第一章 特殊平行四边形专训2 利用特殊四边形的性质巧解动点问题(含答案)
特殊四边形动点问题专题训练及答案解析汇编
特殊四边形动点问题专题训练及答案解析（一）已知，如图，点D是△ABC的边AB的中点，四边形BCED是平行四边形，（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，平行四边形ADCE是矩形？证明：（1）因为四边形BCED是平行四边形，所以BD=CE且BD∥CE，又因为D是△ABC的边AB的中点，所以AD=BD，即DA=CE，又因为CE∥BD，所以四边形ADCE是平行四边形．（2）当△ABC为等腰三角形且AC=BC时，四边形ADCE是矩形理由：∵AC=BC，D是△ABC的边AB的中点∴CD⊥AD，即∠ADC=90°，由（1）可知，四边形ADCE是平行四边形∴四边形ADCE是矩形．（二）如图，已知E是▱ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F．（1）求证：△ABE≌△FCE．（2）连接AC、BF，若∠AEC=2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形．（三）如图，O为△ABC的边AC上一动点,过点O的直线MN∥BC，设MN分别交∠ACB的内、外角平分线于点E、F。
（1）求证：OE=OF（2）若CE=12，CF=5，求OC的长（3）当点O在AC边上运动到何处时，四边形AECF是矩形？证明你的结论（4）在（3）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF为正方形，并说明你的理由。
（1）证明：∵CE平分∠ACB∴∠ACE＝∠BCE∵MN∥BC∴∠OEC＝∠BCE，∴∠ACE＝∠OEC，∴OE＝OC，同理：OF＝OC∴OE＝OF（2）∵CE平分∠ACB∴∠ACE＝∠ACB/2∵CF平分∠ACD∴∠ACF＝∠ACD/2∴∠ECF＝∠ACE+∠ACF＝∠ACB/2+∠ACD/2＝（∠ACB+∠ACD）/2＝180/2＝900在Rt△ECF中，EF2= CE2+ CF2= 122+ 52=169∴EF=13由（1）可知OE＝OF∴OC=EF/2=13/2(3)、当O运动到AC的中点时，AECF是矩形证明：∵O是AC的中点∴AO＝CO∵OE＝OF∴四边形AECF是平行四边形由（2）可知∠ECF＝900∴四边形AECF是矩形3、△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90时，四边形AECF是正方形证明：∵∠ACB＝900，MN∥BC∴∠AOM＝∠ACB＝900，由（3）知四边形AECF 是矩形∴四边形AECF 是矩形（四）如图，已知平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AC=20cm 、BD=12cm ，两动点E 、F 同时分别以2cm/s 的速度从点A 、C 出发在线段AC 相对上运动．（1）求证：当E 、F 运动过程中不与点O 重合时，四边形BEDF 一定为平行四边形； （2）当E 、F 运动时间t 为何值时，四边形BEDF 为矩形？（1）解：连接DE ，EB ，BF ，FD∵两动点E 、F 同时分别以2cm/s 的速度从点A 、C 出发在线段AC 相对上运动． ∴AE=CF在平行四边形ABCD 中，OD=OB ，OA=OC ∴OA-AE=OC-CF 或AE-OA=CF-OC 即OE=OF∴四边形BEDF 为平行四边形．（2）当点E 在OA 上，点F 在OC 上时EF=BD=12cm ， 四边形BEDF 为矩形 ∵运动时间为t∴AE=CF=2t ∴EF=20-4t=12 ∴t=2（s ）当点E 在OC 上，点F 在OA 上时，EF=BD=12cm EF=4t-20=12 ∴t=8（s ）因此当E 、F 运动时间2s 或8s 时，四边形BEDF 为矩形．（五）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，BD=12cm ，AC=6cm ，点E 在线段BO 上从点B 以1cm/s 的速度运动，点F 在线段OD 上从点O 以2cm/s 的速度运动．（1）若点E 、F 同时运动，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，四边形AECF 是平行四边形． （2）在（1）的条件下，①当AB 为何值时，四边形AECF 是菱形；②四边形AECF 可以是矩形吗？为什么？OCDBAEF解：（1）连接DE，EB，BF，FD∵两动点E、F同时分别以2cm/s的速度从点A、C出发在线段AC相对上运动．∴AE=CF∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴OD=OB，OA=OC（平行四边形的对角线互相平分）∴OA-AE=OC-CF或AE-OA=CF-OC即OE=OF∴四边形AECF为平行四边形．（对角线互相平分的四边形是平行四边形）（2）当点E在OA上，点F在OC上时EF=BD=12cm，四边形BEDF为矩形∵运动时间为t∴AE=CF=2t∴EF=20-4t=12∴t=2（s）当点E在OC上，点F在OA上时，EF=BD=12cmEF=4t-20=12∴t=8（s）因此当E、F运动时间2s或8s时，四边形AECF为矩形．（六）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/s的速度运动，P、Q别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t 秒．（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？（2）当t为何值时，四边形ABQP为矩形？（七）(1)设经过xs的时间，四边形PQCD是平行四边形因为四边形PQCD是平行四边形所以DP=CQ由已知得：DP=AD-AP=24-xCQ=3x所以24-x=3xx=6答：经过6s的时间，四边形PQCD是平行四边形（2）设经过xs的时间，四边形PQBA是矩形因为四边形PQBA是矩形所以AP=BQ由已知得：AP=XBQ=BC-CQ=26-3x所以x=26-3xx=13/2答：经过13/2s的时间，四边形PQBA是矩形。
北师版九年级数学上册 第1章 特殊平行四边形中的旋转、最值、动点问题 专题训练 (含答案)
6.解：(1)根据图形的对称性，本来DF和BF相等，但是“在正方形AEFG绕点A旋转的过程中，线段DF与BF始终相等”不正确．例如，当点F旋转到AB上时，BF最短(小于AB)，而这时DF大于AD，即DF大于BF
(2)如图②，若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连接DG，在旋转的过程中，你能否找到一条线段与DG始终相等，并以图为例说明理由．
二、最值问题
7．如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为( )
A．2 B．4
∴BD，EG互相平分，∴BO＝OD，
∴点O为正方形的角平分线的交点，
∴直线EG必过正方形角平分线的交点
20.解：(1)BG＝DE，BG⊥DE，证明如下：
延长BG交DE于点H，
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠ECG＝90°，
∴△BCG≌△DCE(SAS)，
(2)当点E，F的运动时间t为何值时，四边形BEDF为矩形？
24.已知点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点(不与A，B重合)，分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为点E，F，点Q为斜边AB的中点．
(1)如图①，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系式是；
(2)如图②，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
北师大版九年级数学上册 第一章 专题1 利用特殊平行四边形的性质解动点问题
北师大版九年级上册第一章专题1 利用特殊平行四边形的性质解动点问题姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、解答题1 . 在平面直角坐标系中，O为原点，点A（﹣6，0）、点C（0，6），若正方形OABC绕点O顺时针旋转，得正方形OA′B′C′，记旋转角为α：（1）如图①，当α＝45°时，求BC与A′B′的交点D的坐标；（2）如图②，当α＝60°时，求点B′的坐标；（3）若P为线段BC′的中点，求AP长的取值范围（直接写出结果即可）．2 . 已知：矩形OABC的顶点O在平面直角坐标系的原点，边OA、OC分别在x、y轴的正半轴上，且OA=3cm，OC=4cm，点M从点A出发沿AB向终点B运动，点N从点C出发沿CA向终点A运动，点M、N同时出发，且运动的速度均为1cm/秒，当其中一个点到达终点时，另一点即停止运动．设运动的时间为t秒．（1）当点N运动1秒时，求点N的坐标；(提示:过N作x轴y轴垂线，垂足分别为D,ECN:CA=CE:CO=NE:OA) （2）试求出多边形OAMN的面积S与t的函数关系式；（3）t为何值时，以△OAN的一边所在直线为对称轴翻折△OAN，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为菱形？3 . 已知：如图，直线y＝﹣x+6与坐标轴分别交于A、B两点，点C是线段AB上的一个动点，连接OC，以OC 为边在它的左侧作正方形OCDE连接BE、CE．（1）当点C横坐标为4时，求点E的坐标；（2）若点C横坐标为t，△BCE的面积为S，请求出S关于t的函数解析式；（3）当点C在线段AB上运动时，点E相应随之运动，请求出点E所在的函数解析式．4 . 如图，四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，点E在射线AC上（不包括点A和点C），过点E的直线GH交直线AD于点G，交直线BC于点H，且GH∥DC，点F在BC的延长线上，CF＝AG，连接ED，EF，DF．（1）如图1，当点E在线段AC上时，①判断△AEG的形状，并说明理由．②求证：△DEF是等边三角形．（2）如图2，当点E在AC的延长线上时，△DEF是等边三角形吗？如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由．5 . 如图，点B在线段AF上，分别以AB、BF为边在线段AF的同侧作正方形ABCD和正方形BFGE，连接CF、DE，若E是BC的中点.求证：CF＝DE．参考答案一、解答题1、2、3、4、5、。
特殊四边形动点问题专题训练及解析精编版
2015特殊四边形动点问题专题训练及答案解析（一）已知，如图，点D是△ABC的边AB的中点，四边形BCED是平行四边形，（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，平行四边形ADCE是矩形？证明：（1）因为四边形BCED是平行四边形，所以BD=CE且BD∥CE，又因为D是△ABC的边AB的中点，所以AD=BD，即DA=CE，又因为CE∥BD，所以四边形ADCE是平行四边形．（2）当△ABC为等腰三角形且AC=BC时，四边形ADCE是矩形理由：∵AC=BC，D是△ABC的边AB的中点∴CD⊥AD，即∠ADC=90°，由（1）可知，四边形ADCE是平行四边形∴四边形ADCE是矩形．（二）如图，已知E是▱ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F．（1）求证：△ABE≌△FCE．（2）连接AC、BF，若∠AEC=2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形．（三）如图，O为△ABC的边AC上一动点,过点O的直线MN∥BC，设MN分别交∠ACB的内、外角平分线于点E、F。
（1）求证：OE=OF（2）若CE=12，CF=5，求OC的长（3）当点O在AC边上运动到何处时，四边形AECF是矩形？证明你的结论（4）在（3）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF为正方形，并说明你的理由。
（1）证明：∵CE平分∠ACB∴∠ACE＝∠BCE∵MN∥BC∴∠OEC＝∠BCE，∴∠ACE＝∠OEC，∴OE＝OC，同理：OF＝OC∴OE＝OF（2）∵CE平分∠ACB∴∠ACE＝∠ACB/2∵CF平分∠ACD∴∠ACF＝∠ACD/2∴∠ECF＝∠ACE+∠ACF＝∠ACB/2+∠ACD/2＝（∠ACB+∠ACD）/2＝180/2＝900在Rt△ECF中，EF2= CE2+ CF2= 122+ 52=169∴EF=13由（1）可知OE＝OF∴OC=EF/2=13/2(3)、当O运动到AC的中点时，AECF是矩形证明：∵O是AC的中点∴AO＝CO∵OE＝OF∴四边形AECF是平行四边形由（2）可知∠ECF＝900∴四边形AECF是矩形3、△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90时，四边形AECF是正方形证明：∵∠ACB＝900，MN∥BC∴∠AOM＝∠ACB＝900，由（3）知四边形AECF是矩形∴四边形AECF 是矩形（四）如图，已知平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AC=20cm 、BD=12cm ，两动点E 、F 同时分别以2cm/s 的速度从点A 、C 出发在线段AC 相对上运动．（1）求证：当E 、F 运动过程中不与点O 重合时，四边形BEDF 一定为平行四边形； （2）当E 、F 运动时间t 为何值时，四边形BEDF 为矩形？（1）解：连接DE ，EB ，BF ，FD∵两动点E 、F 同时分别以2cm/s 的速度从点A 、C 出发在线段AC 相对上运动． ∴AE=CF在平行四边形ABCD 中，OD=OB ，OA=OC ∴OA-AE=OC-CF 或AE-OA=CF-OC 即OE=OF∴四边形BEDF 为平行四边形．（2）当点E 在OA 上，点F 在OC 上时EF=BD=12cm ， 四边形BEDF 为矩形 ∵运动时间为t∴AE=CF=2t ∴EF=20-4t=12 ∴t=2（s ）当点E 在OC 上，点F 在OA 上时，EF=BD=12cm EF=4t-20=12 ∴t=8（s ）因此当E 、F 运动时间2s 或8s 时，四边形BEDF 为矩形．（五）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，BD=12cm ，AC=6cm ，点E 在线段BO 上从点B 以1cm/s 的速度运动，点F 在线段OD 上从点O 以2cm/s 的速度运动．（1）若点E 、F 同时运动，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，四边形AECF 是平行四边形． （2）在（1）的条件下，①当AB 为何值时，四边形AECF 是菱形；②四边形AECF 可以是矩形吗？为什么？解：（1）连接DE ，EB ，BF ，FD∵两动点E 、F 同时分别以2cm/s 的速度从点A 、C 出发在线段AC 相对上运动． ∴AE=CFOCDBAEF∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴OD=OB，OA=OC（平行四边形的对角线互相平分）∴OA-AE=OC-CF或AE-OA=CF-OC即OE=OF∴四边形AECF为平行四边形．（对角线互相平分的四边形是平行四边形）（2）当点E在OA上，点F在OC上时EF=BD=12cm，四边形BEDF为矩形∵运动时间为t∴AE=CF=2t∴EF=20-4t=12∴t=2（s）当点E在OC上，点F在OA上时，EF=BD=12cmEF=4t-20=12∴t=8（s）因此当E、F运动时间2s或8s时，四边形AECF为矩形．（六）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm ，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/s的速度运动，P、Q别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t 秒．（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？（2）当t为何值时，四边形ABQP为矩形？（七）(1)设经过xs的时间，四边形PQCD是平行四边形因为四边形PQCD是平行四边形所以DP=CQ由已知得：DP=AD-AP=24-xCQ=3x所以24-x=3xx=6答：经过6s的时间，四边形PQCD是平行四边形（2）设经过xs的时间，四边形PQBA是矩形因为四边形PQBA是矩形所以AP=BQ由已知得：AP=XBQ=BC-CQ=26-3x所以x=26-3xx=13/2答：经过13/2s的时间，四边形PQBA是矩形。
专题 利用特殊四边形的性质巧解动点问题(原卷版)
八年级下册数学《第十八章 平行四边形》专题 利用特殊四边形的性质巧解动点问题【例题1】（2021春•费县期中）如图所示，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝27cm ，BC ＝36cm ，点P 从A 向点D 以1cm /s 的速度运动，到点D 即停止．点Q 从点C 向点B 以2cm /s 的速度运动，到点B 即停止．直线PQ 将四边形ABCD 截成两个四边形，分别为四边形ABQP 和四边形PQCD ，则当P ，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？Q分别从点D，B同时出发，点P以1cm/s的速度向点A方向运动，点Q以2cm/s的速度向点C运动，几秒后四边形CDPQ是平行四边形（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【变式1-2】（2021秋•抚州期末）如图，在▱ABCD中，对角线BD⊥AD，AB＝16，∠A＝60°，O为BD的中点，E为边AB上一动点，以2cm/s的速度从A点向B点运动，运动时间为ts，连接EO并延长交CD于点F，连接DE、BF，下列结论不成立的是（ ）A．四边形DEBF为平行四边形B．若t＝4，则四边形DEBF为菱形C．若t＝2，则四边形DEBF为矩形D．若t＝6，则四边形DEBF为正方形【变式1-3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC且AD＝9cm，BC＝6cm，点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动．问几秒后直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形？自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，则当P，Q同时出发，设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，四边形APQB为平行四边形？（2）当t为何值时，四边形PDCQ为平行四边形？【变式1-5】（2022春•滨湖区期末）如图，∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝P为BC上一动点，AQ ∥BC，CQ∥AP，AQ、CQ交于点Q，则四边形APCQ的形状是 ，连接PQ，当PQ取得最小值时，四边形APCQ的周长为 ．【变式1-6】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，BC＝10，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1个单位的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2个单位的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE＝2，连接PE，设点P的运动时间为t秒．（1）若PE⊥BC，求BQ的长；（2）请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【变式1-7】如图，等边△ABC的边长为10cm，动点M从点B出发，沿B→A→C→B的方向以4cm/s的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B→C方向以3cm/s的速度运动．（1）若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点第一次相遇？（2）若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．那么运动到第几秒钟时，点A、M、N以及△ABC的边上一点D恰能构成一个平行四边形？求出时间t并请指出此时点D的具体位置．【变式1-8】（2021春•惠来县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，BD⊥AC于点D，且BD＝16cm．点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为4cm/s；同时点P由B点出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，过点P的直线PQ∥AC，交BC于点Q，连接PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：（1）线段AD＝ cm；（2）求证：PB＝PQ；（3）当t为何值时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形？【例题2】（2021秋•迁安市期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝8cm，BC＝12cm，点P从点B 出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，同时，点Q由点C出发，以相同的速度沿CD向点D运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP≌△PCQ时，t的值为（ ）A．1或3B．2C．2或4D．1或2【变式2-1】（2022春•玄武区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E在BC边上，且BE＝3，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边作正方形EFGH，且点H在矩形ABCD内，连接CH，则CH的最小值为（ ）A．3B．4CD【变式2-2】（2022春•新洲区期中）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝2，点E从D向C以每秒1个单位的速度运动，以AE为一边在AE的左上方作正方形AEFG，同时垂直于CD的直线MN也从C向D以每秒2个单位的速度运动，当点F落在直线MN上，设运动的时间为t，则t的值为（ ）A．1B．4C．103D．143【变式2-3】如图，矩形ACBE中，AC＝12，BC＝5，点M在边AB上，且AM＝6，动点D在矩形边上运动一周，能使△ADM是以∠AMD为顶角的等腰三角形共有（ ）A．3个B．4个C．5个D．6个【变式2-4】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点P，Q分别是边BC和CD上的两个动点（可以与线段的端点重合，但P，Q两点不重合），点E、F分别是PA和PQ的中点，在两个动点的移动过程中，线段EF的长度取值范围是 ．【变式2-5】如图，在长方形ABCD中，AB＝5cm，AD＝3cm．点E从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线ABC方向运动，点F从点C出发，以每秒1cm的速度沿线段CD方向向点D运动．已知动点E、F同时发，当点E运动到点C时，E、F停止运动，设运动时间为t．（1）当E运动到B点时，求出t的值；（2）在点E、点F的运动过程中，是否存在某一时刻，使得EF＝3cm？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【变式2-6】如图，在长方形ABCD中，AB＝8cm，BC＝12cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒．＝ ．（用t的代数式表示）（1）如图1，S△DCP（2）如图1，当t＝3时，试说明：△ABP≌△DCP．（3）如图2，当点P从点B开始运动的同时，点Q从点C出发，以vcm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．【变式2-7】（2022春•黄州区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为ts（0≤t≤5）．（1）AE＝t，EF＝ ．（2）若G，H分别是AB，DC的中点，求证：四边形EGFH是平行四边形．（3）在（2）的条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形？【变式2-8】（2021•合川区校级模拟）如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠BCD ＝90°，AB ＝DC ＝4，AD ＝BC ＝8．延长BC 到E ，使CE ＝3，连接DE ，由直角三角形的性质可知DE ＝5．动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC ﹣CD ﹣DA 向终点A 运动，设点P 运动的时间为t 秒．（t ＞0）（1）当t ＝3时，BP ＝ ；（2）当t ＝ 时，点P 运动到∠B 的角平分线上；（3）请用含t 的代数式表示△ABP 的面积S ；（4）当0＜t ＜6时，直接写出点P 到四边形ABED 相邻两边距离相等时t 的值．【例题3】如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，E ，F 分别为AD ，DC 上的动点，∠EBF ＝60°，点E 从点A 向点D 运动的过程中，AE +CF 的长度（ ）A ．逐渐增加B ．保持不变且与EF 的长度相等C ．逐渐减小D ．保持不变且与AB的长度相等【变式3-1】（2022春•西湖区期末）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点P从点B出发，沿折线B 一C一D方向移动，移动到点D停止，连结AP，DP．在△DAP形状的变化过程中，出现的特殊三角形有：①等腰三角形；②等边三角形；③直角三角形，以下排序正确的是（ ）A．①③②③B．③②①③C．①③②①D．③②③①【变式3-2】（2022•槐荫区一模）如图，菱形ABCD中对角线AC与BD相交于点F，且AC＝8，BD=P是对角线BD上一动点，连接AP，将AP绕点A逆时针旋转使得∠PAE＝∠BAD，连接PE，取AD的中点O，连接OE，则在点P的运动过程中，线段OE的最小值为（ ）A．2B．4C．D．【变式3-3】（2021春•仙桃期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝5cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为（ ）A．34B．43C．32D．53【变式3-4】如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．AC＝8cm，BD＝6cm，点P为AC上一动点，点P以1cm/s的速度从点A出发沿AC向点C运动．设运动时间为ts，当t＝ s时，△PAB为等腰三角形．【变式3-5】（2021•江西模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝ABC＝60°，AE⊥BC于点E，交BD于点F．若P是菱形ABCD边上的一动点，当△AFP的面积是DP的长为 ．【变式3-6】如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．（1）求证：四边形PBQD是平行四边形；（2）若AD＝8cm，AB＝6cm，P从点A出发，以1cm/秒的速度向D运动（不与D重合），设点P运动时间为t秒．①请用t表示PD的长；②求t为何值时，四边形PBQD是菱形．【变式3-7】（2022春•桥西区校级期中）如图所示，在菱形ABCD中，AB＝8，∠BAD＝120°，△AEF 为等边三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF．（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．【变式3-8】如图，在菱形ABCD中，AB＝2cm，∠ADC＝120°．动点E、F分别从点B、D同时出发，都以0.5cm/s的速度向点A、C运动，连接AF、CE，分别取AF、CE的中点G、H．设运动的时间为ts （0＜t＜4）．（1）求证：AF∥CE；（2）当t为何值时，△ADF2；（3）连接GE、FH．当t为何值时，四边形EHFG为菱形．【例题4】如图，点P是正方形ABCD的BC边上一动点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，若AC＝12，则PE+PF的值是（ ）A．6B．10C．D．12【变式4-1】正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D．在点E 从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（ ）A．先变大后变小B．先变小后变大C．一直变大D．保持不变【变式4-2】（2022•乐陵市模拟）如图，在正方形ABCD中，已知边长AB＝5，点E是BC边上一动点（点E不与B、C重合），连接AE，作点B关于直线AE的对称点F，则线段CF的最小值为（ ）A．54B．CD．5 2【变式4-3】（2021春•金寨县期末）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于点E，MF⊥CD于点F，连接EF，则EF的最小值为（ ）A．1B．C D【变式4-4】（2021•东阿县三模）如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB边的中点，点F在BC边上，点B关于直线EF的对称点记为B'，连接B'D，B'E，B'F．当点F在BC边上移动使得四边形BEB'F成为正方形时，B'D的长为（ ）A B C．D．3【变式4-5】如图，在边长为8的正方形ABCD中，E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF＝6，M为EF中点，P是边AD上的一个动点，则CP+PM的最小值是（ ）A．10B．3C．+3D．+5【变式4-6】（2021春•潼南区期末）如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE平分∠BAC，BE＝CF，P为线段AC上的动点，记PD+PF的最小值为m m2的值为（ ）A．6﹣B．8﹣C．D．【变式4-7】如图，点E是边长为12的正方形ABCD边BC上的一点，BE＝5，点F在该正方形的边上运动，当BF＝AE时，设线段AE与线段BF相交于点H，则BH的长等于 ．【变式4-8】如图，E是正方形ABCD一边CD上的中点，AB＝4，动点P从A→B→C→D在正方形的边上运动，当△PAE为等腰三角形时，则AP的长为 ．。
