机械优化设计PPT
合集下载
八章机械优化设计实例PPT课件
第22页/共25页
2）曲柄摇杆机构的传动角应在 和 之间，可得 min
max
g7
x
arccos
l2
2
l32 l1
2l2l3
l4
2
max
0
g8
x
min
arccos
l22
l32 l1
2l2l3
l4
2
0
二、曲柄摇杆机构再现已知运动轨迹的优化设计
所谓再现已知运动轨迹：是指机构的连杆曲线尽可能 地接近某一给定曲线。
第15页/共25页
不同的设计要求，目标函数不同。若减速器的中心距没有要求时，可取减速器 最大尺寸最小或重量最轻作为目标函数。
第16页/共25页
f x m min f x l r1 a r4 min
若中心距固定，可取其承载能力为目标函数。
f x 1/ min
减速器类型、结构形式不同，约束函数也不完全相同。 （1）边界约束
第14页/共25页
不同类型的减速器，选取的设计变量使不同的。
展开式圆柱齿轮减速器：齿轮齿数、模数、齿宽、 螺旋角及变位系数等。
行星齿轮减速器：除此之外，还可加行星轮个数。 设计变量应是独立参数，非独立参数不可列为设计 变量。例如齿轮齿数比为已知，一对齿轮传动中，只 能取Z1或Z2一个为设计变量。
又如中心距不可取为设计变量，因为齿轮齿数确定 后，中心距就随之确定了。
（2）性能约束
第17页/共25页
一、单级圆柱齿轮减速器的优化设计
第18页/共25页
第四节 平面连杆机构的优化设计 连杆机构的类型很多，这里只以曲柄摇杆机构两类 运动学设计为例来说明连杆机构优化设计的一般步骤 和方法。 一、曲柄摇杆机构再现已知运动规律的优化设计
2）曲柄摇杆机构的传动角应在 和 之间，可得 min
max
g7
x
arccos
l2
2
l32 l1
2l2l3
l4
2
max
0
g8
x
min
arccos
l22
l32 l1
2l2l3
l4
2
0
二、曲柄摇杆机构再现已知运动轨迹的优化设计
所谓再现已知运动轨迹：是指机构的连杆曲线尽可能 地接近某一给定曲线。
第15页/共25页
不同的设计要求，目标函数不同。若减速器的中心距没有要求时，可取减速器 最大尺寸最小或重量最轻作为目标函数。
第16页/共25页
f x m min f x l r1 a r4 min
若中心距固定，可取其承载能力为目标函数。
f x 1/ min
减速器类型、结构形式不同，约束函数也不完全相同。 （1）边界约束
第14页/共25页
不同类型的减速器，选取的设计变量使不同的。
展开式圆柱齿轮减速器：齿轮齿数、模数、齿宽、 螺旋角及变位系数等。
行星齿轮减速器：除此之外，还可加行星轮个数。 设计变量应是独立参数，非独立参数不可列为设计 变量。例如齿轮齿数比为已知，一对齿轮传动中，只 能取Z1或Z2一个为设计变量。
又如中心距不可取为设计变量，因为齿轮齿数确定 后，中心距就随之确定了。
（2）性能约束
第17页/共25页
一、单级圆柱齿轮减速器的优化设计
第18页/共25页
第四节 平面连杆机构的优化设计 连杆机构的类型很多，这里只以曲柄摇杆机构两类 运动学设计为例来说明连杆机构优化设计的一般步骤 和方法。 一、曲柄摇杆机构再现已知运动规律的优化设计
机械优化设计PPT课件
ⅱ)设计方案—由设计常量和设计变量组成。
ⅲ)维 数—设计变量的个数n.
通常,n ,设计自由度 , 越能获得理想的结果,但求解难度 .
n 10 小型问题 n 11 50 中型问题 n 50 大型问题
2019/8/16
14
2.设计空间
Rn(n 4) 为超越空间.
2019/8/16
15
三.目标函数和等值线
1.目标函数—数学模型中用来评价设计方案优劣的函
数式 (又称评价函数): f (X ) f (x1, x2,...xn ) ①常用指标: 最好的性能; 最小的重量; 最紧凑的外形;
最小的生产成本; 最大的经济效益等.
②单目标和多目标；
l1 l2 l3 l4 0
l1 l10 0
arccos (l2 l1)2 l42 l32 arccos (l2 l1)2 l42 l32 0
2(l2 l1)l4
2(l2 l1)l4
180
l12
l22
2l32 sin 2 ( l22 l12
2019/8/16
22
3.算法的收敛性和收敛准则
1)算法的收敛性
若由某迭代算法计算得到
有极限 lim X (k) X *,这里X *为精确解,则称该迭代算法是 k
收敛的.
