高中数学新教材选择性必修第一册第一章《1.4空间向量的应用》全部课件

所以xx＝ ＝yz，， 不妨取 x＝1，a＝(1,1,1).(注：答案不唯一，只要与所给答
案共线都对)
规律与方法
(1)空间中一条直线的方向向量有无数个. (2)方向向量在判断线线、线面位置关系时起到重要的作用. (3)线段中点的向量表达式：对于―AP→＝t―A→B ，当 t＝12时，我们就得到线段中 点的向量表达式.设点 M 是线段 AB 的中点，则O―M→＝12(―O→A ＋―O→B )，这就是 线段 AB 中点的向量表达式. (4)利用待定系数法求平面的法向量，求出向量的横、纵、竖坐标是具有某 种关系的，而不是具体的值，可设定某个坐标为常数，再表示其他坐标.
即nn11··――DAE→→A ＝ ＝22xy11＝ ＋0z1，＝0，
得xz11＝＝－0，2y1，
令 z1＝2，则 y1＝－1，所以 n1＝(0，－1,2). 因为―FC→1·n1＝－2＋2＝0，所以―FC→1⊥n1.
又因为 FC1⊄平面 ADE，所以 FC1∥平面 ADE.
(证2)明平面因AD为E∥C―1→平B1＝面(B21,C0,10F).，
解析答案
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3.若μ＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法
向量的是( D )
A.(0，－3,1)
B.(2,0,1)
C.(－2，－3,1)
D.(－2,3，－1)
解析 能作为平面α的法向量的向量与μ＝(2，－3,1)共线，(－2,3，－1)＝－μ.
解析答案
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答案
(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些 条件可说明直线与平面平行？ 答案 可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面 是否平行. (3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？ 答案 关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行.
答案
解析答案
证明 建立如图所示空间直角坐标系Dxyz，
则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)， 所以―FC→1＝(0,2,1)，―D→A ＝(2,0,0)，―AE→＝(0,2,1). 设 n1＝(x1，y1，z1)是平面 ADE 的法向量，则 n1⊥―D→A ，n1⊥―AE→，
于是有D―B→1·―AC→＝0，
所以D―B→1⊥―AC→，即 DB1⊥AC， 同理DB1⊥AD1， 又AC∩AD1＝A， 所以DB1⊥平面ACD1， 从而D―B→1是平面 ACD1 的一个法向量.
类型三 利用空间向量证明平行关系 例3 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中 点，求证： (1)FC1∥平面ADE；
反思与感悟 解析答案
解 ∵AD、AB、AS 是三条两两垂直的线段， ∴以 A 为原点，以―AD→、―AB→、―A→S 的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方 向建立坐标系， 则 A(0,0,0) ， D 12，0，0 ， C(1,1,0) ， S(0,0,1) ， ―AD→＝ 12，0，0是平面 SAB 的法向量， 设平面SCD的法向量n＝(1，λ，u)，
设 n2＝(x2，y2，z2)是平面 B1C1F 的一个法向量.
由 n2⊥―FC→1，n2⊥C―1→B1，
得nn22··― C―F1C→→B11＝＝22yx22＋＝z02，＝0，
得xz22＝＝－0，2y2.
令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2)， 因为n1＝n2， 所以平面ADE∥平面B1C1F.
第一章 1.4.1空间向量的应用
学习目标
1.掌握空间点、线、面的向量表示. 2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平 面的法向量. 3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题.
知识点一 直线的方向向量与平面的法向量 思考 怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？
解 ①∵μ＝(－1,1，－2)，v＝3，2，－12， ∴μ·v＝－3＋2＋1＝0，
∴μ⊥v，∴α⊥β. ②∵μ＝(3,0,0)，v＝(－2,0,0)，∴μ＝－32v，∴μ∥v，∴α∥β.
