高考必备——回归分析

高考必备——线性回归分析
【基础自测】
1.如果一组具有相关关系的数据1122(,),(,),
,(,),n n x y x y x y 作出散点图大致分布在一条直线附近,
那么我们称这样的变量之间的关系为 关系(也称一元线性相关),这条直线就是 ,记为 ．其中：
1
2
1
()()()
n i
i
i n
i
i x x y y b x x ==--=
-∑∑12
21
n
i i
i n
i
i x y nx y
x
nx
==-=
-∑∑ ； a y bx =-
其中(,)i i x y 为样本数据,11,n n
i i i i
x x y y n n ==∑∑为样本平均数，(,)x y 称为 ，且所求线性回
归直线经过样本点中心点
当回归直线斜率0b >时,为线性 , 0b <
时为线性
特别注意： （1）．以散点图分析线性相关关系，散点图是较粗略地分析和判断两个具有相关关系的变量是否线性相关的问题，如果是线性相关的，我们可以求其线性回归方程，如果不是线性向相关的，即使求得线性回归方程，也是无效的；也就是说不能对一些数据进行分析判断，不能应用它解决和解释一些实际问题．
（2）．以相关系数分析线性相关关系的强弱 两个变量之间的相关关系的样本相关系数：
()()
n
i
i
x x y y r --=
∑可衡量是否线性相关，以及线性相性关系的强弱．由于分子与线性回归
方程中的斜率b 的分子一样（这也给出了公式的内在联系以及公式的记法），因此，当0r >时，两个变量正相关；当0r <时两个变量 ．当r 的绝对值接近１，表明两个变量的线性相关性 ；当r 的绝对值接近０，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．规定当0.75r >时，我们认为两个变量有很强的 相关关系．
【巩固练习】
1．某公司在2014年上半年的收入x （单位：万元）与月支出y （单位：万元）的统计资料如下表所示： 月份
1月份 2月份 3月份 4月份 5月份 6月份
收入x 12.3 14.5 15.0 17.0 19.8 20.6 支出Y 5.63 5.75 5.82 5.89 6.11 6.18 根据统计资料，则（）
A ． 月收入的中位数是15，x 与y 有正线性相关关系
B ． 月收入的中位数是17，x 与y 有负线性相关关系
C ． 月收入的中位数是16，x 与y 有正线性相关关系
D ． 月收入的中位数是16，x 与y 有负线性相关关系 2．某工厂对新研发的一种产品进行试销，得到如下数据表：
根据如表可得线性回归方程=
x+
．其中
=﹣20，
=﹣b ，那么单价定为8.3元时，可预测销售
的件数为（ ）
A ．82
B ．84
C ．86
D ．88
3.下列说法错误的是( )
A ．回归直线过样本点的中心(,)x y
B ．两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1
C ．对分类变量X 与Y ,随机变量2
K 的观测值k 越大,则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小 D ．在回归直线方程0.20.8y x =+中,当解释变量x 每增加1个单位时,预报变量y 平均增加0.2个单位 4．下列说法错误的是（ ）
A ．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系；
B ．在线性回归分析中，相关系数r 的值越大，变量间的相关性越强；
C ．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；
D ．在回归分析中，2
R 为0.98的模型比2
R 为0.80的模型拟合的效果好.
5.为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖情况，得如下实验数据，计算得回归直线方程为
ˆ0.850.25y
x =-．由以上信息，得到下表中c 的值为 ．
天数t （天） 3 4 5 6 7 繁殖个数y （千个）
2.5
3
4
4.5
c
6.对变量x, y 有观测数据理力争（，）（i=1,2,…，10），得散点图；对变量u ，v 有观测数据（，
）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断。

（ ）
（A ）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 （B ）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关 （C ）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 （D ）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 7．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：
根据上表可得回归方程ˆˆˆy
bx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ） A.63.6 万元 B.65.5万元 C.67.7万元 D.72.0万元
8．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据：
根据上表提供的数据，求得y 关于x 的线性回归方程为y ＝0.7x ＋0.35，那么表中t 的值为( )
A ．
3 B ．3.15 C ．3.5 D ．4.5
9．有一位同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计得到了一天所卖的热饮杯数(y )与当天气温(x ℃)之间的线性关系，其回归方程为y
ˆ＝－2.35x ＋147.77．如果某天气温为2℃时，则该小卖部大约能卖出热饮的杯数是( ).
A ．140
B ．143
C ．152
D ．156
1x 1y 1u 1v
10．为了解某地区某种农产品的年产量x（单位：吨）对价格y（单位：千元/吨）和利润z的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表：
（Ⅰ）求y关于x的线性回归方程=x+；
（Ⅱ）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z取到最大值？（保留两位小数）
参考公式： ==， =﹣．
11.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解 年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和 年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量(1,2,...,8)i y i =数据作了初步处理，得到下
面的散点图及一些统计量的值。

表中i w =
8
1
i i w w ==∑
（Ⅰ）根据散点图判断，y a bx =+
与y c =+y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为0.2z y x =-。

根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（i ） 年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ⅱ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据1122(,),(,),...,(,)n n u v u v u v ,其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
^
^^
1
2
1
()()
,()
n
i
i
i n
i
i u u v v v u
u u βαβ==--=
=--∑∑
12.
13．某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量与尺寸x （mm ）之间近似满足关系式（a , b 为大于0的常数）．现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：
对数据作了初步处理，相关统计量的值如下表：
(I)根据所给数据，求y 关于x 的回归方程；
(Ⅱ)按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品，现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记为取到优等品的件数，试求随机变量的分布列和期望． 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别
为
()y g b
y ax =,
97e e ⎛⎫
⎪⎝⎭
ξξ()()()1122,,,,
,n n νμνμνμ=+μαβν1
2
21
ˆˆˆ,.n
i i
i n i i n n νμ
νμ
β
α
μβννν
==-⋅==--∑∑
14．为了对2016年某校中考成绩进行分析，在60分以上的全体同学中随机抽出8位，他们的数学分数（已折算为百分制）从小到大排是60、65、70、75、80、85、90、95，物理分数从小到大排是72、77、80、84、88、90、93、95．
（1）若规定85分以上为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；
（2）若这8位同学的数学、物理、化学分数事实上对应如下表：
①用变量y与x、z与x的相关系数说明物理与数学、化学与数学的相关程度；
②求y与x、z与x的线性回归方程（系数精确到0.01），当某同学的数学成绩为50分时，估计其物理、化学两科的得分．
参考数据：，
，，
．。