(1)∵四边形ABCD 是正方形.∴90BAD ABC BCD CDA ∠=∠=∠=∠=︒,AB BC CD DA ===.∵AE BF CG DH ===.∴AH BE CF DG ===.∴EAH ≌FBE ≌GCF ≌HDG . ∴EH EF FG HG ===,AEH BFE ∠=∠. ∴四边形EFGH 是菱形.∵90BEF BFE ∠+∠=︒,AEH BFE ∠=∠. ∴90BEF AEH ∠+∠=︒.∴90HEF ∠=︒.∵四边形EFGH 是菱形,90HEF ∠=︒. ∴四边形EFGH 是正方形.(2)直线EG 经过正方形ABCD 的中心,理由如下: 连接BD 交EG 于点O .∵四边形ABCD 是正方形.∴AB DC .∴EBD GDB ∠=∠.∵EOB GOD ∠=∠,EBD GDB ∠=∠,BE DG =. ∴EOB ≌GOD .∴BO DO =,即点O 为BD 的中点.∴直线EG 经过正方形ABCD 的中心.。
专题02 特殊平行四边形的动点问题(解析版)2021-2022学年九年级数学上(北师大版,成都专用)

专题02 特殊平行四边形的动点问题类型一、运动的图像问题例1.如图,在菱形ABCD 中,4cm AB =,60A ︒∠=,点P 从点A 出发,沿A D C →→以1cm/s 的速度运动到点C 停止,同时,点Q 从点A 出发,沿AB 以相同的速度运动到点B 停止,若APQ 的面积为s (平方厘米),运动时间为(s)t ,则下列能反映S 与t 之间的函数关系的图象大致为( )A .B .C .D .【答案】D【解析】根据题意,当0﹤t≤4时,△APQ 为等边三角形,且AP=AQ=t ,过点P 作PE△AB 于E ,则,△△APQ 的面积2112224s PE AQ t =⋅⋅=⋅⋅=,故可排除选项A 、B ;当点Q 到达B 点时,点P 到达D 点,这时t=4,面积s 24=, 当4﹤t≤8时,点Q 在B 点不动,点Q 在CD 上运动,△APQ 的面积s 保持不变,故排除选项C , 所以能反映S 与t 之间的函数关系的图象大致为D 选项,故选:D .【变式训练1】如图,P 是菱形ABCD 边上的一动点,它从点A 出发沿A →B →C 的路径匀速运动到点C ,点R 是 CD 边的中点,点M ,点N 分别是线段AP ,PR 的中点,设P 点运动时间为x ,MN 的长为y ,则y 关于x 的函数图像大致为( )A .B .C .D .【答案】D【解析】如图所示,连接AR .△M 是AP 的中点,N 是PR 的中点,△MN 是PAR △的中位线.△12MN AR =. 即点P 在符合条件的运动过程中,始终有12MN AR =.△12y AR =. △A 、R 是定点,△AR 是定值.△y 是定值,与点P 运动的时间x 无关.故选:D【变式训练2】如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD 是菱形,AB△x 轴,点B 的坐标为(4,1), △BAD =60°,垂直于x 轴的直线l 从y 轴出发,沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移,设直线l 与菱形ABCD 的两边分别交于点M ,N (点N 在点M 的上方),连接OM ,ON ,若△OMN 的面积为s ,直线l 的运动时间为t 秒(0≤t≤6),则S 与t 的函数图象大致是( )A .B .C .D .【答案】C【解析】如图1,当0≤t≤2时,△l △y 轴,△AMN OMN S S ==S ,△AM=t ,△BAD =60°,,△S=212t ⨯=; 图像是经过原点,开口向上的一段抛物线;如图2,当2<t≤4时,MN 是定长,△AD=4,△BAD =60°,△S=12t ⨯⨯=; 图像是经过原点,正比例函数上的一段;△y=2x 的比例系数2△面积线段的倾斜度要比y=2x 的坡;如图3,当4<t≤6时,当直线经过点C 时,△BC=4,△CBG =60°,△BG=2,△B (4,1),C (6,),设直线BC 的解析式为y=kx+b ,△4161k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得1k b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ △直线的解析式为1+-△N 的坐标为(t ,),M 的坐标为(t1+-,-1+-=+△S=1(2t ⨯⨯+=+;图像是开口向下的一段抛物线; 故选C .