《机械优化设计》习题及答案

机械优化设计习题及参考答案

1-1.简述优化设计问题数学模型的表达形式。

答：优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象。在明确设计变量、约束条件、目标函数之后，优化设计问题就可以表示成一般数学形式。求设计变量向量[]12T

n x x x x =使 ()min f x →

且满足约束条件

()0

(1,2,)k h x k l == ()0

(1,2,

)j g x j m ≤=

2-1.何谓函数的梯度？梯度对优化设计有何意义？

答：二元函数f(x 1,x 2)在x 0点处的方向导数的表达式可以改写成下面的形

式：⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂+∂∂=∂∂2cos 1cos 212cos 21cos 1θθθθxo x f x f xo x f xo x f xo d f 令xo T

x f x f x f x f

x f ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂∂∂=∇21]2

1[)0(， 则称它为函数f （x 1，x 2）在x 0点处的梯度。

（1）梯度方向是函数值变化最快方向，梯度模是函数变化率的最大值。 （2）梯度与切线方向d 垂直，从而推得梯度方向为等值面的法线方向。梯度)0(x f ∇方向为函数变化率最大方向，也就是最速上升方向。负梯度-)0(x f ∇方向为函数变化率最小方向，即最速下降方向。

2-2.求二元函数f （x 1，x 2）=2x 12+x 22-2x 1+x 2在T x ]0,0[0=处函数变化率最

大的方向和数值。

解：由于函数变化率最大的方向就是梯度的方向，这里用单位向量p 表示，函数变化率最大和数值时梯度的模)0(x f ∇。求f （x1，x2）在x0点处的梯度方向和数值，计算如下：

()⎥⎦⎤

⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂=∇120122214210x x x x f

x f x f 2

221)0(⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∇x f x f x f =5

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∇∇=5152512)0()0(x f x f p

2-3.试求目标函数()2

221212143,x x x x x x f +-=在点X 0=[1,0]T 处的最速下降

方向，并求沿着该方向移动一个单位长度后新点的目标函数值。 解：求目标函数的偏导数

212

21124,46x x x f x x x f +-=∂∂-=∂∂ 则函数在X 0=[1,0]T 处的最速下降方向是

⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂-=-∇=====462446)(0

121

210

121

02121x x x x

x x x x x f x f X f P 这个方向上的单位向量是：

13]2,3[4

)6(]4,6[T

22T -=+--==P P e 新点是

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

-

=

+

=

13

2

13

3

1

1e

X

X

新点的目标函数值

13

2

13

94

)

(1-

=

X

f

2-4.何谓凸集、凸函数、凸规划？（要求配图）

答：一个点集（或区域），如果连接其中任意两点x1、x2的线段都全部

包含在该集合，就称该点集为凸集，否则为非凸集。

函数f(x）为凸集定义域的函数，若对任何的01

α

≤≤及凸集域的任

意两点x1、x2，存在如下不等式：

称f（x）是定义在图集上的一个凸函数。

()()()

1212

11

f x x f x x

αααα

+-≤+-

⎡⎤

⎣⎦

对于约束优化问题

若()j=j f x g x 、（） 1,2,...,m 都是凸函数，则称此问题为凸规划。

3-1.简述一维搜索区间消去法原理。（要配图）

答：搜索区间（a ，b ）确定之后，采用区间逐步缩短搜索区间，从而找到极小点的数值近似解。假设搜索区间（a ，b ）任取两点a1，b1 ，a 1《b 1，并计算函数值f （a 1），f （b 1）。将有下列三种可能情形； 1）f （a 1）《f （b 1）由于函数为单谷，所以极小点必在区间（a ，b 1） 2）f （a 1）》f （b 1），同理，极小点应在区间（a 1，b ） 3）f （a 1）=f （b 1），这是极小点应在（a 1，b 1）

3-2.简述黄金分割法搜索过程及程序框图。

1()b b a αλ=-- 2()a b a αλ=+-

其中，λ为待定常数。

3-3.对函数ααα2)(2+=f ，当给定搜索区间55≤≤-α时，写出用黄金

分割法求极小点*α的前三次搜索过程。（要列表） 序号 a a 1 a 2 b Y 1

比较 Y 2

0 -5 -1.18 1.18 5 -0.9676 <

3.7524 1

-5

-2.639 -1.181 ？ 1.686

>

-0.967