安徽专版2019春下册7年级数学沪科版【学案】 垂线定义及其基本事实
沪科版七年级下册1相交线(第2课时垂线)
（2）点在直线外
A
l
A
l
探究2：已知一点A和直线l，经过点A画 l 的垂线
工具：用三角尺画垂线
活
动
与
操
作
(1)如图，已知直线 L 和L上的一点A ,作L的垂线.
问题：
这样画L的垂线可
以画几条？
1 条
则所画直线AB是过点
A的直线L的垂线.
B
A
l
1靠（线）:把三角板的一直角边靠在直线上;
2过（点）:三角板的另一条直角边过已知点;
垂直
相交的特殊情况
视
b
b
察
b
与
思
）α
a考
对顶角：相等
一般情况
两
条
直
线
相
交
C
A
斜交
O
B
D
邻补角：互补
当∠AOC ≠90°时,AB与CD不垂直，叫斜交.
C
垂直
特殊情况
当∠AOC＝90°时，
直线AB与CD垂直
A
O
D
B
视
察
与
思
考
垂线定义
A
┓
当两条直线相交所成的四个角中，
如果有一个角是直角时，我们就说这两
（1）过点P分别画直线m、n的垂线
n
n
P
P
┓
┓
m
O
m
（1）
（2）
（2）过点P画直线m的垂线、过点O画直线n的垂线
讲
授
与
总
结
1、 两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判
定两条直线垂直的是( C )
（A） 有两个角相等
沪科版七年级下册数学第10章 相交线、平行线与平移 垂线定义及其基本事实
总结
知2－讲
过已知点画已知直线的垂线，实际上就是过 已知点画一条直线，使所画直线与已知直线相交 所成的角是90°.
1 如图，∠BAC为钝角． (1)过点C画AB的垂线； (2)过点A画BC的垂线； (3)过点B画AC的垂线．
知2－练
知2－练
2 下列选项中，过点P画AB的垂线CD，三角板放法 正确的是( )
知1－讲
解：因为OE⊥CD，所以∠DOE＝90°(垂直的定义)． 因为∠BOE＝50°， 所以∠AOC＝∠BOD＝∠DOE－∠BOE ＝90°－50°＝40°. 因为OD平分∠BOF， 所以∠BOF＝2∠BOD＝80°. 所以∠EOF＝∠BOF＋∠BOE＝80°＋50°＝130°， ∠AOF＝∠AOB－∠BOF＝180°－80°＝100°.
1.必做:完成教材P120练习T1-T2， 完成教材P121习题10.1T3 2.补充:
总结
知1－讲
(1)本题解题思路可概括为“顺藤摸瓜”，即由已知条
件
OE⊥CD入手，根据对顶角、补角、角平分线的有
关知识，逐步深入求得各角的度数．
(2)已知两条直线垂直或已知一条直线的垂线时，能直
接得到90°的角，因此利用这个条件，并与角平分
线、余角、补角、对顶角等知识相结合，可求出图
中其他未知各角的度数．
知1－讲
总结
知1－讲
判断两直线(线段、射线所在直线)互相垂直， 主要依据是垂直定义，只要说明两条相交直线 所成的四个角中有一个角是直角即可．
知1－练
1 下列语句中，正确的有( )
①一条直线的垂线只有一条；②若两条直线相交
所成的四个角相等，则这两条直线互相垂直；
③两条直线相交，则交点叫垂足；④互相垂直的
沪科版七年级下10.1相交线垂线教学设计
10.1 订交线 ---垂线（第 2 课时）教课目的：知识与技术：理解垂线的观点知道过一点有且只有一条直线与已知直线垂直会用三角尺过一点画一条直线的垂线过程与方法：经过画、折等直观感知和操作确认等实践活动，初步体验变换思想，成立符号感，培育语言概括和表达的能力。
感情态度与价值观：学生在充足经历察看、操作、推理、考证、沟通等活动中，获取成功的体验，调换主动学习的踊跃性，感觉数学学习的乐趣。
在操作活动中，培育学生的合作精神、探究精神，在独立思虑的同时能够认可别人。
教课重、难点：要点：经过着手画垂直的两条直线，探究相关垂线的一些性质。
难点：过直线上（外）的一点作已知直线的垂线问题与情境师生互动设计说明一、回首旧知，导入新课（1）上节课我们已经学习了订交线，那么在两条直线订交形成的四个角中，依据它们的地点关系的不一样，有哪两类特别的角？（2）它们之间有如何的数目关系？（3）此刻，我们将两条订交的直线中的一条，绕其交点旋转定格在一个角为直角的时辰，此时这两条订交的直线------- 垂直学生察看角的大小变化。