【变式训练3】如图,矩形ABCD 中,3AB =,4BC =,点P 从A 点出发,按A B C →→的方向在AB和BC上移动,记PA x=,点D到直线PA的距离为y,则y关于x的函数大致图象是()A.B.C.D.【答案】C【解析】(1)当点P在AB上移动时,点D到直线PA的距离为:y=DA=BC=4(0≤x≤3).(2)如图1,当点P在BC上移动时,,△AB=3,BC=4,,△△PAB+△DAE=90°,△ADE+△DAE=90°,△△PAB=△ADE,在△PAB和△ADE中,PAB ADEABP DEA∠∠⎧⎨∠∠⎩==,△△PAB△△ADE,△PA ABAD DE=,△34xy=,△y=12x(3<x≤5).故选:C.类型二、函数图像中的几何动点问题例1.如图,直线l1经过A(6,0)、B(0,8)两点,点C从B出发沿线段BO以每秒1个单位长度的速度向点O运动,点D从A出发沿线段AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动,设运动时间为t秒(t>0).(1)求直线l1的表达式;(2)当t=时,BC=BD;(3)将直线l1沿x轴向右平移3个单位长度后,与x轴,y轴分别交于E、F两点,求四边形BAEF的面积;(4)在平面内,是否存在点P,使O、A、B、P四点为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)483y x =-+ ;(2)103;(3)30;(4)存在, 点P 的坐标为:(6,8)或(﹣6,8)或(6,﹣8)【解析】(1)设直线1l 的表达式为y =kx +b ,将A (6,0)、B (0,8)代入得:60 8k b b +=⎧⎨=⎩,解得:43 8k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩,△直线1l 的表达式为483y x =-+ ; (2)由点A 、B 的坐标知,OA =6,OB =8,则AB =10,t 秒时,BC =t ,BD =BA ﹣AD =10﹣2t ,当BC =BD 时,则t =10﹣2t ,解得:t =103;故答案为103; (3)由平移可得:直线EF 的关系式为:44(3)81233y x x =-+=-+, 当x =0时,y =12,F (0,12),当y =0时,x =9,E (9,0),EFO ABO BAEF S S S =-四边形,即11912683022BAEF S =⨯⨯-⨯⨯=四形边, 答:四边形BAEF 的面积是30;(4)存在,理由:设点P (m ,n ),而点A 、B 、O 的坐标分别为(6,0),(0,8),(0,0).①当AB 是边时,点A 向左平移6个单位向上平移8个单位得到点B ,同样点O (P )向左平移6个单位向上平移8个单位得到点P (O ),即0﹣6=m 且0+8=n 或0+6=m 且0﹣8=n ,解得68m n =-⎧⎨=⎩或68m n =⎧⎨=-⎩; ②当AB 是对角线时,由中点公式得:12(6+0)=12(0+m )且12(0+8)=12(0+n ),解得6 8m n =⎧⎨=⎩; 综上点P 的坐标为:(6,8)或(﹣6,8)或(6,﹣8).【变式训练1】如图1,在菱形ABCD 中,60ABC ∠=︒,对角线AC BD 、交于点,O P 从B 点出发,沿B D C →→方向匀速运动,P 点运动速度为1cm/s .图2是点P 运动时,APC △的面积2()cm y 随P 点运动时间()s x 变化的函数图像.