数学实验最佳分数逼近
西北师范大学数学与应用数学专业
西北师范大学数学与应用数学专业专业选修课程教学大纲数学实验一、说明（一）课程性质本课程是数学与信息科学学院信息与计算科学系专业的必修课，数学实验是随着计算机及其计算技术的发展而产生的一门新兴学科，计算机对人类的社会生活产生了巨大的影响，对数学也产生了十分巨大的影响。
数学的形象发生了很大的变化，它不仅仅是一种理论，不仅仅是逻辑推导，也不再单纯是数学家和少数物理学家、天文学家、力学家等人手中的神秘武器，它越来越深入地应用到各行个业之中，几乎在人类社会生活的每个角落都在展示着它的无穷威力。
这一点尤其表现在生物、政治、经济及军事等数学应用的非传统领域。
数学不再仅仅是作为一种工具和手段，而是日益成为一种技术参与到实际问题中，它是一种技术，作为信息与计算科学系的本科生必须掌握这种技术。
（二）教学目的通过数学实验加深和理解学过的数学理论；通过数学实验掌握应用数学的能力；通过数学实验来体会数学探索与发现的快乐与挫折（三）教学内容本课程的内容分两部分，第一部分是基础部分，围绕高等数学的基本内容，利用计算机及软件的数值功能和图形功能展示基本概念与结论，去体验如何发现、总结和应用数学规律。
另一部分是高级部分，以高等数学为中心向边缘学科发散，可涉及到微分几何、数值方法、数理统计、图论与组合、微分方程、运筹与优化等，也涉及到现代新兴的学科方向，如分形、混沌、密码等。
（四）教学时数36+36（五）教学方式课堂讲授与上机实验相结合二、文本第一章概论教学要点：因为数学实验是一门新兴课程，所以本章的目的是要概括数学实验的目的、内容、要求、产生的背景、并介绍符号技术计算软件等。
教学时数：6学时具体内容：第一节概述第二节数学实验报告的写作第三节Mathematica 软件介绍1（2学时）第四节Mathematica 软件介绍2（2学时）考核要求：通过考核使同学们大概了解本课程的内容和要求并掌握Mathematica 软件。
实验一微积分基础教学要点：掌握Mathematica 软件的基本功能并来验证或观察得出微积分的一些基本结论，练习实验报告的撰写。
最佳逼近定理
最佳逼近定理
最佳逼近定理是数学中的一个重要定理，它指出了在一定条件下，一个函数可以用另一个函数来最佳逼近。
这个定理在实际应用中有着广泛的应用，比如在信号处理、图像处理、数据分析等领域中都有着重要的作用。
最佳逼近定理的核心思想是，对于一个函数f(x)，如果我们想用另一个函数g(x)来逼近它，那么我们需要找到一个最佳的g(x)，使得它与f(x)的误差最小。
这个误差可以用欧几里得距离或者其他的距离度量来表示，而最佳逼近定理就是告诉我们，这个最小误差是一定存在的，并且可以通过一定的方法来求得。
最佳逼近定理的应用非常广泛，比如在信号处理中，我们经常需要对信号进行滤波处理，而滤波器的设计就可以通过最佳逼近定理来实现。
在图像处理中，我们也可以利用最佳逼近定理来进行图像压缩和去噪等处理。
在数据分析中，最佳逼近定理可以用来进行数据拟合和预测等任务。
最佳逼近定理的证明比较复杂，需要用到一些高等数学知识，比如泛函分析、函数空间等。
但是在实际应用中，我们并不需要深入理解其证明过程，只需要掌握其基本思想和应用方法即可。
最佳逼近定理是数学中的一个重要定理，它在实际应用中有着广泛的应用。
通过最佳逼近定理，我们可以找到一个最佳的函数来逼近
另一个函数，从而实现信号处理、图像处理、数据分析等任务。
数学实验“Chebyshev多项式最佳一致逼近,最佳平方逼近”实验报告(内含matlab程序)
f=c(1)+c(2)*t;
fori=3:k+1
T(i)=2*t*T(i-1)-T(i-2);
c(i)=2*int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(i)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/pi;
实验内容
Chebyshev多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近
成绩
教师
实验十八实验报告
一、实验名称：Chebyshev多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近。
二、实验目的：进一步熟悉Chebyshev多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近。
三、实验要求：运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica等其中一种语言完成程序设计。
