北京交通大学2020年大学生数学竞赛试题及解答
第12_19届北京市大学生数学竞赛全部试题解答
.
n=0
n=0
1
1 ( 1 )2
5． ∫ tdt∫ e x dx =
.
0t
6．设 y = 1, y = ex , y = 2ex , y = ex + 1 都是某二阶常系数线性微分方程的解，则此二阶常系数线性微分方 π
程为
.
∑ 7．设数列{xn} 满足： n sin
1 n +1
<
xn
<
(n
+ 2) sin
.
3．设
f
(
x)
=
⎧ ⎪⎪ ⎨
x
2
0≤ x≤ 1 2 ，而
⎪⎪⎩1− x
1 < x ≤1 2
∑ s(x)
=
a0 2
+
∞ n=1
an
cos nπ
x
， −∞ < x < +∞
，其中
1
an = 2∫ f (x) cos nπ xdx, n = 0,1, 2, ，
0
则 s(− 9) =
.
2
4．设
y
=
f
(x)
x→0
x
∫ 3．设不定积分
(
x2 x+
+ ax + 2 1)(x2 +1)
dx
的结果中不含反正切函数，则
a
=
.
k
∑ 4．
lim
n→∞
n k =1
n
en
2k
+ ne n
=
.
5．函数 u = x2 + y2 + z2 在点 M (1,1,1) 处沿曲面 2z = x2 + y2 在点 M 处的外法线方向 n 的方向导数
第12~18届北京市大学生数学竞赛全部试题解答.
.
0
10 ． 设 C 是 从 球 面 x2 + y2 + z2 = a2 上 任 一 点 到 球 面 x2 + y2 + z2 = b2 上 任 一 点 的 任 一 条 光 滑 曲 线
∫ (a > 0,b > 0) ，则 r3(xdx + ydy + zdz) = C
，其中 r = x2 + y2 + z2 .
1 ，则 lim
n +1
n→∞
1 n +1
n k =1
xk
=
.
8．设
f
(x)
在点
x
=
0
可导，且 lim x→0
cos x −1 e f (x) −1
= 1 ，则
f
′(0)
=
.
1
∫ 9．设 f (x) 满足 f (tx)dt = f (x) + x sin x, f (0) = 0 且有一阶导数，则当 x ≠ 0 时，f ′(x) =
=
2
，则
a
=
.
2．若 ∂2z = 0 ，且当 x = 0 时， z = sin y ；当 y = 0 ， z = sin x ，则 z =
.
∂x∂y
∑ 3． ∞ n +1 =
n=0 n!
.
∞
∞
∑ ∑ 4．设幂级数 an (x +1)n 的收敛域为 (−4, 2) ，则幂级数 nan (x − 3)n 的收敛区间为
ai ≠ 0 ，证明：若 f (x) 有 n 个相异的实根，则 ak−1ak+1 < 0 .
第十三届北京市大学生（非数学专业）数学竞赛
第十七届北京市大学生数学竞赛试题
第十七届北京市大学生数学竞赛试题一、填空题（每小题2分，共20分）1、设严格单调函数)(x f y =二阶连续可导，其反函数为)(y x ϕ=，且2)1(,1)1(='=f f ，3)1(=''f ，则_________)1(=''ϕ。
2、设单位向量βα,的夹角为θ（20πθ<<），b a ,为正常数，则__________|]||||[|1lim2=+-+→βαβαθθb a b a 。
3、设24211)(xx x f ++=，则______)0()100(=f 。
4、________|sin |20060=⎰πdx x x 。
5、已知有整数)4(>n n 使极限])27[(lim 4x x x an x -+++∞→存在且不为零，则______=a 。
6、设1,0>>p a n 且1)1(lim 1=-∞→n npn a e n ，若∑∞=1n na收敛，则p 的范围为______。
7、圆柱222a y x =+夹在y z =与xoy 平面之间的面积为________。
（24a ）8、设当0>u 时)(u f 一阶连续可导，且0)1(=f ，又二元函数)(y x e e f z -=满足1=∂∂+∂∂yz x z ，则________)(=u f 。
9、x y x y =''-'''1的通解为________。
10、设函数)0(1tan 1),(≠+=xy xyxyxy y x f ，则___),(lim lim ),(lim lim 00=-→∞→∞→→y x f y x f x y y x 。
二、（10分）设22,tan cos )(sin ππ<<-++='x x x x x f ，且1)0(=f ，求)(x f 。
三、（10分）设)(x f 在),(+∞-∞上有定义，且对任意实数b a ,，都有等式)()()(a f e b f e b a f b a +=+成立，又1)0(='f ，求)(x f 。
北京交通大学数学建模习题参考解答
习题(以下三题中任选一题，一周内交)请严格按照“合理假设，数学模型的建立和求解，解释验证”的步骤来回答下列问题.1. 花旗银行的一则低息现金贷款广告：2.借50,000元, 分36期(月) 还清, 每月还1,637元.问：该银行的贷款月利率为多少？为了求出月利率需要解什么样的数学问题，能够手算吗?参考解答：1. 假设：月等额还款，36期(月) 还清。