2)算法的收敛速度
一般根据算法对正定二次函数的求解能力来判 断，能在有限步迭代中得到其极小点，称算法具有 二次收敛性。具有二次收敛性的算法是收敛速度较 高的方法。
1）二十世纪三十年代.前苏联 Канторович 根据生产组织和计划管理的需要提出线性规划问题. 在 第二次世界大战期间出于战争运输需要，提出线性规划 问题的解法；
ⅲ)维 数—设计变量的个数n.
通常,n ,设计自由度 , 越能获得理想的结果,但求解难度 .
n 10 小型问题 n 11 50 中型问题 n 50 大型问题
2019/8/16
14
2.设计空间
Rn(n 4) 为超越空间.
2019/8/16
15
三.目标函数和等值线
1.目标函数—数学模型中用来评价设计方案优劣的函
数式 (又称评价函数): f (X ) f (x1, x2,...xn ) ①常用指标: 最好的性能; 最小的重量; 最紧凑的外形;
最小的生产成本; 最大的经济效益等.
②单目标和多目标；
l1 l2 l3 l4 0
l1 l10 0
arccos (l2 l1)2 l42 l32 arccos (l2 l1)2 l42 l32 0
2(l2 l1)l4
2(l2 l1)l4
180
l12
l22
2l32 sin 2 ( l22 l12
2019/8/16
22
3.算法的收敛性和收敛准则
1)算法的收敛性
若由某迭代算法计算得到
有极限 lim X (k) X *,这里X *为精确解,则称该迭代算法是 k
收敛的.
2)算法的收敛速度
一般根据算法对正定二次函数的求解能力来判 断，能在有限步迭代中得到其极小点，称算法具有 二次收敛性。具有二次收敛性的算法是收敛速度较 高的方法。
1）二十世纪三十年代.前苏联 Канторович 根据生产组织和计划管理的需要提出线性规划问题. 在 第二次世界大战期间出于战争运输需要，提出线性规划 问题的解法；
机械优化设计方法ppt课件
目标函数的一般表示式为：
f (x) f (x1, x2,...xn )
23
优化设计的目的就是要求所选择的设计变
量使目标函数达到最佳值，即使 f (x) Opt
通常 f (x) min
单目标设计问题
目标函数
多目标设计问题
目前处理多目标设计问题的方法是组合成一个 复合的目标函数，如采用线性加权的形式，即
f (x) W1 f1(x) W2 f2 (x) ... Wq fq (x)
24
四、优化问题的数学模型
优化设计的数学模型是对优化设计问题的数 学抽象。 优化设计问题的一般数学表达式为：
min f (x) x Rn
s.t. gu (x) 0 u 1, 2,..., m
hv (x) 0 v 1, 2,..., p n
4
图1－3 机械优化设计过程框图
5
优化设计与传统设计相比，具有如下三个特点：
(1)设计的思想是最优设计； (2)设计的方法是优化方法； (3)设计的手段是计算机。
二、机械优化设计的发展概况
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ优化设计的应用领域 近几十年来，随着数学规划论和电子计算机的迅 速发展而产生的，它首先在结构设计、化学工程、 航空和造船等部门得到应用。
架的高h和钢管平均直径D，使钢管总质量m为最小。
11
图2-2 人字架的受力
12
人字架的优化设计问题归结为：
x D H T 使结构质量
mx min
但应满足强度约束条件 x y 稳定约束条件 x e
13
1
钢管所受的压力
F1
FL h
F(B2 h
25
f (x) f (x1, x2,...xn )
23
优化设计的目的就是要求所选择的设计变
量使目标函数达到最佳值，即使 f (x) Opt
通常 f (x) min
单目标设计问题
目标函数
多目标设计问题
目前处理多目标设计问题的方法是组合成一个 复合的目标函数，如采用线性加权的形式，即
f (x) W1 f1(x) W2 f2 (x) ... Wq fq (x)
24
四、优化问题的数学模型
优化设计的数学模型是对优化设计问题的数 学抽象。 优化设计问题的一般数学表达式为：
min f (x) x Rn
s.t. gu (x) 0 u 1, 2,..., m
hv (x) 0 v 1, 2,..., p n
4
图1－3 机械优化设计过程框图
5
优化设计与传统设计相比，具有如下三个特点：
(1)设计的思想是最优设计； (2)设计的方法是优化方法； (3)设计的手段是计算机。
二、机械优化设计的发展概况
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ优化设计的应用领域 近几十年来，随着数学规划论和电子计算机的迅 速发展而产生的，它首先在结构设计、化学工程、 航空和造船等部门得到应用。
