历届全国大学生数学竞赛真题

高数竞赛预赛试题（非数学类）

2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分，共20分）

1．计算=--++⎰⎰y x y

x x y

y x D

d d 1)

1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.

2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰

--

=20

22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.

3．曲面22

22

-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )

(y y f e xe

=确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则

=2

2d d x y

________________. 二、（5分）求极限x

e

nx x x x n

e e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数.

三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A x

x f x =→)

(lim 0，A 为常数，求)

(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.

四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：

（1）⎰⎰

-=---L

x y L

x y

x ye y xe x ye y xe

d d d d sin sin sin sin ；

（2）2sin sin 2

5

d d π⎰

≥--L

y y x ye y xe .

五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.

六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线

与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3

1

.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.

七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n n

, 且n

e

u n =)1(, 求函数项级数

∑∞

=1

)(n n

x u

之和.

八、（10分）求-

→1x 时, 与∑∞

=0

2

n n x 等价的无穷大量.

2010年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、（25分，每小题5分） （1）设22(1)(1)(1),n

n x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞

（2）求2

1lim 1x x x e x -→∞

⎛

⎫+

⎪⎝⎭

。 （3）设0s >，求0

(1,2,)sx n I e x dx n ∞

-=

=⎰

。

（4）设函数()f t 有二阶连续导数，2

2

1,(,)r x y g x y f r ⎛⎫

=+= ⎪⎝⎭，求2222g g x y ∂∂+∂∂。

（5）求直线10:0x y l z -=⎧⎨=⎩

与直线2213

:421x y z l ---==--的距离。 二、（15分）设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有二阶导数，并且

()0,lim ()0,lim ()0,x x f x f x f x αβ→+∞

→-∞

''''>=>=<且存在一点0x ，使得0()0f x <。

三、（15分）设函数()y f x =由参数方程2

2(1)()x t t t y t ψ⎧=+>-⎨=⎩

所确定，其中()t ψ具有二阶

导数，曲线()y t ψ=与2

2

1

3

2t u y e du e

-=

+

⎰

在1t =出相切，求函数()t ψ。 四、（15分）设1

0,,n

n n k k a S a =>=

∑证明：

（1）当1α>时，级数

1n

n n

a S α

+∞

=∑收敛； （2）当1α≤且()n s n →∞→∞时，级数

1n

n n

a S α+∞

=∑发散。 五、（15分）设l 是过原点、方向为(,,)αβγ，（其中2

2

2

1)αβγ++=的直线，均匀椭球

222

222

1x y z a b c ++≤，其中（0,c b a <<<密度为1）绕l 旋转。 （1）求其转动惯量；

（2）求其转动惯量关于方向(,,)αβγ的最大值和最小值。

六、(15分)设函数()x ϕ具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C 上，曲线

积分

42

2()c

xydx x dy

x y ϕ++⎰

的值为常数。

（1）设L 为正向闭曲线22(2)1,x y -+=证明

42

2()0;c

xydx x dy

x y

ϕ+=+⎰

（2）求函数()x ϕ；

（3）设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求

42

2()c

xydx x dy

x y ϕ++⎰

。

2011年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一． 计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分）

（1）.求1

1cos 0sin lim x

x x x -→⎛⎫ ⎪⎝⎭

；

（2）.求1

11lim ...12n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝

⎭； （3）已知()2ln 1arctan t

t x e y t e

⎧=+⎪

⎨=-⎪⎩，求22d y dx 。

二．（本题10分）求方程

()()2410x y dx x y dy +-++-=的通解。

三．（本题15分）设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且

()()()'"0,0,0f f f 均不为

0，证明：存在唯一一组实数123,,k k k ，使得

()()()()

1232

230lim

0h k f h k f h k f h f h

→++-=。

四．（本题17分）设

222

1222:1x y z a b c

∑++=，其中0

a b c >>>，

2222:z x y ∑=+，Γ为1∑与2∑的交线，求椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点

距离的最大值和最小值。

五．（本题16分）已知S 是空间曲线2231

x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转形成的椭球面的上半部