2. 模型建立：同讲课 ⎩⎨⎧==-+=-0,...,2,1,0,)1(1N n n A N n x r A A 3. 模型求解：过程同讲课[]rr x r A N N 1)1()1(00-+-+= [][]1)1()1)(11(0,1)1()1(000-+-+-+=-+-+=N N N N r x r r A r x r r A 016371)1(637,51)1(000,5001)1)(()1(3637010=+-+-+=+-++-++r r x r A x r A N N 为了求r 可以先画函数 []1)1()1(0-+-+N N r x r r A 或 x r A x r A N N +-++-++1)1)(()1(010 的图形，看其零点的大概位置，例如可用命令Plot[}01.0,0,{],1)1[()1(0r r x r r A N N -+-+]得到 0大约在0.08或0.09附近，再用求根命令FindRoot[}]08.0,{,0]1)1[()1(0r r x r r A N N ==-+-+]得到 r = 0.00916892.4. 解释验证：把 36,50000,0.009168920==≈N A r 代入1)1()1(0-++=r rr r r A x即得 23735748`1636.99988=x . 如果你会算，那么见到另一个银行的广告为36,500000.009,0==≈N A r ，你就知道月还款一定少于1637。
如果你又见到另一个银行的广告36,500000.009,0==≈N A r 你就知道月还款一定多于 1637. 你就会明白银行的广告，为什么总要隐藏一些信息.2. 甲从一个借贷公司贷款60000美元, 年利率为12%, 25年还清. 假设是月等额还款(即一月 为一期), 问他每月要还多少美元? (答案: 约632美元. 总还款额为189600美元.)这时有另一家借贷公司出来跟甲说：“我可以帮你提前2年还清贷款，并且每个月不需要 多交还款”. 该借贷公司提出的条件是: 1. 每半个月交一次还款 ，每次还款额是原来的一 半(这似乎并没有增加甲的负担); 2. 因为每半个月就要给甲开一张收据, 文书工作多了, 所 以要求甲预付3个月的还款，即先付 632⨯3 = 1896美元, (这似乎也有一定的道理).甲想了想：提前两年还清贷款就可以少还632⨯24= 15168美元, 而先付的1896美元只 是15168美元的八分之一. 于是甲认为这是一笔合算的买卖.试问这另一家借贷公司是会赔钱(它是一家慈善机构！)还是仍然可以赚钱?把原来的一期(一个月)拆分为相等的两期, 从而将每期的还款额x 替换成 x/2, 每期的利率 r 替换成 r/2 确实能够提前还清吗? 如果是, 能提前多少时间还清?参考解答：1. 假设：月等额还款。
第二届全国大学生数学竞赛决赛试题及详细解答
第二届全国大学生数学竞赛决赛试题及答案（非数学类，2011）一．计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分。
）（1）.求11cos 0sin lim xx x x -→⎛⎫ ⎪⎝⎭；解：方法一（用两个重要极限）：()()20003221sin 1cos sin 1cos 001sin cos 12limlimlim sin 11331cos 3222sin sin lim lim 1lim x x x x x xxx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ee eee→→→-∙---→→------→-⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=====方法二（取对数）：0202000322sin 1sin 1ln lim11cos lim1cos 201sin cos 12limlimlim 11333222sin lim x x x x x xx x x xx xx x x xx x x x x eex ee e e→→→→→-⎛⎫ ⎪⎝⎭--→----⎛⎫== ⎪⎝⎭====（2）.求111lim ...12n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭； 解：方法一（用欧拉公式）令111...12n x n n n n=++++++ 111ln =C+o 1211111ln 2=C+o 1212n nn n n n+++-++++++-+由欧拉公式得（），则（），其中，()1o 表示n →∞时的无穷小量，-ln2o 1n x ∴=两式相减，得：（）,lim ln 2.n n x →∞∴=方法二（用定积分的定义）111lim lim lim()12n n n n x n n n→∞→∞→∞=++++111lim ()111n n n nn→∞=++++101ln 21dx x==+⎰（3）已知()2ln 1arctan tt x e y t e ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，求22d y dx 。