从上节课的学教师演示教具，习内容出发，领会指引学生领会垂直垂直是订交的一种是订交的一种特别特别状况，激发学状况。
生的学习兴趣，引出本节课课题二、合作沟通，探究新给出垂直，垂线，教师指引学生思垂足，等观点，同考，联系前方所学时向学生明确垂直的邻补角，对顶角的记法。
的数目关系知（1）什么是两条直线相互垂直呢？教师指引学生得出垂直的观点：1.两条直线订交所成的四个角中，假如有一个角是直角时，我们就说这两条直线相互垂直。
此中一条直线叫做另一条直线的垂线2.直线 AB 垂直于直线CD，记作“AB ⊥CD”。
3.交点 O 叫做垂足教师板书 :得出∠AOD=∠AOD=∠AOD=∠AOD=90 °教师指引学生规范符号语言的表达从地点关系到数目关系，再从数目关系到地点关系，让学生领会数形联合的数学思想。
∵∠ AOD=90 °学生举例讲话∴A B ⊥CD反之，∵ AB ⊥CD∴∠ AOD=90 °其余三个角的度数是多少呢？（3）举出生活中垂直的实例学生思虑、探讨、沟通并着手操作，请一名同学上台演示，老师巡视指导。
沪科版数学七年级下册10.1.2垂线教案
七年级数学集体备课教案课题§10.1.2垂直主备人复备人教学目标1.知识与技能使学生理解垂线的概念及表示，使学生会用三角尺或量角器画垂线，逐步训练学生正确使用符号、几何语言。
2.过程与方法在实际演示中，让学生自行探索发现，提高学生的观察能力，语言表达能力。
3.情感态度与价值观通过创设情境，利用変式训练来激发学生的学习兴趣。
教学重难点1.重点：理解垂线的概念，会作垂线。
2.难点：垂线的画法。
教学过程一、复习引入如图：∠AOC的对顶角是哪几个角，这两个角的大小有什么关系？二、新知探究如上图，若将直线CD绕着点0旋转使得∠AOC=90°，则∠AOD和∠DOB、∠BOC各等于多少度？为什么？这种位置关系有几种？直线AB和直线CD的位置关系怎样？当两条直线相交所形成的四个角中，如果有一个角是直角，那就说明这两条直线垂直，记作“AB⊥CD”,读作AB垂直于CD，其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，他们的交点O叫做垂足。
练习1：如图AO⊥OB,若∠AOC=50°，则∠BOC的度数是______.练习2：如图，直线AB,CD与点O,下列条件：①∠AOD=90°;②∠AOC=∠BOC；∠AOC=∠BOD,能证明AB⊥CD的有__________.那我们如何画垂线呢？阅读书本P118页的操作（教师演示）除了用三角尺和折纸法画垂线，还有别的方法吗？用量角器法：将量角器的零度刻度线与已知直线重合，使得90°的刻度线经过已知点，画线即可。
练习：全品p50页例1总结：画垂线的方法：（1）用三角尺：用三角尺的两直角边画垂线的步骤：一靠、二移、三画。
（2）用量角器：将量角器的零度刻度线与已知直线重合，使得90°的刻度线经过已知点，画线即可。
（3）通过折纸：使折痕经过已知点，折痕两旁的直线重合。
练习：如图，经过直线AB上一点P，在图中画经过点P且垂直于直线AB的直线，这样的垂线能画多少条？经过一点只能画一条直线的一条垂线。
新沪科版七年级数学下册《10章 相交线、平行线与平移 10.1 相交线 垂线及其性质、画法》教案_4
2.垂直用符号“⊥”来表示，读作“垂直于”。
如“直线AB垂直于直线CD”，就记作“AB⊥CD”.
3.交点O叫做垂足.
2、垂线的画法及基本事实
问题：(1)怎样画已知直线l的垂线?
(2)画已知直线l的垂线能画几条?
(3)过直线l上的一点A画l的垂线,这样的垂线能画几条?
(4)过直线l外的一点B画l的垂线,这样的垂线能画几条?总结归纳：过一点有且只有一条直线垂直于已知直线. 3、点到直线的距离
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短. 线段AD的长度叫做点A到直线l的距离.
例2 在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘能使渠道最短？请画出图来，并说明理由.