(1)AB =_______cm,a =_____;(2)P 点在BD 上运动时,x 为何值时,四边形ADCP(3)在P 点运动过程中,是否存在某一时刻使得APB △为直角三角形,若存在,求x 的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)2(2;(31 【解析】(1)在菱形ABCD 中,60ABC ∠=︒,则ABC ∆、ACD ∆为全等的两个等边三角形, 设ABC ∆的边长为a2a , 由图2知,当点P 在点A 时,y ABC =∆的面积2==,解得2a =(负值已舍去), 即菱形的边长为2,则2()AB cm =,由题意知,点P 与点O 重合时,对于图2的a 所在的位置,则1AO =,故a BO ==2(2)由(1)知点P 在BO 段运动时,对于图2第一段直线,而该直线过点、0),设其对应的函数表达式为y kx t =+,则0t t ⎧=⎪+=,解得1k t =-⎧⎪⎨=⎪⎩,故该段函数的表达式为=-+y x当点P 在BD 上运动时,四边形ADCPP 只能在BO 上,则四边形ADCP 的面积ACD S y ∆=+x x =;(3)存在,理由:由(1)知,菱形的边长为2,则BP =1AO =,过点A 作AP DC ''⊥于点P ''交BD 于点P ',ABC ∆、ACD ∆均为等边三角形,则30PAP DAP ∠'=∠''=︒,①当点P 和点O 重合时,APB ∠为直角,则x BP ==②当BAP ∠'为直角时,则同理可得:PP '=x BP PP =+'=;③当BAP ∠''为直角时,则112x BD DP AD =+''==,综上,x 或1. 【变式训练2】如图,在平面直角坐标系内,梯形OABC 的顶点坐标分别是:A (3,4),B (8,4), C (11,0),点P (t ,0)是线段OC 上一点,设四边形ABCP 的面积为S .(1)过点B 作BE△X 轴于点E ,则BE= ,用含t 的代数式表示PC= .(2)求S 与t 的函数关系.(3)当S =20时,求线段AP 与CP 的长.【答案】(1)4,11-t ;(2)s =32-2t ;(3)AP =5, CP =5【解析】(1)过点B 作BE△x 轴于点E ,如图所示:△B (8,4),E (8,0),△BE=4-0=4,△C (11,0),点P (t ,0),△OC=11,OP=t ,△用含t 的代数式表示PC=11﹣t ;故答案为4,11﹣t ;(2)AB=8-3=5,PC=11﹣t,BE=4,由梯形的面积公式得:S=12(AB+PC)BE=12(5+11﹣t)×4,△S与t的函数关系为:S=﹣2t+32;(3)当S=20时,﹣2t+32=20,解得:t=6.此时,PC=11﹣t=5.过A作AF△OC于F,△A(3,4),△F(3,0),则AF=4-0=4,FP=OP-OF=6-3=3,在Rt△AFP中,5=,△AP=PC=5.故答案为:(1)4,11-t;(2)s=32-2t;(3)AP=5,CP=5类型三、几何图形存在性问题例1.如图,已知在四边形ABCD中,AD△BC,△B=90°,AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm,动点P从A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动,动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/s的速度运动,P、Q别从点A、C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动的时间为t秒.(1)当t为何值时,四边形ABQP为矩形?(2)当t为何值时,四边形PQCD为平行四边形?(3)当t为何值时,四边形PQCD为等腰梯形?【答案】(1)t=6.5s时,四边形ABQP是矩形;(2)当t=6s时,四边形PQCD是平行四边形;(3)当t=7(s)时,四边形PQCD为等腰梯形【解析】△设运动时间为t秒,△AP=t(cm),PD=AD﹣AP=24﹣t(cm),CQ=3t(cm),BQ=BC﹣CQ=26﹣3t(cm),(1)如图1:△AD △BC ,△当PA =BQ 时,四边形ABQP 是平行四边形,△△B =90°,△四边形ABQP 是矩形,即t =26﹣3t ,解得:t =6.5,△t =6.5s 时,四边形ABQP 是矩形,(2)△AD △BC ,△当QC =PD 时,四边形PQCD 是平行四边形.此时有3t =24﹣t ,解得t =6.△当t =6s 时,四边形PQCD 是平行四边形.(3)当四边形PQCD 为等腰梯形时,如图所示:在Rt△PQF 和Rt△CDE 中,△PQ =DC ,PF =DE ,△Rt△PQF △Rt△CDE (HL ),△QF =CE ,△QC ﹣PD =QC ﹣EF =QF +EC =2CE ,即3t ﹣(24﹣t )=4,解得:t =7(s )即当t =7(s )时,四边形PQCD 为等腰梯形.