四、实验原理：
1．Chebyshev多项式最佳一致逼近：
当一个连续函数定义在区间 上时，它可以展开成切比雪夫级数。即：
其中 为 次切比雪夫多项式，具体表达式可通过递推得出：
它们之间满足如下正交关系：
在实际应用中，可根据所需的精度来截取有限项数。切比雪夫级数中的系数由下式决定：
2．最佳平方逼近：
求定义在区间 上的已知函数最佳平方逼近多项式的算法如下。
f2=power(a,n+1);
C(i,n+1)=(f1-f2)/(n+i);
end
coff=C\d;
设已知函数 的最佳平方逼近多项式为 ，由最佳平方逼近的定义有：
其中
形成多项式 系数的求解方程组
最佳分数近似值
哈
在“怎样计算Pi?”的实验中，我们看到，祖冲之将Pi计算
工 到3.141596与3.1415927之间，但是实际上，祖冲之并没有使
程 用小数，他算出的圆周率是22/7（密率）、355/113（约率），
大 看看这两个分数与圆周率的实际误差有多大？
学
数
学
实
可以看出，分数355/113几乎与Pi足够接近，而22/7虽然
哈
工 程 大
3 1 3
1
3
7.06251
7 0.06251
7
1 1
学
15.9974
数 3
1
3
1
学 实 验
7
1
15 0.9974
7 15
1 1
1.00261
电
子 3
1
教 案
7 15
1 1
1 288.842
上页 下页 退出
哈 工
数 学 实 验
电 子 教
练习：让分母q依次取遍1到1000的所有自然数，对每个分母q， 取p=[q*Pi+0.5]得到一个最接近Pi的分数p/q，并将所有的这样
案 的分数列出来，同时列出与Pi的误差。
上页 下页 退出
Mathematica程序如下：
哈 工 程 大 学
数 学 实 验
电 子 教 案
上页 下页 退出
3
7 15
1 1 1
程
1 288.842
大
学
因此，下面的分数都是Pi在某个误差下的最佳分数近
数 似值。
学 实
验
355
113 1
mathematica实验三最佳分数近似值
mathematica实验三最佳分数近似值数学实验报告实验三最佳分数近似值实验目的：研究怎样用分数近似值去给定的无理数作最佳逼近。
“最佳”就是既要误差小，又要分母小。
我们首先需要对“最佳”定出具体而明确的标准，还要寻找一个求最佳分数近似值的简单易行的算法。
实验步骤：1、计算对数值对给定的正实数b ，N 且b ≠1，要求对数值a=N b log ,也就是求实数a 使a b =N ，如果能找到整数p ，q 使qpNb≈,则N bqp≈，N blogqp ≈，以lg2为例：由102=1024≈1000=310可得lg2≈103=0.3，再要提高精确度，就要找出更大的q 使q2更接近10的某个幂q10，也就是使pq 32更接近于1。
练习让q 依次取遍1到10000的所有的正整数，对每一个q ，按如下的递推法则求出一个正整数p=p(q)使实数pq q 102)(=λ最接近于1：q=1时，p(1)=0,λ(1)=1102=2.设已对q 求出p(q)和λ(q)，计算2λ(q)，如果2λ(q)<10,则取p(q+1)=p(q),λ(q+1)=2λ(q),如果2λ（q ）≥10，则取p(q+1)=p(q)+1，λ(q+1)=10)(2q λ.如果λ(q)比以前所有的λ(i)(11-≤≤q i )都更接近1，即|λ(q)-1|<|λ(i)-1|对所有的1≤i ≤q-1成立，就取qp 都是最佳逼近lg2的的分数近似值，它们可以展开成小数近似值。
2、分数对无理数的最佳逼近设α是给定的无理数。
怎样的分数QP 能够称为α的最佳分数近似值？既然“最佳”的标准是既要误差小，又要分母小，如果有一个分数qp 的分母q|α-qp|<|α-QP |,那么qp 就是比QP 更佳的分数近似值，QP 就不能说是“最佳”。
反过来，如果QP 的误差比起分母不超过Q 的其他分数近似值qp 都小，也就是|α-qp |<|α-QP |对所有qP 给出了α的最佳逼近。
数学实验最佳分数逼近
最佳分数逼近：学号：班级：数学与应用数学4班实验报告实验目的：本次实验是要研究怎样用分数近似值去对给定的无理数做最佳逼近，“最佳”就是既要误差小，又要分母小，而且要精确度高。
我们首先需要对“最佳”给出一个具体而明确的标准，还要寻求一个求最佳分数近似值的简单易行的算法。
实验环境：Mathematica软件实验基本理论和方法：一提到祖冲之，人们都知道他对于计算π的贡献，他算出π的值在3.1415926与3.1415927之间，也就是知道了π的准确值得前八位有效数字，但人们往往不知道，祖冲之还给出了π的分数近似值355/113，这同样是数学史上的伟大贡献。
