第八章 截交线的画法

A
B
C
例1：求作顶尖的俯视图
● ●
●
● ●
● ●
●
● ●
● ● ● ●
●
●
例1：求作顶尖的俯视图
例2：完成图示组合体的主、俯两视图
b(a) c
a
b
c
a
b
A
B
c
C
例2：完成图示组合体的主、俯两视图
b(a) c
a
b
c
a
b
A
B
c
C
8—2 直线与立体相交
贯穿点的概念：直线与立体的交点（成对出现）。 它是直线与立体表面共有点的集合 求法： 1、直线与平面立体相交可用面上 (Ⅱ) 取点的方法以及线面相交 Ⅰ 2、直线与曲面立体相交时， 主要看曲面是否具有积聚性： A 如有，可利用积聚性投影直接求； 如否，可用辅助素线法或玮圆法。 A B
a a
d
c e
d c
P
如何作一般点？ 用辅助纬圆法。
e b b
D C E B A
作交线的正面投影 空间及投影分析
★找特殊点：A、B、C点 截平面P是正平面， 截交线为双曲线。交线 ★补充一般点：D、E点 的侧面投影积聚成一直 ★光滑连接各点 线，正面投影反映实形。 ★分析轮廓线的投影
⒊ 当单体被多个截平面截切时，要逐个截 平面进行截交线的分析与作图。当只有 局部被截切时，先按整体被截切求出截 交线，然后再取局部。 ⒋ 求复合回转体的截交线，应首先分析复 合回转体由哪些基本回转体组成以及它 们的连接关系，然后分别求出这些基本 回转体的截交线，并依次将其连接。
第八章 平面与立体相交（截交线）、 直线与立体相交
§8—1 截交线
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截交线的概念和画法 截平面 用以截切立体的平面 截交线 截平面与立体表面的交线 截断面 因截平面的截切，在 立体上形成的平面。
截交线是截平面与立体表面共有点的集合 讨论的问题：截交线的分析和作图 。
截交的形式
截平面与平面立体相交 截平面与回转体相交
例6：求俯视图
例7：求左视图
虚实分界点
例7：求左视图
㈡ 圆锥体的截交线
根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同， 截交线有五种形状。
PV θ PV PV
θ
α
α
θ PV
PV
α
过锥顶 两相交直线
θ = 90°
圆
θ ＞α 椭圆
θ =α 抛物线
θ = 0°或＜α 双曲线
例1: 求作平行于圆锥轴线的平面P与圆锥面的交线 的正面投影。
棱线法！ 我们采用的是
哪种解题方法？
例2：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
I、II是两个 截平面的交线
1(2)
2
1
2
注 意：
有两个截平面截切四棱锥。
1
当平面立体只有局部被截切 时，先假想为整体被截切， 求出截交线后再取局部。
例2：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
例 3: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
a
c
e
★找特殊点C D ★找一般点 F ★光滑连接各点 B A ★分析轮廓素线的投影 E
b
例1：求左视图
★找特殊点 ★找一般点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影
椭圆的长、 短轴随截平面与 圆柱轴线夹角的 变化而改变。
45°
什么情况下 投影为圆呢？ 截平面与圆柱轴
线成45°时。
例2：求截口圆柱的投影
2
●
II
●
1
I
例3：求左视图
1(2) 2 1
2
●
●
1
例4：求左视图
●
●
●
●
例4：求左视图
●
●
●
●
仔细比较下列两立体的各个视图，有何不同？
画一画：这两个立 体的视图是什么样？
例5：求截口圆柱的投影
1(2) 2 1
2
1
例5：求截口圆柱的投影
1(2) 2 1
2
1
例6：求俯视图
a‟
(l‟)
b‟
b
l A (B)
a
k
例4：求直线AB与圆球的贯穿点
a‟
(k‟)
l‟
Pv辅助平面 b‟
a
k l
?