架的高h和钢管平均直径D，使钢管总质量m为最小。
11
图2-2 人字架的受力
12
人字架的优化设计问题归结为：
x D H T 使结构质量
mx min
但应满足强度约束条件 x y 稳定约束条件 x e
13
1
钢管所受的压力
F1
FL h
F(B2 h
25
机械优化设计PPT
二、离散变量优化的主要方法及其特点、思路和步骤
表7-3 离散变量优化的主要方法及其特点和步骤
图7-8 两个目标函数的等值线和约束边界
三、协调曲线法
图7-9 协调曲线
四、分层序列法及宽容分层序列法
四、分层序列法及宽容分层序列法
采用分层序列法，在求解过程中可能会出现中断现象，使求解过程 无法继续进行下去。当求解到第k个目标函数的最优解是惟一时， 则再往后求第(k+1)，(k+2)，…，l个目标函数的解就完全没有意义 了。这时可供选用的设计方案只是这一个，而它仅仅是由第一个至 第k个目标函数通过分层序列求得的，没有把第k个以后的目标函数 考虑进去。尤其是当求得的第一个目标函数的最优解是唯一时，则 更失去了多目标优化的意义了。为此引入“宽容分层序列法”。这 种方法就是对各目标函数的最优值放宽要求，可以事先对各目标函 数的最优值取给定的宽容量，即ε1>0，ε2>0，…。这样，在求后一 个目标函数的最优值时，对前一目标函数不严格限制在最优解内， 而是在前一些目标函数最优值附近的某一范围内进行优化，因而避 免了计算过程的中断。
5.组合型算法终止准则
6.组合型算法的辅助功能
(1) 直线加速与二次曲线加速 当目标函数严重非线性时，即若
函数具有尖峰脊线，即存在“谷”时，则希望能沿着脊线方向进 行搜索，可迅速提高算法的寻优效率，该算法称为具有脊线加速 能力。 (2) 网格搜索法技术 将离散空间视为一网格空间，每个离散点 就是一个网格节点。 (3) 变量分解策略 将目标函数中的变量分成若干个子集合，若
离散复合形，重新进行调优搜索，直到前后两次离散复合形运算
的优化点重合，算法才最终结束。
6.组合型算法的辅助功能
图7-24 有脊线目标函数 寻优过程示意图
第一章 机械优化设计的基本问题PPT课件
10d D 0 或 10d0.62831805
n
n
该问题属于二维约束问题
12
1.1.3连杆机构优化设计
由图所示六杆机构。它是铰链四杆机构ABCD和带有 滑块5的摆杆6由连杆BE连接而成的。原动件AB逆时 针转动使从动件6绕P点往复摆动。机架AD水平置放， F点已选定。 要求： 当原动件AB转角φ0在180—300o范围内， 摆杆6处于LM位置不动， 即从动件摆杆产生间歇运动。
单价c与螺栓材料，直径d，长度l及加工状况有关。本组 螺栓取35号钢，长度l=50mm的六角头半精制螺栓，单 价见下表
直径d （mm)
单价c （元）
10 0.052
12 0.091
14 0.142
16 0.174
18 0.228
20 0.251
9
由表中数据初步画C=f(d)曲线，由下图线形回归法求得 方程：
表a，每小时生产零件利润量
零件种类
机器序号
1
2
3
4
1
5
6
4
3
2
5
4
5
4
3
6
7
2
8
表b，各机器生产零件速率
零件种类
机器序号
1
2
3
4
1
8
2
4
9
2
7
6
6
3
3
4
8
5
2
19
解：为获利润最大，需合理确定每台机器生产某种零件
若干，设xij表示第j台机器生产第i中零件的件数。
一个月内获总利润： W 5 x 1 16 x 1 24 x 1 33 x 1 45 x 2 14 x 2 25 x 2 34 x 24 6 x 3 17 x 3 22 x 3 38 x 34 且要满足以下约束条件： （1）数量需求限制
机械优化设计优化设计概述精品PPT课件
1模糊优化设计技术微分学和变分学的解析解法2面向产品创新设计的优化技术满足设计要求3广义优化设计技术满足经济性安全性和美观性等4产品全寿命周期的优化设计技术强度刚度运动学动力学和寿命面向产品的全系统设计全过程全寿命周期5cadcappcam集成系统中的优化技术结合cad有限元可靠性等6智能优化算法模拟退火遗传人工神经网络算法蚁群算法等7多学科综合优化涉及多领域复杂系统的多学科修复替代衰老损伤器官成为医学界的重点研究领域再生医学研究和应用成为治疗许多传统医学难以解决的重大疾病如白血病帕金森氏症的新希望
方法低效，一般只能获得一个可行的设计方案。
优化设计：借助计算机技术，应用一些精度较高的力 学的数值分析方法（如有限元法等）进行分析计算，并 从大量的可行设计方案中寻找到一种最优的设计方案。