π是无理数，对于任何一个无理数a，不可能用分数p/q来作它的准确值，只能作它的近似值。
近似值p/q的好坏可以用绝对误差∆α来衡量。
∆越小，就说明这个近似值p/q的精确度=-qp/越高。
对于给定的分母q，总可以选择适当的分子p使p/q最接近α，也就是使误差∆最小。
此时一定有∆〈1/2q。
由此可见，要提高精确度，减少误差，一个最简单的办法就是增大分母q。
只要q足够大，就可以使误差任意小。
祖冲之为π给出了两个分数近似值，一个是355/113，称为密率，另一个是22/7，称为约率，不但密率是分母小误差小的有秀近似值，而且约率以更小的分母7实现了误差小于0.0013，仍不失为好的近似值。
实验容和步骤及结果分析：问题一：求分数对无理数的最佳逼进，已知π=3.141 592 653 579…，让分母q依次取遍1到100的自然数。
对每个分母q，取p=[qπ+0.5]作为分子得到一个接近的分数p/q。
（这里符号[qπ+0.5]表示不超过qπ+0.5的最大整数，它也是由q四舍五入得到的整数。
）其步骤是：（1）打开Mathematica软件；（2）输入下列语句：（3）运行后，结果如下图问题二：求下列数的连分数展开（一） 的连分数展开其步骤是：（1）打开Mathematica软件；（2）输入下列语句：（3）运行后，结果如下图（二）有理数的连分数展开其步骤是：（1）打开Mathematica软件；（2）输入下列语句：（3）运行后，结果如下图思考：做完上述有关最佳分数逼近的实验，我顿时想到了概率，毕竟概率也可以理解为一个数的逼近，所以下面为有关概率的实验。
无理数的分数逼近和连分数
无理数的分数逼近和连分数在数学上，有理数和无理数是两种不同的数。
有理数是指可以表示成两个整数之比的数，例如⅓、½、-2等。
而无理数则是指无法表示成有限小数或分数形式的数，例如π、√2等。
由于无理数无法表示成分数的形式，因此无理数的大小难以直接比较，这给数学上的很多问题带来了困难。
但是，我们可以使用分数逼近和连分数来近似表示无理数，使得无理数问题可以得到更好的解决。
分数逼近分数逼近是指用分数来逼近一个无理数的近似值。
这种方法的基本想法十分简单：对于给定的无理数x，寻找一个最接近它的分数p/q，使得| x - p/q | 尽可能小。
然后我们称这个分数为x的第一个连分数近似。
在实际运用中，我们可以先选取一个分母q0，然后寻找分子p0，满足| x - p0/q0 | 最小。
这样得到的p0/q0就是x的第一个连分数近似。
接下来，我们以p0/q0作为新的近似值，求出下一个分数p1/q1，以此类推，得到一系列连分数近似得到的数列{p0/q0,p1/q1, p2/q2, …} 将这些分数列出来，就得到了一个逐渐趋近于无理数的有理数序列。
在实际的计算中，我们可以使用欧几里得算法来寻找每次逼近的分数。
这种算法使用一系列简单的操作，可以快速得到分数p/q 的各个部分，以及新的近似值。
例如，我们要使用分数逼近来逼近√2。
假设开始时选择的分母是1，那么第一个分数近似为1/1。
接下来，我们可以使用欧几里得算法计算出√2和1/1的差值，并找到最接近其差值的分数1/2，作为第二个分数近似。
然后以1/2为新的近似值，再次计算差值，再次找到新的分数近似，以此类推。
最终，我们可以得到序列{1, 3/2, 7/5, 17/12, …}，每个数都是√2的一个连分数近似。
连分数连分数是一种特殊的分数表示法，由一系列嵌套的分数组成，形式为：a0 + 1/(a1 + 1/(a2 + 1/(a3 + …)))其中a0，a1，a2，…都是整数。
数字的逼近与近似认识数的逼近和近似计算方法
数字的逼近与近似认识数的逼近和近似计算方法在现实生活中，我们经常遇到需要准确计算数值的情况，然而有些复杂的运算可能会让我们陷入困境。
为了解决这个问题，人们提出了数的逼近和近似计算方法，以帮助我们更方便地处理数字。
一、数的逼近方法数的逼近是指通过无穷个有理数逐渐靠近某个数的过程。
常见的数的逼近方法有以下几种：1. 分数逼近法分数逼近是指通过有限小数或无限小数的形式来逼近一个数。
例如，要逼近圆周率π，我们可以使用3.14或3.14159等有限位数的近似值。
这种方法在实际应用中非常常见，它可以有效地满足我们对数值精度的要求。
2. 牛顿逼近法牛顿逼近法是一种用多项式逼近函数的方法。
它通过选取一个初始值，并利用切线的斜率逐步逼近函数的根。
这种方法在数学和物理领域被广泛应用，可以高效地求解函数的零点。
3. 数列逼近法数列逼近法是指通过数列的极限来逼近一个数。
例如，要逼近自然常数e，我们可以使用以1为首项，n趋于无穷大时的极限值。
这种方法可以直接将数的逼近问题转化为数列极限的计算问题。