第三届全国大学生数学竞赛决赛试题（非数学类）+答案
第三届全国大学生数学竞赛决赛试题（非数学类）+答案第三届全国大学生数学竞赛决赛试卷（非数学类，2012）本试卷共2页，共6题。
全卷满分100分。
考试用时150分钟。
一、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）计算下列各题（要求写出重要步骤）.(1) xx xx x x 222220sin cos sin lim -→解：x x x x x x 222220sin cos sin lim -→4222220cos sin lim x xx x x x x -+-=→2040)c o s 1)(cos 1(lim ))(sin (sin lim x x x x x x x x x x +-++-=→→221261?+?-=32=(2) [()]61311tan 21lim x e xx x x x +--++∞→解： [()]61311tan 21lim x e xx x xx +--++∞→ （令x t 1=）362201)t a n 21(l i m t t e t t t t t +--+=+→3620111)21(lim t t e t t t +-+-+=+→ 3201)21(l i m t e t tt -+=+→2206)22(lim te t t t t ++=+→+∞=(3) 设函数),(y x f 有二阶连续偏导数, 满足0222=+-yy y xy y x yy x f f f f f f f 且0≠y f ,),(z x y y =是由方程),(y x f z =所确定的函数. 求22xy解：依题意有，y 是函数，x 、z 是自变量。
将方程),(y x f z =两边同时对x 求导， x y ffyx+=0，则 yx f f x y-=??，于是 ()yx f f x x y -=??222)()(yyy yx x yxxx y f x yf f f x y f f f ??+-??+-=2)()(yyx yy yx x yx yxxx y f f f f f f f f f f f ----=3222yyyy xy y x yy x f f f f f f f f +--=0=(4) 求不定积分()dx e xx I x x 111+-+=?解：()dx e x x dx eI xx xx 12111++-+=?xx x x xdedx e 11+++=?()xx xe d 1+?=C xexx +=+1(5) 求曲面az y x =+22和222y x a z +-=)0(>a 所围立体的表面积解：联立az y x =+22，222y x a z +-=，解得两曲面的交线所在的平面为a z =，它将表面分为1S 与2S 两部分，它们在xoy 平面上的投影为222:a y x D ≤+，在1S 上 dxdy a y a x dS 2222441++=dxdy a y x a 2222)(4++=在2S 上 dxdy yx y y x x dS 2222221++++=dxdy 2= 则 d x d y ay x a S D )2)(4(2222+++=??22202024a r d r a r a d a πθπ+=?? )26155(2+-=a π 二、（本题13分）讨论dx xx x x220sin cos α+?∞+的敛散性，其中α是一个实常数. 解：记 xx x xx f 22sin cos )(α+=① 若0≤α，)1(2)(>?≥x xx f ；则dx x x x x 220sin cos α+?∞+发散② 若20≤<α，则11≤-α，而)1(2)(1≥?≥-x x x f α；所以dx xx x x220sin cos α+?∞+发散。
第二十二届北京市大学生数学竞赛(经管类)答案
( ) ∫∫ y = 4 − x 2 与y = −3x 、x = 1所围成, 求I = 1+ f (x ) ln(y + 1+ y2 ) dx dy . D
解令
F (x ,y) = f (x ) ln(y + 1+ y 2 ) ，
如图所示，因为 D = D1 + D2 ．显然，在 D1 上 F (−x ,y) = −F (x ,y) ；在 D2 上
(1
+
a
)(1
a +
a
2
2 )"(1
+
an
)
的敛散性.
解 （1）设级数一般项bn ，考察
4
(n +1)(n +2)
a2
⎧ 0, a < 1
lim bn+1 b n →∞
n
= lim n →∞
(1 + a)(1+ a 2 )"(1+ an )(1 + an+1)
n (n +1)
a2 (1+ a)(1+ a 2 )"(1+ an )
数的介值定理可知: 至少存在一点ξ ∈[0,1], 使得F (ξ ) = 0, 即 f (ξ ) = 2ξ.