故答案为:(1)t =6.5s 时,四边形ABQP 是矩形;(2)当t =6s 时,四边形PQCD 是平行四边形; (3)当t =7(s )时,四边形PQCD 为等腰梯形【变式训练1】矩形ABCD 中,16cm AB ,6cm BC ,点P 从点A 出发沿AB 向点B 移动(不与点A 、B 重合),一直到达点B 为止;同时,点Q 从点C 出发沿CD 向点D 移动(不与点C 、D 重合).运动时间设为t 秒.(1)若点P 、Q 均以3cm/s 的速度移动,则:AP =_______cm ;QC =_______cm .(用含t 的代数式表示)(2)若点P 为3cm/s 的速度移动,点Q 以2cm/s 的速度移动,经过多长时间PD PQ =,使DPQ ∆为等腰三角形?(3)若点P 、Q 均以3cm/s 的速度移动,经过多长时间,四边形BPDQ 为菱形?【答案】(1)3t ,3t ;(2)2s ;(3)5524s 【解析】(1)△33AP t t ==;33QC t t ==,△3cm AP t =;3cm QC t =.(2)过点P 作PE CD ⊥于点E ,△90PED ∠=︒△PD PQ =,△12DE DQ = 在矩形ABCD 中,90A ADE ∠=∠=︒,16cm CD AB ==△四边形PEDA 是矩形,△3DE AP t ==,又△2CQ t =,△162DQ t =-△由12DE DQ =,△()131622t t =⨯-,△2t =,△当2t =时,PD PQ =,DPQ ∆为等腰三角形 (3)在矩形ABCD 中,AB CD =,//AB CD ,AD BC =,依题知3AP CQ t == △PB DQ =,△四边形BPDQ 是平行四边形,当PD PB =时,四边形BPDQ 是菱形,△163PB AB AP t =-=-在Rt APD ∆中,PD =由PD PB =,△163t -=△()22163936t t -=+,解得:5524t = △当5524t =时,四边形BPDQ 是菱形. 故答案为:(1)3t ,3t ;(2)2s ;(3)5524s【变式训练2】在直角三角形ABC 中,△B =90°,BC =6 cm ,AB =8 cm ,有一动点P 以3cm/s 的速度从点C 出发向终点B 运动,同时还有一动点Q 以5 cm/s 的速度也从点C 出发,向终点A 运动,连结PQ ,并且PQ △BC ,以CP 、CQ 为邻边作平行四边形CQMP ,设动点P 的运动时间为t (s )(0<t <2).(1)BP = (用含t 的代数式表示);(2)当点M 在△B 的平分线上时,求此时的t 值;(3)当四边形BPQM 是平行四边形时,求CM 的值;(4)连结AM ,直接写出当△AMQ 是等腰三角形时t 的值.【答案】(1)BF=6-3t ;(2)35t =;(3)(4)t=54或43或5043 【解析】(1)∵PC=3t ,BP=BC -PC ,∵BP=6-3t ;(2)如图1,连接BM ,过EM 、DM 作ME∵AB ,MD∵BC,∵当点M 在∵B 的平分线上时,∵EM=MD∵PQ ∵BC ,∵四边形EBPQ 为矩形, 四边形MDPQ 为矩形,∵BE=MD=PQ ,MQ=DP∵平行四边形CQMP ,∵MQ=PC=3t,即DP=PC=3t ,∵BD=6-6t ,即EM=6-6t∵CQ=5t ,4t = ,即MD=4t ,∵EM=MD ,∵6-6t=4t ,解得35t =;(3)如图2,连接CM∵四边形BPQM 是平行四边形,PQ ∵BC ,∵四边形BPQM 是矩形,∵BM=QP,MQ=BP∵∵B=90°,∵M在AB上,∵平行四边形CQMP,∵MQ=PC=3t,∵BP=PC=3t∵BC= BP+PC=6t,即t=1,∵PC=3t=3,CQ=5t=54==,即BM=4,∵∵B=90°==(4)延长QM交AB于E,过M作MD∵BC,∵BC=6 cm,AB=8 cm,10=,∵CQ=5t,∵AQ=10-5t,∵PC=3t,4t=∵∵B=90°,PQ∵BC,∠EQP=90°, MD∵BC∵四边形BEQP是矩形,四边形MQPD是矩形,∵BE=QP=4t,MQ=DP=3t,ME=MD∵AE=8-4t,EM=6-6t,==∵AQ=10-5t,MQ=3t,∵AMQ是等腰三角形∵∵AM=QM,即,解得t=5043或t=2(舍);∵AM=AQ,即-5t,解得t=43或t=0(舍);∵MQ=AQ,即3t=10-5t,解得t=5 4 .