二、近似认识数的近似计算方法近似计算方法是指通过一定的近似规则和技巧，对于复杂计算或无法准确进行的计算，进行近似求解。
常见的近似计算方法有以下几种：1. 舍入法舍入法是一种常见的近似计算方法，它根据一定的规则将数值进行近似。
最常见的舍入规则有四舍五入、向下取整和向上取整等。
例如，我们可以使用舍入法将3.14159近似为3.14或3.142。
2. 位数法位数法是一种将数值限制在一定位数以内进行近似计算的方法。
例如，当我们要计算π的前100位小数时，由于无法直接计算出确切的值，我们可以使用近似计算方法来获得前100位的近似值。
3. 同类项相消法同类项相消法是一种通过将数值中相近的项进行相消，从而简化计算过程的方法。
例如，在求和时，我们可以将一些项进行合并，从而减少计算的复杂度。
这种方法在数列求和、积分等领域中广泛应用。
通过数的逼近和近似计算方法，我们可以更方便地处理数字，解决实际生活中存在的计算问题。
最新实验三 最佳分数近似值
实验三最佳分数近似值数学实验姓名：康萍学号：201370010314 老师：张贵仓班级：2013级（3）班时间：2016年4月19日实验三 最佳分数近似值一、实验目的本实验是要研究怎样用分数近似值去对给定的无理数做最佳逼近。
而“最佳”就是指既要误差小，又要分母小。
我们首先需要对“最佳”定出具体而明确的标准，通过比较各种方法，最终寻找一个求最佳分数近似值的简单易行的算法。
二、实验环境基于Windows 环境下的Mathematica7.0软件。
三、实验的基本理论和方法（一）、分数对无理数的最佳逼近设α是给定的无理数，Q P 是分数，如果有一个分数qp的分母Q q <并且误差Q P q p -≤-αα，或者分母Q q =且误差QPq p -<-αα，那么q p 就是比Q P 更佳的分数近似值，Q P 就不能是“最佳”。
反过来，如果Q P的误差比起分母不超过Q 的其他分数近似值q p 都小，也就是q pQ P -<-αα对所有的Q q <以及Q q =且P p ≠成立，就称QP给出了α的最佳逼近。
比如，对 3014159265=π，分母为1最接近π的分数近似值13，是π最佳分数逼近（因为根本就没有比他分母更小的分数）。
分母为2最接近π的分数近似值26，他的分母比1大，但误差不比13小，是比13更差的分数近似值，不是最佳。
我们也可以将误差小、分母小这两个标准综合起来，以误差qp-=∆α与分母q 的乘积∆q 为标准来判定分数近似值q p 的优劣，∆q 越小，qp越优。
还可以进一步强化“分母小”这一要求，用∆2q 做衡量标准，∆2q 值越小越优。
（二）实数的连分数展开仍以 35793014159265=π为例。
先找它的分母为1的最佳近似值，也就是最佳整数近似值，显然是3.在寻找比3的误差更小（当然分母更大）的分数近似值时并不需要依次考虑分母为 ,3,2的分数。
因为这时已经有了整数近似值3，则13x +=π。
数学实验教学大纲(李尚志)
《数学实验》教学大纲课程名称：数学实验英文名称：Experiments in Mathematics 总学时： 60 学分： 3开课学期：大一（下）或大二《数学实验》是在我国高等学校中新开设的一门课程。
现在还处于试点和摸索阶段，有许多不同的想法和作法. 现阶段应当鼓励各种不同的想法和作法, 各自进行探索和试点. 可以而且应当相互交流, 但不必统一, 也不必争论哪种做法更好. 现在首先是要先干起来, 经过若干年实践去积累和总结经验, 根据实践的效果来逐渐完善和成熟. 本教学大纲反映的是我们在中国科技大学试点创建数学实验课程的指导思想和具体做法，只能算是一家之言，供兄弟学校参考。
一．教学目的数学实验课程的教学对象, 是全国所有高校, 不分理工农医等科类的本科生。
课程目的, 是使学生掌握数学实验的基本思想和方法,即不把数学看成先验的逻辑体系, 而是把它视为一门“实验科学”, 从问题出发,借助计算机, 通过学生亲自设计和动手, 体验解决问题的过程, 从实验中去学习、探索和发现数学规律。
既然是实验课而不是理论课, 最重要的就是要让学生自己动手, 自己借助于计算机去“折腾”数学, 在“折腾”的过程中去学习, 去观察, 去探索, 去发现，而不是由老师教他们多少内容。
既不是由老师教理论, 主要的也不是由老师去教计算机技术或教算法。
不着意追求内容的系统性、完整性。
而着眼于激发学生自己动手和探索的兴趣。
二．教学内容的确定从问题出发组织教学内容。
虽然有意识让学生通过实验学会一些基本的方法, 但是并不以这些方法为线索组织课程内容。
而是设计了一些能够引起学生兴趣的问题, 这些问题的引入不需很深的数学知识，便于入门，但这些问题具有深刻的内涵，包括科学发展历史上经典的数学问题，以及具有应用价值的问题。