例3下列说法正确的是（）
A.线段AB叫做点B到直线AC的距离
B.线段AB的长度叫做点A到直线AC的距离
C.线段BD的长度叫做点D到直线BC的距离
D.线段BD的长度叫做点B到直线AC的距离
四、当堂练习
五、课堂小结。
沪科版数学七年级下册10.1.4垂线
问题：有人不慎掉入有鳄鱼的湖中。如图，他在P点， 应选择什么样的路线尽快游到岸边m呢？
m P
灿若寒星
合作探究 （一）如图，连接直线l外一点P与直线l上各点O、 A、B、C、……
其中 PO，PlO为连接直线外一点与垂足形成
的线段，我们称PO为点P到直线l的垂线段。
比较线段PO、PA、PB、PC……的长短，这
初中数学课件
金戈铁骑整理制作
10.1.4 垂线
灿若寒星
学习目标
1.掌握好垂线段、点到直线的距离概念 ； 2.垂线的性质为今后知识的学习奠定了基 础，应该熟练掌握。
灿若寒星
自学提纲
阅读课本 116 页 （1）自学“观察”，通过实例操作，你发现
了什么结论？ （2）垂线性质2； （3）定义：点到直线的距离； （4）自学“交流”。
得距离是_ _ _，A到BC得距离是
_ _ _，AB两点之间的距离是 _
__。
A
C
B
灿若寒星
小结:
通过这节课的学习，你有哪些 收获?
灿若寒星
课堂作业：
必做题 书本课后练习3 选做题 （1）课后练习2 （2）习题10.1第4题
课外作业：
基础训练同步
灿若寒星
些线段中，哪一条最短？
P
垂线性质2 连接直线外一点 与直线上各点的所有线段中， 垂线段最短。
简单说成： 垂线段最短。
A BO
C
灿若寒星
（二）点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫 做点到直线的距离。
如图，PO的长度叫做点 P到直线l 的距离。
P
A BO
C
灿若寒星
（三）例 题 1 如图，一辆汽车在直线形公路AB上由A 向B行驶，M,N分别是位于公路两侧的村庄， 设汽车行驶到点P位置时，距离村庄M最近， 行驶到点Q位置时，距离村庄N最近，请在图 中公路AB上分别画出P,Q两点位置。
七年级下册垂线的知识点
七年级下册垂线的知识点垂线是初中数学中非常重要的一个知识点，而七年级下册则是初中数学垂线知识点的学习重点之一。
下面我们就来一起学习一下七年级下册关于垂线的知识点。
一、垂线的定义垂线是指在平面内，从一个点引出一条线段，使这条线段与另一条平面上的直线相交，并且相交的两条线段互相垂直。
二、垂线的性质1. 垂线与平面上的直线相交，相交的两条线段互相垂直。
2. 两条垂直的直线中，任意一条直线可以作为垂线。
3. 在同一平面内，如果一条直线与一直线的垂线垂直，则这条直线与这个平面的另一直线平行。
4. 在一个平面内，如果一条直线垂直于平面上的一条直线，那么它必然垂直于这个平面。
5. 垂线的长度是以这条直线所在的平面为底面的直角三角形的斜边长。
三、垂线的作用垂线在数学中扮演着非常重要的角色，它可以帮助我们解决各种与直线、平面有关的问题，比如求两条直线之间的夹角、证明两条直线平行、求出平面内某点到一条直线的距离等。
四、常见的垂线问题1. 平行四边形的垂线问题在一个平行四边形中，如果一条直线垂直于其中一条边，那么它必然垂直于另一条边，并且将这个平行四边形分成两个全等的三角形。
2. 直角三角形的垂线问题在一个直角三角形中，如果从直角上的顶点引一条垂线，那么这条垂线会将这个三角形分成两个全等的三角形。
同样，如果从三角形的另外一个角引一条垂线，那么这条垂线所在的直线段就是这个角的高线。
3. 切线的垂线问题在一个圆内，如果一条直线垂直于一条切线，则这条垂线所在的直线段穿过圆心。
五、总结垂线是初中数学中非常重要的一个知识点，了解垂线的定义、性质和作用不仅有助于提高我们的数学能力，而且能够帮助我们更好地理解和应用数学知识。
同时，掌握了垂线之后，我们也可以更加轻松地解决各种与直线、平面有关的问题。
2019-2020学年七年级数学下册《10.1.2 垂线》教学案+练习 沪科版.doc
2019-2020学年七年级数学下册《10.1.2 垂线》教学案+练习沪科版1.知识与技能：（1）了解垂线、垂线段及点到直线的距离等概念；（2）掌握垂线、垂线段的性质并会用这些性质解决实际问题，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。
2.过程与方法：经历观察操作交流归纳概括等活动进一步发展空间概念，提高动手操作技能。
3.情感、态度与价值观：培养学生积极的情感态度，数学应用意识和合作交流的能力，体会数学应用的价值。
【学习重难点】1.重点：垂线的概念与性质，会用三角尺过一点画已知直线的垂线。
2.难点：理解点到直线的距离的概念，过一点画直线的垂线。
【学习内容】课本第114至116页。