-----------------------------5 分
倘若还有一点η ∈[0,1], η ≠ ξ , 使得 F (η) = 0 , 由罗尔定理可知: 在ξ 与η
之间存在一点ζ , 使得F ′(ζ ) = 0 , 即 f ′(ζ ) = 2 , 这与已知矛盾. 故原命题成立.
1 (1 + a1)(1+ a12 )"(1 + a1n )
数学建模国赛2020b题
数学建模国赛2020b题摘要：一、数学建模国赛2020b 题概述二、题目分析三、解题思路与方法四、结论正文：【一、数学建模国赛2020b 题概述】数学建模国赛是我国高校数学教育领域的一项重要赛事，旨在培养学生的创新意识、团队协作精神和实际问题解决能力。
2020 年的B 题题目具有一定的难度和挑战性，吸引了众多高校参赛选手的关注。
本文将对2020b 题进行详细的分析和解答。
【二、题目分析】2020b 题的题目为：“某城市为了解决交通拥堵问题，计划对城市交通进行优化。
现需建立一个数学模型，分析城市道路交通状况，并提出合理的改进措施。
”题目要求参赛选手运用所学的数学知识，对城市交通问题进行建模分析，并给出具体的解决方案。
【三、解题思路与方法】1.确定问题：题目要求解决城市交通拥堵问题，首先要明确交通拥堵的原因，例如：道路容量不足、交通需求过大、路网结构不合理等。
2.建立模型：根据问题，建立相应的数学模型。
常用的模型有：排队论模型、流量模型、网络流模型等。
3.求解模型：根据所建立的模型，运用相应的数学方法求解问题。
例如：利用排队论模型求解交通拥堵状况；利用流量模型分析交通流量的分布；利用网络流模型求解交通流的最优路径等。
4.分析结果：根据模型求解的结果，分析城市交通状况，并找出问题所在。
5.提出改进措施：根据分析结果，提出合理的改进措施，例如：拓宽道路、增加道路容量、优化路网结构等。
【四、结论】数学建模国赛2020b 题通过对城市交通问题的建模分析，要求参赛选手运用所学的数学知识解决实际问题。
通过以上解题思路与方法，可以有效地解决城市交通拥堵问题，提高城市道路交通状况。
北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题解答
北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题解答注意：本考卷共九题. 甲组九题全做, 乙组只做前七题一、 填空题（每小题2分，共20分）.3.______,111,1.11==-+++-→-m m x x x mx m 解则的等价无穷小是时设当 .)1()1()1(.________)1(,)()2)(1()()2)(1()(.21+-='='+++---=-n n f f n x x x n x x x x f n 解则设 .)]11(1[lim ._____)]11(1[lim ,1)0,1()(.3e nf nf y x f y n n n n =++=++-=∞→∞→解则轴上的截距为处的切线在在点已知曲线.1.______lim .411-==∑=∞→+e e nk nkn kn 原式解π.4._________d )cos 1(sin .52π2π22-==++⎰-原式解x x xx .0232___.__________为处的切平面 (0,1) 在点 ),( 则曲面其中),(321)1,(且 ,微的某邻)1,0( 在点),(设函数6.22=--+=+=+++=+=z y x y x f z y x o y x y x f y x f z 切平面方程为解方程，域内可ρρ.1旋转转曲面方程._____________为轴旋转的旋转曲面方程绕111101线.7222=-+-=-=-z y x z z y x 解直.0.____d )cos(d 1||||.822==+-=++⎰原式解的正向一周，则为封闭曲线设Ly y x x y x y x x L .322.______|)div (}1,2,2{)2,1,1(div ,2.922223==∂∂-=--=原式解的方向导数方向处沿在点则其散度设向量场M M z y x z y x z y x A ll A k j i A.14._______,)1(.102222222=++=++=+'+''++=γβαγβαγβα解则的一个特解方程是二阶常系数线性微分设x x x e y y y e x e y.0)0,0()0,0(),(.)0,0(),(),,(||),()10(=-=ϕϕϕ件是点处可微的充分必要条在试证明函数的一个邻域内连续在点其中设二元函数分、二y x f y x y x y x y x f .)0,0(),(.0),(||lim ,2||||||,),(||)0,0()0,0()0,0(),(.0)0,0(,0)0,0(,0)0,0()(.0)0,0(),0,0()0,(||lim ),0,0()0,(||lim ,)0,(||lim )0,0()0,(lim )0,0(.)0,0(),0,0(,)0,0(),()(220022222222220000点处可微在由定义所以又因为则可知若充分性故有且由于存在则点处可微在设必要性证y x f y x y x y x yx y y x x y x y x y x y x y x y x y f x f f y x f f f xx x x x x xx x x f x f f f f y x f y x y x y x x x x x x y x =+-≤+++≤+-+-=+'-'--='='==-===-='''→→→→→→-+ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ.)0(2)1()1(6)(),1,1(,]1,1[)()10(f f f f x f '---='''-∈-ξξ使得存在实数证明上三次可微在区间设分三、.)0(2)1()1(6)()].