每个实验围绕解决一个或几个问题来展开, 教学生使用若干种方法来解决所给的问题, 在解决问题中学习和熟悉这些方法, 自己观察结果, 得出结论。
最佳分数值逼近(mathematica数学实验报告)
姓名 ### 学院 ###### 班级 ######### 学号 #########实验题目 最佳分数值逼近评分实验目的：1、用“连分数展开”的方法计算圆周率π的近似值；2、通过实验来体会“连分数展开”的方法与其他方法的区别，比较各种方法的优劣；3、尝试用“连分数展开”的方法对其他的数进行展开。
实验环境：学校机房，Mathematica4.0软件 实验基本理论和方法：1、Mathematica 中常用的展开数与多项式的函数的使用；2、计算圆周率π“连分数展开”方法，并且利用特定的函数来展开其他数。
实验内容和步骤：（一）多项式的展开与化简多项式是表达式的一种特殊的形式，所以多项式的运算与表达式的运算基本一样，表达式中的各种输出形式也可用于多项式的输出。
Mathematica 提供一组按不同形式表示代数式的函数。
如：1、 对12x 1-进行分解，使用的函数为Factor ：2、 展开多项式7x+2（）与5x+y+7（），使用的函数为Expand:3、 化简(1)^4(2)^(3)x x x +++与(1)^3(2)^4(3)^(1)x x x x +++-，使用的函数为Pimplify:4、 连个多项式相除，总能写成一个多项式和一个有理式相加， Mathematic 中提供两个函数PolynomialQuotient 和PolynomialRemainder 分别返回商式和余式：（二）π的连分数展开π的求解方法之前我们已经有许多种，但都比较繁琐而且误差较大，如何找到误差较小的π的近似值求解方法，我们在所得整数3的基础上进行分析，有了整数3，则π=3+1x ，其中10.141592653579...x =是3的误差，101x <<。
只要能找到1x 的最佳分数逼近值，再加3就得到π的最佳分数近似值。
从而我们使用一种方法“连分数展开“，其原理是： 为了寻找与1x 接近的分数，先找与1117.062513305931...A x ==接近的整数，显然是7.于是111223377A π=+≈+=，这是祖冲之的效率。
数值分析ch2最佳逼近和最小二乘法
10/23/2018 9:35:56 AM
第2章 最佳逼近和最小二乘法
在[0,1]上，当最佳平方逼近空间 M span 1, x, x2, , x n 时，法方程系数
矩阵为 Hilbert 矩阵
1
1 2
1 1
1
n
1
1
H 2 3
n2
1 1
1
n 1 n 2
2n 1
当 n 较大时 Hilbert 矩阵和对应的法方程组 Hx b 是病态的，用数值方法
求解方程组 Hx b 是不稳定的。为了避免求解病态方程组,通常找M 中的
一组正交多项式。常用的正交多项式有：勒让德多项式，切比雪夫多项式，
拉盖尔多项式，埃尔米特多项式等。
正交多项式:若多项式序列i
(
x),
x
[a,
b] i0
满足
j ,k
b a
(
x)
j
(
x)k
(
x)dx
0, Ak
0,
jk ( j, k 0,1, 2,
函数的最佳逼近问题：
对于给定的函数 f (x)，要求在一个简单函数类 B 中，寻找一个函数 s(x) B ，
使得 s(x) 与 f (x) 的误差在某种度量下达到最小，这一问题称为最佳逼近问题，
s(x) 称为 f (x)的最佳逼近函数。
函数最佳逼近常用的误差度量标准
2 范数: (x) f (x) s(x) min f (x) y(x) ,最佳平方逼近或均方逼近
1
f b (x) f 2(x)dx 2
2
a
其中(x) L2[a,b] 为权函数，在(a,b)上非负，且满足：
（1） b x j (x)dx a
数学实验三 分数最佳近似 1
数学实验三分数最佳近似1.实验内容①分数对实数的最佳逼近；②实数的连分数展开；③计算对数值 2.实验目的本实验研究实数的近似值问题：定义“最佳逼近” ，给出寻求最佳逼近的算法；通过将实数写成连分数的形式，寻求它的有理近似值。
3.实验要求①利用比较法(穷举)方法给出无理数(例如π )的指定位数的最佳分数近似值：考虑一定范围内( q ≤ N i )，使p qπ 最小时分母q 最小者，试给出分母不超过30000 的最佳近似序列；改变最佳选择标准，观察结果有哪些变化。