【学习流程】一、课前准备（预习学案见附件1）学生在家中认真阅读理解课本中相关内容的知识，并根据自己的理解完成预习学案。
二、课堂教学（一）合作学习阶段。
（15分钟左右）（课堂引导材料见附件2）教师出示课堂教学目标及引导材料，各学习小组结合本节课学习目标，根据课堂引导材料中得内容，以小组合作的形式，组内交流、总结，并记录合作学习中碰到的问题。
组内各成员根据课堂引导材料的要求在小组合作的前提下认真完成课堂引导材料。
教师在巡视中观察各小组合作学习的情况，并进行及时的引导、点拨，对普遍存在的问题做好记录。
（二）集体讲授阶段。
（15分钟左右）1.各小组推选代表依次对课堂引导材料中的问题进行解答，不足的本组成员可以补充。
2.教师对合作学习中存在的普遍的不能解决的问题进行集体讲解。
3.各小组提出本组学习中存在的困惑，并请其他小组帮助解答，解答不了的由教师进行解答。
(三)当堂检测阶段（10分钟）（当堂检测材料见附件3）为了及时了解本节课学生的学习效果，及对本节课进行及时的巩固，对学生进行当堂检测，测试完试卷上交。
（注：合作学习阶段与集体讲授阶段可以根据授课内容进行适当调整次序或交叉进行）三、课后作业（课后作业见附件4）教师发放根据本节课所学内容制定的针对性作业，以帮助学生进一步巩固提高课堂所学。
沪科版七年级数学下册第十章10.1 第2课时 垂线及其性质 课件
解:∵ EO⊥CD ∴ ∠EOD=90°
A
O
C 又 ∠BOE+∠BOD＝∠EOD＝90°
∴ ∠BOD＝90°－∠BOE＝90°－60°＝30°
又 ∠BOD＝∠AOC
∴ ∠AOC＝30°
D B
E
2.如图，AB⊥AD,CD⊥AD，∠B＝56º，求∠C
解: ∵ AB⊥AD
CD⊥AD
D
C
∴ DC∥AB
A
B
因为l⊥a，所以∠1＝90º， 因为a//b，所以∠2＝∠1＝ 90º，从而l⊥b
l 1 a
2 b
在平面内，如果一直线垂直于两平行线中 的一条，那么这条直线必垂直于另一条.
如图的简易屋架中，BD，AE，HF都垂直于CG，若∠1 ＝60º，求∠2的度数．
解 : 因为BD，AE都垂直于
A
B1
H
CG，所以BD//AE（在平面内，垂
3.移
4.画
l
A
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
孝感市文昌中学学生专用尺
Cm
问题：这样画l的垂线可以画几条？ 一条
如图，已知直线 l 和l外的一点A ,作l的垂线.
根据以上操
作，你能得
1.放
出什么结论
2.靠
A
3.移
4.画
l
B
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
孝感市文昌中学学生专用尺
Cm
总结归纳
垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条 直线垂直于已知直线.
新沪科版七年级数学下册《10章 相交线、平行线与平移 10.1 相交线 垂线及其性质、画法》教案_17
A BCDO相交线之垂直[教学目标]1.理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线.2.掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离.3.掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理. [教学重点与难点] 重点：垂线的定义及性质. 难点：垂线的画法. [教学设计]一.创设情境 激发好奇1.引言：前面我们学习了两条相交直线所成的角，如果把两条相交的直线看成一条直线绕着另一条直线旋转，那么，在旋转的过程中同学们发现哪些是保持不变的，哪些是在不断变化的。
【交流】直线AB 绕O 点旋转的过程中，图中不变的数量关系有哪些？变化的数量关系有哪些？ （不变）：∠AOD= ∠ BOC, ∠AOC= ∠BOD, ∠AOD +∠AOC = 1800,∠ BOC +∠BOD = 1800 ∠ AOC +∠BOC= 1800 ∠ BOC +∠AOD = 1800 （变化）：∠AOD 与 ∠AOC 的大小关系， ∠ BOC 与∠BOD 的大小关系。
【发现】直线AB 、CD 相交于O 点，如果∠AOD=900 ，则直线AB 、CD 互相垂直，O 点为垂足，记作：AB ⊥CD,其中一条直线叫作另一条直线的垂线。
