8.6空间向量及其应用36

第六节 空间向量及其应用

考纲解读

1.空间向量及其运算.

（1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；

（2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；

（3）掌握空间向量的数量积及其表示，能用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 2.空间向量的应用.

（1）理解直线的方向向量与平面的法向量；

（2）能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系； （3）能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理；

（4）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的应用. 命题趋势探究

立体几何试题中，证明线面、面面的位置关系一般利用传统方法（非向量法）证明，对于空间角和距离的计算，既可用传统方法解答，也可以用向量法解答，而且多数情况下向量法会更容易一些. 知识点精讲

一、空间向量及其加减运算

1.空间向量

在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量a 也可以记作AB ，其模记为a 或AB .

2.零向量与单位向量

规定长度为0的向量叫做零向量，记作0.当有向线段的起点A 与终点B 重合时，

0AB =.

模为1的向量称为单位向量. 3.相等向量与相反向量

方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量.

与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为a -. 4.空间向量的加法和减法运算

（1）OC OA OB a b =+=+，BA OA OB a b =-=-.如图8-152所示.

（2）空间向量的加法运算满足交换律及结合律 a b b a +=+，()()

a b c a b c ++=++ 二、空间向量的数乘运算

1．数乘运算

实数λ与空间向量a 的乘积a λ称为向量的数乘运算.当0λ>时，a λ与向量a 方向相同；当0λ<时，向量a λ与向量a 方向相反. a λ的长度是a 的长度的

λ倍.

2.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律

()a b a b λλλ+=+，()

()a a λμλμ=.

3.共线向量与平行向量

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作//a b .

4.共线向量定理

对空间中任意两个向量a ，b ()

0b ≠，//a b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=. 5.直线的方向向量

如图8-153所示，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线.对空间任意一点

O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使OP OA ta =+①，其中向量a 叫做直线l

的方向向量，在l 上取AB a =，则式①可化为

()

()1OP OA t AB OA t OB OA t OA tOB =+=+-=-+②

①和②都称为空间直线的向量表达式，当1

2

t =

，即点P 是线段AB 的中点时，()

1

2

OP OA OB =

+，此式叫做线段AB 的中点公式. 6.共面向量

如图8-154所示，已知平面α与向量a ，作OA a =，如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，则说明向量a 平行于平面α.平行于同一平面的向量，叫做共面向量.

A

a

a

α

图 8-154

O

7.共面向量定理

如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(),x y ，使p xa yb =+.

推论：（1）空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对(),x y ，使

AP xAB y AC =+；或对空间任意一点O ，有OP OA x AB y AC -=+，该式称为空间平

面ABC 的向量表达式.

（2）已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，满足向量关系式

OP xOA yOB zOC =++（其中1x y z ++=）的点P 与点A ，B ，C 共面；反之也成立.

三、空间向量的数量积运算

1.两向量夹角

已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA a =，OB b =，则AOB ∠叫做向量a ，b 的夹角，记作,a b ，通常规定0,a b π≤≤，如果,2

a b π=

，那么向量a ，

b 互相垂直，记作a b ⊥.

2.数量积定义

已知两个非零向量a ，b ，则cos ,a b a b 叫做a ，b 的数量积，记作a b ⋅，即

cos ,a b a b a b ⋅=.零向量与任何向量的数量积为0，特别地，2

a a a ⋅=.

3.空间向量的数量积满足的运算律： ()()a b a b λλ⋅=⋅，a b b a ⋅=⋅（交换律）

； ()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）. 四、空间向量的坐标运算及应用

（1）设()123,,a a a a =，()123,,b b b b =，则()112233,,a b a b a b a b +=+++；

()112233,,a b a b a b a b -=---；

()123,,a a a a λλλλ=； 112233a b a b a b a b ⋅=++；

()

112233//0,,a b b a b a b a b λλλ≠⇒===； 1122330a b a b a b a b ⊥⇒++=.