第一章特殊平行四边形——动点问题专题训练2022-2023学年北师大版数学九年级上册
北师大版数学九年级上册第一章特殊平行四边形——动点问题专题训练1.如图1，△ABC为等腰三角形，AB=AC=a，点P是底边BC上的一个动点，PD//AC，PE//AB．(1)用a表示四边形ADPE的周长为．(2)点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形，请说明理由．(3)如图2，如果△ABC不是等腰三角形，其他条件不变，点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形(不必说明理由)．2.如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN//BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交△ACB的外角平分线于点F．(1)求证：OE=OF；(2)若CE=8，CF=6，求OC的长；(3)若点O为AC中点，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并说明理由．3.阅读以下材料，并按要求完成相应的任务，如图(1)，已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点M是BC边的中点，过点M作ME//AC交BD于点E，作MF//AC交AC于点F，我们称四边形OEMF为四边形ABCD的“伴随四边形”．(1)若四边形ABCD是菱形，则其“伴随四边形”是______，若四边形ABCD是矩形，则其“伴随四边形”是______(在横线上填特殊平行四边形的名称)；(2)如图(2)，若四边形ABCD是矩形，M是BC延长线上的一个动点，其他条件不变，点F落在AC的延长线上，请写出线段OB、ME、MF之间的数量关系，并说明理由．4.如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一动点，(点G不与C、D重合)以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE.我们探究下列图中线段BG、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系；(1)猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；并证明你的结论．(2)将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转一定角度，得到如图2情形．请你判断(1)中得到的结论是否仍然成立，并说明理由．5.如图：正方形OABC置于坐标系中，B的坐标是(−4,4)，点D是边OA上一动点，以OD为边在第一象限内作正方形ODEF．(1)CD与AF有怎样的位置关系，猜想并证明；(2)当OD=______时，直线CD平分线段AF；(3)在OD=2时，将正方形ODEF绕点O逆时针旋转α°(0°<α°<180°)，求当C、D、E共线时D的坐标．6.如图在正方形ABCD中，边长为3，点P是射线DC上的动点，DM⊥AP于M，BN⊥AP于N．(1)当点P与C、D重合时，DM2+BN2的值分别为______、______；(2)当点P不与D、C重合时，试猜想DM2+BN2的值，并对你的猜想加以证明．7.如图①，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.解答下面的问题：(1)如果AB=AC，∠BAC=90°.当点D在线段BC上时(与点B不重合)，如图②，线段CF、BD之间的数量关系为______，位置关系为______.(写出证明过程)(2)如图③，线段CF、BD之间的数量，位置关系是否成立？______(填“是”或“否”)．8.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点P为线段AB上不与A，B重合的一个动点，过点P作PQ⊥BC于点Q，将△BPQ绕点B逆时针旋转，连接CP，点D为CP中点，连接AD，AQ，DQ，已知AC=3，AB=6．(1)当旋转角为0°时，如图1，线段AD与线段QD的数量关系为______ ；(2)如图2，当点P，Q，C第一次旋转到一条直线上时，试找出线段CQ、PQ，AD的数量关系并说明理由；(3)旋转过程中，当点P为边AB的三等分点时，直接写出线段AD的最大值．9.如图，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C，D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE。
北师大版九年级上册第一章专题1利用特殊平行四边形的性质解动点问题
北师大版九年级上册第一章专题1利用特殊平行四边形的性质解动点问题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上的两点，且BE=DF ，连接AE 、CF ，请你猜想：AE 与CF 有怎样的数量关系？并对你的猜想加以证明．2．已知，在矩形ABCD 中，4cm AB =，8cm BC =，AC 的垂直平分线EF 分别交AD BC ，于点E F ，，垂足为O ．（1）如图1，连接AF CE ，．试说明四边形AFCE 为菱形，并求AF 的长； （2）如图2，动点P Q ，分别从A C ，两点同时出发，沿AFB ∆和CDE ∆各边匀速运动一周，即点P 自A F B A →→→停止，点Q 自C D E C →→→停止，在运动过程中，已知点P 的速度为5cm /s ，点Q 的速度为4cm /s ，运动时间为 s t ，当以A C P Q ，，，四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值．3．如图，点E 是矩形ABCD 的对角线BD 上的一点，且BE BC =，3AB =，4BC =，点P 是EC 上的一动点，且PQ BC ⊥于点Q ，PR BD ⊥于点R ．（1）如图1，当点P 为线段EC 的中点时，求证：125PR PQ +=；（2）如图2，当点P为线段EC上任意一点（不与点E，点C重合）时，其他条件不变，则（1）中的结论是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P为线段EC延长线上任意一点时，其他条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．4．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，对角线AC，BD相交于点G，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F.(1)求对角线AC的长及菱形ABCD的面积．(2)如图①，当点O在对角线BD上运动时，OE＋OF的值是否发生变化？请说明理由．(3)如图②，当点O在对角线BD的延长线上时，OE＋OF的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE，OF之间的数量关系．5．如图，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)判断直线EG是否经过某一定点，并说明理由．参考答案1．AE=CF,证明见解析【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，即可得AB ∥CD ，AB=CD ，然后利用平行线的性质，求得∠ABE=∠CDF ，又由BE=DF ，即可由SAS 证得△ABE ≌△CDF ，从而可得AE=CF.【详解】猜想：AE=CF. 证明如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB=CD. ∴∠ABE=∠CDF.在△ABE 和△CDF 中，AB=CD ，∠ABE=∠CDF ，BE=DF ，∴△ABE ≌△CDF （SAS ），∴AE=CF【点睛】本题考查平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质，证明线段相等，常用全等三角形. 2．（1）5cm AF =；（2）43t =. 【解析】【分析】（1）根据全等推出OE=OF ，得出平行四边形AFCE ，根据菱形判定推出即可，根据菱形性质得出AF=CF ，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可；（2）分情况讨论可知，当P 点在BF 上、Q 点在ED 上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可．【详解】（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴//AD BC ．∴CAD ACB ∠=∠，AEF CFE ∠=∠．∵EF 垂直平分AC ，垂足为O ，∴OA OC =．∴(AAS)AOE COF ∆∆≌．∴OE OF =．∴四边形AFCE 为平行四边形．又∵EF AC ⊥，∴平行四边形AFCE 为菱形．设cm AF CF x ==，则(8)cm BF x =-，在Rt ABF ∆中，4cm AB =，由勾股定理，得2224(8)x x +-=，解得5x =．∴5cm AF =．（2）当P 点在AF 上时，Q 点在CD 上，此时A 、C 、P 、Q 四点不可能构成平行四边形； 同理P 点在AB 上时，Q 点在DE 或CE 上或P 在BF ，Q 在CD 时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形．因此只有当P 点在BF 上、Q 点在ED 上时，才能构成平行四边形，当以AC P Q ，，，四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC QA =． ∵点P 的速度为5cm /s ，点Q 的速度为4cm /s ，运动时间为 s t ，∴5cm PC t =，(124)cm QA t =-．∴5124t t =-，解得43t =． ∴以AC P Q ，，，四点为顶点的四边形是平行四边形时，43t =． 【点睛】本题考查的是四边形综合题型，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，翻折变换的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的性质．3．（1）见解析；（2）125PR PQ +=仍成立，见解析；（3）125PR PQ -=. 【分析】（1）连接BP ，过C 点作CH BD ⊥于点H ，根据矩形的性质及勾股定理求出BD 的长，根据三角形BCF 的面积=三角形AFP 的面积+三角形BPC 的面积，通过面积计算公式及等量代换即可证明.（2）连接BP ，过C 点作CK ⊥BD 于点K ．根据矩形的性质及勾股定理求出BD 的长，根据三角形面积相等可求出CK 的长，最后通过等量代换即可证明；（3）图3中的结论是125PR PQ -=， 【详解】（1）连接BP ，作CH BD ⊥于点H ，如图1．∵BE BC =，点P 为CE 的中点，∴BP 是EBC ∠的平分线．∵PR BE ⊥，PQ BC ⊥，∴PR PQ =．在矩形ABCD 中，90BCD ︒∠=，4BC =，3CD AB ==，∴5BD ===． 由1122BCD S BC CD BD CH ∆==， 得431255BC CD CH BD ⋅⨯===． ∵=PBE PBC BCE S S S ∆∆∆+，∴111222BE PR BC PQ BE CH ⋅+⋅=⋅． 又∵BE BC =， ∴125PR PQ CH +==．（2）（1）中结论125PR PQ +=仍成立． 证明：连接BP ，作CH BD ⊥于点H ，如图2．∵PBE PBC BCE S S S ∆∆∆+=，∴111222BE PR BC PQ BE CH ⋅+⋅=⋅． 又∵BE BC =，∴PR PQ CH +=．∵125CH =， ∴125PR PQ +=． （3过C 点作CH BD ⊥于点H ，如图3∵S △BPE -S △BCP =S △BEC ， ∴111222BE PR BC PQ BE CH ⋅-⋅=⋅ 又∵BE BC =，∴PR PQ CH -=． ∵125CH =， ∴125PR PQ -=． 【点睛】本题考查了矩形的性质及勾股定理，难度适中，关键是掌握好矩形的性质及面积法的运用. 4．（1）12；96 （2）答案见解析 （3）答案见解析【解析】【分析】（1）根据菱形的对角线互相垂直平分求出BG ，再利用勾股定理列式求出AG ，然后根据AC=2AG 计算即可得解；再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解； （2）连接AO ，根据S △ABD =S △ABO +S △ADO 列式计算即可得解；（3）连接AO ，根据S △ABD =S △ABO -S △ADO 列式整理即可得解.【详解】解：(1)在菱形ABCD 中，AG ＝CG ，AC ⊥BD ，BG ＝12BD ＝12×16＝8，由勾股定理得AG 6==，所以AC ＝2AG ＝2×6＝12. 所以菱形ABCD 的面积＝12AC·BD ＝12×12×16＝96. (2)不发生变化．理由如下：如图①，连接AO ，则S △ABD ＝S △ABO ＋S △AOD ， 所以12BD·AG ＝12AB·OE ＋12AD·OF ，即12×16×6＝12×10·OE ＋12×10·OF. 解得OE ＋OF ＝9.6，是定值，不变．(3)发生变化．如图②，连接AO ，则S △ABD ＝S △ABO －S △AOD ， 所以12BD·AG ＝12AB·OE －12AD·OF. 即12×16×6＝12×10·OE －12×10·OF. 解得OE －OF ＝9.6，是定值，不变．所以OE ＋OF 的值发生变化，OE ，OF 之间的数量关系为OE －OF ＝9.6.【点睛】本题主要考查了菱形的性质，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，（2）（3）作辅助线构造出两个三角形是解题的关键.5．（1）证明见解析；（2）EG 必过BD 中点这个点，理由见解析.【解析】试题分析：（1）由正方形的性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA ，证出AH=BE=CF=DG ，由SAS 证明△AEH ≌△BFE ≌△CGF ≌△DHG ，得出EH=FE=GF=GH ，∠AEH=∠BFE ，证出四边形EFGH 是菱形，再证出∠HEF=90°，即可得出结论；（2）直线EG 经过正方形ABCD 的中心， 连接BD 交EG 于点O ，易证△EOB ≌△GOD ．可得BO=DO 即点O 为BD 的中点．所以直线EG 经过正方形ABCD 的中心．试题解析：（1）∵四边形ABCD 是正方形．∴90BAD ABC BCD CDA ∠=∠=∠=∠=︒，AB BC CD DA ===．∵AE BF CG DH ===．∴AH BE CF DG ===．∴EAH ≌FBE ≌GCF ≌HDG ． ∴EH EF FG HG ===，AEH BFE ∠=∠． ∴四边形EFGH 是菱形．∵90BEF BFE ∠+∠=︒，AEH BFE ∠=∠． ∴90BEF AEH ∠+∠=︒．∴90HEF ∠=︒．∵四边形EFGH 是菱形，90HEF ∠=︒． ∴四边形EFGH 是正方形．（2）直线EG 经过正方形ABCD 的中心，理由如下： 连接BD 交EG 于点O ．∵四边形ABCD 是正方形．∴AB DC ．∴EBD GDB ∠=∠．∵EOB GOD ∠=∠，EBD GDB ∠=∠，BE DG =． ∴EOB ≌GOD ．∴BO DO =，即点O 为BD 的中点．∴直线EG 经过正方形ABCD 的中心．。
专题02 特殊平行四边形的动点问题(解析版)2021-2022学年九年级数学上(北师大版,成都专用)
专题02 特殊平行四边形的动点问题类型一、运动的图像问题例1．如图，在菱形ABCD 中，4cm AB =，60A ︒∠=，点P 从点A 出发，沿A D C →→以1cm/s 的速度运动到点C 停止，同时，点Q 从点A 出发，沿AB 以相同的速度运动到点B 停止，若APQ 的面积为s （平方厘米），运动时间为(s)t ，则下列能反映S 与t 之间的函数关系的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据题意，当0﹤t≤4时，△APQ 为等边三角形，且AP=AQ=t ，过点P 作PE△AB 于E ，则，△△APQ 的面积2112224s PE AQ t =⋅⋅=⋅⋅=，故可排除选项A 、B ；当点Q 到达B 点时，点P 到达D 点，这时t=4,面积s 24=， 当4﹤t≤8时，点Q 在B 点不动，点Q 在CD 上运动，△APQ 的面积s 保持不变，故排除选项C ， 所以能反映S 与t 之间的函数关系的图象大致为D 选项，故选：D ．【变式训练1】如图，P 是菱形ABCD 边上的一动点，它从点A 出发沿A →B →C 的路径匀速运动到点C ，点R 是 CD 边的中点，点M ，点N 分别是线段AP ，PR 的中点，设P 点运动时间为x ，MN 的长为y ，则y 关于x 的函数图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】如图所示，连接AR ．△M 是AP 的中点，N 是PR 的中点，△MN 是PAR △的中位线．△12MN AR =． 即点P 在符合条件的运动过程中，始终有12MN AR =．△12y AR =． △A 、R 是定点，△AR 是定值．△y 是定值，与点P 运动的时间x 无关．故选：D【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是菱形，AB△x 轴，点B 的坐标为（4，1）， △BAD ＝60°，垂直于x 轴的直线l 从y 轴出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l 与菱形ABCD 的两边分别交于点M ，N （点N 在点M 的上方），连接OM ，ON ，若△OMN 的面积为s ，直线l 的运动时间为t 秒（0≤t≤6），则S 与t 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】如图1，当0≤t≤2时，△l △y 轴，△AMN OMN S S ==S ，△AM=t ，△BAD ＝60°，，△S=212t ⨯=； 图像是经过原点，开口向上的一段抛物线；如图2，当2＜t≤4时，MN 是定长，△AD=4，△BAD ＝60°，△S=12t ⨯⨯=； 图像是经过原点，正比例函数上的一段；△y=2x 的比例系数2△面积线段的倾斜度要比y=2x 的坡；如图3，当4＜t≤6时，当直线经过点C 时，△BC=4，△CBG ＝60°，△BG=2，△B （4，1），C （6，），设直线BC 的解析式为y=kx+b ，△4161k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1k b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ △直线的解析式为1+-△N 的坐标为（t ，），M 的坐标为（t1+-，-1+-=+△S=1(2t ⨯⨯+=+；图像是开口向下的一段抛物线； 故选C ．【变式训练3】如图，矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，点P 从A 点出发，按A B C →→的方向在AB和BC上移动，记PA x=，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数大致图象是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】（1）当点P在AB上移动时，点D到直线PA的距离为：y=DA=BC=4（0≤x≤3）．（2）如图1，当点P在BC上移动时，，△AB=3，BC=4，，△△PAB+△DAE=90°，△ADE+△DAE=90°，△△PAB=△ADE，在△PAB和△ADE中，PAB ADEABP DEA∠∠⎧⎨∠∠⎩＝＝，△△PAB△△ADE，△PA ABAD DE=，△34xy=，△y=12x（3＜x≤5）．故选：C．类型二、函数图像中的几何动点问题例1.如图，直线l1经过A（6，0）、B（0，8）两点，点C从B出发沿线段BO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，点D从A出发沿线段AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）求直线l1的表达式；（2）当t＝时，BC＝BD；（3）将直线l1沿x轴向右平移3个单位长度后，与x轴，y轴分别交于E、F两点，求四边形BAEF的面积；（4）在平面内，是否存在点P，使O、A、B、P四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）483y x =-+ ；（2）103；（3）30；（4）存在， 点P 的坐标为：（6，8）或（﹣6，8）或（6，﹣8）【解析】（1）设直线1l 的表达式为y ＝kx ＋b ，将A （6，0）、B （0，8）代入得：60 8k b b +=⎧⎨=⎩，解得：43 8k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，△直线1l 的表达式为483y x =-+ ； （2）由点A 、B 的坐标知，OA ＝6，OB ＝8，则AB ＝10，t 秒时，BC ＝t ，BD ＝BA ﹣AD ＝10﹣2t ，当BC ＝BD 时，则t ＝10﹣2t ，解得：t ＝103；故答案为103； （3）由平移可得：直线EF 的关系式为：44(3)81233y x x =-+=-+， 当x ＝0时，y ＝12，F （0，12），当y ＝0时，x ＝9，E （9，0），EFO ABO BAEF S S S =-四边形，即11912683022BAEF S =⨯⨯-⨯⨯=四形边， 答：四边形BAEF 的面积是30；（4）存在，理由：设点P （m ，n ），而点A 、B 、O 的坐标分别为（6，0），（0，8），（0，0）．①当AB 是边时，点A 向左平移6个单位向上平移8个单位得到点B ，同样点O （P ）向左平移6个单位向上平移8个单位得到点P （O ），即0﹣6＝m 且0＋8＝n 或0＋6＝m 且0﹣8＝n ，解得68m n =-⎧⎨=⎩或68m n =⎧⎨=-⎩； ②当AB 是对角线时，由中点公式得：12（6＋0）＝12（0＋m ）且12（0＋8）＝12（0＋n ），解得6 8m n =⎧⎨=⎩； 综上点P 的坐标为：（6，8）或（﹣6，8）或（6，﹣8）．【变式训练1】如图1，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，对角线AC BD 、交于点,O P 从B 点出发，沿B D C →→方向匀速运动，P 点运动速度为1cm/s ．图2是点P 运动时，APC △的面积2()cm y 随P 点运动时间()s x 变化的函数图像．（1）AB =_______cm,a =_____；（2）P 点在BD 上运动时，x 为何值时，四边形ADCP（3）在P 点运动过程中，是否存在某一时刻使得APB △为直角三角形，若存在，求x 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2（2；（31 【解析】（1）在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，则ABC ∆、ACD ∆为全等的两个等边三角形， 设ABC ∆的边长为a2a ， 由图2知，当点P 在点A 时，y ABC =∆的面积2==，解得2a =（负值已舍去）， 即菱形的边长为2，则2()AB cm =，由题意知，点P 与点O 重合时，对于图2的a 所在的位置，则1AO =，故a BO ==2（2）由（1）知点P 在BO 段运动时，对于图2第一段直线，而该直线过点、0)，设其对应的函数表达式为y kx t =+，则0t t ⎧=⎪+=，解得1k t =-⎧⎪⎨=⎪⎩，故该段函数的表达式为=-+y x当点P 在BD 上运动时，四边形ADCPP 只能在BO 上，则四边形ADCP 的面积ACD S y ∆=+x x =；（3）存在，理由：由（1）知，菱形的边长为2，则BP =1AO =，过点A 作AP DC ''⊥于点P ''交BD 于点P '，ABC ∆、ACD ∆均为等边三角形，则30PAP DAP ∠'=∠''=︒，①当点P 和点O 重合时，APB ∠为直角，则x BP ==②当BAP ∠'为直角时，则同理可得：PP '=x BP PP =+'=；③当BAP ∠''为直角时，则112x BD DP AD =+''==，综上，x 或1． 【变式训练2】如图，在平面直角坐标系内，梯形OABC 的顶点坐标分别是：A （3，4），B （8，4）， C （11，0），点P （t ，0）是线段OC 上一点，设四边形ABCP 的面积为S ．（1）过点B 作BE△X 轴于点E ，则BE= ，用含t 的代数式表示PC= ．（2）求S 与t 的函数关系．（3）当S ＝20时，求线段AP 与CP 的长．