()([21)(),,()].()([61)0(2)1()1(,!3)(!2)0()0()0()1(,!3)(!2)0()0()0()1(21212121f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f '---=''''''+'''='''∈'''+'''+'=--'''-''+'-=-'''+''+'+=ξξξξξξξξξξξ于是使得实数由导数的介值性知存在证.d ,),(,1),(,),(,),(),(),(,1:),(),,()10(22⎰⎰•≡≡⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=+=≤+Dy y x v y x u D y v x v y u x u y x y x u y x v y x y x D y x v y x u σg fj i g j i f 求的边界上有且在又上有一阶连续偏导数在闭区域设函数分四、.,1:π,d )cos sin sin (d d d d d )()(d ,)()(22π202正向解=+-=+-=+=+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=∴∂∂-∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-∂∂+∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰••y x L yy x y y uv x uv y uv x uv y uv x uv y v u y u v x v u x u v y v x v u y u x u v L L D Dθθθθσσg f g f .),1(14)1()1(:,d d d d d d )10(222222取外侧其中计算分五、≥=+-+-∑++⎰⎰∑y z y x y x z x z y z y x π.325π2π319π,319d )sin 32sin sin 41sin cos 41(d 4d sin )2sin sin sin cos 2(d d 2d )(2d )(2π,2d d .,14)1(:,,1:π022π0102π0π0220000=+=∴=++=++=+=++=-=-=-=≤+-=∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑+∑∑∑∑+∑原式则原式左侧设解ϕϕϕθϕθθϕϕθϕθϕθrr r r v y x v z y x x z z x D y VVDπ.325π2π311π38,24)1(:π,611d )2(2πd d d d ,1,24)1(:π,34d )2(πd d d d π.2d )(2,d )(2π,2d d .,14)1(:,,1:2222221222202202200=++=∴-≤+-=-⋅⋅==≥-≤+-=-==+++=++=-=-=-=≤+-=∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑+∑∑∑∑+∑原式故原式则原式左侧设另解y y z x D y y y y x z x y v y y x x zy D x x x x z y xx v x v z y x v z y x x z z x D y y D Vx D V V VDyx.)1(2)2(;2lim )1(.,)10(121211∑∑∞=→∞∞=+++++++n nnn n nn n na a a nna a a S a试求：且和为收敛设正项级数分六、.1)1(22122)1(2)2(;02lim ,112)1(1121212121212112112112121++→∞---+++++++-+++=++++-+++=++++=-=+++∴-⋅-+++-=+++-=-++-+-+=+++n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a n a n na a a n na a a n na a a n na a a n n na a a S S nna a a nn n S S S S n S S S S nS S S S S S S n na a a 解.)1(2)1(2,21111121112121S a a b n n na a a a b b n n na a a n na a a b n n n n n nn n n nn n ==+=++++∴+-=+++++++=∑∑∑∞=∞=+∞=++ 则记.,./,/,,./,.)10(22220需的时间求飞机从着陆到停止所千克机的质量为设飞米秒千克为在垂直方向的比例系数米秒千克平方向的比例系数为在水正比的阻力与速度的平方成且飞机运动时所受空气为飞机与地面的摩擦系数秒米水平速度为速度在着陆时刻已失去垂直陆飞机在机场开始滑行着分七、m k k v y x ⋅⋅μ).(arctan )()arctan(10).arctan(1)arctan(1).arctan(1,,0.)arctan(1,d d .0d d ,0)d d (d d .0,,.0)d d (d d ).