能从“所有的”的可行方案中找出“最优的”的设计方案。
绪论
二、从传统设计到优化设计：
绪论
二、从传统设计到优化设计：
钢管的临界应力是 e
Fe A
2E(T 2 D2 ) 8(B2 h2 )
1
根据强度约束条件有 F (B2 h2 )2 TDh
y
1
根据稳定约束条件有 F (B2 h2 )2 TDh
2E(T 2 D2 ) 8(B2 h2 )
第一章 优化设计概述
第一节 人字架的优化设计
解析法：
人字架总质量
第一章 优化设计概述
第三节 优化设计问题的数学模型
设计变量：
在设计过程中进行选择并最终必须确定的各项独立参数，
称为设计变量。
设计变量向量：
x [x1x2 xn ]T
设计常量：参数中凡是可以根据设计要求事先给定的，称为设计常量 。 设计变量：需要在设计过程中优选的参数，称为设计变量。
方法低效，一般只能获得一个可行的设计方案。
优化设计：借助计算机技术，应用一些精度较高的力 学的数值分析方法（如有限元法等）进行分析计算，并 从大量的可行设计方案中寻找到一种最优的设计方案。
能从“所有的”的可行方案中找出“最优的”的设计方案。
绪论
二、从传统设计到优化设计：
绪论
二、从传统设计到优化设计：
钢管的临界应力是 e
Fe A
2E(T 2 D2 ) 8(B2 h2 )
1
根据强度约束条件有 F (B2 h2 )2 TDh
y
1
根据稳定约束条件有 F (B2 h2 )2 TDh
2E(T 2 D2 ) 8(B2 h2 )
第一章 优化设计概述
第一节 人字架的优化设计
解析法：
人字架总质量
第一章 优化设计概述
第三节 优化设计问题的数学模型
设计变量：
在设计过程中进行选择并最终必须确定的各项独立参数，
称为设计变量。
设计变量向量：
x [x1x2 xn ]T
设计常量：参数中凡是可以根据设计要求事先给定的，称为设计常量 。 设计变量：需要在设计过程中优选的参数，称为设计变量。
机械优化设计的基本概念和数学模型PPT课件
.
大齿轮强度要求 小齿轮强度要求 接触疲劳强度要求 齿宽系数要求 最小齿数要求
11
综上所述，这些问题的共同点都是：
在满足设计要求和条件的情况下，使目标的参数达 到最优，即最优参数。
一个优化设计问题应包括： 合理选择一组独立的参数——设计变量； 有一个或几个需要满足最佳的设计目标，它是设 计变量的函数——目标函数； 所取设计变量必须满足一定的限制条件—约束条件。
（2）根据要解决设计问题的特殊性来选择设计变量。
例如，圆柱螺旋拉压弹簧的设计变量有4个，即钢
丝直径d，弹簧中径D，工作圈数n和自由高度H。在设
计中，将材料的许用剪切应力和剪切模量Ｇ等作为设
计常量。在给定径向空间内设计弹簧，则可把弹簧中
径D作为设计常量。
.
17
（3）设计变量应该是独立的；
（4）用设计变量来阐述设计问题应该是用 最少的数量；
小型设计问题：一般含有2—10个设计变量；
中型设计问题：10—50个设计变量；
大型设计问题：50个以上的设计变量。
目前已能解决200个设计变量的大型最优化设计问
题。
.
16
如何选定设计变量？
确定设计变量时应注意以下几点：
（1）抓主要，舍次要。 对产品性能和结构影响大的参数可取为设计变量，
影响小的可先根据经验取为试探性的常量，有的甚至 可以不考虑。
.
3
实例1、箱盒的优化设计（续）
分析：
（1）箱盒的表面积的表达式；
（2）设计参数确定：长x1，宽x2，高x3 ； （3）设计约束条件：
（a）体积要求； （b）长度要求；
x2 x1
x3
.
4
数学模型
设计参数： x1, x2, x3
大齿轮强度要求 小齿轮强度要求 接触疲劳强度要求 齿宽系数要求 最小齿数要求
11
综上所述，这些问题的共同点都是：
在满足设计要求和条件的情况下，使目标的参数达 到最优，即最优参数。
一个优化设计问题应包括： 合理选择一组独立的参数——设计变量； 有一个或几个需要满足最佳的设计目标，它是设 计变量的函数——目标函数； 所取设计变量必须满足一定的限制条件—约束条件。
（2）根据要解决设计问题的特殊性来选择设计变量。
例如，圆柱螺旋拉压弹簧的设计变量有4个，即钢
丝直径d，弹簧中径D，工作圈数n和自由高度H。在设
计中，将材料的许用剪切应力和剪切模量Ｇ等作为设
计常量。在给定径向空间内设计弹簧，则可把弹簧中
径D作为设计常量。
.
17
（3）设计变量应该是独立的；
（4）用设计变量来阐述设计问题应该是用 最少的数量；
小型设计问题：一般含有2—10个设计变量；
中型设计问题：10—50个设计变量；
大型设计问题：50个以上的设计变量。
目前已能解决200个设计变量的大型最优化设计问
题。
.