【答案】（1）4，11-t ；（2）s =32-2t ；（3）AP =5， CP =5【解析】（1）过点B 作BE△x 轴于点E ，如图所示：△B （8，4），E （8，0），△BE=4-0=4，△C （11，0），点P （t ，0），△OC=11，OP=t ，△用含t 的代数式表示PC=11﹣t ；故答案为4，11﹣t ；（2）AB=8-3=5，PC=11﹣t，BE=4，由梯形的面积公式得：S=12（AB+PC）BE=12（5+11﹣t）×4，△S与t的函数关系为：S=﹣2t+32；（3）当S=20时，﹣2t+32=20，解得：t=6．此时，PC=11﹣t=5．过A作AF△OC于F，△A（3，4），△F（3，0），则AF=4-0=4，FP=OP-OF=6-3=3，在Rt△AFP中，5=，△AP=PC=5．故答案为:（1）4，11-t；（2）s=32-2t；（3）AP=5，CP=5类型三、几何图形存在性问题例1.如图，已知在四边形ABCD中，AD△BC，△B＝90°，AD＝24cm，AB＝8cm，BC＝26cm，动点P从A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/s的速度运动，P、Q别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，四边形ABQP为矩形？（2）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？（3）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？【答案】（1）t＝6.5s时，四边形ABQP是矩形；（2）当t＝6s时，四边形PQCD是平行四边形；（3）当t＝7（s）时，四边形PQCD为等腰梯形【解析】△设运动时间为t秒，△AP＝t（cm），PD＝AD﹣AP＝24﹣t（cm），CQ＝3t（cm），BQ＝BC﹣CQ＝26﹣3t（cm），（1）如图1：△AD △BC ，△当PA ＝BQ 时，四边形ABQP 是平行四边形，△△B ＝90°，△四边形ABQP 是矩形，即t ＝26﹣3t ，解得：t ＝6.5，△t ＝6.5s 时，四边形ABQP 是矩形，（2）△AD △BC ，△当QC ＝PD 时，四边形PQCD 是平行四边形．此时有3t ＝24﹣t ，解得t ＝6．△当t ＝6s 时，四边形PQCD 是平行四边形．（3）当四边形PQCD 为等腰梯形时，如图所示：在Rt△PQF 和Rt△CDE 中，△PQ ＝DC ，PF ＝DE ，△Rt△PQF △Rt△CDE （HL ），△QF ＝CE ，△QC ﹣PD ＝QC ﹣EF ＝QF ＋EC ＝2CE ，即3t ﹣（24﹣t ）＝4，解得：t ＝7（s ）即当t ＝7（s ）时，四边形PQCD 为等腰梯形．故答案为：（1）t ＝6.5s 时，四边形ABQP 是矩形；（2）当t ＝6s 时，四边形PQCD 是平行四边形； （3）当t ＝7（s ）时，四边形PQCD 为等腰梯形【变式训练1】矩形ABCD 中，16cm AB ，6cm BC ，点P 从点A 出发沿AB 向点B 移动（不与点A 、B 重合），一直到达点B 为止；同时，点Q 从点C 出发沿CD 向点D 移动（不与点C 、D 重合）．运动时间设为t 秒．（1）若点P 、Q 均以3cm/s 的速度移动，则：AP =_______cm ；QC =_______cm ．（用含t 的代数式表示）（2）若点P 为3cm/s 的速度移动，点Q 以2cm/s 的速度移动，经过多长时间PD PQ =，使DPQ ∆为等腰三角形？（3）若点P 、Q 均以3cm/s 的速度移动，经过多长时间，四边形BPDQ 为菱形？【答案】（1）3t ，3t ；（2）2s ；（3）5524s 【解析】（1）△33AP t t ==；33QC t t ==，△3cm AP t =；3cm QC t =．（2）过点P 作PE CD ⊥于点E ，△90PED ∠=︒△PD PQ =，△12DE DQ = 在矩形ABCD 中，90A ADE ∠=∠=︒，16cm CD AB ==△四边形PEDA 是矩形，△3DE AP t ==，又△2CQ t =，△162DQ t =-△由12DE DQ =，△()131622t t =⨯-，△2t =，△当2t =时，PD PQ =，DPQ ∆为等腰三角形 （3）在矩形ABCD 中，AB CD =，//AB CD ，AD BC =，依题知3AP CQ t == △PB DQ =，△四边形BPDQ 是平行四边形，当PD PB =时，四边形BPDQ 是菱形，△163PB AB AP t =-=-在Rt APD ∆中，PD =由PD PB =，△163t -=△()22163936t t -=+，解得：5524t = △当5524t =时，四边形BPDQ 是菱形． 故答案为：（1）3t ，3t ；（2）2s ；（3）5524s【变式训练2】在直角三角形ABC 中，△B =90°，BC =6 cm ，AB =8 cm ，有一动点P 以3cm/s 的速度从点C 出发向终点B 运动，同时还有一动点Q 以5 cm/s 的速度也从点C 出发，向终点A 运动，连结PQ ，并且PQ △BC ，以CP 、CQ 为邻边作平行四边形CQMP ，设动点P 的运动时间为t （s ）（0＜t ＜2）．（1）BP = （用含t 的代数式表示）；（2）当点M 在△B 的平分线上时，求此时的t 值；（3）当四边形BPQM 是平行四边形时，求CM 的值；（4）连结AM ，直接写出当△AMQ 是等腰三角形时t 的值．【答案】（1）BF=6-3t ；（2）35t =；（3）（4）t=54或43或5043 【解析】（1）∵PC=3t ，BP=BC -PC ，∵BP=6-3t ；（2）如图1，连接BM ，过EM 、DM 作ME∵AB ，MD∵BC,∵当点M 在∵B 的平分线上时，∵EM=MD∵PQ ∵BC ，∵四边形EBPQ 为矩形, 四边形MDPQ 为矩形，∵BE=MD=PQ ，MQ=DP∵平行四边形CQMP ，∵MQ=PC=3t,即DP=PC=3t ，∵BD=6-6t ，即EM=6-6t∵CQ=5t ，4t = ，即MD=4t ，∵EM=MD ，∵6-6t=4t ，解得35t =；（3）如图2，连接CM∵四边形BPQM 是平行四边形，PQ ∵BC ，∵四边形BPQM 是矩形，∵BM=QP,MQ=BP∵∵B=90°，∵M在AB上，∵平行四边形CQMP，∵MQ=PC=3t，∵BP=PC=3t∵BC= BP+PC=6t，即t=1，∵PC=3t=3，CQ=5t=54==,即BM=4，∵∵B=90°==（4）延长QM交AB于E,过M作MD∵BC，∵BC=6 cm，AB=8 cm，10=,∵CQ=5t，∵AQ=10-5t，∵PC=3t，4t=∵∵B=90°，PQ∵BC，∠EQP=90°, MD∵BC∵四边形BEQP是矩形,四边形MQPD是矩形，∵BE=QP=4t，MQ=DP=3t，ME=MD∵AE=8-4t,EM=6-6t，==∵AQ=10-5t，MQ=3t，∵AMQ是等腰三角形∵∵AM=QM，即，解得t=5043或t=2（舍）；∵AM=AQ，即-5t，解得t=43或t=0（舍）；∵MQ=AQ，即3t=10-5t，解得t=5 4 .综上，当∵AMQ是等腰三角形时，t=54或43或5043．【变式训练3】如图1，在长方形ABCD 中，6cm 10cm AB CD BC ===，，点P 从点B 出发，以2cm /s 的速度沿BC 向点C 运动（点P 运动到点C 处时停止运动），设点P 的运动时间为s t ．（1）PC _____________cm ．（用含t 的式子表示）（2）当t 为何值时，ABP DCP ≌？（3）如图2，当点P 从点B 开始运动，同时，点Q 从点C 出发，以cm /s v 的速度沿CD 向点D 运动（点Q 运动到点D 处时停止运动，,P Q 两点中有一点停止运动后另一点也停止运动），是否存在这样的υ值使得ABP △与PQC △全等？若存在，请求出v 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）102t -；（2） 2.5t =；（3）存在，=2.4v 或2，理由见解析．【解析】（1）由题意得，2BP t ，102PC BC BP t ，故答案为：102t -；（2）若ABP DCP ≌，，则BP PC =2102t t ，即410t ， 2.5t ∴=∴当 2.5t =时，ABP DCP ≌；（3）存在，理由如下：当,BP CQ AB PC 时，ABP PCQ ≅6AB =，6PC ∴=，1064BP ∴=-=，24t ，2t ∴= 4CQ BP ，24v =，2v ； 当,BA CQ PB PC 时，ABP QCP ≅PB PC =，152BP PC BC ∴===，25t， 2.5t ∴= 6CQ BP ， 2.56v ， 2.4v综上所述，当=2.4v 或2时，ABP △与PQC △全等．【变式训练4】如图，在长方形ABCD 中，4AB =，10AD =，E 为边AD 上的一点，7DE =，动点P 从点C 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边CB 向终点B 运动，连接PE ，BE ，设点P 运动的时间为t 秒．（1）求BE 的长；（2）若BPE 为直角三角形，求t 的值；（3）若点P 在BE 的垂直平分线上，求PE 的长．【答案】（1）5；（2）7或53；（3）256【解析】（1）根据题意知：3AE AD DE =-=，△5BE ==，△BE 的长为5； （2）①当90BPE ∠=︒时，3BP =，7CP =，△77s 1t ==； ②当90BEP ∠=︒时，过点P 作PF AD ⊥于点F ，易得7EF t =-，10BP t =-．在Rt EFP △中，易得()22167EP t =+-．在Rt BEP △中，222BP BE EP =+， △()()221025167t t -=++-，解得：5s 3t =； 综上，当t 为7s 或53s 时，BPE 为直角三角形；（3）设PE x =．△P 在BE 的垂直平分线上，△BP PE x ==． 过点E 作EM BC ⊥于点M ．易得3PM x =-．在Rt EPM 中，222EP EM PM =+， △()22163x x =+-，解得：256x ，△PE 的长为256．故答案为：（1）5；（2）7或53；（3）256。
九年级数学上册第一章特殊平行四边形专题二特殊平行四边形中的动点问题及最值问题作业课件新版北师大版
第一章 特殊平行四边形
专题(二) 特殊平行四边形中的动点问 题及最值问题
类型一 特殊四边形中的动点问题
1．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝14 cm，点 P 从点 B 出发，沿
类型二 特殊四边形中的最值问题
4．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝6，E 是 AB 边的中点，F 是线段 BC 上的一
点，将△EBF 沿 EF 所在直线折叠得到△EB′F，连接 B′D，ห้องสมุดไป่ตู้ B′D 的最小值是( A )
A．2 10－2
B．6
C．2 13－2
D．4
5．如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在
(2)直接写出四边形EDFG面积的最小值和点E的所在的位置．
(2)当O是AC上怎样的点，且AC与BC具有什么关系时，四边形AECF为正方形？
解：∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠HCF. 又∵CE平分∠BCO，CF平分∠HCO，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠HCF，
∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC，∴EO＝CO＝FO. (1)当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，
C.14
D.7
5
2
2．(2018·河南)如图①，点 F 从菱形 ABCD 的顶点 A 出发，沿 A→D→B 以 1 cm/s 的速
度匀速运动到点 B，图②是点 F 运动时，△FBC 的面积 y(cm2)随时间 x(s)变化的关系
北师大版九年级上册第一章特殊平行四边形知识点讲解(含例题及答案)
北师大版九年级上册第一章特殊平行四边形知识点讲解（含例题及答案）【学习目标】1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算. 【知识关系】【知识点梳理】知识点一、平行四边形1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2．性质：（1）对边平行且相等； （2）对角相等；邻角互补； （3）对角线互相平分； （4）中心对称图形. 3．面积：4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形． 边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形； 对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形. 知识点诠释：平行线的性质： （1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等. 知识点二、菱形高底平行四边形⨯=S1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质； （2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积：4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四边相等的四边形是菱形.知识点三、矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 知识点诠释：由矩形得直角三角形的性质： （1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半． 知识点四、正方形1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 2．性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； （6）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线 4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形； （3）对角线相等的菱形是正方形； （4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； （6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.【典型例题】类型一、平行四边形2对角线对角线高＝＝底菱形⨯⨯S 宽＝长矩形⨯S1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC 交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．（1）求证：DE=EF；（2）连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B=∠A+∠DGC．【思路点拨】（1）首先证明四边形DBCF为平行四边形，可得DF=BC，再证明DE=1 2BC，进而得到EF=12CB，即可证出DE=EF；（2）首先画出图形，首先根据平行线的性质可得∠ADG=∠G，再证明∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，然后再推出∠1=∠DCB=∠B，再由∠A+∠ADG=∠1可得∠A+∠G=∠B．【答案与解析】证明：（1）∵DE∥BC，CF∥AB，∴四边形DBCF为平行四边形，∴DF=BC，∵D为边AB的中点，DE∥BC，∴DE=12BC，∴EF=DF-DE=BC-12CB=12CB，∴DE=EF；（2）∵DB∥CF，∴∠ADG=∠G，∵∠ACB=90°，D为边AB的中点，∴CD=DB=AD，∴∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，∵DG⊥DC，∴∠DCA+∠1=90°，∵∠DCB+∠DCA=90°，∴∠1=∠DCB=∠B，∵∠A+∠ADG=∠1，∴∠A+∠G=∠B．【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及直角三角形的性质，关键是找出∠ADG=∠G，∠1=∠B．掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．类型二、菱形2、（2016•广安）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．【思路点拨】连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得CE=FC，然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出DF=BE．【答案与解析】证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAE，CD=BC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．在Rt△CDF与Rt△CBE中，，∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），∴DF=BE．【总结升华】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质．举一反三：【变式】用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由．【答案】四边形ABCD是菱形；证明：由AD∥BC，AB∥CD得四边形ABCD是平行四边形,过A，C两点分别作AE⊥BC于E，CF⊥AB于F．∴∠CFB＝∠AEB＝90°．∵AE＝CF（纸带的宽度相等）∠ABE＝∠CBF，∴Rt△ABE≌Rt△CBF,∴AB＝BC,∴四边形ABCD是菱形.类型三、矩形3、已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．①求证：CD＝AN；②若∠AMD＝2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．【思路点拨】①根据两直线平行，内错角相等求出∠DAC＝∠NCA，然后利用“角边角”证明△AMD和△CMN全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝CN，然后判定四边形ADCN是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；②根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和推出∠MCD＝∠MDC，再根据等角对等边可得MD＝MC，然后证明AC＝DN，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证．【答案与解析】证明：①∵CN∥AB，∴∠DAC＝∠NCA，在△A MD和△CMN中，∵DAC NCAMA MCAMD CMN∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AMD≌△CMN（ASA），∴AD＝CN，又∵AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形，∴CD＝AN；②∵∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC，∴∠MCD＝∠MDC， ∴MD＝MC ，由①知四边形ADCN 是平行四边形， ∴MD＝MN ＝MA ＝MC ， ∴AC＝DN ，∴四边形ADCN 是矩形．【总结升华】要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再根据平行四边形构成矩形的条件，判定有一个角是直角或对角线相等．4、如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8．将矩形ABCD 沿CE 折叠后，使点D 恰好落在对角线AC 上的点F 处，求EF 的长.【思路点拨】要求EF 的长，可以考虑把EF 放入Rt △AEF 中，由折叠可知CD ＝CF ，DE ＝EF ，易得AC ＝10，所以AF ＝4，AE ＝8-EF ，然后在Rt △AEF 中利用勾股定理求出EF 的值．【答案与解析】 解：设EF ＝x ，由折叠可得：DE ＝EF ＝x ，CF ＝CD ＝6， 又∵ 在Rt △ADC 中，． ∴ AF ＝AC －CF ＝4，AE ＝AD －DE ＝8－x ． 在Rt △AEF 中，222AE AF EF =+， 即，解得：x ＝3 ∴ EF ＝3 【总结升华】在矩形折叠问题中往往根据折叠找出相等的量，然后把未知边放在合适的直角三角形中，再利用勾股定理进行求解． 举一反三： 【变式】把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ．若AB ＝ 3cm ，BC ＝ 5cm ，则重叠部分△DEF 的面积是__________2cm ．【答案】5.1.提示：由题意可知BF ＝DF ，设FC ＝x ，DF ＝5－x ，在Rt △DFC 中，，10AC =222(8)4x x -=+222DC FC DF +=解得x ＝，BF ＝DE ＝3.4，则＝×3.4×3＝5.1. 类型四、正方形5、如图，一个含45°的三角板HBE 的两条直角边与正方形ABCD 的两邻边重合，过E 点作EF ⊥AE 交∠DCE 的角平分线于F 点，试探究线段AE 与EF 的数量关系，并说明理由.【思路点拨】AE ＝EF ．根据正方形的性质推出AB ＝BC ，∠BAD＝∠HAD＝∠DCE＝90°，推出∠HAE＝∠CEF，根据△HEB 是以∠B 为直角的等腰直角三角形，得到BH ＝BE ，∠H＝45°，HA ＝CE ，根据CF 平分∠DCE 推出∠H＝∠FCE，根据ASA 证△HAE≌△CEF 即可得到答案． 【答案与解析】 探究：AE ＝EF证明：∵△BHE 为等腰直角三角形, ∴∠H ＝∠HEB ＝45°，BH ＝BE.又∵CF 平分∠DCE ，四边形ABCD 为正方形， ∴∠FCE ＝12∠DCE ＝45°， ∴∠H ＝∠FCE.由正方形ABCD 知∠B ＝90°，∠HAE ＝90°＋∠DAE ＝90°＋∠AEB, 而AE ⊥EF ，∴∠FEC ＝90°＋∠AEB ， ∴∠HAE ＝∠FEC.由正方形ABCD 知AB ＝BC ，∴BH －AB ＝BE －BC ， ∴HA ＝CE,∴△AHE ≌△ECF （ASA ）, ∴AE ＝EF. 【总结升华】充分利用正方形的性质和题目中的已知条件，通过证明全等三角形来证明线段相等.举一反三： 【变式】（2015•黄冈）如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点，BF 与AC 交于点E ．若∠CBF=20°，则∠AED 等于 ．【答案】 65°。
特殊平行四边形知识点讲解与练习(含答案)
特殊平行四边形知识点与练习重要知识点：一、矩形的定义、性质及判定：1、定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2、性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等3、判定：(1)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；(2)有三个角是直角的四边形是矩形：(3)两条对角线相等的平行四边形是矩形（直接跟本章的内容有联系）．4、对称性：矩形是轴对称图形也是中心对称图形．二、矩形的定义、性质及判定：1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2、性质：(1)菱形的四条边都相等。
(2)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角(3)菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形．(4)菱形的面积等于两条对角线长的积的一半。
3、判定：(1)有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形(2)四条边都相等的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形（4）对称性：跟矩形一样三、正方形定义、性质及判定．'1．定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2．性质：(1)正方形四个角都是直角，四条边都相等；(2)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；(3)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；(4)正方形的对角线与边的夹角是45。
(5)正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．3．判定：(1)先判定一个四边形是矩形，再判定出有一组邻边相等；(2)先判定一个四边形是菱形，再判定出有一个角是直角．4．对称性：正方形是轴对称图形也是中心对称图形．四、等腰梯形的性质及判定．1.定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形．两腰相等的梯形是等腰梯2．等腰梯形的性质：等腰梯形的两腰相等；同一底上的两个角相等；两条对角线相等．3．等腰梯形的判定：两腰相等的梯形是等腰梯形；同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；两条对角线相等的梯形是等腰梯形．4．对称性：等腰梯形是轴对称图形（注意理解！）．练习11.在△ABC 中,,90︒=∠C 若,7=+b a △ABC 的面积等于6，则边长c=2、3.如图4.3-15，平行四边形ABCD 的面积为15，设P 是AD 边上任一点，那么△PBC 的面积等于 .3.一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是＿＿＿.4.※直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（ ）（A ）22d S d ++ （B ）2d S d --（C ）222d S d ++ （D ）22d S d ++ 5、如图，在△ABC 中，AB=AC=6，P 为BC 上任意一点，请用学过的知识试求PC ·PA+PA 2的值。
2024八年级数学下册练册第7招特殊平行四边形的性质在动点问题中的巧用习题课件新版湘教版
C.当CD＝PM时，t＝4
D.当CD＝PM时，t＝4或6
分类训练
【点拨】
由题意得PD＝t cm，AP＝AD－PD＝(10－t)cm，BM＝t
cm，CM＝(8－t)cm，∠A＝∠B＝90°.
当t＝4时，AP＝10－4＝6(cm)，BM＝4 cm，AP≠BM，
又∵AO＝CO，∴四边形AECF是平行四边形.
∵OE＝OC，∴AC＝EF.
∴四边形AECF是矩形.
分类训练
巧用平行四边形的性质解决动点问题
1.[2023·娄底三中期中]如图所示，在平行四边形ABCD中，
AD∥BC，过点B作BE⊥AD交AD于点E，AB＝13 cm，BC
＝21 cm，AE＝5 cm.动点P从点C出发，在线段CB上以每
值最大，最大值的路径长为2×(12－
6 )＝24－12 (cm).
分类训练
5.如图，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是
AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.
(1)求证：四边形EFGH是正方形；
分类训练
BE＝ − ＝12 cm.
由题意得 ×(21－2t)×12＝60，
解得t＝ ，
∴当t＝ 时，△QDP的面积为60
cm2.
分类训练
(3)当t为何值时，PD＝PQ？
【解】如图，过点P作PH⊥DQ于点
H，过点D作DG⊥BC于点G，则四
边形HPGD为矩形，∴PG＝HD.