(,,000002222222222秒时，当得代入初始条件积分得分离变量得即于是有根据题意知记由牛顿第二定律，有摩擦力垂直方向的阻力水平方向的阻力解v gm k k g k k mv BAABt v v BA ABv B AABt v BA ABC v v t C t v BAAB t BAv vB Av t vB t s A ts A g B mk k A g t s m k k t s R mg W v k R v k R y x y x yx y x y y x y x μμ-μμ-===-=∴===+-=-=+=++=++>μ=μ-==μ+μ-+-μ===以下两题乙组考生不做.1sin )10(是无理数证明分八、.1sin .,)12(2cos )1(,12,1|cos |).(cos )12(2)1(cos )12(2)1(])!12()1(!71!51!311[)!12()!12().12(cos )!12()1()!12()1(!71!51!311sin .,,1sin 1sin 11是无理数所以矛盾不可能是整数故然而两个整数之差仍是整数是整数知，由的展开式有根据是互素的正整数是有理数，则设证+->≤+-+-+--++-+--=->-+-+--++-+-==--n n n n n n n n n q p n q n n n q p x q p qpn n nn nn ξξξξξ.)sin(tan )tan(sin ,)2π,0()10(论的大小，并证明你的结与试比较函数内在区间分九、x x ).sin(tan )tan(sin ,)2π,0,.0)(,)2π,2π[arctan .1tan )tan(sin 1.1sin 4π,4ππ4π4π12π)2π(arctan tan 1)2π(arctan tan )2πsin(arctan .1sin )2πsin(arctan ,)2π,2π[arctan .0)(,0)0(,0)()2πarctan ,0(.cos )(sin cos )cos(tan ,cos 3sin 2tan cos,3sin 2tan .02sin 4tan 3cos 2sec )(3sin 2tan )(.3sin 2tan cos )]cos(sin 2)[cos(tan 31)(sin cos )cos(tan 2π0.2πsin 0,2πtan 02πarctan 0.cos )(sin cos )(sin cos )cos(tan cos sec )cos(tan cos )(sin sec )(则),sin(tan )tan(sin )( 设 解2223222232222322x x x x f x x x x x x f f x f x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x f x x x f >∈>∈∴<<<<>+=+=+=<<∈>=>'∈<<+>+>-=-+='-+=+≤+≤<<<<<<-=-='-=时（当综上可得时当于是故由于时当所以又时，于是当即所以于是，设）上的凸性有，由余弦函数在（时，当ϕϕ。
第十六届北京市大学生数学竞赛甲乙组试题与解答
第十六届北京市大学生数学竞赛甲乙组试题与解答第十六届北京市数学竞赛试题答案（甲、乙组） 一、 填空（20分）1．1)0(,)1(2='=+'-+''y e y x y x y x ，且a xxx y x =-→2)(lim，则__________=a .解 由a xxx y x =-→2)(lim，得0)0(=y ，利用方程，得2)0(=''y ，得1=a . 2．))(()(b x a x be xf x ---=，e x =为无穷间断点，1=x 为可去间断点，则__________=b .e解 ))(1()(b x x be xf x ---=3.,),0(,)0,(,),,(22y y f x x f y x yx zy x f z ==+=∂∂∂= 则 __________),(=y x f .解 __________),(=y x f y x xy y x +++2222. 4.,)2()2()2(222dz xy z dy xz y dx yz x du -+-+-= 则__________),,(=z y x u .解 C xyz z y x z y x u +-++=23__________),,(333 5.,)(13)(1022⎰--=dx x f x x x f 则__________)(=x f . 解 ,13)(2x k x x f --=其中⎰--=1022)13(dx x k x k ,得k k k dx x kx x k dx x k x k 2329)16)9(()13(22102221022-+=+---=--=⎰⎰,得,2992k k +=得23,3439472819=±=-±=k .6.⎰⎰≤+-→=++22222._________)cos(1lim20r y x y x r dxdy y x er解 π. 7. ,4)cos 1)(1ln(121lim=-+-→x x f x x 则.__________)(lim 30=→xx f x 解 2ln 28.,)1(,)()(a f xx f x f ==' 则.__________)2(=f 解 .2)2(,)(,)1(,)(,1)(/)(a f ax x f a f cx x f xx f x f =⇒=⇒==⇒='9.14:22=+y x L ,周长为l ,则.__________)2(2=+⎰ds y x L解 l 410.设,0>x 或,1-<x 则级数∑∞∞=-+++-+1))1(21)(1()21)()1(1(lnn x n nx nx x n 的和为_______.解∑∞∞=-+++-+1))1(21)(1()21)()1(1(lnn x n nx nx x n =.2ln 211lim ))21()1(ln ))1(21())1(1((ln1=++-=++--+-+∞→∞∞=∑nx nxnx nx x n x n n n . 二、)(x f '存在，且,cos 6sin 4cos )(23C x x x x x dx x f x +--='⎰求)(x f . 解 x x x x x x x x x f x sin 6sin 4cos 4sin cos 2)(23+---=' 问题：可能是设)(x f '连续，积分才有意义。