如下，首先以误差小条件下取分母最小这一标准来求得的最佳近似序列⑴，92278 92633 93343 93698 94053 13 16 19 22 179 201 , …… , , , , ⑴ 3, , , , , 4 5 6 7 57 64 29373 29486 29712 29825 29938 改变最佳选择标准，将误差小、分母小这两个标准综合起来，以误差与分母q 的乘积q 为标准来判定分数近似值的优劣，得到近似序列⑵，同时，也可以进一步强化“分母小”这一标准，用做衡量标准，得到近似序列⑶。
22 333 355 ,7), ( ,106), ( ,113)} 7 106 113 22 355 ⑶ {(3,1), ( ,7), ( ,113)} 7 113 可见，随着选择标准的改变，所得的近似序列不同，而后两种标准能⑵ {(3,1), (够较快的逼近π 的近似值，故综上，在误差小的标准下，π 的分母不超过30000 的最佳分数近似值为94053 ，在误差小、分母小的标准下，π 的分母29938 355 不超过30000 的最佳分数近似值为。
113 ①将实数(有理数、无理数)展开成为连分数并求其值；与①中的结果做出比较，你有什么结论？将π 展开成为连分数形式，可得其69 位连分数表如下：{3,7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,2,1,1,15,3 ,13,1,4,2,6,6,99,1,2,2,6,3,5,1,1,6,8,1,7, 1,2,3,7,1,2,1,1,12,1,1, 1,3,1,1,8,1,1,2,1,6,1,1,5}M-E3-1数学实验三分数最佳近似得到π 的连分数近似值和标准值如下：3.14159265358979323846264338327950288419716939 9375105820974944592307816489625157 <212564178171463672420858478430244273 676612793605096030724317800674759293.14159265358979323846264338327950288419716939937510582 0974944592307816406286209明显的，该分数分母远远大于30000，改变连分数的阶数得到如下结果：连分数的阶数n 2 3 4π 的近似趋近过程3.14150943396 3.141592920354 3.1415926530119<<<-π 的真值3.14159265359 3.141592653590 3.1415926535898333 106 355 113 103993 33102由表可知，该结果与问题一中的各选择标准相比，用连分数计算π 的355 近似值逼近速度更快，且分母在30000 以内的π 的最佳分数近似值为，113 与既要求误差小，又要求分母小的标准所得的近似值相同。
最佳逼近与最优求积问题
最佳逼近与最优求积问题在数学中，求解是一项重要的研究课题。
这个问题的核心是在给定的条件下，找到一个最佳的逼近或求积方法，使得逼近或求积的误差最小。
首先，我们来看最佳逼近问题。
在实际应用中，我们常常需要用一个函数来逼近另一个函数。
这个问题的关键在于如何选择逼近函数，使得逼近的误差最小。
一种常见的方法是使用多项式逼近。
多项式逼近的基本思想是通过一个多项式函数来逼近给定函数，在一定的条件下，选择最佳的多项式函数使得逼近误差最小。
此外，还有其他方法，如三角函数逼近、有理函数逼近等。
这些方法都是通过数学模型和计算方法来寻找最佳逼近函数，从而达到最小误差的目标。
接下来，我们来看最优求积问题。
在实际应用中，我们常常需要计算某个函数的积分。
最优求积问题的关键在于如何选择求积方法，使得求积的误差最小。
一种常用的方法是使用数值积分。
数值积分的基本思想是将积分转化为一个数值求和问题，通过一定的计算方法，选择最佳的求积方法使得求积误差最小。
常见的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则、龙贝格法则等。
这些方法都是通过数学模型和计算方法来寻找最佳的求积方法，从而达到最小误差的目标。
最佳逼近与最优求积问题在科学研究和工程应用中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，我们常常需要通过实验数据来逼近某个物理规律，这时最佳逼近问题就起到了关键的作用。
在工程设计中，我们常常需要计算一些复杂的积分，这时最优求积问题就显得尤为重要。
通过研究和解决最佳逼近与最优求积问题，我们可以得到更准确的逼近结果和积分值，从而提高科学研究和工程实践的精确度。
总之，最佳逼近与最优求积问题是数学中的一项重要课题。
通过研究和解决这些问题，我们可以找到最佳的逼近函数和求积方法，从而得到更准确的结果。