∵四边形ABCD是平行四边形，
分类训练
【点拨】
由题意得∠DEC＝45°，DE＝12 cm，易知CD＝CE＝6
特殊平行四边形动点问题
特殊四边形：动点问题题型一：1．已知直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB ⊥BC ,AD =2,BC =DC =5,点P 在BC 上移动,则当PA +PD 取最小值时,△APD 中边AP 上的高为A 、17172B 、17174C 、 17178D 、3 2.如图4,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AD ＝6,BC ＝16,E 是BC 的中点.点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发,沿AD 向点D 运动；点Q 同时以每秒2个单位长度的速度从点C 出发,沿CB 向点B 运动.点P 停止运动时,点Q 也随之停止运动.当运动时间t ＝ 秒时,以点P ,Q ,E ,D 为顶点的四边形是平行四边形.3．如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC,E 是BC 的中点,AD=5,BC=12,CD=42,∠C=045,点P 是BC 边上一动点,设PB 长为x.1当x 的值为 时,以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形为直角梯形. 2当x 的值为 时,以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形为平行四边形.3点P 在BC 边上运动的过程中,以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形能否构成菱形试说明理由.4.在一个等腰梯形ABCD 中,AD1.t 为何值时,四边形ABQP 为平行四边形2.四边形ABQP 能为等腰梯形吗如果能,求出t 的值,如果不能,请说明理由;6.梯形ABCD 中,AD ∥BC,∠B=90°,AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm,动点P 从点A 开始,沿AD 边,以1厘米/秒的速度向点D 运动；动点Q 从点C 开始,沿CB 边,以3厘米/秒的速度向B 点运动;已知P 、Q 两点分别从A 、C 同时出发,,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动;假设运动时间为t 秒,问：1t 为何值时,四边形PQCD 是平行四边形2在某个时刻,四边形PQCD 可能是菱形吗为什么3t 为何值时,四边形PQCD 是直角梯形4t 为何值时,四边形PQCD 是等腰梯形5 t 为何值时, APQ 是等腰三角形7．如图,在直角梯形ABCD 中,∠B=90°,AD ‖BC,且AD=4cm,AB=8cm,DC=10cm;若动点P 从点A 出发,以每秒4cm 的速度沿线段AD 、DC 向C 点运动；动点Q 从C 点以每秒5cm 的速度沿CB 向B 点运动;当Q 点到达B 点时,动点P 、Q 同时停止运动;设P 、Q 同时出发,并运动了t 秒; 1直角梯形ABCD 的面积为__________cm 的平方.2当t=________秒时,四边形PQCD 为平行四边形;3当t=________秒时,PQ=DC4是否存在t,使得P 点在线段DC 上,且PQ ⊥DC 如图2所示若存在,列出方程求出此时的t ；若不存在,请说明理由;8．如图,在直角梯形ABCD 中,∠B=90°,AB ‖CD,且AB=4cm,BC=8cm,DC=10cm;若动点P 从点A 出发,以每秒1cm 的速度沿线段AB 、BC 向C 点运动；动点Q 从C 点以每秒1cm 的速度沿CB 向B 点运动;当Q 点到达B 点时,动点P 、Q 同时停止运动;设P 、Q 同时出发,并运动了t 秒; 1直角梯形ABCD 的面积为__________cm 的平方.2当t=________秒时,四边形PBCQ 为平行四边形;3当t=________秒时,PQ=BC.10. 如图,在等腰梯形ABCD 中,AB ∥CD,其中AB=12 cm,CD=6cm ,梯形的高为4,点P 从开始沿AB 边向点B 以每秒3cm 的速度移动,点Q 从开始沿CD 边向点D 以每秒1cm 的速度移动,如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发,当其中一点到达终点时运动停止;设运动时间为t 秒; 1求证：当t 为何值时,四边形APQD 是平行四边形；2PQ 是否可能平分对角线BD 若能,求出当t 为何值时PQ 平分BD ；若不能,请说明理由； 3若△DPQ 是以PQ 为腰的等腰三角形,求t 的值;11.如图,在直角梯形ABCD 中,AB1求CD 的长;2当四边形PBQD 为平行四边形时,求四边形PBQD 的周长；3在点P,点Q 的运动过程中,是否存在某一时刻,使得ΔBPQ 的面积为20cm 2若存在,请求出所有满足条件的t 的值；若不存在,请说明理由;13. 已知,矩形ABCD 中,4AB cm =,8BC cm =,AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ,垂足为O .1如图10-1,连接AF 、CE .求证四边形AFCE 为菱形,并求AF 的长；2如图10-2,动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发,沿AFB ∆和CDE ∆各边匀速运动一周.即点P 自A →F →B →A 停止,点Q 自C →D →E →C 停止.在运动过程中,①已知点P 的速度为每秒5cm ,点Q 的速度为每秒4cm ,运动时间为t 秒,当A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t 的值.②若点P 、Q 的运动路程分别为a 、b 单位:cm ,0ab ≠,已知A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形,求a 与b 满足的数量关系式.14.已知：如图,在梯形ABCD 中,AB ∥DC,∠B=90°,BC=8cm,CD=24cm,AB=26Cm,点P 从C 出发,以1cm/s 的速度向D 运动,点Q 从A 出发,以3cm/s 的速度向B 运 动,其中一动点达到端点时,另一动点随之停止运动．从运动开始．1经过多少时间,四边形AQPD 是平行四边形2经过多少时间,四边形AQPD 成为等腰梯形3在运动过程中,P 、Q 、B 、C 四点有可能构成正方形吗为什么A BC D EF 图10-1 O 图10-2 备用图如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC,∠B=90°,AD=16cm,AB=12cm,BC=21cm,动点P 从点B 出发,沿射线BC 的方向以每秒2cm 的速度运动,动点Q 从点A 出发,在线段AD 上以每秒1cm 的速度向点D 运动,点P,Q 分别从点B,A 同时出发,当点Q 运动到点D 时,点P 随之停止运动,设运动的时间为t 秒．①当t 为何值时,四边形PQDC 是平行四边形；②当t 为何值时,以C,D,Q,P 为顶点的梯形面积等于60cm 2 ③是否存在点P,使△PQD 是等腰三角形若存在,请求出所有满足要求的t 的值,若不存在,请说明理由． 15.如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC,AD=6,DC=10,AB=65,∠B=45°．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．16.1求BC 的长．17.2当MN ∥AB 时,求t 的值．18.3△MNC 可能为等腰三角形吗若能,请求出t 的值；若不能,请说明理由．（4）△MNC 可能为直角三角形吗若能,请求出t 的值；若不能,请说明理由．（5）△MNC 为20时,请求出t 的值．如图,直角梯形ABCD 中,AB ∥CD,∠A=90°,AB=34,AD=4,DC=234 ,点P 从点A 出发沿折线段AD-DC-CB 以每秒3个单位长的速度向点B 匀速运动,同时,点Q 从点A 出发沿射线AB 方向以每秒2个单位长的速度匀速运动,当点P 与点B 重合时停止运动,点Q 也随之停止,设点P,Q 的运动时间是t 秒t ＞0．1当点P 到达终点B 时,求t 的值；2设△APQ 的面积为S,分别求出点P 运动到AD 、CD 上时,S 与t 的函数关系式；3当t 为何值时,能使PQ ∥DB ；4当t 为何值时,能使P 、Q 、D 、B 四点构成的四边形是平行四边形;16.如图,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC,AB=DC=60,AD=75,BC=135．点P 从点B 出发沿折线段BA-AD-DC 以每秒5个单位长的速度向点C 匀速运动；点Q 从点C 出发沿线段CB 方向以每秒3个单位长的速度匀速运动,过点Q 向上作射线QK ⊥BC,交折线段CD-DA-AB 于点E ．点P 、Q 同时开始运动,当点P 与点C 重合时停止运动,点Q 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒t ＞0．1当点P 到达终点C 时,求t 的值,并指出此时BQ 的长；2当点P 运动到AD 上时,t 为何值能使PQ ∥DC ；3设射线QK 扫过梯形ABCD 的面积为S,分别求出点E 运动到CD 、DA 上时,S 与t 的函数关系式；不必写出t 的取值范围4△PQE 能否成为直角三角形若能,写出t 的取值范围；若不能,请说明理由．17.如图,直角梯形ABCD 中,AD ∥BC,∠ABC=90°,已知AD=AB=3,BC=33,动点P 从B 点出发,沿线段BC 向点C 作匀速运动；动点Q 从点D 出发,沿线段DA 向点A 作匀速运动．过Q 点垂直于AD 的射线交AC 于点M,交BC 于点N ．P 、Q 两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度．当Q 点运动到A 点,P 、Q 两点同时停止运动．设点Q 运动的时间为t 秒．1求NC,MC 的长用t 的代数式表示；2当t 为何值时,四边形PCDQ 构成平行四边形3当t 为何值时,射线QN 恰好将△ABC 的面积平分并判断此时△ABC 的周长是否也被射线QN 平分．19.如图,已知直角梯形ABCD 中,AD ∥BC,AB ⊥BC,AD=2,AB=8,CD=10．1求梯形ABCD 的面积S ；2动点P 从点B 出发,以2cm/s 的速度、沿B →A →D →C 方向,向点C 运动；动点Q 从点C 出发,以2cm/s 的速度、沿C →D →A 方向,向点A 运动．若P 、Q 两点同时出发,当其中一点到达目的地时整个运动随之结束,设运动时间为t 秒．问：①当点P 在B →A 上运动时,是否存在这样的t,使得直线PQ 将梯形ABCD 的周长平分若存在,请求出t 的值,并判断此时PQ 是否平分梯形ABCD 的面积；若不存在,请说明理由；②在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P 、D 、Q 为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形若存在,请求出所有符合条件的t 的值；若不存在,请说明理由．20.在直角梯形ABCD 中,∠C=90°,高CD=6cm,底BC=10cm 如图1．动点Q 从点B 出发,沿BC 运动到点C 停止,运动的速度都是1cm/s ．同时,动点P 也从B 点出发,沿BA →AD 运动到点D 停止,且PQ 始终垂直BC ．设P,Q 同时从点B 出发,运动的时间为ts,点P 运动的路程为ycm ．分别以t,y 为横、纵坐标建立直角坐标系如图2,已知如图中线段为y 与t 的函数的部分图象．经测量点M 与N 的坐标分别为4,5和2, 25．1求M,N 所在直线的解析式；2求梯形ABCD 中边AB 与AD 的长；3写出点P 在AD 边上运动时,y 与t 的函数关系式注明自变量的取值范围,并在图2中补全整运动中y 关于t 的函数关系的大致图象．22.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=6,BC=8,AB=3 3,点M是BC的中点．点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动,到达点B后立刻以原速度沿BM 返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动．在点P,Q的运动过程中,以PQ为边作等边三角形EPQ,使它与梯形ABCD在射线BC的同侧．点P,Q同时出发,当点P返回到点M时停止运动,点Q也随之停止．设点P,Q运动的时间是t秒t＞0．23.1设PQ的长为y,在点P从点M向点B运动的过程中,写出y与t之间的函数关系式不必写t的取值范围；24.2当BP=1时,求△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积；已知：如图,在直角梯形COAB中,OC∥AB,∠AOC=90°,AB=4,AO=8,OC=10,以O为原点建立平面直角坐标系,点D为线段BC的中点,动点P从点A出发,以每秒4个单位的速度,沿折线AOCD 向终点C运动,运动时间是t秒．1D点的坐标为；2当t为何值时,△APD是直角三角形；3如果另有一动点Q,从C点出发,沿折线CBA向终点A以每秒5个单位的速度与P点同时运动,当一点到达终点时,两点均停止运动,问：P、C、Q、A四点围成的四边形的面积能否为28如果可能,求出对应的t；如果不可能,请说明理由．在梯形ABCO中,OC∥AB,以O为原点建立平面直角坐标系,A、B、C三点的坐标分别是A8,0,B8,10,C0,4．点D4,7为线段BC的中点,动点P从O点出发,以每秒1个单位的速度,沿折线OAB的路线运动,运动时间为t秒．1求直线BC的解析式；2设△OPD的面积为s,求出s与t的函数关系式,并指出自变量t的取值范围；33当t为何值时,△OPD的面积是梯形OABC的面积的8如图,在直角梯形COAB中,CB∥OA,以O为原点建立直角坐标系,A、C的坐标分别为A10,0、C0,8,CB=4,D为OA中点,动点P自A点出发沿A→B→C→O的线路移动,速度为1个单位/秒,移动时间为t秒．1求AB的长,并求当PD将梯形COAB的周长平分时t的值,并指出此时点P在哪条边上；2动点P在从A到B的移动过程中,设△APD的面积为S,试写出S与t的函数关系式,并指出t的取值范围；3几秒后线段PD将梯形COAB的面积分成1：3的两部分求出此时点P的坐标已知直角梯形OABC在如图所示的平面直角坐标系中,AB∥OC,AB=10,OC=22,BC=15,动点M从A点出发,以每秒一个单位长度的速度沿AB向点B运动,同时动点N从C点出发,以每秒2个单位长度的速度沿CO向O点运动．当其中一个动点运动到终点时,两个动点都停止运动．1求B点坐标；2设运动时间为t秒；①当t为何值时,四边形OAMN的面积是梯形OABC面积的一半；②当t为何值时,四边形OAMN的面积最小,并求出最小面积；③若另有一动点P,在点M、N运动的同时,也从点A出发沿AO运动．在②的条件下,PM+PN 的长度也刚好最小,求动点P的速度．如图1,以梯形OABC的顶点O为原点,底边OA所在的直线为轴建立直角坐标系．梯形其它三个顶点坐标分别为：A14,0,B11,4,C3,4,点E以每秒2个单位的速度从O点出发沿射线OA 向A点运动,同时点F以每秒3个单位的速度,从O点出发沿折线OCB向B运动,设运动时间为t．1当t=4秒时,判断四边形COEB是什么样的四边形2当t为何值时,四边形COEF是直角梯形3在运动过程中,四边形COEF能否成为一个菱形若能,请求出t的值；若不能,请简要说明理由,并改变E、F两点中任一个点的运动速度,使E、F运动到某时刻时,四边形COEF 是菱形,并写出改变后的速度及t的值如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC为直角梯形,OA∥BC,BC=14,A16,0,C0,2．1如图①,若点P、Q分别从点C、A同时出发,点P以每秒2个单位的速度由C向B运动,点Q以每秒4个单位的速度由A向O运动,当点Q停止运动时,点P也停止运动．设运动时间为t秒0≤t≤4．①求当t为多少时,四边形PQAB为平行四边形②求当t为多少时,直线PQ将梯形OABC分成左右两部分的比为1：2,并求出此时直线PQ 的解析式．2如图②,若点P、Q分别是线段BC、AO上的任意两点不与线段BC、AO的端点重合,且四边形OQPC面积为10,试说明直线PQ一定经过一定点,并求出该定点的坐标．如图,在平面直角坐标系中,直角梯形ABCO的变OC落在x轴的正半轴上,且AB方形ODEF 的两边分别坐落在坐标轴上,且它的面积等于直角梯形ABCO面积,将正方形ODEF沿x轴的正半轴平行移动,设它与直角梯形ABCO的重叠部分面积为S;（1）求正方形ODEF的边长;（2）求OA所在直线的解析式（3）当正方形ODEF移动到顶点O与C重合时,求S的值（4）设正方形ODEF顶点O向右移动的距离为x,当正方形ODEF的边ED与y轴重合时,停止移动,求重叠部分面积S与x的函数关系式;如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=6cm,等腰RT△DEF中,∠D=90°,EF=在BC所在直线L上,开始时点F与点C重合,让等腰RT△DEF沿直线L向右以每秒1cm的速度做匀速运动,最后点E和点B重合;（1）请直接写出等腰RT△DEF运动6S时与△ABC重叠部分面积（2）设运动时间为xS,运动过程中,等腰RT△DEF与△ABC重叠部分面积为ycm2①在等腰RT△DEF运动6S后至运动停止前这段时间内,求y与x之间的函数关系式②在RT△DEF整个运动过程中,求当x为何值时,y=1/2.题型二：1.如图,正方形ABCD的边长为4cm,两动点P、Q分别同时从D、A出发,以1cm/秒的速度各自沿着DA、AB边向A、B运动;试解答下列各题：1当P出发后多少秒时,三角形PDO为等腰三角形；2当P、Q出发后多少秒,四边形APOQ为正方形；3当P、Q出发后多少秒时,ABCD PQDSS正方形325=∆.2.如图所示,有四个动点P 、Q 、E 、F 分别从正方形ABCD 的四个顶点出发,沿着AB 、BC 、CD 、DA 以同样的速度向B 、C 、D 、A 各点移动;1试判断四边形PQEF 是正方形并证明;2PE 是否总过某一定点,并说明理由;（3）四边形PQEF 的顶点位于何处时,其面积最小,最大各是多少（4）3.已知：如图,边长为a 的菱形ABCD 中,∠DAB=60°,E 是异于A 、D 两点的动点,F 是CD 上的动点;请你判断：无论E 、F 怎样移动,当满足：AE+CF=a 时,△BEF 是什么三角形并说明你的结论;4.如图,四边形ABCD 是正方形,△ABE 是等边三角形,M 为对角线BD 不含B 点上任意一点,将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN,连接EN 、AM 、CM.⑴ 求证：△AMB ≌△ENB ；⑵ ①当M 点在何处时,AM ＋CM 的值最小；②当M 点在何处时,AM ＋BM ＋CM 的值最小,并说明理由；⑶ 当AM ＋BM ＋CM 的最小值为13 时,求正方形的边长.题型三：1.如图,在直角梯形ABCD 中,AD//BC,∠C ＝90°,BC ＝16,DC ＝12,AD ＝21;动点P 从点D 出发,沿射线DA 的方向以每秒2两个单位长的速度运动,动点Q 从点C 出发,在线段CB 上以每秒1个单位长的速度向点B 运动,点P,Q 分别从点D,C 同时出发,当点Q 运动到点B 时,点P 随之停止运动;设运动的时间为t 秒;（1）设▲BPQ 的面积为S,求S 与t 之间的函数关系式;（2）当t 为何值时,四边形ABPQ 平行四边形3当t 为何值时,以B 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形4是否存在时刻t,使得PQ ⊥BD 若存在,求出t 的值；若不存在,请说明理由;E A DB C N M2.如图①,在等腰梯形ABCD中,AD边长为6的菱形ABCD中,动点M从点A出发,沿A→B→C向终点C运动,连接DM交AC于点N．1如图25－1,当点M在AB边上时,连接BN．△≌△；①求证：ABN ADN②若∠ABC = 60°,AM = 4,∠ABN =α,求点M到AD的距离及tanα的值；2如图25－2,若∠ABC = 90°,记点M运动所经过的路程为x6≤x≤12．试问：x为何值时,△ADN为等腰三角形．4．在正方形ABCD中,M是边BC中点,E是边AB上的一个动点,MF⊥ME,MF交射线CD于点F,AB=4,BE=x,CF=y1求y关于x的解析式及定义域2当点F在边CD上时,四边形AEFD的周长是否随点E的运动而发生变化请说明理由3当DF=1时,求点A到直线EF的距离;5.如图1,在等腰梯形ABCD中,AD‖BC,E是AB的中点,过点E作EF‖BC交CD于点F;AB=4,BC=6,∠B=60°1求点E到BC的距离;2点P为线段EF上的一个动点,过点P作PM⊥EF交BC于点M,过M作MN‖AB交折线ADC于点N,连接PN,设EP=x.①当点N在线段AD上时,△PMN的形状是否发生改变若不变,求出△PMN的周长,若改变,说明理由.②当点N在线段DC上时,是否存在点P,使△PMN为等腰三角形若存在,请求出所有满足要求的x的值,若不存在,说明理由.6.在平行四边形ABCD中,AD=4cm,∠A=60°,BD⊥AD;一动点P从A出发以每秒1cm的速度沿A-B-C的路线做匀速运动,过点P做直线PM,使PM⊥AD;当点P运动2秒时,另一动点Q也从A 出发沿A-B-C的路线运动,且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动,在BC上以每秒2cm的速度匀速运动;过Q做直线QN,使QN∥PM;设点Q的运动时间为t秒0≤t≤10,直线PM与QN截平cm行四边形所得图形的面积为S2①求S关于t的函数关系式；②求S的最大值;7.菱形ABCD中∠A=60°,边长为4CM,动点P从A出发,以1CM/秒的速度沿A-B-C的路线运动,在点P出发1秒后,点Q以同样的速度,沿同样的路径运动,过点P、Q的直线L1、L2互相平行,且都与AB边所在的直线成60°角,设点P运动的时间是X1≤X≤8秒,直线L1、L2在菱形上截出的图形周长为Y厘米1求Y与X的函数关系;2当X取何值时,Y的值最大最大值是多少8．如图,在矩形ABCD中,AB＝12cm,BC＝8cm,点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发,沿矩形的边按逆时针方向移动,点E、G的速度均为2cm/s,点F的速度为4cm/s,当点F追上点G即点F与点G重合时,三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时,△EF G的面积为Scm2．1当t＝1秒时,S的值是多少2写出S和t之间的函数解析式,并指出自变量t的取值范围．。
特殊平行四边形专题训练
