第1章 算法概述

第1章算法概述●理解算法的概念。

●理解什么是程序，程序与算法的区别和内在联系。

●掌握算法的计算复杂性概念。

●掌握算法渐近复杂性的数学表述。

●掌握用C++语言描述算法的方法。

1.1算法与程序1.1.1 算法(Algorithm)算法是指解决问题的一种方法或一个过程。

算法是若干指令的有穷序列，满足性质：①输入(Input)：一个算法有0个或多个输入，以刻画运算对象的初始情况，所谓0个输入是指算法本身定出了初始条件。

②输出(Output)：一个算法有一个或多个输出，以反映对输入数据加工后的结果，没有输出的算法是毫无意义的。

③确定性(Definiteness)：组成算法的每条指令是清晰，无歧义的。

④有限性（Finiteness）：算法中每条指令的执行次数是有限的，执行每条指令的时间也是有限的。

⑤可行性(Effectiveness)：算法中执行的任何计算步都是可以被分解为基本的可执行的操作步，即每个计算步都可以在有限时间内完成（也称之为有效性）。

1.1.2 程序(Program)●程序是算法用某种程序设计语言的具体实现。

●程序可以不满足算法的性质(4)。

●例如操作系统，是一个在无限循环中执行的程序，因而不是一个算法。

●操作系统的各种任务可看成是单独的问题，每一个问题由操作系统中的一个子程序通过特定的算法来实现。

该子程序得到输出结果后便终止。

1.1.3 问题求解(Problem Solving)●例：编写判断存放在单链表L中的字符串是否为回文的函数。

存放字符串的单链表L的长度已知，L的示意图如下：算法：①定义一个栈（栈的元素类型为char ），并初始化；（SqStack S; initStack(S);）②将单链表存储的字符串中的前一半字符进栈；③将栈中的字符逐个与单链表中后半部分的字符进行比较，如果字符全部相等，则判断字符串是回文，如果有一个字符不相等，则判断不是回文。

bool HuiWen(LinkList L,int n){int i=1;SqStack s;initStack(s);LinkList p=L->next;while(i<=(n/2)){push(S,p->data);p=p->next;i++;}if((n%2)==1)p=p->next;while(p!=NULL){if(pop(S)==p->data)p=p->next;elsereturn false;}return true;}1.2 算法复杂性分析算法复杂性 = 算法所需要的计算机资源算法的时间复杂性T(n)；算法的空间复杂性S(n)。

其中n 是问题的规模（输入大小）。

1.2.1 算法的时间复杂性算法的时间复杂性应该集中反映算法的时间效率，并从算法的实际计算机中抽象出来。

这个量应该只依赖于要解的问题的规模（N ）、算法的输入（I ）和算法本身（A ）。

算法的时间复杂性可表示为如下的三元函数：T=T(N, I, A)由于A 隐含于函数名当中，T 可简化为：T=T(N, I)根据T(N, I)的概念，它应该是算法在一台抽象的计算机上运行所需的时间。

设此抽象计算机所提供的元运算有k 种，分别为O 1, O 2, …, O k ，又设每执行一次这些运算的时间分别为t 1, t 2, …, t k 。

对于给定的算法A ，用到元运算O i 的次数为e i ，显然e i 为N 和I 的函数，因此有：一般我们只讨论三种情况下的时间复杂性，即最坏情况、最好情况和平均情况()()∑==k i i i I N e t I N T 1,,下的时间复杂性。

⑴最坏情况下的时间复杂性⑵最好情况下的时间复杂性⑶平均情况下的时间复杂性可操作性最好且最有实际价值的是最坏情况下的时间复杂性。

1.2.2 算法的渐近复杂性在评估一个算法的性能时，并不需对算法的执行时间作出准确的统计。

因为我们在分析算法的性能，或把两个算法的性能进行比较时，对时间的估计是相对的，而不是绝对的。

由此我们引入算法渐近复杂性的概念。

● 定义1.1 设算法的执行时间为T(N)，如果存在T*(N)，使得：就称T*(N)为算法的渐近时间复杂性。

● 在数学上， T*(N)是T(N)的渐近表达式，是T(N)略去低阶项留下的主项，它比T(n) 简单。

我们用T*(N)来替代T(N)作为算法在N→∞时的复杂性的度量，并作出如下进一步的简化：– 只关心T*(N)的阶，不考虑它的常数因子；– 假设算法中用到的所有不同的元运算各执行一次所需要的时间都是一个单位时间。

● 注意：采用渐近复杂性来衡量效率的方法得出的不是时间量，而是一种增长趋势的度量。

在算法分析中，经常遇到如下类型的复杂性，它们的阶分别是：1 常数级logn 对数级n 线性级n c 多项式级，c 为常数c n 指数级n! 阶乘级例：假设某算法在输入规模为n 时的计算时间为T(n)=3×2n 。

在某台计算机上实现算法的时间为t 秒。

现有另一台计算机，其运行速度为第一台的64倍，那么在这台新机器上用同一算法在t 秒内能解输入规模为多大的问题？前面给出了简化算法复杂性分析的方法和步骤，即只要考察当问题的规模充分 大时，算法复杂性在渐近意义下的阶。