16
如何选定设计变量？
确定设计变量时应注意以下几点：
（1）抓主要，舍次要。 对产品性能和结构影响大的参数可取为设计变量，
影响小的可先根据经验取为试探性的常量，有的甚至 可以不考虑。
.
3
实例1、箱盒的优化设计（续）
分析：
（1）箱盒的表面积的表达式；
（2）设计参数确定：长x1，宽x2，高x3 ； （3）设计约束条件：
（a）体积要求； （b）长度要求；
x2 x1
x3
.
4
数学模型
设计参数： x1, x2, x3
机械优化设计NO.ppt
4、作图求出问题的最优解
问题的实质：在可行域内，求使目标函数值为最小
的点及该点的函数值
X
f
(
X
)
最优解：Xf
[x1 , x2 ]T f (X )
T
[1.4142,1.4142] 0.6863
24
x2
f (X ) (x1 2)2 (x2 2)2 ( Ci )2
（如: P13飞剪机剪切
f1(X ) f2 (X )
f1 (x1, f 2 (x1,
x2 x2
xn ) xn )
机构的优化问题）
f q ( X ) f q (x1, x2 xn )
q
f (X ) f j (X ) q _ 追求的目标数目
j 1
q
f (X ) j f j (X ) j 1
g1( X ) 0 X (2)
X (4)
X (3)
D
g4(X) 0
h1 ( X ) 0
g3(X ) 0
x1
边界点：X (2)
例：一个二维问题的可行域
13
五、目标函数的等值线（面）
等值线（面）： 具有相同目标函数值的点集在设计空
间形成的曲线和曲面
F(x)
① 一维问题(n =1)：
目标函数是一维函
3
hv (X ) 0
2
x
2
X
1
g1(X ) x1 0
D
g3 ( X ) x12 x22 4 0
g2 (X ) x2 0
O
1
x1
2
问题的实质：在可行域内，求使目标函数值为最小
的点及该点的函数值
X
f
(
X
)
最优解：Xf
[x1 , x2 ]T f (X )
T
[1.4142,1.4142] 0.6863
24
x2
f (X ) (x1 2)2 (x2 2)2 ( Ci )2
（如: P13飞剪机剪切
f1(X ) f2 (X )
f1 (x1, f 2 (x1,
x2 x2
xn ) xn )
机构的优化问题）
f q ( X ) f q (x1, x2 xn )
q
f (X ) f j (X ) q _ 追求的目标数目
j 1
q
f (X ) j f j (X ) j 1
g1( X ) 0 X (2)
X (4)
X (3)
D
g4(X) 0
h1 ( X ) 0
g3(X ) 0
x1
边界点：X (2)
例：一个二维问题的可行域
13
五、目标函数的等值线（面）
等值线（面）： 具有相同目标函数值的点集在设计空
间形成的曲线和曲面
F(x)
① 一维问题(n =1)：
目标函数是一维函
3
hv (X ) 0
2
x
2
X
1
g1(X ) x1 0
D
g3 ( X ) x12 x22 4 0
g2 (X ) x2 0
O
1
x1
2
机械优化设计概述(PPT共 95张)
求：在钢管压应力 不超过
和失稳临界应力
e
y
条件下，
使质量m最小的高度h和直径D？
第一章 优化设计概述
1.1 最优化问题示例 例1-1 人字架的优化设计
解：（1）钢管满足的强度与稳定条件
钢管所受压力
2 FL F (B h ) F 1 h h 1 2 2
2 EI 压杆临界失稳的临界力 Fe L2
A 2 T D2 8
第一章 优化设计概述
1.1 最优化问题示例 例1-1 人字架的优化设计 强度约束条件： y 稳定约束条件： e
F B h TDh
2
1 2 2
y
FB h
2
1 2 2
T D h
2 2ET2 D 2 2 8B h
使传统机械设计中，求解可行解上升为求解最优解成为 使传统机械设计中，性能指标的校核可以不再进行；
使机械设计的部分评价，由定性改定量成为可能；
使零缺陷（废品）设计成为可能；
大大提高了产品的设计质量，从而提高了产品的质量；
大大提高了生产效率，降低了产品开发周期。
绪论
2 机械的设计方法 实际案例：
2 r i arccos i
2 2 r l l 2 l l i 1 4 1 4cos i
2
2
第一章 优化设计概述
1.1 最优化问题示例 例1-3 平面连杆机构的优化 解：（2）约束条件