专训一：矩形的性质与判定灵活运用名师点金：1.矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质，同时还具有一些独特的性质，可归结为三个方面：(1)从边看：矩形的对边平行且相等；(2)从角看：矩形的四个角都是直角；(3)从对角线看：矩形的对角线互相平分且相等．2．判定一个四边形是矩形可从两个角度进行：一是判定它有三个角为直角；二是先判定它为平行四边形，再判定它有一个角为直角或两条对角线相等．利用矩形的性质与判定求线段的长(转化思想) 1．如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，点A，点B落在点M处，点C，点D落在点N处，恰好拼成一个无缝隙不重叠的四边形EFGH，若EH＝3 cm，EF＝4 cm，求AD的长．(第1题)利用矩形的性质与判定证明线段相等2．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连结OE.求证：OE＝BC.(第2题)利用矩形的性质与判定判断图形形状3．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E，P分别在AD，BC上，且DE＝BP＝1，连结AP，EC，分别交BE，PD于H，F.(1)判断△BEC的形状，并说明理由．(2)判断四边形EFPH是什么特殊的四边形？并证明你的判断．(第3题)利用矩形的性质与判定求面积4．如图，已知E是▱ABCD中BC边上的中点，连结AE并延长AE交DC的延长线于点F.(1)连结AC，BF，若∠AEC＝2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形．(2)在(1)的条件下，若△AFD是等边三角形，且边长为4，求四边形ABFC的面积．(第4题)专训二：菱形的性质与判定灵活运用名师点金：1.菱形具有一般平行四边形的所有性质，同时又具有一些特性，可以归纳为三个方面：(1)从边看：对边平行，四边相等；(2)从角看：对角相等，邻角互补；(3)从对角线看：对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．2．判定一个四边形是菱形，可先判定这个四边形是平行四边形，再判定一组邻边相等或对角线互相垂直，也可直接判定四边相等．利用菱形的性质与判定证明角的关系1．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连结DF.(1)证明：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；(2)若AB∥CD，试证明：四边形ABCD是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由．(第1题)利用菱形的性质与判定证明线段的位置关系2．(中考·兰州)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，BD＝AC.(1)求证：AD＝BC；(2)若E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，求证：线段EF与线段GH互相垂直平分．(第2题)利用菱形的性质与判定解决周长问题3．(中考·贵阳)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，AC边上的中点，连结DE，将△ADE绕点E旋转180°，得到△CFE，连结AF.(1)求证：四边形ADCF是菱形；(2)若BC＝8，AC＝6，求四边形ABCF的周长．(第3题)利用菱形的性质与判定解决面积问题4．如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，交BC于点D，在线段AD上任取一点P(点A除外)，过点P作EF∥AB，分别交AC，BC于点E，F，作PM∥AC，交AB于点M，连结ME.(1)求证：四边形AEPM为菱形．(2)当点P在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？请说明理由．(第4题)专训三：正方形的性质与判定灵活运用名师点金：正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形、菱形的所有性质，判定一个四边形是正方形，只需保证它既是矩形又是菱形即可．利用正方形的性质证明线段位置关系1．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连结DF，AE，AE的延长线交DF于点M.求证：AM⊥DF.(第1题)利用正方形的性质解决线段和差倍分问题2．已知：在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于点M，N.(1)如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，易证：BM＋DN＝MN.当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，如图②，请问图①中的结论是否还成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由．(2)当∠MAN绕点A旋转到如图③的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．(第2题)正方形性质与判定的综合运用3．如图，P，Q，R，S四个小球分别从正方形的四个顶点A，B，C，D同时出发，以同样的速度分别沿AB，BC，CD，DA的方向滚动，其终点分别是B，C，D，A.(1)不管滚动时间多长，求证：连结四个小球所得的四边形PQRS总是正方形．(2)四边形PQRS在什么时候面积最大？(3)四边形PQRS在什么时候面积为原正方形面积的一半？并说明理由．(第3题)正方形中的探究性问题4．如图①，在正方形ABCD和正方形CGEF中，点B、C、G 在同一条直线上，M是线段AE的中点，DM的延长线交EF于点N，连结FM，易证：DM＝FM，DM⊥FM(无需写证明过程)；(1)如图②，当点B、C、F在同一条直线上，DM的延长线交EG 于点N，其余条件不变，试探究线段DM与FM有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明；(2)如图③，当点E、B、C在同一条直线上，DM的延长线交CE 的延长线于点N，其余条件不变，探究线段DM与FM有怎样的关系？请直接写出猜想．(第4题)专训四：利用矩形的性质巧解折叠问题名师点金：折叠问题往往通过图形间的折叠找出线段或角与原图形之间的联系，从而得到折叠部分与原图形或其他图形之间的关系，即折叠前后的图形全等，且关于折痕或所在直线成轴对称；在计算时，常常通过设未知数列方程求解．利用矩形的性质巧求折叠中的角1．当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解“燃眉之急”．如图，已知矩形纸片ABCD(矩形纸片要足够长)，我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角：(1)以点A所在直线为折痕，折叠纸片，使点B落在边AD上，折痕与BC交于点E；(2)将纸片平展后，再一次折叠纸片，以点E所在直线为折痕，使点A落在BC上，折痕EF交AD于F.求∠AFE的度数．(第1题)利用矩形的性质巧求折叠中的线段的长2．如图，有矩形纸片ABCD，长AD为4 cm，宽AB为3 cm，把矩形折叠，使相对两顶点A，C重合，然后展开．求折痕EF的长．(第2题)利用矩形的性质巧证线段的位置关系3．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE 交AD 于F ，连结AE.证明：(1)BF ＝DF ；(2)AE ∥BD.(第3题)利用矩形的性质巧求线段的比(面积法)4．如图，将一张矩形纸片ABCD 沿直线MN 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点E 处，直线MN 交BC 于点M ，交AD 于点N.(1)求证：CM ＝CN ；(2)若△CMN 的面积与△CDN 的面积比为3∶1，求MN DN 的值．(第4题)专训五：用特殊四边形的性质巧解动点问题名师点金：利用特殊四边形的性质解动点问题，一般将动点看作特殊点解决问题，再运用从特殊到一般的思想，将特殊点转化为一般点(动点)为条件解答．平行四边形中的动点问题1．如图，在▱ABCD 中，E ，F 两点在对角线BD 上运动，且保持BE ＝DF ，连结AE ，CF.请你猜想AE 与CF 有怎样的数量关系和位置关系，并对你的猜想加以证明．(第1题)矩形中的动点问题2．在矩形ABCD 中，AB ＝4 cm ，BC ＝8 cm ，AC 的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O.(1)如图①，连结AF、CE，求证：四边形AFCE为菱形，并求AF的长；(2)如图②，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为每秒5 cm，点Q的速度为每秒4 cm，运动时间为t秒，当以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．(第2题)菱形中的动点问题3．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F 在边CD上．(1)如图①，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；(2)如图②，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．(第3题)正方形中的动点问题4．如图，正方形ABCD的边长为8 cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由．(第4题)专训六：特殊四边形中的最值问题名师点金：求特殊四边形中的最值问题，一般都要用它们的轴对称的性质把几条线段转移到一条直线上，利用两点之间线段最短解决问题．矩形中的最值问题1．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，运动过程中，求点D到点O 的最大距离．(第1题)菱形中的最值问题2．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上任意一点，求PK＋QK的最小值．(第2题)正方形中的最值问题(第3题)3．(中考·宿迁)如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC 的中点，点P在对角线BD上移动，则PE＋PC的最小值是________．4．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD(不含B点)上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连结EN，AM，CM.(1)求证：△AMB≌△ENB.(2)①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由．(第4题)专训七：思想方法荟萃名师点金：本章中，由于涉及内容是各种特殊四边形，解决这类问题时，常将它们与三角形、直角坐标系、方程等知识结合在一起进行研究．而转化思想、分类讨论思想、方程思想、数形结合思想是解决四边形问题常要用到的思想方法．数形结合思想(第1题)1．如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个矩形，则每块长方形地砖的面积为()A．200 cm2B．300 cm2C．600 cm2D．2 400 cm2方程思想2．已知平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F.(1)若AE＝3 cm，AF＝4 cm，AD＝8 cm，求CD的长；(2)若平行四边形ABCD的周长为36 cm，AE＝4 cm，AF＝5 cm，求平行四边形ABCD的面积．转化思想3．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，点P 是线段AD上一动点(不与点D重合)，PO的延长线交BC于Q点．连结BP，DQ.(1)求证：四边形PBQD为平行四边形．(2)若AB＝3 cm，AD＝4 cm，P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D匀速运动．设点P运动的时间为t s，问四边形PBQD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．(第3题)4．如图，已知六边形ABCDEF的六个内角均为120°，且CD＝2 cm，BC＝8 cm，AB＝8 cm，AF＝5 cm.试求此六边形的周长．(第4题)分类讨论思想①图形的位置不确定5．四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，求∠BEC 的度数．②等腰三角形的腰与底边不确定6．已知，如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为(10，0)，(0，4)，点D是OA 的中点，点P在BC边上运动．当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，求点P的坐标．(第6题)答案解码专训一1．解：∵∠HEM＝∠AEH，∠BEF＝∠FEM，∴∠HEF＝∠HEM＋∠FEM＝12×180°＝90°，同理可得：∠EHG＝∠HGF＝∠EFG＝90°，∴四边形EFGH为矩形，∴HG∥EF，HG＝EF，∴∠GHN＝∠EFM.又∵∠HNG＝∠FME＝90°，∴△HNG≌△FME，∴HN＝MF.又∵HN＝HD，∴HD＝MF，∴AD＝AH＋HD＝HM＋MF＝HF.又∵HF＝EH2＋EF2＝32＋42＝5(cm)，∴AD＝5 cm.点拨：此题利用折叠提供的角相等，可证明四边形EFGH为矩形，然后利用三角形全等来证明HN＝MF，进而证明HD＝MF，从而将AD转化为直角三角形的斜边HF，进而得解，体现了转化思想．2．证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即∠COD＝90°.∴四边形OCED是矩形．∴OE＝CD.∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD.∴OE＝BC.点拨：线段CD既是菱形ABCD的边，又是四边形OCED的对角线，可以用等量代换推出OE＝BC.3．解：(1)△BEC是直角三角形．理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠ABP＝90°，AD＝BC＝5，CD＝AB＝2.∵DE＝BP＝1，∴AE＝PC＝4.由勾股定理得CE＝5，BE＝25，∴CE2＋BE2＝5＋20＝25.∵BC2＝52＝25，∴BE2＋CE2＝BC2.∴∠BEC＝90°.∴△BEC是直角三角形．(2)四边形EFPH为矩形，证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC ，AD ∥BC.∵DE ＝BP ，∴四边形DEBP 是平行四边形．∴BE ∥DP.∵AD ∥BC ，AE ＝PC ，∴四边形AECP 是平行四边形．∴AP ∥CE.∴四边形EFPH 是平行四边形．∵∠BEC ＝90°，∴平行四边形EFPH 是矩形．4．(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥DC ，∴∠ABE ＝∠ECF.又∵E 为BC 的中点，∴BE ＝CE ，在△ABE 和△FCE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ABE ＝∠FCE ，BE ＝CE ，∠AEB ＝∠FEC ，∴△ABE ≌△FCE.∴AB ＝CF.又AB ∥CF ，∴四边形ABFC 为平行四边形，∴BE ＝EC ，AE ＝EF ，∵∠AEC 为△ABE 的外角，∴∠AEC ＝∠ABC ＋∠EAB.又∵∠AEC ＝2∠ABC ，∴∠ABC ＝∠EAB ，∴AE ＝BE ，∴AE ＋EF ＝BE ＋EC ，即AF ＝BC ，∴四边形ABFC 为矩形．(2)解：∵四边形ABFC 是矩形，∴AC ⊥DF.又∵△AFD 是等边三角形，∴CF ＝CD ＝DF 2＝2，∴AC ＝42－22＝23，∴S矩形ABFC ＝23×2＝4 3.解码专训二1．(1)证明：∵在△ABC 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，BC ＝DC ，AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC ，∴∠BAC ＝∠DAC.∵在△ABF 和△ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠BAF ＝∠DAF ，AF ＝AF ，∴△ABF ≌△ADF ，∴∠AFB ＝∠AFD.∵∠AFB ＝∠CFE ，∴∠AFD ＝∠CFE.(2)证明：∵AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠ACD.又∵∠BAC ＝∠DAC ，∴∠CAD ＝∠ACD ，∴AD ＝CD.∵AB ＝AD ，CB ＝CD ，∴AB ＝CB ＝CD ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形．(3)解：当EB ⊥CD 时，∠EFD ＝∠BCD.理由：∵四边形ABCD 为菱形，∴BC ＝CD ，∠BCF ＝∠DCF ，在△BCF 和△DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝DC ，∠BCF ＝∠DCF ，CF ＝CF ，∴△BCF ≌△DCF ，∴∠CBF ＝∠CDF.∵BE ⊥CD ，∴∠BEC ＝∠DEF ＝90°，∴∠EFD ＝∠BCD.(第2题)2．证明：(1)如图，过点B 作BM ∥AC 交DC 的延长线于点M ， ∵AB ∥CD ，∴四边形ABMC 为平行四边形．∴AC ＝BM ＝BD ，∴∠BDC ＝∠M ＝∠ACD.在△ACD 和△BDC 中⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BD ，∠ACD ＝∠BDC CD ＝DC ，，∴△ACD ≌△BDC ，∴AD ＝BC.(2)如图，连结EH ，HF ，FG ，GE ，∵E ，F ，G ，H 分别是AB ，CD ，AC ，BD 的中点，∴HE ∥AD ，且HE ＝12AD ，FG ∥AD ，且FG ＝12AD ，∴四边形HFGE 为平行四边形．由(1)知AD ＝BC ，∴HE ＝EG ，∴▱HFGE 为菱形，∴EF 与GH 互相垂直平分．3．(1)证明：∵将△ADE 绕点E 旋转180°得到△CFE ，∴AE ＝CE ，DE ＝FE ，∴四边形ADCF 是平行四边形．∵D ，E 分别为AB ，AC 边上的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC.∵∠ACB ＝90°，∴∠AED ＝90°，∴DF ⊥AC ，∴四边形ADCF 是菱形．(2)解：在Rt △ABC 中，BC ＝8，AC ＝6，∴AB ＝10.∵D 是AB 边上的中点，∴AD ＝5.∵四边形ADCF 是菱形，∴AF ＝FC ＝AD ＝5，∴四边形ABCF 的周长为8＋10＋5＋5＝28.4．(1)证明：∵EF ∥AB ，PM ∥AC ，∴四边形AEPM 为平行四边形．∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD ＝∠BAD.∵EP ∥AB ，∴∠BAD ＝∠EPA ，∴∠CAD ＝∠EPA ，∴EA ＝EP ，∴四边形AEPM 为菱形．(第4题)(2)解：当点P 为EF 的中点时，S 菱形AEPM ＝12S 四边形EFBM .理由如下：∵四边形AEPM 为菱形，∴AP ⊥EM.∵AB ＝AC ，∠CAD ＝∠BAD ，∴AD ⊥BC ，∴EM ∥BC.又∵EF ∥AB ，∴四边形EFBM 为平行四边形．过点E 作EN ⊥AB 于点N ，如图，则S 菱形AEPM ＝AM·EN ＝EP·EN ＝12EF·EN ＝12S 四边形EFBM .解码专训三1．证明：∵AC ，BD 是正方形ABCD 的两条对角线，∴AC ⊥BD ，OA ＝OD ＝OC ＝OB.∵DE ＝CF ，∴OE ＝OF.在Rt △AOE 与Rt △DOF 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OD ，∠AOE ＝∠DOF ＝90°，OE ＝OF ，∴Rt △AOE ≌Rt △DOF ， ∴∠OAE ＝∠ODF.∵∠DOF ＝90°，∴∠DFO ＋∠FDO ＝90°，∴∠DFO ＋∠FAE ＝90°.∴∠AMF ＝90°，即AM ⊥DF.2．解：(1)仍有BM ＋DN ＝MN 成立．证明如下：过点A 作AE ⊥AN ，交CB 的延长线于点E,易证△ABE ≌△ADN ，∴DN ＝BE ，AE ＝AN.又∵∠EAM ＝∠NAM ＝45°，AM ＝AM ，∴△EAM ≌△NAM.∴ME ＝MN.∵ME ＝BE ＋BM ＝DN ＋BM ，∴BM ＋DN ＝MN .(第2题)(2)有DN －BM ＝MN.证明如下：如图，在DN 上截取DE ＝BM ，连结AE.∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABM ＝∠D ＝90°，AB ＝AD.又∵DE ＝BM ，∴△ABM ≌△ADE.∴AM ＝AE ，∠BAM ＝∠DAE.∵∠DAB ＝90°.∴∠MAE ＝90°.∵∠MAN ＝45°，∴∠EAN ＝45°＝∠MAN.又∵AM ＝AE ，AN ＝AN ，∴△AMN ≌△AEN.∴MN ＝EN.∴DN ＝DE ＋EN ＝BM ＋MN ，∴DN －BM ＝MN.3．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，AB ＝BC ＝CD ＝DA.又∵在任何运动时刻，AP ＝BQ ＝CR ＝DS ，∴PB ＝QC ＝RD ＝SA ，∴△ASP ≌△BPQ ≌△CQR ≌△DRS ， ∴PS ＝QP ＝RQ ＝SR ，∠ASP ＝∠BPQ ，∴在任何运动时刻，四边形PQRS 是菱形．又∵∠APS ＋∠ASP ＝90°，∴∠APS ＋∠BPQ ＝90°， ∴∠QPS ＝180°－(∠APS ＋∠BPQ)＝180°－90°＝90°.∴在任何运动时刻，四边形PQRS 总是正方形．(2)解：当P ，Q ，R ，S 在出发时或在到达终点时面积最大，此时的面积就等于原正方形ABCD 的面积．(3)解：当P ，Q ，R ，S 四点运动到正方形四边中点时，四边形PQRS 的面积是原正方形ABCD 面积的一半．理由：设原正方形ABCD 的边长为a.当PS 2＝12a 2时，在Rt △APS 中，AS ＝a －SD ＝a －AP.由勾股定理，得AS 2＋AP 2＝PS 2，即(a －AP)2＋AP 2＝12a 2， 解得AP ＝12a.同理可得BQ ＝CR ＝SD ＝12a.∴当P ，Q ，R ，S 四点运动到正方形ABCD 各边中点时，四边形PQRS 的面积为原正方形面积的一半．(第4题)4．解：(1)DM ＝FM ，DM ⊥FM.证明：如图，连结DF 、NF.∵四边形ABCD 和四边形CGEF 都是正方形，∴AD ∥BC ，BC ∥GE ，∴AD ∥GE ，∴∠DAM ＝∠NEM. ∵M 是AE 的中点，∴AM ＝EM.∵∠AMD ＝∠EMN ，∴△MAD ≌△MEN ，∴DM ＝MN ，AD ＝NE.∵AD ＝CD ，∴CD ＝NE.∵CF ＝EF ，∠FCD ＝∠FEN ＝90°，∴△DCF ≌△NEF ，∴DF ＝FN ，∠CFD ＝∠EFN. ∵∠EFN ＋∠CFN ＝90°，∴∠CFD ＋∠CFN ＝90°，即∠DFN ＝90°，∴DM ＝FM ，DM ⊥FM.(2)DM ＝FM ，DM ⊥FM.解码专训四(第1题)1．解：如图，由折叠性质得∠AEF ＝∠A′EF ，∠BEA ＝∠AEB′，BE ＝B′E ，AE ＝EA′，∵∠BAB′＝∠BEB′＝∠ABE ＝∠AB′E ＝90°，∴AE 为∠BAB′的平分线，∴∠BEA ＝∠BAE ＝45°，又∠BEA ＋∠AEF ＋∠FEA′＝180°，∴∠FEA′＝67.5°，∵在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠AFE ＝∠FEA′＝67.5°.2．解：易得EF 为AC 的垂直平分线．∴AE ＝EC ，AF ＝FC. ∵AE ∥FC ，∴∠AEO ＝∠CFO.又∵OA ＝OC ，∠AOE ＝∠COF ，∴△AEO ≌△CFO ，∴AE ＝FC.∴四边形AECF 是菱形．设BF 为x cm ，则AF ＝FC ＝(4－x)cm .由勾股定理，得32＋x 2＝(4－x)2，∴x ＝78，∴FC ＝258 cm .∵AB ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，∴AC ＝32＋42＝5(cm )．∴OC ＝52 cm .在Rt △FOC 中，OF ＝FC 2－OC 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2582－⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝158(cm )． ∴EF ＝2OF ＝154 cm .即折痕EF 的长为154 cm .3．证明：(1)由折叠可知，∠FBD ＝∠CBD ，因为AD ∥BC ，所以∠FDB ＝∠CBD ，所以∠FBD ＝∠FDB ，所以BF ＝DF.(2)因为四边形ABCD 是矩形，所以AB ＝DC ，AD ＝BC ，由折叠可知DC ＝ED ＝AB ，BC ＝BE ＝AD ，又因为AE ＝AE ，所以△AEB ≌△EAD ，所以∠AEB ＝∠EAD ，所以∠AEB ＝12(180°－∠AFE)，而∠DBE ＝12(180°－∠BFD)，∠AFE＝∠BFD ，所以∠AEB ＝∠DBE ，所以AE ∥BD.4．(1)证明：由折叠的性质可得：∠ENM ＝∠DNM ，即∠ENM ＝∠ENA ＋∠ANM ，∠DNM ＝∠DNC ＋∠CNM ，∵∠ENA ＝∠DNC ，∴∠ANM ＝∠CNM ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠ANM ＝∠CMN ，∴∠CMN ＝∠CNM ，∴CM ＝CN.(2)解：过点N 作NH ⊥BC 于点H ，则四边形NHCD 是矩形，∴HC ＝DN ，NH ＝DC ，∵△CMN 的面积与△CDN 的面积比为3∶1，∴S △CMN S △CDN ＝12·MC·NH 12·DN·NH ＝MC ND ＝3， ∴MC ＝3ND ＝3HC ，∴MH ＝2HC.设DN ＝x ，则HC ＝x ，MH ＝2x ，∴CM ＝3x ＝CN.在Rt △CDN 中，DC ＝CN 2－DN 2＝22x ，∴NH ＝22x ，在Rt △MNH 中，MN ＝MH 2＋HN 2＝23x ，∴MN DN ＝23x x ＝2 3.解码专训五1．解：猜想：AE ＝CF ，AE ∥CF.证明如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，∴∠ABE ＝∠CDF ，在△ABE 和△CDF 中，∵AB ＝CD ，∠ABE ＝∠CDF ，BE ＝DF ，∴△ABE ≌△CDF ，∴AE ＝CF ，∠AEB ＝∠CFD.∵∠AEB ＋∠AED ＝∠CFD ＋∠CFB ＝180°，∴∠AED ＝∠CFB ，∴AE ∥CF.2．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠CAD ＝∠ACB 、∠AEF ＝∠CFE.∵EF 垂直平分AC ，垂足为O ，∴OA ＝OC ，∴△AOE ≌△COF ，∴OE ＝OF ，∴四边形AFCE 为平行四边形． 又∵EF ⊥AC ，∴四边形AFCE 为菱形．设菱形的边AF ＝CF ＝x cm ，则BF ＝(8－x)cm ，(第2题)在Rt △ABF 中，AB ＝4 cm ，由勾股定理得42＋(8－x)2＝x 2，解得x ＝5，∴AF ＝5 cm .(2)解：显然当P 点在AF 上时，Q 点在CD 上，此时A 、C 、P 、Q 四点不可能构成平行四边形；同理P 点在AB 上时，Q 点在DE 或CE 上，也不能构成平行四边形．因此只有当P 点在BF 上、Q 点在ED 上时，才能构成平行四边形，如图，当以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC ＝QA.∵点P 的速度为每秒5 cm ，点Q 的速度为每秒4 cm ，运动时间为t 秒，∴PC ＝5t ，QA ＝12－4t ，∴5t ＝12－4t ，解得t ＝43，∴以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，t ＝43.3．证明：(1)连结AC.∵在菱形ABCD 中，∠B ＝60°，∴AB ＝BC ＝CD ，∠BCD ＝180°－∠B ＝120°，∴△ABC 是等边三角形．∵E 是BC 的中点，∴AE⊥BC.