机械优化设计习题参考答案

第六章习题解答．已知约束优化问题：122)(x?(x?2)1?xminf()?2120??xtg(x)?xs?

??T)(k2?1x?-0.254）区间的随机数0.562和出发，沿由（-1 1 试从第k次的2110?2?x)?x?xg(212

迭代点)k?1(x。并作图画出目标函数所确定的方向进行搜索，完成一次迭代，获取一个新的迭代点的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线。解] 1）确定本次迭代的随机方向：

[T??0.2540.562??T0.412S???0.911??R2222??0.254?0.254?0.5620.562??(1)k)?(k?Sx?x?计算新的迭代点。步长α用公式：2)取为搜索到约束边界R上的最大步长。到第二个约束边界上

的步长可取为2，则：

k?1k?S??1?2?0?x.?911?0.x82211R1k?k?x)?1.176412(2?x?S??2??0.222R0.822??1?k?X即：

??1.176??该约束优化问题的目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线如下图所示。

2．已知约束优化问题：

2minf(x)?4x?x?122122?x?25?0sg(x)?x?t211

0??x?g(x)120??x?g(x)23??????TTT000312x,x?13?4,x?为复合形的初始顶点，用复合形法进行试以213两次迭代计算。

[解] 1）计算初始复合形顶点的目标函数值，并判断各顶点是否为可行点：

??00??5x??f2111??00?f13x??422??00????xf3393300为最坏点。x为最好点，x经判断，各顶点均为可行点，其中，230x后的复合形的中心点：2）计算去掉最坏点

?00????xx?????????????ic32132L??????????1i?2?i1?x3.?1（取反233532.2??????????11

射系数3）计算反射点）

R2.540.552.5??????????1000?????)???(x1.3?x?xx??????????2cRc2213.3??????????11经

判断x为可行点，其目标函数值f??20.69RR0010，xx和xx，由）去掉最坏点构成新的复合形，在新的复合形中4R12310x为最好点，x为最坏点，进行新的一轮迭代。1R 5）计算新的复合形中，去掉最坏点后的中心点得：

30.551.775????????11????x?????????c33.33.152????????6）计算新一轮迭代的反射点得：

1.77521.48251.775??????????2110???)??1.3???x?(x?xx??????????1cRc3.155.9453.151 ??????????21经判断x为可行点，其目标函数值f??41.413，完成第二次迭代。RR ??T xx?x度的梯的适时约束点，并已的3．设已知在二维空间中点知该21????TT50?f?g???1?11.?，

目标函数的梯度，试用简化方法确定一个适用的可行方向。kkk计算适用的可行方向：)?f(xP?f(x)/Pd??按公式6-32 [解]

??Tkk1?0.?f(x)?5x点的目标函数梯度为：

k x Jn? J=1：点处起作用约束的梯度G 为一个阶的矩阵，题中：n=2，

??Tk1?(x1)???G?g1P为：梯度投影矩阵

??????????1?????TT???01?1?G??GP?I?GG1?1

1?50.0?1.5??101??

??????????50.0??0111.5???????????则：适用可行方向为：

0.5?0.5?0.50.5?0.5?0.5?0.707??????????k??d?

??????????707.10.5?0.5010.5?0.5??????????

4．已知约束优化问题：43)(22xx)?xminf(x)?(x?x?43121230?x?g?s?t

??Tk1/2?x1/40点的梯度投影方向。试求在kkk计算适用的可行方向：110?x?g?220?x?g?33

x)/P?f?d?P?f(x()按公式6-32 [解]

??Tkk1?1250.f?(x)?25?0.x点的目标函数梯度为：

k x J?n：，J=1 点处起作用约束的梯度G为一个阶的矩阵，题中：n=3

??Tk0?1??g(x0)?G1为：梯度投影矩阵

P1?0001?1100???????????????????????1?????TT0100000?1?1??0G?PI?G1G000G?

????????????????????10010000??????????则：适用可行方向为：

000?0.1250000?0.125????????????????????k0.25125.?2430.00?d?0100 ????????????????????11?100100?97.0??????????

5．用内点法求下列问题的最优解：221?x?2f(x)?xx?min121

t?x?0sg?3?212????))?rxln(g(x,r)?f(x，然后用解析法求解。）（提示：可构造惩罚函数u1u? [解] 构造内点惩罚函数：2???22?)x?rln(3??x?x?2x?x(x,r)?f()?r1ln(gx)2u2111?u x的极值等

于零：令惩罚函数对2?2x???d10????)3?x(2x??r)/(dx??221?x1得：

r?86?36x?246?36?8r?x舍去负根后，得24??T3为解最题该3?时，?0x，问的优rx?1。当2

6．用外点法求下列问题的最优解：

minf(x)?x?x212?x?g?x0ts?211g??x?012[解] 将上述问题按规定写成如下的数学模型：

subroutine ffx(n,x,fx)

dimension x(n)

fx=x(1)+x(2)

end

subroutine ggx(n,kg,x,gx)

dimension x(n),gx(kg)

gx(1)=x(1)*x(1)-x(2)

gx(2)=-x(1)

end

subroutine hhx(n,kh,x,hx)

domension x(n),hx(kh)

hx(1)=0.0

end

然后，利用惩罚函数法计算，即可得到如下的最优解：

============== PRIMARY DATA ==============

N= 2 KG= 2 KH= 0

X : .1000000E+01 .2000000E+01