注意：1.如遇到线段与线段、线段与射线、射线与射线、线段或射线与直线垂直，特指它们所在的直线互相垂直.【探究】日常生活中垂直现象.2、掌握如下的推理过程：（如图）∵AB ⊥CD (已知)∴∠AOC =∠COB =∠BOD =∠AOD =900(垂直定义) 反之∵∠AOC =900(已知) ∴ AB ⊥CD (垂直定义) 二、垂线的画法探究：1、用三角尺或量角器画已知直线l 的垂线，这样的垂线能画出几条？2、经过直线l 上一点A 画l 的垂线，这样的垂线能画出几条？3、经过直线l 外一点B 画l 的垂线，这样的垂线能画出几条？画法：让三角板的一条直角边与已知直线重合（对），沿直线左右移动三角板，使其另一条直角边经过已知点（移），沿此直角边画直线（画），则这条直线就是已知直线的垂线.注意：如过一点画射线或线段的垂线，是指画它们所在直线的垂线，垂足有时在延长线上. 4、你能通过折纸解决以上问题吗？例1：如图，已知直线AB 、CD 都经过O 点，OE 为射线，若∠1＝35° ∠2＝55°，则OE 与AB 的位置关PO A B C系是________________。
新沪科版七年级数学下册《10章 相交线、平行线与平移 10.1 相交线 垂线及其性质、画法》教案_9
10.1.2 相交线(2)【教学目标】1．垂线的定义与垂线两个性质的理解和应用．2．能画一点，作已知直线的垂线，利用垂线性质解决实际生活的应用【学习重点】对垂线画法及垂线性质的应用．【学习难点】垂线性质在实际生活中的应用方法指导：“一落、二过、三画”：“一落”是指把三角板的一条直角边落在已知直线上；“二过”是指使三角板的另一条直角边过已知点；“三画”是指沿已知点所在的直角边画直线．【教学过程】一. 旧知回顾：将十字街口的两条道路看作两条直线，如图直线AB和CD相交于O，形成4个角，如果∠AOC＝90°，那么其他三个角各是多少？为什么？解：其他三个角均为90°，由对顶角相等得∠AOC＝∠BOD＝90°，∵∠AOC＋∠AOD＝180°，∴∠AOD＝90°，∴∠BOC＝∠AOD＝90°.二.新课教学:阅读教材P118，完成下列问题：什么是两条直线互相垂直？什么是垂线？1.垂直定义：在两条直线ＡＢ和ＣＤ相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，读作“AB垂直于CD”其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。
例如、如图，a、b互相垂直,O叫垂足.a叫b的垂线，b也叫a的垂线。
垂直的书写形式当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O书写形式：①判定：∵∠AOD=90°（已知）∴AB⊥CD（垂直的定义）反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么，∠AOD=90°。
书写形式：②性质：∵ AB⊥CD （已知）∴∠AOD=90°（垂直的定义）(∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°)日常生活中,两条直线互相垂直的情形很常见,你能再举出其他例子吗?教师展示,生活中各种图片,加深对垂直的理解.2.垂线的画法1.用三角尺画垂线2.用折纸方法画垂线1.工具：直尺、三角板注意:一放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合;二靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上;三画:沿着三角板的另一直角边画出垂线.问题：这样画L的垂线可以画几条？学生回答:无数条.思考: 1.过直线L上的一点A画l的垂线,这样的垂线能画几条?2.过直线L外的一点B画l的垂线,这样的垂线能画几条?学生动手操作,得出结论: 结论：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.3.观察：如图，点P在直线l上，在直线上任取一些点ＡＢＣＯ，把这些点与点Ｐ连接，得到线段PA,PB,PC,PD，其中PO ⊥ L,观察这些线段，比较它们的长短，其中哪一条线段最短？学生思考,操作完成.(直尺测量)垂线性质在连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段（连接直线外一点与垂足形成的线段最短。
沪科版2019年春七年级数学下册导学案教学设计赛教优秀学案10.1 第2课时 垂线及其性质