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北京交通大学2020年大学生数学竞赛试题（2020年6月28日晚7：00—9：30）学院与班级 学号 姓名 联系方式一、填空题（每小题6分，满分30分） 1．极限 1limnn i →∞== 。
2．定积分4sinarctan x x e dx ππ-⎰= 。
3．设:1x y z ∑++=，则曲面积分()2245I x y z dS ∑=+++=⎰⎰ 。
4．设()f x 在[0,1]上连续且单调增加，2112(0)1,(1)2,()3f f f x dx -===⎰，其中1()f x -是()f x 的反函数，求积分11()()xdx f x f y dy ⎰⎰= 。
5．函数()2sin 0x y e x x -=≥与x 轴所围图形的面积= 。
二、（本题满分10分）设函数()f x 具有连续的二阶导数，且(0)=0,(0)0,()0f f f x '''=>，在曲线()y f x =上任意点()(),()0x f x x ≠处作切线，此切线在x 轴上的截距记为u ，求极限0()lim()x xf u uf x →。
三、（本题满分10分）设函数()f x 在(),+-∞∞内三阶可导， (1)1f =-，(1)3f -=，且1x =±是其驻点，证明：存在()1,1ξ∈-，使得()6f ξ'''=。
四、（本题满分10分）计算()()()222222Lyz dx z x dy x y dz +++++⎰，其中L 是球面()22220x y z Rx z ++=>与()22=20,0x y rx r R z +<<>的交线，此曲线的方向从Oz轴正向看为逆时针方向。
五、（本题满分10分）在包含圆222x y y +=的所有椭圆22221x y a b+=中，当,a b 为何值时，椭圆的面积最小？六、（本题满分10分）设函数(,)z z x t =具有连续的二阶偏导数，满足波动方程2222z zx t∂∂=∂∂，证明：（1）存在具有二阶导数的函数(),()F x G x ，使得(,)()()z x t F x t G x t =++-；（2）若()(,0)=(),,0()z z x f x x g x t ∂=∂，则[]11(,)()()()22x tx tz x t f x t f x t g y dy +-=++-+⎰。
七、（本题满分10分）设函数()f x 在[0,1]上具有连续导数，且(0)(1)0f f ==，证明：[]11221()()4f x dx f x dx '≤⎰⎰。
八、（本题满分10分）求幂级数()()212!!21!!n n n x n ∞=+∑的收敛域与和函数，其中()()()2!!222642n n n =⋅-⋅⋅，()()()21!!2121531n n n +=+⋅-⋅⋅，并求数项级数()()()12!!2121!!nn n n n ∞=++∑的值。
参考答案：一、1．解：由不等式11111nn n n ni i i i i ======≤=得1lim nn i →∞==()1101lim ln 12nn i →∞===。
2．解：注意到arctan +arctan ,2x x e e x R π-=∀∈。
原式=440sin arctan sin arctan xx x e dx x e dx ππ-+⎰⎰，对第一个积分令x t =-，则()04440sinarctan =sin arctan sin arctan xtt x e dx t edt t e dt πππ----=⎰⎰⎰，于是原式=224444000313sin arctan sin arctan sin sin 242216x xx e x e dx xdx xdx ππππππππ-+====⎰⎰⎰。
3．解： 注意到0xdS ydS zdS xydS yzdS xzdS ∑∑∑∑∑∑======⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，()2245I x y z dS ∑=+++=⎰⎰()222416254168102040xy z xy yz xz x y z dS∑⎡⎤+++++++++⎣⎦⎰⎰ =()22241625xy z dS ∑+++⎰⎰其中(121,0,0,325=2582004x y z x y z dS dS ∑∑++=≥≥≥⨯=⨯=⎰⎰⎰⎰：()()111222222:100,0,0416=21=2181681xx yz x y z xyz dS z dS z dS dxx y -∑∑∑++=≥≥≥++⨯=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=30111(1)334x dx -=⨯=， 于是原式=()22241625xy z dS ∑+++⎰⎰=4、解：由互为反函数关于y x =对称，故1210124()12()233f x dx f x dx -=⨯-=-=⎰⎰。