解析答案
(3)设μ是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，根据下列条件判断平面α
与l的位置关系：
①μ＝(2,2，－1)，a＝(－6,8,4)；
解析答案
(2)直线l1与l2的方向向量分别是a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)； 解 ∵a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)， ∴a·b≠0且a≠kb(k∈R)， ∴a，b既不共线也不垂直， 即l1与l2相交或异面，但不垂直.
解析答案
(3)平面α与β的法向量分别是μ＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)； 解 ∵μ＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)， ∴μ·v≠0且μ≠kv(k∈R)， ∴μ与v既不共线也不垂直，即α和β相交但不垂直.
题型探究
类型一 利用方向向量和法向量判定线面的位置关系
例1 (1)设a，b分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，根据下列条件判断l1， l2的位置关系： ①a＝(4,6，－2)，b＝(－2，－3,1)；
②a＝(5,0,2)，b＝(0,1,0)；
解 ①∵a＝(4,6，－2)，b＝(－2，－3,1)，
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面成的
角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝
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AD＝1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，求
出E点的位置；若不存在，说明理由.
解析答案
返回
解 分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
2.已知直线l1的方向向量a＝(2，－3,5)，直线l2的方向向量b＝(－4，x，y)，
若两直线l1∥l2，则x，y的值分别是( A )
A.6和－10
B.－6和10
C.－6和－10
D.6和10
解析 由两直线l1∥l2，得两向量a，b平行， 即－24＝－x3＝5y，所以 x，y 的值分别是 6 和－10.
4.若直线 l∥α，且 l 的方向向量为(2，m,1)，平面 α 的法向量为1，12，2，
则 m 为( C )
A.－4
B.－6
C.－8
D.8
解析 ∵l∥α，平面 α 的法向量为1，12，2， ∴(2，m,1)·1，12，2＝0.
∴2＋12m＋2＝0.∴m＝－8.
解析答案
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5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ACD1的一个法向量为________. 解析 不妨设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，
答案 (1)点：在空间中，我们取一定点 O 作为基点，那么空间中任意一点 P 的位置就可以用向量―O→P 来表示.我们把向量―O→P 称为点 P 的位置向量.
(2)直线：①直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量. ②对于直线 l 上的任一点 P，存在实数 t，使得―A→ P ＝t―A→ B ，此方程称为直线 的向量参数方程.
直线的方 向向量
能平移到直线上的_非__零__向量， 叫做直线的一个方向向量
平面的 法向量
直线l⊥α，取直线l的_方__向__向__ _量__n__，叫做平面α的法向量
答案
(2)空间中平行关系的向量表示 设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则
线线平行 线面平行 面面平行 线线垂直 线面垂直 面面垂直
则各点坐标为：A(1,0,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)， 设则平a·面―AAC→C＝D01的, a一·―A个D→1法＝向0.量a＝(x，y，z)，
因为―AC→＝(－1,1,0)，―AD→1＝(－1,0,1)，
所以
－1·x＋1·y＋0·z＝0，
－1·x＋0·y＋1·z＝0，
所以xx－－zy＝＝00，，
∴a＝－2b，∴a∥b，∴l1∥l2. ②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,1,0)，∴a·b＝0，∴a⊥b，
∴l1⊥l2.
解析答案
(2)设 μ，v 分别是不同的平面 α，β 的法向量，根据下列条件判断 α，β 的
位置关系：
①μ＝(－1,1，－2)，v＝(3,2，－12)；
②μ＝(3,0,0)，v＝(－2,0,0)；
返回
当堂训练
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1.若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( A )
A.(1,2,3)
B.(1,3,2)
C.(2,1,3)
D.(3,2,1)
解析 ห้องสมุดไป่ตู้为―AB→＝(2,4,6)，
所以与―A→B 共线的非零向量都可以作为直线 l 的方向向量.
解析答案
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反思与感悟
跟踪训练 2 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，求证D―B→1是平面 ACD1 的 一个法向量.