第10章相交线、平行线与平移10.1 相交线第2课时垂线及其性质一、学习目标1.经历观察、操作、想像、归纳概括、交流等活动,进一步发展空间观念,用几何语言准确表达能力；2.了解垂直概念；3.经过观察和操作验证，理解垂线的两个性质.二、重点难点1.重点：对顶角性质、垂线画法及垂线的两个性质.2.难点：垂线段最短及简单应用.三、导学提纲认真阅读教材的内容，然后解决以下问题：1.观察教室里的课桌面、黑板面相邻的两条边, 方格纸的横线和竖线……，思考这些给大家什么印象?＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿2.分清“互相垂直”与“垂线”的区别与联系：“互相垂直”指两条直线的＿＿＿关系；“垂线”是指其中＿＿＿＿对＿＿＿＿＿的命名. 如果说两条直线“互相垂直”时，其中一条必定是另一条的＿＿＿＿，如果一条直线是另一条直线的“垂线”，则它们必定＿＿＿＿＿.3.垂直的表示法.垂直用符号＿＿＿来表示，“直线AB垂直于直线CD，垂足为O”，则记为＿＿＿＿,垂足为＿，并在图中任意一个角处作上直角记号,如图.4.学会用三角尺或量角器画已知直线L的垂线.（1）已知直线L,画出直线L的垂线.还能画出L的垂线吗?＿＿＿ODCB A第 1 页共3 页能画几条?＿＿＿明确直线L的垂线有无数多条,即存在,但有不确定性.怎样才能确定直线L的垂线位置？在直线L上取一点,过点A画L的垂线.结论:经过直线上一点＿＿＿＿＿＿＿＿＿与已知直线垂直.（2）经过直线L外一点B画直线L的垂线,这样的垂线能画出＿＿条?结论:经过直线外一点＿＿＿＿＿＿＿＿＿与已知直线垂直.垂线性质1:＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿5.知识应用：（一）判断以下两条直线是否垂直:①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角;②两条直线相交所成的四个角相等;③两条直线相交,有一组邻补角相等;④两条直线相交,对顶角互补.（二）变式训练,巩固垂线的概念和画法,如图根据下列语句画图:（1）过点P画射线MN的垂线,Q为垂足;（2）过点P画射线BN的垂线,交射线BN反向延长线于Q点;（3）过点P画线段AB的垂线,交线AB延长线于Q点.PM A NP PBA画一条射线或线段的垂线, 就是画它们所在＿＿＿线的垂线.（三）判断题.1.两条直线互相垂直,则所有的邻补角都相等.（）2.一条直线不可能与两条相交直线都垂直.（）3.两条直线相交所成的四个角中,如果有三个角相等,那么这两条直线互为垂直.（）（四）填空题.1.如图1,OA⊥OB,OD⊥OC,O为垂足,若∠AOC=35°,则∠BOD=＿＿＿.第 2 页共3 页第 3 页 共 3 页(1)ODC BA (2)O DCBAE(3)O D CBA2.如图2,AO ⊥BO,O 为垂足,直线CD 过点O,且∠BOD=2∠AOC,则∠BOD=_____.3.如图3,直线AB 、CD 相交于点O,若∠EOD=40°,∠BOC=130°,那么射线OE 与直线AB 的位置关系是_________. 四、自学检测：1.已知钝角∠AOB,点D 在射线OB 上. （1）画直线DE ⊥OB; （2）画直线DF ⊥OA,垂足为F.2.已知:如图,直线AB,垂线OC 交于点O,OD 平分∠BOC,OE 平分∠AOC.试判断OD 与OE 的位置关系.3.你能用折纸方法过一点作已知直线的垂线吗?五、自学反思（自学过后，你有什么问题？你的收获是什么？还有什么困惑？）E ODCBA。
沪科版七年级下册数学课件第10章10.1.2垂线的定义及它的基本事实
夯实基础
6．下列选项中，过点P画直线AB的垂线CD，三角尺放法 正确的是( C )
夯实基础
7．如图． ①过点P画AB的垂线； ②过点P分别画OA，OB的垂线； ③过点A画BC的垂线．
夯实基础
解：如图所示．
夯实基础
8．【中考·河北】如图，在平面内作已知直线m的垂线， 可作垂线的条数有( D ) A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
探究培优
(2)同样在图②和图③中以P为顶点作∠P，使∠P的两边 分别和∠1的两边垂直，分别写出图②和图③中∠P和 ∠1之间的数量关系(不要求写出理由)． 解：如图②③所示．
探究培优
图②：____∠_1_＝__∠_P___________， 图③：___∠__1_＝__∠__A_P_C__或__∠__1_＋__∠__B_P_C__＝__1_8_0_°_；
探究培优
(2)如图②，若∠BOC＝60°，求∠AOD的度数； 解：因为∠AOB＝90°， ∠COD＝90°，∠BOC＝60°， 所以∠AOD＝ 360°－∠AOB－∠BOC－∠COD＝ 360°－90°－60°－90°＝120°.
探究培优
(3)如图②，猜想∠AOD与∠BOC的关系，并说明理由； 解：∠AOD与∠BOC互补．理由如下： 因为∠AOB＝90°，∠COD＝90°， 所以90°＋∠BOC＋90°＋∠AOD＝ 360°，所以∠AOD＋∠BOC＝180°， 即∠AOD与∠BOC互补．
10．在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使 OC⊥OD，当∠AOC＝30°时，∠BOD的度数是 ________.