∵∠AEF＝60°，∴∠FEC＝90°－∠AEF＝30°，∴∠CFE＝180°－∠FEC－∠BCD＝180°－30°－120°＝30°，∴∠FEC＝∠CFE，∴EC＝CF.∴BE＝DF.(2)连结AC.由(1)知△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝∠BAC＝∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF.∵∠BCD＝120°，∠ACB＝60°，∴∠ACF＝60°＝∠B，∴△ABE≌△ACF，∴AE＝AF，∴△AEF是等边三角形．(第4题)4．(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD.∵AE＝BF＝CG＝DH，∴BE＝CF＝DG＝AH，∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，∴EH＝EF＝FG＝GH，∠1＝∠2.∴四边形EFGH为菱形．∵∠1＋∠3＝90°，∠1＝∠2，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠HEF＝90°.∵四边形EFGH为菱形，∴四边形EFGH为正方形．(2)解：直线EG必经过一定点．理由如下：如图，连结BD、EG，BD与EG交于O点，连结ED，BG.∵BE綊DG，∴四边形BGDE为平行四边形，∴BD、EG互相平分，易知O为正方形中心，∴EG必过正方形中心O.解码专训六(第1题)1．解：如图，取AB的中点E，连结OE、DE、OD，则OE＝1 2AB＝1，AE＝1，所以DE＝2，当D，E，O三点共线时，OD＝OE＋DE，否则OD<OE＋DE，所以OD长的最大值是2＋1.点拨：在这个问题中，关键是运用三角形三边的不等关系确定点D到点O的距离何时最大，具体做法是取AB的中点E，连结OE、DE、OD后，通过分情况讨论得出OD≤OE＋DE，所以OD的最大值等于OE＋DE.(第2题)2．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∵∠BAD＝120°，∴∠ABC＝180°－∠BAD＝180°－120°＝60°.如图，作点P关于直线BD的对称点P′，连结P′Q，P′C，则P′Q 的长即为PK＋QK的最小值，当P′Q⊥AB时，P′Q最短．假设点Q 与点C重合，CP′⊥AB，此时CP′的长即为PK＋QK的最小值．连结AC.∵BC＝AB＝2，∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形．∵CP′⊥AB，∴BP′＝AP′＝12AB＝1，∴CP′＝BC2－BP′2＝ 3.即PK＋QK的最小值为 3.3.54．(1)证明：∵△ABE是等边三角形，∴BA＝BE，∠ABE＝60°.∵∠MBN＝60°，∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.即∠MBA＝∠NBE.又∵MB＝NB，∴△AMB≌△ENB；(2)解：①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小；②连结CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM 的值最小．理由如下：由(1)知△AMB≌△ENB，∴AM＝EN，∵∠MBN＝60°，MB＝NB，∴△BMN是等边三角形，∴BM＝MN，∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM，根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短．∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长．解码专训七1．B 点拨：设每块长方形地砖的长为x cm ，宽为y cm ，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝40，2x ＝x ＋3y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝40，x －3y ＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝30，y ＝10， 所以每块长方形地砖的面积是300 cm 2.故选B .2．解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，AD ＝8 cm ，∴BC ＝AD ＝8 cm .∵S平行四边形ABCD ＝BC·AE ＝CD·AF ，∴8×3＝4CD ，∴CD ＝6 cm .(2)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AB ＝CD.∵平行四边形的周长为36 cm ，∴BC ＋CD ＝18 cm ，由平行四边形的面积公式得：4BC ＝5CD ，则⎩⎪⎨⎪⎧BC ＋CD ＝18，4BC ＝5CD ，解得：BC ＝10 cm ，CD ＝8 cm ，∴平行四边形ABCD 的面积是4×10＝40(cm 2)．3．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，OD ＝OB ，∴∠PDO ＝∠QBO.在△POD 与△QOB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠PDO ＝∠QBO ，OD ＝OB ，∠POD ＝∠QOB ，∴△POD ≌△QOB ，∴OP ＝OQ ，∴四边形PBQD 为平行四边形；(2)解：能．点P 从点A 出发运动t s 时，AP ＝t cm ，PD ＝(4－t) cm . 当四边形PBQD 是菱形时，PB ＝PD ＝(4－t) cm .∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAP ＝90°.在直角三角形ABP 中，AB ＝3 cm ，AP 2＋AB 2＝PB 2，即t 2＋32＝(4－t)2，解得：t ＝78，∴当点P 运动的时间为78 s 时，四边形PBQD 能够成为菱形．4．解：延长ED ，BC 交于点N ，延长EF ，BA 交于点M.∵∠EDC ＝∠BCD ＝120°，∴∠NDC ＝∠NCD ＝60°，∴∠N ＝60°.同理，∠MFA ＝∠MAF ＝60°，∴∠M ＝60°，∴△DCN 、△FMA 均为等边三角形，∵∠E ＋∠N ＝180°，∠E ＋∠M ＝180°，∴EM ∥BN ，EN ∥MB ，∴四边形EMBN 是平行四边形，∴BN ＝EM ，MB ＝EN.∵CD ＝2 cm ，BC＝8 cm，AB＝8 cm，AF＝5 cm，∴CN＝DN＝2 cm，AM＝FM＝5 cm，∴BN＝EM＝8＋2＝10(cm)，MB＝EN＝8＋5＝13(cm)，∴EF＋FA＋AB＋BC＋CD＋DE＝EF＋FM＋AB＋BC＋DN＋DE＝EM＋AB＋BC＋EN＝10＋8＋8＋13＝39(cm)，∴此六边形的周长为39 cm.5．解：当等边三角形ADE在正方形ABCD外部时，如图①所示．∵AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°，∴∠AEB＝(180°－150°)÷2＝15°.同理，∠DEC＝15°，∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；当等边三角形ADE在正方形ABCD内部时，如图②所示．∵AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，∴∠AEB＝(180°－30°)÷2＝75°.同理∠DEC＝75°，∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.(第5题)(第6题)6．解：易知OD＝5.当OP＝OD时，OP＝5，CO＝4，易得CP ＝3，所以P(3，4)．当OD＝PD时(如图所示)，有两种情况．①过P0作P0M⊥OD于M，在Rt△P0MD中，P0D＝5，P0M＝4，易知MD＝3，所以OM＝OD－MD＝5－3＝2，从而可知CP0＝2，所以P0(2，4)；②过P1作P1M1⊥OA于M1，在Rt△P1M1D中，P1D＝5，P1M1＝4，易知M1D＝3，所以OM1＝OD＋M1D＝5＋3＝8，从而CP1＝8，所以P1(8，4)．当OP＝PD时，易知OP≠5，不符合题意．综上，满足题意的点P的坐标为(3，4)，(2，4)，(8，4)．点拨：本题运用了分类讨论思想．根据△ODP是腰长为5的等腰三角形进行分类讨论是解决问题的关键．【此课件下载可自行编辑修改，供参考，感谢你的支持！】。
特殊平行四边形中的三种几何动点问题—2023-2024学年九年级数学上册(北师大版)(解析版)
特殊平行四边形中的三种几何动点问题类型一、面积问题 例．如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，90BCD ∠=，10cm AB AD ==，=8cm BC ．点P 从点A 出发，以每秒3cm 的速度沿折线ABC 方向运动，点Q 从点D 出发，以每秒2cm 的速度沿线段DC 方向向点C 运动．已知动点P ，Q 同时发，当点Q 运动到点C 时，P ，Q 运动停止，设运动时间为t ．(1)直接写出CD 的长（cm ）；(2)当四边形PBQD 为平行四边形时，直接写出四边形PBQD 的周长（cm ）；(3)在点P 、点Q 的运动过程中，是否存在某一时刻，使得BPQ V 的面积为215cm ？若存在，请求出所有满足条件的t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)16(2)(3)存在，满足条件的t 的值为2512秒或5秒【分析】（1）过点A 作AM CD ⊥于M ，根据题意证明四边形ABCD 是平行四边形，然后根据平行四边形的性质以及勾股定理可得结果；（2）当四边形PBQD 是平行四边形，则点P 在AB 上，点Q 在DC 上，则103BP t =−，2DQ t =，根据平行四边形的性质可得1032t t −=，求解得出平行四边形的各边长，求其周长即可；（3）分两种情况进行讨论：①当点P 在线段AB 上时；②当点P 在线段BC 上时；根据三角形面积列方程计算即可．【详解】（1）解：如图1，过点A 作AM CD ⊥于M ，AM CD ⊥，=90BCD ∠︒，∴AM CB ∥，∵AB CD ∥，∴四边形ABCD 是平行四边形，10cm CM AB ∴==，在t R ADM 中，10cm AD =，8cm AM BC ==，根据勾股定理得，6cm DM =，16cm CD DM CM ∴=+=；（2）当四边形PBQD 是平行四边形，则点P 在AB 上，点Q 在DC 上，如图3，由运动知，103BP t =−，2DQ t =，1032t t ∴−=，2t ∴=，此时，4BP DQ ==，12CQ =，根据勾股定理得，BQ =∴四边形PBQD 的周长为()28BP BQ +=+（3）①当点P 在线段AB 上时，即：1003t ≤≤时，如图2，()1110381522BPQ S PB BC t =⋅=−⨯=，2512t ∴=；②当点P 在线段BC 上时，即：1063t <≤时，如图4，310BP t =−，162CQ t =−，()()113101621522BPQ S PB CQ t t ∴=⋅=−−=，5t ∴=或193t =（舍）， 即：满足条件的t 的值为2512秒或5秒．【点睛】本题考查了四边形的动点问题，平行四边形的判定与性质，勾股定理，读懂题意，根据相应图形的性质列出方程是解本题的关键．【答案】(1)①12DP t =−；15BQ t =−；②7.5t =(2)()()()220<12=12<151345 15<1844t S t t t t −≤−≤−−≤⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎩【分析】（1）①根据路程等于速度乘以时间列代数式即可；②AP BQ =时，四边形APQB 是平行四边形；（2）求出相关线段的长度，利用三角形面积公式，分情况讨论即可．【详解】（1）解：①由题意可知=cm AP t ，cm CQ t =，∴()12cm DP AD AP t =−=−，()15cm BQ BC CQ t =−=−；②当四边形APQB 是平行四边形时，AP BQ =，即15t t =−，解得7.5t =．故答案为：()12cm t −，()15cm t −（2）解：如图，过点D 作DE BC ⊥于点E ，则90A B DEB ∠=∠=∠=︒，∴四边形ABED 是矩形，∴90ADE ∠=︒，()12cm BE AD ==， ∴()15123cm CE BC BE =−=−=，∵120ADC ∠=︒，∴30CDE ADC ADE ∠=∠−∠=︒，∴()26cm DC EC ==，∴)cm DE ===，∴点P 运动到点D 时，需12秒，点P 到点C 时，需18秒；点Q 从点C 到点B 需15秒，从点B 到点A 需15+秒．故分三种情况讨论：①当012t <≤时，如图，11==(1522S BQ AB t ⋅−−）②当1215t <≤时，如图，过点P 作DH BC ⊥于点H ，()18cm PC AD DC t t =+−=−，易知DE PH ∥∴30CPH CDE ∠=∠=︒， ∴()119cm 22CH PC t ==−，∴())cm PH t ==−，∴211(15))22S BQ PH t t =⋅=−−=；③当1518t <≤时，如图，()15cm BQ t BC t =−=−，()111596cm 22BH BC CH t t ⎛⎫=−=−−=+ ⎪⎝⎭， ∴211113(15)(6)4522244S BQ BH t t t t =⋅=−⋅+=−−，综上，))()220<12=12<15134515<1844t S t t t t ≤−≤−−≤⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎩．【点睛】本题考查列代数式、三角形面积公式、平行四边形的判定、勾股定理、矩形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、四边形上的动点问题等，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．【答案】(1)10(2)12(3)S=18(09)6216(918)t t t t <≤⎧⎨−+<≤⎩(4)t= 4或8或12【分析】（1）当t=4时，AP=8，PD=AD -AP=BC -AP=18-8=10；（2）当四边形ABQP为矩形时，AP=BQ，根据不同的时间段AP的关系式求出t值即可；（3）由（2）中不同时间段AP的关系式得出S的分段函数即可；（4）PQ所在的直线将矩形ABCD分成面积比为1：2的两部分时，可能再两个不同的时间段存在12ABQPPDCQss=四边形四边形和12PDCQABQPss=四边形四边形两种可能，根据（3）中面积的函数关系式分段求t值即可．（1）解：当t=4时，AP=2t=8，∴PD=AD-AP=18-8=10，故答案为10（2）解：当四边形ABQP为矩形时，AP=BQ，若0≤t≤9时，AP=2t，则2t=t，解得t=0（不符合题意，舍去）；若9＜t≤18时，AP=36-2t，则36-2t=t，解得t=12；故答案为12（3）解：当0<t≤9时，S=12(BQ +AP)⋅AB =12(t+2t)×12= 18t；当9<t<18时，S=12(BQ +AP)．AB =- 6t + 216．综上所述，S =18(09)6216(918)t tt t<≤⎧⎨−+<≤⎩（4）解：当0≤t≤9时，若12ABQPPDCQss=四边形四边形，则ABQPs四边形=13ABCDS矩形，∴18t=13×12×18，解得t=4；若12PDCQABQPss=四边形四边形，则ABQPs四边形=23ABCDS矩形，∴18t=23×12×18，解得t=8；当9＜t≤18时，若12ABQPPDCQss=四边形四边形，则ABQPs四边形=13ABCDS矩形，∴-6t+216=13×12×18，解得t=24（舍）；若12PDCQABQPss=四边形四边形，则ABQPs四边形=23ABCDS矩形，∴-6t+216=23×12×18，解得t=12；综上，当t=4或8或12时，PQ所在的直线将矩形ABCD分成面积比为1：2两部分．【点睛】本题主要考查四边形的综合题型，涉及动点问题，矩形的性质，梯形的面积等知识点，会用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．如图，在ABD中，几秒钟后，MON的面积为【答案】(1)见解析(2)5米，24平方米；(3)1秒或4秒【分析】（1）根据题意，用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”先判定平行四边形，再用邻边相等证明菱形；（2）解方程可得OA 、OB 的长，用勾股定理可求AB ，根据“菱形的面积对应对角线积的一半”计算连线面积；（3）根据点M 、N 运动过程中与O 点的位置关系，分三种情况分别讨论．【详解】（1）证明：AO 平分BAD ∠，AB CD ∥，DAC BAC DCA ∠∠∠∴==， ACD ∴是等腰三角形，AD DC =，又AB AD =，AB CD ∴=，∴四边形ABCD 为平行四边形，又AB AD =，∴四边形ABCD 是菱形；（2）解：解方程27120x x −+=，得，14x =，23x = 4OA ∴=，3OB =，利用勾股定理5AB ==，28,26AC OA BD OB ∴====，∴ABCD S =菱形118622AC BD ⨯=⨯⨯24=平方米．（3）解：在第(2)问的条件下，设M 、N 同时出发x 秒钟后，MON 的面积22m ，当点M 在OA 上时，2x <，MON S =12()()4232x x −−=， 解得1214x x ==， (大于2，舍去)；当点M 在OC 上且点N 在OB 上时，23x <<，MON S =12()()3242x x −−=，整理得，2580x x −+=，此时，2=541870∆−⨯⨯=−<，∴原方程无解；当点M 在OC 上且点N 在OD 上时，即34x <≤，MON S =12 ()()2432x x −−=，整理得，2540x x −+=，解得1241x x ==， (小于3，舍去)．综上所述：M ，N 出发1秒或4秒钟后，△MON 的面积为22m ．【点睛】本题考查了菱形的判定方法，菱形的面积计算方法，分类讨论的数学思想．类型二、几何图形存在性问题 Rt ABC 中， (1)求AB AC ，的长；(2)求证：AE DF =；(3)当t 为何值时，DEF 为直角三角形？请说明理由．【答案】(1)AB=5，AC=10；(2)证明见解析(3)当52t =秒或4秒时，DEF 为直角三角形，理由见解析【分析】（1（2）利用已知用未知数表示出DF ，AF 的长，进而得出AE DF =；（3）利用①当90EDF ∠=︒时；②当90DEF ∠=︒时；③当90EFD ∠=︒时，分别分析得出即可．【详解】（1）解：设AB x =，90B ∠=︒，30C ∠=︒，22AC AB x ∴==．由勾股定理得，()(2222x x −=， 解得：5x =， 5AB ∴=，10AC = ；（2）证明：由题意得AE t =，CD=2t ，则102AD t =−，在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，∴12DF CD t==．又AE t=，AE DF∴=；（3）解：当52t=秒或4秒时，DEF为直角三角形，理由如下：分情况讨论：①∠EDF=∠DFC=90°时，则DE BC∥，∴∠AED=∠B=90°，∠ADE=∠C=30°，∴AD=2AE，∴10-2t=2t，∴52t=；②∠DEF=90°时，∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE DF．又∵AE=DF，∴四边形AEFD为平行四边形，∴AD EF，∴∠ADE=∠DEF=60°，∴∠AED=30°，∴12AD AE=，∴1 1022t t−=，∴4 t=；③∠EFD=90°时，此种情况不存在． 当52t =秒或4秒时，DEF 为直角三角形．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识．理解相关知识是解答关键． (1)连接PD 、PQ 、DQ ，求当t 为何值时，PQD △的面积为(2)当点P 在BC 上运动时，是否存在这样的t 使得△合条件的t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)1秒或4秒(2)存在，43t =秒或4)秒【分析】（1）根据正方形的性质和面积公式，利用割补法即可求解；（2）根据勾股定理、等腰三角形的性质得出一元二次方程，分情况讨论以PD 为腰的等腰三角形即可说明．【详解】（1）解：当P 在BC 上时如图：根据题意，得4AB BC CD AD ====AQ t =，4QB t =−，2BP t =，42PC t =−，7PQD ADQ BPQ DPC ABCD S S S S S =−−−=△△△△正方形，1111642(4)4(42)7222t t t t −⨯⨯−⨯−−⨯⨯−=整理，得2210t t −+=，解得121t t ==．当P 在CD 上时，此时24t <≤4(24)82DP t t =−−=− 1(82)472PQD S t ∴=−⨯=△94t ∴=答：当t 为1秒或94秒时，PQD △的面积为27cm ．（2）①当PD DQ =时，根据勾股定理，得2216(42)16t t +−=+，解得143t =，24t =（不符合题意，舍去）．②当PD PQ =时，根据勾股定理，得22216(42)(4)(2)t t t +−=−+，整理得：28160t t +−=解得14t =，24t =−（不符合题意，舍去）．答：存在这样的43t =秒或4)秒，使得PQD △是以PD 为一腰的等腰三角形．【点睛】本题考查了正方形、一元二次方程、等腰三角形的相关知识，解决本题的关键是分类讨论思想的运用．例3．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AB ＝8cm ，AD ＝12cm ，BC ＝18cm ，点P 从点A 出发以1cm/s 的速度向点D 运动；点Q 从点C 同时出发，以2cm/s 的速度向点B 运动，当点Q 到达点B 时，点P 也停止运动，设点P ，Q 运动的时间为t s ．(1)从运动开始，当t 取何值时，PQ ∥CD ？(2)在整个运动过程中是否存在t 值，使得四边形PQCD 是菱形？若存在，请求出t 值；若不存在，请说明理由；(3)从运动开始，当t 取何值时，四边形PQBA 是矩形？(4)在整个运动过程中是否存在t 值，使得四边形PQBA 是正方形？若存在，请求出t 值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)4(2)不存在，理由见解析(3)6(4)不存在，理由见解析【分析】（1（2）利用菱形的判定和性质进行求解即可；（3）利用矩形的判定和性质进行求解即可；（4）利用正方形的判定和性质进行求解即可．（1）解：由运动知，AP ＝tcm ，CQ ＝2tcm ，∴DP ＝AD ﹣AP ＝（12﹣t ）cm ，∵AD BC ∥，要PQ CD ∥，∴四边形CDPQ 为平行四边形，∴DP ＝CQ ，∴12﹣t ＝2t ，∴t ＝4，即t ＝4时，PQ ∥CD ；（2）不存在，理由：∵四边形PQCD 是菱形，∴CQ ＝CD ，∴2t ＝10，∴t ＝5，此时，DP ＝AD ﹣AP ＝12﹣5＝7（cm ），而DP≠CD ，∴四边形PQCD 不可能是菱形；（3）如图4，∵∠B ＝90°，AD ∥BC ，∴当AP ＝BQ 时，四边形ABQP 是矩形，即t ＝18﹣2t ，解得：t ＝6，∴当t ＝6时，四边形PQBA 是矩形；（4）由当t ＝6时，四边形PQBA 是矩形，∴AP ＝6cm ，∵AB ＝8cm ，∴AP≠AB ，∴矩形PQBA 不能是正方形，即不存在时间t ，使四边形PQBA 是正方形．【点睛】本题考查四边形中的动点问题．解题的关键是熟练掌握平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定和性质，确定动点的位置． 例4．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且8AC =，6BD =，现有两动点M ，N 分别从A ，C 同时出发，点M 沿线段AB 向终点B 运动，点N 沿折线C D A −−向终点A 运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t （秒）．(1)填空：AB = ；菱形ABCD 的面积S = ；菱形的高h = ．(2)若点M 的速度为每秒1个单位，点N 的速度为每秒a 个单位（其中52a <），当4t =时在平面内存在点得以A ，M ，N ，E 为顶点的四边形为菱形，请求出所有满足条件的a 的值．【答案】(1)5；24；245(2)1.5或1.94或1.4【分析】（1）先由菱形的性质和勾股定理求得AB ，再跟菱形面积为对角线之积的一半可得S ，最后根据菱形的面积为边长×高，由此可得高h 的长；（2）当4t =，时间固定，AM 的长度也就固定，A 、M 、N 、E 四点要形成菱形，分两大类情况，第一类以AM 为边，这种情况可以画两种菱形；第二类以AM 为对角线，只有一种．因此共三种情况，分别计算．【详解】（1）解：∵四边形ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ，86AC BD ==，，∴43AO CO BO DO AC BD ====⊥，，，∴AB=5，设菱形的高为h,则菱形ABCD 的面积为186242AB h ⨯⨯=⨯=∴245h =故答案为：5，24，245（2）解：当4t =时，4AM =，①如图2，四边形AMEN 为菱形，4AN AM ∴==，1046ND CD ∴+=−=，46a ∴=，32a =．