解析答案
证明 设正方体的棱长为1， 分别以―D→A ，―D→C，D―D→1为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系， 则D―B→1＝(1,1,1)，―AC→＝(－1,1,0)，A―D→1＝(－1,0,1)，
l∥m⇔_a_∥__b_⇔a＝kb (k∈R) l∥α⇔a⊥μ⇔_a_·_μ__＝0
α∥β⇔μ∥v⇔_μ_＝__k_v_(_k_∈__R_)_ l⊥m⇔a⊥b⇔_a_·_b_＝__0_
l⊥α⇔a∥μ⇔_a_＝__k_μ_(_k∈__R__) α⊥β⇔μ⊥v⇔_μ_·_v_＝__0__
答案
知识点二 利用空间向量处理平行问题 思考 (1)设v1＝(a1，b1，c1)，v2＝(a2，b2，c2)分别是直线l1，l2的方向向 量.若直线l1∥l2，则向量v1，v2应满足什么关系. 答案 由直线方向向量的定义知若直线l1∥l2，则直线l1，l2的方向向量共 线，即l1∥l2⇔v1∥v2⇔v1＝λv2(λ∈R).
∴P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)， 设 E(0，y，z)，则―P→E ＝(0，y，z－1)，―PD→＝(0,2，－1)，
∵―PE→∥―PD→，
∴y(－1)－2(z－1)＝0，
①
∵―AD→＝(0,2,0)是平面 PAB 的法向量，
又―C→E ＝(－1，y－1，z)，CE∥平面 PAB， ∴―C→E ⊥―AD→，∴(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝0. ∴y＝1，代入①得 z＝12，∴E 是 PD 的中点， ∴存在E点，当点E为PD中点时，CE∥平面PAB.
(3)平面：①空间中平面 α 的位置可以由 α 内两个不共线向量确定.对于平面 α 上的任一点 P，a，b 是平面 α 内两个不共线向量，则存在有序实数对(x， y)，使得―O→P ＝xa＋yb. ②空间中平面 α 的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示.
梳理 (1)直线的方向向量和平面的法向量
则 n·―D→C＝(1，λ，u)·12，1，0＝12＋λ＝0，
解析答案
∴λ＝－12. n·―D→S ＝(1，λ，u)·－12，0，1＝－12＋u＝0， ∴u＝12，∴n＝1，－12，12. 综上，平面 SCD 的方向量为 n＝(1，－12，12)，
平面 SBA 的法向量为―AD→＝(12，0,0).
解析答案
(4)直线l的方向向量，平面α的法向量分别是a＝(0，－8,12)，μ＝(0,2，－3). 解 ∵a＝(0，－8,12)，μ＝(0,2，－3)， ∴μ＝－14a， ∴μ∥a，即 l⊥α.
解析答案
类型二 求平面的法向量 例 2 如图，ABCD 是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面 ABCD，SA＝ AB＝BC＝1，AD＝12，求平面 SCD 与平面 SBA 的法向量.
(5)证明线面平行的方法 ①设n是平面α的一个法向量，v是直线l的方向向量，则v⊥n且l上至少有 一点A∉α，则l∥α. ②根据线面平行的判定定理：“如果平面外直线与平面内的一条直线平 行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一个平面平行， 也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量. ③根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向 量，那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行，因此要证 明平面外一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够 用平面内两个不共线向量线性表示即可.
②μ＝(2，－3,0)，a＝(8，－12,0).
解 ①∵μ＝(2,2，－1)，a＝(－6,8,4)，
∴μ·a＝－12＋16－4＝0，
∴μ⊥a，∴l⊂α或l∥α.
②∵μ＝(2，－3,0)，a＝(8，－12,0).
∴μ＝14a，∴μ∥a，∴l⊥α.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系： (1)直线l1与l2的方向向量分别是a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)； 解 ∵a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3) ∴a＝－13b，∴a∥b，∴l1∥l2.