夯实基础
【点拨】只考虑了OC，OD在直线AB的同侧，而忽 略了OC，OD在直线AB的两侧，以致漏解而致错． 【答案】60°或120°
安徽专版2019春下册7年级数学沪科版【学案】 垂线段
D CB A DC BA 垂线段【学习目标】：1.经历观察、操作、想像、归纳概括、交流等活动，进一步发展空间观念，用几何语言准确表达能力。
2.了解垂线段的概念,了解垂线段最短的性质,体会点到直线的距离的意义, 并会度量点到直线的距离【学习重点】：“垂线段最短”的性质,点到直线的距离的概念及其简单应用【学法重点】: 对点到直线的距离的概念的理解.一、【自主探究】（阅读课本，把不懂的问题记录下来，课堂上我们共同讨论！）我的疑难问题:二、【合作探究】1 垂线段：2 点到直线的距离：3.画图操作 (1)画出直线l, l 外一点P;(2)过P 点出PO ⊥l ,垂足为O;(3)点A 1,A 2,A 3……在L 上,连接PA 、PA 2、PA 3……;(4)用叠合法或度量法比较PO 、PA 1、PA 2、PA 3……长短.垂线性质2：四【达标测试】1.如图,AC ⊥AB,A 为垂足,AD ⊥BC,D 为垂足,AB=8,CD=4.8,BD=6.4,AD=3.6,AC= 6,那么点C 到AB 的距离是_______,点A 到BC 的距离是________,点B 到AD 的距离是_____,C 、B 两点的距离是_ __2、点到直线的距离是指这点到这条直线的（ ）A 、垂线段B 、垂线的长C 、长度D 、垂线段的长 3、已知点O ，画和点O 的距离是3厘米的直线可以画（ ）A 、1条B 、2条C 、3条D 、无数条4.如右图所示,下列说法不正确的是( )A.点B 到AC 的垂线段是线段AB;B.点C 到AB 的垂线段是线段ACC.线段AD 是点D 到BC 的垂线段;D.线段BD 是点B 到AD 的垂线段5.如右图所示,能表示点到直线(线段)的距离的线段有( )A.2条B.3条C.4条D.5条E D C B AC B A 6.下列说法正确的有( )①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线;②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线;③在平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线;④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线.A.1个B.2个C.3个D.4个7已知直线a 、b,过点a 上一点A 作AB ⊥a,交b 于点B,过B 作BC ⊥b 交a 上于点 C.请说出哪一条线段的长是哪一点到哪一条直线的距离? 并且用刻度尺测量这个距离.。
【沪科版】初一七年级数学下册《10.1 第2课时 垂线及其性质》教学设计教案
第2课时 垂线及其性质1．理解并掌握垂线的概念及性质，了解点到直线的距离；2．能够运用垂线的概念及性质进行运算并解决实际问题．(重点、难点)一、情境导入如图是教室的一幅图片，黑板相邻两边的夹角等于多少度？这样的两条边所在的直线有什么位置关系？二、合作探究探究点一：垂线的概念【类型一】 运用垂线的概念求角度如图，直线BC 与MN 相交于点O ，AO ⊥BC ，∠BOE ＝∠NOE ，若∠EON ＝20°，求∠AOM 和∠NOC 的度数．解析：要求∠AOM 的度数，可先求它的余角．由已知∠EON ＝20°，结合∠BOE ＝∠NOE ，即可求得∠BON .再根据对顶角相等即可求得；要求∠NOC 的度数，根据邻补角的定义即可．解：∵∠BOE ＝∠NOE ，∴∠BON ＝2∠EON ＝2×20°＝40°，∴∠NOC ＝180°－∠BON＝180°－40°＝140°，∠MOC ＝∠BON ＝40°.∵AO ⊥BC ，∴∠AOC ＝90°，∴∠AOM ＝∠AOC －∠MOC ＝90°－40°＝50°，∴∠NOC ＝140°，∠AOM ＝50°.方法总结：(1)由两条直线互相垂直可以得出这两条直线相交所成的四个角中，每一个角都等于90°；(2)在相交线中求角度，一般要利用垂直、对顶角相等、余角、补角等知识．【类型二】 运用垂线的概念判定两直线垂直如图所示，已知OA ⊥OC 于点O ，∠AOB ＝∠COD ，试判断OB 和OD 的位置关系，并说明理由．解析：由于OA ⊥OC ，根据垂直的定义，可知∠AOC ＝90°，即∠AOB ＋∠BOC ＝90°，又∠AOB ＝∠COD ，则∠COD ＋∠BOC ＝90°，即∠BOD ＝90°，再根据垂直的定义，得出OB ⊥OD .解：OB⊥OD，理由如下：因为OA⊥OC，所以∠AOC＝90°，即∠AOB＋∠BOC＝90°.因为∠AOB＝∠COD，所以∠COD＋∠BOC＝90°，所以∠BOD＝90°，所以OB⊥OD.方法总结：由垂直这一条件可得两条直线相交构成的四个角为直角，反过来，由两条直线相交构成的角为直角，可得这两条直线互相垂直．判断两条直线垂直最基本的方法就是说明这两条直线的夹角等于90°.