费马点最值问题

费马点

破解策略

费马点是指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，这个最小的距离叫做费马距离.

若三角形的内角均小于120°那么三角形的费马点与各顶点的连线三等分费马点所在的周角；若三角形内有一个内角大于等于120°则此钝角的顶点就是到三个

顶点距离之和最小的点.

1•若三角形有一个内角大于等于120°则此钝角的顶点即为该三角形的费马点

如图在△ ABC中，/ BAC> 120°求证：点A ABC的费马点

证明：

如图，在△ ABC内有一点P延长BA至C,使得AC = AC,作/ CAP = / CAP, 并且使得AP = AP,连结PP

贝山APCAPC, PC= PC

因为/ BAC> 120°

所以/ FAP = / CAC< 60

所以在等腰△ PAP中，AP > PP

所以PA+ PB + PC> PP+ PB + PC>BC = AB + AC

所以点A ABC的费马点

2•若三角形的内角均小于120°则以三角形的任意两边向外作等边三角形，两

个等边三角形外接圆在三角形内的交点即为该三角形的费马点.

如图，在△ ABC中三个内角均小于120°分别以AB、AC为边向外作等边三角形，

两个等边三角形的外接圆在△ ABC内的交点为0,求证：点0 ABC的费马点证明：在△ ABC内部任意取一点0,;连接0A、OB、0C

将厶A0C绕着点A逆时针旋转60°得到△ AO'D连接00’则0'D = 0C

所以△ A00 '为等边三角形，00'= A0

所以0A+ 0C+ 0B = 00'+ 0B + 0 D

则当点B、0、0、D四点共线时，0A+ 0B+ 0C最小

此时ABAC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ ABC内的交点即

为点0

如图，在厶ABC中，若/ BAC、/ ABC、/ ACB均小于120° 0为费马点，则有/ A0B

=/ B0C =Z C0A = 120°所以三角形的费马点也叫三角形的等角中心

例1如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（一6,0），点B的坐标为（6，0），点C的坐标为（6, 4.3 ），延长AC至点D使得CD = AC，过点DE作DE//AB，交BC的延长线于点E,设G为y轴上的一点，点P从直线y= 3x + 6 3与y轴的交点M出发，先沿y轴到达点G,再沿GA到达点A,若点P在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定点G的位置，使点P按照上述要求到达A所用的时间最短

解：・・t_ GM GA 2GA GM

2v v 2v

•••当2GA+ GM最小时，时间最短

如图，假设在0M上存在一点G,贝y BG = AG

••• MG + 2AG= MG + AG + BG

把厶MGB绕点B顺时针旋转60 °得到△ M'G'B，连结GG‘，MM '

•••△ GG'B、△ MM ,都为等边三角形

则 GG '= G'B= GB

又••• M，G '= MG

••• MG + AG + BG = M G，+ GG，+ AG

•••点A、M为定点

••• AM与OM的交点为G ,此时MG + AG+ BG最小

•••点G的坐标为（0, 2 .一3 ）

例2A、B、C、D四个城市恰好为一个正方形的四个顶点，要建立一个公路系

统使得每两个城市之间都有公路相通，并是整个公路系统的总长度为最小，则应当

如何修建？

解：如图，将△ ABP绕点N逆时针旋转60°得到△ EBM ;同样，将△ DCQ绕点C

顺时针旋转60°得到△ FCN，连结AE、DF，则△ ABE、△ DCF均为等边三角形，

连结PM、0”，则厶BPM，△ CQN均为等边三角形

所以当点E，M，P，Q，N，F共线时，整个公路系统的总长取到最小值，为

线段EF的长，如图，此时点P，Q在EF 上, 1= 2 = 3 = 4= 30.

进阶训练

1.如图，在ABC 中，ABC = 60，AB= 5，BC= 3，P 是ABC 内一点，求FA +

PB + PC的最小值，并确定当RA+ PB+ PC取得最小值时，APC的度数.

答案：PA+ PB + PC的最小值为7,此时APC = 120.

【提示】如图，将APB绕点B逆时针旋转60,得到A'BP'，连结PP', A'C.过点A 作A'EBC，交CB的延长线于点E.解RtA'EC求A'C的长，所得即为RA + PB + PC的最小值.

2.如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连结AM，CM，EN.

(1)当M在何处时，AM + CM的值最小

(2)当M在何处时，AM + BM + CM的值最小？请说明理由；

(3)当AM + BM + CM的最小值为.3 1时，求正方形的边长.

答案：(1)当点M落在BD的中点时，AM + CM的值最小，最小值为AC的长；

(2)连结CE，当点M位于BD与CE的交点处时.AM + BM + CM的值最小，最小值为CE的长.

(3)正方形的边长为 2 .

【提示】(3)过点E作EFBC，交CB的延长线于点F，解RtEFC即可.