g 1 l1 l 2 0 g 2 l1 l 3 0 g 3 l1 l 4 l 2 l 3 0 g 4 l1 l 2 l 3 l 4 0 g 5 l1 l 3 l 2 l 4 0 l 22 l 32 l 1 l 4 2 g 6 arccos 2 l2l3 max 0
机械优化设计经典实例PPT课件
x1
x2 x1
3/ 2
0
g3 (X ) 3 l 3 x3 0
g4 (X ) d x2 0
g5 ( X ) D d x1 x2 0
设计实例2: 平面连杆机构优化设计
一曲柄摇杆机构， M为连秆BC上一点， mm为预期的运动 轨迹，要求设计该 曲柄摇杆机构的有 关参数，使连杆上 点M在曲柄转动一 周中，其运动轨迹 (即连杆曲线)MM 最佳地逼近预期轨 迹mm。
6.12(x12 x22 )x3 106
设计实例1:
g1 ( X ) d 4 D 4 1.27 D 10 5 x2 4 x14 1.27 10 5 0
g2 ()
154.34D D4 d 4
Dd D
3/ 2
154.34x1 x14 x2 4
设计实例2:
设计一再现预期轨迹mm的曲柄摇杆机构。已知xA＝ 67mm，yA＝10mm，等分数s＝12，对应的轨迹mm 上12个点的坐标值见表，许用传动角[γ]＝300。
设计实例2:
一、建立优化设计的数学模型
点M的坐标: xM xA l1 cos( ) l5 cos( ) yM yA l1 sin( ) l5 sin( )
( ) arccosl12 l22 l32 l42 2l1l4 cos
2l2 l12 l42 2l1l4 cos arctg l1 sin
l4 l1 cos
设计实例2:
点M的坐标: xM xA l1 cos( ) l5 cos( ) yM yA l1 sin( ) l5 sin( )
机械优化设计NO.5.ppt
凸函数的基本性质
⑴、设f(X)为定义在D上的凸函数，λ为任意正
实数，则λf(X)也是凸集D上的凸函数
⑵、若函数 f1( X )和 f2 ( X )为凸集D上的两个凸
函数，则对任意正实数a和b，函数
f ( X ) af1( X ) bf2 ( X )仍为D集上的凸函数
⑶、若f(X)为凸集D上的凸函数,则f(X)在D上的 一个极小点也就是在D上的“全域最小点”
总返回
思考题：
1、何谓凸集、凸函数、凸规划? 2、如何判断函数的凸性？ 3、写出第三章内容之间的相互联系以及在求优中
的意义。
预 习： 4 一维优化方法
4.1 概 述 4.2 初始搜索区间的确定 4.3 黄金分割法
Φ(X)
a X(1) X
X(2) b
X
f(X) ≤ Φ(X)
f(X)
f(X)
Φ (X)
0a
b
cX
定义：设f (X) 为定义在Rn 中凸集D上的函数，X (1) 和 X (2)
为D上任意两点，若对于任意实数 [0，1]，恒
有： f(X) ≤ Φ(X) ，即： f (X (1) (1 ) X (2) ) ≤ f ( X (1) ) (1 ) f ( X (2) )成立，则称 f(X)为 定义在凸集D上的一个凸函数
f xi
(
X
(k
)
)
2
2
二、函数的二阶导数矩阵(Hesse矩阵)
H
(
X
)
2
f
(
X
)
简写为：
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.梯度投影法
约束面上的梯度投影方向
四、步长的确定
1.取最优步长
2. αk取到约束边界的最大步长
1.取最优步长
2. αk取到约束边界的最大步长
1) 取一试验步长αt，计算试验点xt。
2) 判别试验点xt的位置。 3) 将位于非可行域的试验点xt，调整到约束面上。
2. αk取到约束边界的最大步长
3.计算步骤
三、 不等式约束的增广乘子法
三、 不等式约束的增广乘子法
三、 不等式约束的增广乘子法
图6-36 增广乘子法框图
第七节 非线性规划问题的线性化解法——线性逼近法
一、 序列线性规划法
二、割平面法 三、小步梯度法 四、非线性规划法
一、 序列线性规划法
6-37
二、割平面法
三、小步梯度法
1) 由设计者决定k个可行点，构成初始复合形。 2) 由设计者选定一个可行点，其余的(k-1)个可行点用随机法产生。 3) 由计算机自动生成初始复合形的全部顶点。
二、复合形法的搜索方法
1.反射 2.扩张 3.收缩 4.压缩
1.反射
1) 2) 3) 4) 计算复合形各顶点的目标函数值，并比较其大小，求出最好点L、最坏 点H及次坏点G 计算除去最坏点H外的(k-1)个顶点的中心C 从统计的观点来看，一般情况下，最坏点H和中心点C的连线方向为目标