探究点二：垂线的画法如图，平面上有三点A、B、C.(1)画直线AB，画射线BC (不写作法，下同)；(2)过点A画直线BC的垂线，垂足为G；过点A画直线AB的垂线，交射线BC于点H.解析：根据垂线的画法“一落、二过、三画”画图即可．解：如图所示．方法总结：“一落、二过、三画”：“一落”是指把三角板的一条直角边落在已知直线上；“二过”是指使三角板的另一条直角边过已知点；“三画”是指沿已知点所在的直角边画直线．探究点三：垂线的性质和点到直线的距离【类型一】点到直线的距离的运用如图，AC⊥BC，AC＝3，BC＝4，AB＝5.(1)试说出点A到直线BC的距离，点B到直线AC的距离；(2)点C到直线AB的距离是多少？你能求出来吗？解析：(1)点A到直线BC的距离就是线段AC的长；点B到直线AC的距离就是线段BC的长；(2) 过点C作CD⊥AB，垂足为D.点C到直线AB的距离就是线段CD的长，可利用面积求得．解：(1)点A到直线BC的距离是3，点B到直线AC的距离是4；(2)过点C作CD⊥AB，垂足为D.三角形ABC的面积＝12BC·AC＝12AB·CD，所以5CD ＝3×4，所以CD＝125.所以点C到直线AB的距离为125.方法总结：点到直线的距离是过这一点作已知直线的垂线，垂线段的长度才是这一点到直线的距离．【类型二】“垂线段最短”的实际运用如图所示，修一条路将A，B两村庄与公路MN连起来，怎样修才能使所修的公路最短？画出线路图，并说明理由．解析：连接AB，过点B作BC⊥MN即可．解：连接AB，作BC⊥MN，C是垂足，线段AB和BC就是符合题意的线路图．因为从A到B，线段AB最短，从B到MN，垂线段BC最短，所以AB＋BC最短．方法总结：与垂线段有关的作图，一般是过一点作已知直线的垂线，作图的依据是“垂线段最短”．三、板书设计1．垂线的概念两条直线相交所成的4个角中，如果有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．2．垂线的作法3．垂线的性质过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短．4．点到直线的距离本节课学习了垂线的概念和垂线的性质，垂直是相交的一种特殊情况，要说明两条相交线的位置关系，一般都是垂直．垂线的两条性质中，不要遗漏条件“在同一平面内”，以保证定理的精确性．对于垂线的概念和性质，要让学生理解记忆。
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垂线定义及其基本事实
学习目标：
1、掌握垂直概念，能说出垂线的性质，会画一条直线的垂线。
2、掌握垂线段的概念，理解垂线段最短的性质，体会点到直线的距离的意义，并会度量点到直线的距离。
一、自主学习：
（一）温故知新
1、如果∠α和∠β互为余角，∠α=37°，则∠β=
2、如果∠1和∠2互为余角，∠1和∠3互为余角，那么∠2和∠3的关系
是
（二）探究新知
1、垂直、垂线定义
两条直线相交，所成四个角中有一个角是_____时，我们称这两条直线
__________，其中一条直线是另一条的_____，他们的交点叫做_____。
2、垂直的符号表示：(垂直用符号“⊥”来表示)
若“直线AB垂直于直线CD，垂足为O”，。
3、垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， .简单说成: .
4、点到直线的距离：
二、合作交流：
垂直的性质
（1）用三角尺或量角器画已知直线L的垂线.
这样的垂线能画几条?
L
小组内交流,明确直线L的垂线有_________条,即存在,但位置有不______性。
（2）在直线L上取一点A,过点A画L的垂线, 能画几条?再经过直线L外一点B 画直线L的垂线,这样的垂线能画出几条?
B ．
A L L
E
(3)
O D C
B
A (1)
O
D
C B
A
从中你能得出什么结论? ____________________________________________ 四、探究展示： 五、巩固训练： 1、判断题.
（1）两条直线互相垂直,则所有的邻补角都相等.( ) （2）一条直线不可能与两条相交直线都垂直.( )
（3）两条直线相交所成的四个角中,如果有三个角相等,那么这两条直线互相垂直.( )
（4）两条直线相交有一组对顶角互补，那么这两条直线互相垂直.( ). 2、填空题.
（1）如图1,OA ⊥OB,OD ⊥OC,O 为垂足,若∠AOC=35°,则∠BOD=________. （2）如图3,直线AB 、CD 相交于点O,若∠EOD=40°,∠BOC=130°,那么射线OE 与直线AB 的位置关系是_________.
六、拓展提升： 1、已知钝角∠AOB,点D 在射线OB 上.
①画直线DE ⊥OB
②画直线DF ⊥OA,垂足为F
2、已知:如图,直线AB,射线OC 交于点O,OD 平分∠BOC,OE 平分∠AOC.试判断OD 与OE 的位置关系.
2019年3月17日
E
O D
C
B
A。