综上,当∵AMQ是等腰三角形时,t=54或43或5043.【变式训练3】如图1,在长方形ABCD 中,6cm 10cm AB CD BC ===,,点P 从点B 出发,以2cm /s 的速度沿BC 向点C 运动(点P 运动到点C 处时停止运动),设点P 的运动时间为s t .(1)PC _____________cm .(用含t 的式子表示)(2)当t 为何值时,ABP DCP ≌?(3)如图2,当点P 从点B 开始运动,同时,点Q 从点C 出发,以cm /s v 的速度沿CD 向点D 运动(点Q 运动到点D 处时停止运动,,P Q 两点中有一点停止运动后另一点也停止运动),是否存在这样的υ值使得ABP △与PQC △全等?若存在,请求出v 的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)102t -;(2) 2.5t =;(3)存在,=2.4v 或2,理由见解析.【解析】(1)由题意得,2BP t ,102PC BC BP t ,故答案为:102t -;(2)若ABP DCP ≌,,则BP PC =2102t t ,即410t , 2.5t ∴=∴当 2.5t =时,ABP DCP ≌;(3)存在,理由如下:当,BP CQ AB PC 时,ABP PCQ ≅6AB =,6PC ∴=,1064BP ∴=-=,24t ,2t ∴= 4CQ BP ,24v =,2v ; 当,BA CQ PB PC 时,ABP QCP ≅PB PC =,152BP PC BC ∴===,25t, 2.5t ∴= 6CQ BP , 2.56v , 2.4v综上所述,当=2.4v 或2时,ABP △与PQC △全等.【变式训练4】如图,在长方形ABCD 中,4AB =,10AD =,E 为边AD 上的一点,7DE =,动点P 从点C 出发,以每秒1个单位长度的速度沿着边CB 向终点B 运动,连接PE ,BE ,设点P 运动的时间为t 秒.(1)求BE 的长;(2)若BPE 为直角三角形,求t 的值;(3)若点P 在BE 的垂直平分线上,求PE 的长.【答案】(1)5;(2)7或53;(3)256【解析】(1)根据题意知:3AE AD DE =-=,△5BE ==,△BE 的长为5; (2)①当90BPE ∠=︒时,3BP =,7CP =,△77s 1t ==; ②当90BEP ∠=︒时,过点P 作PF AD ⊥于点F ,易得7EF t =-,10BP t =-.在Rt EFP △中,易得()22167EP t =+-.在Rt BEP △中,222BP BE EP =+, △()()221025167t t -=++-,解得:5s 3t =; 综上,当t 为7s 或53s 时,BPE 为直角三角形;(3)设PE x =.△P 在BE 的垂直平分线上,△BP PE x ==. 过点E 作EM BC ⊥于点M .易得3PM x =-.在Rt EPM 中,222EP EM PM =+, △()22163x x =+-,解得:256x ,△PE 的长为256.故答案为:(1)5;(2)7或53;(3)256。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
专训2利用特殊四边形的性质巧解动点问题
名师点金:利用特殊四边形的性质解动点问题,一般将动点看成特殊点解决问题,再运用从特殊到一般的思想
.........,将特殊点转化为一般点(动点)来解答.
平行四边形中的动点问题
1.如图,在▱ABCD中,E,F两点在对角线BD上运动(E,F不重合),且保持BE=DF,连接AE,CF.请你猜想AE与CF有怎样的数量关系和位置关系,并说明理由.
(第1题)
菱形中的动点问题
2.如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,动点E在边BC上,动点F在边CD上.
(1)如图①,若E是BC的中点,∠AEF=60°,求证:BE=DF;
(2)如图②,若∠EAF=60°,求证:△AEF是等边三角形.