②如图3，AENM 为菱形，EM 交AN 于点R ，作DP 垂直BC 于P ，菱形面积为24，4.8DP ∴=，75CP ∴=，MAR BCD ∠=∠，AMR PDC ∴∠=∠，AR CP AM CD ∴=，1.12AR ∴=，2.24AN ∴=，()()410 2.244 1.94a ND CD ∴=+÷=−÷=，③如图4，AEMN 为菱形，EN 交AM 于点T ，作BS 垂直CD 于S ，则2AT MT ==，523BT NS ∴==−=，4.8BS =， 1.4CS ∴=，1.43 4.4CN NS CS∴=+=+=，4 4.44 1.1a CN∴=÷=÷=；综上所述，a的取值有1.5或1.94或1.4．【点睛】本题主要考查了菱形的性质、三角函数、勾股定理、面积计算，分类讨论等重要知识点，综合性和技巧性很强，计算量也较大，对学生的能力要求较高，因此综合应用所学知识成为解答本题的关键．类型三、直线位置关系问题(1)直接写出AB的长．(2)当点Q落在AB边上时，用含t的代数式表示【答案】(1)3(2)3523t−或5332t−(3)12、或175(4)920或215【分析】（1）根据勾股定理直接求出AB 的长度；（2）分类讨论Q 在AD 和BD 上的两种情况，DQ AD AQ =−或 DQ AQ AD =−；（3）当平行四边形PQDM 为菱形或矩形时即为轴对称图形，因为PQ AC ⊥，所以当Q 在AB 上时，PQD ∠不可能为直角，平行四边形PQDM 不可能为矩形，只存在菱形的情况，根据PQ DQ =建立等量解出t 值；当Q 在BC 上时，表示出DQ 的长度较为复杂，所以可以表示出2DQ ，利用22PQ DQ =建立方程解出t 值；当Q 点在BC 中点时，平行四边形PQDM 为矩形，可直接求得t 值；（4）因为平行四边形PQDM 的四个顶点顺序已经确定，所以Q 在过点D 的AC 平行线的下方，分类讨论Q 在AD 上和在CN （见详解图）上的两种况下QM 平行于不同边时的情况，注意，根据平行线的定义，当Q 在AB 上时，QM 不可能平行于AB ，当Q 在BC 上时，QM 不可能平行于BC ．【详解】（1）解：在Rt ABC 中，222AB AC BC =−，∴3=AB ；（2）解：P 从点A 出发以每秒个单位的速度沿AC 向终点C 运动，∴AP t =，PQ AC ⊥，∴APQ ABC △△∽，::3:4:5AB BC AC =，∴::3:4:5AP QP AQ =， ∴5533AP t AQ ==，点D 是边AB 的中点，∴32AD BD ==， ∴ 3523DQ t =−或5332t −；（3）解：当平行四边形PQDM 为菱形或矩形时即为轴对称图形， ∴ PQ DQ =或平行四边形PQDM 某一内角为90︒，①当Q 在AB 上时，990510t t ⎛⎫≤≤≠ ⎪⎝⎭，由（1）得43PQ t =，3523DQ t =−或5332t −， ∴354233t t −=或534323t t −=， 解得12t =或92， 990510t t ⎛⎫≤≤≠ ⎪⎝⎭，∴12t =；Q 在AB 上时，PQD ∠不可能为90︒，故不存在矩形的情况；②如图，当Q 在BC 上时，955t ≤≤，CPQ CBA △△∽，∴::4:3:5CP QP CQ =，AP t =，∴5CP t =−， ∴()354PQ t =−，()554CQ t =−， ∴()55945444BQ t t =−−=−， ∴222222359254511724416816DQ BD BQ t t t ⎛⎫⎛⎫=+=+−=−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当22PQ DQ =时，平行四边形PQDM 为菱形， ∴()22254511735168164t t t ⎡⎤−+=−⎢⎥⎣⎦，解得t =，955t ≤≤，∴t =；当Q 点在BC 中点时，平行四边形PQDM 为矩形， 此时485255t −=⨯=， 解得175t =；综上所述：当平行四边形PQDM 为轴对称图形时，t 的值为12、或175；（4）解：平行四边形PQDM ，∴Q 在过点D 的AC 平行线的下方， ①如图，Q 在AD 上，9010t ≤<，QM AC ∥时，易得DQM QAP △△∽，平行四边形PQDM ，∴43DM QP t ==， 由（1）得3523DQ t =−， ∴35523443t DQ DM t −==， 解得920t =；②如图，Q 在AD 上，9010t ≤<，QM BC ∥时， 易得DQM QPA △△∽，∴35423453tDQDM t−==，解得8245t=（舍）；③过点D的平行线交BC于点N，点Q在CN上移动才可能会出现平行四边形PQDM的对角线QM平行于直角三角形的边，此时1755t≤≤，如图，当QM AC∥时，延长DM交AC于点H，平行四边形PQDM，∴()354DM PQ t==−且DH AC⊥，QM AC∥，∴四边形MQPH为矩形，∴()354MH PQ DM t===−，∴()365245t DH−⨯==，解得215t=；不存在QM AB∥的情况；综上所述：当QM与Rt ABC△的某条边平行时，t的值为920或215．【点睛】本题考查了几何动点问题，涉及到相似、平行线的性质、平行四边形以及特殊的平行四边形的性质和判定，还会用到分类讨论的思想，难度较大，解决本题的关键是能准确找到不同的情况并对问题进行分类讨论．【答案】(1)BD =，9BE cm =(2)PQ AD ⊥，理由见详解(3)存在，t 的值为125或4(4)或【分析】（1）可求出30ADB ∠=︒，根据含30︒的直角三角形的性质可得212AD AB cm ==，BD =，根据平行四边形的性质可得AD BC ∥，则30DBC ∠=︒，即可得12DE BD =，BE =，即可求解； （2）先证四边形DEQP 是平行四边形，可得四边形DEQP 是矩形，即可得出结论；（3）分两种情况讨论，由平行四边形的性质可得AP BQ =，列出方程可求解；（4）分两种情况讨论，由轴对称的性质和等边三角形的性质以及勾股定理可求解．【详解】（1）四边形ABCD 是平行四边形，90ABD Ð=°，60A ∠=︒，6AB cm =，30ADB ∴∠=︒，AD BC ∥，212AD AB cm ∴==，BD ==，30DBC ADB ∠=∠=︒，DE BC ⊥，12DE BD ∴==，BE =，9BE cm ∴==；（2）PQ AD ⊥，理由如下：如图1，动点P 从点D 出发沿DA 以1/s cm 的速度向终点A 运动，同时点Q 从点B 出发，以4/cm s 的速度沿射线BC 运动，∴当95t =时，95PD =，365BQ =， 369955QE BE BQ PD ∴=−=−==， AD BC ，∴四边形DEQP 是平行四边形，DE BC ⊥，∴四边形DEQP 是矩形，PQ AD ∴⊥；（3）存在，当CD 为边时，四边形PQCD 是平行四边形，PD CQ ∴=，124t t ∴=−，125t ∴=；当CD 为对角线时，四边形PCQD 是平行四边形，PD CQ ∴=，412t t ∴=−，4t ∴=，综上所述：t 的值为125或4；（4）如图，当点P 的对称点在线段CD 上时，60ADQ QDC ∴∠=∠=︒，60QDC BCD ∴∠=∠=︒，CDQ ∴是等边三角形，CD CQ ∴=，6124t ∴=−，32t ∴=，过点P 作PH BC ⊥于H ，则PH DE ==，32EH PD cm ==， 60BCD ∠=︒，6CD AB cm ==，DE BC ⊥，13cm 2CE CD ∴==，32QH CQ EH CE cm ∴=−−=，在Rt PQH 中，PQ =； 如图，当点P 的对称点在线段CD 的延长线上时，120CDA ∠=︒，60PDP '∴∠=︒，点P 的对称点在线段CD 的延长线上，1302CDQ PDP '∴∠=∠=︒，BCD CDQ CQD ∠=∠+∠， 30CDQ CQD ∴∠=∠=︒，6CD CQ ∴==，12618BQ ∴=+=，418t ∴=，92t ∴=，过点P 作PH BC ⊥于H ，则PH DE ==，92EH PD cm ==，60BCD ∠=︒，6CD AB cm ==，DE BC ⊥，132CE CD cm ∴==，272QH CQ EH CE cm ∴=++=，在Rt PQH 中，PQ ==；综上所述：点P ，Q 之间的距离为或．【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．课后训练1．如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，90A ∠=︒，24cm DC =，26cm AB =，动点P 从D 开始沿DC 边向C 点以1cm /s 的速度运动，动点Q 从点B 开始沿BA 向A 点以3cm /s 的速度运动，P ，Q 分别从点D ，B 同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，运动的时间为t 秒．(1)t 为何值时，四边形DPQA 为矩形？(2)t 为何值时，四边形PQBC 为平行四边形？【答案】(1)当132t =秒时，四边形DPQA 为矩形(2)当6t =秒时，四边形PQBC 为平行四边形【分析】（1）根据AB CD ∥，矩形的判定和性质，得AQ DP =，求出t ，即可；（2）根据平行四边形的判定和性质，得PC QB =，求出t ，即可．【详解】（1）∵AB CD ∥，∴AQ DP ∥，当AQ DP =时，四边形DPQA 为平行四边形，∵90A ∠=︒，∴平行四边形DPQA 为矩形，∵动点P 从D 开始沿DC 边向C 点以1cm /s 的速度运动，动点Q 从点B 开始沿BA 向A 点以3cm /s 的速度运动， ∴cm DP t =，3cm BQ t =，∴263AQ AB BQ t =−=−，∴263t t =−，解得：261342t ==， ∴当132t =秒时，四边形DPQA 为矩形．（2）∵AB CD ∥，∴QB PC ∥，当PC QB =时，四边形PQBC 为平行四边形，∴24PC t =−，∴243t t −=，解得：6t =，∴当6t =秒时，四边形PQBC 为平行四边形．【点睛】本题考查动点与几何的综合，矩形和平行四边形的知识，解题的关键是掌握矩形和平行四边形的判定和性质． 在ABC 中， 发现：(1)在点O 的运动过程中，OE 与OF 的关系是(2)当=2t 时，=EF ______cm ．【答案】(1)OE OF =，详见解析(2)8cm ，探究：3，拓展：=AB 10cm【分析】()1根据角平分线的定义、平行线的性质分别得到OEC ACE ∠=∠，ACF OFC ∠=∠，根据等腰三角形的判定定理得到OE OC =，OF OC =，等量代换证明结论；()2根据直角三角形斜边上的中线的性质解答；探究：根据矩形的判定定理得到=OA OC 时，四边形AECF 是矩形，进而求出OA ，求出t ；拓展：根据正方形的对角线平分一组对角得到45ACE ∠=︒，进而得到90ACB ∠=︒，根据勾股定理计算，得到答案．【详解】（1）解：OE OF =，理由如下：CE 平分ACB ∠，BCE ACE ∴∠=∠，EF BC ∥，BCE OEC ∴∠=∠，OEC ACE ∴∠=∠，OE OC ∴=，同理可得，ACF OFC ∠=∠，OF OC ∴=，OE OF ∴=，故答案为：OE OF =；（2）由题意得，当=2t 时，2cm OA =，则4cm OC AC OA =−=，BCE ACE ∠=∠，GCF ACF ∠=∠，90ECF ∴∠=︒，OE OF =，()28cm EF OC ∴==，故答案为：8； 探究：当=3t 时，四边形AECF 是矩形，理由如下：90ECF ∠=︒，OE OF =，∴当=OA OC 时，四边形AECF 是矩形，此时，3cm OA OC ==，3t ∴=时，四边形AECF 是矩形，故答案为：3；拓展：当四边形AECF 是正方形时，45ACE ∠=︒，CE 平分ACB ∠，290ACB ACE ∴∠=∠=︒，()10cm AB ∴=．【点睛】本题考查的是正方形的性质、矩形的判定、平行线的性质以及直角三角形斜边上的中线的性质，掌握矩形的判定定理、正方形的性质是解题的关键． 3．已知正方形ABCD 中，8AB BC CD DA ====，90A B C D ∠=∠=∠=∠=︒．动点P 以每秒2个单位速度从点B 出发沿线段BC 方向运动，动点Q 同时以每秒8个单位速度从B 点出发沿正方形的边BA AD DC CB −−−方向顺时针作折线运动，当点P 与点Q 相遇时停止运动，设点P 的运动时间为t ．(1)当运动时间为 秒时，点P 与点Q 相遇；(2)当BQ PD ∥时，求线段DQ 的长度；(3)连接PA ，当PAB 和QAD 全等时，求t 的值．【答案】(1)3.2(2)3.2(3)t 为0.8或83【分析】（1）先判断出点P ，Q 相遇时，必在正方形的边BC 上，利用运动路程之和为正方形的正常建立方程即可；（2）先判断出四边形BQDP 是平行四边形，得出BP DQ =，进而表示出BP ，DQ ，用BP DQ =建立方程求解即可；（3）分点Q 在正方形的边AB ，AD ，CD ，BC 上，建立方程求解即可得出结论；【详解】（1）解：点P 的运动速度为2，8BC =，∴点P 运动到点C 的时间为4，点Q 的运动速度为8，∴点Q 从点B 出发沿BA AD DC CB −−−方向顺时针作折线运动到点C 的时间为(888)83++÷=，∴点P ，Q 相遇时在边BC 上，284832t t ∴+=⨯=，3.2t ∴=，故答案为3.2；（2）解：如图1，//BQ PD ，∴点Q 只能在边AD 上，四边形ABCD 是正方形，//AD BC ∴，∴四边形BQDP 是平行四边形，BP DQ ∴=，2288t t ∴=⨯−，1.6t ∴=，288 3.2DQ t ∴=⨯−=；（3）解：①当点Q 在边AB 上时，如图2，AB AD =，ABP DAQ ∠=∠，要使PAB ∆和ΔQAD 全等，只能是PAB QDA ≅，BP AQ ∴=，88AQ t =−，2BP t =，882t t ∴−=，0.8t ∴=，②当点Q 在边AD 时，不能构成QAD ，③当点Q 在边CD 上时，如图3，同①的方法得，要使PAB 和QAD 全等，只能是PAB QAD ≅，BP DQ ∴=，2816t t ∴=−，83t ∴=，④当点Q 在边BC 时，QAD 不是直角三角形，而PAB 是直角三角形，所以，不能全等；即：当PAB 和QAD 全等时，t 的值为0.8或83；【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论． 4．如图，在ABCD Y 中，9034BAC CD AC ∠=︒==，，．动点P 从点A 出发沿AD 以1cm /s 速度向终点D 运动，同时点Q 从点C 出发，以4cm /s 速度沿射线CB 运动，当点P 到达终点时，点Q 也随之停止运动，设点P 运动的时间为t 秒()0t >．(1)CB 的长为______．(2)用含t 的代数式表示线段QB 的长．(3)连接PQ ，①是否存在t 的值，使得PQ 与AC 互相平分？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；②是否存在t 的值，使得PQ 与AB 互相平分？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．(4)若点P 关于直线AQ 对称的点恰好落在直线AB 上，请直接写出t 的值．【答案】(1)5(2)55404QB t t ⎛⎫=−<≤ ⎪⎝⎭或5454QB t t ⎛⎫=−> ⎪⎝⎭(3)①不存在，理由见解析；②存在，t 的值为53(4)t 的值为12或2【分析】（1）根据平行四边形的性质得3AB DC ==，再根据勾股定理即可求解；（2）根据题意可得4CQ t =，先求出当点Q 与点B 重合时，所花费的时间，再根据题意分两种情况讨论即可：当点Q 在线段BC 上时和当点Q 在线段CB 的延长线上时；（3）①连接PC AQ ，，假设PQ 与AC 互相平分，则可得四边形APCQ 是平行四边形，进而可得AP CQ =，解得即可到答案；②连接PB AQ ，，假设PQ 与AB 互相平分，则可得四边形APBQ 是平行四边形，进而可得AP BQ =，解得即可到答案；（4）根据题意分两种情况讨论即可：当点P 关于直线AQ 对称的点落在点A 下方时和当点P 关于直线AQ 对称的点落在点A 上方时．【详解】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴3AB DC ==，∵90BAC ∠=︒，∴5BC =，故答案为：5；（2）在ABCD Y 中，AD BC =，AD BC ∥，由题意得，4CQ t =，当点Q 与点B 重合时，45t =， ∴5s 4t =， 当点Q 在线段BC 上时，54QB BC CQ t =−=−，当点Q 在线段CB 的延长线上时，45QB CQ BC t =−=−， 综上所述，55404QB t t ⎛⎫=−<≤ ⎪⎝⎭或5454QB t t ⎛⎫=−> ⎪⎝⎭；（3）①不存在，理由如下：如图，连接PC AQ ，，若PQ 与AC 互相平分，则四边形APCQ 是平行四边形，∴AP CQ =，∵4AP t CQ t ==，，∴4t t =，解得0=t （不合题意），∴不存在t 的值，使得PQ 与AC 互相平分；②存在，如图，连接PB AQ ，，若PQ 与AB 互相平分，则四边形APBQ 是平行四边形，∴AP BQ =，∴45t t =−， ∴5s 3t =， ∴当5s 3t =时，PQ 与AB 互相平分； （4）当点P 关于直线AQ 对称的点落在点A 下方时，如图，由对称得，PAQ P AQ '∠=∠，∵AD BC ∥，∴PAQ AQB ∠=∠，∴P AQ AQB '∠=∠，即BAQ AQB ∠=∠，∴3BQ AB ==，∴2CQ BC BQ =−=，∴42t =，解得12t =；当点P 关于直线AQ 对称的点落在点A 上方时，如图，由对称得，12∠=∠，∵AD BC ∥，∴13∠=∠，∵24∠∠=∴3=4∠∠，∴3BQ AB ==，∴8CQ BC BQ =+=，∴48t =，解得2t =，综上所述，t 的值为12或2．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、勾股定理的应用和动点问题，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 5．如图，矩形ABCD 中，4CD =，30CBD ∠=︒．一动点P 从B 点出发沿对角线BD 方向以每秒2个单位长度的速度向点D 匀速运动，同时另一动点Q 从D 点出发沿DC 方向以每秒1个单位长度的速度向点C 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P 、Q 运动的时间为t 秒()0t >．过点P 作PE BC ⊥于点E ，连接EQ ，PQ ．(1)求证：PE DQ =；(2)四边形PEQD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，说明理由．(3)当t 为何值时，PQE V 为直角三角形？请说明理由．【答案】(1)见解析(2)能，83t =(3)当2t =或165，见解析【分析】（1）由垂直得90BEP ∠=︒，在Rt BEP 中，2BP t =，由30CBD ∠=︒，可得PE t =，即可证明结果；（2）先证明四边形PEQD 是平行四边形，82PD t =−，DQ t =，当PD DQ =时，四边形PEQD 为菱形，即可求解；（3）分类讨论：①当90EPQ ∠=︒，②当90PQE ∠=︒，③当90PEQ ∠=︒即可．【详解】（1）证明：∵PE BC ⊥，∴90BEP ∠=︒，在Rt BEP 中，2BP t =，∵30CBD ∠=︒，∴PE t =，又∵DQ t =，∴PE DQ =；（2）解：能，理由如下：∵四边形ABCD 为矩形，PE BC ⊥，90BEP C ︒∠==∠，∴PE DQ ∥，由（1）知，PE DQ =，∴四边形PEQD 为平行四边形，在Rt CBD 中，4CD =，30CBD ∠=︒，∴28BD CD ==，∵2BP t =，∴82PD BD BP t =−=−，若使平行四边形PEQD 为菱形，则需PD DQ =，即82t t −=， ∴83t =， 即当83t =时，四边形PEQD 为菱形； （3）解：①当90EPQ ∠=︒时，四边形EPQC 为矩形，∴PE QC =，∵PE t =，4QC t =−，∴4t t =−，即2t =；②当90PQE ∠=︒时，90DPQ PQE ∠=∠=︒，在Rt DPQ 中，906030PQD ∠=︒−︒=︒，∴2DQ DP =，∵DQ t =，82DP t =−∴()282t t =−，即165t =．③当90PEQ ∠=︒时，此种情况不存在，综上所述，当2t =或165时，PQE V 为直角三角形．【点睛】本题考查动点问题、菱形的判定与性质及矩形的性质，找到动点运动的规律和路线、速度、以及是否停止和有无取值范围是解题的关键．(1)=a ______cm ，b =______cm ；(2)t 为何值时，EP 把四边形BCDE 的周长平分？(3)另有一点Q 从点E 出发，按照E D C →→的路径运动，且速度为1cm /s ，若P 、Q 两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．求t 为何值时，BPQ V 的面积等于26cm ．【答案】(1)3，3(2)2s =t(3)3s 2或11s 3或5s【分析】（1）由非负性可求a ，b 的值；（2）先求出18cm BCDE C =四边形，可得9cm BE BP +=，可求4cm BP =，即可求解；（3）分三种情况讨论，由三角形的面积公式可求解．【详解】（1）∵()230a −=，∴30,290a a b −=+−=，∴3,3a b ==；故答案为：3，3；（2）∵3cm,3cm AE DE ==，∴6cm AD BC ==，∴18cm BCDE C BC CD DE EB =+++=四边形，∵EP 把四边形BCDE 的周长平分，∴9cm BE BP +=，∴4cm BP =，点P 在BC 上，∴42s 2t ==；（3）①点P在BC上(03)t<≤，∵12462BPQtS=⨯⨯=V，∴3.2t=；②相遇前，点P在CD上13 (3)3t<≤，∵[]1(4(3)(26)662BPQS t t=⨯−−−−⨯=，∴113t=；③相遇后，点P在CD上13(5)3t<≤，∵[]1(3)(26)4662BPQS t t=⨯−+−−⨯=，∴.5t=；∴综上所述，当3s2t=或11s3或5s时，BPQV的面积等于26cm．【点睛】本题考查了矩形的性质，非负数的性质，一元一次方程的应用等知识，利用分类讨论思想是解本题的关键．角形与DCQ全等．【答案】(1)1(2)54t=或4或232(3) 3.5t=，5.5或10【分析】（1）根据题中条件求出AP 的长即可求解；（2）分三种情况讨论：①当点P 在AB 上时，②当点P 在BC 上时，③当点P 在AD 上时；（3）连接CQ ，要使一个三角形与DCQ 全等，则另一条直角边必须等于DQ ，分类讨论即可．【详解】（1）解：动点P 的速度是2cm/s ，∴当2t =时，224AP =⨯=，∵5cm AB =，∴BP =1cm ；（2）解：①当点P 在AB 上时，CDP △是等腰三角形，∴PD CP =，在长方形ABCD 中，,90AD BC A B =∠=∠=︒，∴()HL DAP CBP ≌，∴AP BP =， ∴1522AP AB ==，∵动点P 的速度是2cm/s ， ∴54t =；②当点P 在BC 上时，CDP △是等腰三角形，如图所示，∵90C ∠=︒，∴5CD CP ==，∴3BP CB CD =−=， ∴53422AB BP t ++===；③当点P 在AD 上时，CDP △是等腰三角形．如图所示，∵90D Ð=°，∴5DP CD ==， ∴585523222AB CB CD DP t ++++++===， 综上所述，54t =或4或232时，CDP △是等腰三角形； （3）解：根据题意，如图，连接CQ ，∵5,90,6AB CD A B C D DQ ==∠=∠=∠=∠=︒=，∴要使一个三角形与DCQ 全等，则另一条直角边必须等于DQ ．①当点P 运动到1P 时，16CP DQ ==，此时1DCQ CDP △≌△， ∴点P 的路程为：1527AB BP +=+=， ∴72 3.5t =÷=；②当点P 运动到2P 时，26BP DQ ==，此时2CDQ ABP △≌△， ∴点P 的路程为：25611AB BP +=+=，∴112 5.5t =÷=③当点P 运动到3P 时，35AP DQ ==，此时3CDQ BAP △≌△， ∴点P 的路程为：3585220AB BC CD DP +++=+++=， ∴20210t =÷=，④当点P 运动到4P 时，即P 与Q 重合时，46DP DQ ==，此时4CDQ CDP △≌△， ∴点P 的路程为：4585624AB BC CD DP +++=+++=∴24212t =÷=，此结果舍去，不符合题意，综上所述，t 的值可以是： 3.5t =，5.5或10．【点睛】本题考查了动点问题，灵活运用分类讨论思想是解题关键．。
第1章 专项训练 特殊平行四边形的动点问题
3．如图所示，在菱形 ABCD 中，AB＝4，∠BAD ＝120°，△AEF 为正三角形，点 E，F 分别在菱形 的边 BC，CD 上滑动，且 E，F 不与 B，C，D 重合．
(2)是否存在某个 t 值，使得△DCP 和△DCE 全 等？若存在，请求出所有满足条件的 t 值；若不存在， 请说明理由．
解：①当 P 在 BC 上时， 由题意得 BP＝2t， 要使△DCP≌△DCE，则需 CP＝CE. ∵CE＝2，∴5－2t＝2，∴t＝1.5. 即当 t＝1.5 时，△DCP≌△DCE； ②当 P 在 CD 上时，不存在 t 使△DCP 和△DCE 全等； ③当 P 在 AD 上时，由题意得 BC＋CD＋DP＝2t， ∵BC＝5，CD＝4，∴DP＝2t－9. 要使△DCP≌△CDE，则需 DP＝CE， 即 2t－9＝2，∴t＝5.5， 即当 t＝5.5 时，△DCP≌△CDE. 综上所述，当 t＝1.5 或 t＝5.5 时，△DCP 和△DCE 全等．
5．正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，点 P 是正方形 ABCD 对角线 BD 上的一个动点(点 P 不与点 B，O，D 重合)，连接 CP 并延长，分别过点 D，B 向射线 CP 作垂线，垂足分别为点 M，N.
(1)补全图形，并求证：DM＝CN；
解：补全图形如图所示． ∵正方形 ABCD， ∴BC＝CD，∠BCD＝90°. ∵DM⊥CP，BN⊥CP， ∴∠DMC＝∠BNC＝90°. ∵∠DCM＋∠BCN＝90°， ∠NBC＋∠BCN＝90°， ∴∠DCM＝∠NBC，∴△MCD≌△NBC， ∴DM＝CN.