这对于科学研究和工程应用都具有重要意义，为我们提供了一种有效的数学工具。
数值逼近课程设计最佳逼近
数值逼近课程设计最佳逼近一、课程目标知识目标：1. 让学生掌握数值逼近的基本概念，理解最佳逼近的原理及其在数值计算中的应用。
2. 使学生能够运用不同的数值方法进行数据逼近，并分析其优缺点。
3. 帮助学生建立误差分析的基本框架，培养他们评价逼近效果的能力。
技能目标：1. 培养学生运用数学软件或编程工具实现数值逼近算法的能力。
2. 提高学生解决实际问题时选择合适数值逼近方法的能力，并能进行相应的参数调优。
3. 培养学生通过团队协作，共同解决复杂数值计算问题的能力。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对数学科学的兴趣，特别是对数值逼近这一领域的探索热情。
2. 增强学生的实证思维，培养他们严谨的科学态度和精益求精的学术追求。
3. 通过数学建模和问题解决，激发学生的创新意识，增强他们面对挑战时的自信心和坚持到底的决心。
本课程设计针对高中年级学生，考虑到他们已具备一定的数学基础和逻辑思维能力，课程性质为理论与实践相结合。
在教学过程中，要求教师注重启发式教学，鼓励学生主动探究和动手实践，通过案例分析、小组讨论等形式，提高学生的问题解决能力和团队合作精神。
课程目标的设定旨在使学生不仅掌握数值逼近的相关知识，而且能够将这些知识应用于实际问题中，培养他们的综合素养。
二、教学内容本章节教学内容围绕以下三个方面展开：1. 数值逼近基本概念：- 介绍逼近的概念、逼近的误差及度量方法。
- 解释最佳逼近的定义及其判定标准。
2. 数值逼近方法：- 分析常用的数值逼近方法，如插值法、最小二乘法、样条插值等。
- 详述各种方法的原理、步骤和适用范围。
教学大纲：a. 插值法：Lagrange插值、Newton插值、Hermite插值等。
b. 最小二乘法：线性最小二乘法及其应用。
c. 样条插值：线性样条、二次样条和三次样条插值。
3. 数值逼近应用及误差分析：- 结合实际案例，展示数值逼近方法在实际问题中的应用。
- 分析逼近过程中的误差来源，探讨如何降低误差。
数值计算方法 最佳逼近 - 最佳逼近
F[n_]:=Sum[GF[n]/G[n,n]*g[n],{n,0,2}];
F[n]//N;
Expand[%]
程序设计
Clear[g,f,G]
f[x_]:=Sqrt[x];
g[n_]:=x^n;
最
G[i_,j_]:=Integrate[g[i]g[j],{x,0,1}]
佳
平
GF[i_]:=Integrate[f[x]g[i],{x,0,1}]
GF[i_]:=Integrate[f[x]g[i],{x,-1,1}] F[n_]:=Sum[GF[n]/G[n,n]*g[n],{n,0,3}];
程序设计
F[n]//N;
Expand[%]
程序设计
Clear[g,f,G,F]
f[x_]:=Sin[Pi*x];
g[k_]:=x^k-Sum[(Integrate[x^k*g[i],{x,0,1}])/(Integrate[g[i]^2, {x,0,1}])*g[i],{i,0,k-1}]
第 三
函数插逼近值与曲法线拟合
章
主讲教师：刘春凤
1
函数逼近
2
正交多项式
3
曲线的拟合
4
最佳一致逼近
5 最佳平方逼近
最佳平方逼近的概念 最佳平方函数逼近的求解
最佳平方逼近的概念
1
【定义】 设函数 f ( x) 在区间[a, b] 上连续，i ( x)(i 0,1,m) 为定义在[a, b]上的
一组线性无关的连续函数。 H Span{0 ,1,,m }
近
MatrixForm[%]
b=Table[GF[i],{i,0,n}];
MatrixForm[%]
最佳分数近似值实验报告[1]
![最佳分数近似值实验报告[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/18cb1d7ca98271fe910ef9d3.png)
实验报告
一．心得体会：通过怎样计算π实验，我初步了解了Mathematica 4.0的使用方法，我知道了通过数学软件来计算π可以得到一个更加准确的结果，而且计算的速度也更快，虽然在语句过程中存在语句写错的问题，但是通过不断地分析改正，之中达到了预期的效果。
二．实验的目的
本实验是要研究怎样用分数近似值去对给定的无理数作最佳逼近。
“最佳”就是既要误差小，又要分母小。
我们首先需要对“最佳”定出具体而明确的标准，还要寻找一个求最佳分数近似值的简单易行的算法。
三．实验的环境