与此简化的复杂性分析相配套，需要引入以下渐近意义下的记号O 、Ω、θ和o 。

在下面的讨论中，对所有n ，f(n)≥0，g(n) ≥0⑴ 渐近上界记号O定义1.2 如果存在正的常数C 和自然数N 0，使得当N≥N 0时有f(N)≤Cg(N)，则称函数f(N)当N 充分大时上有界，且g(N)是它的一个上界，记为f(N)=O(g(N))。

大O 符号用来描述增长率的上限，表示f(N)的增长最多像g(N)增长的那样快。

这个上界的阶越低，结果就越有价值。

● 按照大O 的定义，容易证明它有如下运算规则：● O(f(n))+O(g(n)) = O(max{f(n),g(n)})● O(f(n))+O(g(n)) = O(f(n)+g(n))● O(f(n))*O(g(n)) = O(f(n)*g(n)) ()()0)(lim *=-∞→N T N T N T n● O(cf(n)) = O(f(n))● g(n)= O(f(n)) → O(f(n))+O(g(n)) = O(f(n))例：证明O(f(n))+O(g(n)) = O(max{f(n),g(n)})对于任意f 1(n) ∈ O (f(n)) ，存在正常数c 1和自然数n 1，使得对所有n ≥ n 1，有f 1(n) ≤ c 1f(n) 。

对于任意g 1(n) ∈ O (g(n))，存在正常数c 2和自然数n 2，使得对所有n ≥ n 2，有g 1(n) ≤ c 2g(n) 。

令c 3=max{c 1, c 2}，n 3 =max{n 1, n 2}，h(n)= max{f(n),g(n)} 。

则对所有的n ≥ n 3，有 f 1(n) +g 1(n) ≤ c 1f(n) + c 2g(n) ≤ c 3f(n) + c 3g(n)= c 3(f(n) + g(n)) ≤ 2c 3 max{f(n),g(n)} = 2c 3h(n) = O (max{f(n),g(n)}).⑵ 渐近下界记号Ω定义1.3 如果存在正的常数C 和自然数N0，使得当N≥N0时有f(N)≥Cg(N)，则称函数f(N)当N 充分大时下有界，且g(N)是它的一个下界，记为f(N)=Ω(g(N))。

⑶ 紧渐近界记号θ大Ω符号用来描述增长率的下限，这个下限的阶越高，结果就越有价值。

(3) 紧渐近界记号θ定义1.4若存在3个正的常数C1、C2和N0，对于任意N≥N0，都有C1g(N)≥f(N)≥C2g(N)，则称f(N)=θ(g(N))。

θ符号意味着f(N)与g(N)同阶，用来表示算法的精确阶。

⑷ 非紧上界记号o定义1.5如果对于任意给定的ε＞0，都存在正整数N 0，使得当N≥N 0时有f(N)/g(N)＜ε,则称函数f(N)当N 充分大时的阶比g(N)低，记为f(N)=o(g(N))。

和大O 不同，小o 符号很少用在算法的分析中.总结：利用极限比较阶数● 虽然符号O 、Ω和θ的正式定义对于证明它们的抽象性质是不可缺少的，但我 们很少直接用它们来比较两个特定函数的阶数。

有一种较为简便的比较方法，它是基于对所讨论的两个函数的比率求极限。

有4种情况会发生：前两种情况意味着f(n)＝O(g(n))，中间两种情况意味着f(n)=Ω(g(n))，第二种情况意味着f(n)=θ(g(n))。

例：对于下列各组函数，确定f(n)=*(g(n))，其中*号表示符号O 、Ω、θ或o 。

解1：解2：()()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞>=∞→分析中很少发生在实际的算法不存在高的阶比表明的阶相同和表明低的阶比表明n g n f n g n f c n g n f n g n f n 00lim ()()()n n g n n f n n g n n f 2,!)(,log ====②①()()''1log log lim lim 2log 0log n n n n e n n e n O →∞→∞→∞====⇒=讨论：寻找发帖“水王”传说，某论坛有一大“水王”，他不但喜欢发贴，还会回复其他ID 发的每个帖子。

坊间风闻该“水王”发帖数目超过了帖子总数的一半。

如果你有一个当前论坛上所有帖子（包括回帖）的列表，其中帖子作者的ID 也在表中，你能快速找出这个传说中的“ 水王”吗？ 讨论：金币阵列问题● 问题描述：有m×n(m≤100,n≤100)个金币在桌面上排成一个m 行n 列的金币阵列。

每一枚金币或正面朝上或背面朝上。

用数字表示金币状态，0表示金币正面朝上，1 表示背面朝上。

● 金币阵列游戏的规则是：①每次可将任一行金币翻过来放在原来的位置上；②每次可任选2 列，交换这2 列金币的位置。

● 编程任务：给定金币阵列的初始状态和目标状态，编程计算按金币游戏规则，将金币阵列从初始状态变换到目标状态所需的最少变换次数。

()nn n n n n n n n n n n n e n n e n n e n n n 2!22lim 22lim 22lim 2!lim Ω=⇒∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞→∞→∞→∞→πππ。