中考数学总复习《(特殊)平行四边形的动点问题》专题训练(附答案)
中考数学总复习《（特殊）平行四边形的动点问题》专题训练（附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．已知，矩形ABCD 中，AB =4cm ，BC =8cm ，AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ，垂足为O ．（1）如图1，连接AF 、CE ．求证四边形AFCE 为菱形，并求AF 的长；（2）如图2，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，沿△AFB 和△CDE 各边匀速运动一周．即点P 自A →F →B →A 停止，点Q 自C →D →E →C 停止．在运动过程中，①已知点P 的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒，当A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值．②若点P 、Q 的运动路程分别为a 、b （单位：cm ，ab ≠0），已知A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形，求a 与b 满足的数量关系式．2．（1）如图1，点P 为矩形ABCD 对角线BD 上一点，过点P 作//EF BC ，分别交AB 、CD 于点E 、F ．若2BE =，PF=6，AEP △的面积为1S ，CFP 的面积为2S ，则12S S +=________；（2）如图2，点P 为ABCD 内一点（点P 不在BD 上），点E 、F 、G 、H 分别为各边的中点．设四边形AEPH 的面积为1S ，四边形PFCG 的面积为2S （其中21S S >），求PBD △的面积（用含1S 、S的代数式表示）；2（3）如图3，点P为ABCD内一点（点P不在BD上）过点P作//EF AD，HG//AB与各边分别相交于点E、F、G、H设四边形AEPH的面积为1S，四边形PGCF的面积为2S（其中21），S S求PBD△的面积（用含1S、2S的代数式表示）；（4）如图4 点A B C D把O四等分．请你在圆内选一点P（点P不在AC BD 上）设PB PC BC围成的封闭图形的面积为1S PA PD AD围成的封闭图形的面积为2S PBD△的面积为3S PAC△的面积为4S．根据你选的点P的位置直接写出一个含有1S2S3S4S的等式（写出一种情况即可）．3．已知直线y=x＋4与x轴y轴分别交于A B两点∠ABC=60°BC与x轴交于点C．（1）试确定直线BC的解析式.（2）若动点P从A点出发沿AC向点C运动（不与A C重合）同时动点Q从C点出发沿CBA向点A运动(不与C A重合) 动点P的运动速度是每秒1个单位长度动点Q的运动速度是每秒2个单位长度.设△APQ的面积为S P点的运动时间为t秒求S与t的函数关系式并写出自变量的取值范围.（3）在（2）的条件下当△APQ的面积最大时y轴上有一点M 平面内是否存在一点N 使以A Q M N为顶点的四边形为菱形？若存在请直接写出N点的坐标；若不存在请说明理由.4．如图在等腰梯形ABCD中AB∥DC AB＝8cm CD＝2cm AD＝6cm．点P 从点A出发以2cm/s的速度沿AB向终点B运动；点Q从点C出发以1cm/s的速度沿CD DA向终点A运动（P Q两点中有一个点运动到终点时所有运动即终止）．设P Q同时出发并运动了t秒．（1）当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时求t的值；（2）试问是否存在这样的t 使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半？若存在求出这样的t的值若不存在请说明理由．5．如图在平面直角坐标系中以坐标原点O为圆心2为半径画⊙O P是⊙O上一动点且P在第一象限内过点P作⊙O的切线与轴相交于点A与轴相交于点B．(1)点P在运动时线段AB的长度也在发生变化请写出线段AB长度的最小值并说明理由；(2)在⊙O上是否存在一点Q使得以Q O A P为顶点的四边形时平行四边形？若存在请求出Q点的坐标；若不存在请说明理由．6．如图已知长方形ABCD中AD＝6cm AB＝4cm 点E为AD的中点．若点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动同时点Q在线段BC上由点B向点C运动．(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等经过1秒后△AEP与△BPQ是否全等请说明理由并判断此时线段PE和线段PQ的位置关系；(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等运动时间为t秒设△PEQ的面积为Scm2请用t的代数式表示S；(3)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等当点Q的运动速度为多少时能够使△AEP与△BPQ全等？7．如图长方形ABCD中5cm,8cm==现有一动点P从A出发以2cm/s的速度沿AB BC----返回到点A停止设点P运动的时间为t秒．长方形的边A B C D At=时BP=___________cm；(1)当2(2)当t为何值时连接,,△是等腰三角形；CP DP CDP(3)Q为AD边上的点且6DQ=P与Q不重合当t为何值时以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与DCQ全等．8．如图平行四边形ABCD中6cmB∠︒G是CD的中点E是BC==60AB=8cm边AD上的动点EG的延长线与BC的延长线交于点F连接CE DF．(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；(2)①AE=______时四边形CEDF是矩形；②AE=______时四边形CEDF是菱形．9．在平面直角坐标系中点A在第一象限AB⊥x轴于点B AC⊥y轴于点C已知点B（b0）C（0 c）其中b c满足|b﹣8|6+-=0．c(1)直接写出点A坐标．(2)如图2 点D从点O出发以每秒1个单位的速度沿y轴正方向运动同时点E从点A出发以每秒2个单位的速度沿射线BA运动过点E作GE⊥y轴于点G设运动时间为t 秒当S四边形AEGC＜S△DEG时求t的取值范围．(3)如图3 将线段BC平移使点B的对应点M恰好落在y轴负半轴上点C的对应点为N连接BN交y轴于点P当OM＝4OP时求点M的坐标．10．如图在平面直角坐标系中点A B的坐标分别是（﹣4 0）（0 8）动点P从点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动同时动点C从点B出发沿12．在四边形ABCD中//,90,10cm,8cm∠=︒===点P从点A出发沿折线AB CD BCD AB AD BCABCD方向以3cm/s的速度匀速运动；点Q从点D出发沿线段DC方向以2cm/s的速度匀速运动．已知两点同时出发当一个点到达终点时另一点也停止运动设运动时间为()s t．（1）求CD的长；（2）当四边形PBQD为平行四边形时求四边形PBQD的周长；（3）在点P Q的运动过程中是否存在某一时刻使得BPQ的面积为220cm若存在请求出所有满足条件的t的值；若不存在请说明理由．13．在平面直角坐标系中矩形OABC的边OA任x轴上OC在y轴上B（4 3）点M从点A开始以每秒1个单位长度的速度沿AB→BC→CO运动设△AOM的面积为S 点M运动的时间为t．（1）当0＜t＜3时AM＝当7＜t＜10时OM＝；（用t的代数式表示）（2）当△AOM为等腰三角形时t＝；（3）当7＜t＜10时求S关于t的函数关系式；（4）当S＝4时求t的值．14．如图1 在平面直角坐标系中正方形OABC的边长为6 点A C分别在x y 正半轴上点B在第一象限．点P是x正半轴上的一动点且OP＝t连结PC将线段PC绕点P顺时针旋转90度至PQ连结CQ取CQ中点M．（1）当t＝2时求Q与M的坐标；（2）如图2 连结AM以AM AP为邻边构造平行四边形APNM．记平行四边形APNM 的面积为S．①用含t的代数式表示S（0<t<6）．②当N落在△CPQ的直角边上时求∠CPA的度数；（3）在（2）的条件下连结AQ记△AMQ的面积为S'若S＝S'则t＝（直接写出答案）．15．如图平面直角坐标系中矩形OABC的顶点B的坐标为（7 5）顶点A C 分别在x轴y轴上点D的坐标为（0 1）过点D的直线与矩形OABC的边BC交于点G 且点G不与点C重合以DG为一边作菱形DEFG 点E在矩形OABC的边OA 上设直线DG的函数表达式为y=kx+b（1）当CG=OD时求直线DG的函数表达式；（2）当点E的坐标为（5 0）时求直线DG的函数表达式；（3）连接BF 设△FBG的面积为S CG的长为a 请直接写出S与a的函数表达式及自变量a 的取值范围．16．如图 在四边形ABCD 中 //AD BC 3AD = 5DC = 42AB = 45B ∠=︒ 动点M 从点B 出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从点C 出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动 设运动的时间为s t .（1）求BC 的长.（2）当//MN AB 时 求t 的值（3）试探究：t 为何值时 MNC ∆为等腰三角形？参考答案：1．（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形∴AD ∥BC∴∠CAD =∠ACB ∠AEF =∠CFE∵EF 垂直平分AC 垂足为O∴OA =OC∴△AOE ≌△COF∴OE =OF∴四边形AFCE 为平行四边形又∵EF ⊥AC∴四边形AFCE 为菱形设菱形的边长AF =CF =x cm 则BF =（8﹣x ）cm在Rt △ABF 中 AB =4cm由勾股定理得42+（8﹣x ）2=x 2解得x =5iii ）如图3 当P 点在AB 上 Q 点在CD 上时 AP =CQ 即12﹣a =b 得a +b =12． 综上所述 a 与b 满足的数量关系式是a +b =12（ab ≠0）．2．（1）过P 点作AB∥MN∵S 矩形AEPM +S 矩形DFPM =S 矩形CFPN +S 矩形DFPM =S 矩形ABCD -S 矩形BEPN又∵11,,22AEP CFP AEPM CFPN SS S S ==矩形矩形 ∴1==26=62AEP CFP S S ⨯⨯， ∴1212.S S +=（2）如图 连接PA PC在APB △中 因为点E 是AB 中点可设APE BPE S S a ==同理 ,,BPF CPF CPG DFG DPH APH S S b S S c S S d ======所以APE APH CPF AEPH PFCG CPG S S SS a b d S S c =+++=++++四边形四边形 BPE BPF DPH DPH EDFP HPGD S S S S S S a b c d +=+++=+++四边形四边形．所以12EBFP HPGD AEPH PFCG S S S S S S +++=+四边形四边形四边形四边形所以1212ABD ABCD SS S S ==+ 所以1DPH APH S S S a ==-． ()()()1121121PBD ABD BPE PDH S S S S S S S S a S a S S =-++=+-++-=-．（3）易证四边形EBGP 四边形HPFD 是平行四边形．EBP SHPD S ．()()121211122222ABD ABCD EBF HPD EBP HPD SS S S S S S S S S ==+++=+++ ()()12112FBD ABD EBP HPD S S S S S S S =-++=-． （4）试题解析：（1）由已知得A 点坐标（﹣4﹐0） B 点坐标（0﹐43﹚ ∵OB=3OA ∴∠BAO=60° ∵∠ABC=60° ∴△ABC 是等边三角形 ∵O C=OA=4 ∴C 点坐标﹙4 0﹚ 设直线BC 解析式为y kx b =+∴ ∴直线BC 的解析式为343y x =-+； ﹙2﹚当P 点在AO 之间运动时 作QH⊥x 轴 ∵QH CQ OB CB= ∴2843QH t = ∴QH=3t ∴S △APQ =AP•QH=132t t ⋅=232t ﹙0＜t≤4﹚ 同理可得S △APQ =t·﹙833t -﹚=23432t t -+﹙4≤t<8﹚∴223(04)2{343?(48)2t t S t t t <≤=-+≤<； （3）存在 如图当Q 与B 重合时 四边形AMNQ 为菱形 此时N 坐标为（4 0） 其它类似还有（﹣4 8）或（﹣4 ﹣8）或（﹣4 ）．4．（1）53（2）存在 使四边形PBCQ 的面积是梯形ABCD 面积的一半．（1）过D 作DE⊥AB 于E 过C 作CF⊥AB 于F 通过Rt ADE Rt BCF ∆≅∆ 得AE BF = 若四边形APQD 是直角梯形 则四边形DEPQ 为矩形 通过AP AE EP =+ 代入t 值 即可求解（2）假设当时 通过点Q 在CD 上或在AD 上 两种情况进行讨论求解5．（1）线段AB 长度的最小值为4理由如下：连接OP如图② 设四边形APQO 为平行四边形因为OQ PA ∥ 90APO ︒∠=所以90POQ ︒∠= 又因为OP OQ =所以45PQO ︒∠= 因为PQ OA ∥所以PQ y ⊥轴．设PQ y ⊥轴于点H在Rt △OHQ 中 根据2,45OQ HQO ︒=∠= 得Q 点坐标为（2,2-）所以符合条件的点Q 的坐标为（2,2-）或（2,2-）．6．(1)∵长方形ABCD∴∠A =∠B =90°∵点E 为AD 的中点 AD =6cm∴AE =3cm又∵P 和Q 的速度相等可得出AP =BQ =1cm BP =3 ∴AE =BP在△AEP 和△BQP 中∴y=xy 3=4-y⎧⎨⎩ 解得：x=1y=1⎧⎨⎩ (舍去). 综上所述,点Q 的运动速度为32cm /s 时能使两三角形全等.7．(1)1(2)54t =或4或232 (3) 3.5t = 5.5或10（1）解：动点P 的速度是2cm/s∴当2t =时 224AP =⨯=∵5cm AB =∴BP =1cm ；（2）解：①当点P 在AB 上时 CDP △是等腰三角形∴PD CP =在长方形ABCD 中 ,90AD BC A B =∠=∠=︒∴()HL DAP CBP ≌∴AP BP =∴1522AP AB ==∵动点P 的速度是2cm/s∵90D5DP CD == 2AB CB CD t ++=∴要使一个三角形与DCQ 全等①当点P运动到1P时16△≌△DCQ CDPCP DQ==此时1∴点P的路程为：1527AB BP+=+=∴72 3.5t=÷=；②当点P运动到2P时26△≌△CDQ ABPBP DQ==此时2∴点P的路程为：25611+=+=AB BP∴112 5.5t=÷=③当点P运动到3P时35△≌△CDQ BAP==此时3AP DQ∴点P的路程为：3585220AB BC CD DP+++=+++=∴20210t=÷=④当点P运动到4P时即P与Q重合时46△≌△CDQ CDPDP DQ==此时4∴点P的路程为：4585624+++=+++=AB BC CD DPt=÷=此结果舍去不符合题意∴24212综上所述t的值可以是： 3.5t= 5.5或10．8．（1）四边形ABCD是平行四边形∥∴BC AD∴∠=∠FCG EDGG是CD的中点∴=CG DG△中在CFG△和DEGCFG∴≅(ASA)DEGFG EG∴=又CG DG=∴四边形CEDF是平行四边形．2）①当5AE=如图过60B∠=12BM∴=5AE=DE AD∴=在MBA△BM DEB=⎧⎪∠=∠⎨⎪(SAS)MBA EDC∴≅CED AMB∴∠=∠四边形CEDF是平行四边形∴平行四边形CEDF②当2AE cm =时 四边形CEDF 是菱形 理由如下：四边形ABCD 是平行四边形8AD ∴= 6CD AB == 60CDE B ∠=∠=︒2AE =6DE AD AE ∴=-=DE CD ∴=CDE ∴∆是等边三角形CE DE ∴=四边形CEDF 是平行四边形∴平行四边形CEDF 是菱形故答案为：2；9．（1）解：∵|b ﹣8|6c +-=0∴b -8=0 c -6=0∴b =8 c =6∵B （b 0） C （0 c ）∴B （8 0） C （0 6）又∵AB ⊥x 轴 AC ⊥y 轴∴A (8 6)；（2）∵AB ⊥x 轴 AC ⊥y 轴 GE ⊥y 轴∴四边形AEGC 是矩形设运动时间为t 秒∴OD =t AE =2t DG =6+2t-t =6+t∴S 四边形AEGC =8×2t =16t S △DEG =12×（6+t ）×8=4t +242∵OM＝4OP∴-m=-4×62m解得m=-12综上所述m的值为-4或-12．10．（1）∵点A B的坐标分别是（﹣4 0）（0 8）∴OA=4 OB=8∵点C运动到线段OB的中点∴OC=BC=12OB=4∵动点C从点B出发沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动∴2t=4解之：t=2；∵PE=OA=4 动点P从点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动∴OE=OP+PE=t+4=2+4=6∴点E（6 0）（2）证明：∵四边形PCOD是平行四边形∴OC=PD OC∥PD当点C在y轴的负半轴上时③如果点M在DE上时24163(3)22t tt--=++解得423t=+④当N在CE上时28(3)8214tt tt-⋅++-=-+解得12t=综上分析可得满足条件的t的值为：t1＝28﹣16 3t2＝2 t3＝4+2 3t4＝12．11．(1) ()30D，,()1,3E;(2)933022933222572222t tS t tt t⎧⎛⎫-+≤≤⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-≤⎪ ⎪⎝⎭⎩＜（3）198s解：（1）3922y x=-+当y=0时39=022x-+则x=3 即点()30D，当y=3时39=322x-+则x=1 故点()1,3E故：()30D，,()1,3E；（2）如图1 ①当点P在OD段时此时0≤t＜32119()2223233S PD OC t t=⨯⨯=⨯-⨯=-+；②当点P在点D时此时t=32此时三角形不存在0S=；''6ADP BEP S S -=-30232t t ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭⎫<≤⎪；即当点P 在边AB 上运动 且PD PE +的值最小时 运动时间t 为198s ． 12．（1）16cm ；（2）(8813)cm +；（3）53t =秒或395秒 解：（1）如图1过A 作AM DC ⊥于M在四边形ABCD 中 //AB CD 90BCD ∠=︒//AM BC ∴∴四边形AMCB 是矩形10AB AD cm == 8BC cm =8AM BC cm ∴== 10CM AB cm ==在Rt AMD ∆中 由勾股定理得：6DM cm =10616CD DM CM cm cm cm =+=+=；（2）如图2当四边形PBQD 是平行四边形时 PB DQ =即1032t t -=解得2t =此时4DQ = 12CQ = 22413BQ BC CQ =+=所以()28813PBQD C BQ DQ =+=+；1003t 14(102BPQ BP BC ==解得53t =；P 在BC 上时 63t1(32BP CQ t =此方程没有实数解；CD 上时：在点Q 的右侧54(34PQ BC =6< 不合题意若P 在Q 的左侧 如图6 即3485t <14(534)202BPQ S PQ BC t ∆==-= 解得395t =； 综上所述 当53t =秒或395秒时 BPQ ∆的面积为220cm ． 13．（1）t 10-t ；（2）5；（3）S =20-2t ；（4）2或8． 解：（1）当0<t <3时 点M 在线段AB 上 即AM =t 当7＜t <10时 点M 在线段OC 上 OM =10-t故填：t 10-t ；（2）∵四边形ABCO 是矩形 B （4 3）∴OA =BC =4 AB =OC =3∵△AOM 为等腰三角形∴只有当MA =MO 此时点M 在线段BC 上 CM =BM =2 ∴t =3+2=5故填：5；（3）∵当7<t <10时 点M 在线段OC 上∴114(10)20222S OA OM t t =⋅⋅=⨯⨯-=-；（4）①当点M 在线段AB 上时 4=12×4t 解得t =2；②当点M 在线段BC 上时 S =6 不符合题意；当点M 在线段OC 上时 4=20-2t 解得t =8．∴OD ＝OP +PD ＝8∴Q （8 2）∵M 是CQ 的中点 C （0 6）∴M （4 4）；（2）①∵△COP ≌△PDQ∴OP ＝OQ ＝t OC ＝PD ＝6∴OD ＝t +6∴Q （t +6 t ）∵C （0 6）∴M （62t + 62t +） 当0＜t ＜6时 S ＝AP ×y M ＝（6﹣t ）×62t +＝2362t -； ②分两种情况：a 当N 在PC 上时 连接OB PM 如图2﹣1所示：∵点M 的横 纵坐标相等∴点M 在对角线BD 上∵四边形OABC 是正方形∴OC ＝OA ∠COM ＝∠AOM∴∠MPA ＝12（180°﹣45°）＝67.5° ∴∠CPA ＝67.5﹣45＝22.5°；综上所述 当点N 在△CPQ 的直角边上时 ∠CPA 的度数为112.5°或22.5°；（3）过点M 作MH ⊥x 轴于点H 过点Q 作QG ⊥x 轴于点G∵AMQ AHM AGQ MHGQ S S S S =--△△△梯形∴S '＝12（62t ++t ）•62t +﹣12（6﹣62t +）•62t +﹣12t •t ＝3t ①当0＜t ＜6时 即点AP 在点A 左侧时 如图3所示：∵S ＝S '∴2362t -＝3t 解得：t ＝﹣3+35 或t ＝﹣3﹣35（舍去）；②当t ＞6时 即点P 在点A 右侧时 如图4所示：S ＝AP ×y M =（t ﹣6）×62t +＝2362t - ∵S ＝S '将D （0 1）G （10 5）代入y=kx+b 得：1105b k b =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得：21051k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴当CG=OD 时 直线DG 的函数表达式为y=2105x+1．（3）设DG 交x 轴于点P 过点F 作FM⊥x 轴于点M 延长MF 交BC 于点N 如图所示．∵DG∥EF∴∠FEM=∠GPO．∵BC∥OA∴∠DGC=∠GPO=∠FEM．在△DCG 和△FME 中90DCG FME DGC FEMDG FE⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△DCG≌△FME（AAS ）∴FM=DC=4．∵MN⊥x 轴∴四边形OMNC 为矩形在Rt△CDH 中 由勾股定理可得： HC=22543-=∴BC=BK+KH+HC=4+3+3=10；（2）如图② 过D 作DG∥AB 交BC 于G 点 则四边形ADGB 为平行四边形 ∴BG=AD=3∴GC=BC−BC=10−3=7由题意得 当M N 运动t 秒后 CN=t CM=10−2t∵AB∥DG MN∥AB∴DG∥MN∴∠NMC=∠DGC又∵∠C=∠C∴△MNC ~△GDC∴CN CM CD CG=, ∴10257tt -=解得t=5017； （3）第一种情况：当NC=MC 时 如图③22∵∠C=∠C∠MFC=∠DHC=90°∴△MFC~△DHC∴FC MCHC DC=即：1 102253tt-=解得：t=6017；综上所述当t=103t=258或t=6017时△MNC为等腰三角形.。
四年级数学专训.利用特殊四边形的性质巧解动点问题
2020-2021学年专训2 利用特殊四边形的性质巧解动点问题名师点金：利用特殊四边形的性质解动点问题，一般将动点看成特殊点解决问题，再运用从特殊到一般的思想，将特殊点转化为一般点(动点)来解答．平行四边形中的动点问题1．如图，在▱ABCD中，E，F两点在对角线BD上运动(E，F不重合)，且保持BE＝DF，连接AE，CF.请你猜想AE与CF有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由．(第1题)菱形中的动点问题2．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，动点E在边BC上，动点F在边CD上．(1)如图①，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；(2)如图②，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．(第2题)矩形中的动点问题3．在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为O.(1)如图①，连接AF，CE.试说明四边形AFCE为菱形，并求AF的长．(2)如图②，动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为5 cm/s，点Q 的速度为4 cm/s，运动时间为t s，当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．(第3题)正方形中的动点问题4．如图，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由．(第4题)答案1．解：AE＝CF，AE∥CF.理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠ABE＝∠CDF.又∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF.∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD.∵∠AEB＋∠AED＝∠CFD＋∠CFB＝180°，∴∠AED＝∠CFB.∴AE∥CF.2．证明：(1)连接AC.∵在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝BC＝CD，∴∠BCD＝180°－∠B＝120°，△ABC是等边三角形．又∵E是BC的中点，∴AE⊥BC.∵∠AEF＝60°，∴∠FEC＝90°－∠AEF＝30°.∴∠CFE＝180°－∠FEC－∠BCD＝180°－30°－120°＝30°.∴∠FEC＝∠CFE.∴EC＝CF.∴BE＝DF.(2)连接AC.由(1)知△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝∠BAC＝∠EAF＝60°.∴∠BAE＝∠CAF.∵∠BCD＝120°，∠ACB＝60°，∴∠ACF＝60°＝∠B.∴△ABE≌△ACF.∴AE＝AF.∴△AEF是等边三角形．3．解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴∠OAE＝∠OCF，∠AEO＝∠CFO.∵EF垂直平分AC，垂足为O，∴OA＝OC.∴△AOE≌△COF.∴OE＝OF.∴四边形AFCE为平行四边形．又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE为菱形．设AF＝CF＝x cm，则BF＝(8－x)cm，在Rt△ABF中，AB＝4 cm，由勾股定理得42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，∴AF＝5 cm.(第3题)(2)显然当P点在AF上，Q点在CD上时，A，C，P，Q四点不可能构成平行四边形；同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上，也不可能构成平行四边形．因此只有当P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，如图，连接AP，CQ，若以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，则PC＝QA.∵点P 的速度为5 cm /s ，点Q 的速度为4 cm /s ，运动时间为t s ，∴PC ＝5t cm ，QA ＝(12－4t)cm .∴5t ＝12－4t ，解得t ＝.∴以A ，C ，P ，Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，t ＝.(第4题)4．(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴∠A ＝∠ABC ＝∠C ＝∠ADC ＝90°，AB ＝BC ＝CD ＝AD.∵AE ＝BF ＝CG ＝DH ，∴BE ＝CF ＝DG ＝AH.∴△AEH ≌△BFE ≌△CGF ≌△DHG. ∴EH ＝EF ＝FG ＝GH ，∠1＝∠2.∴四边形EFGH 为菱形．∵∠1＋∠3＝90°，∠1＝∠2，∴∠2＋∠3＝90°.∴∠HEF ＝90°.∵四边形EFGH 为菱形，∴四边形EFGH 是正方形．(2)解：直线EG 经过一个定点．理由如下：如图，连接BD ，DE ，BG.设EG 与BD 交于O 点．∵BE PDG ，∴四边形BGDE 为平行四边形．∴BD ，EG 互相平分．∴BO ＝OD.∴点O 为正方形的中心．∴直线EG 必过正方形的中心．(end)--------------------- 赠予---------------------【名师心得】1. 因材施教，注重创新所讲授的每门课程应结合不同专业、不同知识背景的学生来调整讲授的内容和方法。
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专训2利用特殊四边形的性质巧解动点问题
名师点金：利用特殊四边形的性质解动点问题，一般将动点看成特殊点解决问题，再运用从特殊到一般的思想
．．．．．．．．．，将特殊点转化为一般点(动点)来解答．
平行四边形中的动点问题
1．如图，在▱ABCD中，E，F两点在对角线BD上运动(E，F不重合)，且保持BE＝DF，连接AE，CF.请你猜想AE与CF有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由．
(第1题)
菱形中的动点问题
2．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，动点E在边BC上，动点F在边CD上．
(1)如图①，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；
(2)如图②，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．
(第2题)
矩形中的动点问题
3．在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为O.
(1)如图①，连接AF，CE.试说明四边形AFCE为菱形，并求AF的长．
(2)如图②，动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P 的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
(第3题)
正方形中的动点问题
4．如图，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.
(1)求证：四边形EFGH是正方形；
(2)判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由．
(第4题)
参考答案
1．解：AE＝CF，AE∥CF.理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD.
∴∠ABE＝∠CDF.
又∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF.
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD.
∵∠AEB＋∠AED＝∠CFD＋∠CFB＝180°，
∴∠AED＝∠CFB.∴AE∥CF.
2．证明：(1)连接AC.∵在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝BC＝CD，
∴∠BCD＝180°－∠B＝120°，△ABC是等边三角形．又∵E是BC的中点，∴AE⊥BC.∵∠AEF＝60°，∴∠FEC＝90°－∠AEF＝30°.∴∠CFE＝180°－∠FEC－∠BCD ＝180°－30°－120°＝30°.∴∠FEC＝∠CFE.∴EC＝CF.∴BE＝DF.
(2)连接AC.由(1)知△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ACB＝∠BAC＝∠EAF＝60°.∴∠BAE＝∠CAF.
∵∠BCD＝120°，∠ACB＝60°，
∴∠ACF＝60°＝∠B.
∴△ABE≌△ACF.
∴AE＝AF.∴△AEF是等边三角形．
3．解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC.
∴∠OAE＝∠OCF，∠AEO＝∠CFO.
∵EF垂直平分AC，垂足为O，
∴OA＝OC.
∴△AOE≌△COF.∴OE＝OF.
∴四边形AFCE为平行四边形．
又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE为菱形．
设AF＝CF＝x cm，则BF＝(8－x)cm，
在Rt△ABF中，AB＝4 cm，由勾股定理得42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，
∴AF＝5 cm.
(第3题)
(2)显然当P点在AF上，Q点在CD上时，A，C，P，Q四点不可能构成平行四边形；同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上，也不可能构成平行四边形．因此只有当P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，如图，连接AP，CQ，若以A，C，P，Q
四点为顶点的四边形是平行四边形，则PC ＝QA .
∵点P 的速度为5 cm /s ，点Q 的速度为4 cm /s ，运动时间为t s ，
∴PC ＝5t cm ，QA ＝(12－4t )cm .
∴5t ＝12－4t ，解得t ＝43
. ∴以A ，C ，P ，Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，t ＝43.
(第4题)
4．(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形，
∴∠A ＝∠ABC ＝∠C ＝∠ADC ＝90°，AB ＝BC ＝CD ＝AD .
∵AE ＝BF ＝CG ＝DH ，∴BE ＝CF ＝DG ＝AH .
∴△AEH ≌△BFE ≌△CGF ≌△DHG .
∴EH ＝EF ＝FG ＝GH ，∠1＝∠2.
∴四边形EFGH 为菱形．
∵∠1＋∠3＝90°，∠1＝∠2，
∴∠2＋∠3＝90°.∴∠HEF ＝90°.
∵四边形EFGH 为菱形，
∴四边形EFGH 是正方形．
(2)解：直线EG 经过一个定点．理由如下：如图，连接BD ，DE ，BG .设EG 与BD 交于O 点．
∵BE DG ，
∴四边形BGDE 为平行四边形．
∴BD ，EG 互相平分．∴BO ＝OD .
∴点O 为正方形的中心．
∴直线EG 必过正方形的中心．。