matlab中方程根的近似计算

实验一方程根的近似计算

一、问题

求非线性方程的根

二、实验目的

1、学会使用matlab中内部函数roots、solve、fsolve、fzero求解方程，并用之解决实际问题。

4、熟悉Matlab的编程思路，尤其是函数式M文件的编写方法。

三、预备知识

方程求根是初等数学的重要内容之一，也是科学和工程中经常碰到的数值计算问题。它的一般形式是求方程f(x)=0的根。如果有x*使得f(x*)=0，则称x*为f(x)=0的根，或函数f(x)的零点。并非所有的方程都能求出精确解或解析解。理论上已经证明，用代数方法可以求出不超过3次的代数方程的解析解，但对于次数大于等于5的代数方程，没有代数求根方法，即它的根不能用方程系数的解析式表示。至于超越方程，通常很难求出其解析解。不存在解析解的方程就需要结合具体方程（函数）的性质，使用作图法或数值法求出近似解。而计算机的发展和普及又为这些方法提供了广阔的发展前景，使之成为科学和工程中最实用的方法之一。下面介绍几种常见的求近似根的方法。

1. 求方程近似解的简单方法

1.1 图形方法—放大法求根

图形的方法是分析方程根的性态最简洁的方法。不过，不要总是想得到根的精确值。这些值虽然粗糙但直观，多少个根，在何范围，一目了然。并且还可以借助图形局部放大功能，将根定位得更加准确一些。

例1.1 求方程x5+2x2+4=0的所有根及其大致分布范围。

解

（1）画出函数f(x)=x5+2x2+4的图形，确定方程的实数根的大致范围。为此，在matlab命令窗中输入

clf

ezplot x-x,

grid on

hold on

ezplot('x^5+2*x^2+4',[-2*pi,2*pi])

1-1 函数f(x)=x5+2x2+4的图形

clf

x=-2*pi:0.1:2*pi;

y1=zeros(size(x));

y2= x.^5+2*x.^2+4;

plot(x,y1,x,y2)

grid on

axis tight

title('x^5+2x^2+4')

xlabel('x')

从图1-1可见，它有一个实数根，大致分布在-2与2之间。

（2）将作图范围不断缩小，用放大法可得到精度越来越高的根的近似值。在matlab命令窗中先后键入

subplot(2,2,1)

ezplot x-x, grid on, hold on, ezplot('x^5+2*x^2+4',[-2,2])

subplot(2,2,2)

ezplot x-x, grid on, hold on, ezplot('x^5+2*x^2+4',[-2,-1])

subplot(2,2,3)

ezplot x-x, grid on, hold on, ezplot('x^5+2*x^2+4',[-1.6,-1.5])

subplot(2,2,4)

ezplot x-x, grid on, hold on, ezplot('x^5+2*x^2+4',[-1.55,-1.54])

图1-2 放大法求函数f(x)=x5+2x2+4的根

由图1-2可知，方程的根在-1.545与-1.54之间。

1.2 数值方法

非线性方程f(x)=0求根的方法有区间法和迭代法两大类，二分法、弦位法是区间法，简单迭代法和牛顿迭代法及其变形是迭代法，这里只给出二分法、简单迭代法和牛顿迭代法的构造过程。

（1）根的隔离与二分法

根的隔离思想来源于连续函数的零点定理：

若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)f(b)<0，则方程f(x)=0在(a,b)内至少有一根x *。

二分法是最简单的求根方法，它是利用连续函数的零点定理，将含根区间逐次减半缩小，取区间的中点构造收敛点列{x n }来逼近根x *。

用该方法求f(x)=0的近似解可分两步做：

第一步，确定根的近似位置或大致范围，即确定一个区间[a,b],使所求根是位于这个区间内的唯一实根。这个区间称为根的隔离区间，这可以通过函数作图达到：先画出y=f(x)的图形，然后从图上定出它与x 轴交点的大概位置。

第二步，以根的隔离区间[a,b]的端点作为根的初始近似值，用二分法逐步改进根的近似值的精确度，直至求得满足精确度的近似解。具体步骤如下：

取[a,b]的中点x 0=(a+b)/2，若f(x 0)=0，则x 0就是f(x)=0的根x *。若f(a)f(x 0)<0，则根x *必在区间(a,x 0)内，取a 1=a, b 1=x 0；否则根x *必在区间(x 0,b)内，取a 1=x 0, b 1=b 。这样，得到新区间[a 1,b 1]，其长度为[a,b]的一半。如此继续下去，进行n 等分后，得到一组不断缩小的区间序列[a,b], [a 1,b 1], [a 2,b 2],…, [a n ,b n ],…,和对应区间的中点数列x n =(a n +b n )/2, n=0,1,2,…, 其中每个区间都含有根x *，满足

[a,b]⊃[a 1,b 1] ⊃[a 2,b 2] ⊃…⊃ [a n ,b n ] ⊃…

且每个区间的长度都是前一区间长度的一半。由于[a n ,b n ]的长度为(b-a)/2n ,当n 不断变大时，这些区间将收敛于一点x *，该点即为所求的根。

当做到第n 步时，有

1*11

22||()()

n n n n x x b a b a +-≤-=-

选择适当的步数n ，就可达到满意的精度。

用二分法，理论上区间中点序列{x n }将收敛到根的真值，但收敛速度较慢，所以通常用二分法为其他方法提供初步的近似值。

（2）简单迭代法

迭代法的基本原理是构造一个迭代公式，反复用它得出一个逐次逼近方程根的数列，数列中每一项都是方程根的近似值，只是精度不同。简单迭代法也成逐次迭代法，是非线性方程求根中各类迭代法的基础。

由于对方程作等价变换根不发生变换，将方程f(x)=0等价变换为

()x x ϕ=，构造迭代计算公式1()n n x x ϕ+=。取定初值x 0，算出数列{x n }。如果

{x n }收敛于x *，则有

**1lim lim ()(lim )()n n n n n n x x x x x ϕϕϕ+→∞

→∞

→∞

====

这说明，x *就是方程f(x)=0的根。上面()x x ϕ=称为不动点方程，()x ϕ称为迭代函数，数列{x n }称为迭代数列。

（3）牛顿迭代法

如果f(x)在[a,b]上具有二阶导数，f(a)f(b)<0，且f'(x)与f''(x)在[a,b]上保持同号，这时可采用牛顿迭代法求方程f(x)=0在(a,b)内的惟一实根。牛顿迭代法将非线性方程线性化处理为近似方程，然后用近似方程获得求根的迭代公式。具体做法如下：

设x n 是f(x)=0的一个近似根，把f(x)在x k 处作泰勒展开，得

f(x)=f(x k )+f'(x k )(x-x k )+(f''(x k )/2!)(x-x k )2+…

取前两项来近似代替f(x)，则得近似线性方程

f(x)≈f(x k )+f'(x k )(x-x k )=0

如果f'(x k )≠0，令其解为x k+1，得