四、非线性规划法
第八节 广义简约梯度法
一、 简约梯度法
一、 简约梯度法
二、 广义简约梯度法
二、 广义简约梯度法
三、 不等式约束函数的处理和换基问题
1.不等式约束函数的处理方法
2.基变量的选择和换基问题
1.不等式约束函数的处理方法
2.基变量的选择和换基问题
第九节 二次规划法
第十节 结构优化方法简述
图6-38 悬臂梁的最优截面形状 a)x=0mm b)x=50mm c)x=100mm d)x=150mm
图6-39 最优形状悬臂梁的 有限元网格状态
2.布局优化设计示例
图6-40 优化目标函数值随迭代次数变化曲线
2.布局优化设计示例
图6-41 优化结果与30HQ-1标准型线
2.布局优化设计示例
3) 简接方法——先把约束问题转化为无约束问题，再采用无约束
优化方法求解。
五、小结
① 降维方法——利用m个约束条件提供的方程组消去n个变量中
的m个，从而把n维优化问题转化为(n-m)个约束变量的降维无约 束优化问题。然后对此(n-m)维的无约束优化问题求解。简约梯度 法就是用梯度法求解线性等式约束优化问题的一种方法；而广义 简约梯度法(GRG)是用梯度法求解非线性等式约束和侧面约束的 非线性规划问题的一种方法。它们可以称为“约束变量的无约束 优化方法”。
五、小结
② 升维方法——对约束函数进行加权处理，使约束优化问题转化
为增广的无约束优化问题。由于引入了未知的加权因子，所以这 个新生成的增广无约束优化问题的变量数目增加了。因此，我们 称它们为“升维方法”。这类方法的基础是古典的拉格朗日乘子 法(约束函数是等式时的极值条件)和K-T条件(约束函数是不等式 的极值条件)。属于这类方法的有：SUMT法，乘子类方法，二次 规划迭代法以及优化准则法等。
2. 惩罚因子初值r0的选取
1) 取r0=1，根据试算的结果，再决定增加或减小r0的值。 2) 按经验公式
3. 惩罚因子的缩减系数c的选取
4. 收敛条件
1) 选取可行的初始点x0，惩罚因子的初值r0，缩减系数c以及收敛精度ε1、ε2。 2) 构造惩罚函数ϕ(x， r)，选择适当的无约束优化方法，求函数ϕ(x， r)的 无约束极值，得x∗(rk)点。 3) 用式(6-53)及式(6-54)判别迭代是否收敛，若满足收敛条件，迭代终止。
第二节 随机方向法
图6-4 随机方向法的算法原理
一、随机数的产生
二、初始点的选择
三、可行搜索方向的产生
四、搜索步长的确定
五、随机方向法的计算步骤
6) 若收敛条件
图6-5
第三节 复 合 形 法
一、初始复合形的形成
二、复合形法的搜索方法 三、复合形法的计算步骤
第三节 复 合 形 法
一、初始复合形的形成
1) 在没有其他信息的情况下，初始乘子向量取零向量，即λ0=0，显然，这时 增广乘子函数和外点惩罚函数的形式相同。 2) 惩罚因子的初值r0可按外点法选取。 3) 设计变量的初值x0也按外点法选取，以后的迭代初始点都取上次迭代的无 约束极值点，以提高计算效率。
2.参数选择
表6-3 乘子类方法的乘子迭代公式
图6-26 用试探法调整试验步长的框图
五、 收敛条件
2) 设计点xk满足库恩-塔克条件
六、 可行方向法的计算步骤
1) 在可行域内选择一个初始点x0，给出约束允差δ及收敛精度值ε。
2) 令迭代次数k=0，第一次迭代的搜索方向取d0=－▽ f(x0)。 3) 估算试验步长αt，按式(6-38)计算试验点xt。 4) 若试验点xt满足－ δ≤gj(xt)≤0，xt点必位于第j个约束面上，则转步 骤6)；若试验点xt位于可行域内，则加大试验步长αt，重新计算新的 试验点，直至xt越出可出域，再转步骤5)；若试验点位于非可行域， 则直接转步骤5)。
述
图6-2 间接解法框图
第二节 随机方向法
一、随机数的产生
二、初始点的选择 三、可行搜索方向的产生 五、随机方向法的计算步骤
第二节 随机方向法
随机方向法是一种原理简单的直接解法。它的基本思路是在可行域内选择一 个初始点，利用随机数的概率特性，产生若干个随机方向，并从中选择一个能使 目标函数值下降最快的随机方向作为可行搜索方向，记作d。从初始点x0出发， 沿d方向以一定的步长进行搜索，得到新点x，新点x应满足约束条件：gj(x)≤0(j=1， 2，…，m)，且f(x)＜f(x0)，至此完成一次迭代。然后，将起始点移至x，即令 x0←x。重复以上过程，经过若干次迭代计算后，最终取得约束最优解。 随机方向法的优点是对目标函数的性态无特殊要求，程序设计简单，使用方便。 由于可行搜索方向是从许多随机方向中选择的使目标函数下降最快的方向，加之 步长还可以灵活变动，所以此算法的收敛速度比较快。若能取得一个较好的初始 点，迭代次数可以大大减少。它是求解小型的机械优化设计问题的一种十分有效 的算法。