b
小 结
一、平面体的截交线一般情况下是由直线组成 的封闭的平面多边形，多边形的边是截平 面与棱面的交线。
求截交线的方法：棱线法 棱面法 二、平面截切回转体，截交线的形状取决于截 平面与被截立体轴线的相对位置。 截交线是截平面与回转体表面的共有线。
1(2)
同一立体被多 个平面截切，要逐 2 1 个截平面进行截交 线的分析和作图。
解题步骤：
★空间及投影分析 II 截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置 ★求截交线 I ★分析圆柱体轮廓素线的投影
2
1
例2：求截口圆柱的投影
1(2) 2 1
2
II
1
I
例3：求左视图
1(2) 2 1
Ⅰ
(Ⅱ)
B
A
Ⅰ
(Ⅱ)
B
一、直线与平面立体相交 例1 求AB与三棱柱的贯穿点 b‟ a‟ X Ⅰ
B
1‟
(2‟) O 2
A
b
a
1
例2：求直线AB与三棱锥的贯穿点 s‟
1„ k‟ 2„
(h‟) 3„
f‟
Pv—辅助平面
d‟ e‟ d 1
h
2 s
3
k
e
f
二、直线与曲面立体相交 例3：求直线AB与圆柱的贯穿点 k‟
P
4≡5 7 5 6 3 4 2 1 Ⅷ Ⅰ 5 6 Ⅶ Ⅵ Ⅲ 8 Ⅱ Ⅴ Ⅳ
2≡3≡6≡7 1≡8 8
7
3 1 2
4
截交线的投影 检查截交 分析棱线的 截交线的形状？ 求截交线 特性？ 投影 线的投影
例 3: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
㈠ 平面与圆柱面的截交线
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于 截平面与圆柱轴线的相对位置
PV PV PV
平行 平行两直线
垂 圆 直
倾斜 椭圆
例1：求左视图
b (d) e(f) a
c d
c
f
d
截交线的 e f 空间形状？ a 截交线的已知投影？ 截交线的侧面投 影是什么形状？
b
例1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4) 3 1 2 4
● ● ●
1
●
2
3
4 3
●
●
★ 空间分析 ★ 投影分析 截平面与四棱锥 交线的形状？
●
1
●
2
★ 分析棱线的投影 ★ 检查 尤其注意检查截 交线投影的类似性
的四条棱线相交？ ★截交线在俯、左 求截交线 视图上的形状？
例1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
轮廓线上的点 极限点(轴端点)
例2: 圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
例3：已知带切口的圆锥的主视图，求作其另二个视图。
3„ 4„ 3“（4“） 3“(4”) 1“（1“）
空间及投影分析
1、被几个面截切？
1„ 2„
1“(2”) 2、各自截交线的形状？ 投影怎样？
作图：
1 3
2
4
1 3
3 1
2
4
1
3
注 意： 当有多个截平面截切圆（台）， 且只有局部被截切，先假想 为整体被截切，求出截交线后 再取局部。多个截面互相影响。
3„
4„
1“（1”）
3“
3“(4”) 1“(2”)
1„
2„
1 3
2
4
3 1
4
2
㈢ 球体的截切
平面与圆球相 交，截交线的形状 都是圆，但根据截 平面与投影面的相 对位置不同，其截 交线的投影可能为 圆、椭圆或积聚成 一条直线。
⒈ 求截交线的两种方法： ★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法 ★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法 ⒉ 求截交线的步骤： 确定截交 ★ 空间及投影分析 线的形状
☆ 截平面与立体的相对位置 ☆ 截平面与投影面的相对位置 分别求出截平面与棱面 的交线，并连接成多边形。
★ 画出截交线的投影
确定截交线 的投影特性
I、II点是两个 截平面的交线
1(2)
2
1
注 意：
2 1
有两个截平面截切四棱锥。
当平面立体只有局部被截切 时，先假想为整体被截切， 求出截交线后再取局部。
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2
1
2 1
回转体的截交线
一、回转体截切的基本形式
截交线的性质： 截交线是截平面与回转体表面的共有线。 截交线的形状取决于回转体表面的形状及 截平面与回转体轴线的相对位置。 截交线（直线或曲线）围成封闭的平面图形。
例1: 求作平行于圆锥轴线的平面与圆锥面的交线 的正面投影。
a a
d
c e
d c
e b b
D C E B A
例2: 圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
中点
截交线的空 截交线的投 间形状？ 影特性？
如何找椭圆另 一根轴的端点？
★找特殊点 ★补充一般点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的 投影
例：求圆球被正垂面相交的截交线的投影
2„
5”
(2”) 3” 5” 4” 1”
5”
3„
1„
4„
3 4”
4
5
(1)
5
2 4
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面截圆球的截 水平面截圆球的截交线 交线的投影，在左视图 的投影，在俯视图上为 上为部分圆弧，在俯视 部分圆弧，在侧视图上 图上积聚为直线。 积聚为直线。
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
例2：已知一建筑物球壳屋顶的H投影，求 该球壳屋顶的V投影和W投影。
r
PH QH
例2：已知一建筑物球壳屋顶的H投影，求 该球壳屋顶的V投影和W投影。
㈣ 组合体表面的截交线
首先进行形体分析，弄清组合体由哪些基本 回转体组成，找出相邻回转体之间的分界线。 然后分别求出各个截平面与这些基本回转体的 截交线，并依次将其连接。
二、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线 的相对位置，以便确定截交线的形状。 ☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交 线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出 截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为： ☆ 先找特殊点，补充一般点。 ☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可 见性。
三、解题方法与步骤
⒈ 空间及投影分析 ⑴ 分析截平面与被截立体的相对位置，以 确定截交线的形状。 ⑵ 分析截平面与被截立体对投影面的相对 位置，以确定截交线的投影特性。 ⒉ 求截交线 当截交线的投影为非圆曲线时，要先 找特殊点，再补充中间点，最后光滑连接 各点。 注意分析平面体的棱线和回转体轮廓 素线的投影。
平面体的截切
回转体的截切
平面体的截交线
一、平面体截切的基本形式
截交线的性质：
截交线是一个由直线段组成的封闭的平面多边形，其 形状取决于平面体的形状及截平面对平面体的切位置。 截断面的每条边都是截平面与棱面的交线。
求截交线的实质是求两平面的交线
二、平面截切体的画图步骤
关键是正确地画出截交线的投影。