严格证明：1111100()()()2[()]()f x dx xf x xdf x f f x df x -=-=-⎰⎰⎰=211242()233f t dt --=-=⎰， 容易证明22111001148()()=()2239x dx f x f y dxdy f x dx ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰。
5. 解:()(1)(1)002sin 2sin 21sin n n nx x x n n nnS e xdx e x dx e xdx ππππ+++∞∞∞--=====-∑∑⎰⎰⎰=()()(1)1(1)021sin 1cos(1)cos n nn xn n n n ne xdx e n e n ππππππ+∞∞+--+-==⎡⎤-=-+-⎣⎦∑∑⎰=()()()11111cos 1cos 121cos 1nn nn n n n n n en en e n ππππππ∞∞∞+---===---+=-+∑∑∑=112+1=2111n n e e ee e πππππ-∞--=++=--∑。
二、解：过(),()x f x 的切线方程为，()()()Y f x f x X x '-=-，令=0Y =，则()()f x u X x f x ==-'，于是 ()()221111()(0)(0)22f x f f x f x f x ξξ'''''=++=，故()221()2f u f u ξ''=，()2100021()2lim lim lim 0()()x x x f x f x u x x f x f x ξξ→→→⎛⎫'' ⎪⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪'''⎝⎭ ⎪⎝⎭， 因此21000022()1()()()2lim lim lim lim1()()2x x x x f x x x f u xf u u f x uf x x x u f x ξξ→→→→-'''==='' =()()232011121lim 2x f x f x ξξ→''-=''=。
三、证明：构造一个三次多项式()p x ，使得(1)1,(1)3,(1)(1)0p p p p ''=--==-=。
故设()(1)(1)p x a x x '=-+，于是31()3p x ax ax c =-+，代入(1)1,(1)3p p =--=，得 113133a a c a a c ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩，解得3,1a c ==，故3()=31p x x x -+。
令()()()x f x p x ϕ=-，则(1)(1)0ϕϕ-==，由罗尔定理，()1,1η∃∈-，使得()0ϕη'=。
又()=(1)=(1)=0ϕηϕϕ'''-，存在1211ξηξ-<<<<，使得12()0=()ϕξϕξ''''=。
再由罗尔定理，知存在()()12,1,1ξξξ∈⊂-，使得()()()0f p ϕξξξ'''''''''=-=，即()()6,1,1f ξξ'''=∈-。
四、 由斯托克斯公式得[]2()cos ()cos ()cos I y z z x x y dSαβγ∑=-+-+-⎰⎰，其中∑是球面()22220x y z Rx z ++=>上由L 围成的区域的上侧，cos ,cos ,cos αβγ是球面外法向量的方向余弦，故cos =,cos ,cos x R y zR R Rαβγ-==，从而 2()()()x R y z I y z z x x y dS R R R ∑-⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰因为∑关于0y =对称，因此0ydS ∑=⎰⎰又R dS dxdy z ===，22:2xy D x y rx +≤，则 2222xyD RI z dxdy R dxdy Rr z π∑=⋅==⎰⎰⎰⎰。
五、解：依题意，面积最小的椭圆必与圆相切，设切点为(),x y ，则由圆的方程222x y y +=，得1x y y '=- ，又由22221x y a b +=知，22b x y a y'=-，于是221x b xy a y=-- ，当0x ≠时，222b y b a =-，代入椭圆方程22221x y a b +=，得 ()2222221b x a b a ⎛⎫ ⎪=- ⎪-⎝⎭，再代入圆的方程222x y y +=，得22240b a b a -+=。
再求椭圆面积(),0S ab a b π=>在约束条件22240b a b a -+=下的最小值。
设拉格朗日函数()()2224,,F a b ab b a b aλπλ=+-+令()()2322224240 (1)220 (2)0 (3)a b F b ab a F a a b b F b a b a λπλπλ⎧'=+-+=⎪⎪'=+-+=⎨⎪'=-+=⎪⎩，由（1）（2）得2a =3）式，解得2a b S ===。
当0x =时，切点为()0,2，由y =在切点处220,y y a'''==-，于是椭圆在该点处的曲率为22K a==，而该点的曲率圆为222x y y +=，半径为1，所以有212a =，于是2a b ==，2S =>，因此椭圆的最小面积为2S =，此时a b ==，椭圆的方程为22629x y +=。