6-18 沿非线性约束面的搜索
二、产生可行方向的条件
1.可行条件 2.下降条件
1.可行条件
图6-19 方向的可行条件 a) 一个起作用的约束 b) 两个起作用的约束
2.下降条件
图6-20 方向的下降条件
图6-21
可行下降方向区
三、可行方向的产生方法
1.优选方向法 2.梯度投影法
1.优选方向法
图6-1 直接解法的搜索路线
第一节 概
间接解法是目前在机械优化设计中得到 广泛应用的一种有效方法。其特点是： 1) 由于无约束优化方法的研究日趋 成熟，已经研究出不少有效的无约束最 优化方法和程序，使得间接解法有了可 靠的基础。目前，这类算法的计算效率 和数值计算的稳定性也都有较大的提高。 2) 可以有效地处理具有等式约束的 约束优化问题。 3) 间接解法存在的主要问题是，选 取加权因子较为困难。加权因子选取不 当，不但影响收敛速度和计算精度，甚 至会导致计算失败。
机械优化设计
主编 孙靖民
第六章
第六章
第一节 概
述
第二节 随机方向法 第三节 复 合 形 法 第四节 可行方向法
第一节 概
述
求解式(6-1)的方法称为约束优化方法。根据求解方式的不同，可分为直接解法，间接 解法等。
第一节 概述ຫໍສະໝຸດ 1) 由于整个求解过程在可行域内进 行，因此，迭代计算不论何时终止，都 可以获得一个比初始点好的设计点。 2) 若目标函数为凸函数，可行域为 凸集，则可保证获得全域最优解。否则， 因存在多个局部最优解，当选择的初始 点不相同时，可能搜索到不同的局部最 优解。为此，常在可行域内选择几个差 别较大的初始点分别进行计算，以便从 求得的多个局部最优解中选择更好的最 优解。 3) 要求可行域为有界的非空集，即 在有界可行域内存在满足全部约束条件 的点，且目标函数有定义。
函数下降的方向
判别反射点R的位置
2.扩张
3.收缩
4.压缩
三、复合形法的计算步骤
1) 选择复合形的顶点数k，一般取n+1≤k≤2n，在可行域内构成具有k个顶点 的初始复合形。 2) 计算复合形各顶点的目标函数值，比较其大小，找出最好点L、最坏点H 及次坏点G。 3) 计算除去最坏点H以外的(k-1)个顶点的中心C。 4) 按式(6-17)计算反射点R，必要时，改变反射系数α的值，直至反射成功， 即满足式(6-18)。 5) 若收敛条件
图6-42 固支板的初始均匀布肋
2.布局优化设计示例
图6-43 固支板的最优布肋
五、小结
1) xk+1=xk+αkdk(搜索格式)
2) xk+1=xk+Δxk(替换格式) 3) xk+1=ckxk(收敛格式) 1) 直接方法——以约束条件为界面，形成一个解的可行域，在可 行域范围内直接采用无约束优化方法求解。 2) 线性逼近法——把非线性函数在现行点线性化，采用较成熟的 线性规划方法，如修正单纯形法求解。
五、小结
表6-4 数学模型与数学规划法类别对应表
第十一节 遗传算法简述
近年来，发展了一种模拟生物进化的优化方法，称为“遗传算法(Genetic Algorithm,GA)”。它是在1975年由美国教授J.Holland提出的一种人工智能方法。它是在计 算机上按生物进化过程进行模拟的一种搜索寻优算法。 我们在介绍随机方法时，提到了可以通过计算机产生一个随机数列作为一个可行的初 始方向(一个向量)。然后按一定条件在搜索空间内对函数进行寻优。类似地，按照遗传算 法的思路，它是把函数的搜索空间看成是一个映射的遗传空间，而把在此空间进行寻优搜 索的可行解看成是一个向量染色体(个体)组成的集合(群体)。染色体(chromosome)是由基 因(gene)(或称元素)组成的向量。 运算过程就是调整字符串的编码。每一次字符串的调整就是一次基因的调整，也是一 次染色体所代表的可行解的调整和转换。通过这样的调整，则前后两个字符串就相互交叉 组合而构成两个新的染色体。 上述的染色体基因的调整变换或基因重组过程称为“杂交或交叉”过程。这一步称为“变 异”。变异是一个基因重组过程。 这样来说，可以把对不同的染色体群体进行最佳选择的匹配。选择匹配的目的是为了 获得最佳的最优搜索效果，即获得能使目标函数达到最佳值的染色体群体(最佳可行解)。