基于Window系统下的Mathematica 4.0软件并使用Print Screen 截图软件，Wind文档和课本。
四．实验的基本理论方法
使用Mathematica 4.0编写程序语言并求其结果。
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最佳分数逼近
姓名：
学号：
班级：数学与应用数学4班
实验报告
实验目的：本次实验是要研究怎样用分数近似值去对给定的无理数做最佳逼近，“最佳”就是既要误差小，又要分母小，而且要精确度高。
我们首先需要对“最佳”给出一个具体而明确的标准，还要寻求一个求最佳分数近似值的简单易行的算法。
实验环境：Mathematica软件
实验基本理论和方法：
一提到祖冲之，人们都知道他对于计算π的贡献，他算出π的值在3.1415926与3.1415927之间，也就是知道了π的准确值得前八位有效数字，但人们往往不知道，祖冲之还给出了π的分数近似值355/113，这同样是数学史上的伟大贡献。
π是无理数，对于任何一个无理数a，不可能用分数p/q来作它的准确值，只能作它的近似值。
近似值p/q的好坏可以用绝对误差=
∆α来衡量。
∆越小，就说明这个近似值p/q的精确度-
q
p/
越高。
对于给定的分母q，总可以选择适当的分子p使p/q最接近α，也就是使误差∆最小。
此时一定有∆〈1/2q。
由此可见，要提高精确度，减少误差，一个最简单的办法就是增大分母q。
只要q足够大，
就可以使误差任意小。
祖冲之为π给出了两个分数近似值，一个是355/113，称为密率，另一个是22/7，称为约率，不但密率是分母小误差小的有秀近似值，而且约率以更小的分母7实现了误差小于0.0013，仍不失为好的近似值。
实验内容和步骤及结果分析：
问题一：求分数对无理数的最佳逼进，已知π=3.141 592 653 579…，让分母q依次取遍1到100的自然数。
对每个分母q，取p=[qπ+0.5]作为分子得到一个接近的分数p/q。
（这里符号[qπ+0.5]表示不超过qπ+0.5的最大整数，它也是由q四舍五入得到的整数。
）
其步骤是：（1）打开Mathematica软件；
（2）输入下列语句：
（3）运行后，结果如下图
问题二：求下列数的连分数展开
（一） 的连分数展开
其步骤是：（1）打开Mathematica软件；
（2）输入下列语句：
（3）运行后，结果如下图
（二）有理数的连分数展开
其步骤是：（1）打开Mathematica软件；
（2）输入下列语句：
（3）运行后，结果如下图
思考：做完上述有关最佳分数逼近的实验，我顿时想到了概率，毕竟概率也可以理解为一个数的逼近，所以下面为有关概率的实验。
问题一：已知在1000个灯泡中坏灯泡的个数从0到5均可能，求从中任取100个都是好灯泡的概率。
分析：事件表示1000个灯泡有i个坏灯泡，事件A表示任意取出100个都是好灯泡，则，由全概率公式有。
其步骤是：（1）打开Mathematica软件；
（2）输入下列语句：
（3）运行后，结果如下图
问题二：n个人每人携带一件礼物参加联欢会。
联欢会开始后，先把所有礼物编号，然后每人任意抽取一个号，按号码领取礼物，请分别就参加联欢会的人数为n=1到20人求所有人都得到别人赠送礼物的概率，并从这些概率值推断随着参加联欢会人数的增加是否会出现所有人都得到别人赠送礼物的概率会不断变小的情况？
分析：应用有限多个相容事件的概率加法公式求解
设={第i 个人得到自己带来的礼物}，则表示至少有一个人得到自己带来的礼物，由
得到
其步骤是：（1）打开Mathematica软件；
（2）输入下列语句：
（3）运行后，结果如下图
结果分析：从计算结果可以看出，随着参加人数的增加，所有人都会得到别人赠送送礼物的概率不会不断变小，而是会收敛到一个约为0.367879的极限值。
实际上，从概率可知
故当n很大的时候。
问题三：某种检验方法对癌症的准确率是95%，一个人接受了检测并且结果呈阳性，假定这个人来自一个有100000人口的地区，该地区2千人得这种癌症，推断接受检测者患这种癌症的概率是多少？分析：检测的准确率是95%，意味着对呈阳性的检测结果有95%是患病的，而对成阴性的检测结果是95%是不患病的，因此仅由检测数据不能支持准确率是95%的结论。
如果事件{T>0}表示检测结果呈阳性，{T<0}表示检测结果呈阴性，用H和C表示没有患病的人和患这种病的人，则有
使用贝叶斯公式，当检测结果呈阳性时，检测者患病的概率为
其步骤是：（1）打开Mathematica软件；
（2）输入下列语句：
（3）运行后，结果如下图
结果分析：由此可见，呈阳性的检测者真正患病的概率仅为0.279，而不是想当然的认为患病概率为95%。
附录（源程序）
见文章具体步骤。