(第2题)
矩形中的动点问题
3.在矩形ABCD中,AB=4 cm,BC=8 cm,AC的垂直平分线EF分别交AD,BC于点E,F,垂足为O.
(1)如图①,连接AF,CE.试说明四边形AFCE为菱形,并求AF的长.
(2)如图②,动点P,Q分别从A,C两点同时出发,沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周,即点P自A→F→B→A停止,点Q自C→D→E→C停止.在运动过程中,已知点P 的速度为5 cm/s,点Q的速度为4 cm/s,运动时间为t s,当以A,C,P,Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t的值.
(第3题)
正方形中的动点问题
4.如图,正方形ABCD的边长为8 cm,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的动点,且AE=BF=CG=DH.
(1)求证:四边形EFGH是正方形;
(2)判断直线EG是否经过一个定点,并说明理由.
(第4题)
参考答案
1.解:AE=CF,AE∥CF.理由如下:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD.
∴∠ABE=∠CDF.
又∵BE=DF,∴△ABE≌△CDF.
∴AE=CF,∠AEB=∠CFD.
∵∠AEB+∠AED=∠CFD+∠CFB=180°,
∴∠AED=∠CFB.∴AE∥CF.
2.证明:(1)连接AC.∵在菱形ABCD中,∠B=60°,AB=BC=CD,
∴∠BCD=180°-∠B=120°,△ABC是等边三角形.又∵E是BC的中点,∴AE⊥BC.∵∠AEF=60°,∴∠FEC=90°-∠AEF=30°.∴∠CFE=180°-∠FEC-∠BCD =180°-30°-120°=30°.∴∠FEC=∠CFE.∴EC=CF.∴BE=DF.
(2)连接AC.由(1)知△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠ACB=∠BAC=∠EAF=60°.∴∠BAE=∠CAF.
∵∠BCD=120°,∠ACB=60°,
∴∠ACF=60°=∠B.
∴△ABE≌△ACF.
∴AE=AF.∴△AEF是等边三角形.
3.解:(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC.
∴∠OAE=∠OCF,∠AEO=∠CFO.
∵EF垂直平分AC,垂足为O,
∴OA=OC.
∴△AOE≌△COF.∴OE=OF.
∴四边形AFCE为平行四边形.
又∵EF⊥AC,∴四边形AFCE为菱形.
设AF=CF=x cm,则BF=(8-x)cm,
在Rt△ABF中,AB=4 cm,由勾股定理得42+(8-x)2=x2,解得x=5,
∴AF=5 cm.
(第3题)
(2)显然当P点在AF上,Q点在CD上时,A,C,P,Q四点不可能构成平行四边形;同理P点在AB上时,Q点在DE或CE上,也不可能构成平行四边形.因此只有当P点在BF上,Q点在ED上时,才能构成平行四边形,如图,连接AP,CQ,若以A,C,P,Q
四点为顶点的四边形是平行四边形,则PC =QA .
∵点P 的速度为5 cm /s ,点Q 的速度为4 cm /s ,运动时间为t s ,
∴PC =5t cm ,QA =(12-4t )cm .
∴5t =12-4t ,解得t =43
. ∴以A ,C ,P ,Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时,t =43.
(第4题)
4.(1)证明:∵四边形ABCD 为正方形,
∴∠A =∠ABC =∠C =∠ADC =90°,AB =BC =CD =AD .
∵AE =BF =CG =DH ,∴BE =CF =DG =AH .
∴△AEH ≌△BFE ≌△CGF ≌△DHG .
∴EH =EF =FG =GH ,∠1=∠2.
∴四边形EFGH 为菱形.
∵∠1+∠3=90°,∠1=∠2,
∴∠2+∠3=90°.∴∠HEF =90°.
∵四边形EFGH 为菱形,
∴四边形EFGH 是正方形.
(2)解:直线EG 经过一个定点.理由如下:如图,连接BD ,DE ,BG .设EG 与BD 交于O 点.
∵BE DG ,
∴四边形BGDE 为平行四边形.
∴BD ,EG 互相平分.∴BO =OD .
∴点O 为正方形的中心.
∴直线EG 必过正方形的中心.。